Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEGM, LEIC-A, LEIC-T, MA, MEMec Justifique coveietemete todas as respostas 2 o semestre 208/209 04/05/209 9:00 o Teste A 0 valores. As amostras de betão proto produzidas por uma cimeteira são sujeitas a três testes (A, B e C ) cujos resultados são mutuamete idepedetes. Supoha que a probabilidade de se obter um resultado positivo é igual a 0.4, 0.8 e 0.7, para os testes A, B e C (respetivamete). (a) Determie a probabilidade de pelo meos um dos três testes coduzir a um resultado positivo. (3.0) Quadro de acotecimetos e probabilidades Acotecimeto Probabilidade A teste A positivo} P(A) 0.4 B teste B positivo} P(B) 0.8 C teste C positivo} P(C ) 0.7 Uma vez que os evetos A, B e C são mutuamete idepedetes, tem-se P(A B) P(A) P(B) P(A C ) P(A) P(C ) P(B C ) P(B) P(C ) P(A B C ) P(A) P(B) P(C ). Cosequetemete, P(A B C ) P(A) + P(B) + P(C ) P(A B) P(A C ) P(B C ) + P(A B C ) P(A) + P(B) + P(C ) P(A) P(B) P(A) P(C ) P(B) P(C ) +P(A) P(B) P(C ) 0.4 + 0.8 + 0.7 0.4 0.8 0.4 0.7 0.8 0.7 + 0.4 0.8 0.7 0.964. (b) Calcule a probabilidade de se obter resultado positivo o teste A sabedo que o resultado foi (2.0) positivo o teste B ou o teste C. P[A (B C )] idep.mútua P[A (B C )] P(B C ) P[(A B) (A C )] P(B) + P(C ) P(B C ) P(A B) + P(A C ) P[(A B) (A C )] P(B) + P(C ) P(B C ) P(A B) + P(A C ) P(A B C ) P(B) + P(C ) P(B C ) P(A) P(B) + P(A) P(C ) P(A) P(B) P(C ) P(B) + P(C ) P(B) P(C ) P(A) [P(B) + P(C ) P(B) P(C )] P(B) + P(C ) P(B) P(C ) P(A) 0.4. Págia de 6
[Alterativamete: ao admitir-se que os evetos A, B e C são mutuamete idepedetes, A e (B C ) são também evetos idepedetes, logo P[A (B C )] P(A) 0.4.] 2. A variável aleatória X, que represeta o primeiro algarismo do tempo (em segudo) que decorre etre dois evetos sísmicos cosecutivos em determiada região europeia, possui a seguite fução de probabilidade: x 2 3 4 5 6 7 8 9 P(X x) 0.30 0.8 0.2 0.0 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 (a) Qual é a probabilidade de este primeiro algarismo ser igual a um, sabedo que ão excede três? (.5) Variável aleatória de iteresse X o. algarismo do tempo etre dois evetos sísmicos cosecutivos F.p. de X Ver tabela do euciado. Prob. pedida P(X X 3) P(X, X 3) P(X 3) P(X ) 3x P(X x) 0.30 0.30 + 0.8 + 0.2 0.30 0.60 0.5. (b) Obteha a mediaa de X. (.5) Mediaa de X Represete-se a mediaa de X por me. Etão me : 2 F X (me) + P(X me) 2 () 2 F X (me) 2 + [F X (me) F X (me ) F X (me ) 2 F X (me). (2) Tirado partido da defiição de mediaa em () e de 2 F X (3) (a) 0.6 2 + P(X 3) + 0.2 0.62 2 cocluímos que me 3. [A prova da sua uicidade é deixada como exercício.] [Em alterativa, otemos que F X (3) P(X 3) (a) 0.60 2 ; mais, F X (2) F X (3 ) (a) 0.30 + 0.8 0.48 2. Logo o resultado (2) leva-os a cocluir que me 3.] (c) Calcule a probabilidade de, em 20 registos efetuados de modo idepedete essa mesma região (2.0) europeia, o úmero total de registos de tempo com primeiro algarismo igual a exceder 4. Variável aleatória de iteresse Y o. de registos de tempo com o. algarismo igual a, em 20 registos idepedetes Distribuição de Y Y biomial(, p), com 20 e p P(X ) 0.30. F.p. de X P(Y y) ( 20) y 0.30 y ( 0.30) 20 y, y 0,,...,20 Págia 2 de 6
P(Y > 4) P(Y 4) ( ) 4 20 0.30 y ( 0.30) 20 y y y0 F biomi al (20,0.30) (4) tabel a/calc. 0.2375 0.7625. Grupo II 0 valores. A rede iformática itera de um baco fucioa permaetemete. Cosidere que o tempo (em miuto) de utilização desta rede por um utilizador auteticado é uma variável aleatória X com fução de distribuição dada por: F X (x) e x 75, x > 0 0, caso cotrário. (a) Obteha a probabilidade de o tempo de utilização X ser superior a 30 miutos e iferior a 3 horas. (.5) V.a. X tempo de utilização da rede iformática por utilizador auteticado F.d. de X F X (x) e x 75, x > 0 0, c.c. P(30 < X < 80) F X (80) F X (30) ) ( e 80 75 ( e e 0.4 e 2.4 0.38866. 30 75 ) (b) Tedo em cota que E(X ) 50 e V (X ) 2500, obteha um valor aproximado para a (3.0) probabilidade de o tempo médio de utilização da rede por 36 utilizadores auteticados ser superior a 2 horas. V.a. X i tempo de utilização da rede iformática pelo utilizador auteticado i, 36 i,..., Distribuição, valor esperado e variâcia comus i.i.d. X i X, i,..., E(X i ) E(X ) µ 50, i,..., V (X i ) V (X ) σ 2 2500, i,..., V.a. de iteresse X i X i tempo médio de utilização da rede por utilizadores auteticados Valor esperado e variâcia de X E( X ) E ( i X ) i V ( X ) V ( i X i ) Xi idep. i E(X i ) X i X E(X ) E(X ) µ 2 i V (X i ) X i X V (X ) V (X ) 2 σ2 Págia 3 de 6
Distribuição aproximada de X Pelo teorema do limite cetral (TLC) pode escrever-se X E( X ) V ( X ) X µ σ/ a Normal(0,). Valor aproximado da prob. pedida P( X > 20) P( X 20) ( X µ P σ/ 20 µ ) σ/ T LC 20 50 Φ 2500 36 Φ( 0.54) Φ(0.54) tabel a/calc. 0.7054. 2. No processo de obteção da cor desejada para uma tita, defiem-se as seguites variáveis aleatórias: o úmero de acertos fiais levados a cabo por um computador (X ) e o úmero de acertos fiais efetuados maualmete por um operário especializado (Y ). Na tabela seguite apreseta-se de forma icompleta a fução de probabilidade cojuta de X e Y : Y X 0 a 0.48 2 0 0.8 3 b 0. (a) Sabedo que P(Y 0 X ) 0.2, mostre que a b 0.2. (.5) Par aleatório (X, Y ) X o. de acertos fiais levados a cabo por computador Y o. de acertos fiais efetuados maualmete por operário especializado F.p. cojuta e f.p. margiais P(X x,y y), P(X x) y P(X x,y y) e P(Y y) x P(X x,y y) ecotram-se sumariadas a tabela seguite: Y X 0 P(X x) a 0.48 a + 0.48 2 0 0.8 0.8 3 b 0. b + 0. P(Y y) a + b 0.76 Obteção de a e b x y P(X x,y y) (a,b) : P(Y 0 X ) 0.2 a + b + 0.76 P(X,Y 0) P(X ) 0.2 a a+0.48 0.2 b 0.76 a a 0.2 0.48 0.8 Págia 4 de 6
(a,b) : a 0.2 b 0.76 0.2 0.2 (b) Calcule a probabilidade de o úmero total de acertos fiais exceder 2. (.5) V.a. de iteresse X + Y úmero total de acertos fiais Prob. pedida P(X + Y > 2) P(X 2,Y ) + P(X 3,Y 0) + P(X 3,Y ) 0.8 + b + 0. 0.4. (c) Obteha a variâcia do úmero total de acertos fiais. (2.5) Variâcia pedida Pretede calcular-se V (X + Y ) V (X ) +V (Y ) + 2 cov(x,y ) V (X ) +V (Y ) + 2 [E(X Y ) E(X ) E(Y )]. Logo são ecessários algus cálculos auxiliares que evolverão as f.p. cojuta de (X,Y ) e margiais de X e Y obtidas a alíea (a). Y X 0 P(X x) 0.2 0.48 0.6 2 0 0.8 0.8 3 0.2 0. 0.22 P(Y y) 0.24 0.76 Valor esperado e variâcia de X 3 E(X ) x P(X x) x 0.6 + 2 0.8 + 3 0.22.62 V (X ) E(X 2 ) E 2 (X ) 3 x 2 P(X x) E 2 (X ) x ( 2 0.6 + 2 2 0.8 + 3 2 0.22 ).62 2 0.6756 Valor esperado e variâcia de Y E(Y ) y P(Y y) y0 0 0.24 + 0.76 0.76 V (Y ) E(Y 2 ) E 2 (Y ) y 2 P(Y y) E 2 (Y ) y0 ( 0 2 0.24 + 2 0.76 ) 0.76 2 0.76 0.76 2 0.824 Págia 5 de 6
[Ou etão: Y Beroulli(0.76) logo E(Y ) f or m 0.76 e V (Y ) f or m 0.76 ( 0.76) 0.824.] Valor esperado de X Y 3 E(X Y ) x y P(X x,y y) Covariâcia x y0 0.48 + 2 0.8 + 3 0..4 cov(x,y ) E(X Y ) E(X ) E(Y ).4.62 0.76 0.092 Variâcia pedida (cot.) V (X + Y ) V (X ) +V (Y ) + 2 cov(x,y ) 0.6756 + 0.824 + 2 ( 0.092) 0.6756. Págia 6 de 6