Escola Superior de Tecnologia de Viu Fundamentos de Estatística 008/009 Ficha nº 3 Considere os casais que têm 3 filhos e a eperiência estatística em que regista o o de cada um dos 3 filhos por ordem crescente de idades Estamos interessados no número de rapazes a) Defina uma variável aleatória (va) apropriada e calcule a sua função de probabilidade b) Calcule P(X ), P(X<0), P(X 0) e P(X 0) c) Calcule P(X< X>) d) Calcule a função de distribuição e) Calcule E(X) e V(X) Considere as situações guintes Defina, em cada caso, as variáveis aleatórias de interes, indique a sua gama de valores possíveis e classifique-a a) Contam- as partículas emitidas por uma fonte radioactiva durante um determinado intervalo de tempo; b) Obrva- o tempo entre avarias de uma máquina em funcionamento numa fábrica; c) Analisam- os livros de 50 páginas para determinar o número de páginas com erros; d) Estima- o consumo de gasolina de um determinado automóvel Para isso, mete- um litro de combustível no tanque e regista- a distância percorrida até a gasolina esgotar (Admitir que não é razoável que essa distância eceda 50 km) 3 Seja X uma variável aleatória cuja função de probabilidade é dada na guinte tabela: 0 3 c c f() k k 3k k 0 a) Calcule o valor de k b) Calcule P(X ), P(X<0), P(X 0) e P(X 0) c) Calcule P(X<3 X>) d) Calcule a função de distribuição F de X e) Reprente graficamente f e F f) Calcule E(X) e V(X) Página de 7
A loja de desporto do João vende máquinas de eercícios, bem como outros artigos de desporto Seja X o número de máquinas de eercício vendidas por dia A função de probabilidade de X é dada por: Número de máquinas de eercícios vendidas por dia 5 6 7 8 9 0 Probabilidade 008 k 0 09 03 06 009 a) Mostre que k = 0 b) Calcule a função de distribuição cumulativa (distribuição) de X c) Determine a probabilidade que o número de máquinas de eercícios vendidas num determinado dia ja i) maior que 8 ii) no máimo 6 5 A variável aleatória X tem função de probabilidade dada por f() = k, para =, 3, 5, 5 a) Calcule o valor de k b) Calcule a função de distribuição F de X c) Reprente graficamente f e F d) Calcule P(X=5), P(3<X 5) e P(X 5) e) Calcule E(X) e V(X) 6 Uma caia contém 0 chips dos quais 6 são defeituosos São etraídos chips, ao acaso, da caia Seja X a va que reprenta o número de chips defeituosos obtidos a) Construa as funções de probabilidade e de distribuição de X e reprente-as graficamente b) Calcule a média e a variância de X 7 Uma caia contém 5 parafusos defeituosos e 5 não defeituosos Etraem- parafusos Determine a função de probabilidade e a função de distribuição da va X: Nº de parafusos não defeituosos obtidos a) Supondo haver reposição b)supondo não haver reposição Página de 7
8 Seja T a variável aleatória discreta com a guinte função de distribuição 0 t<- / - t < 0 F() t = 3 / 0 t < t a) Calcule a função de probabilidade f de T b) Calcule: P(T=), P(T ), P(T>), P(T ), P(T<), P(0<T<), P(0<T ) e P( T ) c) Determine a esperança e a variância de T 9 A variável aleatória X é caracterizada pela guinte função densidade de probabilidade (fdp), a) Mostre que f é, efectivamente, uma fdp b) Calcule a função de distribuição de X 0, f ( ) =, 6 0, < 0 0 < 6 6 c) Determine P(X=), P(<X<), P(<X 3), P(X>3), P(X ) e P(X ) d) Determine a esperança e a variância de X 0 O director de compras da empresa Baratinho, pretende definir uma política de aquisição de matéria prima para o próimo ano As necessidades de matéria prima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade de probabilidade: 0< < k f( ) = 0 outros valores a) Mostre que k= b) Esboce o gráfico de f() c) Calcule a P(<X<) d) Se quir que a probabilidade de ruptura da matéria-prima ja igual a 00, qual o nível de abastecimento que deve r asgurado diariamente? Página 3 de 7
A variável aleatória X é caracterizada pela guinte função densidade de probabilidade (fdp), 0 / 6 f ( ) = ( ) 6 0 a) Mostre que f é, efectivamente, uma fdp 0 b) Determine P(<X<), P(<X 3), P(X>3), P(X ) e P(X ) < < < 0 O proprietário de um carro deja vende-lo por 3750 euros e está a estudar a hipóte de fazer publicidade, que lhe custará 50 euros Se a probabilidade de ele o vender ao preço de 3750 euros m publicidade for de 05 e com publicidade for de 09, deve ou não anunciar a venda, sabendo que não o vender pelo preço que estipulou à partida, vendê-lo-á a um amigo por 350 euros 3 Qual dos guintes jogos, A ou B, escolheria? Jogo A: lançam- dois dados e recebe-, em dezenas de euros, a soma dos pontos obtidos; Jogo B: lançam- quatro moedas e recebe-, em euros, ao quíntuplo do número de caras obtidas Seja X uma va que toma os valores {0,,, 3, }, com um valor desconhecido Sabendo que os valores de X são igualmente prováveis e que E(X) = 6, calcule 5 Considere uma va X cuja função de probabilidade é dada na tabela guinte 0 6 c c f() f(0) / f() /8 0 Sabendo que E(X) = 9/, calcule f(0) e f() Página de 7
6 Dois projectos de publicidade distintos, A e B, para um mesmo produto, estão a r comparados com ba na receita prevista com a venda do produto publicitado Os estudos de marketing concluíram que a receita, optando pelo projecto A, é de $3 milhões (de dólares) No entanto, a receita optando pelo projecto B é mais difícil de determinar Sabe- apenas que há uma probabilidade de 03 de a receita r igual a $7 milhões, e de 07 de a receita r apenas de $ milhões Qual dos dois projectos rá preferido, tendo em conta: a) As receitas médias obtidas para os dois projectos; b) A variabilidade aprentada pelas receitas nos dois projectos 7 O diâmetro, em mm, de uma peça produzida por determinada máquina é uma variável aleatória real X, cuja função de distribuição é definida por, F ( ) = 3a b 3 + 3 5 < 0 0 < < < 3 3 a) Determine os valores das constantes a e b b) De entre as peças cujo diâmetro é superior a 05 mm, calcule a percentagem de peças com diâmetro inferior a 5 mm 8 Seja X uma variável aleatória real cuja função densidade de probabilidade é definida por, ( + ) f () = 8 0 caso contrário a) Mostre que f é, efectivamente, uma densidade b) Calcule a função de distribuição de X c) Determine o valor de a, com a IR +, que verifica P(-a <X< a) = X d) Considere a variável aleatória Y = Calcule V(3Y+5) Página 5 de 7
SOLUÇÕES DE ALGUNS DOS EXERCÍCIOS a) 0 3 f X () /8 3/8 3/8 /8 b) 7/8, 0, /8, c)0 0 < 0 d) / 8 0 < F ( ) = / 8 < 7 / 8 < 3 3 a) X nº de partículas radioactivas contadas; ={0,,, }=IN 0, va discreta b) X tempo entre avarias; =[0, + [, va contínua c) X nº de páginas com erros; =0,, 50; va discreta d) X distância percorrida com um litro de gasolina; =[0, 50]; va contínua 3 a) k=/7; b) /7; 0; /7; ; c) 075 0 < 0 d) / 7 0 < F ( ) = 3 / 7 < f)/7; 0/9 6 / 7 < 3 3 < 008 < 5 09 5 < 6 033 6 < 7 b) F X () = c) i) 05 ii) 033 05 7 < 8 075 8 < 9 09 9 < 0 0 0 0 < 5 / < 3 5 a) k=5/8; b) F ( ) = 0 / 3 < 5 ; d)3/,3/,3/; e)5,875 3 / 5 < 5 3 Página 6 de 7
6 a) 0 f X () 9/90 /95 3/38 E(X)=3/5; Var(X)=7/95 7 a) b) = 0 =, f X () = = 0 outros valores = 0 = 9 5 f () = =, X 9 0 outros valores () F X () F X < 0 0 < = 3 < 9 = 7 9 < 0 0 < < 8 a) t - 0 F T (t) / / / b) 0, 3/, /, /, 3/, 0, /, ¼; c)-/, 75 9 b) F ( ) = 6 < 0 0 < 6 c) 0; /6; /3; ½; 5/6; /6 d)e(x)=3; Var(X)=3 b)/6, 5/, 5/, 5/6, Não deve fazer publicidade 3 = 5 f(0)=/, f()=/8 6 a) É preferível o projecto B; b) É preferível o projecto A 7 a) a=0, b=3; b)7/5 < F < ; c) a=; d) 8 b) ( ) = / 8( / + + ) Página 7 de 7