Cap. 10. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias: Problemas de Valor Inicial. Filipe J. Romeiras

MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Cap.. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias: Problemas de Valor Inicial Filipe J. Romeiras Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Apontamentos das aulas da disciplina do mesmo nome do o ano de Mestrados Integrados e Licenciaturas em Ciências de Engenharia do Instituto Superior Técnico

. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Introdução: Problemas de Valor Inicial PVI) As equações diferenciais são uma das mais importantes ferramentas matemáticas usadas na modelação de problemas em Física, Química e Engenharia. Neste capítulo derivamos e analisamos métodos numéricos para resolver problemas para equações diferenciais ordinárias EDO s). Vamos considerar em primeiro lugar o chamado problema de valor inicial ou problema de Cauchy. Definição. Seja f : D R + R uma função contínua numa região D e x, Y ) D. O PVI { y x) = fx, yx)), P) yx ) = Y, é o problema de determinar uma função Y : I α R, I α = x α, x + α, α >, tal que: i) x, Y x)) D, x I α ; ii) Y C I α ) e Y x) = fx, Y x)), x I α ; iii) Y x ) = Y. Esta função é a solução do PVI P). Os resultados que iremos obter para o PVI P) generalizam-se facilmente quer para sistemas de EDO s de a ordem quer para EDO s de ordem superior à a, desde que se utilize a apropriada notação vectorial e matricial. Assim, no caso de um sistema de d EDO s de a ordem, temos: { y x) = fx, yx)), yx ) = Y, onde f : D R +d R d e x, Y ) D, com y = y y y d T fx, y) = f x, y) f x, y) f d x, y) T Y = Y Y Y d T, enquanto que no caso de uma EDO de ordem d, { y d) x) = f x, yx), y x),..., y d ) x) ), yx ) = Y, y x ) = Y,..., y d ) x ) = Y d ),

temos a formulação equivalente com { z x) = gx, zx)), zx ) = Z, z = y y y d ) T, gx, z) = z z z d fx, z, z,..., z d ) T, Z = Y Y Y d ) T. Exemplo. Escrever na forma de um PVI para um sistema de EDO s de a ordem o seguinte PVI para uma EDO de a ordem: { y x) + ax)y x) + bx)yx) = rx), yx ) = Y, y x ) = Y, onde a, b, r : I R R são funções contínuas num intervalo I e x I. z x) yx) zx) = = z x) y x) y z x) = x) z y = x) = gx, zx)) x) rx) bx)z x) ax)z x) yx ) Y zx ) = y = x ) Y = Z Antes de iniciar a análise numérica do PVI P) apresentamos alguns resultados teóricos sobre este problema que ajudam a compreender melhor os métodos numéricos que discutiremos a seguir. São tratados com mais pormenor na disciplina de Análise Complexa e Equações Diferenciais. Proposição Teorema de Picard-Lindelöf). Seja f : D R + R uma função contínua numa região D e que satisfaz a uma condição de Lipschitz em relação à a variável com constante L em D, isto é, fx, u) fx, v) L u v, x, u), x, v) D. Então para qualquer x, Y ) D o PVI P) tem uma solução única definida num intervalo x α, x + α para algum α > suficientemente pequeno. Notas. a) Sendo com a, b >, então D = {x, y) R + : x x a, y Y b}, { } b α = min a,, M = max fx, y). M x,y) D

b) Sendo então α = a. D = {x, y) R + : x x a, y < }, c) Sendo D = R +, f contínua em D e satisfazendo a uma condição de Lipschitz em qualquer conjunto então α =. D a = {x, y) R + : x a, y < }, Notas. a) Se D R +d o teorema continua válido, sendo agora a condição de Lipschitz fx, u) fx, v) L u v, x, u), x, v) D, onde designa uma qualquer norma vectorial em R d. b) Se f C D), constante c) Se f C D), constante D R +, então f satisfaz a uma condição de Lipschitz com L = sup fx, y) y. x,y) D D R +d, então f satisfaz a uma condição de Lipschitz com L = sup J f x, y), x,y) D onde é a norma matricial induzida pela norma vectorial utilizada em R d. Exemplo. O PVI { y x) = yx), yx ) = Y, onde x R, Y R \ {} tem a solução única Y x) = Y x x ), definida para x x < Y, se Y >, e para x x > Y, se Y <. Exemplo. O PVI { y x) = yx), y) =. tem uma infinidade de soluções dadas por {, x c, Y c x) = x c), x > c,

4 onde c. O PVI tem também a solução Ỹ x) =, x R. Note-se que fy) = y é contínua em, mas não satisfaz a uma condição de Lipschitz em qualquer intervalo que contenha a origem. Consequentemente o teorema de Picard- Lindelöf não é aplicável. Exemplo. O PVI { y x) = λyx) + gx), yx ) = Y, onde g CR), λ, x, Y R, tem a solução única definida em R, Y x) = Y e λx x ) + x x e λx t) gt) dt. Introdução: métodos numéricos Consideremos o PVI { y x) = fx, yx)), yx ) = Y, onde f : D R + R é uma função contínua numa região D e que satisfaz a uma condição de Lipschitz em relação à a variável. Para qualquer x, Y ) D o PVI P) tem uma solução única Y : I α R, para algum α >. Pretendemos obter uma aproximação desta solução única do PVI P) no intervalo x, b I α. Consideremos então uma partição do intervalo x, b: com x < x < < x N = b, x n = x + nh, n =,,..., N, h = b x N, onde h > é o passo da partição. O objectivo dos métodos numéricos para a resolução do PVI P) é construir aproximações y, y,..., y N para os valores da solução exacta Y x ), Y x ),..., Y x N ) nos pontos da partição x, x,..., x N. Definição. Um método de passo simples ou único para a resolução do PVI P) consiste em construir uma aproximação y n para a solução exacta Y x n ) em cada ponto x n pela fórmula y n+ = y n + h ϕx n+, y n+, x n, y n ; h), n, onde y é tal que x, y ) D e ϕ : D, R é uma função dada em termos de f, designada por vezes por função incremento. Se ϕ não depender de y n+ o método diz-se explícito; caso contrário o método diz-se implícito. P)

5 Definição. Um método de passo múltiplo ou multipasso, com p + passos, p N, para a resolução do PVI P) consiste em construir uma aproximação y n para a solução exacta Y x n ) em cada ponto x n pela fórmula y n+ = a k y n k + hϕx n+, y n+, x n, y n, x n, y n,..., x n p, y n p ; h), n p, k= onde y, y,..., y p são valores dados, ou obtidos por outro método, tais que x, y ),..., x p, y p ) D e ϕ : D p+, R. Se ϕ não depender de y n+ o método diz-se explícito; caso contrário o método diz-se implícito. Exemplos. Os quatro primeiros são métodos de passo simples. O quarto e o sexto são métodos implícitos i) Método de Euler ordem ) ii) Método de Taylor de ordem y n+ = y n + hfx n, y n ), n. y n+ = y n + hfx n, y n ) + h f x + f f ) x n, y n ), n. y iii) Método de Runge-Kutta clássico de ordem y n+ = y n + h fx n, y n ) + f x n + h 4, y n + h ) fx n, y n ), n. iv) Método trapezoidal ou método de Adams-Moulton com um passo ordem ) y n+ = y n + h fx n+, y n+ ) + fx n, y n ), n. v) Método de Adams-Bashforth com dois passos ordem ) y n+ = y n + h fx n, y n ) fx n, y n ), n. vi) Método de Adams-Moulton com dois passos ordem ) y n+ = y n + h 5fx n+, y n+ ) + 8fx n, y n ) fx n, y n ), n. Métodos de passo simples: consistência e convergência Definição. Um método de passo simples ou único, explícito, para a resolução do PVI P) consiste em construir uma aproximação y n para a solução exacta Y x n ) em cada ponto x n pela fórmula y n+ = y n + h ϕx n, y n ; h), n N,

onde y é tal que x, y ) D e ϕ : D, R é uma função dada em termos de f. Exemplo. Dedução do método de Euler: i) a partir da fórmula de Taylor; ii) a partir da equação integral equivalente usando uma fórmula de quadratura para aproximar o integral. i) Fórmula de Taylor Y x + h) = Y x) + hy x) + h Y x + θh), θ,. ) Y x + h) = Y x) + hfx, Y x)) + h d fx, Y x)) x + θh). dx ii) Fórmula de quadratura aplicada à equação integral Y x + h) = Y x) + x+h x+h x ft, Y t)) dt, gt) dt = hgx) + h x g x + θh), ) Y x + h) = Y x) + hfx, Y x)) + h d fx, Y x)) x + θh). dx Desprezando os termos de Oh ) obtém-se A quantidade τx, y; h) = Y x + h) Y x) + hfx, Y x)), y n+ = y n + hfx n, y n ). Y x + h) Y x) h fx, Y x)) = h Y x + θh), designada por erro de discretização local, desempenha um papel importante no estudo dos métodos numéricos para EDO s. Nota. Qualquer destas abordagens pode ser generalizada para obter métodos de ordem mais elevada. Definição. Para cada x, y) D seja Zt) a solução única do PVI { z t) = ft, zt)), zx) = y. Chama-se erro de discretização local a τx, y; h) = Zx + h) Zx) h ϕx, y; h), Zx) = y. O método de passo simples diz-se consistente com o PVI) se lim τx, y; h) =, h

7 uniformemente para todos os x, y) D, e diz-se ter consistência de ordem q N se τx, y; h) = Oh q ), h, x, y) D. Nota. F h) = Oh q ), h +, q >, se existirem h > e C > tais que F h) Ch q, h, h. Nota. O erro de discretização local é a diferença entre a diferença dividida da solução exacta do PVI e a diferença dividida da solução aproximada do PVI, para o mesmo passo h. É pois uma medida da forma como a solução exacta satisfaz à equação do método numérico. Proposição. Um método de passo simples é consistente se e só se uniformemente para todos os x, y) D. lim ϕx, y; h) = fx, y), h Proposição. O método de Euler é consistente. Se f C D) então o método de Euler tem consistência de ordem. Definição. Sejam y, y,..., y N os valores aproximados obtidos por um método de passo simples para os valores Y x ), Y x ),..., Y x N ) da solução do PVI P). Chama-se erro de discretização global a e n = e n h) := Y x n ) y n, n =,,..., N, e chama-se erro de discretização global máximo a E = Eh) := max n N e nh). O método de passo simples diz-se convergente se e diz-se ter convergência de ordem q se lim Eh) =, h Eh) = Oh q ), h. Proposição. Considere-se um método de passo simples em que a função ϕ é contínua e Lipschitziana em relação à segunda variável com constante de Lipschitz M independente de h, isto é, h >, M > : h, h, x, y), x, z) D ϕx, y; h) ϕx, z; h) M y z.

8 Então o erro de discretização global satisfaz à desigualdade e n h) e Mx n x ) e h) + τh) M e Mx n x ), n Nh), e o erro de discretização global máximo satisfaz à desigualdade onde Eh) e Mb x ) e h) + τh) M τh) = e Mb x ), max τx n, Y x n ); h). n Nh) Se o método for consistente e e h), h, então o método é convergente. Se o método tiver consistência de ordem q e e h) = Oh q ), h, então o método tem convergência de ordem q. Dem.: ) Métodos de passo simples: métodos de Taylor Vimos como o método de Euler pode ser deduzido a partir da fórmula de Taylor considerando a aproximação Y x + h) = Y x) + hy x) + h Y x + θh), θ,, Y x + h) Y x) + hy x), e usando a EDO para exprimir a derivada Y x) em termos de Y x): Y x) = fx, Y x)). Considerando a fórmula de Taylor de ordem q Y x + h) = q j= h j j! Y j) x) + hq+ q + )! Y q+) x + θh), θ,, e procedendo de forma semelhante obtemos os métodos de Taylor de ordem q. As sucessivas derivadas Y j) x) são obtidas a partir da EDO: Y x) = f x x, Y x)) + f y x, Y x))y x) = f x x, Y x)) + f y x, Y x))fx, Y x)) = d f f)x, Y x)) Y j) x) = d j f f)x, Y x)), j,

9 onde d f designa o operador diferencial parcial definido por para qualquer função g diferenciável em D. d f g = g x + fg y = g x + f g y. Definição. Os métodos de Taylor de ordem q são métodos de passo simples em que a função de incremento é dada por ϕx, y; h) = q k= h k d k k + )! f f ) x, y). Proposição. O método de Taylor de ordem q N é consistente. Se f C q D) então o método tem consistência de ordem q. Dem.: ) Proposição. O método de Taylor de ordem q N é convergente. Se f C q D) então o método tem convergência de ordem q. Dem.: ) Métodos de passo simples: métodos de Runge-Kutta Os métodos de Runge-Kutta imitam os métodos de Taylor de ordem q mas requerem apenas o cálculo de valores da função f e não das suas derivadas. Definição. Os métodos de Runge-Kutta de s etapas, explícitos, são métodos de passo simples em que a função incremento é ϕx, y; h) = s γ j ϕ j x, y; h), j= onde ϕ x, y; h) = fx, y) ) j ϕ j x, y; h) = f x + α j h, y + h β ji ϕ i x, y; h), j s. i= Os coeficientes são determinados por forma a tornar a ordem de consistência, e, portanto, a ordem de convergência, a maior possível. A ordem de consistência q é a ordem Oh q ), h ) do erro de discretização local: τx, y; h) = Zx + h) y h ϕx, y; h), Zx) = y.

Proposição. Teorema de Butcher) Nota. ) s q ; ) s > q 5. s 4 5 7 8 q max 4 4 5 νs) 4 8 9 4 4 νs) = ss + ) número de coeficientes) Quadro de Butcher: α α β α β β...... α q β q β q β q,q γ γ γ q γ q Exemplo. Os seguintes métodos de Runge-Kutta encontram-se no Anexo. Apresentam-se aqui os respectivos quadros de Butcher. Métodos de Runge-Kutta de ordem s = ) Método de Euler modificado ou do ponto médio Método de Runge-Kutta clássico Método de Heun 4 4 Métodos de Runge-Kutta de ordem s = ) Método de Runge-Kutta clássico Método de Runge-Kutta-Nystrom

Método de Runge-Kutta-Heun 4 8 8 4 4 Métodos de Runge-Kutta de ordem 4 s = 4, s = 5) Método de Runge-Kutta clássico s = 4) Método de Runge-Kutta-Gill s = 4) Método de Runge-Kutta-Merson s = 5) + + 8 8 Proposição. Os métodos de Runge-Kutta de ordem q =,, 4 considerados são consistentes e convergentes. Se f C q D) então os métodos têm consistência e convergência de ordem q. Dem.: )

Exemplo. Considere os métodos de Runge-Kutta de etapas, ϕx, y; h) = γ fx, y) + γ f x + αh, y + βhfx, y)) Determine os parâmetros α, β, γ, γ por forma a que os métodos tenham a maior ordem de consistência possível. τx, y; h) = Zx + h) y h ϕx, y; h) y = Zx)) Zx + h) = Zx) + hz x) + h Z x) + h Z x) + Oh 4 ) = Zx) + hfx, Zx)) + h d ff)x, Zx)) + h d ff)x, Zx)) + Oh 4 ) d f f = f x + ff y d f f = f xx + f x f y + ff xy + ff y + f f yy ϕx, y; h) = ϕx, y; ) + h ϕ h ϕ x, y; ) + h h x, y; ) + Oh ) τx, y; h) = fx, y) ϕx, y; ) + h d f f)x, y) ϕ x, y; ) x + h d ff)x, y) ϕ x, y; ) h ϕx, y; ) = γ + γ )fx, y) + Oh ) ϕ h x, y; ) = γ αf x + βff y x, y) ϕ h x, y; ) = γ α f xx + αβff xy + β f f yy x, y) αγ ) ) τx, y; h) = γ γ )fx, y) + h f x + βγ ff y x, y) + h γ α ) f xx + γ αβ) ff xy + γ β ) f f yy +f x f y + ffy x, y) + Oh ) τx, y; h) = h γ = γ, α = β = γ x + h, y + h fx, y) γ γ ) f xx + ff xy + f f yy ) + f x f y + ffy 4γ ϕx, y; h) = γ )fx, y) + γ f = cf, γ )h + Oh ) cf, γ ) 4γ f xx + ff xy + f f yy + fx f y + ffy ) x, y) + Oh )

Casos particulares: Método de Euler modificado ou do ponto médio γ = ): ϕx, y; h) = f x + h, y + h ) fx, y) Método de Runge-Kutta clássico de ordem γ = ) : 4 ϕx, y; h) = fx, y) + f x + h 4, y + h ) fx, y) Método de Heun γ = ) : ϕx, y; h) = fx, y) + f x + h, y + hfx, y)) Exemplo. Considere o problema de valor inicial { y x) = fx, yx)), yx ) = y, onde f : I R R é contínua e Lipschitziana em relação à segunda variável, I é um intervalo de R, x I, e y é uma constante real. para Y x + h) usando dois passos de com- a) Obtenha um valor aproximado y E primento h/ do método de Euler. b) Obtenha um valor aproximado y T para Y x + h) usando um passo de comprimento h do método de Taylor de a ordem. c) Obtenha um valor aproximado y RK para Y x + h) usando um passo de comprimento h de qualquer dos métodos de Runge-Kutta de a ordem s = ). d) Particularize os resultados das alíneas anteriores para fx, y) = x y. Tendo em atenção que a solução exacta do problema de valor inicial é, Y x) = x x + + Ke x x, onde K = y x + x, obtenha expansões em série de Mac-Laurin de potências de h para os erros Resolução: Y x + h) y E, Y x + h) y T, Y x + h) y RK. a) y = y + h fx, y ) y E = y + h fx, y ), x = x + h

4 y E = y + h fx, y ) + f x + h, y + h ) fx, y ) b) y T = y + hfx, y ) + h d ff)x, y ) c) y RK = y + h d) y E y T d f f = f x + ff y γ)fx, y ) + γf = y + hx y ) + h 4 y x + x ) + h 8 = y + hx y ) + h y x + x ) y RK = y + hx y ) + h y x + x ) + h γ Y x + h) y E = h 4 K + ) + Oh ) Y x + h) y T = h K + Oh4 ) ) Y x + h) y RK = h γ + K + Oh 4 ) x + h γ, y + h ) γ fx, y ) Exemplo. Considere o problema de valor inicial y x) = fx, yx), zx)), z x) = gx, yx), zx)), yx ) = y, zx ) = z, onde f, g : I R R são contínuas e Lipschitzianas em relação às segunda e terceira variáveis, I é um intervalo de R, x I, e y, z são constantes reais. Repita as três primeiras alíneas do exemplo anterior. Resolução: yx) W x) = zx) W x ) = yx ) zx ) y, W x) = x) z x) = y z = W a) W = W + h F x, W ) = = y + h fx, y, z ) z + h gx, y, z ) fx, yx), zx)) gx, yx), zx)) = y z = F x, W x))

5 W E = W + h F x, W ) = y + h fx, y, z ) z + h gx, y, z ), x = x + h b) W T = W + hf x, W ) + h d F F )x, W ) ) d F F = x + F W F = x + f y + g ) F z y + hfx, y, z ) + h W T = f x + ff y + gf z )x, y, z ) z + hgx, y, z ) + h c) W RK = W + h γ)f x, W ) + γf g x + fg y + gg z )x, y, z ) x + h γ, W + h γ F x, W ) ) x = x + h γ W RK = W = W + h y γ F x + h γ, W ) = fx, y, z ) z + h gx γ, y, z ) y + h γ)fx, y, z ) + γf x, ỹ, z ) z + h γ)gx, y, z ) + γg x, ỹ, z ) = ỹ z Exemplo. Considere o problema de valor inicial { y x) = gx, yx), y x)), yx ) = y, y x ) = z, onde g : I R R é contínua e Lipschitziana em relação às segunda e terceira variáveis, I é um intervalo de R, x I, e y, z são constantes reais. Repita as três primeiras alíneas dos exemplos anteriores. Resolução: yx) W x) = zx) W x ) = yx ) zx ) y, W x) = x) y x) = y z = W = zx) gx, yx), zx)) = F x, W x)) Caso anterior com fx, y, z) = z. y + h a) W = z z + h gx =, y, z ) y z

W E = y + h z z + h gx, y, z ),, x = x + h y + hz + h b) W T = gx, y, z ) z + hgx, y, z ) + h g x + zg y + gg z )x, y, z ) c) x = x + h γ, y + h γ W = z ỹ z + h gx = γ, y, z ) z y + h γ)z + γ z W RK = z + h γ)gx, y, z ) + γg x, ỹ, z ) Métodos multipasso lineares: introdução Definição. Um método multipasso linear MPL) com p + passos p ) para a resolução do PVI P) consiste em construir uma aproximação y n para a solução exacta Y x n ) em cada ponto x n = x + nh, n =,,..., N, pela fórmula y n+ = a k y n k + h b k fx n k, y n k ), n p, k= k= onde y, y,..., y p são valores dados ou obtidos por outro método) e a, a,..., a p, b, b, b,..., b p são constantes reais tais que a p + b p =. Se b = o método diz-se explícito; se b o método diz-se implícito. Uma classe importante de métodos MPL baseia-se na integração numérica. A ideia geral é a seguinte. Reescreve-se a EDO como uma equação integral Y x n+ ) = Y x n r ) + xn+ x n r ft, Y t)) dt, para algum r e n r; constrói-se um polinómio interpolador de grau ν p + para f e substitui-se f por este polinómio no integral; desprezando o erro de quadratura chega-se ao método pretendido. Entre os métodos obtidos por esta forma temos: Métodos de Adams: r =, ν = p ou ν = p + Métodos de Adams explícitos ou de Adams-Bashforth: ν = p, p Métodos de Adams implícitos ou de Adams-Moulton: ν = p +, p Métodos de Nyström: r =, ν = p, p Métodos de Milne-Thomson: r =, ν = p +, p Iremos considerar em detalhe os métodos de Adams que são os métodos MPL mais usados. Em particular são usados para produzir algoritmos preditor-corrector em que o erro é controlado por variação do passo h e da ordem do método, simultâneamente. O nosso

7 estudo dos métodos de Adams será no entanto feito como caso particular dos métodos MPL acima definidos e não a partir da integração numérica. Métodos MPL: consistência A consistência é uma propriedade que procura avaliar em que medida a solução exacta do PVI satisfaz à equação do método numérico para a sua resolução. Definição. Para cada x, y) D seja Y t) a solução única do PVI { z t) = ft, zt)), zx) = y. Chama-se erro de discretização local a τx, y; h) = Zx + h) a k Zx kh) h k= O método MPL diz-se consistente com o PVI) se lim τx, y; h) =, h b k fx kh, Zx kh)). uniformemente para todos os x, y) D, e diz-se ter consistência de ordem q N se x, y) D. k= τx, y; h) = Oh q ), h, Proposição. Sejam C, C,... as quantidades definidas em termos dos parâmetros de um método MPL por: C = a k, C = + ka k b k, Então: C j = k= k) j a k j k= k= k= k) j b k, j =,,... k= ) Um método MPL é consistente com o PVI P) para qualquer f C D) se e só se C = C =. ) Um método MPL tem consistência de ordem q para qualquer f C q+ D) se e só se C = C = C = = C q =, C q+. O erro de discretização local tem a forma τx, y; h) = h q C q+ q + )! dq f f)x, y) + Ohq+ )

8 Dem.: Obtém-se o desenvolvimento: τx, y; h) = C Zx)h + q+ j= C j j! Zj) x) h j + Oh q+ ) Métodos MPL: métodos de Adams Definição. Os métodos de Adams são métodos MPL da forma y n+ = y n + h k=p b k fx n k, y n k ), n p, onde p = métodos explícitos) ou p = métodos implíctos) e os p + p = q parâmetros b k são unicamente determinados pelo sistema de q equações C = C = = C q =, onde C = k=p b k, C j = j k=p k) j b k, j =,..., q. Proposição. O método de Adams com p+ passos tem consistência de ordem q = p+ p, isto é, ) q = p +, se é explícito; ) q = p +, se é implícito. Exemplos. Apresentam-se no Anexo os primeiros métodos de Adams. Aqui apresentam-se quadros resumos dos coeficientes e da constante que ocorre no termo de ordem mais baixa do erro de discretização local. Métodos de Adams-Bashforth p = ) p q b b b b b 4 C q+ /q + )! 5 5 8 4 55 59 7 9 5 4 4 4 4 7 4 5 9 774 74 5 95 7 7 7 7 7 88

9 Métodos de Adams-Moulton p = ) p q b b b b b C q+ /q + )! 5 8 4 9 9 4 5 9 4 4 4 4 7 5 4 5 4 9 7 7 7 7 7 Métodos MPL: convergência Consideremos o PVI P) { y x) = fx, yx)), yx ) = Y, onde f é contínua e Lipschitziana em relação a y. Consideremos o método MPL M) para resolução numérica aproximada de P): y n+ = a k y n k + h k= P) b k fx n k, y n k ), p n Nh), M) k= onde h, h e h é suficientemente pequeno por forma a que a Eq. M) tenha a solução {y n h)} n Nh), h, h. Definição. Sejam {y n h)} n Nh) a solução obtida pelo método MPL M) e Y : x, b R a solução exacta do PVI P). Define-se o erro de discretização global por e n = e n h) := Y x n ) y n h), n Nh), e erro de discretização global máximo por E = Eh) := max e n h). n Nh) Diz-se que a solução aproximada é convergente para a solução exacta de lim Eh) =, h e diz-se que tem convergência de ordem q se Eh) = Oh q ), h. Diz-se que o método numérico M) é convergente, ou tem convergência de ordem q, se a convergência ou a convergência de ordem q) se verificar para todos os PVI P). Definição. Os valores iniciais {y n h)} n p dizem-se consistentes se, lim E ph) =, h

onde E p h) := max n p e nh), e diz-se terem consistência de ordem q se E p h) = Oh q ), h. Nota. A consistência dos valores iniciais é condição necessária para a convergência do método. A convergência do método MPL está relacionada com as raízes do polinómio ρr) := r p+ a k r p k. k= Definição. Diz-se que o método MPL satisfaz à condição da raiz se as raízes r, r,..., r p do polinómio ρr), repetidas de acordo com as suas multiplicidades, satisfazem a i) r j, j =,,..., p; ii) r j = ρ r j ) Nota. A condição i) impõe que todas as raízes estão contidas no círculo unitário {z C : z }. A condição ii) impõe que todas as raízes na fronteira do círculo são raízes simples de ρr). Nota. Fazendo h = em M) obtemos y n+ = a k y n k, k= que é uma equação às diferenças de ordem p +, linear e de coeficientes constantes. O seu polinómio característico é precisamente ρ. A sua solução geral é dada por y n = ˆ j= µj l= c jl n l ) ˆr n j, onde ˆr, ˆr,..., ˆrˆp, são as raízes distintas do polinómio ρ e µ, µ,..., µˆp as suas multiplicidades. É claro que ˆp p e µ + µ + + µˆp = p +. A condição da raiz corresponde a exigir que todas as soluções da equação às diferenças são limitadas. Proposição. No caso de um método MPL consistente as seguintes afirmações são equivalentes: ) o método é convergente; ) o método satisfaz à condição da raiz. Proposição. Todo o método de passo simples linear consistente é convergente.

Dem.: ) Proposição. Os métodos de Adams-Bashforth e Adams-Moulton são convergentes. Dem.: ) Exemplo. Para cada um dos três problemas de valor inicial considerados nos exemplos no fim do parágrafo sobre os métodos de Runge-Kutta obtenha um valor aproximado y AM para Y x + h) usando um passo de comprimento h do método de Adams-Moulton de a ordem. Resolução: i) y AM = y + h ii) W AM = W + h y AM y + h = z AM z + h y AM iii) z AM = fx, y ) + f ) x + h, y AM F x, W ) + F ) x + h, W AM fx, y, z ) + f x, y AM z + h ), z AM ) gx, y, z ) + g x, y AM, z AM z + z AM y + h gx, y, z ) + g x, y AM, z AM Exemplo. Determinar todos os métodos MPL com passos e ordem de consistência. Resolução: y n+ = a y n + a y n + hb f n+ + b f n + b f n i) Condições para que o método tenha ordem de consistência : C = a a = a = a C = + a b b b = b = a b C = a b b ) = b = a + b C = + a b + b ) = + a b C 4 = a 4b b ) = a C 5 = + a 5b + b ) = + a b ii) Condição da raiz: ρr) = r a r a = r )r + a ) a < )

iii) Casos particulares: a =, b =, a =, b =, b =, C = y n+ = y n + hf n Método do ponto médio a =, b =, a =, b =, b =, C = 5 y n+ = y n + h f n f n Método de Adams-Bashforth de ordem a = 4, b =, a =, b =, b =, C = 4 y n+ = 4 y n y n + h f n+ Método BDF de ordem Backward Difference Formula) iv) Condições para que o método tenha ordem de consistência : C = b = a + 4) a = a, b = a ), b = 4 5a ), C 4 = a, C 5 = a ) v) Casos particulares: a =, b = 5, a =, b =, b =, C 4 = y n+ = y n + h 5f n+ + 8f n f n Método de Adams-Moulton de ordem vi) Condições para que o método tenha ordem de consistência 4: C 4 = a = b =, a =, b = 4, b =, C 5 = 4 y n+ = y n + h f n+ + 4f n + f n Método de Milne de ordem 4

Métodos MPL: métodos preditor-corrector Consideremos a expressão geral dos métodos de Adams y n+ = y n + h k=p b k fx n k, y n k ), n p. O valor inicial é um dado do PVI P), y = Y. Os valores iniciais y, y,..., y p têm que ser obtidos por outras vias, por exemplo, por um método de passo simples da mesma ordem). As fórmulas de Adams-Moulton, que definem implicitamente y n+, podem ser resolvidas pelo método iterativo do ponto fixo: y j+) n+ = y n + h k= b k fx n k, y n k ) + hb fx n+, y j) n+), n p, j. A convergência do método do ponto fixo fica assegurada se h for suficientemente pequeno, de acordo com o seguinte resultado: Proposição. O método iterativo do ponto fixo aplicado à equação do método de Adams- Moulton converge para a solução y n+ desde que seja satisfeita a desigualdade h b L <, onde h é o passo de integração e L designa a constante de Lipschitz de f. Dem.: ) Para obter a iterada inicial y ) n+ pode utilizar-se um método de Adams-Bashforth. Definição. Os métodos preditor-corrector são constituídos por uma fórmula de Adams- Moulton o corrector) e uma fórmula de Adams-Bashforth o preditor): y j+) n+ = y n + h y ) n+ = y n + h k= k= Exemplos. i) AB)+AM) y ) b k fx n k, y n k ) + hb fx n+, y j) n+), n p, j, bk fx n k, y n k ), n+ = y n + h f n f n + 5f n, y j+) n+ = y n + h n p. 5fx n+, y j) n+) + 8f n f n, j, n.

4 ii) AB)+AM) y ) n+ = y n + h f n f n, y j+) n+ = y n + h 5fx n+, y j) n+) + 8f n f n, j, n. Proposição. Consideremos um preditor de ordem q e um corrector de ordem q. ) Se q q então o preditor-corrector tem a mesma ordem e o mesmo EDL principal que o corrector. ) Se q = q então o preditor-corrector tem a mesma ordem que o corrector mas o EDL principal é diferente. ) Se q q então o preditor-corrector tem ordem mais baixa que o corrector. Nota. Vimos que o erro de discretização local EDL) para um método de Adams de ordem q é dado por τx, y; h) = h q C q+ q + )! dq f f)x, y) + Ohq+ ) Chama-se EDL principal à primeira parcela do EDL, proporcional a h q. A mesma designação aplica-se no caso do método preditor-corrector. Dem.: )

5 Anexo Métodos de Runge-Kutta de ordem : τx, y; h) = h d ffx, y) ϕ x, y; ) h + Oh ) Método de Euler modificado ou do ponto médio y n+ = y n + hf x n + h, y n + h ) fx n, y n ) Método de Runge-Kutta clássico de ordem y n+ = y n + h fx n, y n ) + f x n + h 4, y n + h ) fx n, y n ) Método de Heun y n+ = y n + h fx n, y n ) + f x n + h, y n + hfx n, y n )) Métodos de Runge-Kutta de ordem : τx, y; h) = h d 4 ffx, y) 4 ϕ x, y; ) h Método de Runge-Kutta clássico de ordem + Oh 4 ) y n+ = y n + h ϕ + 4ϕ + ϕ ϕ = fx n, y n ), ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ ϕ = f x n + h, y n hϕ + hϕ ) Método de Runge-Kutta-Nystrom de ordem y n+ = y n + h 8 ϕ + ϕ + ϕ ϕ = fx n, y n ), ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ Método de Runge-Kutta-Heun de ordem y n+ = y n + h 4 ϕ + ϕ ϕ = fx n, y n ), ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ

Métodos de Runge-Kutta de ordem 4: τx, y; h) = h4 d 4 ffx, y) 5 4 ϕ x, y; ) h4 Método de Runge-Kutta clássico de ordem 4: y n+ = y n + h ϕ + ϕ + ϕ + ϕ 4 + Oh 5 ) ϕ = fx n, y n ), ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ, ϕ 4 = fx n + h, y n + hϕ ) Método de Runge-Kutta-Gill de ordem 4: y n+ = y n + h ϕ + )ϕ + + )ϕ + ϕ 4 ϕ = fx n, y n ), ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ ϕ = f x n + h, y n + hϕ + ) hϕ ϕ 4 = f x n + h, y n hϕ + + ) hϕ Método de Runge-Kutta-Merson de ordem 4: y n+ = y n + h ϕ + 4ϕ 4 + ϕ 5 ϕ = fx n, y n ), ϕ = f x n + h, y n + h ) ϕ ϕ = f x n + h, y n + h ϕ + h ) ϕ ϕ 4 = f x n + h, y n + h 8 ϕ + h ) 8 ϕ ϕ 5 = f x n + h, y n + h ϕ h ) ϕ + hϕ 4

7 Métodos de Adams-Bashforth f m := fx m, y m )): y n+ = y n + h f n f n AB) p =, q = : τx, y; h) = 5h d ff)x, y) + Oh ) y n+ = y n + h f n f n + 5f n AB) p =, q = : τx, y; h) = h 8 d ff)x, y) + Oh 4 ) y n+ = y n + h 4 55f n 59f n + 7f n 9f n, AB4) p =, q = 4: τx, y; h) = 5h4 7 d4 ff)x, y) + Oh 5 ) y n+ = y n + h 7 9f n 774f n + f n AB5) p = 4, q = 5: 74f n + 5f n 4, τx, y; h) = 95h5 88 d5 ff)x, y) + Oh ) Métodos de Adams-Moulton f m := fx m, y m )): y n+ = y n + h f n+ + f n AM) p =, q = : τx, y; h) = h d ff)x, y) + Oh ) y n+ = y n + h 5f n+ + 8f n f n AM) p =, q = : τx, y; h) = h 4 d ff)x, y) + Oh 4 ) y n+ = y n + h 4 9f n+ + 9f n 5f n + f n AM4) p =, q = 4: τx, y; h) = 9h4 7 d4 ff)x, y) + Oh 5 ) y n+ = y n + h 7 5f n+ + 4f n 4f n AM5) p =, q = 5: +f n 9f n τx, y; h) = h5 d5 ff)x, y) + Oh )