Matrizes Lino Marcos da Silva lino.silva@univasf.edu.br Introdução Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados população, área e distância da capital referentes à quatros cidades do estado de Pernambuco, podemos dispô-los na tabela: População (4) Área km Distância da Capital (Km) Petrolina 6 7 4.56 7 Cabrobó 97 658 5 Salgueiro 59 49 69 58 Caruaru 4 8 9 Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz de linhas e colunas: 67 4.56 7 97 658 5 5949 69 58 48 9 Em um problema em que o número de variáveis e de observações é muito grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente indispensável. Exemplo. π A = 4 [ ] cosx senx, B =, C = [ 4 ] e D =, 5. senx cosx Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou ainda outras matrizes. Para representar uma matriz A que possui m linhas e n colunas usaremos as seguintes notações: a a... a n a a... a n A m n =.... = [a ij ] m n... a m a m... a mn
Neste caso, dizemos que a matriz é do tipo m por n. No Exemplo, a matriz A é do tipo por, a matriz B é do tipo por e a matriz C é do tipo por 4. Quando o número de linhas n é igual ao número de colunas, dizemos que a matriz é quadrada e de ordem n. Os elementos de uma matriz podem ser localizados por meio do número da linha e da coluna (nesta ordem) em que ele está. Por exemplo, na matriz A do Exemplo o elemento que está na primeira linha e na segunda coluna é π. Isto é, a = π. Igualdade de Matrizes Duas matrizes A m n e B m n são iguais, escrevemos A = B, se elas têm o mesmo número de linhas e de colunas e se todos os elementos correspondentes são iguais. Isto é, se a ij = b ij para todo i e para todo j. Exemplo. As duas matrizes seguintes são iguais [ ] [ ] π ln 9 π = 4., 5 senπ Tipos Especiais de Matrizes Matriz quadrada. É uma matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n). No caso da matriz possuir n linhas e n colunas, dizemos que a matriz é quadrada de ordem n. Observação: Numa matriz A quadrada de ordem n, os elementos a ij, em que i = j, constituem a diagonal principal dessa matriz. Já os elementos a ij, em que i + j = n +, constituem a sua diagonal secundária. A = [ ] 5, B = e C = 5. 6 Por exemplo, Os elementos da diagonal principal da matriz B são a =, a = e a =. Já os elementos da diagonal secundária dessa mesma matriz são a =, a = e a =. Matriz Triangular superior. É uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. Isto é, uma matriz quadrada A é triangular superior se a ij = para todo i > j. [ ] 5 A =, B = e C = 5. Matriz triangular inferior. É uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima
da diagonal principal são nulos. Isto é, uma matriz quadrada A é triangular inferior se a ij = para i < j. [ ] A = e B =. 4 Matriz Diagonal. É uma matriz quadrada na qual todos os elementos que estão fora da diagonal principal são nulos. De outra maneira, dizemos que uma matriz quadrada A é uma matriz diagonal se a ij = para todo i j. [ ] A =, B = e C =. Matriz Identidade. É a matriz diagonal que possui todos os elementos da diagonal principal igual a. A matriz identidade de ordem n é comumente representada por I n. [ ] I =, I = e I 4 =. Matriz nula. É a matriz, de qualquer tipo, que possui todos os elementos iguais a zero. [ ] [ ] O =, O = e O =. Matriz linha. É a matriz que possui uma única linha. A = [ ] e B = [ ] Matriz coluna. Álgebra Matricial É a matriz que possui uma única coluna. A = e B = Soma de Matrizes. A soma de duas matrizes A = [a ij ] e B = [b ij ], de mesma ordem m n, é uma matriz de ordem m n, denotada por A + B, onde os elementos de cada posição ij é a soma dos elementos que ocupam as respectivas posições nas matrizes A e B. Isto é, A + B = [a ij + b ij ] m n. Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m n, temos:
(A) A + B = B + A. (comutatividade) (A) A + (B + C) = (A + B) + C. (associatividade) (A) A+O = O+A = A, onde O denota a matriz nula. (Existência de elemento neutro). (A4) A + ( A) = O. O símbolo A denota a matriz oposta da matriz A. (Existência de elemento oposto) Multiplicação de um escalar por uma matriz. Seja A = [a ij ] uma matriz de ordem m n e k um número real (ou complexo), a multiplicação do escalar k pela matriz A é matriz que se obtém quando multiplicamos todos os elementos de A por k. Isto é, k A = [k a ij ] m n. Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m n e os escalares α e β, valem as seguintes propriedades: (ME) α (A + B) = α A + α B. (ME) (α + β) A = α A + β A. (ME) A = O. (ME4) α (β A) = (αβ) A 4 A matriz transposta Seja A uma matriz de ordem m n. A matriz de ordem n m que se obtém quando as linhas de A são reescritas como colunas (e as colunas como linhas) é chamada de a matriz transposta de A. Denotamos por A T. Isto é, [a T ij] = [a ji ]. Exemplo. π Se A = 4, então A T = [ ] 4 π. Propriedades: Sejam A e B matrizes de mesma ordem m n e k um escalar não nulo. São válidas as propriedades: (T) (A + B) T = A T + B T. (T) (k A) T = k A T. (T) (A T ) T = A. Dizemos que uma matriz A é simétrica se A T = A. Se A é uma matriz tal que A T = A, 4
dizemos que A é uma matriz antissimétrica. Exemplo 4. [ ]. A matriz A = é simétrica, pois A T = A. [ ]. A matriz B = é antissimétrica. De fato, [ ] [ ] B T = = = B.. A matriz M = é simétrica, pois M T = M. 5 4. A matriz N = é antissimétrica, pois M T = M. 5 Multiplicação de Matrizes Sejam A = [a ij ] n m e B = [b rs ] n p. O produto da matriz A pela matriz B é a matriz AB = [c uv ] m p onde c uv = n a uk b kv = a u b v +... + a un b nv k= para u variando de até m e v variando de até p. [ ] [ a a Exemplo 5. Sejam A = b b e B = a a b b pela matriz N é calculado da seguinte forma: [ ] [ ] [ a a MN = b b a b = + a b a b + a b a a b b a b + a b a b + a b Observações: ]. Então, o produto da matriz M. O produto de duas matrizes A e B só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Além disso, a matriz produto C = AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.. cada elemento c ij de AB é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. ]. 5
. O produto de matrizes não é comutativo. Isto é, em geral, tem-se 6 Exercícios AB BA.. Sejam as matrizes A =, B = e C =. Calcule: (a) A + B (b) AB (c) AC (d) A (Nota: A = A A). Sejam as matrizes A e B de ordem que tenham elementos definidos por a ij = i j e b ij = ( ) i+j. (a) Escreva as matrizes A e B. (b) Determine as matrizes A + B, A B e A B.. Dê exemplos de matrizes de ordem não nulas que sejam: (a) Matriz identidade (b) Matriz nula (c) Matriz diagonal (d) Matriz simétrica (e) Matriz triangular superior 4. Dada a matriz A = [ ], calcule as matrizes (a) A A T (b) A T A 5. Considere as matrizes quadradas de ordem, A = [ ] e B = [ ]. Verifique que A B = O, mas que B A O. 4 6. Dadas as matrizes A =, B = e C = 4 5 calcule AB e AC para mostrar que AB = AC embora B C. Este exemplo mostrar que a lei do cancelamento não é válida no produto de matrizes. 6
7. Sejam A e B matrizes quadradas quaisquer e de mesma ordem. Explique por que, em geral, (A + B) A + AB + B. 8. Descreva a única matriz B de ordem tal que para qualquer matriz A, também de ordem, tenha-se BA = A. [ ] a b 9. Encontre todas as matrizes A = que satisfaçam a equação c d. A matriz A [ ] = [ ] A. [ ] cosθ senθ A(θ) = senθ cosθ efetua no plano xy uma rotação de um ângulo θ. Usando as identidades trigonométricas cos(a + b) = cosacosb senasenb e sen(a + b) = senacosb + senbcosa, verifique que A(θ ) A(θ ) = A(θ + θ ).. Um construtor tem contratos para construir estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: 5 6 7 7 8 9 6 5 8 5 sendo que as colunas de a 5 indicam, respectivamente, a quantidade empregada de ferro, madeira, vidro,tinta e t ijolo; e as linhas de a indicam, respectivamente, o estilo moderno, mediterrâneo e colonial. (a) Se ele vai construir 5, 7 e casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? (b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 5, 8, 5, e unidades monetárias. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? (c) Qual é o custo total do material empregado?. Aplicação a Ecologia - Matriz de Leslie. O crescimento de uma população com estrutura etária pode ser projetado utilizando-se álgebra matricial. As matrizes de Leslie contêm informação sobre as taxas de natalidade e mortalidade de diferentes classes etárias de uma população e são uma forma robusta de calcular o crescimento populacional e fazer projeções da população para diferentes cenários. 7
Suponha que um organismo vivo que pode viver até no máximo anos tem como matriz de Leslie 8 A =. 4 n Determine a matriz N = n, tal que n A N = N. A matriz N é conhecida como o vetor de distribuição etária estável para a referida população. Isso significa que a população estruturada atingiu um estágio onde as taxas demográficas são constantes. Esse problema está relacionado ainda aos conceitos de autovalores e autovetores que serão estudados nesse curso de Álgebra Linear. Nota: Texto adaptado de: http://ecologia.ib.usp.br/ecopop/doku.php?id=roteiros:matriz e do livro Álgebra Linear - uma abordagem geométrica. T. Shifrin; M. R. Adams; ed, LTC. 8