LEONARDO JUNQUEIRA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA PARA PROBLEMAS DE CARREGAMENTO DE CAIXAS DENTRO DE CONTÊINERES

LEONARDO JUNQUEIRA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA PARA PROBLEMAS DE CARREGAMENTO DE CAIXAS DENTRO DE CONTÊINERES Dssertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção da Unversdade Federal de São Carlos, como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Engenhara de Produção. Orentador: Prof. Dr. Renaldo Morabto Neto Agêncas Fnancadoras: CAPES e FAPESP São Carlos 2009

Lvros Gráts http://www.lvrosgrats.com.br Mlhares de lvros gráts para download.

Fcha catalográfca elaborada pelo DePT da Bbloteca Comuntára da UFSCar J957mp Junquera, Leonardo. Modelos de programação matemátca para problemas de carregamento de caxas dentro de contêneres / Leonardo Junquera. -- São Carlos : UFSCar, 2009. 134 p. Dssertação (Mestrado) -- Unversdade Federal de São Carlos, 2009. 1. Pesqusa operaconal. 2. Sstema de untzação de cargas. 3. Otmzação combnatóra. 4. Modelagem matemátca. I. Título. CDD: 658.4034 (20 a )

Aos meus pas, Mara e Osvaldo.

AGRADECIMENTOS Agradeço a todos que contrbuíram de alguma manera, dreta ou ndretamente, para a realzação desta pequena obra. Em especal, gostara de menconar: O professor Renaldo Morabto Neto, por ter me dado a oportundade de realzar este trabalho e pela orentação no mesmo, sempre com muta pacênca e bom humor, e pelas númeras leturas e correções do texto. A pesqusadora Dense Sato Yamashta, por ter acompanhado todas as etapas do desenvolvmento deste trabalho, e por ter sdo sempre muto solícta e pacente nas ajudas em dversos momentos, sem as quas este trabalho dfclmente tera sdo realzado. Os professores Antono Carlos Morett, Horaco Hdek Yanasse e Vtóra Mara Mranda Pureza, pelos comentáros, sugestões e crítcas fetos no exame de qualfcação e na defesa da dssertação, e que me ajudaram a melhorar o nível deste trabalho. O professor Olnto César Bass de Araújo, pelo materal envado, nclundo um códgo para a vsualzação dos padrões de empacotamento, e que muto facltou o desenvolvmento deste trabalho. O professor Walter Lbard, por ter despenddo uma parte do seu tempo em conversas comgo sobre concetos de resstênca dos materas, e que me ajudaram a modelar algumas das consderações prátcas tratadas neste trabalho. Os colegas Alexander Abuabara, Douglas José Alem Junor, Mônca do Amaral, Rafael Patt Otcca de Pava, e todos os demas ntegrantes do Laboratóro de Modelagem do DEP-UFSCar, pelas dcas e conselhos dados durante meu processo de mestrado. Os funconáros do DEP-UFSCar, Raquel Ottan Borolo e Robson Lopes dos Santos, da secretara de pós-graduação, e Leandro Canal Ramos, do suporte de nformátca, pela solctude em dversos momentos. A CAPES e a FAPESP, pelo apoo fnancero. Meus pas, Mara José Zuprol Junquera e Osvaldo José Junquera, e meu rmão, Fabríco Junquera, pela dedcação e atenção em todos os momentos, sem as quas eu dfclmente tera cumprdo mas esta etapa.

... assm me dsse, embora voz alguma ou sopro ou eco ou smples percussão atestasse que alguém, sobre a montanha, a outro alguém, noturno e mserável, em colóquo se estava drgndo: O que procuraste em t ou fora de teu ser restrto e nunca se mostrou, mesmo afetando dar-se ou se rendendo, e a cada nstante mas se retrando, olha, repara, ausculta: essa rqueza sobrante a toda pérola, essa cênca sublme e formdável, mas hermétca, essa total explcação da vda, esse nexo prmero e sngular, que nem concebes mas, pos tão esquvo se revelou ante a pesqusa ardente em que te consumste... vê, contempla, abre teu peto para agasalhá-lo.... (fragmento de A Máquna do Mundo, de Carlos Drummond de Andrade)

RESUMO O objeto de estudo deste trabalho é um caso partcular dos problemas de corte e empacotamento, conhecdo como problemas de carregamento de contêneres. Estes problemas consstem em arranjar caxas retangulares ortogonalmente dentro de contêneres (ou camnhões, vagões ferrováros e paletes), de manera a otmzar uma função objetvo, por exemplo, maxmzar o aprovetamento do espaço dsponível, ou então mnmzar o número de contêneres necessáros para carregar todas as caxas dsponíves. O objetvo deste trabalho é desenvolver modelos de programação matemátca que abordem stuações comumente encontradas na prátca do carregamento de contêneres. Consderações de múltplas orentações das caxas, lmte de peso do contêner, establdade do carregamento, resstênca das caxas ao emplhamento e carga fraconada em múltplos destnos são tratadas. O autor não tem conhecmento de formulações matemátcas dsponíves na lteratura de corte e empacotamento que tratem estas consderações, e este trabalho pretende contrbur com possíves formulações que, embora pouco realstas para serem aplcadas na prátca, descrevem estas stuações. Expermentos computaconas com os modelos propostos são realzados utlzando o aplcatvo GAMS/CPLEX e exemplos gerados aleatoramente e da lteratura. Os resultados mostram que os modelos são coerentes e representam adequadamente as stuações tratadas, embora esta abordagem (na sua versão atual) esteja lmtada a resolver otmamente apenas problemas de tamanho bem moderado. No entanto, os modelos podem ser útes para motvar pesqusas futuras explorando métodos de decomposção, métodos de relaxação, métodos heurístcos, entre outros, para resolver os problemas em questão. Palavras-chave: Problemas de Corte e Empacotamento. Carregamento de Contêneres. Otmzação Combnatóra. Modelagem Matemátca.

ABSTRACT The object of ths study s a partcular case of the cuttng and packng problems, known as contaner loadng problems. These problems consst n arrangng rectangular boxes orthogonally nto contaners (or nto trucks, ralcars and pallets), n order to optmze an objectve functon, for example, maxmze the utlzaton of the avalable space, or mnmze the number of the requred contaners to load all the avalable tems. The objectve of ths study s to develop mathematcal programmng models to deal wth stuatons commonly found n contaner loadng practce. Multple orentatons of the boxes, weght lmt of the contaner, cargo stablty, load bearng strength of the boxes and multple destnatons of the cargo are consdered. The author s not aware of mathematcal formulatons avalable n the cuttng and packng lterature that deal wth such consderatons, and ths paper ntends to contrbute wth possble formulatons that descrbe these stuatons, although not very realstc for beng used n practce. Computatonal experments wth the proposed models are performed wth the software GAMS/CPLEX and randomly generated nstances extracted from the cuttng and packng lterature. The results show that the models are consstent and properly represent the practcal stuatons treated, although ths approach (n ts current verson) s lmted to solve to optmalty only medum-szed problems. However, we beleve that the proposed models can be useful to motvate future research explorng decomposton methods, relaxatons, heurstcs, among others, to solve the present problems. Key-words: Cuttng and Packng Problems. Contaner Loadng. Combnatoral Optmzaton. Mathematcal Modelng.

LISTA DE FIGURAS Fgura 1. Modelo de Mtroff et al. (1974) base para este trabalho....22 Fgura 2. Dspostvos de untzação de carga...28 Fgura 3. Resumo dos tpos ntermedáros de PCE s (maxmzação das saídas)...31 Fgura 4. Resumo dos tpos ntermedáros de PCE s (mnmzação das entradas)...32 Fgura 5. Pontos de referênca para caxas e contêneres...40 Fgura 6. Localzação de uma caxa dentro do contêner...42 Fgura 7. Localzação do contêner no espaço de coordenadas cartesanas...45 Fgura 8. Localzação relatva de duas caxas dentro de um contêner...49 Fgura 9. Plano L Hna posção t em relação ao exo y....57 Fgura 10. Localzação relatva de duas caxas dentro de um contêner...59 Fgura 11. Exemplos de caxas sendo carregadas em camadas vertcas e horzontas....62 Fgura 12. Exemplo de caxas sendo carregadas em plhas....62 Fgura 13. Exemplos de caxas formando um padrão gulhotnado e não-gulhotnado...63 Fgura 14. Exemplo de caxas sendo carregadas em cubódes...64 Fgura 15. Exemplo numérco com os conjuntos X e Y...66 Fgura 16. Supercontêner formado pela unão de dos contêneres....68 Fgura 17. Orentações que uma caxa pode ter com rotações em torno de todos os exos....69 Fgura 18. Mapeamento do conjunto de pontos da face superor da caxa...73 Fgura 19. Área de contato entre duas caxas no plano xy....75 Fgura 20. Mapeamento dos conjuntos de pontos das faces lateral dreta e lateral do fundo da caxa....77 Fgura 21. Áreas de contato entre duas caxas nos planos yz e xz....81 Fgura 22. Conjunto de caxas emplhadas sobre uma caxa de referênca...83 Fgura 23. Camnhão sendo descarregado ao longo de cnco destnos...85 Fgura 24. Exemplo de empacotamento das caxas com o Procedmento 1....88 Fgura 25. Exemplo de empacotamento das caxas com o Procedmento 2....91 Fgura 26. Padrões de empacotamento obtdos com um exemplo dos grupos A m e os modelos M 1, M 2 e M 3...99

Fgura 27. Padrões de empacotamento obtdos com um exemplo dos grupos B m e os modelos M 1, M 2 e M 3.... 102 Fgura 28. Padrões de empacotamento obtdos com um exemplo e os modelos M 4, M 5 M 6 e M 7... 105 Fgura 29. Soluções obtdas para o exemplo de Chen et al. (1995).... 107 Fgura 30. Soluções obtdas para os exemplos de Lns et al. (2002).... 108

LISTA DE TABELAS Tabela 1. Consderações prátcas apresentadas por Bschoff e Ratclff (1995a)...38 Tabela 2. Modelos utlzados nos expermentos computaconas....93 Tabela 3. Dmensões L = W = H dos contêneres para os grupos de exemplos gerados Tabela 4. aleatoramente...94 Número de elementos dos padrões normas e número de restrções e varáves dos modelos com L = W = H guas a 10....96 Tabela 5. Resultados obtdos com exemplos do grupo A 1....97 Tabela 6. Resultados obtdos com exemplos do grupo A 5....98 Tabela 7. Resultados obtdos com exemplos do grupo A 10...98 Tabela 8. Resultados obtdos com exemplos do grupo A 20...98 Tabela 9. Resumo dos expermentos com exemplos dos grupos A m...99 Tabela 10. Resultados obtdos com exemplos do grupo B 1....100 Tabela 11. Resultados obtdos com exemplos do grupo B 5....100 Tabela 12. Resultados obtdos com exemplos do grupo B 10....101 Tabela 13. Resultados obtdos com exemplos do grupo B 20....101 Tabela 14. Resumo dos expermentos com exemplos dos grupos B m...101 Tabela 15. Resultados obtdos com os grupos A 1, A 5, A 10, A 20, B 1, B 5, B 10 e B 20, e os modelos M 4 e M 5....103 Tabela 16. Resultados obtdos com os grupos A 1, A 5, A 10, A 20, B 1, B 5, B 10 e B 20, e os modelos M 6 e M 7....104 Tabela 17. Resultados obtdos com os três exemplos de Lns et al. (2002) e os modelos M 1 e M 2....107

SUMÁRIO CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO...21 CAPÍTULO 2 CARREGAMENTO DE CONTÊINERES...24 2.1 INTRODUÇÃO...24 2.2 LOGÍSTICA: DEFINIÇÕES, CONCEITOS E ATIVIDADES...24 2.3 UNITIZAÇÃO DE CARGA...26 2.3.1 DISPOSITIVOS DE UNITIZAÇÃO DE CARGA...27 2.3.2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA UNITIZAÇÃO DE CARGA...28 2.4 PROBLEMAS DE CORTE E EMPACOTAMENTO...30 2.4.1 PROBLEMAS DE CARREGAMENTO DE CONTÊINERES...33 2.4.2 CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS NO CARREGAMENTO DE CONTÊINERES...37 CAPÍTULO 3 FORMULAÇÕES E MÉTODOS DA LITERATURA...39 3.1 INTRODUÇÃO...39 3.2 FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS...39 3.2.1 FORMULAÇÃO DE BEASLEY (1985)...40 3.2.2 FORMULAÇÃO DE TSAI ET AL. (1993)...43 3.2.3 FORMULAÇÃO DE CHEN ET AL. (1995)...47 3.2.4 FORMULAÇÃO DE HADJICONSTANTINOU E CHISTOFIDES (1995)...54 3.2.5 FORMULAÇÃO DE BEASLEY (2004)...58 3.3 MÉTODOS DE SOLUÇÃO...61

CAPÍTULO 4 MODELAGEM COM CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS... 65 4.1 INTRODUÇÃO... 65 4.2 MANIPULANDO A FORMULAÇÃO DE BEASLEY (1985)... 65 4.3 CONSIDERANDO MÚLTIPLAS ORIENTAÇÕES DAS CAIXAS... 69 4.4 CONSIDERANDO LIMITE DE PESO DO CONTÊINER... 71 4.5 CONSIDERANDO ESTABILIDADE DO CARREGAMENTO... 71 4.6 CONSIDERANDO RESISTÊNCIA DAS CAIXAS AO EMPILHAMENTO... 82 4.7 CONSIDERANDO CARGA FRACIONADA EM MÚLTIPLOS DESTINOS... 84 CAPÍTULO 5 RESULTADOS COMPUTACIONAIS E DISCUSSÃO... 92 5.1 INTRODUÇÃO... 92 5.2 RESULTADOS DE EXEMPLOS GERADOS ALEATORIAMENTE... 92 5.3 RESULTADOS DE EXEMPLOS DA LITERATURA... 106 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS... 109 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 111 APÊNDIDE A MODELOS EM GAMS PARTE I... 123 APÊNDIDE B MODELOS EM GAMS PARTE II... 129

21 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Dentre as prncpas atvdades logístcas destacam-se as atvdades de armazenagem, de manuseo de materas e de transporte de mercadoras, como chaves para a ntegração de cadeas de suprmento, desde os fornecedores até os clentes. Como decorrênca do aperfeçoamento contínuo destas atvdades dentro das empresas, nas últmas décadas, têm ganhado destaque concetos como os de transporte multmodal e untzação de cargas. Este trabalho aborda métodos comumente encontrados na prátca para auxlar na untzação de mercadoras/cargas, ou mas especfcamente, no arranjo de caxas dentro de contêneres, sto é, na contenerzação de carga. O objeto de estudo deste trabalho é um caso partcular dos problemas de corte e empacotamento, conhecdo como problemas de carregamento de contêneres. Nestes problemas, genercamente, caxas retangulares devem ser empacotadas ortogonalmente dentro de um ou mas contêneres. O objetvo deste trabalho é desenvolver modelos de programação matemátca que abordem stuações comumente encontradas na prátca do carregamento de contêneres. Consderações de múltplas orentações das caxas, lmte de peso do contêner, establdade do carregamento, resstênca das caxas ao emplhamento e carga fraconada em múltplos destnos são tratadas. Mutas destas stuações prátcas não encontram formulações matemátcas dsponíves na lteratura de corte e empacotamento, e este trabalho pretende contrbur com modelos de programação matemátca que, embora pouco realstas para serem aplcados nestas stuações, representam os problemas de carregamento de contêneres com estas consderações. As justfcatvas para o desenvolvmento de formulações que descrevam stuações prátcas em carregamento de contêneres estão nas prncpas vantagens do emprego desta forma de untzação de carga, tas como: () redução de perdas, roubos e avaras da carga; () redução de despesas com rotulagem e marcação das cargas; () redução de despesas com utlzação de mão-de-obra para movmentação da carga; (v) aumento da rapdez nas operações de carregamento e descarregamento de veículos e embarcações, etc.

22 Quanto à sua abordagem de pesqusa, este trabalho possu uma abordagem quanttatva, pos esta é partcularmente mas aproprada para produzr descobertas em que relações de causa e efeto são estabelecdas, e em que o pesqusador manpula atvamente um cenáro e observa os efetos desta ntervenção nas varáves de nteresse (BRYMAN, 1989). Quanto ao seu método de pesqusa, este trabalho utlza a modelagem (matemátca) como método, pos este permte ao pesqusador manpular dretamente as varáves ndependentes do problema em questão, e se basear em um conjunto de varáves que varam dentro de um domíno específco, em que modelos de relações causas entre as varáves ndependentes e dependentes são desenvolvdos, analsados e testados. Além dsso, este método permte ao pesqusador se basear na construção de modelos objetvos que explquem o comportamento de processos operaconas da vda real, ou que possam apreender os problemas de tomada de decsão (BERTRAND; FRANSOO, 2002). A Fgura 1 lustra o modelo de Mtroff et al. (1974) base para este trabalho. Fgura 1. Modelo de Mtroff et al. (1974) base para este trabalho. Fonte: adaptado de Bertrand e Fransoo (2002). Isto é, no rotero deste trabalho está a aplcação da modelagem sobre um modelo concetual ncal, a resolução do modelo centífco obtdo através da modelagem, e a realmentação da solução deste modelo centífco no modelo concetual ncal. A hpótese prncpal deste trabalho é a de que é possível empregar a programação matemátca para modelar stuações comumente encontradas na prátca do carregamento de contêneres.

23 Este trabalho está estruturado em ses capítulos. No capítulo 2 é apresentado o contexto em que estão nserdos os problemas estudados. Prmeramente, são apresentados brevemente os concetos de logístca e de untzação de cargas, bem como os dspostvos mas comumente utlzados para untzar mercadoras e as vantagens e desvantagens da utnzação. Em seguda, é apresentada uma breve dscussão dos problemas de corte e empacotamento e, em partcular, dos problemas de carregamento de contêneres e das consderações prátcas que podem ser levadas em consderação quando se deseja modelar estes problemas. No capítulo 3 é apresentada, prmeramente, uma revsão das formulações matemátcas dsponíves na lteratura e que podem ser utlzadas para modelar problemas de carregamento de contêneres. Em seguda, é apresentada uma breve dscussão de alguns métodos de solução dsponíves na lteratura para se resolver estes problemas. No capítulo 4 são apresentadas extensões de um modelo de programação matemátca da lteratura de corte e empacotamento, de modo a abordar stuações comumente encontradas na prátca do carregamento de contêneres. Consderações de múltplas orentações das caxas, lmte de peso do contêner, establdade do carregamento, resstênca das caxas ao emplhamento e carga fraconada em múltplos destnos são tratadas. No capítulo 5 são apresentados os resultados obtdos dos expermentos computaconas realzados com alguns dos modelos, mplementados na lnguagem de modelagem GAMS e resolvdos com o solver CPLEX, com exemplos gerados aleatoramente e da lteratura. No capítulo 6, fnalmente, são dscutdas as conclusões deste trabalho e as perspectvas para pesqusas futuras.

24 CAPÍTULO 2 CARREGAMENTO DE CONTÊINERES 2.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo é apresentado o contexto em que estão nserdos os problemas estudados. Prmeramente, são apresentados brevemente os concetos de logístca e de untzação de cargas, bem como os dspostvos mas comumente utlzados para untzar mercadoras e as vantagens e desvantagens da utnzação. Em seguda, é apresentada uma breve dscussão dos problemas de corte e empacotamento e, em partcular, dos problemas de carregamento de contêneres e das consderações prátcas que podem ser levadas em consderação quando se deseja modelar estes problemas. 2.2 LOGÍSTICA: DEFINIÇÕES, CONCEITOS E ATIVIDADES As orgens da logístca remetem à antgudade. A etmologa da palavra logístca vem do grego logstké e do latm moderno logsta e é relatvo ao cálculo. Tratava-se de uma denomnação dada pelos gregos à parte da artmétca e da álgebra concernente às quatro operações, ou anda um conjunto de sstemas de algortmos aplcados à lógca. No entanto, a etmologa da palavra logístca, tal como tem sdo empregada nos últmos séculos, vem do francês logstque e tratava-se da parte da arte da guerra que trata do planejamento e da realzação de: () projeto e desenvolvmento, obtenção, armazenamento, transporte, dstrbução, reparação, manutenção e evacuação de materal (para fns operatvos ou admnstratvos); () recrutamento, ncorporação, nstrução e adestramento, desgnação, transporte, bem-estar, evacuação, hosptalzação e deslgamento de pessoal; () aqusção ou construção, reparação, manutenção e operação de nstalações e acessóros destnados a ajudar o desempenho de qualquer função mltar; (v) contrato ou prestação de servços (FERREIRA, 1986).

25 Nas empresas, a logístca pode ser vsta como a competênca que vncula a organzação a seus clentes e fornecedores, sto é, um esforço ntegrado planejamento, mplementação e controle do fluxo efcente e economcamente efcaz de matéras-prmas, estoque em processo, produtos acabados e nformações relatvas desde o ponto de orgem até o ponto de consumo com o objetvo de ajudar a crar valor para o clente pelo menor custo total possível, exstndo para satsfazer as necessdades dos clentes e facltando as operações relevantes de produção e marketng. O valor em logístca é expresso prncpalmente em termos de tempo e lugar. Produtos e servços não têm valor a menos que estejam sob a posse do clente quando (tempo) e onde (lugar) eles desejam consum-los (BOWERSOX; CLOSS, 2001; BALLOU, 2002). A logístca tem como mssão dspor a mercadora ou o servço certo, no lugar certo, no tempo certo e nas condções desejadas, ao mesmo tempo em que fornece a maor contrbução à empresa. As atvdades logístcas podem ser dvddas em essencas e de apoo. As atvdades essencas são também denomnadas atvdades prmáras, e ncluem gestão de estoques, processamento de peddos e transporte. As atvdades de apoo são também denomnadas atvdades secundáras, e ncluem armazenagem, manuseo de materas, embalagens de proteção, programação de produtos e manutenção de nformação (BALLOU, 2002). Neste trabalho, as atvdades logístcas mas dretamente relaconadas são as atvdades de armazenagem, de manuseo de materas, de embalagens de proteção e de transporte. Todas estas atvdades envolvem a déa de mercadoras (ou cargas) que devem ser devdamente armazenadas, manuseadas, embaladas e transportadas. As cargas podem ser classfcadas bascamente em (MDIC, 2008): Carga Geral: carga embarcada, com marca de dentfcação e contagem de undades, podendo ser solta (tens avulsos, embarcados separadamente em embrulhos, fardos, pacotes, sacas, caxas, tambores, etc.) ou untzada (agrupamento de város tens em undades de transporte); Carga a Granel: carga líquda ou seca embarcada e transportada sem acondconamento, sem marca de dentfcação e sem contagem de undades (por exemplo, petróleo, mnéros, trgo, farelos e grãos, etc.); Carga Frgorfcada: necessta ser refrgerada ou congelada para conservar as qualdades essencas do produto durante o transporte (por exemplo, frutas frescas, pescados, carnes, etc.);

26 Carga Pergosa: aquela que, por causa de sua natureza, pode provocar acdentes, danfcar outras cargas ou os meos de transporte ou, anda, gerar rscos para as pessoas (por exemplo, explosvos, gases, líqudos ou sóldos nflamáves, substâncas oxdantes, nfeccosas ou radoatvas, corrosvos, etc.); Neo-granel: carregamento formado por conglomerados homogêneos de mercadoras, de carga geral, sem acondconamento específco, cujo volume ou quantdade possblta o transporte em lotes, em um únco embarque (por exemplo, veículos); Neste trabalho, o tpo de carga a ser estudado é a Carga Geral Untzada. Produtos e peças são embalados geralmente em caxas de papelão, sacos, pequenas caxas, ou mesmo barrs, para maor efcênca no manuseo. Essas embalagens são usadas para agrupar produtos e são chamadas embalagens secundáras. As três funções prncpas de uma embalagem podem, geralmente, ser descrtas como proteção contra avaras, utldade e efcênca, e comuncação. Quando as embalagens secundáras são agrupadas em undades maores essa formação é chamada untzação (BOWERSOX; CLOSS, 2001). 2.3 UNITIZAÇÃO DE CARGA O termo untzação sgnfca agrupamento de caxas numa carga únca, formando um só volume, para manuseo ou transporte. Como observado na seção anteror, para propcar a efcênca do manuseo, produtos como latas, garrafas ou caxas são normalmente juntados, ou untzados, em undades maores. A undade ncal, a caxa mestra, apresenta duas característcas mportantes. Em prmero lugar, ela serve para proteger o produto durante o processo logístco. Em segundo lugar, faclta o manuseo, crando um pacote de grandes dmensões em vez de númeras undades pequenas. Por fm, as caxas mestras são normalmente consoldadas em undades maores, vsando obter maor efcênca tanto no manuseo quanto no transporte (BOWERSOX; CLOSS, 2001). Uma outra justfcatva a favor da untzação é também um prncpo fundamental no manuseo de materas. Geralmente, a economa do manuseo de materas é dretamente proporconal ao tamanho da carga manuseada. Isto é, com o aumento do tamanho da carga, um número menor de vagens é requerdo para estocar determnada quantdade de mercadoras, então, maor é a economa. O número de vagens relacona-se dretamente ao

27 tempo de mão-de-obra necessáro para movmentar as mercadoras, assm como o tempo que o equpamento de manuseo de materas está em servço (BALLOU, 2002). As cargas untzadas apresentam mutas vantagens. Em prmero lugar, são reduzdos o tempo de descarga e o congestonamento no ponto de destno. Em segundo lugar, é facltado o manuseo de materas, pela smplfcação na verfcação das mercadoras, em sua entrada, e no rápdo posconamento para a separação de peddos. Cargas untzadas tomam somente um qunto do tempo necessáro no manuseo convenconal. Por últmo, a quantdade de avaras em trânsto pode ser reduzda pela adoção de cargas untzadas e equpamentos especalzados para o transporte. Todos esses fatores reduzem custos logístcos (BOWERSOX; CLOSS, 2001). 2.3.1 DISPOSITIVOS DE UNITIZAÇÃO DE CARGA Exstem dversos dspostvos utlzados para untzação (ou consoldação) de carga. Os mas comumente encontrados são (TTC4, 2008): Slngs (lngas): são cntas de materal sntétco que formam uma rede, utlzadas freqüentemente para sacara, podendo segur com a carga até o destno fnal ou apenas até compartmentos específcos de modas de transporte, quando são então retradas; Bg-bags: são sacos de materal sntétco, com fundo geralmente crcular ou quadrado, utlzados freqüentemente para produtos ndustralzados em grãos e pós, em substtução a sacara, possundo geralmente capacdade superor à das slngs, e podendo ser reutlzáves; Paletes: são plataformas geralmente de madera (mas podendo ser também de alumíno, aço, polpropleno, papelão, etc.), sustentadas por pés ou vgas do mesmo materal, sobre as quas mercadoras são emplhadas, e podendo ser descartáves ou reutlzáves; Contêneres: são caxas geralmente de aço (mas podendo ser também de alumíno ou fbra), utlzadas para acondconamento e transporte de mercadoras, devendo ser sufcentemente fortes para resstr ao uso repettvo, e podendo ser utlzados como parte ntegrante de dferentes modas de transporte (camnhões, vagões ferrováros ou navos);

28 ULD (Unt Load Devces): são equpamentos de untzação de cargas aéreas, ou seja, são os paletes e contêneres utlzados no transporte aéreo; podendo ter formatos e tamanhos dferentes daqueles utlzados no transporte terrestre e marítmo; A Fgura 2 lustra alguns modelos destes dspostvos de untzação de carga: Fgura 2. Dspostvos de untzação de carga. (na seqüênca: slng, bg-bag, palete, contêner e ULD) 2.3.2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA UNITIZAÇÃO DE CARGA A utlzação de dspostvos de untzação de carga possu suas vantagens e desvantagens. Estas são apresentadas a segur (MDIC, 2008; NOVO MILÊNIO, 2008): Vantagens: Redução de perdas, roubos e avaras da carga; Redução de despesas com rotulagem e marcação das cargas, pos não é necessáro realzar as operações para cada tem; Redução de taxas de estva, conferênca e conserto da carga nos locas de embarque e desembarque; Redução de despesas com utlzação de mão-de-obra para movmentação da carga, nas dependêncas da empresa exportadora; Redução de taxas com servços de profssonas autônomos (capataza) nos locas de embarque e desembarque; Aumento da rapdez nas operações de carregamento e descarregamento de veículos e embarcações, permtndo, em conseqüênca, o aumento da rotatvdade dos mesmos; Aumento da capacdade das nstalações de armazenagem, quando é possível emplhar os dspostvos de untzação; Possbldade de descontos e franquas conceddos sobre o valor do frete básco;

29 Possbldade de armazenagem da carga em áreas descobertas (no caso dos contêneres); Possbldade de operações de carregamento e descarregamento de veículos e embarcações sob condções clmátcas adversas (no caso dos contêneres); Possbldade de aplcação do conceto de sstema global de transportes, no qual a carga se movmenta na forma untzada ao longo de toda a cadea; Desvantagens: Espaços perddos dentro da undade de carga; Necessdade de nvestmentos na aqusção de dspostvos de untzação, acessóros para a fxação da carga e equpamentos para a movmentação da undade de carga nos locas de embarque e desembarque, e, eventualmente, nos termnas ntermedáros de transferênca entre dferentes modas de transporte; Necessdade, eventualmente, de modfcações nos layouts das nstalações dos locas de embarque e desembarque e dos termnas ntermedáros; Aumento do valor do frete em stuações em que a tara do dspostvo de untzação é ncorporada na pesagem total de transporte; Transporte do dspostvo de untzação vazo para o local onde se faz o carregamento do mesmo; Despesas com reparos, reposção e retorno dos dspostvos de untzação; Taxas de sobreestada (demurrage) pelo uso do dspostvo de untzação, quando este fca por um período além do prazo lvre nas dependêncas da empresa exportadora; Dentre as justfcatvas técncas e econômcas a favor da untzação de carga, talvez a prncpal sejam os ganhos de produtvdade por equpamento/hora nas operações de carregamento e descarregamento. Segundo matéra publcada no boletm da Cartera de Comérco Exteror (Cacex) e transcrta no caderno semanal Marnha Mercante em Todo o Mundo do jornal O Estado de São Paulo, na edção de 12 de janero de 1988 (NOVO MILÊNIO, 2008), no transbordo cas/navo, os ganhos de produtvdade com carga geral solta (não untzada) são de 12 a 15 toneladas por equpamento/hora, enquanto que com carga geral paletzada são de 22 toneladas por equpamento/hora, e com carga geral contenerzada são de 72 toneladas por equpamento/hora em termnas convenconas, e de 240 toneladas por equpamento/hora em termnas especalzados. Estes números, juntamente com a experênca

30 de empresas que adotaram a untzação de carga, ndcam que esta tende progressvamente a dexar de ser um nstrumento preferencal no transporte de carga geral, para se no consttur no contexto básco em que se deve processar o transporte de mercadoras nos comércos naconal e nternaconal. 2.4 PROBLEMAS DE CORTE E EMPACOTAMENTO Os problemas de corte e empacotamento podem ser dvddos, genercamente, em problemas de corte, os quas consstem em cortar undades maores em undades menores, e em problemas de empacotamento, os quas consstem em empacotar undades menores dentro de undades maores. As undades maores são aqu denomnadas objetos, e as undades menores são aqu denomnadas tens. Ambos os problemas se propõem a otmzar certos objetvos. Exemplos de aplcações de problemas de corte aparecem no corte de barras de aço, bobnas de papel, caxas de papelão, chapas metálcas ou de madera, rolos de tecdo, placas de vdro, etc. Exemplos de aplcação do problema de empacotamento aparecem no carregamento de caxas sobre paletes ou dentro de contêneres e camnhões. Embora na prátca sejam dos problemas muto dstntos, do ponto de vsta matemátco não mporta se o padrão obtdo para um dado conjunto de undades é nterpretado como sendo um padrão de corte ou um padrão de empacotamento, o que mplca na exstênca de uma dualdade entre os problemas de corte e os problemas de empacotamento, sto é, na dualdade entre cortar materal/empacotar espaço e cortar espaço/empacotar materal. A partr do níco dos anos 90, além destas duas classes de problemas, outros problemas correlatos ou ntegrados, com estrutura lógca smlar, passaram a ser tratados como problemas de corte e empacotamento. Lvros relaconados ao tema corte e empacotamento podem ser encontrados em Brown (1971), Martello e Toth (1990), Dyckhoff e Fnke (1992), Dyckhoff et al. (1997). Artgos e edções especas de revstas relaconados ao tema corte e empacotamento, contendo revsões, levantamentos, tpologas e métodos de solução podem ser encontrados em Golden (1976), Hnxman (1980), Dowsland (1985), Dyckhoff et al. (1985), Dyckhoff (1990), Haessler e Sweeney (1991), Dowsland e Dowsland (1992), Morabto e Arenales (1992), Ram (1992), Sweeney e Paternoster (1992), Cheng et al. (1994), Martello (1994a; 1994b), Bschoff e Wäscher (1995), Coffman et al. (1996), Arenales et al. (1999), Hf (2002b), Lod et al. (2002a), Wang e Wäscher (2002), Olvera e Wäscher (2007), Wäscher et al. (2007).

31 Wäscher et al. (2007), baseados nas déas orgnas de Dyckhoff (1990), apresentam uma nova tpologa para organzar e categorzar a lteratura de PCE s. Os autores dstnguem cnco crtéros para defnr os tpos refnados de PCE s. Os crtéros forma de alocação das undades (1) e varedade de tens (2) defnem os tpos báscos de PCE s. Com relação à forma de alocação das undades (1), os autores dstnguem entre maxmzação (do valor) das saídas, em que um subconjunto de todos os tens dsponíves deve ser seleconado de modo a ser alocado em todos os objetos, e mnmzação (do valor) das entradas, em que um subconjunto de todos os objetos dsponíves deve ser seleconado de modo que todos os tens sejam alocados. Estes dos crtéros, juntamente com o crtéro varedade de objetos (3), defnem os tpos ntermedáros de PCE s, que estão lustrados nas Fguras 3 e 4, respectvamente de acordo com o crtéro forma de alocação das undades (1). As sglas utlzadas para desgnar os tpos ntermedáros são explctadas na seção segunte, no contexto dos problemas de carregamento de contêneres. Fgura 3. Resumo dos tpos ntermedáros de PCE s (maxmzação das saídas). Fonte: adaptado de Wäscher et al. (2007).

32 Fgura 4. Resumo dos tpos ntermedáros de PCE s (mnmzação das entradas). Fonte: adaptado de Wäscher et al. (2007). No decorrer do texto, em mutas ocasões é utlzado o termo tpo para agrupar undades (tens ou objetos) que possuem característcas comuns como, por exemplo, suas dmensões. Nas Fguras 3 e 4, undades guas se referem àquelas que pertencem a um mesmo e únco tpo, e undades dferentes se referem àquelas que pertencem a tpos dferentes. Em partcular, undades pouco dferentes se referem àquelas que pertencem a poucos tpos dferentes, mas em que há mutas undades guas de cada tpo, e undades muto dferentes se referem àquelas que pertencem a mutos tpos dferentes, mas em que há poucas undades guas de cada tpo. Fnalmente, os tpos refnados de PCE s são defndos acrescentando-se aos três crtéros anterores os crtéros dmensão (4) e forma dos tens (5). Os PCE s podem ter uma, duas ou três dmensões, e tratar tens com formas regulares (retângulos, caxas, círculos, esferas, clndros, etc.) ou rregulares (geralmente não convexas e assmétrcas). Para os casos não contemplados pelos cnco crtéros anterores, a tpologa de Wäscher et al. (2007) os defne como varantes, e ncluem, por exemplo, PCE s com dmensão maor que três, objetos não retangulares e/ou não homogêneos (com defetos, por exemplo), padrões não ortogonas e/ou que combnem tens regulares e rregulares.

33 2.4.1 PROBLEMAS DE CARREGAMENTO DE CONTÊINERES O objeto de estudo deste trabalho são os problemas de carregamento de contêneres, que são casos partculares do problema de empacotamento. Estes são referencados na lteratura de corte e empacotamento com uma grande dversdade de nomes. Alguns nomes (em nglês) mas comumente utlzados são: contaner loadng problem, contaner packng problem, three-dmensonal cargo-loadng problem, three-dmensonal packng problem, three-dmensonal knapsack packng problem, three-dmensonal bnpackng problem, three-dmensonal strp packng problem, sngle contaner loadng problem, multple contaner loadng problem, three-dmensonal pallet loadng problem, mult-pallet loadng problem, mult-pallet packng problem, three-dmensonal palletzaton problem, three-dmensonal cuttng problem, etc. Nestes problemas, genercamente, caxas retangulares devem ser empacotadas ortogonalmente dentro de um ou mas contêneres. No entanto, após esta operação, geralmente nem todos os espaços dsponíves conseguem ser preenchdos, gerando espaços ocosos que são, conseqüentemente, transportados juntamente com as caxas. Surge então a necessdade de planejar o empacotamento das caxas de modo a utlzar da melhor manera os recursos (espaços ou contêneres) dsponíves. Com base na tpologa de Wäscher et al. (2007), é possível dvdr estes problemas entre quase todos os quatorze tpos ntermedáros de problemas apresentados nas Fguras 3 e 4, ressaltando-se que são problemas com três dmensões (3D) e as formas dos tens são retangulares (R). Tpos de problemas de carregamento de contêneres (maxmzação das saídas): 3D-R-IIPP (Identcal Item Packng Problem): Um subconjunto de caxas guas deve ser seleconado para ser carregado em um únco contêner, de modo a maxmzar o volume (ou valor) total de caxas empacotadas dentro do contêner. Este problema fo estudado, por exemplo, por Han et al. (1989), George (1992), Lu e Hsau (1997) e Lns et al. (2002). 3D-R-SLOPP (Sngle Large Object Placement Problem): Um subconjunto de caxas pouco dferentes deve ser seleconado para ser carregado em um únco contêner, de modo a maxmzar o volume (ou valor) total de caxas empacotadas dentro do contêner. Este problema fo estudado, por exemplo, por Morabto e Arenales (1994; 1997), Ngo et al.

34 (1994), Bschoff e Ratclff (1995a), Bschoff et al. (1995), Abdou e Arghavan (1997), Xue e La (1997), Bortfeldt e Gehrng (1998), Chen e Wu (1998; 1999), Gehrng e Bortfeldt (1998), Ratclff e Bschoff (1998), Daves e Bschoff (1999), Bortfeldt (2000), Eley (2002), Hf (2002a; 2004), Bortfeldt et al. (2003), Lm et al. (2003; 2005), Chen e Deng (2004), Mack et al. (2004), Moura e Olvera (2005), Bschoff (2006), Araujo e Armentano (2007), Wang et al. (2008), Chrstensen e Rousøe (2009) e Huang e He (2009b). 3D-R-MILOPP (Multple Identcal Large Object Placement Problem): Um subconjunto de caxas pouco dferentes deve ser seleconado para ser carregado em város contêneres guas, de modo a maxmzar o volume (ou valor) global de caxas empacotadas dentro dos contêneres. Este problema fo estudado, por exemplo, por Bortfeldt (2000). 3D-R-MHLOPP (Multple Heterogeneous Large Object Placement Problem): Um subconjunto de caxas pouco dferentes deve ser seleconado para ser carregado em város contêneres dferentes, de modo a maxmzar o volume (ou valor) global de caxas empacotadas dentro dos contêneres. Este problema fo estudado, por exemplo, por Eley (2003). 3D-R-SKP (Sngle Knapsack Problem): Um subconjunto de caxas muto dferentes deve ser seleconado para ser carregado em um únco contêner, de modo a maxmzar o volume (ou valor) total de caxas empacotadas dentro do contêner. Este problema fo estudado, por exemplo, por George e Robnson (1980), Bschoff e Marrott (1990), Gehrng et al. (1990), Haessler e Talbot (1990), Gehrng e Bortfeldt (1997; 2002), Padberg (2000), Bortfeldt e Gehrng (2001), He e Cha (2002), Psnger (2002), Ceclo (2003), Ceclo e Morabto (2004), Lm et al. (2005), Moura e Olvera (2005), Yeung e Tang (2005), Egeblad e Psnger (2009) e Huang e He (2009a). 3D-R-MIKP (Multple Identcal Knapsack Problem): Um subconjunto de caxas muto dferentes deve ser seleconado para ser carregado em város contêneres guas, de modo a maxmzar o volume (ou valor) global de caxas empacotadas dentro dos contêneres. Este problema fo estudado, por exemplo, por Radl e Kodydek (1998). 3D-R-MHKP (Multple Heterogeneous Knapsack Problem): Um subconjunto de caxas muto dferentes deve ser seleconado para ser carregado em város contêneres dferentes, de

35 modo a maxmzar o volume (ou valor) global de caxas empacotadas dentro dos contêneres. Não foram encontrados trabalhos na lteratura que tratassem esse problema específco. Tpos de problemas de carregamento de contêneres (mnmzação das entradas): 3D-R-SSSCSP (Sngle Stock Sze Cuttng Stock Problem): Um subconjunto de contêneres guas deve ser seleconado para ser carregado com caxas pouco dferentes, de modo a mnmzar o número (ou custo) global de contêneres necessáros para empacotar todas as caxas. Este problema fo estudado, por exemplo, por Bschoff e Ratclff (1995b), Schethauer et al. (1996), Bortfeldt (2000), Terno et al. (2000), Eley (2002) e Gendreau et al. (2006). 3D-R-MSSCSP (Multple Stock Sze Cuttng Stock Problem): Um subconjunto de contêneres pouco dferentes deve ser seleconado para ser carregado com caxas pouco dferentes, de modo a mnmzar o número (ou custo) global de contêneres necessáros para empacotar todas as caxas. Este problema fo estudado, por exemplo, por Bortfeldt (2000) e Eley (2003). 3D-R-RCSP (Resdual Cuttng Stock Problem): Um subconjunto de contêneres muto dferentes deve ser seleconado para ser carregado com caxas pouco dferentes, de modo a mnmzar o número (ou custo) global de contêneres necessáros para empacotar todas as caxas. Não foram encontrados trabalhos na lteratura que tratassem esse problema específco. 3D-R-SBSBPP (Sngle Bn Sze Bn Packng Problem): Um subconjunto de contêneres guas deve ser seleconado para ser carregado com caxas muto dferentes, de modo a mnmzar o número (ou custo) global de contêneres necessáros para empacotar todas as caxas. Este problema fo estudado, por exemplo, por Martello et al. (2000), Lod et al. (2002b; 2004), Faroe et al. (2003), Jn et al. (2003), Myazawa e Wakabayash (2003), Slva e Soma (2003), Slva et al. (2003) e Boschett (2004). 3D-R-MBSBPP (Multple Bn Sze Bn Packng Problem): Um subconjunto de contêneres pouco dferentes deve ser seleconado para ser carregado com caxas muto dferentes, de modo a mnmzar o número (ou custo) global de contêneres necessáros para empacotar todas as caxas. Não foram encontrados trabalhos na lteratura que tratassem esse problema específco.

36 3D-R-RBPP (Resdual Bn Packng Problem): Um subconjunto de contêneres muto dferentes deve ser seleconado para ser carregado com caxas muto dferentes, de modo a mnmzar o número (ou custo) global de contêneres necessáros para empacotar todas as caxas. Este problema fo estudado, por exemplo, por Chen et al. (1995). 3D-R-ODP (Open Dmenson Problem): Um únco contêner com duas dmensões fxas (por exemplo, a largura e a altura) e uma dmensão varável (por exemplo, o comprmento) deve ser carregado com caxas dferentes, de modo a mnmzar a dmensão varável (o comprmento) necessára para empacotar todas as caxas. Este problema fo estudado, por exemplo, por Corcoran e Wanwrght (1992), Myazawa e Wakabayash (1997; 1999), La et al. (1998), Fana (2000) e Bortfeldt e Mack (2007). Neste trabalho, algumas das formulações propostas são passíves de serem utlzadas com uma outra classe de problemas da lteratura de corte e empacotamento, também um caso partcular do problema de empacotamento, que são os problemas de carregamento de paletes trdmensonas. Hodgson (1982) dvde o problema de carregar caxas sobre paletes em duas varantes: o Problema de Carregamento de Paletes do Produtor (Manufacturer s Pallet Loadng Problem) e o Problema de Carregamento de Paletes do Dstrbudor (Dstrbutor s Pallet Loadng Problem) (MORALES, 1995; FARAGO, 1999; OLIVEIRA, 2004; ROCHA, 2008). A dferença entre eles é que no prmero há apenas um tpo de caxa (sto é, todas as caxas são guas), enquanto no segundo há mas de um tpo. Ambos os problemas podem ser resolvdos de manera bdmensonal ou trdmensonal, embora a prmera seja a mas comumente encontrada na prátca. A dferença entre elas é que no caso bdmensonal o padrão de empacotamento é construído em camadas horzontas sobre o palete, enquanto no caso trdmensonal o padrão de empacotamento pode ser genérco. Neste últmo caso, os problemas podem ser vstos, respectvamente, como sendo dos tpos 3D-R-IIPP e 3D-R-SLOPP (MORABITO; ARENALES, 1994; 1997; BISCHOFF; RATCLIFF, 1995a).

37 2.4.2 CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS NO CARREGAMENTO DE CONTÊINERES Os problemas de carregamento de contêneres, como todos os problemas de corte e empacotamento, devem satsfazer duas consderações báscas: () as caxas devem ser empacotadas completamente dentro dos contêneres; () as caxas empacotadas não devem se sobrepor, sto é, não devem ocupar um mesmo lugar dentro do contêner. Os prmeros trabalhos a tratar problemas de carregamento de contêneres tnham como meta contemplar estas duas consderações. No entanto, com o avanço das pesqusas, outras consderações (exgêncas) prátcas também passaram a ter um apelo maor ao tratar problemas de carregamento de contêneres. Bschoff e Ratclff (1995a) apresentam doze exgêncas prátcas que podem ser levadas em consderação quando se deseja modelar problemas de carregamento de contêneres mas realstas. A Tabela 1 apresenta estas doze consderações prátcas acompanhadas de uma breve descrção e de alguns exemplos de trabalhos que tratam estas consderações mplícta ou explíctamente. Não foram encontrados trabalhos que tratassem problemas de carregamento de contêneres com consderações de manuseo, prordades e complexdade do padrão de carregamento.

38 Tabela 1. Consderações prátcas apresentadas por Bschoff e Ratclff (1995a). Consderação Prátca Descrção 1 Orentação Algumas caxas devem ser carregadas dentro do contêner com orentações préestabelecdas. 2 Emplhamento 3 Manuseo 4 Establdade 5 6 7 8 Agrupamento de tens Múltplos Destnos Separação de tens Carregamento completo de grupos de tens 9 Prordades 10 Complexdade do padrão de empacotamento 11 Lmte de peso 12 Dstrbução de peso dentro do contêner Um número máxmo de caxas pode ser emplhado, umas sobre as outras, ou, mas genercamente, a pressão total exercda sobre a face superor de uma determnada caxa não deve exceder um lmte máxmo pré-estabelecdo, para que não ocorram alterações na sua forma. Exemplos aparecem em Schethauer et al. (1996), Gehrng e Bortfeldt (1997; 2002), Ratclff e Bschoff (1998), Bortfeldt e Gehrng (2001), Bschoff (2006), Gendreau et al. (2006), Ln et al. (2006), Chrstensen e Rousøe (2009). Algumas caxas, devdo às suas dmensões, ao seu peso, ou ao equpamento que realza o carregamento/descarregamento da carga, devem estar posconadas em determnados lugares dentro do contêner. Algumas caxas devem ter suas faces nferores suportadas por faces superores de outras caxas, e/ou suas faces lateras apoadas nas faces lateras de outras caxas. Exemplos aparecem em Gehrng et al. (1990), Bschoff e Ratclff (1995a), Bschoff et al. (1995), Schethauer et al. (1996), Gehrng e Bortfeldt (1997; 2002), Daves e Bschoff (1999), Terno et al. (2000), Bortfeldt e Gehrng (2001), Eley (2002; 2003), He e Cha (2002), Psnger (2002), Bortfeldt et al. (2003), Slva e Soma (2003), Slva et al. (2003), Jn et al. (2004), Mack et al. (2004), Moura e Olvera (2005), Yeung e Tang (2005), Gendreau et al. (2006), Ln et al. (2006), Araujo e Armentano (2007). Caxas com um destno comum ou de um mesmo tpo devem ser posconadas próxmas dentro do contêner. Exemplos aparecem em Bschoff e Ratclff (1995a), Terno et al. (2000), Eley (2003), Ior (2004). Caxas a serem entregues para dferentes destnos devem ser posconadas próxmas, umas das outras, dentro do contêner, e devem ser carregadas de modo a consderar o rotero a ser percorrdo pelo contêner e a ordem em que elas serão descarregadas. Exemplos aparecem em Bschoff e Ratclff (1995a), Schethauer et al. (1996), La et al. (1998), Terno et al. (2000), Ior (2004), Jn et al. (2004), Moura e Olvera (2005), Araujo (2006), Gendreau et al. (2006), Ln et al. (2006), Campos (2008), Chrstensen e Rousøe (2009). Caxas que não podem estar em contato, umas com as outras, devem ser posconadas afastadas dentro do contêner. Exemplos aparecem em Eley (2003). As caxas contendo todos os componentes que fazem parte de uma mesma entdade funconal (por exemplo, um equpamento) devem estar presentes no mesmo carregamento. Exemplos aparecem em Terno et al. (2000). Caxas com produtos com data de entrega ou prazo de valdade próxmos, por exemplo, podem ter maores prordades para estarem no carregamento, em detrmento de outras caxas com menores prordades. Caxas presentes em padrões de carregamento complexos podem demandar esforços maores de manuseo, devdo, por exemplo, às lmtações do equpamento que realza o carregamento/descarregamento da carga. Caxas bastante pesadas devem ser carregadas dentro do contêner sem exceder o lmte de peso máxmo que o contêner pode suportar. Exemplos aparecem em Schethauer et al. (1996), Gehrng e Bortfeldt (1997; 2002), Terno et al. (2000), Bortfeldt e Gehrng (2001), Ior (2004), Gendreau et al. (2006). O centro de gravdade de um contêner carregado deve estar localzado próxmo do centro geométrco do plano que defne a base. Exemplos aparecem em Gehrng et al. (1990), Gehrng e Bortfeldt (1997), Daves e Bschoff (1999), Bortfeldt e Gehrng (2001), Eley (2002; 2003), He e Cha (2002).

39 CAPÍTULO 3 FORMULAÇÕES E MÉTODOS DA LITERATURA 3.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo, prmeramente, é apresentada uma revsão das formulações matemátcas dsponíves na lteratura e que podem ser utlzadas para modelar problemas de carregamento de contêneres. Em seguda, é apresentada uma breve dscussão de alguns métodos de solução dsponíves na lteratura para se resolver estes problemas. 3.2 FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS A segur são revsadas dferentes formulações matemátcas (também chamadas ndstntamente modelos matemátcos no decorrer do texto) encontradas na lteratura, que foram propostas por seus autores para modelar dretamente problemas de carregamento de contêneres, ou que podem ser estenddas faclmente para modelar estes problemas. São apresentadas na ordem cronológca as formulações de Beasley (1985), Tsa et al. (1993), Chen et al. (1995), Hadjconstantnou e Chrstofdes (1995) e Beasley (2004). Outras formulações que modelam dretamente ou que podem ser estenddas faclmente para modelar problemas de carregamento de contêneres podem ser encontradas em Schethauer e Terno (1993), Padberg (2000) e Martns (2002). É mportante destacar a pror que: () a notação utlzada neste texto para cada formulação não necessaramente concde com a notação orgnal utlzada pelos respectvos autores; () nas formulações de Beasley (1985), Hadjconstantnou e Chrstofdes (1995) e Beasley (2004), são defndos tpos para as caxas, mas que, por smplcdade, estas são tratadas smplesmente por caxas; () as expressões, tanto neste capítulo como no segunte, por smplcdade, são numeradas seqüencalmente. Com relação a este últmo ponto, como mutas expressões são eventualmente repetdas nas dferentes formulações, as expressões que aparecem pela prmera vez são destacadas em

40 negrto das demas. Isto é, cada expressão não destacada possu pelo menos uma outra expressão dêntca com uma outra numeração. Além dsso, de modo a facltar a letura dos modelos ao longo do texto, a Fgura 5 lustra um conjunto de pontos de referênca que são comuns a todas as formulações apresentadas neste capítulo e no segunte: Fgura 5. Pontos de referênca para caxas e contêneres. 3.2.1 FORMULAÇÃO DE BEASLEY (1985) Beasley (1985) apresenta um modelo de programação lnear ntera 0-1 para o problema de corte não-gulhotnado bdmensonal, em que peças retangulares de dferentes dmensões devem ser cortadas a partr de um únco retângulo grande, com o objetvo de maxmzar o valor total das peças cortadas. O autor desenvolve um procedmento exato de busca em árvore para resolver o problema. O algortmo lmta o tamanho da busca em árvore utlzando um lmtante superor obtdo com a relaxação lagrangana do modelo. O procedmento de otmzação do subgradente é utlzado para otmzar o lmtante superor obtdo com a relaxação lagrangana, e testes de redução do problema, dervados tanto do problema orgnal quanto do problema relaxado, são utlzados para reduzr o tamanho dos problemas. O autor apresenta resultados computaconas para as soluções ótmas de doze problemas testes dferentes, com o maor problema resolvdo tendo dez tpos de tens