5 Valdação dos Elementos Para valdar os elementos fntos baseados nas Wavelets de Daubeches e nas Interpolets de Deslaurers-Dubuc, foram formulados dversos exemplos de análse lnear estátca, bem como o cálculo de freqüêncas naturas de vbração e cargas crítcas de flambagem de colunas com dferentes condções de contorno. O fenômeno de propagação de ondas numa barra também fo smulado. 5.1. Análse Estátca Para a valdação dos elementos wavelet na análse lnear estátca, foram elaborados alguns exemplos, com dferentes carregamentos e condções de contorno. Foram testados elementos obtdos a partr das funções Wavelet de Daubeches e das Interpolets de Deslaurers-Dubuc. Os resultados são apresentados em forma admensonal e comparados com os obtdos a partr de um elemento polnomal cúbco. Pode-se notar que, ao menos qualtatvamente, os elementos propostos têm resposta condzente com os resultados analítcos. 5.1.1. Coluna sob Ação do Peso Própro A fg. (28) mostra o esquema estrutural de uma coluna sob ação do seu peso própro modelada por um elemento de trelça submetdo a uma carga axal unformemente dstrbuída. Para este exemplo smples foram utlzadas a wavelet DB6 e a nterpolet IN4, levando em conta que a resposta exata da equação dferencal é um polnômo do segundo grau. A fg. (29) mostra os resultados para os deslocamentos nos pontos calculados. Nota-se que não há dstnção entre os valores exatos e os obtdos por wavelets e nterpolets, já que o erro relatvo é da ordem de 10-13 para a DB6 e de 10-14 para a IN4.
Valdação dos Elementos 118 Fgura 28 Esquema estrutural de uma coluna sob ação de seu peso própro Fgura 29 Resultados para o deslocamento da coluna sob peso própro Pelas expressões a segur, o deslocamento e a tensão normal em qualquer ponto da coluna podem ser calculados a partr das funções de forma: u( ξ) = u N ( ξ) σ ( ξ) = Eε ( ξ) = E u N ( ξ) x x (5.1) Sabe-se que, para elementos de trelça lneares, a resposta em tensão é constante e, portanto, não é possível reproduzr a resposta exata do problema com
Valdação dos Elementos 119 apenas um elemento. São necessáros város elementos lneares ou apenas um elemento quadrátco. A reação de apoo na base da coluna é calculada de forma exata para todos os casos, nclusve para um elemento lnear apenas. 5.1.2. Vga sob Ação do Peso Própro Consderando que uma vga submetda a um carregamento unformemente dstrbuído tem como resposta analítca de deslocamento um polnômo do quarto grau, para este exemplo, mostrado na fg. (30), foram utlzadas a wavelet DB10 e a nterpolet IN6 por serem capazes de representar exatamente esta resposta polnomal. Fgura 30 Esquema estrutural de uma vga bapoada sob ação de seu peso própro Fgura 31 Deslocamentos para a vga bapoada sob peso própro
Valdação dos Elementos 120 Para a nterpolação do deslocamento, rotação, momento fletor e esforço cortante são utlzadas as funções de forma e suas dervadas prmera, segunda e tercera, respectvamente: w( ξ) = u N ( ξ) θξ ( ) = un ( ξ) M( ξ ) = EI u N ( ξ ) Q( ξ ) = EI u N ( ξ ) (5.2) A fg. (32) mostra o resultado da nterpolação do momento fletor em alguns pontos para os elementos testados. Pode-se perceber que não há dstnção entre os valores nterpolados e os exatos, o que também pode ser obtdo com a utlzação de um elemento polnomal de quarto grau. Fgura 32 Momento fletor obtdo em alguns pontos por nterpolação
Valdação dos Elementos 121 5.1.3. Vga Bengastada Submetda a Carregamento Lnear O próxmo exemplo consste numa vga bengastada de nérca constante submetda a um carregamento lnear em metade de seu comprmento, como mostra a fg. (33). Devdo às condções dferentes de carregamento em cada metade da vga é necessáro utlzar dos elementos, o que permte analsar o comportamento dos elementos formulados quando assocados. Fgura 33 Modelo estrutural da vga submetda a carregamento lnear em metade de seu vão A estrutura da fg. (33) é um exemplo nteressante, pos tem como resposta exata um polnômo do tercero grau para a metade não carregada e um polnômo do qunto grau para a metade carregada. Para que esta estrutura seja representada de forma exata é necessáro utlzar pelo menos uma Daubeches DB12 ou uma Interpolet IN6 no elemento carregado. Para efetos de comparação, foram também analsados os elementos baseados em DB10 e IN4, que não têm capacdade de reproduzr a resposta exata. A fg. (34) mostra os resultados em deslocamento para os elementos baseados nas Daubeches DB10 e DB12. Nota-se que o elemento DB10 não apresenta resposta exata para o deslocamento na segunda metade da vga, o que é esperado. O mesmo problema pode ser vsto na fg. (35), onde se encontra o resultado da nterpolação do momento fletor. A fg. (36) mostra os resultados em deslocamento para os elementos baseados nas Interpolets IN4 e IN6. Nota-se, como esperado, que a IN4 não reproduz corretamente a resposta na parte onde a carga é lnearmente dstrbuída, embora tenha resposta adequada na parte onde não há carga aplcada. Naturalmente, a nterpolação do momento fletor sofre também a nfluênca dos erros ntroduzdos no caso da IN4, como mostra a fg. (37). Deve-se lembrar que
Valdação dos Elementos 122 elementos baseados em polnômos do tercero grau também apresentam resultados nexatos para as funções resposta em pontos nterores da estrutura. Fgura 34 Deslocamento para os elementos DB10 e DB12 Fgura 35 - Momento fletor para os elementos DB10 e DB12
Valdação dos Elementos 123 Fgura 36 Deslocamento para os elementos IN4 e IN6 Fgura 37 Momento fletor para os elementos IN4 e IN6
Valdação dos Elementos 124 5.1.4. Vga sobre Base Elástca Submetda a Carregamento Concentrado A fg. (38) mostra um esquema de uma vga sobre uma base apoada sobre uma fundação elástca, que pode ser modelada segundo uma base elástca de Wnkler. O valor de c é expresso em undade de força por undade de comprmento ao quadrado. A mesma fo analsada por elementos baseados nas wavelets DB10 e DB12 e nas nterpolets IN6 e IN8. Fgura 38 Vga sobre base elástca submetda a carga concentrada Os resultados em deslocamento para os elementos DB10 e DB12 estão na fg. (39). Os resultados da nterpolação do momento fletor podem ser vstos na fg. (40). O mesmo pode ser vsto para os elementos IN6 e IN8 nas fgs. (41) e (42). Fgura 39 Deslocamento para a vga sobre base elástca utlzando elementos DB10 e DB12
Valdação dos Elementos 125 Fgura 40 Momento fletor para a vga sobre base elástca utlzando elementos DB10 e DB12 Fgura 41 Deslocamento para a vga sobre base elástca utlzando elementos IN6 e IN8
Valdação dos Elementos 126 Fgura 42 Momento fletor para a vga sobre base elástca utlzando elementos IN6 e IN8 Nota-se que o elemento baseado na Daubeches DB10 não apresenta uma resposta confável para o momento fletor. Isto se deve ao alto grau osclatóro na segunda dervada dessa função que contrbu para a aproxmação errônea. Contudo, os elementos baseados nas nterpolets IN6 e IN8 apresentam resultados satsfatóros, mesmo para a nterpolação do momento fletor. Os valores de momento fletor no ponto de aplcação da carga calculados por cada um dos elementos estão dados na tab. (2). Alguns resultados para dversas malhas de elementos polnomas são apresentados para fns de comparação. MOMENTO FLETOR ( 10 2 ) EXATO DB10 DB12 IN6 IN8 N o de Elementos de Vga Padrão 2 4 8 16 3.9640 3.9409 3.9621 3.9631 3.9640 4.2243 3.9548 3.9623 3.9639 Tabela 2 Momento fletor (admensonal) no ponto de aplcação da carga
Valdação dos Elementos 127 5.1.5. Casca Clíndrca Axssmétrca Um reservatóro clíndrco engastado e lvre contendo um fludo de peso específco γ pode ser modelado como uma casca clíndrca axssmétrca (Rekach, 1978). Esta, por sua vez, pode ser representada como uma vga sobre base elástca com algumas modfcações em seus parâmetros, como mostra a fg. (43). Fgura 43 Modelagem da casca clíndrca axssmétrca como uma vga sobre base elástca Pode-se notar que a rgdez à flexão da vga (EI) é substtuída pela rgdez à flexão de uma placa fna D Eh ν 3 2 = 12(1 ) e a rgdez da base elástca passa a 2 ser dada por c= Eh a, o que leva o parâmetro β ao valor mostrado na fg. (43). Para valores de c D, a casca pode ser modelada como nfntamente longa. Como em geral a h, este comportamento é o que ocorre na prátca. As fgs. (44) e (45) mostram os resultados em deslocamento e momento fletor dos elementos Daubeches. Nas fgs. (46) e (47), resultados dos elementos Interpolet. Nota-se pelos resultados apresentados que os elementos baseados em wavelets de Daubeches não apresentam resposta confável, prncpalmente no caso da nterpolação do momento fletor. No caso das nterpolets, por terem natureza menos osclatóra, os resultados se aproxmam mas das respostas exatas. Anda assm, os resultados podem ser consderados acetáves, levando em conta o fato de que a casca fo modelada com apenas um elemento.
Valdação dos Elementos 128 Fgura 44 Deslocamento para a casca clíndrca axssmétrca modelada com elementos DB10 e DB12 Fgura 45 Momento fletor para a casca clíndrca axssmétrca modelada com elementos DB10 e DB12
Valdação dos Elementos 129 Fgura 46 Deslocamento para a casca clíndrca axssmétrca modelada com elementos IN6 e IN8 Fgura 47 Momento fletor para a casca clíndrca axssmétrca modelada com elementos IN6 e IN8
Valdação dos Elementos 130 A tab. (3) mostra os resultados obtdos para o momento fletor na base da casca. MOMENTO FLETOR ( 10 2 ) EXATO DB10 DB12 IN6 IN8 N o de Elementos de Vga Padrão 2 4 8 1.06491 1.39197 1.09798 1.08085 1.06781 1.38478 1.08941 1.06623 Tabela 3 Momento fletor (admensonal) na base da casca 5.2. Análse Dnâmca 5.2.1. Cálculo de Freqüêncas Naturas de Vbração Para a obtenção das freqüêncas naturas de vbração de colunas com condções de contorno varadas foram utlzados elementos formulados a partr das funções de Daubeches e nterpolets de Deslaurers-Dubuc através da solução do problema de autovalor dado por (Paz, 1997): 2 ( ω ) K M δd= 0 (5.3) Na eq. (5.3), K representa a matrz de rgdez elástca do sstema, M a matrz de massa e δd uma solução não trval do sstema, ou seja, o modo de vbração correspondente a cada autovalor (quadrado da freqüênca de vbração). Foram testados elementos com as funções DB10, DB12, IN6 e IN8. Os resultados são apresentados na tab. (4) de forma admensonal e são comparados com os valores analítcos (Rao, 2004).
Valdação dos Elementos 131 COND. DE CONTORNO MODO FREQUÊNCIA ( EI ρ AL ) 4 EXATO DB10 DB12 IN6 IN8 POL3 Engastada e lvre 1 3.51602 3.51696 3.51602 3.51602 3.51602 3.51637 2 22.0345 22.2293 22.1303 22.0786 22.0350 22.1069 3 61.6972 101.806 63.0002 62.1130 62.0354 62.4660 1 9.86960 9.87238 9.87180 9.87070 9.86961 9.87760 Bapoada 2 39.4784 48.2959 39.5924 39.5173 39.5124 39.9451 3 88.8264 128.857 112.281 94.4683 88.9209 98.5901 1 22.3732 22.44631 22.4306 22.3993 22.3735 22.4648 Bengastada 2 61.6728 155.464 62.5254 61.9772 61.9416 62.9041 3 120.903 452.816 181.016 130.091 120.8285 146.305 Engastada e apoada 1 15.4182 15.4464 15.4304 15.4235 15.4183 15.4485 2 49.9649 71.0540 50.0308 50.1648 50.0550 50.8381 3 104.248 237.024 157.715 111.558 104.652 118.466 Tabela 4 Freqüêncas de vbração 5.2.2. Propagação de Ondas O fenômeno de propagação de ondas em uma barra de trelça é governado pela segunte equação dferencal parcal (Achenback, 1993): 2 2 u 1 u E =, v = 2 2 2 x v t ρ (5.4) Na eq. (5.4), v é a velocdade de propagação da onda na barra, que é proporconal ao módulo de elastcdade E e nversamente proporconal à massa específca ρ. A propagação undmensonal, no caso da barra de trelça, admte apenas ondas de tensão axal na barra (Kolsky, 1963). A modelagem da propagação de ondas é, em geral, mplementada através do Método das Dferenças Fntas (MDF). O MEF tem sua aplcação lmtada devdo
Valdação dos Elementos 132 ao alto custo computaconal em relação ao MDF. A grande dfculdade na dscretzação pelo MEF resde na escolha das freqüêncas representadas pelo sstema. Em geral, mesmo numa abordagem pelo MEF, são empregados os concetos utlzados no MDF (Kelly et al. 1976). Fgura 48 Barra submetda a uma onda de deslocamento axal u(t) Aplcando-se o prncípo de Hamlton (Clough e Penzen, 1975) e o Método da Dferença Central para dscretzar o tempo chega-se à segunte expressão: ( ) 2 1 t u = 2u u M Ku (5.5) t+ t t t t t Na eq. (5.5), M e K são as matrzes de massa e rgdez, respectvamente e u é o vetor de deslocamentos. Consdera-se um deslocamento u(t) aplcado à extremdade lvre da barra como mostra a fg. (49). Fgura 49 Deslocamento aplcado à extremdade da barra
Valdação dos Elementos 133 Fgura 50 Espectro do deslocamento aplcado A fg. (50) mostra o espectro de freqüêncas do deslocamento aplcado. Como a freqüênca máxma da fonte é 20Hz, o menor comprmento de onda de nteresse é de v/20, sendo v a velocdade de propagação da barra. Em geral, utlzam-se 10 ntervalos de amostragem espacal para o menor comprmento de onda, o que equvalera a 200 elementos de trelça padrão no caso de a velocdade ser untára. Um sstema com 200 elementos de trelça no ntervalo [0,1] tem como freqüênca máxma 2 ω = 6.92 10 rad/s. Esta freqüênca exge um t máxmo de 2.887 ms para garantr a establdade. Há outros métodos na lteratura para dscretzação do tempo em que DT maores podem ser utlzados sem comprometer a establdade do algortmo, como o de Newmark (Kane, 1999), Wlson (Bathe, 1996), entre outros. Optou-se pelo Método da Dferença central pos este é também o conceto aplcado no MDF. Esse sstema em elementos de trelça padrão fo comparado com um sstema gerado por 20 elementos IN4. Esse sstema tem uma freqüênca máxma muto 2 semelhante ao anteror, ω = 7.03 10 rad/s, o que leva a um t semelhante para garantr a establdade. O sstema em elementos padrão tem 201 graus de lberdade e o IN4 tem 101.
Valdação dos Elementos 134 A fg. (51) mostra um detalhe da propagação no ponto médo da barra estudada. Pode-se perceber que os elementos IN4 apresentam um comportamento satsfatóro consderando o número reduzdo de graus de lberdade. Na fg. (52) pode-se ver a propagação em todas as posções e estados de tempo. Fgura 51 Detalhe do deslocamento do ponto médo da barra obtdo utlzando elementos Interpolet (IN4) e elementos de trelça padrão (STE) Fgura 52 Estados do deslocamento em todas as posções e tempos utlzando elementos de trelça padrão (à esquerda) e elementos IN4 (à dreta). A escala de cnza mapea valores mínmos em preto e máxmos em branco.
Valdação dos Elementos 135 5.3. Análse de Instabldade Nesta seção, os elementos formulados são testados em problemas de nstabldade lnearzada de colunas e pórtcos. São obtdas cargas crítcas de flambagem de colunas com dversas condções de contorno, assm como do pórtco de Roorda (Chen e Lu, 2001). 5.3.1. Obtenção de Cargas Crítcas e Modos de Flambagem de Colunas Clásscas Para a obtenção das cargas crítcas de flambagem de colunas com condções de contorno varadas foram utlzados elementos formulados a partr das funções de Daubeches e nterpolets de Deslaurers-Dubuc através da solução do problema de autovalor dado por (Waszczyszyn et al., 1994): ( ) K + K δd= 0 (5.6) E λ cr G Na eq. (5.6) K E representa a matrz de rgdez elástca do sstema, K G a matrz geométrca e δd uma solução não trval do sstema, ou seja, o modo de flambagem correspondente a cada autovalor (carga crítca) (Croll e Walker, 1972). Os resultados são apresentados na tab. (5) de forma admensonal e são comparados com os valores analítcos (Bazant e Cedoln, 1991). COND. DE CONTORNO 2 CARGA CRÍTICA ( EI L ) EXATO DB10 DB12 IN6 IN8 POL3 Engastada e lvre 2.46740 2.46770 2.46740 2.46740 2.46740 2.46766 Bapoada 9.86960 9.87483 9.87379 9.87174 9.86960 9.88521 Bengastada 39.4784 41.8877 41.3961 40.3757 39.4788 40.3432 Engastada e apoada 20.1907 20.8275 20.2725 20.2272 20.1910 20.3146 Tabela 5 Resultados para o cálculo da carga crítca de flambagem comparados com os obtdos por 3 elementos de vga padrão
Valdação dos Elementos 136 5.3.2. Cálculo de Cargas Crítcas do Pórtco de Roorda O pórtco de Roorda é um exemplo clássco utlzado para valdação de novas formulações já que suas cargas crítcas e modos de flambagem podem ser faclmente obtdos analtcamente. A fg. (53) mostra dos tpos de carregamento para a análse pelos elementos propostos. No prmero caso apenas a coluna vertcal sofre flambagem e a mesma transmte os esforços para o elemento horzontal. No segundo caso, os dos elementos funconam como colunas clásscas de Euler bapoadas ndependentes e a carga crítca do pórtco é a mesma que cada barra solada apresentara. Fgura 53 Pórtco de Roorda com dos tpos de carregamento A tab. (6) mostra o resultado das cargas crítcas calculadas para o pórtco de Roorda para cada tpo de carregamento. TIPO DE CARREGAMENTO 2 CARGA CRÍTICA ( EI L ) EXATO DB10 DB12 IN6 IN8 POL3 Carga vertcal 13.8859 13.9340 13.9041 13.8948 13.8859 13.9191 Cargas vertcal e horzontal 9.86960 9.87483 9.87379 9.87174 9.86960 9.88521 Tabela 6 Resultados para o cálculo da carga crítca de flambagem do pórtco de Roorda comparados com os obtdos por 3 elementos de vga padrão
Valdação dos Elementos 137 Os resultados de cargas crítcas obtdos tanto com elementos baseados em Daubeches quanto Interpolets foram satsfatóros, levando-se em conta que em todos os casos apenas um elemento fo utlzado para a dscretzação. No caso do pórtco de Roorda, o elemento baseado na IN8 teve desempenho excelente. 5.4. Dscussão dos Resultados O desempenho elementos fntos baseados em wavelets e nterpolets fo excelente na análse lnear estátca de barras, já que tanto as Daubeches quanto as Interpolets têm a capacdade de representar exatamente polnômos, que são a reposta analítca desses problemas. No exemplo da vga sobre base elástca com carga concentrada o resultado também fo satsfatóro, mas deve-se levar em conta que foram utlzados dos elementos, já que hava uma carga concentrada aplcada no ponto médo da vga. O melhor resultado para o momento fletor fo obtdo com 28 graus de lberdade (dos elementos IN8) e é comparável ao obtdo por 34 graus de lberdade de elementos de vga padrão (16 elementos). No exemplo da casca clíndrca axssmétrca o resultado em deslocamentos fo satsfatóro para todos os elementos testados, porém o resultado da nterpolação dos momentos fletores só pode ser consderado confável para o elemento IN8. Anda assm, o número de graus de lberdade utlzados por esse elemento é menor do que o necessáro para a correta representação do momento fletor por elementos de vga padrão. Na análse dnâmca verfcou-se a boa capacdade dos elementos Interpolet de captar as freqüêncas naturas de vgas-coluna com dferentes condções de contorno. Verfcou-se que para a representação correta da propagação de uma onda de deslocamentos numa barra fo necessáro um número menor de graus de lberdade de elementos Interpolet do que o de elementos de trelça padrão, o que refletu num menor custo computaconal. Os resultados obtdos no cálculo de cargas crítcas tanto de colunas quanto de pórtcos fo excelente, prncpalmente o elemento IN8.