Capítulo 3: Limite de uma Função e Continuidade

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1 Cpítulo : mt d um Fução Cotudd - Noção d mt d um Fução Noção Itutv Isttuto d Cêcs Ets - Dprtmto d Mtmátc Cálculo I Proª Mr Jult Vtur Crvlho d Arujo Emplo : Cosdr ução dd pr todo rl Obsrv os vlors d ução qudo crsc tdmt qudo dcrsc tdmt Obsrv tmbém o su ráco Est ução s prom d qudo crsc tdmt qudo dcrsc tdmt Dzmos qu st ução td qudo td + qudo td dotmos Além dsso obsrvdo o ráco d ução podmos dzr qu crsc tdmt qudo s prom d por vlors mors qu qu dcrsc tdmt qudo s prom d por vlors mors qu Nst cso os rrmos os ts ltrs dotmos rspctvmt por Emplo : Cosdr ução dd pr todo rl Itutvmt lsdo s sucssõs s tbls suts podmos dzr qu td pr + qudo td pr + ou pr dotmos por 5

2 Emplo : Obsrvdo o ráco d ução cos tbl sur podmos rmr qu o ráco oscl um vzhç d zro sm tdr pr um t Emplo 4: Obsrvdo o ráco d ução dd pr todo rl s tbls bo podmos scrvr ou d À mdd qu tommos vlors d cd vz ms prómos d os vlors d torm-s cd vz ms prómos d dpdtmt d sucssão d vlors d usdos Pod-s obsrvr qu é possívl tomr o vlor d tão prómo d quto dsjmos dsd qu tommos suctmt prómo d A dé tomr o vlor d tão prómo d quto dsjmos é trduzdo mtmtcmt pl dsuldd sdo um úmro postvo qulqur tão pquo quto s poss mr A dé dsd qu tommos suctmt prómo d sc qu dv str um trvlo brto d ro ctro = tl qu s vrr ss trvlo sto é s tão - Dção d mt d um Fução Itutvmt dzmos qu um ução tm t qudo td pr s é possívl tomr rbtrrmt prómo d dsd qu tommos vlors d suctmt prómos d Formlmt tmos: Sj I um trvlo brto o qul prtc o úmro rl Sj um ução dd m I cto possvlmt o própro Dzmos qu o t d qudo td é scrvmos s pr todo str um tl qu s tão Em símbolos tmos: ; 6

3 Obsrvção: Pr dção do t qudo td ão é cssáro qu ução stj dd m pod ocorrr qu ução stj dd m O qu trss é o comportmto d qudo s prom d ão o qu ocorr com qudo = - Emplos Cosdr ução dd pr todo rl Assm s tão = + Vmos mostrr usdo dção qu Dvmos mostrr qu ddo st tl qu s tão Ddo tommos oo obtmos: Portto s Sj : R R dd por 5 s Tmos Dmostr usdo dção qu 6 4 Dvmos mostrr qu ddo st tl qu s 4 tão 6 Notmos qu S 4 obtmos: Sj m Assm s 4 obtmos : Portto Ucdd do mt Torm S tão Dmostrção: Vmos supor Sj Como tão s tão tão stm ts qu s 7

4 8 Sj m Assm s tão Ms o qu é um bsurdo Portto 5- Proprdds do t d um ução Sj lmto do trvlo brto I m I {} stão dds s uçõs volvds proprdd S é um ução dd por = c pr todo rl od c R tão c c S c R tão c c c S M M tão Obs: Est proprdd pod sr stdd pr um som d um úmro to d uçõs sto é s N tão 4 S M M tão 5 S M M tão Obs: Est proprdd pod sr stdd pr um produto d um úmro to d uçõs sto é s N tão 6 S tão pr 7 S M M tão 8 S ímpr ou com tão N N 9 S s s s tão S cos cos cos tão Torm O t d um ução poloml R pr tddo pr é ul o vlor umérco d pr = ou sj

5 Dmostrção: É clro qu pos ddo tom s tão Assm pr Tmos tão: 6- Ercícos o Clculr os suts ts: 5 5 b 7 c 4 4 d 4 Rsposts: 5; b -/; c 5; d 4; -; 4 h 6 5 j 4 k 5 4 l m ; ; h ; 7/; j /; k ; l 5/; m ¼; 4 Sj ução dd por s Clculr Rsp: - s Sj ução dd por s Clculr Rsp: 5 s 4 Clculr Rsp: 5 5 Clculr Rsp: vro tto: Pás 7 75 cto úmros

6 7- mts trs Ao cosdrrmos stmos trssdos o comportmto d ução os vlors prómos d sto é os vlors d prtcts um trvlo brto cotdo ms drts d portto os vlors dss trvlo qu são mors ou mors qu Etrtto o comportmto m lums uçõs qudo stá prómo d ms ssum vlors mors qu é drt do comportmto d msm ução qudo stá prómo d ms ssum vlors mors qu 4 s Por mplo ução s trbudo vlors prómos d porém s mors qu à squrd d tmos qu os vlors d ução cm prómos d ; trbudo vlors prómos d porém mors qu à drt d tmos qu os vlors d ução cm prómos d Dçõs: mt ltrl à drt Sj um ução dd m um trvlo brto b O t d qudo s prom d pl drt srá scrvmos pr todo str tl qu s tão Em símbolos tmos: ; s mt ltrl à squrd Sj um ução dd m um trvlo brto b O t d qudo s prom d pl squrd srá scrvmos pr todo str tl qu s tão Em símbolos tmos: ; s Obsrvção: As proprdds d ts o torm do t d ução poloml são váldos s substturmos por ou por Torm Sj I um trvlo brto cotdo sj um ução dd pr I {} Tmos s somt s strm os ts ltrs orm mbos us Dmostrção: Ddo como tão st tl qu s tmos oo s Tmbém s tão su qu ou sj tão ssm ou sj 4

7 Ddo como tão stm ts qu s tmos s tmos s tmos ou o qu mplc oo Emplos: Assm s m Dd ução dtrmr s possívl Sj ução dd por 4 s s Dtrmr s possívl s Sj ução dd por Dtrmr s possívl 4 Sj ução dd por s s Dtrmr s possívl 9 s 4

8 4 8- Ercícos Clculr os ts dcdos s strm; s os ts ão strm spccr rzão s 4 s s b s s c 5 Rsposts: ; 5; ão st; b ; ; ão st; c 7; 7; ão st Dd ução dd por s 5 s s Dtrmr R pr qu st Rsp: = Sj s 7 s Clculr: b c d Esboçr o ráco d Rsp: ; b ; c ; d 8; 8; 8 vro tto: Pás Cálculo d mts Forms Idtrmds Dzmos qu s prssõs são orms dtrmds Isso sc qu d podmos rmr por mplo sobr o t do quoct qudo td s são uçõs ts qu Pr comprovr sto vjmos: Sjm = = Tmos Sjm = = 4 Tmos 4 plcção dst últmo rsultdo o prómo tm Sobr s outrs orms dtrmds vrmos mplos ms dt

9 Emplo: Clculr os suts ts: 4 b c d h h h - Ercícos Pás 8 84 do lvro tto 4

10 - mts Itos Dçõs: Sj um ução dd m um trvlo brto I cotdo cto possvlmt m Dzmos qu qudo s prom d crsc tdmt scrvmos pr qulqur úmro M > str tl qu s tão M Em símbolos tmos: M ; M s Emplo: Alsdo o comportmto d ução dd por vmos qu os vlors d ução são cd vz mors à mdd qu s prom d Em outrs plvrs podmos torr tão rd quto dsjrmos sto é mor qu qulqur úmro postvo tomdo vlors pr bstt prómos d scrvmos Formlmt ddo M > sj S M M tão M M oo Sj um ução dd m um trvlo brto I cotdo cto possvlmt m Dzmos qu qudo s prom d dcrsc tdmt scrvmos s pr qulqur úmro M < str tl qu s tão M Em símbolos tmos: M ; M Emplo: Alsdo o comportmto d ução dd por vmos qu os vlors d ução são cd vz mors à mdd qu s prom d Em outrs plvrs podmos torr os vlors d tto mors quto dsjrmos sto é mors qu qulqur úmro tvo tomdo vlors pr bstt prómos d scrvmos Formlmt ddo M < sj S M M obtmos: M M M oo Obsrvção: Os símbolos + ão rprstm úmros rs os dcm ps o qu ocorr com ução qudo s prom d 44

11 mts ltrs tos M M M M ; ; ; ; M M M M Emplo: Obsrvdo o ráco d ução podmos rmr qu Torm 4 Sjm uçõs ts qu Etão: s qudo stá prómo d ; s qudo stá prómo d Obsrvção: Est torm cotu váldo s substturmos por ou por Emplo: Clculr os suts ts: d 5 b c 45

12 - mts o Ito Dçõs: Sj um ução dd m um trvlo brto + Dzmos qu qudo crsc tdmt s prom d scrvmos pr qulqur úmro > str N > tl qu s N tão Em símbolos tmos: N ; N s Emplo: Obsrvdo o comportmto d ução dd por vmos qu qudo crsc tdmt os vlors d ução s promm cd vz ms d sto é podmos torr tão prómo d quto dsjrmos s trburmos pr vlors cd vz mors scrvmos Formlmt ddo > tom N S > N obtmos: oo Sj um ução dd m um trvlo brto Dzmos qu qudo dcrsc tdmt s prom d scrvmos s pr qulqur úmro > str N < tl qu s Em símbolos tmos: N ; N N tão Emplo: Obsrvdo ovmt o comportmto d ução dd por vmos qu qudo dcrsc tdmt os vlors d ução s promm cd vz ms d sto é podmos torr tão prómo d quto dsjrmos s trburmos pr vlors cd vz mors scrvmos Formlmt ddo > tom N S < N obtmos: oo mts tos o to M M M M N ; N ; N ; N ; N N N N M M M M 46

13 Emplo: Obsrvdo o ráco d ução podmos rmr qu Obsrvção: As proprdds d ts são válds s substturmos por ou por Torms S c R tão c c c S é um tro postvo tão: ; b s é pr s é ímpr S é um tro postvo tão: ; b 4 S é um ução poloml tão m 5 S b b b bm bm são uçõs m m poloms tão b b m m Proprdds dos ts o to ts tos A tbl sur os dá um rsumo dos tos prcps váldos pr os ts volvdo tos od podmos tr ou N tbl + dc qu o t é zro ução s prom d zro por vlors postvos - dc qu o t é zro ução s prom d zro por vlors tvos 47

14 Emplo: Clculr os suts ts: b c 5 5 d 5 h Ercícos Pás do lvro tto cto º 4 48

15 4- Assítots Dçõs: A rt = é um ssítot vrtcl do ráco d ução s td pr + ou qudo td pr pl squrd ou pl drt ou sj s plo mos um ds suts rmçõs or vrddr: b c d A rt = b é um ssítot horzotl do ráco d ução s td pr b qudo td pr + ou ou sj s plos mos um ds suts rmçõs or vrddr: b b b A rt = + b é um ssítot cld do ráco d ução s plos mos um ds suts rmçõs or vrddr: b b b Emplos: A rt = é um ssítot vrtcl do ráco d pos ou tmbém As rts = = são ssítots horzots do ráco d pos A rt = é ssítot do ráco d 8 pos Torms dcos sobr ts Dção: Fução td Dzmos qu um ução dd o cojuto A é td m B A s str um úmro M > tl qu pr todo prtct B tmos M sto é M M Em símbolos tmos: é td m B M ; B M 49

16 Por mplo ução = cos é td m R pos cos pr todo rl; ução = + ão é td m R ms é td o trvlo [- ] pos + pr todo [- ] Torms: S tão st um trvlo brto I cotdo tl qu é td m I {} Cosrvção d Sl S tão st um trvlo brto I cotdo tl qu cosrv o msmo sl d m I {} Coroto ou Sduích S h s é um ução tl qu h pr todo I {} od I é um trvlo brto cotdo tão 4 S M com < M tão st um trvlo brto I cotdo tl qu m I {} 5 S é td m I {} tão Emplos: Clcul od s s Q Q Sj um ução dd m R tl qu pr todo justqu Clcul 5

17 Clcul s 6- mts Troométrcos Torms s s R cos cos R t t R k k Z s mt Troométrco Fudmtl: Dmostrção: Cosdrmos crcurêc d ro o ldo Sj mdd m rdos do rco AOM mtmos vrção d o trvlo Podmos scrvr: ' OA MM OA AM OA AT ár MOA ár stor MOA ár AOT MM ' AM AT s s t cos s cos s Pr o trvlo dsuldd cos é váld pos s s s cos cos s Portto dsuldd cos é váld pr s Como cos cos tão plo torm do coroto obtmos Emplo: Clculr os suts ts: s b s 5

18 c s d s4 t s s cos 7- mts d Fução Epocl Torms S R tão S R tão b b S R tão 4 S R tão 5 S R b c c tão b b 5

19 Emplo: Clculr os suts ts: b c d h 6 j k 4 l 8- mts d Fução orítmc Torms S R tão lo S R tão lo lo b od b b S R tão lo lo 4 S R tão lo lo 5 S R c tão lo lo lo c b b b 5

20 Emplo: Clculr os suts ts: lo b lo 4 c l d lo lo lo l h lo lo j 5 lo 4 6 k lo 4 l lo 5 4 m lo lo o 4 lo 6 9- mts Epocs Fudmts Torms Sj ução dd m R; ou Etão sdo o úmro rrcol pro Costt d Eulr cujo vlor promdo é Sj ução dd m R; Etão Dmostrção: Fzdo tmos qu + s somt s + - s somt s Assm Portto 54

21 Sj > tão l Dmostrção: Fzdo tmos qu: l l l l b l ; l Assm l l l l l l l l l l l l l l l l l l Emplo: Clculr os suts ts: b c d h 55

22 j k l m o 5 p l q lo r s l t u - Ercícos vro tto: Pás úmros 6 5 7; Pá 94 úmro 4; Pás

23 - Cotudd Dçõs Sjm um ução dd m um trvlo brto I um lmto d I Dzmos qu é cotíu m s Notmos qu pr lrmos m cotudd d um ução m um poto é cssáro qu st poto prtç o domío d ução D dção dcorr qu s é cotíu m I tão s três codçõs dvrão str ststs: Est ; Est ; Sjm um ução dd m um trvlo brto I um lmto d I Dzmos qu é dscotíu m s ão or cotíu m Obsrvmos tmbém qu pr lrmos m dscotudd d um ução m um poto é cssáro qu st poto prtç o domío d ução D dção dcorr qu s é dscotíu m I tão s dus codçõs dvrão str ststs: Est ; Não st ou Dzmos qu um ução é cotíu m um trvlo brto I s or cotíu m todos os potos dss trvlo 4 Sjm um ução dd m um trvlo brto I um lmto d I Dzmos qu é cotíu à drt d s dzmos qu é cotíu à squrd d s 5 Dzmos qu um ução é cotíu m um trvlo chdo b s or cotíu o trvlo brto b s tmbém or cotíu m à drt m b à squrd Emplos: dd m R é cotíu m pos A ução Not qu é cotíu m R pos pr todo R tmos: 57

24 s b A ução dd m R é dscotíu m pos 4 s 4 Not qu é cotíu m R {} pos pr todo R {} tmos: s c A ução s portto ão st dd m R é dscotíu m pos d N ução dd m R * ão podmos rmr qu é dscotíu m = pos ão prtc o domío d Obsrv qu é cotíu m R * pos pr todo R * tmos: s tão ; s tão 58

25 Proprdds ds Fuçõs Cotíus S são uçõs cotíus m tão são cotíus m s uçõs sdo st últmo cso Um ução poloml é cotíu pr todo úmro rl b Um ução rcol é cotíu m todos os potos d su domío c As uçõs = s = cos são cotíus pr todo úmro rl d A ução pocl = > é cotíu pr todo úmro rl Torm do t d ução compost Sjm uçõs ts qu b é cotíu m b Etão o b ou sj 4 S é cotíu m é cotíu m tão ução compost o é cotíu o poto 5 Sj um ução dd cotíu um trvlo I Sj J = Im S dmt um ução vrs = - : J I tão é cotíu m todos os potos d J Obs: A ução ução pocl : R R dd por lo é cotíu pos é vrs d * dd por * : R R 6 Torm do Vlor Itrmdáro S é cotíu o trvlo chdo b é um úmro rl tl qu b ou b tão st plo mos um b tl qu Obsrvçõs: Est torm os mostr por qu s uçõs cotíus m um trvlo muts vzs são cosdrds como uçõs cujo ráco pod sr trçdo sm lvtr o láps do ppl sto é ão há trrupçõs o ráco b Como cosqüêc dst torm tmos qu s é cotíu m b s b têm ss opostos tão st plo mos um úmro c b tl qu c Emplos: Dtrm um trvlo b 4 Sj 5 mos um rz rl justqu su rspost od tm plo Provr qu todo polômo d ru ímpr tm plo mos um rz rl - Ercícos Pás 4 do lvro tto 59