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A Abreviações BER BITE CDMA CP DAB DFT DMT DSL DVB ERB ESA FDM FFT IBI ICI IDFT MIMO ML MMSE MSE OFDM PAPR RD RI SC VA ZP Bit Error Rate Busca Iterativa Code Divisio Multiple Access Cyclic Prefix Digital Audio Broadcastig Discrete Fourier Trasform Discrete Multitoe Digital Subscriber Lies Digital Video Broadcastig Estação Rádio-Base Estacioário o Setido Amplo Frequecy Divisio Multiplexig Fast Fourier Trasform Iter-Block Iterferece Iter-Carrier Iterferece Iverse Discrete Fourier Trasform Multiple Iput, Multiple Output Maximum Likelihood Miimum Mea Squared Error Mea Squared Error Orthogoal Frequecy Divisio Multiplexig Peak to Average Power Ratio Ruído de Distorção Ruído de Iterpolação Sigle Carrier Variável Aleatória Zero Paddig
B Operadores Matemáticos a a A a[i] A[i, j] I K escalar vetor matriz i-ésimo elemeto de a (i,j)-ésimo elemeto de A matriz idetidade de tamaho K 0 K J matriz de zeros com tamaho especificado pelo sub-escrito 1 K J matriz de 1 s com tamaho especificado pelo A a diag {a} sub-escrito cardialidade do cojuto A módulo do escalar a matriz com a a diagoal pricipal ( ) cojugado de um úmero ( ) T trasposta de uma matriz ( ) pseudo-iversa de uma matriz ( ) 1 iversa de uma matriz ( ) H hermitiao de uma matriz E [ ] tr { } F [A] li i [A] col i a a N(x, y) R{ } valor esperado traço de uma matriz orma de Frobeius i-ésima liha de A i-ésima colua de A arredodar para meor iteiro arredodar para o maior iteiro variável aleatória gaussiaa de média x e variâcia y parte real de um complexo
C Cálculos para o MMSE C.1 MSE Seja o MSE temporal da estimação MMSE, i.e. [ h mse mmse, = E ĥmmse, 2]. (C-1) Usado (3-26), obtemos [ V ( ) ] 1 mse mmse, = E F H S H w p, σdiag {γ} 1 h 2 { = tr V [E [ 1 F HLS ] H w p w Hp S F L + E [ σ 2 diag {γ} 1 hh H diag {γ} 1]] } V 1,H { = tr V 1 [ σf H LD F L + σ 2 diag {γ} 1] V 1,H }. (C-2) Aqui usamos E [ ] w p wp H = σikp e E [ ] h h H = diag {γ}, como já defiido o texto. Seguimos idetificado que V 1 = V 1,H e reduzido (C-2) a ode usamos a defiição de V. { } mse mmse, = tr V 1 σvv 1,H = σtr { } V 1, (C-3) Cosidere agora o MSE da estimação de um determiado tom da resposta de freqüêcia do caal: [ MSE k mmse, = E q k ˆq mmse, k 2]. (C-4)
Apêdice C. Cálculos para o MMSE 91 Cosiderado (3-27), obtemos [ ( ) ] MSE k mmse, = E f k V 1 F H L S H w p, σdiag {γ} 1 h 2 { = tr f k V [E [ 1 F HLS ] H w p w Hp S F L + E [ σ 2 diag {γ} 1 hh H diag {γ} 1]] (f k ) H V 1,H }. (C-5) A solução de (C-5) é muito parecida com a de (C-2): MSE k mmse, = f k V 1 (f k ) H. (C-6) C.2 Filtro de Wieer Precisamos calcular a matriz R YY e o vetor R hy levado em cota as características do MMSE. Primeiramete, temos R YY = E [YY] = E [ (H + W) H (H + W) ] = E [ H H H ] + 2R { E [ H H W ]} + E [ W H W ], (C-7) }{{}}{{}}{{} A B C ode H é dado por (3-35) e W é dado por (3-49) e R{ } deota a parte real de um elemeto. A solução de A é fácil pois já foi visto que E [ H H H ] = R hh,t. Partimos agora para a solução de B e C. B = 2R { E [ H H W ]} R{tr { V 1 diag {γ} 1 E [ ]} h h H } = 2σ R{tr { V 1diag {γ} 1 E [ ]} h 1 h H }..... (C-8) Sedo E [ h h H i] = diag {γ} Rh,t [i], simplificamos (C-8) para B = 2σtr { V 1} R hh,t. (C-9) Aqui cosideramos os pilotos costates o tempo, ou seja, p i = p j i,j, o que implica em V 1 i Agora falta C. = V 1 j i, j. C = E [ W H W ] (C-10) Essa variável terá duas parcelas, represetadas respectivamete por C 1 e C 2.
Apêdice C. Cálculos para o MMSE 92 Cosideramos de ovo pilotos costates o tempo. Temos tr { V 1 F H L SH E [ w p, wp,] H SFL V 1} 0 C 1 =... 0 tr { } ( ) M+1 = σtr { V 1 UV 1} I M, (C-11) e σ 2 tr { V 1 diag {γ 1 } E [ ] h h H diag {γ} 1 V 1} C 2 = σ 2 tr { V 1 diag {γ 1 } E [ ] h 1 h H diag {γ} 1 V 1}.... = σ 2 tr { V 1 diag {γ} 1 V 1} R hh,t. (C-12) Fialmete, combiado A com (C-9), (C-11) e (C-12), chegamos a R YY = R hh,t (1 2σtr { V 1} + σ 2 tr { V 1 diag {γ} 1 V 1}) + σtr { V 1 UV 1} I M. (C-13) A solução de R hy é mais fácil. R h Y = [R hh,t ] col 1 ( 1 σtr { V 1}). (C-14) C.3 MSE para MMSE mais filtro de Wieer Seja mse mmse+w, = E [ h ĥ 2], (C-15) com ĥ = Yλ e com o filtro λ calculado especificamete para o MMSE. Usado (3-27), obtemos mse mmse+w, = E[ h λ[i]h i + λ[i]σv 1 i ( F H L S H iw p, diag {γ} 1 h i ) 2 ]. (C-16) É fácil ver que dois dos termos do MSE resultate são dados por λ R hh,t λ e por σ λ[i] 2 tr { V 1 i}. Há, porém, mais um termo, que chamaremos de
Apêdice C. Cálculos para o MMSE 93 D, dado por D = E[ h λ[i]h i λ[i]v 1 i σdiag {γ} 1 h i 2 ]. (C-17) Notamos que podemos escrever e h [ D = σe = σtr = σtr { λ [i]h H i j=0 { j=0 λ[i]h i = j=0 λ [i]h i λ[j]v 1 j diag {γ} 1 h j ] λ [i]λ[j]v 1 j diag {γ} 1 E [ ] } h j h H i (C-18) λ [i]λ[j]v 1 j R h,t[ i j ] }. (C-19) Se cosiderarmos pilotos costates o tempo, podemos retirar o termo V 1 do somatório. Obtemos { D = σtr Fialmete, coseguimos V 1 j=0 = σ(λ ) T R hh,t λtr { V 1 λ [i]λ[j]r h,t [ i j } ] } (C-20) mse mmse+w, = (λ ) T R hh,t λ + σ λ[i] 2 tr { } V 1 i σ(λ ) T R hh,t λtr { } V 1. Na freqüêcia, tom k, obtemos MSE k mmse+w, = (λ ) T R hh,t λ + σ λ[i] 2 f k V 1 i (fk ) H + (C-21) σf k V 1 (f k ) H (λ ) T R hh,t λ. (C-22)