Algoritmo de Otimização para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e de Passageiros

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1 Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca Centro de Pesqusa e Desenolmento em Engenhara Elétrca Escola de Engenhara da Unersdade Federal de Mnas Geras Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e de Passageros Por: Danel José Pmenta Dssertação de mestrado submetda à Banca Examnadora desgnada pelo Colegado do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca da Unersdade Federal de Mnas Geras, como requsto para a obtenção de título de Mestre em Engenhara Elétrca. Orentadores: Prof. Dr. João Antôno de Vasconcelos DEE Departamento de Engenhara Elétrca Prof. Dr. Geraldo Robson Mateus DCC Departamento de Cênca da Computação Belo Horzonte Dezembro de 2001

2 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 1 Agradecmentos Antes de tudo, deo agradecer a Deus que, nos momentos mas dfíces, me deu forças e perseerança para termnar este trabalho. Sem suas bênçãos, nada dsto tera sdo possíel. Aos meus pas, agradeço em seguda. A meu pa por sempre me lembrar em aumentar o níel da concentração e abaxar o níel do rádo. À mnha mãe pelas númeras bandejas de lanche que leou ao meu quarto. À mnha rmã, que mutas ezes me escutou no dã do seu quarto, todas as ezes que algo daa errado. Não foram poucos esses momentos. Agradeço também à mnha amga e protetora Rojane, secretára do PPGEE, que também escutou mnhas reclamações e manfestações de desânmo em sua mesa. Ajudando na elaboração das déas e na nspração do presente trabalho, agradeço ao Prof. Constantno Sexas, bem como ao consultor e amgo Sr. Cláudo Grataroll. Acolhendo o trabalho que propus, e orentando-me com toda sua pacênca e sabedora, agradeço ao meu orentador, Prof. Dr. João Antôno de Vasconcelos. Quanto ao meu co-orentador, o Prof. Dr. Geraldo Robson Mateus, agradeço pelas dersas ezes que me atendeu após o expedente, além da ajuda essencal na elaboração do modelo matemátco do problema. Quanto à mnha carrera profssonal, agradeço àquele que me ofereceu a oportundade de aperfeçoamento na área de desenolmento de softwares, o engenhero e analsta de sstemas Manoel Mendes, bem como ao também engenhero e analsta de sstemas, Francsco Domngos Neto. Sou grato a todos os colegas do CPDEE e DCC que me apoaram nos momentos dfíces. Agradeço também àqueles Programas Tranee em que não pude ser aproetado, por não me encaxar no perfl requerdo. Caso estesse eu ngressado em algum deles, talez não estara, agora, escreendo este agradecmento. Espero habtuar-me a deslgar o computador, noamente, antes da mea note.

3 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 2 Resumo Neste trabalho, estuda-se o problema de transporte de cargas e passageros, com base em um modelo não clássco para o Problema de Roteamento de Veículos PRV. Nos modelos clásscos, as aráes de otmzação são as rotas, formadas por arcos, onde um eículo dstnto trafega do níco ao fm das mesmas. No modelo desenoldo neste trabalho, as aráes de otmzação são os arcos que formam as rotas. Dessa forma, o ambente de otmzação é formado por um conjunto de rotas, arcos e eículos. Os arcos e eículos podem ser compartlhados por rotas dstntas. Essa stuação é dferente nos modelos clásscos, pos no modelo desenoldo neste trabalho exste a possbldade de um mesmo eículo atender a mas de um peddo, caso sua rota possua arcos comuns a outras rotas. A mplementação desse modelo deu orgem a um software que pode ser utlzado na análse de problemas de roteamento de eículos. No modelo desenoldo neste trabalho, consderou-se a possbldade de se ter uma frota consttuída por dferentes tpos de eículos, ônbus e furgões, com dferentes capacdades. Além dsso, as commodtes a serem transportadas foram consderadas de dos tpos: passageros e cargas. O software fo testado atraés da smulação de um conjunto de cenáros dstntos, escolhdos de tal manera que as prncpas característcas do modelo desenoldo pudessem ser checadas. Os resultados obtdos mostraram-se consstentes com a expectata, demonstrando a abldade do modelo empregado.

4 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 3 Abstract In ths wor, t s studed the passenger and product transportaton problem whch s based on a non-classc model for the Vehcle Routng Problem VRP. In classc problems, the optmzaton arables are the routes, composed of arcs, where a dstnct ehcle traels from begnnng to end of the route. In the model deeloped n ths study, the arables of optmzaton are the arcs that form the routes. In ths way, the optmzaton enronment s formed by a set of routes, arcs and ehcles. The arcs and ehcles can be shared between dstnct routes. Ths stuaton s dfferent from the classc models, because n the model deeloped n ths study there s a possblty of the same ehcle to meet more than one request, when ts route has arcs n common wth another one. The software orgnated by the mplementaton of ths model can be utlzed to analyze ehcle routng problems. The model has consdered the possblty of hang a fleet formed by dfferent nds of ehcles, wth dfferent capactes. Besdes, the commodtes to be transported are of two dfferent types: passengers and products. The software was tested usng a lot of dstnct sceneres, chosen n such a way that the man characterstcs of the model deeloped could be checed. The results obtaned show the effecteness and ablty of the model used.

5 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 4 Sumáro AGRADECIMENTOS...1 RESUMO...2 ABSTRACT...3 SUMÁRIO...4 ÍNDICE DE FIGURAS...6 ÍNDICE DE TABELAS...6 CAPÍTULO I...7 Introdução Resão Bblográfca Objetos Descrção da Proposta Contrbuções Organzação da Dssertação Conclusão CAPÍTULO Modelo Matemátco Introdução Metodologa Aplcada Em relação à estrutura da rede: Em relação aos eículos: Em relação aos peddos: Em relação às aráes de otmzação: Formulação Matemátca Função objeto Restrções de exclusdade Restrções de capacdade Conclusão CAPÍTULO Métodos de Resolução Estudados Introdução Relaxação Lagrangeana Introdução Método de Subgradente Aplcação da Relaxação Lagrangeana Descrção do Algortmo para Resolução do Problema de Roteamento Descrção do CPLEX Conclusão... 31

6 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 5 CAPÍTULO Software Desenoldo Introdução Característcas do Software Desenoldo Introdução Prncpas telas Conclusão CAPÍTULO Resultados Introdução Descrção do Problema Teste Utlzado na Montagem dos Cenáros Smulação de Problemas de Roteamento Empregando o MultTrans Cenáro Cenáro Comparação entre Resultados Obtdos pelo MultTrans e CPLEX Cenáro Cenáro Conclusão CAPÍTULO Conclusões BIBLIOGRAFIA...62 ANEXO I SCRIPTS PARA O CPLEX...65

7 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 6 Índce de Fguras Fgura Exemplo de malha rodoára Fgura 3. 1 Classfcação dos problemas de roteamento de eículos [67] Fgura 3. 2 Fluxograma geral do algortmo para resolução de PRVs Fgura 3. 3 Heurístca para ncar o algortmo de roteamento Fgura 3. 4 Heurístca para geração da solução áel Fgura 4. 1 Tela de apresentação do software Fgura 4. 2 Tela da opção Otmzação Fgura 4. 3 Tela da opção Códgos Fgura 4. 4 Tela das etapas do algortmo Fgura 4. 5 Tela dos resultados das heurístcas Fgura 4. 6 Tela do grafo com os custos dos arcos Fgura 4. 7 Tela do mapa da regão Fgura 5. 1 Exemplo de cenáro Fgura 5. 2 Mapa da regão consderada Fgura 5. 3 Malha rodoára Fgura 5. 4 Cenáro Fgura 5. 5 Resultados do cenáro Fgura 5. 6 Conergênca do algortmo na etapa 2 para o problema do cenáro Fgura 5. 7 Custos orgnas Fgura 5. 8 Malha com os custos alterados nos arcos 8,20 e 16, Fgura 5. 9 Relação de peddos que compõem o cenáro Fgura Resultados do cenáro 2 com os custos orgnas Fgura Resultados do cenáro 2 com os custos modfcados Fgura Cenáro Fgura Resultados do cenáro Fgura Conergênca da solução cenáro Fgura Solução CPLEX cenáro Fgura Cenáro Fgura Resultado MultTrans - cenáro Fgura Solução CPLEX cenáro Índce de Tabelas Quadro 1. 1 Prncpas trabalhos na área de programação lnear Quadro 5.1 Custos do transporte nos arcos para os dos tpos de eículos Quadro 5. 2 Códgo das localdades Quadro 5. 3 Resumo dos resultados cenáro

8 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 7 Capítulo I Introdução O conforto e a pratcdade oferecdos pelo transporte rodoáro fzeram com que, nas últmas décadas, houesse um crescmento sgnfcato do número de eículos trafegando pelas rodoas, aendas e ruas, proocando, além de engarrafamentos, aumento no consumo de combustíes e nos tempos para se percorrer um determnado trajeto. Este fato, assocado ao anseo por parte das empresas de mnmzar os custos no transporte de cargas, tem despertado o nteresse de números pesqusadores em estudos nessa área, na busca de soluções ótmas para os problemas de roteamento de eículos PRV. Nesse contexto, o estudo do PRV e a elaboração de um modelo que contemplasse o uso de dferentes tpos de eículos para transporte de cargas e passageros foram os elementos motadores para a realzação desse trabalho. Isso se justfca pela mportânca do tema e pela demanda da socedade cada ez maor por serços de qualdade, mas baratos e mas rápdos. Neste capítulo, procura-se stuar o letor atraés de uma bree resão bblográfca, da descrção dos objetos deste trabalho, da descrção sucnta da proposta e das contrbuções esperadas. Após, é feta uma bree descrção da organzação dos capítulos desta dssertação. 1.1 Resão Bblográfca O sstema de roteamento é defndo como "um conjunto organzado de meos que objeta o atendmento de demandas localzadas nos arcos e/ou nos értces de alguma rede de transportes" [6]. No caso de roteamento de eículos, o objeto mas comum é utlzar-se de uma frota de eículos para atender a um conjunto de peddos de entrega, cujas demandas estão localzadas nos nós da rede denomnados destno. Para atender a esses peddos, um conjunto de restrções dee ser respetado. Essas restrções podem ser as mas dersas, como: capacdade

9 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 8 lmtada dos eículos, capacdade lmtada dos arcos ou dos nós; tamanho da frota; quantdade de nós; tempo de entrega; etc. Na lteratura, há números trabalhos publcados, os quas abordam os mas dersos temas, desde modelos smples com frota homogênea, commodtes de únco tpo e sem janela de tempo a modelos bem mas complexos com frota não-homogênea, commodtes de dferentes tpos, janela de tempo para a entrega da encomenda, com roteamento dnâmco, etc. Em 1987, por exemplo, a abordagem feta por Kolen, Kan e Treneens [15] em problemas de roteamento de eículos, consderou o problema com janela de tempo tme wndows, uma frota fxa de eículos, com capacdade lmtada e dsponíel em um únco depósto. O objeto era atender a um conjunto de clentes com uma dada demanda. Cada clente dea ser stado dentro de um período específco de tempo. Em 1993, Tallard [22] obserou que PRV s eram, na maora das ezes, problemas NP-dfíces NP-hard, e, portanto, técncas de otmzação combnatóra e métodos heurístcos poderam ser mas recomendados. Neste trabalho, o autor consderou o problema PRV formulado para eículos dêntcos quantdade não defnda, possundo capacdade de carga fxa, com as cargas concentradas em um únco depósto. O objeto deste trabalho fo mnmzar a dstânca percorrda pelos eículos para completar um percurso fechado entre áras cdades. As restrções consderadas foram de capacdade lmtada dos eículos e que cada cdade pudesse receber sua encomenda atraés de um só eículo. Posterormente, Tallard consderou o mesmo problema formulado com restrção de janela de tempo [22]. Em 1998, Saelsbergh e Sol [19] apresentaram um software para planejamento de transporte a ser ncorporado em um sstema de suporte de decsão para uma grande companha de transporte rodoáro na regão de Benelux Bélgca, Holanda e Luxemburgo, com cerca de 1400 eículos, transportando 160 ml encomendas para centenas de consumdores, para dezenas de centenas de endereços. O serço dessa companha era grosseramente dddo em duas partes: o sstema de transporte regular e o sstema de transporte dreto. No sstema regular, carregamentos dedo a pequenas cargas que são coletadas no seu local de orgem, são armazenados em um depósto central. Durante a note, estas cargas são transportadas até um centro de dstrbução próxmo do seu destno e no da segunte entregues ao destnatáro.

10 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 9 No sstema de transporte dreto, carregamentos maores até a carga completa de um camnhão são coletados na orgem e enados atraés do mesmo eículo ao destnatáro. Em cada peddo são especfcados o tamanho da carga a ser transportada, a sua orgem e o seu destno e o tempo admtdo entre a coleta e a entrega da mesma. Nesse problema, fo consderada uma frota heterogênea de eículos dsponíel para operar as rotas. Os parâmetros consderados no modelo de cada eículo são: capacdade, orgem, tempo necessáro para sua dsponbldade no local onde ele está sendo requstado. Esse tpo de problema é conhecdo como problema geral de coleta e entrega GPDP - General Pcup and Delery Problem.

11 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 10 Quadro 1. 1 Prncpas trabalhos na área de programação lnear. A mportânca deste estudo feto por Saelsbergh e Sol no âmbto deste trabalho se dee, dentre outros, à modelagem do transporte com eículos dstntos e com capacdade dstntas. Essas são as prncpas característcas do presente trabalho, conforme será sto no tem 1.4. Problemas com essas característcas são escassos na lteratura. É mpossíel e fora do contexto deste trabalho descreer todas as contrbuções na solução de problemas de roteamento de eículos. Para os letores mas nteressados, apresentamos um resumo das abordagens propostas para solução dessa classe de problemas no quadro Objetos O modelo clássco de uma rede de transporte de cargas consdera um conjunto de nós de oferta e de demanda, ou somente um nó de oferta e dersos nós de demanda, onde eículos com capacdades lmtadas crculam pela rede com o objeto de atender aos peddos, sto é, transportando

12 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 11 commodtes dos nós de oferta para os nós de demanda. Para que sso ocorra, os eículos crculam atraés das rotas exstentes entre os nós. A cada rota ou arco é assocado um custo. Entende-se aqu custo como sendo o conjunto de fatores que oneram o deslocamento do eículo de um nó para outro, como combustíel, tempo, desgaste do eículo, característcas da a, dstânca percorrda, dentre outros. O objeto deste trabalho, neste contexto, consste em otmzar uma rede de transporte com as seguntes característcas, em relação ao modelo clássco: - transporte não de uma, mas de duas commodtes, uma ez que os eículos poderão transportar não só cargas, como também embarcar e desembarcar passageros; - frota consttuída por dos tpos dstntos de eículos, do tpo furgão para transporte de cargas e do tpo ônbus para transporte de cargas e passageros; - exstênca de rotas pré-estabelecdas para o tráfego dos eículos, pos nem sempre uma a públca para eículos de pequeno porte é capaz de suportar o tráfego de eículos como ônbus; - custos de transporte específcos para cada tpo de eículo, porém relaconados a cada arco da rede, uma ez que cada arco poderá fazer parte de dersas rotas dstntas; - exstênca de dersos nós de oferta, pos as commodtes poderão partr de qualquer um dos nós que representam pontos estratégcos da rede como: estações ou termnas rodoáros, estações de metrô, aeroportos, ou pontos de grande momentação. Conseqüentemente, as cargas e ou passageros poderão desembarcar em qualquer um dos nós da rede; - o modelo consderado neste trabalho é estátco, sto é, haendo um conjunto de peddos, eles são dstrbuídos para os nós de destno com custo mínmo; - não é consderado no modelo janela de tempo; - consdera-se neste modelo a dsponbldade no nó de oferta do eículo solctado no processo de otmzação, seja ele ônbus ou furgão. O modelo de rede de transporte utlzado no presente trabalho apresenta algumas lmtações, sto é, ele consdera a dsponbldade de eículos do tpo e número requerdos no processo de otmzação nos nós de oferta. Além dsso, o custo adconal na transferênca de cargas entre eículos dstntos não fo consderado. Esse custo representa o somatóro dos dersos custos operaconas exstentes, relato à parada do eículo, à mão-de-obra para descarregar e carregar as cargas, entre outros. Ademas, o tempo para entrega dos peddos não é computado, além do tempo gasto para carga e descarga dos pacotes e embarque e desembarque dos passageros. Assm, o presente trabalho não pretende oferecer uma solução defnta para o problema PRV consderado. Ele sa, sm, contrbur, juntamente com as dersas pesqusas e trabalhos já realzados sobre o assunto, atraés da modelagem do problema de roteamento em um sstema msto

13 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 12 de transporte, onde eículos de dferentes tpos coexstem, transportando conjuntamente cargas e passageros, sem a presença de um únco centro de dstrbução, mas de dersos. 1.3 Descrção da Proposta A fgura 1.1 nos mostra uma malha rodoára real, de uma regão metropoltana. É claro que outra podera ter sdo utlzada para lustrar o problema PRV, como uma malha rodoára ntermuncpal ou mesmo nterestadual, podendo-se trocar os tpos de eículos para uma maor coerênca. No caso de uma malha nterestadual, por exemplo, podera se trocar o tpo de eículo de furgão para camnhão. Os círculos em azul representam termnas rodoáros, de metrô, aeroportos ou qualquer outro ponto estratégco que possa representar um nó da rede. Eles poderão ser tanto nós de oferta quanto nós de demanda, consttundo assm uma rede dstrbuída. Os círculos em ermelho e preto representam os centros de apoo, ou seja, nós de transbordo, não podendo atuar nem como orgem de rota nem como destno fnal de eículos. Os arcos em azul representam as prncpas as de acesso aos centros urbanos. Por eles poderão crcular os dos tpos de eículos exstentes: tanto os ônbus quanto os furgões. Já os arcos em ermelho representam as as de acesso secundáras. A preferênca de tráfego nos mesmos é para os furgões, por serem arcos mas congestonados. Essa preferênca é caracterzada pela atrbução de um alto custo de tráfego para crculação dos ônbus. O transporte de passageros em qualquer sentdo é feto exclusamente pela frota de ônbus, após a erfcação de uma eentual demanda de passageros para embarque de um nó para outro. Já o transporte de cargas poderá ser realzado tanto pela frota de ônbus quanto pela de furgões, também após a erfcação dos peddos exstentes para entrega em uma determnada nstânca do da. O modelo, conforme dto anterormente, pressupõe que sempre exstem eículos dsponíes para o roteamento, em qualquer nó da rede de oferta, no momento da alocação dos mesmos para efetuarem as entregas. Caso houesse a preocupação de se estabelecer quantos e quas eículos pertencem a um determnado nó, uma sére de consderações adconal tera que ser feta. Por exemplo, se a quantdade de peddos exstentes para um determnado nó não ultrapassa a quantdade de eículos dsponíes para o mesmo. Caso ultrapasse, é precso estabelecer quanto tempo leara para que o eículo pudesse retornar ao seu nó orgem e qual sera o custo adconal acarretado por esse retorno, uma ez que o eículo podera estar dstante do seu nó de orgem [10].

14 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 13 Fgura Exemplo de malha rodoára. Uma ez escolhdo o eículo, atendendo às restrções de carga máxma, lotação máxma e custo de deslocamento, o algortmo proposto escolhe a rota de menor custo para aquele eículo atender ao peddo. Entende-se aqu por rota um conjunto de arcos predefndos para nterlgar os dersos nós da rede. O algortmo escolhdo para determnar o camnho de menor custo, utlza método de Djstra [1] [2] [6] [7]. Um exemplo dessa mplementação pode ser sta em [5]. 1.4 Contrbuções O presente trabalho sa contrbur com o estudo e modelagem de problemas de roteamento de eículos, em que a frota é consttuída de tpos dstntos para o transporte de mas de um tpo de

15 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 14 commodty. O software desenoldo, baseado no modelo proposto, poderá serr de ponto de partda para outros pesqusadores que desejem dar contnudade a esta pesqusa. 1.5 Organzação da Dssertação A presente dssertação encontra-se ddda da segunte forma: uma ntrodução contendo a resão bblográfca, os objetos do trabalho, a descrção da proposta e as contrbuções oferecdas. No capítulo 2, a modelagem do problema é apresentada, explcando-se a metodologa aplcada em relação aos áros tens do problema, como estrutura da rede, eículos utlzados, peddos exstentes e aráes de otmzação. Além dsso, a formulação matemátca é apresentada, nclundo-se a defnção da função objeto, as restrções de exclusdade e de capacdade. No capítulo 3, os métodos empregados na construção do software desenoldo para resolução dos problemas de roteamento com característcas descrtas no tem 1.3 são apresentados. Bascamente, são o método de relaxação lagrangeana e duas heurístcas propostas neste trabalho. O pacote de otmzação CPLEX, baseado no método SIMPLEX, é apresentado. O mesmo fo utlzado apenas para gerar resultados e permtr uma comparação com aqueles gerados pelo software desenoldo neste trabalho. No capítulo 4, os resultados obtdos na análse de dersos cenáros, construídos para testar o software desenoldo, são apresentados. A análse desses resultados e conclusões é feta na seqüênca. No capítulo 5 são apresentadas as conclusões fnas, bem como propostas para contnudade desta pesqusa. 1.6 Conclusão Neste capítulo, apresentamos de forma sucnta a resão bblográfca, a defnção dos objetos deste trabalho, a descrção da proposta, as lmtações do modelo consderado, bem como a organzação dos capítulos desta dssertação.

16 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 15 Capítulo 2 Modelo Matemátco 2.1 Introdução Neste capítulo, apresentamos a metodologa utlzada juntamente com a formulação matemátca para o problema de roteamento de eículos descrto no capítulo anteror. Procurou-se elaborar uma metodologa smples, de fácl compreensão, permtndo ao letor sualzar todo o ambente de otmzação, sto é, a estrutura físca da rede como os tpos de nós, seus arcos e custos assocados, bem como os eículos que comporão a frota, seus tpos e suas capacdades. Os peddos e as aráes de otmzação foram defndos, bem como os nós de orgem e de destno. Os produtos a serem transportados, como descrto no capítulo anteror, são passageros e cargas. O problema fo formulado matematcamente atraés da defnção da função objeto, bem como da dentfcação das restrções de exclusdade e de capacdade a serem atenddas. 2.2 Metodologa Aplcada A metodologa aplcada para o problema de roteamento proposto fo elaborada a partr das defnções apresentadas nos tens a a segur Em relação à estrutura da rede: A: conjunto de arcos da malha ára S: conjunto de arcos que saem do nó E: conjunto de arcos que chegam ao nó I : conjunto de nós de transbordo ntermedáros N : conjunto total de nós localdades exstentes na malha F c j : custo de deslocamento do nó para o nó j para eículos do tpo Furgão,, j N O c j : custo de deslocamento do nó para o nó j para eículos do tpo Ônbus,, j N o: nó orgem do peddo d: nó destno do peddo

17 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros Em relação aos eículos: F : conjunto de eículos do tpo furgão O : conjunto de eículos do tpo ônbus V : conjunto de eículos exstentes, V = F O L : lotação máxma de cada eículo do tpo O C : carga máxma de cada eículo do tpo F ou O Em relação aos peddos: P : conjunto de requsções peddos exstentes a ser atenddo Q : conjunto de cargas a ser entregue E : conjunto de passageros a ser embarcado Em relação às aráes de otmzação: Cada peddo P é caracterzado por um par de nós orgem/destno e por uma commodty que dee ser transportada da orgem até o destno atraés de arcos, utlzando-se um determnado eículo V, com um custo de deslocamento assocado conforme o tpo de eículo utlzado: se furgão ou ônbus. Tal peddo se enquadrará em uma das seguntes combnações possíes: 1 uma carga q Q deerá ser transportada de para j 2 uma lotação l E deerá ser transportada de para j 3 uma carga q Q e uma lotação l E deerão ser transportadas de para j Formulação Matemátca A proposta de formulação matemátca para o problema de roteamento descrta a segur adota o padrão sntátco normalmente utlzado na lteratura. Antes da descrção passo a passo de todas as etapas necessáras ao desenolmento da formulação, coném lembrarmos que as restrções

18 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 17 seguntes, exstentes em uma rede real, não foram consderadas no modelo desenoldo neste trabalho: - eentual ndsponbldade de eículos em todos os nós de oferta; - custo adconal dedo à transferênca de cargas e embarque/desembarque de passageros quando da necessdade de permuta de eículo; - tempo de entrega dos peddos, bem como o tempo de partda e chegada da lotação. A segur, são apresentadas as funções objeto, de restrções de exclusdade e de capacdade consderadas na formulação do problema de otmzação aplcada ao roteamento de eículos abordado neste trabalho Função objeto De acordo com a metodologa descrta anterormente, a função objeto é construída consderando a exstênca de dos termos: o prmero, que consdera o custo do transporte por furgões e o segundo, por ônbus. No prmero caso, esse custo pode ser aalado consderando o somatóro dos custos de deslocamento dos furgões transportando carga, de um nó orgem para um nó destno, para todos os peddos exstentes: mnmze P, j A, F c j x j + 1 e no segundo caso, o somatóro dos custos de deslocamento dos ônbus transportando carga e/ou passageros, de um nó orgem para um nó destno, também para todos os peddos: P c y j j, j A, O Restrções de exclusdade Contnudade de fluxo: Nó orgem

19 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 18 Para cada nó orgem de um peddo, sempre haerá um e somente um eículo, furgão ou ônbus, dsponíel para o seu atendmento. Logo, a dferença entre os somatóros de tudo que sa e tudo que entra no nó orgem é gual a 1: + j O S j j F S j y x,, 1,, = l O E l l F E l y x 3, o P Nó transbordo Para cada nó transbordo para um peddo, a dferença entre os somatóros de tudo que sa e tudo que entra no nó transbordo é gual a 0: + j O S j j F S j y x,, 0,, = l O E l l F E l y x 4, d o N P Nó destno Para cada nó destno para um peddo, sempre haerá um e somente um eículo furgão ou ônbus chegando a esse nó, atendendo a esse peddo. Isto é, a dferença entre os somatóros de tudo que sa e tudo que entra no nó destno é gual a 1: + j O S j j F S j y x,, 1,, = l O E l l F E l y x 5, d P Lmtação no número de eículos = 1 + j O j F y x 6 S j, o P,

20 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 19 sempre haerá um, e somente um, eículo furgão ou ônbus atendendo ao peddo Restrções de capacdade As restrções de capacdade são dadas pelas equações 7, 8 e 9 a segur. Isto é, cada furgão pode transportar no arco,j uma carga máxma nferor ou gual a Q: P q x j Q para todo F,, j A 7 De forma semelhante, os ônbus também podem transportar no arco,j uma carga máxma nferor ou gual a Q: P q y j Q para todo O,, j A 8 ao mesmo tempo em que sua lotação máxma é lmtada a L : l yj P L para todo O,, j A Conclusão A metodologa e formulação matemátca que apresentamos defnem de forma smples e objeta o problema a ser otmzado. A nomenclatura utlzada e a consderação de termos dstntos para furgões e ônbus na função objeto e restrções facltam a expansão dessa formulação para outros tpos de eículos, bem como a consderação de outras restrções não contempladas no modelo.

21 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 20 Capítulo 3 Métodos de Resolução Estudados 3.1 Introdução Neste capítulo, o método de relaxação lagrangeana e as heurístcas desenoldas para o tratamento das restrções do problema PRV, descrtas no capítulo anteror, são apresentados. Este estudo tem por objeto dscutr as característcas do método de relaxação lagrangeana, o qual é consderado na lteratura como uma excelente técnca para se determnar o lmte nferor no processo de otmzação. As heurístcas foram desenoldas no sentdo de resguardar a abldade da solução encontrada. Os problemas com númeras restrções e aráes nteras, ou com função objeto descontínua, não podem ser faclmente soluconados. Grande parte dos problemas de roteamento é desse tpo. As estratégas oferecdas pela pesqusa operaconal para solução de problemas desse tpo, conforme referênca [7], são mostradas na fgura 3.1. Fgura 3. 1 Classfcação dos problemas de roteamento de eículos [6,7]

22 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros Relaxação Lagrangeana Introdução No método de relaxação lagrangeana, o problema orgnal com númeras restrções, normalmente complexo, tem algumas restrções relaxadas, permtndo sua smplfcação. Essas restrções relaxadas são penalzadas atraés de multplcadores de Lagrange, os quas são gradatamente ajustados ao longo das terações. A seqüênca de soluções gerada cada ez mas se aproxma da solução ótma do problema. Uma boa são dessa técnca poderá ser sta em Maculan [30] e Fsher [31]. Se consderarmos a formulação geral sugerda por Coln [29], temos para o problema de otmzação ntera: Mn cx Sujeto a Ax b P1 10 Bx d x 0,1 onde c é um etor lnha, cujos coefcentes representam custos, x é o etor de aráes de otmzação, Ax b e Bx d representam as restrções do problema. Uma ez que a solução ótma deerá satsfazer todas as restrções exstentes, o método de relaxação lagrangeana permte escolher quas restrções serão relaxadas, e quas permanecerão na forma orgnal, para que possam ser trabalhadas ao longo das etapas do processo de otmzação. Em P1 temos dos conjuntos de restrções a serem atenddas: Ax b e Bx d. Se escolhermos o prmero conjunto de restrções a serem relaxadas, um etor lnha de multplcadores λ λ 0, = 1,...,m será utlzado na penalzação dessas restrções, conforme P2 a segur: Mn cx + λb Ax Sujeto a Bx d P2 11 x 0,1 A escolha das restrções a serem relaxadas dependerá da formulação do problema. Geralmente se escolhem as restrções mas complexas ou dfíces de serem atenddas. O método de relaxação lagrangeana, como dto anterormente, é uma ótma técnca para a determnação do lmte nferor que consste no alor da função objeto acrescda do termo

23 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 22 correspondente à penalzação λb Ax. Obsere aqu que se b Ax < 0 e λ > 0, o produto λb Ax < 0. Logo, este resultado, acrescdo ao alor da função objeto, é menor que o alor da função objeto orgnal, o qual é consderado como lmte superor. Na solução ótma, os dos alores, função objeto e função objeto penalzada, são guas a menos de um erro. Obsere que o lmte superor é dado pelo alor da função objeto orgnal, sem contudo erfcar se a solução encontrada é áel. Se consderarmos todas as aráes x compondo um únco conjunto X, temos: Mn c - λax + λb Sujeto a Bx d P3 12 x 0,1 x X A formulação P3 fornece um lmte nferor em relação à solução ótma para o problema orgnal P1, para todo λ 0. A estratéga é dessa forma maxmzar, a cada teração, o alor dos multplcadores de Lagrange e, ao mesmo tempo, mnmzar o alor da função, sto é: P4 13 Quando o alor do lmte nferor se gualar ao alor do lmte superor a menos de uma constante, a solução ótma do problema fo encontrada, ou seja, a solução do problema dual se guala à solução do problema prmal. A técnca empregada para a otmzação do problema dual, sto é, para o cálculo dos multplcadores de Lagrange, fo a do subgradente. Esta técnca é apresentada a segur Método de Subgradente O método de subgradente consste em um procedmento terato para o cálculo de noos multplcadores para o problema P4.

24 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 23 Seja π um parâmetro de alor defndo entre 0 e 2, Z UB o lmte superor upper bound e Z LB o lmte nferor lower bound, o objeto a ser alcançado na solução de P4 é encontrar um conjunto ótmo de multplcadores λ que, assocados a solução x X em P3, dê um lmte o problema em P3. Z LB nferor para Uma ez defndos esses parâmetros, e segundo a formulação proposta em Coln [29], os subgradentes g para as restrções relaxadas para a corrente solução tomam a forma: g = b n j= 1 a j x j, = 1,...,m 14 Para se calcular o alor do ncremento para os multplcadores λ, conforme detalhado em Coln [29], é calculado o segunte parâmetro T, o qual sempre terá alor posto: T π Z UB = m = 1 Z g 2 LB 15 A atualzação de λ na teração +1 é feta consderando o alor desse multplcador na teração, o parâmetro T e o subgradente g, da segunte forma: + 1 λ = max 0, λ + Tg ; = 1,...,m 16 O alor ncal para os multplcadores pode ser a prncípo escolhdo aleatoramente. Porém, uma análse préa dos alores ncas dos lmtes do problema estudado eta uma quantdade muto grande de terações para atualzação de λ. Após o cálculo e atualzação desses multplcadores, uma heurístca auxlar é aplcada a fm de se escolher noos alores para x, na função objeto, o que sgnfca a escolha de uma noa seqüênca canddata de eículos para o atendmento dos peddos exstentes, o que será detalhado no tem

25 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros Aplcação da Relaxação Lagrangeana Relembrando o modelo proposto tem 2.3, bem como suas restrções de capacdade tem 2.3.3, podemos aplcar a relaxação nas seguntes restrções: Relaxando a restrção 7 temos: P j F j A j, Q x q α 17 Relaxando a restrção 8 temos: P j O j A j, Q y q β 18 Relaxando a restrção 9 temos: P j O j A j, L y l γ 19 A função objeto, penalzada pelas restrções relaxadas, toma a segunte forma: Mnmze: F j j A j P x c, + O j j A j P y c, + P j F j A j, Q x q α + P j O j A j, Q y q β + P j O j A j, L y l γ 20 Sujeto às restrções de exclusdade 3 6, reescrtas abaxo por conenênca:

26 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 25 + j O S j j F S j y x,, 1,, = l O E l l F E l y x, o P 21 + j O S j j F S j y x,, 0,, = l O E l l F E l y x, d o N P 22 + j O S j j F S j y x,, 1,, = l O E l l F E l y x, d P 23 = 1 + j O j F y x, S j, o P, 24 Recordando o modelo de restrção do tem 3.2.2, dado por = n j j j b x a 1, 25 notamos que no caso do modelo proposto, as restrções 7, 8 e 9 tomam a forma: P j b x a, A j V,,, 26 onde as equações dos subgradentes são representadas por: = P j j b x a g A j V,,. 27 Assm, temos os seguntes subgradentes:

27 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 26 G = g onde α j g = j Q q xj 28 P F,, j A G = g onde β j g = j P q y j Q O,, j A 29 G = g onde γ j g = j P l y j L O,, j A 30 Da fórmula do ncremento, dada em temos: T π ZUB Z LB = G + G + G 2 α β γ A atualzação dos Multplcadores de Lagrange fca dependente dos alores obtdos para os subgradentes gerados para cada restrção. Anda utlzando-se do método Coln [29], essa atualzação é feta da segunte forma: α atualzado = máxmo0, α anteror + TG α 32 β atualzado = máxmo0, β anteror + TG β 33 γ atualzado = máxmo0, γ anteror + TG γ Descrção do Algortmo para Resolução do Problema de Roteamento Introdução O algortmo desenoldo neste trabalho para a resolução do problema de roteamento é consttuído de quatro etapas dstntas. Cada uma dessas etapas é responsáel por um conjunto de tarefas específcas, como análse da abldade da solução encontrada, escolha de noos eículos para

28 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 27 compor a frota de atendmento, obtenção de noos lmtes para a função objeto, etc. A fgura 3.2 nos mostra o fluxograma do algortmo, composto pelas quatro etapas que serão explcadas nos tens seguntes. Fgura 3. 2 Fluxograma geral do algortmo para resolução de PRVs Etapa 1 A prmera etapa a ser executada é a escolha ncal dos eículos para os peddos exstentes. Para cada peddo, composto das localdades de orgem e destno, um algortmo de menor camnho baseado no algortmo de Djstra [5] é executado. Esse algortmo utlza dos tpos de custo de transporte para cada arco, a saber: custo para furgão e custo para ônbus. Dessa forma, após essa 1 a etapa, um resultado ncal ndcará, para cada peddo, quas arcos deerão ser percorrdos por furgão e quas deerão ser percorrdos por ônbus. Um procedmento auxlar de troca de eículos também é mplementado nessa etapa, para troca de furgão por ônbus, caso haja lotação no peddo analsado. Essa prmera etapa é representada pelo fluxograma da heurístca 1, na fgura 3.2.

29 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 28 Fgura 3. 3 Heurístca para ncar o algortmo de roteamento Etapa 2 A segunda etapa do algortmo de resolução consstrá na erfcação da abldade da solução encontrada. Em outras palaras, a etapa 2 rá checar se os eículos escolhdos pela etapa 1 rão atender às restrções de capacdade máxma de acordo com o tpo de eículo escolhdo. Se em algum arco pertencente à rota de custo mínmo, de um determnado peddo, a carga ou lotação a ser transportada exceder a capacdade máxma do eículo escolhdo, a solução encontrada tornar-se-á náel. Após a checagem de todos os arcos, das rotas de camnho mínmo de todos os peddos, e a constatação da nabldade da solução, uma técnca de tratamento das restrções oladas, denomnada relaxação lagrangeana, é aplcada. A aplcação dessa técnca consstrá na tercera etapa do nosso algortmo.

30 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros Etapa 3 A tercera etapa tem como objeto o tratamento das restrções oladas, atraés do uso da relaxação lagrangeana. Conforme sto no tem , para cada escolha ncal de eículos canddatos para atender aos peddos exstentes, obtemos um lmte superor. Já o lmte nferor é composto pelo alor da função objeto acrescdo de um alor negato referente às funções de restrção relaxadas. Dessa forma, a técnca da relaxação lagrangeana tem como objeto aproxmar o alor desses lmtes. As restrções relaxadas são multplcadas por parâmetros conhecdos como multplcadores de Lagrange que são submetdos a constantes atualzações na busca do conjunto ótmo de parâmetros para a solução corrente. O método do subgradente fo empregado neste trabalho para atualzação desses multplcadores, conforme sto anterormente. A cada noa atualzação dos multplcadores, comparam-se os alores do lmte nferor e superor. Esse procedmento de atualzação é executado até que o alor do lmte nferor alcance uma establdade. Se, após essa establdade, o lmte superor e o nferor não tenham conergdo para um alor comum, sgnfca que a solução ótma anda não fo alcançada. Uma segunda heurístca é executada com o objeto de se escolher um noo conjunto de eículos canddatos à solução do problema. Isso é feto na etapa Etapa 4 Na etapa 4, a heurístca 2 é executada, conforme dto anterormente, para se escolher noos eículos. A heurístca 2 é mostrada na fgura 3.4. Uma ez escolhda a noa frota de eículos, resta saber noamente se as restrções de capacdade serão atenddas. Conforme mos, tal tarefa é executada na etapa 2 com a dferença de que os eículos que serão checados agora não serão aqueles escolhdos na etapa 1, e sm na etapa 4.

31 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 30 Fgura 3. 4 Heurístca para geração da solução áel. 3.3 Descrção do CPLEX O pacote de otmzação CPLEX é uma ferramenta baseada no método Smplex [3][4][6][7] para resolução de problemas de programação ntera, fazendo uso da técnca de branch-and-bound [6]. Uma ersão smplfcada do CPLEX, denomnada AMPL, também fo utlzada. O AMPL trabalha com uma quantdade menor de restrções e aráes, ou seja, problemas menores. Os alores para o problema são apresentados, tanto para o CPLEX quanto para o AMPL, em 2 arquos: um contendo o modelo matemátco e outro contendo os dados dos peddos tamanho das cargas, custos dos arcos, quantdade de passageros, etc. Ambos os pacotes reduzem o problema a um conjunto de equações ou nequações que será utlzado na resolução do problema de otmzação. As barreras a serem encdas pelo Método Smplex, utlzado nos pacotes, serão:

32 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 31 - obter soluções báscas áes do conjunto de equações do problema; - etar o teste de todas as soluções áes báscas possíes; - obter a solução ótma. O método Branch-and-Bound basea-se na déa de desenoler uma enumeração ntelgente dos pontos canddatos à solução ótma ntera de um problema [6]. Branch refere-se ao fato de que o método efetua partções no espaço das soluções, e Bound reforça a busca da otmaldade utlzando os lmtes calculados ao longo da enumeração. Após o processamento feto pelo AMPL, um arquo texto é gerado, contendo os resultados do roteamento. 3.4 Conclusão Os dos métodos de resolução estudados, baseados em Smplex e Relaxação Lagrangeana auxlada por heurístcas, nos mostram que a otmzação de um problema de roteamento pode ser alcançada aplcando-se métodos que utlzam técncas bastante dferentes. Os métodos apresentados aqu foram capazes de abordar o problema de manera satsfatóra, gerando resultados semelhantes nos casos onde fo possíel a utlzação de ambos, conforme pode ser erfcado no capítulo 5.

33 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 32 Capítulo 4 Software Desenoldo 4.1 Introdução O software desenoldo neste trabalho para otmzação do roteamento de eículos fo mplementado no ambente do Delph, da Borland, o qual utlza o Object Pascal como lnguagem de programação orentada a objetos. Esse ambente é um dos mas utlzados em todo o mundo, desfruta de grande acetação comercal, dspõe de uma nterface amgáel e tem grande conectdade com os bancos de dados mas comuns do mercado, como Oracle, SQL7, Sybase etc. Nesta prmera ersão, utlzou-se o Paradox para manpular o banco de dados, dedo à facldade e smplcdade de mplementação de sua estrutura de tabelas, além do mesmo ser gratuto, estando dsponíel para download na nternet. O sstema operaconal utlzado fo o Wndows. Uma possbldade de aprmoramento futuro do programa sera torná-lo multplataforma. Em outras palaras, que ele fosse capaz de executar em dferentes sstemas operaconas, como Lnux, OS2, MacOS, dentre outros. A antagem sera torná-lo flexíel, sem restrções quanto ao sstema operaconal. Atualmente, somente o Delph ersão 6 é capaz de gerar aplcatos em ambente Wndows que podem ser executados em ambente Lnux. De manera nersa, uma aplcação gerada em ambente Lnux, atraés do Kylx, é capaz de rodar no sstema operaconal Wndows. 4.2 Característcas do Software Desenoldo Introdução As prncpas característcas do software desenoldo são apresentadas nesta seção. Essas característcas podem ser dentfcadas atraés da descrção das prncpas telas do programa. Para efetos de dentfcação do software desenoldo, lhe fo atrbuído o nome de MultTrans.

34 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros Prncpas telas A tela de apresentação do programa é mostrada na fgura 4.1. As opções Otmzação e Mapas do menu, ao serem acessadas, permtem abrr as telas contendo as etapas do algortmo e o mapa da regão. A opção Saída encerra o programa, e a opção Ajuda dentfca os autores. Uma opção de mplementação futura para Help e Documentação poderá ser acrescentada nesse tem Ajuda. Fgura 4. 1 Tela de apresentação do software Fgura 4. 2 Tela da opção Otmzação.

35 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 34 Se a opção Otmzação no menu da tela de apresentação é escolhda, a janela apresentada na fgura 4.2 é dsponblzada para o usuáro, que poderá nserr noos peddos, alterar os já exstentes, ou remoer algum peddo cancelado pelo clente. O botão Códgos permte a consulta dos códgos correspondentes para cada localdade, atraés da abertura de uma tela auxlar, mostrada na fgura 4.3. Fgura 4. 3 Tela da opção Códgos. A fgura 4.4 nos mostra a tela das etapas que são mplementadas no algortmo. O quadro da prmera etapa nos mostra os menores camnhos traçados para cada peddo, segudo do custo total. Para cada peddo, uma seqüênca de letras e números é mostrada, sgnfcando qual tpo de eículo fo escolhdo se f o eículo é do tpo furgão, se o é ônbus e para qual nó ele deerá segur Exemplo: 12 o 16 f 18 sgnfca que do nó 12 para o nó 16 o eículo sugerdo é ônbus, e do nó 16 para o nó 18 é furgão. Nesta prmera etapa, a sugestão de eículos para atender aos peddos é feta obserando únca e exclusamente o crtéro de mínmo custo, sto é, sem se preocupar com as restrções do problema. Em uma segunda etapa, ncada com a opção Otmzar, dá-se níco ao processo de busca da solução que atenda às restrções do problema. Nesta etapa, é gerada uma seqüênca de soluções atraés do emprego da técnca de Relaxação Lagrangeana conjuntamente

36 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 35 com as duas heurístcas descrtas anterormente. A conergênca para a solução ótma é erfcada quando a dferença entre lmte superor e nferor é menor que um determnado erro. A eolução desses lmtes pode ser sta no gráfco traçado e os resultados fnas desta segunda etapa são mostrados na fgura 4.5. Fgura 4. 4 Tela das etapas do algortmo. Fgura 4. 5 Tela dos resultados das heurístcas.

37 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 36 Fgura 4. 6 Tela do grafo com os custos dos arcos. A opção Custos Orgem-Destno do menu dsponblza ao usuáro um grafo da regão estudada, juntamente com os alores dos custos para o transporte com furgões ou ônbus eja fgura 4.6. Esses custos podem ser alterados faclmente, a fm de consderar no processo de otmzação a atualzação de mudanças ocorrdas na malha, como por exemplo engarrafamento de alguma a ou deteroração da pamentação. A opção Mapas do menu prncpal mostrada na fgura 4.1 dsponblza o mapa da regão em três modaldades: grafo da rede, malha rodoára e mapa completo. Este últmo pode sto na fgura 4.7. Os demas tens do menu, Saída e Ajuda, oferecem as opções para encerrar a execução do software e relaconar os autores do trabalho, respectamente.

38 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 37 Fgura 4. 7 Tela do mapa da regão. 4.3 Conclusão Neste capítulo apresentamos as prncpas característcas do software desenoldo com base na modelagem realzada no capítulo 2. Conforme sto, o software é bastante smples, fácl de ser utlzado pos dspõe de poucas opções no menu prncpal. Os resultados obtdos na smulação de alguns problemas testes são apresentados no capítulo 5.

39 Algortmo de Otmzação para o Problema de Roteamento de Veículos no Transporte Conjunto de Cargas e Passageros 38 Capítulo 5 Resultados Introdução Neste capítulo são apresentados alguns resultados obtdos com a smulação de cenáros que foram crados para demonstrar o funconamento do software mplementado com base na metodologa proposta no capítulo 2 desta dssertação. Para sso, alguns peddos serão agrupados em conjuntos, onde cada um deles será chamado de Cenáro. Um exemplo de cenáro é mostrado na fgura 5.1. Cada cenáro é composto por uma defnção ncal da capacdade máxma dos eículos er detalhe 1 da fgura 5.1 e por um conjunto de peddos er detalhe 2 da fgura 5.1, onde cada peddo possu um códgo para dentfcação CodPeddo, uma Orgem e um Destno, bem como o alor da carga a ser transportada e a lotação a ser embarcada, sto é, o número de passageros. Caso não exsta algum desses alores, um zero aparecerá na respecta coluna, na lnha do peddo correspondente. Obsere que o conjunto de peddos de cada cenáro é representado por uma fgura, que nada mas é do que a tela de Peddos e Valores Incas do software desenoldo. Cada cenáro poderá representar um determnado período do da, ao longo do expedente dáro de uma determnada empresa. Dessa forma, dferentes cenáros foram crados, objetando analsar o comportamento do algortmo proposto no capítulo 3, atraés dos resultados obtdos. Os cenáros foram dddos em dos grupos: o prmero fo consttuído de stuações específcas para testar o software MultTrans desenoldo neste trabalho, com o objeto de aferr as característcas do modelo matemátco proposto; o segundo grupo fo composto de dos cenáros para testes de comparação entre o MultTrans e o CPLEX.