CÔNICAS
Cônicas
ELIPSE Cônicas 3
DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 )+d(p,f )=a. Cônicas 4
ELIPSE Cônicas Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(p, F1) + d(p, 5 F) = a
ELIPSE Cônicas 6
Elementos da Elipse Focos: são os pontos F 1 e F, Distância Focal: é a distância c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F, Vértices: são os pontos A 1, A, B 1 e B, Eixo maior: é o segmento A 1 A de comprimento a ( o segmento A 1 A contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse), Eixo menor: é o segmento B 1 B de comprimento b (B 1 B ḻ A 1 A no seu ponto médio). Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1. Cônicas 7
Equação Reduzida da Elipse Eixo maior sobre o eixo dos x: x a Eixo maior sobre o eixo dos y x b y b y a 1 1 Relação fundamental: a b c Cônicas 8
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F = (c, 0) é x a y b 1 Cônicas 9
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: a c Cônicas 10
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos y: Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F = (0, c) é x b y a 1 Cônicas 11
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y: c a Cônicas 1
OBSERVAÇÕES Como a b c temos que a b a. b Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida representa o número onde a é a medida do semi-eixo maior. a E mais, se na equação da elipse o número a é denominador de, a elipse tem seu eixo maior x sobre o eixo x. Cônicas 13
HIPÉRBOLE Cônicas 14
DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F chamamos hipérbole o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 ) - d(p,f ) =a (0<a<c, c= d(f 1,F ) ). Cônicas 15
Elementos da Hipérbole Focos: são os pontos F 1 e F, Distância Focal: é a distância c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F, Vértices: são os pontos A 1 e A, Eixo Real ou transverso: é o segmento A 1 A de comprimento a, Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B 1 B de comprimento b, Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. c a b Cônicas 16
Equação Reduzida da Hipérbole Eixo real sobre o eixo dos x: x a y b 1 Eixo real sobre o eixo dos y: y a x b 1 Cônicas 17
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x: Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F = (c, 0) é x a y b 1 Cônicas 18
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x: Cônicas 19
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y: Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F = (0, c) é y a x b 1 Cônicas 0
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y: Cônicas 1
As retas y b a x Assíntotas são chamadas assíntotas da hipérbole. São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez Cônicas mais à medida que os pontos se afastam dos focos.
PARÁBOLA Cônicas 3
Parábola Dados um ponto F e uma reta d, com F d, seja p = d(f,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(p,f)= d(p,d). Cônicas 4
Parábola Cônicas 5
Elementos da Parábola Foco: é o ponto F, Diretriz: é a reta d, Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz, Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo, d(v,f)=d(v,a) Cônicas 6
Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos y: x py Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e se p<0 a parábola tem concavidade Cônicas 7 voltada para baixo.
Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos x: y px Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. Cônicas 8