Equações Diferenciais Noções Básicas

Equações Diferenciais Noções Básicas Definição: Chama-se equação diferencial a uma equação em que a incógnita é uma função (variável dependente) de uma ou mais variáveis (variáveis independentes), envolvendo derivadas dessa função em relação a uma ou mais das suas variáveis. Exemplos: 1. y 5x 3 2. y 4 x y x 4 0 3. e y d2 y 2 dy dx 2 dx 2 1 4. 2 y 4 2 y 0 t 2 x 2 Se a incógnita é uma função de uma só variável, a equação diz-se uma equação diferencial ordinária (edo). Caso contrário, a equação diz-se uma equação com derivadas parciais. Definição: Uma equação diferencial diz-se de ordem n se n for a ordem da derivada de maior ordem nela envolvida. Nota: As equação diferenciais de 1ª ordem podem escrever-se na forma ou na forma Fx, y, y 0 y fx, y Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 1

Definição: Uma função h definida num intervalo I, diz-se solução da edo (na incógnita y e na variável independente x), se nesse intervalo tem derivadas até à ordem da equação e substituindo na equação y e as suas derivadas por hx e as respectivas derivadas obtém-se uma proposição verdadeira (para todo o x pertencente ao intervalo I. Uma relação Hx,y 0 diz-se uma solução implícita da equação diferencial se define implicitamente funções que são soluções da edo, num intervalo I (ou seja, as funções que verificam esta relação são soluções da edo). Exemplos: 1. Determine uma solução da equação y y. 2. Mostre que y 0 e y xc 1, onde c é uma constante real, são soluções edo y y 2 0 (a 1ª em, as restantes apenas em intervalos que não contenham c). 3. Mostre que a equação x 2 y 2 1 define implicitamente soluções da equação x yy 0. Em que intervalo? Uma qualquer solução da equação diz-se uma solução particular da edo. Solução geral da edo é o conjunto de todas as soluções da equação. (Que nem sempre pode descrita por uma única fórmula, como é o caso da equação y y 2 0, do exemplo acima.) Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 2

Problemas de valores iniciais Definição: Considere-se a equação diferencial de 1 a ordem y fx,y, onde f é uma função definida num rectângulo aberto D 2 e seja x 0,y 0 D. Um problema de valores iniciais associado a esta equação apresenta-se na forma y fx, y yx 0 y 0 e consiste em determinar uma solução yx desta equação (definida num intervalo real que contenha x 0 ) que satisfaça a condição yx 0 y 0, a qual se designa por condição inicial. Para uma edo de ordem n terão de ser indicadas n condições sobre o valor da solução e das suas derivadas no ponto x 0. Exemplo: Determine a solução do problema de valores iniciais y y 0 y3 2, sabendo que a solução geral da edo é yx ce x. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 3

Teorema (existência e unicidade - edo de 1ª ordem): Considere-se o problema de valores iniciais y fx, y yx 0 y 0. Se f e f y são funções contínuas num rectângulo aberto D 2, contendox 0,y 0, então existe um intervalo x 0 h;x 0 h, com h 0, no qual o problema de valores iniciais tem solução única. Exemplo: Justifique que o problema de valores iniciais tem solução única. y y sen x y0 3 Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 4

Equações de 1 a ordem para as quais existem soluções exactas Seguem-se alguns tipos de equações de 1ª ordem para as quais há técnicas simples de obtenção de soluções. Muitas equações de 1ª ordem não são desta forma nem se podem transformar em equações desta forma. Para muitas equações de 1ª ordem não há técnicas analíticas para a sua resolução sendo apenas possível obter soluções aproximadas (usando técnicas numéricas). A forma standad (ou forma canónica) de uma equação de 1ª ordem é No entanto, sendo y dy dx y fx,y. (e escrevendo a função fx, y como quociente de duas funções), podemos considerar a equação de 1ª ordem na sua forma diferencial: Mx, ydx Nx, ydy 0. Trabalharemos com ambas as formas da equação de 1ª ordem. Equação de variáveis separáveis Definição: Uma equação da forma ou, equivalentemente, gyy fx gydy fxdx com f e g funções contínuas, diz-se uma equação de variáveis separáveis. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 5

Teorema: A solução geral de uma equação de variáveis separáveis gydy fxdx é dada (na forma implícita) por P y gy P x fx C, Observação: Podemos também definir uma equação de variáveis separáveis como sendo uma equação da forma y AxBy, com Ax e By, funções contínuas. Passar para a forma pressupõe que By 0. fxdx 1 By dy Embora frequentemente tal não seja feito, com todo o rigor, após resolver esta equação deve-se verificar se, para além das soluções obtidas, há soluções constantes que tenham sido perdidas no processo de resolução da equação. Ou seja, se existir y 0 tal que By 0 0, substituindo na equação inicial deve-se verificar se y y 0 é uma solução da equação, que se perdeu ao impormos a condição By 0. Este tipo de situação ocorre frequentemente na resolução de equações diferenciais. Exemplo: Resolva as equações y y 2 x 3 e dx 1 e x dy 0. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 6

Equações homogéneas Definição: Uma equação diferencial ordinária de 1 a ordem diz-se homogénea se pode ser escrita na forma dy dx g y x, onde g é uma função contínua num intervalo I. Teorema: A mudança de variável y ux transforma uma equação homogénea de 1 a ordem numa equação com variáveis separáveis. Processo de Resolução: fazer a mudança de variável u y x, ou seja, y ux (então y xu u, substituindo y e a sua derivada na equação; simplificar a equação, até ficar ficar na forma de uma equação com variáveis separáveis (em x e u); resolver a equação de variáveis separáveis obtida; desfazer, na solução obtida, a mudança de variável. (Com todo o rigor, deve-se ainda acrescentar à família de soluções já obtida as soluções constantes que tenham sido perdidas no processo de resolução ou retirar soluções que tenham sido acrescentadas.) Exemplo: Resolva a equação y x2 y 2 xy. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 7

Observação: Dependendo da equação, poderá ser mais simples identificar que é homogénea a partir de uma das seguintes caracterizações, equivalentes à dada: 1ª: Uma equação de 1ª ordem y fx, y é homogénea se e só se para qualquer t. ftx, ty fx, y, 2ª: Uma equação diferencial de 1ª ordem na sua forma diferencial Mx, ydx Nx, ydy 0 é homogénea se e só Mtx,ty t n Mx, y e Ntx, ty t n Nx, y, para algum n. Nota: Uma função gx, y diz-se uma função homogénea de grau n, com n, se para qualquer t. gtx, ty t n gx, y, Assim: uma equação Mx,ydx Nx,ydy 0 é homogénea se e só se M e N forem funções homogéneas com o mesmo grau. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 8

Definição: A expressão Equação diferencial total exacta Mx, ydx Nx, ydy diz-se uma forma diferencial total exacta num aberto D 2 se existe uma função F cujo diferencial é igual à expressão dada, isto é dfx, y F x diferencial de F dx F y dy Mx, ydx Nx, ydy. para qualquer x, y D. Definição: Uma equação diferencial da forma ou, equivalentemente, y Mx, y Nx, y, Mx, ydx Nx, ydy 0, com M e N funções contínuas num aberto D 2, com N 0, e tal que a forma diferencial Mx,ydx Nx, ydy é total exacta, diz-se uma equação diferencial total exacta. Teorema: Considere-se uma equação Mx, ydx Nx,ydy 0, com M e N funções de classe C 1 num rectângulo D a, b c, d. Esta equação é total exacta se e só se M y x,y N x x, y,x, y D. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 9

Exemplos: Verifique se são totais exactas as equações xy x 2 dx dy 0 e x sen ydx x cosy 2ydy 0. Teorema: Considere-se a equação Mx,ydx Nx, ydy 0, nas condições do teorema anterior. Então, se F é uma função tal que F x x,y Mx, y e F y x,y Nx, y, a solução geral da equação é dada (na forma implícita) por Fx, y C, com C constante real arbitrária. Exemplo: Resolva a equação y xsen y x cosy2y. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 10

Equação linear de 1 a ordem Definição: Uma equação linear de 1 a ordem é uma equação que pode ser escrita na forma y Axy Bx, com Ax e Bx funções contínuas num intervalo real I. Se Bx 0, x I, a equação diz-se homogénea. Teorema: Consideremos uma equação linear de 1 a ordem, y Axy Bx, com Ax e Bx funções contínuas num intervalo real I. Então, a solução geral desta equação é dada por y e PAx Pe PAx Bx C, onde C é uma constante arbitrária (e P representa uma primitiva). Exemplo: Resolva a equação y 4 x y x 4. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 11

Problema de crescimento ou declínio (populacional ou de uma substância): Seja Nt a quantidade de uma substância que está em crescimento ou declínio. Se a taxa de variação relativamente ao tempo dessa substância é proporcional à quantidade da substância presente, tem-se a equação diferencial dn dt kn onde k é a constante de proporcionalidade (assumindo que Nt é diferenciável). Exemplo: sabe-se que uma certa substância radioactiva tem um declínio proporcional à quantidade da substância presente. Se inicialmente estão presentes 50 miligramas desse material e depois de 2 horas se observa que o material perdeu 10% da sua massa original, determine: a) a expressão do material que resta no instante t; b) a massa existente ao fim de 4 horas; c) o tempo que a substância demora a decair para metade da sua massa inicial (chamado meia vida da substância). dn kn N kn 0 é uma equação linear de 1ª ordem dt (homogénea). A sua solução geral é N e Pk P0 c ce kt Tem-se N0 50, pelo que c 50. N2 505 45, pelo que 50e 2k 45, logo e 2k 45 50. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 12

Portanto, 2k ln 45 50 ln 9 10, pelo que k 1 2 ln 9 10 0. 053 Portanto, sendo t medido em horas, Nt 50e t 2 ln 9 10. b) N4 50e 4 2 ln 9 10 50e 2 ln 9 10 50e 0.0534 40. 5 mg c) Nt 25 50e t 2 ln 9 10 25 t 2 ln 9 10 ln 1 2 Ou seja, t 2 ln 1 2 ln 9 10 (o que é aproximadamente 13 horas). Observação: a mesma equação pode ser aplicada ao estudo de diversas situações, por exemplo, da evolução de uma cultura de bactérias, de uma população de um país, etc. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 13

Equação de Bernoulli Definição: Chama-se equação de Bernoulli a uma equação da forma y Axy Bx y a, em que Ax e Bx são funções contínuas num intervalo real e a é uma constante real. Teorema: Se a 0 e a 1, a mudança de variável u y 1a transforma a equação de Bernoulli numa equação linear de 1ª ordem na variável u. Processo de Resolução: multiplicar ambos os membros da equação dada por y a, obtendo-se y a y Ax y 1a Bx; fazer a mudança de variável u y 1a (calcula-se du dx ) substituindo y e a sua derivada na equação; resolver a equação linear de 1ª ordem obtida; desfazer a mudança de variável. Nota: se a 0 ou a 1, a equação de Bernoulli é uma equação linear de 1ª ordem. Exemplo: Resolva a equação y xy xy 2. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 14

Edo s lineares de ordem n, com coeficientes constantes Definição: Uma equação diferencial ordinária de ordem n diz-se linear com coeficientes constantes se é da forma a 0 y n a 1 y n1...a n1 y a n y fx em que a 0,a 1,..., a n são constantes reais. A equação a 0 y n a 1 y n1...a n1 y a n y 0 diz-se a equação homogénea associada à equação dada (a que se chama equação completa). Ao polinómio PD a 0 D n a 1 D n1...a n1 D a n. chama-se polinómio característico da edo linear de ordem n e à equação PD 0 chama-se equação característica. Observação: A solução geral da equação homogénea pode ser obtida a partir dos zeros de PD e a partir desta pode obter-se a solução geral da equação completa. Nota: Com mais generalidade, uma equação diferencial ordinária de ordem n diz-se linear se é da forma a 0 xy n a 1 xy n1...a n1 xy a n xy bx, onde a 0 x,a 1 x,..., a n x e bx são funções reais de variável real, sendo a 0 x não idênticamente nula. Se os coeficientes a 0 x, a 1 x,, a n x não são funções constantes diz-se de coeficientes variáveis. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 15

Resolução da equação homogénea Caso particular: edo s lineares de 2 a ordem com coeficientes constantes A equação tem o polinómio característico ay by cy 0 PD ad 2 bd c. Há três casos distintos a considerar: 1º caso: PD tem 2 zeros reais e distintos, r 1 e r 2. Então, a solução geral da equação homogénea é y C 1 e r1x C 2 e r2x, onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. Exemplo: Resolva a equação y y 2y 0 2º caso: PD tem 1 zero real de multiplicidade 2, r. Então, a solução geral da equação homogénea é y e rx C 1 x C 2, onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. Exemplo: Resolva as equações y 4y 4y 0 e y 0. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 16

3º caso: PD tem 2 zeros complexos conjugados,i. Então, a solução geral da equação homogénea é y e x C 1 cosx C 2 senx, onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. Exemplo: Resolva as equações y 4y 5y 0 e y 4y 0. Solução geral da equação completa Teorema: A solução geral de uma equação diferencial linear completa, y, é dada pela soma da solução geral da equação homogénea associada, y sgh, com uma solução particular da equação completa, y spc, isto é, y y sgh y spc. Portanto, somando a uma solução particular da edo linear completa as soluções da equação homogénea associada obtemos todas as soluções da equação completa. Exemplo: Verifique que a equação y 4y x admite a solução y 1 x e determine a sua solução geral. 4 Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 17

Obtenção da solução particular da equação completa Casos em que fx assume formas especiais Os dois casos que se seguem (os únicos que serão apresentados), em termos matemáticos abrangem poucas funções que, no entanto, surgem frequentemente em aplicações e em situações importantes. 1º caso: grau n. fx e x Q n x, com Q n x um polinómio de Uma solução particular da equação completa é y spc e x R n x, x k e x R n x, se não é zero de PD se é zero de PD com multiplicidade k em que R n x é um polinómio de grau n (cujos coeficientes terão que ser calculados). Exemplo: Resolva as equações y y 2y 4x 2 e y y 2y e 3x. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 18

2º caso: fx e x Q n x cosx R m x senx, em que Q n x e R m x são polinómios de graus m e n, respectivamente. Uma solução particular da equação completa é e x S N x cosx T N x senx, se i não são zeros de PD y spc xe x S N x cosx T N x senx, se i são zeros de PD (de multiplicidade 1) em que S N x e T N x são polinómios de grau N, com N maxn,m. Exemplo: Resolva a equação y y 2y sen2x. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 19

ANEXO As duas secções que se seguem, relativas às resolução de edo s lineares de ordem superior a 2, não serão leccionadas nem avaliadas em Matemática Aplicada. Apresenta-se apenas porque poderão vir a ser úteis aos alunos. Caso geral: edo s lineares homogéneas de ordem n com coeficientes constantes A equação a 0 y n a 1 y n1...a n1 y a n y 0 tem o polinómio característico Há três casos: PD a 0 D n a 1 D n1...a n1 D a n. 1º caso: PD tem n zeros reais e distintos, r 1, r 2,...,r n. A solução geral é y C 1 e r 1x C 2 e r 2x...C n e r nx onde C 1,C 2,,C n são constantes arbitrárias. Exemplo: Resolva a equação y y 2y 0 2º caso: PD tem m zeros reais e múltiplos, r 1, r 2,...r m m n com multiplicidades k 1, k 2,...,k m, respectivamente. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 20

A solução geral é y e r 1x P k1 1x e r 2x P k2 1x e r mx P km 1x onde P ki 1x, i 1,..., m, é um polinómio de grau k i 1, com coeficientes arbitrários. Exemplo: Resolva a equação y 4y 4y 0. 3º caso: PD admite zeros complexos. Se PD tem o zero i com multiplicidade k, então PD tem o zeroi com a mesma multiplicidade. A parte da solução geral correspondente a estes zeros é dada por e x P k1 x cosx Q k1 x senx onde P k1 x e Q k1 x são polinómios de grau k 1 com coeficientes arbitrários. (Portanto contém 2k constantes arbitrárias.) Exemplo: Sabendo que PD tem como únicas raízes 2 3i, com multiplicidade 2, determine a solução geral da edo linear. Caso geral: Método das Constantes Arbitrárias de Lagrange Suponha-se que a solução geral da equação homogénea é y C 1 y 1 x C 2 y 2 x...c n y n x em que C 1, C 2,,C n, são constantes arbitrárias. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 21

O método consiste em substituir as constantes por funções C 1 x, C 2 x,..., C n x de modo que y C 1 xy 1 x C 2 xy 2 x...c n xy n x seja solução da equação completa. Demonstra-se que podemos encontrar funções nestas condições exigindo que as suas derivadas, C 1 x, C 2 x,..., C n x, verifiquem o sistema de n equações a n incógnitas C 1 xy 1 x C 2 xy 2 x...c n xy n x 0 C 1 xy 1 x C 2 xy 2 x...c n xy n x 0 C 1 xy 1 n2 x C 2 xy 2 n2 x...c n xyn n2 x 0 C 1 xy 1 n1 x C 2 xy 2 n1 x...c n xyn n1 x fx a 0 Demonstra-se ainda que este sistema é sempre possível e determinado. Depois de resolvido o sistema, obtendo-se C 1 x, C 2 x,..., C n x, determina-se uma primitiva para cada uma destas funções. Substituindo as funções C 1 x, C 2 x,...,c n x obtemos uma solução particular da equação completa. Exemplo: Resolva a equação y y 2y e 3x. Ana Matos Matemática Aplicada 02/01/2019 Eq. diferenciais 22