Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 1 / 1

Seja Y uma função de uma variável aleatória X. EXEMPLOS: Obter o lucro em função da demanda. Obter a área de um círculo em função do raio. Obter o gasto com educação em função do número de filhos. Obter o tempo de duração de um equipamento em função da temperatura. Espera-se que, uma vez que o valor de X é o resultado de um experimento aleatório, o valor de Y também seja. Espera-se também que, uma vez que Y é função de X, a função de probabilidade de Y possar ser, de algum modo, obtida do conhecimento da função de probabilidade de X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 2 / 1

Seja X uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade (Ω,,P). Suponha que Y = h(x) seja uma função real de X. Assim, Y = h(x) é uma variável aleatória, porque para todo ω Ω, um valor de Y fica determinado, y = h[x(ω)]. Como anteriormente, R X é o contradomínio de X, o conjunto de todos os valores possíveis da função X. De forma análoga denominaremos R Y como o contradomínio da variável aleatória Y, o conjunto de todos os valores possíveis de Y. Assim, com base na definição de eventos equivalentes (definição 2.2) temos que, seja A um evento em R X e B um evento em R Y os eventos A e B serão equivalentes se A for constituído por todos os resultados em R X, para os quais h(x) B. Adicionalmente, com base na definição de probabilidade para eventos equivalentes (definição 2.3) temos que, seja A um evento em R X e B um evento em R Y então a probabilidade de B é obtida por P Y (B) = P(Y 1 (B)) = P(A). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 3 / 1

Ω R x R y X w X(w)=x h(x)=y h Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 4 / 1

EXEMPLO: Seja Y = πx 2, com x > 0. Então os eventos A : {X > 2} e B : {Y > 4π} são equivalentes. Porque se Y = πx 2, então {X > 2} ocorrerá se, e somente se, {Y > 4π} ocorrer. EXEMPLO: Seja, X o número de irmãos de cada aluno. O valor gasto por dia com lanche dos filhos na escola/faculdade é dado por Y = X 2 + 5. Encontre a distribuição de probabilidade da quantia gasta por dia. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 5 / 1

EXEMPLO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 6 / 1

Variáveis Aleatórias Discretas: Caso 1: X é uma variável aleatória discreta. Se X for uma variável aleatória discreta, ou seja os possíveis valores de X podem ser enumerados como x 1,x 2,...,x n,..., teremos que Y = h(x) também será uma V.A. discreta Ou seja, os possíveis valores de Y podem ser enumerados como y 1 = h(x 1 ),y 2 = h(x 2 ),... Procedimento Geral: Se x 1,x 2,...,x n,... forem os possíveis valores de X, com p(x i ) = P(X = x i ), e h fpr uma função tal que, a cada valor y corresponda exatamente um valor x, então a distribuição de probabilidade de Y será obtida por: (i) Valores possíveis de Y : y i = h(x i ), i = 1,2,...,n,...; (ii) Probabilidades de Y : P(Y = y i ) = p(x i ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 7 / 1

Exemplo 2.18: Suponha que a variável aleatória X tome os três valores 1, 0 e 1, com probabilidades 1/3, 1/2 e 1/6, respectivamente. Seja Y = 3X + 1. Obtenha a distribuição de probabilidade de Y. IMPORTANTE: No caso em que vários valores de X levam ao mesmo valor de Y, temos que: sejam x i1,x i2,...,x ik,... os valores de X tais que h(x ij ) = y i, para todo j. Então P(Y = y i ) = p(x i1 ) + p(x i2 ) +... Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 8 / 1

Exemplo 2.19: Suponha que no exemplo anterior Y = X 2. Obtenha a distribuição de probabilidade de Y. Exemplo 2.20: Suponha que X assuma os valores 1,2,...,n,... e seja P(X = n) = (1/2) n. Seja a V.A. Y, Y = 1 se X for par Y = 1 se X for ímpar Encontre a distribuição de probabilidade de Y. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 9 / 1

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