nstituto d Física USP Física V - Aula 3 Profssora: Mazé Bchara
Aula 3 - Estados ligados m movimntos unidimnsionais 1. O poço d potncial finito: colocando as condiçõs d continuidad nas funçõs d onda suas drivadas; dtrminação gráfica dos valors d nrgia das constants das funçõs d onda.. Estados stacionários do oscilador harmônico discussão smi-quantitativa. Comparação das nrgias dos stados stacionários com a proposta d Planck rsultados da quantização d Wilson- Sommrfld da onda stacionária d d Brogli.
Soluçõs do part spacial da função d onda do poço unidimnsional finito para stados ligados As funçõs d onda do potncial d altura V o para <0 >a V=0 para 0<<a: (0 a) A cos k B snk k me 0 0) a) A B k k k m( V o E) 0
Estados d E constant do poço d potncial finito unidimnsional a pntração na rgião classidamnt proibida (dnsidad #0) Funçõs d onda Figura do Modrn Physics for Scintists and Enginrs S. Thornton, A. R Dnsidad linar d probabilidad Equaçõs, soluçõs intrprtaçõs m aula
Soluçõs do part spacial da função d onda do poço unidimnsional finito para stados ligados com cntro na origm ( a / a / ) a/) a/ ) B A A k k cos k k B snk m( V o k E) me 0 0
Soluçõs do poço unidimnsional finito na mcânica quântica com cntro na origm (para usufruir das simtrias das funçõs ) Condiçõs sobr a função d onda : 1. Continuidad das funçõs d onda nos pontos d dscontinuidad do potncial: -a/ a/ a / ) a / ) a / ) a / ). Continuidad das drivadas m ( ()) das funçõs d onda nos pontos d dscontinuidad do potncial: a/ ) a/ ) 3. Normalização da função d onda m todo o spaço: O qu significa 5 quaçõs cinco incóginitas: E, qu prcisa sr dtrminada stá também m k k da função d onda, A, B, A B. a / ) a/ )
Condiçõs qu dvm sr obsrvadas por todas as autofunçõs d nrgia suas funçõs d onda (obtidas m aula dpois d manipulaçõs matmáticas!) Ou val: A +B 0 A 0 Cond. () ( (Nst caso: B =0 A =B pois ncssariamnt não val ) Ou val: a / a / ) tan ka/ cos k cot ka/ A -B 0 B 0 Cond. () ( a / a / ) (Nst caso: A =0 A =-B pois ncssariamnt não val ) Em qualqur das duas condiçõs acima val: a/) A k A k a / ka/ k a/ ka/ Valndo as rlaçõs acima ntr A B m cada caso. B snk a/ ) B k
Solução gráfica m aula (rfaça) Na solução gráfica fita m aula s plorou o ponto d ncontro ntr as funçõs da condição da condição com a quação da circunfrência: (ka/) + (k a/) = (mv o a )/ Obsrv-s qu: 1. só tm sntido físico (ka/)>0 (k a/)>o. Há uma ambiguidad para os raios da circunfrência acima para os msmos valors d V o a, qu dfin o númro d stados ligados. 3. O mnor valor d nrgia é smpr para a condição. Física V Profssora: Mazé Bchara
Solução Gráfica qu dtrmina as nrgias Rsultados importants: do poço finito O númro d stados é finito, portanto as nrgias dos stados ligados st númro dpnd do produto V o a, ou sja, da produto da altura pla largura do potncial. Os stados com função d onda d paridad par impar s altrnam (funçõs pars impars) sndo smpr o stado d mnor nrgia o com a função d onda com paridad par (Cuidado com o rro na figura do Tiplr & Llwllyn). As nrgias vm d solução numérica. Os stados podm sr chamados d n=1,,3 até n, mas não dpndm d um númro quântico n. Dpois d ncontradas as nrgias, volta-s para as quaçõs d continuidad da função d onda s dtrmina as constants m função d uma dlas, dpois s normaliza a função d onda no spaço todo,dtrminando-s a última constant. FAÇA!
Outra solução Gráfica qu dtrmina as nrgias do poço finito A figura mostra duas curvas difrnts d /k (nossa quação é k /k), qu corrspondm a difrnts valors d V o. Os valors prmitidos d nrgia E são dados plos valors d ka nas intrscçõs das curvas d /k com as curvas tan ka cot ka. ( A largura do poço da figura é a, nquanto na aula ra a. Também o k das outras transparências é o dsta figura. ) Obsrv o rro na figura. O stado n=1 rsulta do ncontro da curva /k com a da tg ka. Figura do Tiplr & Llwllyn Física V Profssora: Mazé Bchara
A quação d Schrodingr das autofunçõs d nrgia do MHS unidimnsional solução smi-quantitativa m aula, t) m d d ) ) E i t 1 k ) ) A solução dpnd d conhcimnto matmático. Aqui a nrgia potncial é contínua mas não é constant. As condiçõs físicas são as msmas: funçõs normalizadas, portanto tndndo a zro para tndndo a infinito, finitas para todo, contínuas com drivadas contínuas. Primiro s acha a solução assintótica, ou sja, para grand, com a condição da solução sr finita para todo. ndicação m aula. d d assin mk ) assin( ) E assin( ) mk
A quação d Schrodingr das autofunçõs d nrgia do MHS unidimnsional solução smi-quantitativa m aula Dpois s acha a quação a solução do polinômio qu multiplicado pla solução assintótica, da função d onda val para todo. E s acha a condição d rcorrência ntr os coficints a n a n+ do polinômio, impondo solução finita para todo. mk mk n) Hn( ) H n mk mk mk mk ) a 1... o a a a n a condição solução finita para H n ig: (Acrdit ou mlhor, olh m um livro d Física Matmática, como o do Arfkn, por mplo): (me/ )=(n+1/)(mk/ ) 1/ E n =(n+1/)w=(n+1/)h n=0,1,,...... n
A quação d Schrodingr das autofunçõs d nrgia do MHS unidimnsional n, t) Hn( E n =(n+1/)w=(n+1/)h mk ) mk O Polinômio H n é chamado d Polinômio d Hrmit (vja no livro d Física Matmática do Arfkn, por mplo). Novamnt s altrnam funçõs d paridad par impar, sndo a função par a d mais baia nrgia (n=0). E i n t
AS SOLUÇÕES do MHS Part spacial das funçõs d onda com paridad bm dfinida oscilam na rgião classicamnt prmitida cam na rgião classicamnt proibida, indo a zro para infinito. As linhas pontilhadas indicam a posição da amplitud da solução clássica. Os auto-valors d nrgia (quantizados) E=(n+1 h n Planck + nrgia d ponto zro do princípio d incrtza Graficos da Part spacial da Função d onda: Polinômio d Hrmit vzs Gaussiana (à squrda) Gráficos dos módulos ao quadrado da funç]ão d onda para todo t (à dirita) mk Modrn Physics for Scintists and Enginrs S. Thornton, A. R
As nrgias do MHS unidimnsional Planck + nrgia d ponto zro do princípio d incrtza
Simulaçõs d funçõs d onda d divrsos potnciais unidimnsionais, no Sit da página da Univrsidad d Colorado: http://pht.colorado.du/n/si mulation/