Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais

Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil Primeiro Semestre, 2012 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 1 / 25

Experimentos Aleatórios Considere os seguintes experimentos : Verificar a velocidade da luz no vácuo. Adicionar NaOH a HCl. Sorteio da Mega-Sena. Testar o tempo de vida um equipamento. Investigar a respeito do nível de satisfação de clientes. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 2 / 25

Experimento Aleatório. Espaço Amostral Definição (Experimento Aleatório) Um experimento aleatório é todo aquele cujos resultados não podem ser previstos (com certeza) antes da execução do mesmo. Definição (Espaço Amostral) O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Denotaremos por Ω este conjunto. Exemplo Experimento Espaço amostral (Ω) Lançamento de um dado {1,2,3,4,5,6} Pesquisa de satisfação { regular, bom, ótimo } Risco econômico de Crédito { baixo, médio, alto } Temperatura no Verão Ω = [10 o,60 o ] C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 3 / 25

Conjuntos Conjuntos Seja Ω um conjunto não vazio de elementos chamados elementos e que são genericamente denotados por ω. Algumas das operações usuais e relações entre conjuntos juntamente com a notação usual são dadas: União: E F, n E n. Interseção: E F, n E n. Diferença: E \F = {e E : e / F}. Complemento: E c = Ω\E. Diferença simétrica: E F = (E \F) (F \E). Singleton (conjunto unitário): {ω}. estar contido : E F, F E, A B. pertencer : ω E, E A. Conjunto vazio:. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 4 / 25

Diagramas de Venn Conjuntos C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 5 / 25

Diagramas de Venn - Cont. Conjuntos C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 6 / 25

Eventos Eventos Definição (Família de eventos) Seja Ω um espaço amostral. Denominaremos por evento todo subconjunto A Ω. Denotaremos por A a família de eventos de um espaço amostral. Para tal família exigiremos algumas propriedades: 1 e Ω pertencem a A. 2 Se A A, então A c A. 3 Se A 1,A 2,... A então k A k A. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 7 / 25

Relações entre conjuntos Eventos Relembre: (a) (A B) c = A c B c (b) (A B) c = A c B c (c) A = (d) c = Ω, Ω c = (e) A A c = Ω (f) A A c = (g)a = A, A Ω = Ω (h) A (B C) = (A B) (A C) (i) A (B C) = (A B) (A C). Tabela: Operações com conjuntos. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 8 / 25

Um exemplo Experimentos Aleatórios; Espaços Amostrais Eventos Exemplo Vamos considerar um experimento (aleatório) simples: o lançamento de uma moeda! Bem, o espaço amostral é Ω = {K = cara, C = coroa }. (1.1) Uma família de eventos pode ser explicitada por: { } A =,{K},{C},{K,C}. O que significa cada evento? C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 9 / 25

Probabilidade Experimentos Aleatórios; Espaços Amostrais Probabilidade Vamos, agora, introduzir o conceito de probabilidade. Primeiramente, consideremos a ideia comum sobre esta função: A probabilidade de um acontecimento é a chance de tal acontecimento ocorra. Que medida usar? Seja Ω o espaço amostral de um determinado experimento e A a família de eventos. Se Ω tem um número finito de elementos, escrevemos para qualquer evento A A: Ou de outra forma, P(A) = P(A) = número de elementos de A número de elementos de Ω. (1.2) número de casos favoráveis a A número de casos possíveis (1.3) C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 10 / 25

De maneira mais rigorosa, definimos: Definição Probabilidade Seja (Ω,A) a representação do espaço amostral e da família de eventos definidas para um experimento. Então uma função P : A R A P(A) (1.4) que associa a cada evento A A a um número real, é uma função de probabilidade sobre a família de eventos se ela satisfaz: 1 0 P(A) 1, para todo A A. 2 Se A B e A,B A, então P(A) P(B). 3 Se A 1,A 2,... A e A i A j =, i j: P i 1A i = 1 P(A i ). (1.5) C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 11 / 25

Probabilidade Observação Uma propriedade mais geral para a função de probabilidade é que se A e B são eventos quaisquer: P(A B) = P(A)+P(B) P(A B), (1.6) considerando que a interseção entre os dois eventos não é vazia. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 12 / 25

Espaço de Probabilidade Definição A tripla (Ω,A,P) é chamada espaço de probabilidade, em que Ω é o espaço amostral associado a algum experimento (aleatório), A sua família de eventos (subconjuntos de Ω) e P a função de probabilidade definida sobre A, ou seja, é a função satisfazendo: 1 0 P(A) 1, para todo A A. 2 Se A e B são eventos tais que A B, então P(A) P(B). 3 Se A e B são eventos mutuamente disjuntos, então P(A B) = P(A)+P(B). Este será nosso ambiente de trabalho! C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 13 / 25

Espaço de Probabilidade Probabilidade Condicional Definição Sejam A e B eventos em um determinado espaço de probabilidade (Ω,A,P). Define-se por: P(A B) = P(A B) P(B) (1.7) a probabilidade condicional do evento A dado que o evento B ocorreu. Figura: A probabilidade condicional: reescalonando o espaço amostral. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 14 / 25

Independência Independência Definição Dizemos que dois eventos A e B em A são independentes se P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B). (1.8) Equivalentemente, A e B são eventos independentes se: P(A B) = P(A B) P(B) P(A) = P(A B) P(B) P(A B) = P(A) P(B) (1.9) C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 15 / 25

Independência Exemplo Numa urna são colocadas 3 bolas vermelhas (V) e 7 bolas azuis (A). Uma pessoa produz o seguinte experimento: são retiradads 3 bolas da urna e anotadas suas cores. Neste caso temos: Ω = {(c 1,c 2,c 3 ) : c i {V ou A}}, ou seja, o espaço amostral é o conjunto das triplas (listas com três elementos) cujas entradas são azul (A) ou vermelho (V). Explicitamente: { } (A,A,A), (A,A,V), (A,V,A), (V,A,A), Ω =. (A,V,V), (V,A,V), (V,V,A), (V,V,V) A = {,{(A,A,A)},{(A,A,V)},...,{(A,A,A),(A,A,V)},...,Ω}. E a função de probabilidade? Observe a Figura a seguir. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 16 / 25

Independência Observe que podemos fazer, por exemplo: P(c 1,c 2,c 3 ) = P(c 1 ) P(c 2 c 1 ) P(c 3 c 1,c 2 ) em que c i = A ou V, i = 1,2,3. Então, teremos: P(V,V,V) = 3 10 2 9 1 8 = 1 120 P(A,A,A) = 7 10 6 9 5 8 = 7 24 Vamos calcular as outras probabilidades na próxima página. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 17 / 25

Independência Exemplo Continuando, o próximo evento que deve ter sua probabilidade calculada é sorteio de duas boas azuis e uma vermelha. Este evento é representado pelos elementos do espaço amostral descritos como: (A,A,V), (A,V,A) e (V,A,A). Nesse caso, teremos: P( 2 (A) e 1 (V) ) = P({(A,A,V)} {(A,V,A)} {(V,A,A)}) = P({(A,A,V)}+P({(A,V,A)})+P({(V,A,A)}) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(V 3 A 1,A 2 ) +P(A 1 ) P(V 2 A 1 ) P(A 3 A 1,V 2 ) +P(V 1 ) P(A 2 V 1 ) P(A 3 V 1,A 2 ) = 7 10 6 9 3 8 + 7 10 3 9 6 8 + 3 10 7 9 6 8 = 21 40 Da mesma forma temos que P( 1 (A) e 2 (V) ) = 7 40. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 18 / 25

Independência Observações Devemos fazer várias observações: No exemplo, usamos o fato que o sorteio de três bolas não tem resultados diferentes se retirarmos uma bola de cada vez ou se retiramos as três bolas ao mesmo tempo. Quando numeramos cada bola, somente o fizemos por uma questão de organização. A característica relevante de cada bola é sua cor. Para calcular as probabilidades de cada evento, usamos uma extensão da definição de probabilidade condicional que podemos reescrever como: sejam A 1,A 2,...,A n eventos em Ω, então ( n ) ( P A i = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P A n i=1 n 1 i=1 A i ) C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 19 / 25

Independência Observações Usamos no exemplo uma notação muito comum na área e que adoraremos como padrão. É o uso de conectores lógicos para representar relação entre conjuntos: Operador (conjunto) Conector Lógico (união) OU (interseção) E \ (diferença) NÃO Uma outra convenção que foi utilizada no exemplo foi o de se usar a vírgula no lugar da interseção, ou seja (A B) = (A,B) = (A e B). C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 20 / 25

Teoria Bayesiana Figura: Partição do espaço amostral (k = 7). C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 21 / 25 Teoria Bayesiana Definição (Partição do espaço amostral) Os eventos C 1,C 2,...,C k formam uma partição do espaço amostral se eles não têm interseção dois-a-dois e se sua união é igual a todo espaço (Fig. abaixo), ou seja, C i C j =, para i j, e k C i = Ω. (1.10) i=1

Teoria Bayesiana Figura: Esboço Teorema de Bayes. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 22 / 25 Teorema (Bayes) Suponha que C 1,...,C k seja uma partição de Ω e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha, ainda, que para todo evento A, se conheçam as probabilidades P(A C i ) para todo i = 1,...,k. Então para qualquer j = 1,...,k: P(C j A) = P(A C j) P(C j ) k i=1 P(A C (1.11) i)p(c i ) A

Teoria Bayesiana Exemplo - Aplicação do Teorema de Bayes Suponha que um determinado reagente químico seja produzido por 4 diferentes fábricas (de uma mesma empresa), de modo que sua produção seja dada pela Tabela: Fábrica F 1 F 2 F 3 F 4 Produção (em litros) 1000 1600 800 600 Tal reagente pode ser classificado considerando algumas propriedades físico-químicas em três classes de qualidade: BAIXO (abaixo do padrão); PADRÃO (dentro do padrão); ALTO (acima do padrão). C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 23 / 25

Teoria Bayesiana Aplicação do Teorema de Bayes Cont. Digamos que os seguintes índices de qualidade são obtidos para cada uma das plantas para embalagens de 1 litro de tal reagente: Controle Fábrica ABAIXO PADRÃO ACIMA F 1 1% 99% F 2 0,5% 96,5% 3% F 3 1,5% 95% 3,5% F 4 2% 97% 1% As embalagens de tal reagente não podem ter sua origem identificada. Seria possível responder à seguinte questão: sabendo que uma embalagem comprada por um laboratório (que testa a qualidade dos reagentes) estava abaixo do padrão, qual é a probabilidade de que esta tenha vindo da Fábrica F 1? C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 24 / 25

Teoria Bayesiana Aplicação do Teorema de Bayes Cont. Bem, em cada fábrica temos a seguinte partição da produção: Neste contexto, temos, p.ex., P(baixo F 1 ) = 1%,..., P(alto F 4 ) = 1%. Baixo Padrão Alto A questão é P(F 1 BAIXO). Pelo Teorema de Bayes: P(F 1 BAIXO) = P(F 1) P(BAIXO F 1 ) 4 i=1 P(F i) P(BAIXO F i ) 0,25 0,01 = 0,25 0,01+0,4 0,005+0,20 0,015+0,15 0,02 = 0,2381 ou 23,81%. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios 2012-1 25 / 25