. Introdção Listas de números Sponha qe os pesos de oito estdantes estão listados abaio: 6,, 4, 4, 78, 4, 6, 9 Podemos denotar todos os alores dessa lista sando apenas m símbolo, por eemplo w, com diferentes índices; o seja, w, w, w, w 4, w, w 6, w 7, w 8 Obsere qe cada índice denota a posição do alor na lista. Por eemplo, w = 6, w =, w = 4,... Uma lista de alores como essa, w = (w, w, w,..., w 8 ) é chamada de tabela linear o etor. Na qal os números w, w, w,..., w 8 são chamados de coordenadas, componentes o elementos do etor w. Já conhecemos (, ), é m par ordenado e tem representação geométrica no plano cartesiano, será representado pelo símbolo. gora, (,, ) é chamado terno ordenado qe tem representação geométrica no espaço, é representado pelo símbolo. Por eemplo, representação do terno ordenado P(,, ): PROF. GILERTO SNTOS JR VETORES P(,, ) Obserações: No eemplo anterior, obsere qe, as etremidades do etor : na origem (,, ) e ponto final em (,, ). Vetores sempre terão origem em (, ) em, (,, ) em, assim por diante.. Igaldade de Vetores Dois etores, e, são igais (escreese = ) se possem a mesma qantidade de componentes e se as componentes correspondentes são igais. Embora os etores (,, ) e (,, ) contenham os mesmos três números, eles não são igais ma e qe não possem as coordenadas correspondentes igais. O etor (,,..., ) cjas coordenadas são todas é chamado de etor nlo e é salmente denotado por. Determine, e para qe (, +, - ) = (4,, ). Resolção: Pela definição de igaldade de etores as componentes correspondentes deem ser igais. ssim, = 4, + = e = Resolendo o sistema de eqações obtemos =, = -, = 4. ) Represente graficamente o ponto P(, 4, 6). gora, para efeito de comparação, a representação geométrica do etor = (,, ): ) Represente graficamente o etor = (4, -, ). ) Determine e onde: a) (, ) = (, + ) b) (4, ) = (, ) 4) Determine os números reais e, se ( +, ) = (, 8). ) Determine os números reais e, se ( +, + ) = (-, -). 6) Determine os números reais, e, se ( +, +, - ) = (, 6, ).. dição de Vetores Considere dois etores e, por eemplo, = (,, ) e = (,, ). Sa soma, denotada pelo etor + = ( +, +, + ). Interpretação Geométrica O etor resltante + de dois etores e é obtida pela lei do paralelogramo; o seja, + é a diagonal do paralelogramo formado por e. lém disso, se (,, ) e
(,, ) são os pontos finais dos etores e, então ( +, +, + ) é o ponto final do etor +. Essas propriedades podem ser istas na figra abaio:. Representação Geométrica: De oposto de m etor no plano: (, ) (,, ) + ( +, +, + ) (-, -) - (,, ) De diferença de etores no espaço: 4. Mltiplicação por Escalar mltiplicação por escalar, o simplesmente prodto do etor = (,, ) por m número real k, denotado por k, é o etor obtido pela mltiplicação de k por cada coordenada de, isto é, K = k(,, ) = (k, k, k) 4. Interpretação Geométrica O prodto k de m etor por m número real k é obtido mltiplicando-se o tamanho de por k mantendo-se a mesma direção se k > o a direção contrária se k <. lém disso, se (,, ) é o ponto final do etor, então (k, K, k) é o ponto final do etor k. Essas propriedades podem ser istas na figra abaio: k (,, ) ( k, k, k). Oposto e Sbtração de Vetores O oposto e a sbtração são definidos como: - = (-) e = + (-) O etor é chamado de oposto de, e o etor é chamado de diferença de e. (,, ) - ( -, -, - ) (,, ) Sejam = (, 4, -) e = (, -6, 9). Determine: a) + b) 7 c) d) + Resolção: + = ( +, 4 + (-6), - + 9) = (, -, 4) 7 = (7., 7.4, 7.(-)) = (4, 8, -) = (-).(, -6, 9) = (-, 6, -9) + = (6,, -) + (-,, -4) = (, 4, -6). 7) Determine as coordenadas do etor = (,, ) 4(,, ) -(, -, ) 8) Dados os etores = (-, 4, -) e = (-,, ), pede-se determinar m etor, tal qe = +. 9) Sejam = (, -7, ), = (-,, 4) e w = (,, -8). Determine: a) 4 b) + w - ) Sejam =, = e w = -. -4 - Determine: a) b) - + 4 w
Obseração: Os etores, e w do Eercício ) são chamados etores colna, sege qe = (,, ) 6. Norma, Módlo o Comprimento de Vetor norma, módlo o comprimento de m etor, denotada por é a distância entre a origem do sistema de coordenadas O e o ponto final P do etor. Como eemplo, adotando = (, ) (figra abaio), aplicando o teorema de Pitágoras no triânglo OP, sege qe O P(, ). =..cos, onde 8. Utilia-se a mesma fórmla para encontrar o ânglo entre dois etores cos =.. Eemplo: Sejam = (, -, ), = (4,, -), w = (, 7, 4), então. =.4. + (-) = 4 = -9,.w = 4 + =,.w = 8 + 4 = 9. Obsera-se e w são ortogonais. 7. Interpretação Geométrica Faremos a interpretação geométrica do prodto escalar em atraés do eemplo qe sege. Dados os etores = O = (, ) e = O = (-, ), eles são ortogonais, pois. = - + = Este resltado é confirmado geometricamente na figra abaio: = + = gora, se = (,, ), então = Considere = (, -, -4,, ), para determinar. Resolção: = ( ) ( 4) = 4 6 9 =. EXERCÍCIO PROPOSTO ) Determine onde: a) = (, -, -4) b) = (, -, 8, -7) 7. Prodto Escalar o Prodto Interno Considere dois etores qaisqer e, por eemplo, = (,, ) e = (,, ) O prodto escalar o prodto interno de e é denotado e definido por. = + + o seja,. é obtido mltiplicando-se as coordenadas correspondentes e somando-se os prodtos obtidos. Os etores e são chamados ortogonais (o perpendiclares) se se prodto escalar é igal à ero, isto é. =. Se for dado o módlo dos etores e, o seja,, e o ânglo entre os etores, então o prodto escalar é definido por - o Obseração: norma de = (, ), =.. e é igal ao prodto escalar ) Determine. para: a) = (, -, 6) e = (8,, -) b) = (4,, -,, -) e = (, 6, -, -4, 8) ) Sendo = (,, ) e = (-,, -), calcle ( ). 4) Sejam = (, 4, ), = (, -4, ) e w = (, -, ). lgm par destes etores é perpendiclar (ortogonal)? Qal(is)? Determine o prodto interno de cada par de etores. ) Determine k para qe e sejam ortogonais, onde: a) = (, k, -) e = (, -, 4) b) = (, k, -4,, ) e = (6, -,, 7, k). 6) Sabendo qe = 4, = 6 e qe =, calcle.. 7) Dados = (, ) e = (-, ), calcle o = ang(, ).
8) Calcle o ânglo entre os etores = (,, ) e = (,, -). 9) Considere o triânglo C, com (, ), (4, ) e C(, -4). Calcle os ânglos  e ˆ deste triânglo. 8. Prodto Vetorial Um etor = (, ) também pode ser escrito como = i + j, onde i = (, ) e j = (, ), também, se = (,, ) = i + j + k, onde i = (,, ), j = (,, ) e k = (,, ). Há ma operação especial para etores de qe não está definida em n para n. Essa operação é chamada prodto etorial e é denotada por. Sendo = (,, ) e = (,, ) escritos da forma = i + j + k e = i + j + k, respectiamente, então = i - j + k o seja, as três coordenadas do etor são obtidas da matri (qe contém as coordenadas de sobre as de ) assim: () Ecla a primeira colna e calcle o determinante. () Ecla a segnda colna e calcle oposto do determinante. () Ecla a terceira colna e calcle o determinante. Obsere qe é m etor, chamado de etor prodto o prodto eterno entre e. Eemplo: Determine onde: a) = 4i + j + 6k e = i + j k, b) = (, -, ) e = (, 7, 6). Resolção: a) Use 4 6 para obter = (- 9 )i - - (- - )j + ( 6)k = -9i + 4j + 4k. b) Use - para obter = (-6 -, - 7 6 ( ), 4 + ) = (-4,, 7). 8. Modo Prático O prodto etorial entre os etores = (,, ) e = (,, ), também é dado por = Resola o eemplo anterior por esta fórmla e eja qe dá o mesmo resltado. i j k 8. Interpretação Geométrica Sejam os etores e, o módlo do prodto etorial é igal a área do paralelogramo de lados e. = Área do paralelogramo formado por e Calcle a área do paralelogramo dado os értices (,, ), (6, 4, ) e C(-6, -, 6). Resolção: C = = (4,, -) = C = (-8, -, ) Área do paralelogramo: = = = i 4-8 j - k - = (, 4, ) = 4 =. ) Sejam = i j + 4k, = i + j - k e w = i + j + k. Determine: a) b) w ) Determine onde: a) = (,, ) e = (4,, 6) b) = (-4, 7, ) e = (6, -, ) ) Dados = i 4j + k, = i + j - k e w = 4i + 7j + k, calcle: a) c) w b) w ) Calcle a área do paralelogramo CD, onde = = 4i - j + k e = D = i + k. 4) Calcle a área do triânglo C, sendo (,, ), (-,, ) e C(, -,) 9. Prodto Misto Chama-se prodto misto de três etores, e w, tomados nessa ordem e qe se denota por [,, w] a epressão: [,, w] =.( w) O prodto misto de três etores, e w, tomados nessa ordem, é, portanto o prodto escalar do etor pelo etor w. D 4
9. Modo Prático O prodto misto entre os etores = (,, ), = (,, ) e w = (,, ) também é dado por [,, w] = Dados os etores = (-,, ), = (, -, ) e w = (,, ). Calcle [,, w]: Resolção: [,, w] = - - = 8 7) char o olme do paralelepípedo cjas arestas são os representantes geométricos dos etores = 8i j + k, = 4i + j + k e w = -i + 4j + k. Referências LIPSCHUTZ, S. Teoria e Problemas de Álgebra Linear. ed. Porto legre: ookman, 4 9. Interpretação Geométrica: O módlo do prodto misto [,, w] é igal ao olme do paralelepípedo, cjas arestas são respectiamente os representantes geométricos dos etores, e w. D E w C G F Determine o olme do paralelepípedo CD cjos értices são (,, -), (,, -), C(,, -) e D(,, ). Resolção: = = (,, ) = C = (,, ) w = D = (,, ) Volme do Paralelepípedo: V = [,, w] [,, w] = = -4 Portanto, V = [,, w] = -4 = 4. ) Calcle o olme do paralelepípedo de arestas = (,, 4), = (,, ) e w = (,, ). 6) Determine o olme V do paralelepípedo formado pelos etores, e w em cada caso: a) = i -4j + k e = i + j k, w = 4i + 7j + K. b) = [,, ], = [4, -, ] e w = [,, ]. H Nnca deie qe lhe digam: Qe não ale a pena creditar no sonho qe se tem O qe ses planos Nnca ão dar certo O qe ocê nnca Vai ser algém... Renato Rsso taliada em 8//6 Gosto da postila? Você a encontra no log: http://gilssantos.wi.com/inicio#!aposti las-de-matematica/cncg Link! Dê ma olhada.