Eame Fial Nacioal de Matemática A Prova 635.ª Fase Esio Secdário 08.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 39/0, de 5 de jlho Dração da Prova (Cadero + Cadero ): 50 mitos. Tolerâcia: 30 mitos. Cadero 7 Págias Cadero : 75 mitos. Tolerâcia: 5 mitos. É permitido o so de calcladora. Utilize apeas caeta o esferográfica de tita azl o preta. É permitido o so de réga, compasso, esqadro e trasferidor. Só é permitido o so de calcladora o Cadero. Não é permitido o so de corretor. Risqe aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Apresete as sas respostas de forma legível. Apresete apeas ma resposta para cada item. A prova icli m formlário. As cotações dos ites de cada cadero ecotram-se o fial do respetivo cadero. Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações ecessárias. Qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato. Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação etera são obras protegidas pelo Código do Direito de Ator e dos Direitos Coeos. A sa divlgação ão sprime os direitos previstos a lei. Assim, é proibida a tilização destas provas, além do determiado a lei o do permitido pelo IAVE, I.P., sedo epressamete vedada a sa eploração comercial. Prova 635/.ª F./Cad. Págia / 7
Formlário Geometria Comprimeto de m arco de circferêcia: ar^a- amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r- raioh Área de m polígoo reglar: Semiperímetro # Apótema Área de m sector circlar: ar ^a - amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r - raioh Probabilidades p + f + p v p ] - g + f + p ^ - h Se X é N] v, g, etão: P] - v X + vg. 0687, P] - v X + vg. 09545, P] - 3v X + 3vg. 0, 9973 Área lateral de m coe: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Regras de derivação Área de ma sperfície esférica: 4rr ^r - raioh Volme de ma pirâmide: # Áreadabase # Altra 3 Volme de m coe: # Áreadabase # Altra 3 Volme de ma esfera: Progressões 4 3 rr ^r- raioh 3 Soma dos primeiros termos de ma progressão _ i: Progressão aritmética: + # Progressão geométrica: r # - - r ^+ vhl l + vl ^vhl v l + vl l v l - vl ` j v v ^ hl - l ^! Rh ^sehl l cos ^coshl - l se ^tg hl ^ e hl l e l cos ^ a hl l a l a ^a! R ^l hl l log a l l ^ h l a + ^a! R + ", h ", h Trigoometria se] a+ bg sea cosb+ seb cosa cos] a+ bg cosa cosb- sea seb se A se B se C a b c a b c + - bccos A Compleos i i i tcisi t ^ h cis ^ih o ^ i t e h t e tcisi t cisc i+ r m k i i i+ k r i ^k!! 0, f, - + e! Nh o te t e Limites otáveis limb + l e lim se " 0 lim " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - l 0 e p + 3 ^! Nh ^p! Rh Prova 635/.ª F./Cad. Págia / 7
. Os dois ites qe se apresetam a segir são ites em alterativa. O item.. itegra-se os Programas de Matemática A, de 0.º,.º e.º aos, homologados em 00 e 00 (P00/00). O item.. itegra-se o Programa e Metas Crriclares de Matemática A, homologado em 05 (PMC05). Respoda apeas a m dos dois ites. Na sa folha de respostas, idetifiqe claramete o item selecioado. P00/00.. Na Figra, está represetado m dado tetraédrico eqilibrado, com as faces meradas de a 4 Laça-se dez vezes esse dado e, em cada laçameto, regista-se o úmero da face qe fica voltada para baio. Qal é a probabilidade, arredodada às milésimas, de sair eatamete seis vezes a face com o úmero 3? 3 4 Figra (A) 0,46 (B) 0,06 (C) 0,008 (D) 0,007 PMC05.. Seja f ma fção difereciável o itervalo 60, @ tal qe: f ^0h 6d60, @, 0 fl^h9 O teorema de Lagrage, aplicado à fção f em 60, @, permite coclir qe: (A) (B) (C) (D) 0 f ^h8 f ^h9 f ^h0 3 f ^h Prova 635/.ª F./Cad. Págia 3/ 7
. Na Figra, está represetado, m referecial o.. Oyz, m prisma heagoal reglar. Sabe-se qe: 6 PQ@ e 6 QR@ são arestas de ma das bases do prisma; R z PQ 4 Q.. Determie o prodto escalar QP QR $ P O y.. Sabe-se aida qe: o plao PQR tem eqação + 3y z 5 0 S Figra ma das arestas laterais do prisma é o segmeto de reta coordeadas ^4, 50, h 6 PS@, em qe S é o poto de Determie a área lateral do prisma. Apresete o resltado arredodado às décimas. Se, em cálclos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais..3. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices de cada ma das bases do prisma. Determie a probabilidade de esses qatro potos pertecerem a ma mesma face lateral do prisma. Apresete o resltado a forma de dízima, arredodado às cetésimas. 3. Uma escola dedica-se ao esio de Espahol e de Iglês, etre otras lígas. 3.. Doze alos dessa escola, qatro de Espahol e oito de Iglês, dispõem-se lado a lado em liha reta para tirar ma fotografia. De qatas maeiras se podem dispor os doze alos, de modo qe os alos da mesma disciplia fiqem jtos? (A) 40 30 (B) 80 640 (C) 967 680 (D) 935 360 Prova 635/.ª F./Cad. Págia 4/ 7
3.. Relativamete a essa escola, sabe-se qe: o úmero de alos qe estdam Espahol é igal ao úmero de alos qe estdam Iglês; o úmero de alos qe estdam, pelo meos, ma das das lígas é o qádrplo do úmero de alos qe estdam as das lígas. Escolhe-se, ao acaso, m alo dessa escola. Determie a probabilidade de esse alo estdar Iglês, sabedo qe estda Espahol. Apresete o resltado a forma de percetagem. 4. Um feie de lz icide perpediclarmete sobre m cojto de três placas sobrepostas, homogéeas e igais, feitas de m material trasparete. A Figra 3 ilstra a sitação. Admita qe a potêcia, L, da lz trasmitida, após atravessar o cojto de placas, é dada por lz icidete 6 3 L I^ Rh e m em qe: I é a potêcia da lz icidete; R é o coeficiete de refleão do material ^0R h lz trasmitida m é o coeficiete de absorção do material, por cetímetro ^m 0h Figra 3 Relativamete ao material de qe as placas são feitas, sabe-se qe o coeficiete de refleão, R, e o coeficiete de absorção, m, têm o mesmo valor mérico. Sabe-se aida qe a potêcia da lz trasmitida é igal a metade da potêcia da lz icidete. Determie, recorredo à calcladora gráfica, o valor comm dos coeficietes de absorção e de refleão do material, sabedo-se qe esse valor eiste e é úico. Não jstifiqe a validade do resltado obtido a calcladora. Na sa resposta: eqacioe o problema; reprodza, m referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fção(ões) visalizado(s) a calcladora qe lhe permite(m) resolver a eqação; apresete o valor pedido arredodado às milésimas. Prova 635/.ª F./Cad. Págia 5/ 7
5. Para m certo úmero real, pertecete ao itervalo E 0, r ;, o úmero compleo z cos ise 0 ^ + h verifica a codição Im ^zh Re ^zh 3 Qal é o valor de arredodado às cetésimas? (A) 0,0 (B) 0,03 (C) 0, (D) 0,3 6. Seja a m úmero real. Sabe-se qe a, a + 6 e a + 8 são três termos cosectivos de ma progressão geométrica. Relativamete a essa progressão geométrica, sabe-se aida qe a soma dos sete primeiros termos é igal a 38 Determie o primeiro termo dessa progressão. 7. Na Figra 4, está represetada, m referecial o.. Oy, ma circferêcia de cetro a origem e qe passa os potos A, B, C, D, E e F y Sabe-se qe: C B o poto A pertece ao semieio positivo O e tem abcissa igal a os potos B e F têm ambos abcissa igal a D O A os potos potos B, A C, D e e E são, respetivamete, os simétricos dos F relativamete ao eio Oy E F Qal das codições segites defie o domíio plao represetado a sombreado? Figra 4 (A) y + # / $ (B) y + # 4 / # (C) y + # 4 / $ (D) y + # / # COTAÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos).........3. 3.. 3.. 4. 5. 6. 7. 8 8 3 8 8 05 FIM DO CADERNO Prova 635/.ª F./Cad. Págia 6/ 7
Eame Fial Nacioal de Matemática A Prova 635.ª Fase Esio Secdário 08.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 39/0, de 5 de jlho Dração da Prova (Cadero + Cadero ): 50 mitos. Tolerâcia: 30 mitos. Cadero 6 Págias Cadero : 75 mitos. Tolerâcia: 5 mitos. Não é permitido o so de calcladora. Prova 635/.ª F./Cad. Págia / 6
8. Os dois ites qe se apresetam a segir são ites em alterativa. O item 8.. itegra-se os Programas de Matemática A, de 0.º,.º e.º aos, homologados em 00 e 00 (P00/00). O item 8.. itegra-se o Programa e Metas Crriclares de Matemática A, homologado em 05 (PMC05). Respoda apeas a m dos dois ites. Na sa folha de respostas, idetifiqe claramete o item selecioado. P00/00 8.. Cosidere, m referecial o.. Oyz, a reta r defiida pela codição + y / z 3 Qal das segites eqações vetoriais defie a reta r? (A) ^yz,, h ^303,, h+ k^, 0, h, k! R (B) ^yz,, h ^303,, h+ k^, 3, h, k! R (C) ^yz,, h ^ 0,, h+ k^, 3, h, k! R (D) ^yz,, h ^ 0,, h+ k^, 0, h, k! R PMC05 8.. Qal é o valor de arcse^h + arccos c m? (A) 7r 6 (B) 6 r (C) 3r 4 (D) 4 r 9. Em C, cojto dos úmeros compleos, cosidere w + Sabe-se qe w é ma raiz qarta de m certo compleo z 3 3 i + i Determie a raiz qarta de z cjo afio (imagem geométrica) pertece ao primeiro qadrate. Apresete o resltado a forma trigoométrica, com argmeto pertecete ao itervalo E 0, r ; Prova 635/.ª F./Cad. Págia / 6
0. Os dois ites qe se apresetam a segir são ites em alterativa. O item 0.. itegra-se os Programas de Matemática A, de 0.º,.º e.º aos, homologados em 00 e 00 (P00/00). O item 0.. itegra-se o Programa e Metas Crriclares de Matemática A, homologado em 05 (PMC05). Respoda apeas a m dos dois ites. Na sa folha de respostas, idetifiqe claramete o item selecioado. P00/00 0.. Nm saco, ecotram-se qatro bolas idistigíveis ao tato, meradas de 0 a 3 Retiram-se, ao acaso, scessivamete e sem reposição, das bolas do saco. Seja X a variável aleatória «prodto dos úmeros saídos». Para m certo valor de k, tem-se qe P^X kh Qal é o valor de k? (A) 6 (B) (C) 3 (D) 0 PMC05 0.. Seja k m úmero real. Cosidere a scessão covergete Sabe-se qe o limite de Qal é o valor de k? ^ h defiida por c + k m ^ h é solção da eqação l c m 3 e (A) 4 (B) 3 (C) 3 (D) 4. Sejam a e b úmeros reais speriores a tais qe l b 4 l a Determie o cojto dos úmeros reais qe são solções da ieqação a $ b Apresete a resposta sado a otação de itervalos de úmeros reais. Prova 635/.ª F./Cad. Págia 3/ 6
. Seja g a fção, de domíio @ 3, r@, defiida por Z e ] 4 g^h [ ] se^h \ se 0 se 0 # # r.. Qal das afirmações segites é verdadeira? (A) A fção g ão tem zeros. (B) A fção g tem m úico zero. (C) A fção g tem eatamete dois zeros. (D) A fção g tem eatamete três zeros... Averige se a fção g é cotía o poto 0 Jstifiqe a sa resposta..3. Estde a fção g qato à mootoia o itervalo @ 0, r@ e determie, caso eistam, os etremos relativos. 3. Cosidere a fção f defiida em @ 0, r 6 por f^h se Qal das eqações segites defie ma assítota do gráfico da fção f? (A) 0 (B) r (C) (D) r Prova 635/.ª F./Cad. Págia 4/ 6
4. Na Figra 5, está represetada, m referecial o.. Oy, parte do gráfico da fção h, de domíio + R, defiida por h ^ h l y O a Q a h P Figra 5 Para cada úmero real a pertecete ao itervalo <, F, sejam P e Q os potos do gráfico da fção h de abcissas a e a, respetivamete. Tal como a figra sgere, a reta PQ defie, com os eios coordeados, m triâglo retâglo. Mostre qe eiste, pelo meos, m úmero real a pertecete ao itervalo <, F para o qal esse triâglo é isósceles. Sgestão: comece por idetificar o valor do declive da reta PQ para o qal o triâglo é isósceles. COTAÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos) 8.. 8.. 9. 0.. 0........3. 3. 4. 8 8 3 8 3 3 8 95 TOTAL (Cadero + Cadero ) 00 FIM Prova 635/.ª F./Cad. Págia 5/ 6