Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis reais

Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis reais Cálculo II Departamento de Matemática Universidade de Aveiro 2018-2019 Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 1 / 1

Derivadas parciais Derivada parcial Seja f : D R n R uma função real de várias variáveis reais e X 0 intd. Chama-se derivada parcial de f em ordem a x i no ponto X 0 ao limite, caso exista em R, e denota-se f x i (X 0 ) ou f x i (X 0 ). f (x1 0 lim,..., x0 i + h,..., xn) 0 f (X 0 ) h 0 h Dada uma função f (x, y, z), designaremos respetivamente por f x(x, y, z), f y(x, y, z) e f z (x, y, z) a derivada parcial de f relativamente à variável x, à variável y e à variável z. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 2 / 1

Como obter as derivadas parciais em cada ponto (x 0, y 0, z 0 )? 1 consideram-se apenas os pontos (x 0, y 0, z 0 ) tais que a função f 1 (x) := f (x, y 0, z 0 ) faça sentido para todo o x pertencente a um certo intervalo aberto centrado em x 0, deste modo f 1 (x) é função de apenas uma variável 2 definir f x (x 0, y 0, z 0 ) := f 1 (x 0) 1 consideram-se apenas os pontos (x 0, y 0, z 0 ) tais que a função f 2 (y) := f (x 0, y, z 0 ) faça sentido para todo o y pertencente a um certo intervalo aberto centrado em y 0, deste modo f 2 (y) é função de apenas uma variável 2 definir f y (x 0, y 0, z 0 ) := f 2 (y 0) 1 consideram-se apenas os pontos (x 0, y 0, z 0 ) tais que a função f 3 (y) := f (x 0, y 0, z) faça sentido para todo o z pertencente a um certo intervalo aberto centrado em z 0, deste modo f 3 (z) é função de apenas uma variável 2 definir f z (x 0, y 0, z 0 ) := f 3 (z 0) Notação: f x(x 0, y 0, z 0 ) = f x, f y(x 0, y 0, z 0 ) = f y, f z (x 0, y 0, z 0 ) = f z Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 3 / 1

Exemplos 1 f (x, y) = 2xy 3 + x 2 cos y sin(πx) f x(x, y) = 2y 3 + 2x cos y π cos(πx) f y(x, y) = 6xy 2 x 2 sin y 2 f (x, y, z) = x x 2 +y 2 +z 2 f x(x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 f y(x, y, z) = f z (x, y, z) = 2xy (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 2xz (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 4 / 1

Exemplos Obtenha as derivadas parciais num ponto genérico X 0. 1 f (x, y) = 2xy 3 + x 2 cos y sin(πx) f x(x 0, y 0 ) = (2y 3 0 + 2x cos y 0 π cos(πx)) x=x0 f y(x 0, y 0 ) = (6x 0 y 2 x 2 0 sin y) y=y 0 2 f (x, y, z) = x x 2 +y 2 +z 2 f x(x 0, y 0, z 0 ) = x2 +y 2 0 +z2 0 (x 2 +y 2 0 +z2 0 )2 x=x0 f y(x 0, y 0, z 0 ) = f z (x 0, y 0, z 0 ) = 2x 0y (x 2 0 +y 2 +z 2 0 )2 y=y0 2x 0z (x 2 0 +y 2 0 +z2 ) 2 z=z0 Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 5 / 1

Exemplo 3 Obtenha as derivadas parciais num ponto genérico X 0 da função { xy, x y, f (x, y) = x 3, x = y, para x y temos f x (x 0, y 0 ) = (y 0 x) x=x0 = (y 0 ) x=x0 = y 0 f y (x 0, y 0 ) = (x 0 y) y=y0 = (x 0 ) y=y0 = x 0 para x = y (aqui teremos de recorrer à definição) temos f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 f (x 0+h,y 0) f (x 0,y 0) h = lim h 0 (x 0+h)y 0 x 3 0 x lim 2 0 (1 x0)+x0h h 0 h para x 0 = y 0 1 h = = 1 para x 0 = y 0 = 1, mas este limite não existe (é + ) f y (x 0, y 0 ) = lim h 0 f (x 0,y 0+h) f (x 0,y 0) h = lim h 0 x 0(y 0+h) x 3 0 x lim 2 0 (1 x0)+x0h h 0 h para x 0 = y 0 1 h = = 1 para x 0 = y 0 = 1, mas este limite não existe (é + ) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 6 / 1

Interpretação geométrica das derivadas parciais Consideremos a função de duas variáveis z = f (x, y) e, por exemplo, f x(x 0, y 0 ), para um ponto (x 0, y 0 ) do domínio de f onde aquela derivada parcial esteja definida. f x(x 0, y 0 ) dá-nos o declive da reta contida no plano y = y 0 e que é tangente no ponto (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) à curva de interseção do gráfico de f com aquele plano e que é o gráfico de z = f (x, y 0 ). Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 7 / 1

Interpretação geométrica das derivadas parciais Consideremos a função de duas variáveis z = f (x, y) e, por exemplo, f x(x 0, y 0 ), para um ponto (x 0, y 0 ) do domínio de f onde aquela derivada parcial esteja definida. f x(x 0, y 0 ) dá-nos o declive da reta contida no plano y = y 0 e que é tangente no ponto (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) à curva de interseção do gráfico de f com aquele plano e que é o gráfico de z = x 2 y 2 0 + 3. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 8 / 1

Derivadas parciais de ordem superior Derivada parcial de ordem superior Seja f : D R n R uma função real de várias variáveis reais. Podemos agora tomar cada uma das suas derivas parciais f x i (X ) como sendo uma função f x i : ˆD R n R real de várias variáveis reais e agora derivar parcialmente cada uma destas funções f x i obtendo f x i x j = x j ( f x i ) = = f x i 2 f x j x i Obtemos para D R 2 x ( f x ) = 2 f x 2 ; x ( f y ) = 2 f x y ; y ( f x ) = 2 f y x ; y ( f y ) = 2 f y 2. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 9 / 1

Derivadas parciais de ordem superior Seja f : D R n R uma f.r.v.v.r. definida num aberto D R n, e seja k N 0. Diz-se que a função f é de classe C k em D, se admite derivadas parciais contínuas até à ordem k em todo o ponto de D. Ser de classe C 0 significa ser contínua. Teorema de Schwarz Se f é de classe C 2 num aberto D R n, então para A D x j ( f x i )(A) = 2 f x j x i (A) = ( f )(A) = x i x j 2 f x i x j (A) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 10 / 1

Exemplo f (x, y) = x + sin(xy) e y 1 f x = 1 + y cos(xy) 1 2 f x x = y 2 sin(xy) f y x = cos(xy) xy sin(xy) 2 f y 1 = x cos(xy) ey f x y = cos(xy) xy sin(xy) 2 f y y = x 2 sin(xy) e y Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 11 / 1

Derivadas e continuidade Nota: Para funções de uma variável real, se uma função admite derivada finita num ponto, então ela é necessariamente contínua nesse ponto. Tal não acontece para f.r.v.v.r.. Veja o exemplo seguinte: Seja f : R 2 R, definida por Temos f (x, y) = f (0 + h, 0) f (0, 0) (0, 0) = lim h 0 h f x f (0, 0) = lim y h 0 f (0, 0 + h) f (0, 0) h { 1, xy 0, x + y, xy = 0, = 1 = 1 Contudo f (x, y) é descontínua em (0, 0). Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 12 / 1

Derivadas direcionais Derivadas direcionais Sejam f : D R n R, X 0 intd e u um vetor unitário (i.e., tal que u = 1) em R n. A derivada direcional de f segundo a direção u em X 0 define-se como se este limite existir. D u f (X 0 ) = f u (X 0) := lim h 0 f (X 0 + h u) f (X 0 ) h As derivadas parciais são casos particulares das derivadas direcionais: f x (x, y) = f (1,0) (x, y) f y(x, y) = f (0,1) (x, y) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 13 / 1

Derivadas direcionais: interpretação geométrica Para uma função de duas variáveis f (x, y) e um ponto X 0 = (a, b), a derivada direcional f u (X 0) traduz a variação da cota de um observador quando se desloca na superfície z = f (x, y), passa por (a, b, f (a, b)) e segue a direção e sentido de u. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 14 / 1

Exemplos Determine a derivada direcional de f na direção e sentido do vetor u indicado. 1 f (x, y) = x 2 4y, u = (1, 3) 2 f (x, y) = x 2 + ln(y), u = (2, 1), no ponto (1, 1) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 15 / 1

E o exemplo anterior? f (x, y) = { 1, xy 0, x + y, xy = 0, Temos, no ponto (0, 0), para um vetor u = (u 1, u 2 ) (0, 0) e de norma 1: f (0 + hu 1, 0 + hu 2 ) f (0, 0) 1 (0 + 0) 1 lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h que não existe. Esta função não tem derivadas direcionais no ponto (0, 0) segundo vetores u = (u 1, u 2 ) (0, 0). Mas esta ainda não é razão para a sua descontinuidade: há funções com derivadas direcionais num ponto e ainda assim descontínuas nesse ponto Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 16 / 1

Outro exemplo Seja f : R 2 R, definida por f (x, y) = { xy 2, x 2 +y 4 (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0), Temos, no ponto (0, 0), para um vetor u = (u 1, u 2 ) (0, 0) e de norma 1: f (0 + hu 1, 0 + hu 2 ) f (0, 0) lim = lim h 0 h h 0 lim h 0 h 3 u 1 (u 2 ) 2 h 3 ((u 1 ) 2 + h 2 (u 2 ) 4 ) = lim h 0 hu 1 (hu 2 ) 2 (hu 1 ) 2 +(hu 2 0 ) 4 = h u 1 (u 2 ) 2 (u 1 ) 2 + h 2 (u 2 ) 4 f u (0, 0) = u2 2 u 1 se u 1 0 f u (0, 0) = 0 se u 1 = 0 Recorde que verificamos que esta função não é contínua em (0, 0), pois não tem limite neste ponto (verifique as trajetórias x = 0 e x = y 2 ) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 17 / 1

Nota: A existência de derivadas direcionais não garante, por si só, a continuidade da função. A noção de diferenciabilidade para f.r.v.v.r. será algo mais forte que a simples existência das derivadas direcionais. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 18 / 1

Gradiente Gradiente Sejam f : D R n R e X 0 intd tais que f x 1 (X 0 ),..., f x n (X 0 ) existem e são finitas. O gradiente de f em X 0 define-se como sendo o vetor f (X 0 ) := (f x 1 (X 0 ),..., f x n (X 0 )). Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 19 / 1

Função diferenciável Função diferenciável Sejam f : D R n R e X 0 intd tais que f x 1 (X 0 ),..., f x n (X 0 ) existem e são finitas. Diz-se que f é diferenciável em X 0 se f (X ) f (X 0 ) f (X 0 )(X X 0 ) lim = 0. X X 0 X X 0 Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 20 / 1

Plano tangente (caso de f com duas variáveis) Sejam f : D R 2 R e X 0 intd tais que f x(x 0 ), f y(x 0 ) existem e são finitas. Qual o plano tangente ao gráfico de f num ponto? 1 ponto do gráfico (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) tal que X 0 = (x 0, y 0 ) intd 2 dois vetores não colineares: (1, 0, f x(x 0, y 0 )), (0, 1, f y(x 0, y 0 )) 3 a equação vetorial do plano é, para α, β R (x, y, z) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) + α(1, 0, f x(x 0, y 0 )) + β(0, 1, f y(x 0, y 0 )) e a equação geral do plano é z = f (x 0, y 0 ) + (x x 0 )f x(x 0, y 0 ) + (y y 0 )f y(x 0, y 0 ) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 21 / 1

Planos tangentes e funções diferenciáveis Plano tangente e função diferenciável (caso de duas variáveis) Sejam f : D R 2 R e (x 0, y 0 ) intd tais que f x(x 0, y 0 ) e f y(x 0, y 0 ) existam e sejam finitas. Diz-se que o plano de equação z = f (x 0, y 0 ) + (x x 0 )f x(x 0, y 0 ) + (y y 0 )f y(x 0, y 0 ), é tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) se f (x, y) f (x 0, y 0 ) f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) f y(x 0, y 0 )(y y 0 ) lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) = 0. Diz-se, neste caso, que f é diferenciável em (x 0, y 0 ). Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 22 / 1

Plano tangente: exemplo Determine o plano tangente z = f (x 0, y 0 ) + f (x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) ao gráfico da função f (x, y) = sin(xy) no ponto (1, π, 0). 1 f (x, y) = (f x(x, y), f y(x, y)) = (y cos(xy), x cos(xy)) 2 as derivadas parciais são contínuas e finitas em R 2, logo também numa vizinhança de (1, π) 3 f (1, π) = (f x(1, π), f y(1, π)) = (π cos(π), cos(π)) = ( π, 1) 4 f (1, π) = sin(π) = 0 5 z = f (1, π) + f (1, π) (x 1, y π) = 0 + ( π, 1) (x 1, y π) = 0 π(x 1) (y π) = 2π πx y 6 o plano é z + πx + y = 2π Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 23 / 1

Continuidade de funções diferenciáveis Continuidade Sejam f : D R n R e X 0 intd. Se f é diferenciável em X 0, então é contínua em X 0. provar... Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 24 / 1

Derivadas direcionais de funções diferenciáveis Derivadas direcionais de funções diferenciáveis Sejam f : D R n R diferenciável e X 0 intd. Então existem e são finitas as derivadas direcionais de f em X 0 segundo qualquer vetor normado u R n e f u (X 0) := f (X 0 ) u. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 25 / 1

Determine a derivada direcional de f na direção e sentido do vetor u indicado. 1 f (x, y) = x 2 4y, u = (1, 3) 2 f (x, y) = x 2 + ln y, u = (2, 1), no ponto (1, 1) 3 f (x, y) = x 2 y 3, u = (3, 4) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 26 / 1

Critério de diferenciabilidade Teorema (condição suficiente de diferenciabilidade) Sejam f : D R n R e X 0 intd. Se as derivadas parciais de f existem e são finitas numa bola aberta centrada em X 0 e são contínuas em X 0, então f é diferenciável em X 0. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 27 / 1

Verifique se a função é diferenciável no ponto indicado. f (x, y) = 4 xy x+y, (2, 2, 0) 1 D f = {(x, y) R 2 : x + y 0} 2 f (x, y) = ( 4 + y 2 (x + y) 2, 4 + x 2 (x + y) 2 ) 3 as derivadas parciais são funções contínuas pelo menos em D f = {(x, y) R 2 : x + y 0} 4 logo também em (2, 2) e são finitas numa bola aberta centrada em (2, 2) 5 assim, f é diferenciável em (2, 2, 0) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 28 / 1

Verifique se a função é diferenciável no ponto indicado. f (x, y) = 1 x 2 +y 2, (1, 1, 1/2) 1 D f = R 2 \{(0, 0)} 2x 2 f (x, y) = ( x 2 + y 2, 2y x 2 + y 2 ) 3 as derivadas parciais são finitas e contínuas pelo menos em R 2 \{(0, 0)} 4 logo também numa bola aberta centrada em (1, 1) 5 assim, f é diferenciável no ponto indicado Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 29 / 1

Verifique se a função é diferenciável no ponto indicado. f (x, y) = x 2 + y 2, (0, 0, 0) 1 D f = R 2 x 2 f (x, y) = ( x 2 + y, y 2 x 2 + y ) 2 3 as derivadas parciais são finitas e contínuas pelo menos em R 2 \{(0, 0)} 4 logo não estão definidas em (0, 0) 5 assim, f não é diferenciável no ponto indicado Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 30 / 1

Propriedades das funções diferenciáveis A soma, o produto e o quociente de funções diferenciáveis são ainda funções diferenciáveis. A composição de funções diferenciáveis é ainda uma função diferenciável. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 31 / 1

Regra da cadeia Regra da cadeia Sejam f : D R n R e g : R R n tal que a composição (f g)(t) := f (g 1 (t),..., g n (t)) está bem definida. Seja t 0 intd g e X = g(t). Se g 1,..., g n são diferenciáveis em t 0 (então g é diferenciável e t 0 ) e f é diferenciável em X 0 = g(t 0 ), então f g é diferenciável em t 0 e d(f g)(t 0 ) dt = f (X 0 )( dg 1 dt (t 0),..., dg n dt (t 0)) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 32 / 1

Regra da cadeia: exemplo f (x, y) = x 2 + 2y 2, g(t) = (sin(t), cos(t)) d(f g) dt (t 0 ) = f (g(t 0 ))( dg 1 dt (t 0), dg 2 dt (t 0)) Temos 1 f (x, y) = (2x, 4y) 2 dg(t) dt = ( dg 1(t) dt, dg 2(t) dt ) = (cos(t), sin(t)) 3 f (g(t 0 )) = (2 sin(t), 4 cos(t)) 4 d(f g)(t) dt = f (g(t)) dg(t) dt = (2 sin(t), 4 cos(t)) (cos(t), sin(t)) = 2 sin(t) cos(t) 4 cos(t) sin(t) = 2 sin(t) cos(t) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 33 / 1

Linearização: aproximação de z = f (X ) na vizinhança de X 0 Se f é uma função diferenciável no ponto X 0 intd, a linearização de f junto a, ou numa vizinhança de, X 0 é z f (X 0 ) + f (X 0 )(X X 0 ) O valor de z = f (X ) pode ser aproximado, localmente, de forma linear na vizinhança de X 0. Nota que z = f (X 0 ) + f (X 0 )(X X 0 ) é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (X 0, f (X 0 )). Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 34 / 1

Linearização: exemplo Determina uma aproximação linear de f (x, y) = x y na vizinhança do ponto (1, 2). 1 f (x, y) = (f x(x, y), f y(x, y)) = (yx y 1, x y ln(x)) 2 as derivadas parciais são contínuas e finitas em R + R, logo também numa vizinhança de (1, 2) 3 f (1, 2) = (f x(1, 2), f y(1, 2)) = (2, 0) 4 f (1, 2) = 1 5 a aproximação linear é z f (1, 2) + f (1, 2) (x 1, y 2) = 1 + (2, 0) (x 1, y 2) = 1 + 2(x 1) + 0(y 2) = 2x 1 6 uma vez que (1.01; 2.03) é próximo de (1, 2), podemos usar este plano para obter o valor aproximado de 1.01 2.03 = 1.020404 7 a aproximação é 1.01 2.03 2x 1 = 2 1.01 1 = 1.02 Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 35 / 1

Direção e sentido de crescimento mais rápido Seja f : D R n R, X 0 int tal que f é diferenciável em X 0, e seja u um vetor unitário de R n. Então f u (X 0) = f (X 0 ) u = f (X 0 ) cos θ onde θ é o ângulo entre f (X 0 ) e u. Também se pode dizer que f u (X 0) é, a menos de sinal, a norma da projeção ortogonal do gradiente de f sobre o vetor u. Recorda que: Dados os vetores X e Y de R n, e θ o ângulo por eles formado X Y = X Y cos θ, θ [0, π] Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 36 / 1

Direção e sentido de crescimento mais rápido Uma vez que f u (X 0) = f (X 0 ) cos θ pode-se dizer que atinge o seu valor máximo quando cos θ = 1 e, portanto, quando f u (X 0) = f (X 0 ) ou seja, quando u tem a mesma direcção e sentido do vetor gradiente Diz-se portanto que: em cada ponto de diferenciabilidade da função, a taxa de variação é máxima na direção e sentido do vetor gradiente, sendo f (X 0 ) o seu valor máximo. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 37 / 1

Exemplo A distribuição da temperatura num objeto (um plano) é dada por f (x, y) = x 2 + 3y 2. Determina a direção e sentido de maior aumento de temperatura no ponto (2, 1 2 ) e o seu valor. 1 f (x, y) = (2x, 6y) 2 f (2, 1 2 ) = (4, 3) é a direção e sentido de maior aumento 3 que ocorre quando u e f (2, 1 2 ) têm a mesma direção e sentido 4 logo u = (4,3) (4,3) = ( 4 5, 3 5 ) 5 o seu valor é de f (2, 1 2 ) = 4 2 + 3 2 = 5 que é a taxa de aumento nessa direção e sentido 6 a direção e sentido de menor aumento de temperatura é f (2, 1 2 ) = ( 4, 3) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 38 / 1

Campos de gradientes Dada uma função f : D R n R chama-se representação dos campos de gradientes de f à representação da função f (x, y) Exemplo: f (x, y) = x 2 + y 2 1 f (x, y) = (2x, 2y) campo de vetores campo de vetores e curvas de nível Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 39 / 1

Planos tangentes a superfícies de nível Em cada ponto o gradiente da função parece perpendicular à curva de nível que passa por tal ponto. Seja a função f : D R n R e N(c) = {X R n : f (X ) = c } a sua curva de nível. Seja ainda g : R R n, com g 1,..., g n diferenciáveis, e tal que a composição (f g)(t) := f (g 1 (t),..., g n (t)) está bem definida. Para o intervalo real I e quando a curva está no conjunto de nível N(c) temos f (g(t)) = c, para t I. E portanto f (g(t)) dg dt (t) = (f (g(t)) (t) = 0 i.e. o gradiente de f em cada ponto X = g(t) da curva é perpendicular ao vetor dg dt (t) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 40 / 1

Planos tangentes a superfícies de nível Seja a função f : D R 3 R e N(c) = {X R n : f (X ) = c } a sua curva de nível para um dado c R. Seja X 0 N(c) um ponto de diferenciabilidade de f. Se f (X 0 ) 0, o plano tangente a N(c) no ponto X 0 é f (X 0 ) (X X 0 ) = 0 f (X 0 ) é perpendicular ou ortogonal à superfície de nível em X 0 a definição anterior de plano tangente ao gráfico da função é um caso particular deste Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 41 / 1

Planos tangentes a superfícies de nível Seja a função f : D R 2 R então 1 f (x 0, y 0 ) é ortogonal à curva de nível f (x 0, y 0 ) 2 f (x 0, y 0 ) não é ortogonal ao gráfico de f em (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) 3 f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), 1) é ortogonal ao gráfico de f em (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) Seja a função f : D R 3 R então 1 f (x 0, y 0, z 0 ) é ortogonal à superfície de nível f (x 0, y 0, z 0 ) 2 f (x 0, y 0, z 0 ) não é ortogonal ao gráfico de f em (x 0, y 0, z 0, f (x 0, y 0, z 0 )) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 42 / 1

Gradiente e Plano tangente Seja f uma função diferenciável em X 0, o vetor gradiente de f em X 0, f (X 0 ), parece perpendicular ao hiperplano tangente ao conjunto de nível f (X ) = k que passa no ponto X 0. Seja f uma função diferenciável em (x 0, y 0 ), o vetor gradiente de f em (x 0, y 0 ), f (x 0, y 0 ), é perpendicular à reta tangente à curva de nível f (x, y) = k que passa no ponto X 0. Sendo f (x 0, y 0 ) 0, a reta tangente é e a reta normal à reta tangente é f (x 0, y 0 ).(x x 0, y y 0 ) = 0 (x, y) = (x 0, y 0 ) + α f (x 0, y 0 ), α R Seja f uma função diferenciável em (x 0, y 0, z 0 ), o vetor gradiente de f em (x 0, y 0, z 0 ), f (x 0, y 0, z 0 ), é perpendicular ao plano tangente à superfície de nível f (x, y, z) = k que passa no ponto X 0. Sendo f (x 0, y 0, z 0 ) 0, o plano tangente é e a reta normal a este plano é f (x 0, y 0, z 0 ).(x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0 (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + α f (x 0, y 0, z 0 ), α R Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 43 / 1

Exemplo Seja a função f (x, y) = x x 2 + y 2 e X 0 = (1, 2 2). Determine a equação da reta perpendicular à curva de nível 3 do gráfico de f. 1 A curva de nível 3 é N(3) = {(x, y) : f (x, y) = 3} N(3) = {(x, y) : x x 2 + y 2 = 3} 2 X 0 = (1, 2 2) é tal que f (1, 2 2) = 3 logo X 0 N(3) 3 f (x, y) = ( x 2 + y 2 + x2, x 2 +y 2 xy x 2 +y 2 ) 4 o gradiente num ponto é perpendicular à curva de nível que o contém nesse ponto, logo a equação da reta ortogonal é (x, y) = (1, 2 2) + α f (1, 2 2) = (1, 2 2) + α( 10 3, 2 2 3 ), α R 2 2x + 10y = 18 2 5 E a equação da reta tangente à curva de nível 3 do gráfico de f? 6 A equação da reta é ((x, y) (1, 2 2)) ( 10 3, 2 2 3 ) = 0 10x + 2 2y = 18 Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 44 / 1

Plano tangente e reta normal: exemplo Considere a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1. Determine o plano tangente à superfície no ponto (1/2, 1/2, 2/2) e a reta normal ao plano nesse ponto. Podemos dizer que se trata da superfície de nível 1 da função f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. 1 f (x, y, z) = (f x(x, y, z), f y(x, y, z), f z (x, y, z)) = (2x, 2y, 2z) 2 as derivadas parciais são contínuas e finitas em R 3, logo também numa vizinhança de (1/2, 1/2, 2/2) 3 f (1/2, 1/2, 2/2) = (1, 1, 2) 4 f (1/2, 1/2, 2/2) (x 1/2, y 1/2, z 2/2) = f (1, 1, 2) (x 1/2, y 1/2, z 2/2) = x 1/2+y 1/2+ 2z 1 5 a equação cartesiana do plano tangente é x + y + 2z = 2 6 a equação vetorial da reta normal ao plano é (x, y, z) = (1/2, 1/2, 2/2) + α(1, 1, 2), α R. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 45 / 1

Diferencial f (x) = x 2 f (x) z = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f df = f (x 0 ) x f (x 0 ) x x 0 x Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 46 / 1

Diferencial Seja f : D R n R diferenciável em X 0 intd. O diferencial df de f (no ponto X 0 ) define-se como a função que a cada X, X := X X 0, associa o valor df := f (X 0 ) ( X ). Nota que para valores pequenos de x temos df f. Também podemos usar dx em vez de x e assim df := f (X 0 ) (dx ). Portanto z f (X 0 ) + f (X 0 )(X X 0 ) f (X 0 ) + df Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 47 / 1

Diferencial: exemplo Obtém o diferencial de f (x, y) = x 2 + y 2 no ponto (3, 4). 1 f (x, y) = (f x(x, y), f y(x, y)) = ( x, x 2 +y 2 y x 2 +y 2 ) 2 as derivadas parciais são contínuas e finitas em R 2 \{(0, 0)}, logo também numa vizinhança de (3, 4) 3 f (3, 4) = (f x(3, 4), f y(3, 4)) = ( 3 5, 4 5 ) 4 temos df = 3 5 x + 4 5 y 5 ou melhor df = 3 5 dx + 4 5 dy Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 48 / 1

Extensão da noção de diferencial Seja f : D R R diferenciável em x 0 intd, e df = f (x 0 )dx. Se f g fizer sentido, para uma função g : I R R diferenciável em t 0 inti, e se g(t 0 ) = x 0, sabemos, pela regra da cadeia para funções de uma só variável, que de modo que (f g) (t0) = f (x 0 )g (t 0 ), d(f g) = (f g) (t 0 )dt = f (x 0 )g (t 0 )dt = f (x 0 )dg. Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 49 / 1

Extensão da noção de diferencial Sendo f : D R n R, g : R R n, g = (g 1,..., g n ), e X 0 = g(t 0 ) temos ou dy = f x 1 (X 0 )dx 1 + + f x n (X 0 )dx n dy = f x 1 (X 0 ) g 1(t 0 )dt + + f x n (X 0 ) g n(t 0 )dt Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 50 / 1

Extensão da noção de diferencial: exemplo Seja f (x, y) = x 2 + y x + y 2, g(t) = t 2 + e t temos g dx = g dt t dx = (2t+et )(2x y x 2 ) = (2(x2 + y x +y 2 )+e (x2 + y x +y 2) )(2x y x 2 ) g dy = g dt t dy = (2t+et )(2y + 1 x ) = (2(x2 + y x +y 2 )+e (x2 + y x +y 2) )(2y + 1 x ) Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 51 / 1

f (x 1,..., x n ) x 1 x j x n t 1 t m t 1 t m t 1 t m Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 52 / 1