ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ. INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS. FACULDADE DE MATEMÁTICA. Giovanni Almeida Marques. ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. BELÉM - PA 2009

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE MATEMÁTICA Giovanni Almeida Marques. ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Matemática pela Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará. Orientador: Prof. Dr. Manoel Silvino Batalha de Araújo. BELÉM - PA 2009

3 CERTIFICADO DE AVALIAÇÃO GIOVANNI ALMEIDA MARQUES ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Matemática, pela Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará, julgado pela seguinte banca examinadora: Orientador : Prof.Dr.Manoel Silvino Batalha de Araújo. Faculdade de Matemática, UFPA Prof.Dr. Faculdade de Matemática, UFPA Prof.Dr. Faculdade de Matemática, UFPA DATA DA AVALIAÇÃO: / / CONCEITO:

4 Dedicatória À Deus,pela força e sabedoria,assim como a minha amada família pelo incentivo e apoio por estudar Matemática. 3

5 Agradecimentos À Deus, pelo dom da vida e por estar ao meu lado em todos os momentos, me dando força para superar as dificuldades, me concedendo sabedoria e iluminando sempre meus caminhos. Ao professor Silvino, pela amizade, seriedade, paciência e o conhecimento adquirido mediante a orientação deste trabalho. À minha família, principalmente a minha mãe Denize e meus avós maternos Carlos (em memória) e Maria de Lourdes que sempre me apoiaram e acreditaram em meu potencial, assim como respeitaram minha vontade de vencer todos os obstáculos para chegar neste instante tão especial que estou vivenciando. Aos meus colegas de trabalho, que a todo instante me transmitem uma força positiva. À Darciane, pelo o amor, carinho e atenção doada, além de ser um modelo para mim de estudo e dedicação. Ao Léo César, que nos momentos mais difíceis da graduação estivemos juntos nesta labuta. À Universidade Federal do Pará por ter aberto portas e por estar me dando agora a oportunidade de uma profissão. À direção da Faculdade de Matemática por oferecer um curso de Bacharelado em Matemática de grande renome em toda região amazônica, me capacitando ter um ótima qualificação. À Ana Calandrini e a todos os bolsistas da Faculdade de Matemática pela bela educação e recepção ao atender minhas solicitações e responder minhas dúvidas em relação ao

6 funcionamento do curso. À todos os colegas e amigos que caminharam comigo nesta importante etapa de minha vida acadêmica. À todos os professores da Faculdade de Matemática que contribuíram com a minha formação ao longo destes 5 anos. À todos que aqui não citados, mas que estiveram ao meu lado e torceram por mim. O meu muito obrigado! 5

7 "A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza." (Bertrand Russel)

8 Resumo O presente estudo e implementação de métodos numéricos para a solução de equações diferenciais ordinárias(e.d.o) tem como objetivo encontrar em um problema de valor inicial,através de procedimentos numéricos soluções aproximadas da solução exata,em um dado intervalo real,de maneira que a função em estudo seja contínua no mesmo intervalo,cuja solução analítica em muitos casos se torna difícil ou inviável.neste propósito, trataremos dos métodos de passo simples, como o método de Euler,o método dos três termos da série de Taylor e método de Runge-Kutta, assim como o método de passos múltiplos, como o método de Adams e suas fórmulas inversas de diferenciação, como também o controle de erros e estabilidade destes métodos e a utilização dos mesmos em sistemas de equações de primeira ordem. Nosso objeto de implementação será a linguagem de programação C que nos permite interagir com alguns dos métodos em questão. Palavras-chave: E.D.O, Métodos numéricos, Euler, Runge-Kutta.

9 Conteúdo Introdução 1 1 Métodos de Passos Simples O Método de Euler Erro de truncamento local e global no método de Euler Aplicação do Erro de Truncamento Acumulado no Método de Euler Os Métodos de Runge-Kutta O Método Runge-Kutta de Primeira Ordem O Método Runge-Kutta de Segunda Ordem O Método Runge-Kutta de Terceira Ordem O Método Runge-Kutta de Quarta Ordem Métodos de Passos Múltiplos Método de Adams Método de Adams-Bashforth Método de Adams-Moulton A Algoritmos e Implementação dos Métodos numéricos 43 A.1 O Método de Euler Referências Bibliográficas 44

10 Introdução O estudo e a implementação de métodos numéricos para a solução de equações diferenciais ordinárias(edo) é uma ferramenta de grande utilidade para a solução de muitos problemas, sejam em Matemática ou áreas afins, cujas as técnicas conhecidas de resolução de equações diferenciais mediante soluções analíticas, como a integração ou os desenvolvimentos em séries de potências não se aplicam ou são de utilização muito complicada ou inviável. Desta forma, o emprego de métodos numéricos têm a finalidade de conseguir aproximações numéricas muito acuradas em relação à solução exata de uma equação diferencial. Estaremos interessados em resolver um problema de valor inicial (PVI) da forma y = f(x, y); y(x 0 ) = y 0 em que x 0 e y 0 são valores conhecidos e f(x, y) é uma função estabelecida. Nosso objetivo é resolver o problema acima utilizando técnicas numéricas, implementadas em uma linguagem de programação para computadores. Neste trabalho será usado a linguagem de programação C para a implementação dos métodos clássicos e a comparação da solução aproximada com a solução exata de uma dada equação diferencial ordinária de primeira ordem. Além dos programas em C serão utilizados os aplicativos gnuplot ou scilab, que possibilitarão fazer a análise gráfica de comparação das soluções aproximada e exata, assim como o controle dos erros e estabilidade de cada método numérico trabalhado. No capítulo 1, trataremos dos métodos numéricos de passo simples, como o de Euler,Euler inverso,euler aprimorado, assim como Runge-Kutta de ordem dois e quatro, com seus respectivos algoritmos, tabelas de dados e programas estruturados em linguagem de programação C 1

11 No capítulo 2, trataremos do método de passos múltiplos, como o de Adams e fórmulas inversas de diferenciação,assim como a discussão de erros e estabilidade destes métodos,podendo compará-los em relação aos resultados obtidos nos métodos de passo simples. Temos no entanto ao longo dos capítulos, a preocupação de demonstrar algumas das fórmulas matemáticas que regem os métodos numéricos,de forma a deixar mais claro e coeso o próposito de nosso estudo. A notação que será usada ao longo do trabalho são as seguintes. A solução exata do problema de valor inicial dado pelas equações (1.1) e (1.2) será representada por φ ou y = φ(x), deste modo, o valor da solução exata em x n é φ(x n ). Para um dado procedimento numérico, os símbolos y n e y n = f(x n, y n ) representarão os valores aproximados da solução exata e de sua derivada no ponto x n. Obviamente, φ(x 0 ) = y 0, mas em geral, φ(x n ) y n, para n 1. De modo análogo, φ (x 0 ) = y 0, mas em geral, φ (x n ) = f[x n, φ(x n )] não é igual a y n = f(x n, y n ), para n 1. Além disso, em toda a discussão, utilizaremos um espaçamento ou tamanho de passo uniforme h no eixo dos x. Assim, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h = x 0 + 2h e, em geral x n = x 0 + nh. 2

12 Capítulo 1 Métodos de Passos Simples Neste capítulo, nosso objetivo é mostrar métodos que determinam aproximações numéricas para a solução de um problema de valor inicial(p.v.i), no qual requer somente o conhecimento das condições iniciais x 0 e y 0, que será a nossa aproximação numérica inicial y n, para determinar uma aproximação posterior y n+1 ao longo do intervalo [x 0, x 0 + nh] estudado. A seguir, descrevemos dois métodos de passos simples, o método de Euler e o método de Runge-Kutta. Dentro de cada método, é possível conseguir diferentes graus de precisão dependendo do número de pontos precedentes que são utilizados em [x 0, x 0 + nh]. 1.1 O Método de Euler O método de Euler é o método numérico mais elementar de um passo para a resolução de equações diferenciais ordinárias, porém computacionalmente pouco eficiente. Apesar de ele ser raramete utilizado na prática, a simplicidade de sua derivação serve para exemplificar as técnicas envolvidas na construção de alguns métodos mais avançados[4]. Vamos nos concentrar nos problemas de valor inicial de equações diferenciais de primeira ordem, constituídos pela equação diferencial y = f(x, y) ; y(x 0 ) = y 0 3

13 Seguiremos o que diz o Teorema 1.1 Sejam as funções f e f y = f(x, y) contínuas num certo retângulo α < y x < β; γ < y < δ que contém o ponto (x 0, y 0 ). Então num certo intervalo x 0 h < x < x 0 + h, contido em α < x < β há uma única solução y = φ(x) do problema de valor inicial; y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 (1.1) A primeira tentativa de resolução numérica de uma equação diferencial foi feita por Euler, aproximadamente em 1768 [3]. Ele usou o que se chama hoje o método da reta tangente, ou simplesmente método de Euler. A fórmula do método de Euler pode ser obtida admitindo que f(x, y) em (1.1) seja suficientemente derivável, e assim pode-se expandir a solução y = φ(x) em série de Taylor em torno do ponto x = x n, para obter a solução em x n+1 = x n + h. Então, φ(x n + h) = φ(x n ) + φ (x n )h + φ (x n ) h2 2! + φ (x n ) h3 3! φ(n) (x n ) hn +... (1.2) n! ou φ(x n+1 ) = φ(x n ) + f[x n, φ(x n )]h + φ (x n ) h2 2! + φ (x n ) h3 3! φ(n) (x n ) hn n! +... onde e pela regra da cadeia, temos: φ (x n ) = f[x n, φ(x n )] (1.3) φ (x n ) = f x [x n, φ(x n )] + f y [x n, φ(x n )]φ (x n ) (1.4) = f x [x n, φ(x n )] + f y [x n, φ(x n )]f[x n, φ(x n )] 4

14 Se a série de Taylor for truncada depois dos dois primeiros termos, e se φ(x n+1 ) e φ(x n ) forem substituídas pelos valores aproximados y n+1 e y n, obtemos que: φ(x n+1 ) = φ(x n ) + f[x n, φ(x n )]h y n+1 = y n + hf(x n, y n ), (n = 0, 1, 2, ) (1.5) que é a fórmula numérica do método de Euler Uma outra maneira de se chegar a fórmula recursiva (1.5) é escrever a equação (1.1) no ponto x = x n na forma dφ(x n) = f[x n, φ(x n )] e aproximar por [φ(x n+1 ) φ(x n )]/[x n+1 dx x n ], e como h = x n+1 x n, resultando em: φ(x n+1 ) φ(x n ) h = f[xn, φ(x n )] (1.6) Substituindo φ(x n+1 ) e φ(x n ) pelos seus valores aproximados y n+1 e y n, respectivamente, obtemos novamente a fórmula de Euler y n+1 = y n + hf(x n, y n ) Uma vez que x 0 e y 0 são conhecidos, a inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à solução em x = x 0, especificamente φ (x 0 ) = f(x 0, y 0 ), também é conhecida. Deste modo, podemos construir a reta tangente à solução em x 0, e então obter um valor aproximado y 1 de φ(x 1 ) por meio de um deslocamento ao longo da reta tangente desde de x 0 até x 1. (fig. 1.1) Figura 1.1: No método de Euler o valor aproximado da função f é obtido por valores na reta tangente Assim, y 1 = y 0 + φ (x 0 )(x 1 x 0 ) = y 0 + f(x 0, y 0 )(x 1 x 0 ) (1.7) Uma vez que se tenha determinado y 1, podemos calcular y 1 = f(x 1, y 1 ) e usar este valor como o coeficiente angular para uma nova aproximação, ao nos deslocarmos de x 1 até x 2. 5

15 Obtendo assim, y 2 = y 1 + y 1(x 2 x 1 ) = y 1 + f(x 1, y 1 )(x 2 x 1 ) (1.8) Em geral, y 1 φ(x 1 ) e então, f(x 1, y 1 ) f[x 1, φ(x 1 )], que é o coeficiente angular da solução exata em x 1. Continuando desta maneira, usamos o valor de y calculado em cada passo para determinar o coeficiente angular da aproximação do passo seguinte. Agora consideremos o seguinte problema de valor inicial y = x 2xy y(0) = 1 (1.9) A equação (1.9) é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, cuja solução satisfaz a condição inicial y(0) = 1. Deste modo, obteremos a solução geral e particular da equação diferencial proposta. Solução analítica Sabemos que uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, tem a forma: y + p(x)y = q(x) (1.10) onde p(x) e q(x) são funções contínuas dadas, num certo intervalo α < x < β, segundo o Teorema (1.1). Assim da eq.(1.11), obtemos o fator integrante: µ(x) = e p(x)dx (1.11) e a sua primitiva é: y(x). e p(x)dx = q(x). e p(x)dx dx + C (1.12) A constante arbitrária C é usada para satisfazer a condição inicial estabelecida no problema. Desta maneira, podemos escrever a equação (1.9) na forma da equação (1.10) acima. y + 2xy = x (1.13) 6

16 onde p(x) = 2x e q(x) = x são funções contínuas no intervalo [0, 1] escolhido. O fator integrante é: µ(x) = e 2xdx = e x2 (1.14) e a sua primitiva é: y(x). e x2 = ( x. e x2 dx + C) (1.15) onde; x. e x2 dx = 1 2 ex2 + C (1.16) utilizando-se a técnica de integração por mudança de variável. Através da condição inicial (1.9), encontramos que c = 1 e assim, 2 y = φ(x) = e x2 (1.17) é a solução particular do problema dado. Solução numérica Uma vez que a solução analítica é conhecida, não precisamos de métodos numéricos para resolver o problema de valor inicial (1.9). Mas por outro lado, a disponibilidade de uma solução exata facilitará o cálculo da exatidão dos diversos procedimentos numéricos que serão usados neste problema. Tomemos como exemplo, a utilização da fórmula de Euler (1.5), com um incremento h = 0, 1 e seguidamente para h = 0, 05; onde deseja-se calcular um valor aproximado da solução y = φ(x) em x = 0, 2 para o problema de valor inicial (1.9). Identificamos inicialmente y n = f(x n, y n ) = x n 2x n y n, de modo que a fórmula de Euler (1.5) se escreve como y n+1 = y n + h. (x n 2. x ṅ y n ) Então, para h = 0, 1, utilizando a fórmula do método de Euler, calculamos inicialmente, y 0 = f(0, 1) = = 0 7

17 então, y 1 = y 0 + hf(0, 1) = 1 + (0, 1). 0 = 1 Na etapa seguinte, y 2 = y 1 +hf(x 1, y 1 ) = 1+(0, 1)f(0, 1; 1) = 1+(0, 1) (0, 1 2 0, 1 1) = 1+(0, 1) ( 0, 1) = 0, 99. Isto é uma estimativa do valor de y( 0, 2 ) com x = 0, 2. Entretanto, tomando h = 0, 05, tornam-se necessárias quatro iterações para chegarmos a x = 0, 2. Se prosseguirmos com a aproximação do método de Euler, tomando valores menores de incremento, como h = 0, 2, h = 0, 025 e h = 0, 001, encontraremos soluções que se aproximam melhor da solução analítica. Porém, com o valor do incremento menor, será necessário um maior número de iterações pelo método de Euler para obter soluções nos pontos ao longo do intervalo [0, 1]. A figura 1.2 mostra uma comparação entre a solução analítica da equação 1.5 e os resultados numéricos obtidos com a implementação do método de Euler, cujo código e algoritmo encontran-se no apêndice A.1. Foram testados os incrementos h= 0,1,... Observa-se que a medida que o intervalo é refinado, a solução numérica se aproxima da solução analítica. Entretanto, para valres de h acima de... não há uma variação significativa na solução numérica, o que mostra que, para este problema o valor de h =... é sufuciente. Na tabela 1.1 são mostrados os resultados numéricos para diferentes valores do passo h. Estes resultados estão também demonstrados na figura 1.2. Graficamente temos, no intervalo [0,1], a solução exata do problema de valor inicial e as soluções aproximadas com os valores de incremento da tabela acima obtidos pelo método de Euler.(fig.1.2) Figura 1.2: Podemos observar as soluções aproximadas em relação à exata. Percebe-se que a aproximação numérica melhora quando o incremento diminui, pois à 8

18 Tabela 1.1: Aplicação do método de Euler,na resolução númerica de y = x 2xy, y(0) = 1, com diferentes valores de incremento. x h = 0, 1 h = 0, 05 h = 0, 025 h = 0, 02 h = 0, 001 Sol. exata 0, ,0000 0, ,9950 0, ,9804 0, ,9570 0, ,9261 0, ,8894 0, ,8488 0, ,8063 0, ,7636 0, ,7224 1, ,6839 medida que foi se reduzindo o incremento h pela metade do incremento anterior, como em h = 0.1, h = 0.05 e h = 0.025, as curvas das soluções aproximadas tendem a se aproximar da curva da solução analítica, porém a curva da solução aproximada em h = foi a que mais se aproximou da curva da solução analítica. Porém, não chegam a incidir com a curva da solução analítica do problema inicial, devido haver uma diferença entre a solução aproximada e a analítica. Definimos o erro absoluto como O erro relativo como ErrAbs = exata aprox., ErrRel = e o erro relativo percentual como exata aprox., exata 9

19 Tabela 1.2: Erro relativo no método de Euler, na resolução númerica de y = x 2xy, y(0) = 1. Erro x h = 0, 1 h = 0, 05 h = 0, 025 h = 0, 02 h = 0, 001 0, , , , , , , , , , , ErrRel(%) = exata aprox. exata 100 = erro absoluto exata 100 Na figura... temos representação gráfica do erro relativo entros a solução analitica e a soluçao numérica obtida com a implementação do método de Euler. Observa-se Figura 1.3: Note que o erro relativo se aproxima de zero para h = 0, 001. Deste modo, o erro relativo no método de Euler diminui à medida que o incremento tomado diminui. 10

20 1.2 Erro de truncamento local e global no método de Euler Avaliar os erros de um método numérico é uma tarefa importante para verificar a convergência das soluções aproximadas em relação à exata. Desta forma, descrevamos os diferentes tipos de erros. Define-se o valor absoluto da diferença entre o valor exato φ(x n ) e a valor aproximado y n do problema de valor inicial (1.1), como o erro de truncamento local e n na etapa n e dada por: e n = φ(x n ) yn e (1.18) isto ocorre devido termos suposto que o processo de aproximação tenha começado somente nesta etapa, isto é, y n 1 = φ(x n 1 ), e deste modo os dados são considerados exatos. Agora, definimos o erro de truncamento global E n na etapa n como o valor absoluto da diferença entre a solução exata e a solução aproximada, e é dada por: E n = φ(x n ) y n (1.19) isto já ocorre devido termos suposto que o processo de aproximação tenha começado na etapa 0, isto é, o único valor na sequência x 0, x 1,..., x n é x 0. Em geral, este erro é difícil de determinar; portanto, geralmente trataremos com o erro de truncamento local. Desta forma, também podemos falar de erro de arrendondamento R n, como sendo a diferença de y n o valor aproximado pelo método numérico dado e Y n o valor realmente calculado pelo método numérico dado por: R n = y n Y n (1.20) O valor absoluto do erro total no cálculo de φ(x n ) é dado por: φ(x n ) Y n = φ(x n ) y n + y n Y n (1.21) 11

21 Utilizando-se a desigualdade triangular a + b a + b e aplicando na equação (1.21),temos: φ(x n ) Y n φ(x n ) y n + y n Y n φ(x n ) Y n E n + R n (1.22) O erro total está assim limitado pela soma dos valores absolutos dos erros de truncamento e dos erros de arrendondamento. A ocorrência destes erros provém de duas causas: (1) em cada passo, usamos uma fórmula aproximada para determinar y n+1 (2) os dados de entrada, em cada passo, não concordam, em geral, com a solução exata, pois também, em geral, φ(x n ) não é igual a y n. Se admitirmos que os dados de entrada são corretos, o único erro, quando se avança um passo no processo, novamente ao uso de uma fórmula aproximada. Para determinarmos o erro de truncamento local no método de Euler, vamos admitir que a solução y = φ(x), do problema de valor inicial (1.1), tenha derivada segunda contínua no intervalo considerado. Para garantir esta hipótese, podemos admitir que f, f x, f y sejam contínuas no intervalo mencionado. De fato, se f tiver estas propriedades, e se φ for solução do problema de valor inicial (1.1), então: e pela regra da cadeia, temos: φ (x) = f[x, φ(x)], φ (x) = f x [x, φ(x)] + f y [x, φ(x)]φ (x) = f x [x, φ(x)] + f y [x, φ(x)]f[x, φ(x)]) Uma vez que o segundo membro desta equação é contínuo, φ também é contínua. 12

22 Então, desenvolvendo φ em torno de x n, por uma série de taylor com resto, obtemos: φ(x n + h) = φ(x n ) + φ (x n )h φ ( x n )h 2 (1.23) onde x n é qualquer ponto no intervalo x n < x n < x n + h. Subtraindo a equação (1.5) da equação (1.23), e observando que φ(x n + h) = φ(x n+1 ) e φ (x n ) = f[x n, φ(x n )], temos que: φ(x n+1 ) y n+1 = [φ(x n ) y n ] + h[f(x n, φ(x n )) f(x n, y n )] φ ( x n )h 2 (1.24) Para calcular o erro de fórmula local, consideramos que os dados no enésimo passo estão corretos, isto é, y n = φ(x n ). Então, obtemos imediatamente da equação (1.24) que o erro de truncamento local e n+1 é: e n+1 = φ(x n+1 ) y n+1 = 1 2 φ ( x n )h 2 (1.25) Deste modo, o erro de truncamento local para o método de Euler é proporcional ao quadrado do incremento h e o fator de proporcionalidade depende da segunda derivada da solução φ. A expressão da equação (1.25) depende de n e em geral é diferente para cada passo. Um limite uniforme para o erro, válido para um intervalo[a, b], é dado por: e n Mh2 2 (1.26) onde M é o máximo de φ (x) no intervalo [a, b]. Como a equação (1.26) se baseia no pior caso possível de φ (x), pode ser que o erro local seja consideravelmente superestimado em algumas regiôes do intervalo [a, b]. A equação (1.26) pode ser usada, entre outras coisas, para escolher um incremento que resulte em um erro de truncamento local que não exceda um determinado limite de tolerância. Por exemplo: se o erro de truncamento local não for maior do que ε, a equação (1.26) revela que: Mh 2 2 ε = h 2ε/M (1.27) 13

23 A dificuldade primária para com o uso das equações (1.24), (1.26) e (1.27) na estimativa do erro de fórmula local está na obtenção de uma estimativa precisa de M ou φ (x). Seja como for, essas equações mostram que o erro de truncamento local é proporcional a h 2 (note que M é independente de h); deste modo, reduzindo h por um fator de 1 2, reduzimos o limite do erro por um fator de 1 1, e uma redução por um fator de 4 10 em h reduz o limite do erro por um fator de 1, (reduzimos h à metade, o erro é reduzido à quarta parte e 100 assim por diante). Mais importante, que o erro de truncamento local é o erro de truncamento global E n. No entanto, uma estimativa do erro de truncamento local fornece uma melhor compreensão do procedimento numérico e um modo de comparar a precisão dos diferentes procedimentos numéricos. A análise para estimar E n é mais difícil que no caso de e n. Entretanto, conhecendo o erro de truncamento local podemos fazer uma estimativa intuitiva do erro de truncamento global para um valor fixo x > x 0 da seguinte forma. Suponha que damos n passos para ir de x 0 a x =x 0 + nh. Em cada passo, o erro é no máximo de Mh 2 /2; assim, o erro total nos n passos é no máximo de Mh 2 /2. Observando que, n = ( x x 0 )/h, descobrimos que o erro de truncamento global para o método de Euler, ao passarmos de x 0 para x, é dado no máximo por: n Mh2 2 = ( x x 0 ) Mh 2 (1.28) Apesar deste argumento não ser totalmente correto por não levar em conta o efeito que um erro cometido num passo causará nos próximos passos, Entretanto, é possível mostrar que, em qualquer intervalo finito, o erro de truncamento global ao usarmos o método de Euler, nunca é maior do que o produto de h por uma constante. Assim, ao irmos de x 0 a um ponto fixado x, o erro de truncamento global pode ser reduzido tomando-se um tamanho de passo h menor. Se tomarmos h muito pequeno, isto é, se usarmos muitos passos para irmos de x 0 a x, o erro de truncamento acumulado poder-se-á tornar mais importante que o erro de truncamento global. Na prática, devemos considerar ambas as fontes de erro e devemos fazer uma escolha "ótima" de h de modo que nenhum dos erros seja muito grande. 14

24 O método de Euler é considerado como um método de primeira ordem, porque o erro de truncamento global é proporcional á primeira potência do tamanho do incremento. 1.3 Aplicação do Erro de Truncamento Acumulado no Método de Euler Vamos discutir o erro de truncamento acumulado associado ao método de Euler na resolução do problema de valor inicial y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Admitindo que as funções f e f y sejam contínuas numa região R do plano xy que inclui o ponto (x 0, y 0 ), pode-se mostrar que existe uma constante L tal que f(x, y) f(x, ȳ) < L y ȳ onde (x, y) e (x, ȳ) são dois pontos quaisquer em R com a mesma coordenada x. Além disso, vamos admitir que f x seja contínua, de modo que a solução φ tem uma derivada segunda contínua. (a) Utilizando a equação (1.24), mostrar que E n+1 E n + h f[x n, φ(x n )] f(x n, y n ) h2 φ ( x n ) α E n + βh 2 (1.29) onde α = 1 + hl e β = max φ (x) /2 em x 0 x x n. (b) Admitindo, sem provas, que se E 0 = 0, e que se E n obedecer a equação(1.29), então E n βh2 (α n 1), para α 1 Mostrar que; (α 1) E n (1 hl)n 1 βh (1.30) L 15

25 A equação (1.30) dá um limite para E n em termos de h, L, n e β. Observar que para um h fixo, este limite de erro cresce quando n cresce; isto é, o limite de erro aumenta quando aumenta a distância ao ponto de partida x 0. (c) Mostrar que 1 + hl) n e nhl e então que; E n enhl 1 L βh = e(xn x 0)L 1 βh (1.31) L Para um ponto fixo x n = x 0 + nh, (isto é, nh é constante e h = (x n x 0 )/n este limite de erro tem a forma do produto de uma constante por h e se aproxima de zero quando h 0.) Observar também que quando nhl = (x n x 0 )L for pequeno, o segundo membro da equação anterior é aproximadamente nh 2 β = (x n x 0 )βh, que foi obtido na equação (1.28) por um raciocínio intuitivo. Solução: (a) Da definição de erro de truncamento acumulado, podemos escrever E n+1 = φ(x n+1 ) y n+1, Deste modo, E n+1 = φ(x n+1 ) y n+1 = φ(x n+h ) y n+1 (1.32) Pela (1.23), temos: e pela eq.(1.5) temos φ(x n + h) = φ(x n ) + φ (x n )h φ ( x n )h 2 y n+1 = y n + hf(x n, y n ) Assim; substituindo a (1.23) e (1.5) em (1.32), temos: E n+1 = φ(x n ) + φ (x n )h φ ( x n )h 2 [y n + hf(x n, y n )] (1.33) 16

26 Substituindo φ (x n ) por f[x n, φ(x n )] na equação anterior; E n+1 = φ(x n ) + f[x n, φ(x n )]h φ ( x n )h 2 [y n + hf(x n, y n )] = φ(x n ) y n + h[f[x n, φ(x n )] f(x n, y n )] φ ( x n )h 2 (1.34) Aplicando a desigualdade triangular, têm-se E n+1 φ(x n ) y n + h[f[x n, φ(x n )] f(x n, y n )] φ ( x n )h 2 E n+1 φ(x n ) y n + h[f[x n, φ(x n )] f(x n, y n )] h2 φ ( x n ) E n+1 E n + h [f[x n, φ(x n )] f(x n, y n )] h2 φ ( x n ) (1.35) Mas; como φ é contínua e β = max φ ( x n )/2 em x 0 < x n < x n, então da eq.(1.31) podemos afirmar que; [f[x n, φ(x n )] f(x n, y n )] < L φ(x n ) y n, onde é a nossa hipótese que ela seja uma função lipschitziana quando existe uma constante L>0(chamada constante de Lipschitz da função f) tal que f(x, y) f(x, ȳ) < L y ȳ seja quais forem (x, y) e (x, ȳ) dois pontos quaisquer em R Temos, φ(x n ) = f[x n, φ(x n )], assim como, y n = f(xn, y n ) podemos obter: E n+1 E n + h [f[x n, φ(x n )] f(x n, y n )] h2 φ ( x n ) E n+1 E n + hl φ(x n ) y n h2 φ ( x n ) E n+1 E n + hl E n h2 φ ( x n ) 17

27 E n+1 (1 + hl) E n h2 φ ( x n ) E n+1 α E n h2 φ ( x n ) Logo; E n+1 E n + h [f[x n, φ(x n )] f(x n, y n )] h2 φ ( x n ) α E n + βh 2 (b) Temos que, α = 1 + hl hl = α 1 Assim, da equação E n βh2 (α n 1), onde substituindo o valor de hl obtemos: (α 1) E n βh2 (α n 1) hl E n βh(αn 1) L E n (1 + hl)n 1 βh L Utilizando, o fato de que é válido a desigualdade (1 + x) e x, x R e a expansão de e x = 1 + (x 0)e 0 + (x 0) 2 e x /2!, segundo a série de Taylor,com x 0 < x < x n ; Apartir daí, podemos também afirmar que (1 + x) n < (e x ) n e tomando x = hl; temos: (1 + hl) n (e hl ) n Assim, e hl = 1 + (hl 0)e 0 + (hl 0) 2 e x /2! 1 + hl 1 + hl e hl Então; (1 + hl) n (e hl ) n, hl > 0 Assim; mostraremos por indução matemática que 18

28 E n βh2 (α n 1) (α 1) Sabemos que; E 0 = 0 e E n+1 α E n + βh 2 Tomando n=0; verifiquemos a equação acima: E 1 α E 0 + βh 2 E 1 βh 2 = βh 2 (α 1)/α 1 Tomando n=1; verifiquemos a equação acima: E 2 α E 1 + βh 2 αβh 2 + βh 2 = = βh 2 (α + 1) = βh 2 (α + 1)(α 1)/(α 1) = βh 2 (α 2 1)/(α 1) Supondo-se, que vale para n = k 1, temos: E k α E k 1 + βh 2 βh 2 (α k 1)/(α 1) Por hipótese, tomemos para n=k; E k+1 α E k + βh 2 αβh 2 (α k 1)/(α 1) + βh 2 = = βh 2 [(α k+1 α)/(α 1)] + 1 = βh 2 (α k+1 α + α 1)/(α 1) = βh 2 (α k+1 1)/(α 1) Logo, o fato de E k+1 βh 2 (α k+1 1)/(α 1) é verdadeiro Assim; E n βh 2 (α n 1)/(α 1) também é verdadeiro. (c) Mostrar que (1 + hl) n e nhl, e então que 19

29 E n [e nhl 1/L]βh = [e (xn x 0)L 1/L]βh sabemos do item anterior que; E n (1 + hl)n 1 βh L Utilizando, o fato de (1 + hl) n e nhl, temos que: E n (1+hL)n 1 βh [e (nh)l 1/L]βh L Porém, x n = x 0 + nh nh = x n x 0 Assim, substituindo o valor de nh na equação acima, obtemos: E n (1+hL)n 1 βh [e (xn x0)l 1/L]βh L Quando; h 0, temos que E n Os Métodos de Runge-Kutta O uso dos métodos de Runge-Kutta na resolução de problemas de valor inicial produzem resultados equivalentes aos obtidos caso a série de Taylor com termos de ordem maior ou igual a dois fosse usada. A vantagem de sua utilização em relação à série de Taylor está no fato de que não será necessário o cálculo de derivadas de f(x, y). Por simplicidade, daqui por diante abrevia-se Runge-Kutta por RK. Todos os métodos de RK de R estágios têm algoritmo na forma y n+1 y n = hφ(x n, y n, h), com k 0 (1.36) onde a função φ representa uma aproximação para f(x, y) no intervalo [x n, x n+1 ]. 20

30 Temos que R φ(x, y, h) = c r k r (1.37) r=1 k 1 = f(x, y) ( ) r 1 k r = f x + a r h, y + h b rs k s, com r = 2, 3,, R s=1 r 1 a r = b rs, com r = 2, 3,, R e a função f do método de Taylor calculada no ponto (x, y) s=1 φ T (x, y, h) = f(x, y) + h 2! f (x, y) + h2 3! f (x, y) + h3 4! f (x, y) + h4 5! f (iv) (x, y) + h5 6! f (v) (x, y)+ + + hq 1 f (q 1) (x, y) (1.38) q! Para obter métodos de RK, devemos determinar as constantes c r, a r e b rs, comparando a expansão da função φ(x, y, h) definida por (1.37) em potências de h, com a função φ T (x, y, h) do método de Taylor, no sentido de se obter métodos de determinda ordem. Veremos a seguir como fazer isto O Método Runge-Kutta de Primeira Ordem. O método de Euler, segundo a equação (1.5) é um método de série de Taylor de primeira ordem, onde podemos perceber que é um Método de Runge-Kutta de Primeira Ordem. Ele se caracteriza por ter um estágio e possui ordem um. Isto porque tomamos em (1.37), R = 1. Onde obtemos: com k 1 = f(x, y) φ(x, y, h) = c 1 k 1, (1.39) 21

31 Tomando c 1 = 1 em (1.39). Portanto: y n+1 = y n + hf(x n, y n ) O Método Runge-Kutta de Segunda Ordem. Consideremos, inicialmente, que desejamos obter métodos de Runge-Kutta de dois estágios. Devemos tomar, em (1.37), R = 2. Fazendo isto, obtemos: φ(x, y, h) = c 1 k 1 + c 2 k 2, (1.40) k 1 = f(x, y), k 2 = f(x + a 2 h, y + hb 21 k 1 ), a 2 = b 21, Substituindo os valores de b 21 e k 1 em k 2, segue que: k 2 = f(x + a 2 h, y + ha 2 f). Desenvolvendo k 2 em série de Taylor em torno do ponto (x, y), obtemos: k 2 = f(x, y) + (a 2 h)f x (x, y) + (ha 2 f)f y (x, y) + (a 2h) 2 f xx (x, y) + (a 2 h)(ha 2 f)f xy (x, y)+ 2! + (ha 2f) 2 f yy (x, y) + O(h 3 ). (1.41) 2! Substituindo o valor de k 1 por f e k 2 pela expressão (1.41), em (1.40), segue que: [ φ(x, y, h) = c 1 f+c 2 f + (a 2 h)f x + (a 2 hf)f y + (a 2h) 2 f xx + (a 2 h) 2 ff xy + (a ] 2hf) 2 f yy + O(h 3 ) 2! 2! φ(x, y, h) = (c 1 + c 2 )f + c 2 a 2 h(f x + f y f) + (a 2h) 2 c 2 [f xx + 2ff xy + f yy f 2 ] + O(h 3 ) 2! 22

32 onde agrupamos os termos de mesma potência de h. Observe que, na expressão anterior, f e suas derivadas estão calculadas em (x, y). Denotando por: obtemos: F = f x + f y f e G = f xx + 2ff xy + f yy f 2 (1.42) φ(x, y, h) = (c 1 + c 2 )f + c 2 a 2 hf + (a 2h) 2 c 2 G + O(h 3 ) (1.43) 2! Note que podemos escrever a função φ T (x, y, h) em (1.38), com q = 3, como: φ T (x, y, h) = f(x, y) + h 2! f (x, y) + h2 3! f (x, y) + O(h 3 ) = f + h 2! (f x + f y f) + h2 3! (f xx + 2f xy f + f yy f 2 + f x f y + f 2 y f) + O(h 3 ) = f + h 2! (f x + f y f) + h2 3! [f xx + 2f xy f + f yy f 2 + f y (f x + f y f)] + O(h 3 ) Usando (1.42), obtemos: φ T (x, y, h) = f + h 2 F + h2 3! [G + f yf ] + O(h 3 ) (1.44) Para determinarmos métodos de Runge-Kutta de 2 estágios e ordem máxima, comparamos (1.43) com (1.44), obtendo: c 1 + c 2 = 1 (1.45) c 2 a 2 = 1 2 Resolvendo este sistema, iremos obter métodos de Runge-Kutta de ordem 2, pois em (1.36) temos hφ(x, y, h) e portanto, estamos impondo igualdade até termos da O(h 2 ). Além disso, como o sistema(1.45) possui duas equações e três incógnitas, ele possui infinitas soluções e, portanto, podemos afirmar que existem infinitos métodos de Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 2. 23

33 Assim atribuindo um valor para uma das constantes em (1.45), obtemos as outras duas em função desta. Os Métodos de Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 2 mais usados são obtidos a seguir. a) Tomando em (1.45), c 1 = 1 e c 2 = 1. Portanto: 2 y n+1 = y n + hk 2, onde : k 1 = f(x n, y n ) (1.46) ( k 2 = f x n h, y n + 1 ) 2 hk 1 que é conhecido como Método de Euler Modificado., ou simplesmente fórmula do ponto médio[4]. b) Tomando em (1.45), c 1 = 1 2, c 2 = 1 2 e a 2 = 1 Portanto: y n+1 = y n + h 2 (k 1 + k 2 ), onde : k 1 = f(x n, y n ) (1.47) k 2 = f(x n + h, y n + hk 1 ) que é conhecido como Método de Euler Melhorado ou simplesmente fórmula de Heun[4]. Uma fórmula aproximada melhor pode ser obtida se o segundo membro na equação (1.6) for aproximado com maior exatidão. Uma forma de conseguir esta melhoria é a de substituilo pela média dos seus valores nas duas extremidades do intervalo de integração, ou seja, por {f[x n, φ(x n )]+f[x n+1, φ(x n+1 )]}/2. Além disso, se substituirmos φ(x n ) e φ(x n+1 ) pelos respectivos valores aproximados y n e y n+1, obteremos, da equação (1.6), Uma vez que a incógnita y n+1 y n+1 = y n + f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 ) 2 h (1.48) aparece como um dos argumentos de f no segundo membro da equação (1.48), é muitas vezes bastante difícil resolver esta equação em y n+1. Esta dificuldade pode ser superada pela substituição, no segundo membro da equação (1.48), de y n+1 pelo valor obtido mediante a fórmula de Euler (1.5). 24

34 Assim, y n+1 = y n + f(x n, y n ) + f[x n + h, y n + hf(x n, y n )] 2 onde x n+1 foi substituído por x n + h y n+1 = y n + f n + f(x n + h, y n + hf n ) 2 h h (1.49) Os valores f(x n, y n ) e f(x n+1, y n+1 ) são aproximações do coeficiente angular da curva em (x n, y(x n )) e (x n+1, y(x n+1 )) e consequentemente, o quociente f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1) 2 em (1.48) pode ser interpretado como um coeficiente angular médio no intervalo entre x n e x n+1. Na figura 1.4 mostramos o caso em que n = 0. Notemos que f(x 0, y 0 ) e f(x 1, y 1) são coeficientes angulares das retas indicadas que passam pelos pontos (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1), respectivamente. Tomando uma média desses coeficientes angulares, obtemos o coeficiente angular das retas tracejadas. Em lugar de avançarmos ao longo da reta de coeficiente angular m = f(x 0, y 0 ) até o ponto com ordenada y 1 obtido pelo método usual de Euler, avançamos ao longo da reta por (x 0, y 0 ) com coeficiente angular m med até atingirmos x 1. Pela observação da figura (1.4), parece plausível que y 1 constitua uma melhora em relação a y 1. De fato, veremos que o método de Euler melhorado é mais preciso do que o método de Euler. Podemos também dizer que o valor de prediz um valor de y(x 1 ), enquanto que y 1 = y 0 + hf(x 0, y 0 ) corrige essa estimativa y = y + f(x 0, y 0 ) + f(x 1, y 1) 2 Outro fato importante, é que para obtermos métodos de Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 3, é necessário que além de (1.45), tenhamos: 25 h

35 Figura 1.4: O Método de Euler melhorado a 2 2c 2 2 G = 1 6 (G + f yf ) ( a 2 = 2 c ) G = f yf A igualdade acima só pode ser satisfeita impondo-se severas condições sobre a função f e, portanto, não existem métodos de Runge-Kutta de 2 estágios e ordem O Método Runge-Kutta de Terceira Ordem. Se desejarmos obter métodos de Runge-Kutta de três estágios, devemos desenvolver também k 3 em série de Taylor, pois os métodos de Runge-Kutta de 3 estágios são obtidos a partir de: y n+1 = y n + h(c 1 k 1 + c 2 k 2 + c 3 k 3 ) onde k 1 e k 2 possuem as mesmas expressões do método de dois estágios e k 3 = f(x + ha 3, y + hb 31 k 1 + hb 32 k 2 ) = f(x + ha 3, y + h(a 3 b 32 )k 1 + hb 32 k 2 ) desde que a 3 = b 31 + b 32. Devemos então agrupar os termos semelhantes e compará-los com a φ T (x, y, h). Como pode ser observado na seção anterior, a obtenção de métodos de Runge-Kutta envolve manipulações tediosas, e portanto serão omitidas. Daremos apenas o sistema obtido quando se compara φ com φ T para se obter métodos de Runge-Kutta de 3 estágios e ordem máxima. Assim: 26

36 c 1 + c 2 + c 3 = 1 c 2 a 2 + c 3 a 3 = 1 2 c 3 b 32 a 2 = 1 6 (1.50) c 2 a c 3 a 2 3 = 1 3 que é um sistema de quatro equações e seis incógnitas, onde comparamos os termos de φ e φ T até O(h 3 ). Atribuindo valores a duas das variáveis, obtemos as outras quatro em função destas. O Método de Runge-Kutta de 3 estágios e ordem 3 mais popular é obtido a seguir. Tomando em (1.50), c 2 = 2, c 3 3 = 1, calcula-se c 6 1 = 1, a 6 2 = 1, a 2 3 = 1 e b 32 = 2, que fornece o seguinte algoritmo para um método de RK de terceira ordem: y n+1 = y n + h 6 (k 1 + 4k 2 + k 3 ) onde: k 1 = f(x n, y n ) ( k 2 = f x n h, y n + 1 ) 2 hk 1 k 3 = f(x n + h, y n + 2hk 2 hk 1 ) (1.51) O Método Runge-Kutta de Quarta Ordem. Agora, discutiremos um método também formulado originalmente por Runge e Kutta. Este método é hoje oficialmente conhecido como método clássico Runge-Kutta de quarta ordem e quatro estágios, mas muitos autores o chamam simplesmente de método de Runge- Kutta, pode ser o mais usado, onde possui uma combinação de simplicidade, alta precisão e economia. Neste método, o erro de truncamento local é proporcional a h 5, isto devido a sua fórmula clássica ser equivalente a uma fórmula de Taylor de cinco termos: y n+1 = y n + hy n + h2 2! y n + h3 3! y n + h4 4! y(iv) n (1.52) 27

37 Assim, como desejamos obter métodos de Runge-Kutta de quatro estágios e ordem máxima, devemos desenvolver também k 4 em série de Taylor, sendo que k 1, k 2 e k 3 possuem as mesmas expressões do método de dois e três estágios e são obtidos apartir de (1.37): onde y n+1 = y n + h(c 1 k 1 + c 2 k 2 + c 3 k 3 + c 4 k 4 ) e φ(x, y, h) = c 1 k 1 + c 2 k 2 + c 3 k 3 + c 4 k 4 k 4 = f(x + a 4 h, y + hb 41 k 1 + hb 42 k 2 + hb 43 k 3 ) desde que a 4 = b 41 + b 42 + b 43. Devemos então agrupar os termos semelhantes na série de Taylor e compará-los com a φ T (x, y, h) em (1.38). Assim obtemos o sistema quando se compara φ com φ T, onde temos 8 equações e 10 incógnitas, em que b 21 = a 2 ; b 31 = a 3 b 32 ; b 41 = a 4 b 42 b 43,como fizemos para o método RK2. c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 1 c 2 a 2 + c 3 a 3 + c 4 a 4 = 1 2 c 2 a c 3 a c 4 a 2 4 = 1 3 c 2 a c 3 a c 4 a 3 4 = 1 4 a 2 b 32 c 3 + (a 2 b 42 + a 3 b 43 )c 4 = 1 6 (1.53) a 2 a 3 b 32 c 3 + a 4 (a 2 b 42 + a 3 b 43 )c 4 = 1 8 a 2 2b 32 c 3 + (a 2 2b 42 + a 2 3b 43 )c 4 = 1 12 a 2 b 32 b 43 c 4 = 1 24 Cada solução deste sistema define um método de Runge-Kutta com ordem 4. Portanto, existem muitos métodos de Runge-Kutta de 4 estágios e ordem 4, mais trataremos somente de um caso particular, sendo este o mais utilizado. Assim, temos: 28

38 y n+1 = y n + h 6 (k 1 + 2(k 2 + k 3 ) + k 4 ) (1.54) onde; k 1 = f(x n, y n ) (1.55) k 2 = f(x n h, y n hk 1) k 3 = f(x n h, y n hk 2) k 4 = f(x n + h, y n + hk 3 ) Desta forma, esta fórmula de Runge-Kutta envolve uma média ponderada dos valores de f(x, y) tomados em diferentes pontos do intervalo x n x x n+1. Podemos interpretar a soma (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4 )/6 como um coeficiente angular médio. Note que k 1 é o coeficiente angular na extremidade esquerda do intervalo, k 2 é o coeficiente angular no ponto médio estimado pela fórmula de Euler para ir de x n até x n + h/2,k 3 é uma segunda aproximação do coeficiente angular no ponto médio e, finalmente, k 4 é o coeficiente angular em x n + h estimado pela fórmula de Euler e pelo coeficiente angular k 3, indo de x n até x n + h. Note que é duas ordens de grandeza mais preciso que o método de Euler melhorado e três ordens de grandeza mais preciso que o método de Euler. Temos também, que a equação (1.52) difere por termos no desenvolvimento de Taylor da solução φ por termos que são proporcionais a h 5, a álgebra envolvida é bastante extensa. Deste modo, o erro de truncamento local ao usarmos a equação (1.52) é proporcional a h 5 e que, para um intervalo finito, o erro de truncamento global é, no máximo, igual a uma constante vezes h 4. Note também que, se f não depende de y, então k 1 = f(x n ), k 2 = k 3 = f(x n, h/2), k 4 = f(x n + h) (1.56) e a equação(1.54) é idêntica àquela obtida usando-se a regra de Simpson para avaliar a integral de y = f(x): 29

39 ou yn+1 y n dy = xn+h x n f(x) dx y n+1 y n = h 6 [f(x n) + 4f(x n + h/2) + f(x n + h)] O fato de a regra de Simpson possuir um erro proporcional a h 5 está de acordo com o comentário anterior sobre o erro de truncamento de Runge-Kutta de ordem 4. 30

40 Capítulo 2 Métodos de Passos Múltiplos O foco deste capítulo é mostrar métodos que se utilizam das aproximações numéricas obtidas em um dos métodos de passos simples, para se determinar a aproximação seguinte ao longo do intervalo [x 0, x 0 + nh] estudado, onde estes métodos são ditos não-iniciáveis, o que dificulta o seu uso, mas que que será compensada por possuir uma maior precisão à solução analítica do problema de valor inicial (1.1), quando comparados aos métodos numéricos estudados anteriormente ao longo deste trabalho. Dizemos que um método de passo múltiplo é de passo s se a cada passo ele usar s valores, ou seja, a aproximação y n+1 é calculada usando-se valores y n, y n 1, y n 2,, y n (s+1), isto é, onde se faz necessário dados de outros pontos anteriores, além do ponto prévio a se determinar. Um método de Passo Múltiplo é definido pela seguinte relação: k k α j y n+j = h β j f n+j (2.1) j=0 j=0 onde α j e β j são constantes arbitrárias independentes de n, com α k 0 e α 0 e β 0 não ambos nulos. Dizemos que o método (2.1) é explícito se β k = 0, e implícito se β k 0 31

41 2.1 Método de Adams Este método é obtido pela solução do problema de valor inicial (1.1), através da técnica de integração numérica. Considerando y = φ(x) solução de (1.1) e φ (x) = f[x, φ(x)], desta forma, integrando-se de x n a x n+1, obtemos: que: xn+1 xn+1 φ (x) dt = f[x, φ(x)] dx x n x n Aplicando o 1 Teorema Fundamental do Cálculo no 1 membro da igualdade,temos xn+1 φ(x) x n+1 x n = f[x, φ(x)] dx x n φ(x n+1 ) φ(x n ) = φ(x n+1 ) = φ(x n ) + xn+1 x n f[x, φ(x)] dx (2.2) xn+1 x n f[x, φ(x)] dx A idéia do método de Adams é aproximar φ (x) por um polinômio P k (x) de grau k 1 e usar o polinômio para determinar a integral do lado direito de (2.2) A seguir, descrevemos dois métodos de passos múltiplos, o método de Adams-Bashforth e o método de Adams-Moulton, onde esses são determinados, conforme os coeficientes de P k (x), dependendo do número de pontos precedentes que são utilizados em [x 0, x 0 + nh] Método de Adams-Bashforth Método de Adams-Bashforth de primeira ordem Para que possamos obter a fórmula de Adams-Bashforth de primeira ordem,utilizamos o polinômio P 1 (x) = f n de grau zero, como uma aproximação de φ na equação (2.2),que tem a forma P 1 (x) = Bx 0 = B. Utilizemos os pontos (x n, y n ) e (x n 1, y n 1 ), resultando que P 1 (x n ) = f(x n, y n ) e P 1 (x n 1 ) = f(x n 1, y n 1 ). 32

42 Veja que estamos usando a notação, f j para f(x j, y j ) para qualquer inteiro j e B, onde estes deverão satisfazer às equações: B = f n (2.3) B = f n 1 Substituindo φ (x) por P 1 (x) e calculando a integral da equação (2.2), encontramos: φ(x n+1 φ(x n ) = xn+1 φ(x n+1 φ(x n ) = B[x] x n+1 x n φ(x n+1 φ(x n ) = B(x n+1 x n ) x n B dx (2.4) mas, temos que B = f n e h = x n+1 x n Então, φ(x n+1 φ(x n ) = hf n Porém,substituindo φ(x n+1 ) e φ(x n ) por y n+1 e y n, tem-se que : y n+1 y n = hf n y n+1 = y n + hf n Assim, obtemos a fórmula numérica do método de Adams-Bashforth de primeira ordem, que também corresponde a fórmula do método de Euler, obtida no primeiro capítulo deste trabalho. Método de Adams-Bashforth de segunda ordem Suponha que agora, queremos usar apenas os pontos (x n, y n )e(x n 1, y n 1 ). Neste caso, o polinômio P k (x) é de primeiro grau e tem a forma P 2 (x) = Ax + B. Como P 2 é uma aproximação de φ, fazemos P 2 (x n ) = f(x n, y n ) e P 2 (x n 1 ) = f(x n 1, y n 1 ). Se chamarmos f(x j, y j ) de f j para qualquer inteiro j, A e B deverão satisfazer às equações; 33

43 Ax n + B = f n (2.5) Ax n 1 + B = f n 1 Para resolver o sistema acima,temos que primeiramente subtrair a primeira equação em relação à segunda no sistema(2.5), e assim encontramos: A(x n x n 1 ) = f n f n 1 (2.6) mas A = f n f n 1 x n x n 1 x n x n 1 = h, e assim A = f n f n 1 h Agora, na primeira equação de (2.5),encontremos o valor de B: B = f n Ax n ( ) fn f n 1 B = f n x n x n x n 1 B = f n f nx n + f n 1 x n x n x n 1 onde x n x n 1 = h B = f nx n f n x n 1 f n x n + f n 1 x n x n x n 1 Assim o valor de A e B são: B = f n 1x n f n x n 1 h A = f n f n 1, B = f n 1x n f n x n 1 h h 34

44 Substituindo φ (x) por P 2 (x) e calculando a integral da equação (2.2, encontramos: φ(x n+1 φ(x n ) = xn+1 φ(x n+1 φ(x n ) = A[x 2 ] x n+1 x n + B[x] x n+1 x n x n Ax + B dx (2.7) φ(x n+1 φ(x n ) = A 2 (x2 n+1 x 2 n) + B(x n+1 x n ) Finalmente, substituímos φ(x n+1 ) e φ(x n ) por y n+1 e y n, respectivamente, e executamos algumas simplificações algébricas, para um incremento h constante, obtemos: y n+1 y n = f n f n 1 2h y n+1 y n = f n f n 1 2h mas, h = x n+1 x n (x 2 n+1 x 2 n) + f n 1x n f n x n 1 (x n+1 x n ) (2.8) h (x n+1 x n )(x n+1 + x n ) + f n 1x n f n x n 1 (x n+1 x n ) h y n+1 y n = f n f n 1 (x n+1 + x n ) h + f n 1x n f n x n 1 h 2h h y n+1 y n = f n f n 1 (x n+1 + x n ) + (f n 1 x n f n x n 1 ) 2 mas, x n+1 = x n + h e x n 1 = x n h y n+1 y n = f n f n 1 (x n + h + x n ) + (f n 1 x n f n (x n h)) 2 y n+1 y n = f n f n 1 (2x n + h) + (f n 1 x n x n f n + hf n ) 2 y n+1 y n = x n f n x n f n 1 + h 2 (f n f n 1 ) + x n f n 1 x n f n + hf n y n+1 y n = x n f n x n f n 1 + h 2 (f n f n 1 ) + x n f n 1 x n f n + hf n y n+1 y n = h 2 f n h 2 f n 1 + hf n y n+1 = y n hf n 1 2 hf n 1 A equação é a fórmula de Adams-Bashforth de segunda ordem. Trata-se de uma fórmula explícita para calcular o valor de y n+1 a partir dos valores de y n e y n 1. O erro de truncamento local é proporcional a h 3. 35

45 Método de Adams-Bashforth de quarta ordem Fórmulas de Adams mais precisas podem ser obtidas seguindo os passos descritos anteriormente, mas usando um polinômio de grau mais elevado e portanto um número maior de pontos. Suponha, por exemplo, que seja usado um polinômio P 4 (x) de terceiro grau. Os coeficientes são determinados a partir dos quatro pontos (x n, y n ), (x n 1, y n 1 ), (x n 2, y n 2 ) e (x n 3, y n 3 ). Substituindo φ (x) por este polinômio da equação (2), calculando a integral e simplificando o resultado, obtemos a fórmula de Adams-Bashforth de quarta ordem. Mais demonstraremos esta fórmula por integração númerica, a seguir. Primeiramente, aproximamos f(x, y(x)) pelo polinômio de grau m, p m (x) que interpola f(x, y) em x n, x n 1,..., x n m e então y(x n+1 ) y(x n ) + xn+1 x n p m (x)dx Escolhemos m = 3, a função f(x, y(x)) será aproximada pelo polinômio p 3 (x) que interpola nos pontos (x n, y n ), (x n 1, y n 1 ), (x n 2, y n 2 ), (x n 3, y n 3 ), chamando f n j = f(x n j, y n j ), j = 0, 1, 2, 3, teremos: f(x, y(x)) = y (x) = p 3 (x) = L 3 (x)f n 3 + L 2 (x)f n 2 + L 1 (x)f n 1 + L 0 (x)f n onde, para x j+1 x j = h L 3 (x) = [(x x n 2)(x x n 1 )(x x n )] ( h)( 2h)( 3h) = 1 6h [(x x n 2)(x x 3 n 1 )(x x n )] L 2 (x) = [(x x n 3)(x x n 1 )(x x n )] (h)( h)( 2h) = 1 2h [(x x n 3)(x x 3 n 1 )(x x n )] L 1 (x) = [(x x n 3)(x x n 2 )(x x n )] (2h)(h)( h) = = = 36

46 = 1 2h 3 [(x x n 3)(x x n 2 )(x x n )] L 0 (x) = [(x x n 3)(x x n 2 )(x x n 1 )] (3h)(2h)(h) = 1 6h 3 [(x x n 3)(x x n 2 )(x x n 1 )] Fazendo a mudança de variáveis x x n = s, temos dx = hds e x = hs + x n. Então, h x x n 3 = (s + 3)h, x x n 2 = (s + 2)h, x x n 1 = (s + 1)h e x x n = sh donde teremos: = L 3 (x) = 1 1 (s + 2)(s + 1)s = 6 6 (s3 + 3s 2 + 2s) L 2 (x) = 1 2 (s + 3)(s + 1)s = 1 2 (s3 + 4s 2 + 3s) L 1 (x) = 1 1 (s + 3)(s + 2)s = 2 2 (s3 + 5s 2 + 6s) Assim, L 0 (x) = 1 6 (s + 3)(s + 2)s = 1 6 (s3 + 6s s + 6) xn+1 x n f(x, y(x))dx = h 2 f n 1 xn+1 x n 1 0 p 3 (x)dx = h 6 f n 3 1 (s 3 + 5s 2 + 6s)ds + h 6 f n (s 3 +3s 2 +2s)ds+ h 2 f n (s 3 + 6s s + 6)ds 1 0 (s 3 +4s 2 +3s)ds = h 6 f n 3( ) + h 2 f n 2( ) h 2 f n 1( ) + h 6 f n( ) = 9h 24 f n h 24 f n 2 59h 24 f n h 24 f n Assim, o método de passo múltiplo por nós escolhido, 37

47 é y(x n+1 ) xn+1 = y(x n ) + f(x, y(x))dx x n y n+1 = y n + (h/24)(55f n 59f n f n 2 9f n 3 ) (2.9) que é um método de passo múltiplo explícito pois, para o cálculo de y n+1 usaremos y n, y n 1, y n 2 e y n 3, onde y n+1 tem forma explícita em função dos outros y k, k = n 1, n 2, n 3. O erro de truncamento local da fórmula de quarta ordem é proporcional a h Método de Adams-Moulton Método de Adams-Moulton de segunda ordem Uma pequena modificação na dedução das fórmulas de Adams-Bashforth resulta em outro conjunto de fórmulas denominadas fórmulas de Adams-Moulton. Para compreendermos a diferença, vamos voltar ao caso de segunda ordem. Usamos novamente um polinômio de primeiro grau Q 2 (x) = α(x) + β, mas determinamos os coeficientes usando os pontos (x n, y n ) e (x n+1, y n+1 ). Assim, α e β devem satisfazer ao sistema de equações: αx n + β = f n (2.10) αx n+1 + β = f n+1 e portanto, subtraindo a segunda equação da primeira no sistema(2.10), temos: f n+1 f n = α(x n+1 x n ) com h = x n+1 x n α = f n+1 f n x n+1 x n 38