PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 9 a Fase Professora Maria Antônia Gouveia Questão Na impressão de 8 cópias de uma mesma prova, foram usadas duas impressoras, A e B, sendo que B trabalhou dez minutos a menos que A Se os tempos em que cada impressora trabalhou fossem trocados, A e B imprimiriam 8 e cópias, respectivamente Com base nessa informação, determine o tempo gasto por cada impressora e o número de cópias que cada uma imprimiu Informação Informação IMPRESSORA TEMPO N o de PRODUÇÃO POR UNIDADE cópias DE TEMPO (cópias/min) A t /t B t 8 (8 )/(t ) A Se, t então, 8 8/ (t ) B Se, t então, /t Comparando a produção de cada máquina nas duas informações tem-se o sistema: 8 t t 8 t t 8t 8t 6t t t t 6t 9t 8t 6 t t t 8 6 6 8t 8t 6 8t 9t t t t 8t 6 8 7 t RESPOSTA: A impressora A em minutos imprimiu cópias e a impressora B em minutos também imprimiu cópias
Questão Considere f() = log, g() e h() funções reais tais que, no sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico de g é obtido do gráfico de f através de uma translação de uma unidade, na direção do eio O, para a esquerda, seguida de uma translação de duas unidades, na direção do eio O, para cima; o gráfico de h é simétrico ao gráfico de g em relação ao eio O Com base nessas informações, determine os valores de que satisfazem a inequação h () > Se o gráfico de g() é obtido a partir do gráfico de f() = log através de uma translação de uma unidade, na direção do eio O, para a esquerda, seguida de uma translação de duas unidades, na direção do eio O, para cima, então g() = log (+) + Se o gráfico de h() é simétrico ao gráfico de g() em relação ao eio O, então h() = [log ( +) + ] Sendo h() = = log ( +) +, então a equação de h () será obtida a partir da de h(), trocando-se por : = log ( +) + log ( +) = + = = ( ) h () = ( ) A inequação h () > fica assim : ( ) > Resolvendo essa inequação: ( ) < ( ) < < < RESPOSTA: S = { R / < }
Questão Considere a função real f() = A + Bcos(m + ), com constantes, e com A e B Sabendo-se que o período de f é igual a, f() =, f e tg =, calcule f Sendo o período de f é igual a tem-se: m = m = f() = A + Bcos( + ) Sendo, e tg =, então podemos considerar o triângulo retângulo: Aplicando o conhecimento de razões trigonométricas ao triângulo retângulo ao lado, sen = e cos = 5 5 A Bcosα B A Sendo f() =, f π 5 A Bcos α A Bsenα B B A 5 5 B 5 f() 5cos( α) B A A 5 f = 5cos(α α) 5cosα 5(cos α sen α) f 55 = 5 5 5 RESPOSTA: f = 55
Questão Determine os valores de para que o sistema de equações z )z ( z seja possível e determinado possível e indeterminado impossível Dividindo os termos da primeira equação por e a seguir escrevendo a matriz completa do sistema: z )z ( z z )z ( z : Na matriz acima, substituindo L por L L e L por L L : Substituindo L por L ( )L : 6 ) ( Então temos a equivalência seguinte: z )z ( z 6]z [ )z ( z Para o sistema ser possível e determinado:
5 6 e Então para e o sistema é possível e determinado Para o sistema ser possível e indeterminado deve-se ter: 6 e ( ou ) e = O sistema será possível e indeterminado se = Na igualdade [ 6]z, substituindo por : ( 9 + + 6)z = + = 5 (proposição falsa) O sistema será impossível para = OUTRO MODO DE DESENVOLVER ESTA z ( )z z (Dividindo-se os termos da a equação por ): z ( )z (Calculando o determinante da matriz principal): z Δ ( ) 9 Δ Fazendo o sistema será possível e determinado 6 5 6 6 e O sistema será possível e determinado para R {, } Substituindo por e escalonando a matriz completa: (Substituindo a L por L L e a L por L L ):
(Substituindo a L por L L ): Sendo nula a terceira linha isso indica que para =, o sistema tem para solução: z z, 5z, o sistema será possível e indeterminado Substituindo por e escalonando a matriz completa: (Substituindo a L por L L e a L por L L ): (Substituindo a L por L +L ): 5 Analisando a terceira linha da matriz resultante percebe-se que a sua conclusão = 5 é uma proposição falsa Assim para =, o sistema é impossível Questão 5 Considere um trapézio ABCD em que a altura e a base menor CD medem b e seja P o ponto de intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos AD e BC Sendo h a medida da altura do triângulo DCP, relativa à base CD, e h b, determine a razão entre as áreas do triângulo ABP e do trapézio ABCD
b A partir da relação pode-se afirmar que os números b e h h são proporcionais aos números e, portanto pode-se considerar b =, h = e PE = b + h = 5 Sendo semelhantes os triângulos DCP e ABP e PE PF h b 5 5 SABP 5 SABP 5 h S 9 S S 6 RESPOSTA: A razão S S DCP ABP ABCD 5 6 ABP DCP Questão 6 No sistema de coordenadas cartesianas, as curvas E e C satisfazem as seguintes propriedades: Para qualquer ponto Q(, ) de E, a soma das distâncias de Q(, ) a F, e de Q(, ) a F, é constante e igual a uc C é uma parábola com vértice na interseção de E com o semi-eio positivo O e passa por F Com base nessas informações, determine os pontos de interseção de E e C Como para qualquer ponto Q(, ) de E, a soma das distâncias de Q(, ) a F, e de Q(, ) a F, é constante e igual a uc, então E é uma elipse de focos F e F, cuja distância focal c = Sendo Q F +Q F = a a = a = Sendo a = b + c = b + b = b = A equação de E é: Como o vértice da parábola C é o ponto (,) interseção de E com o semi-eio positivo O, o seu gráfico é simétrico em relação a esse eio, e a sua equação é da forma = a + e é uma função par Logo se essa parábola passa pelo ponto F, também passa pelo ponto F, e a sua equação pode ser representada da seguinte forma:
a a a a a ) )( a( ) )( a( Assim a equação de C é: = Para determinar os pontos de intercessão das duas curvas deve-se resolver o sistema: ou '' ' 8 5 para e 5 6 Para Assim os pontos de interseção das duas curvas são os pontos: ) (, e, 5,, 5