Aula. Variáveis Aleatórias Contínuas Bidimensionais
Resumo de caso unidimensional Caso Discreto p p 2 p 3 Caso Contínuo f(x) x x 2 x 3 i p i + f x dx X x x 2 x 3 P p p 2 p 3
Caso bidimensional Caso Discreto Caso Contínuo y y 2 p p 2 p 22 p 32 p 2 p 3 x x 2 x 3 i,j p ij X\Y y y 2 x p p 2 x 2 p 2 p 22 f x, y dxdy x 3 p 3 p 32
Exemplo : Um banco resolveu apostar num serviço Van Gogh, além do atendimento convencional. Em um dia seja X a proporção de tempo do serviço Van Gogh, e Y de caixa convencional. Assim, X (,) e Y (,). Sabe-se que a distribuição conjunta de X, Y é f x, y 6 5 x + y2, se x,, y, caso contrario Verificamos de o volume debaixo desse superfície é igual : f x, y dxdy x + y 2 dx 6 5 x + y2 dxdy dy
6 5 x + y 2 dx dy xdx + y 2 dx dy 2 + y2 dy 2 dy + y 2 dy 2 + y3 3 2 + 3 5 5
Calculo de probabilidade Caso unidimensional: b P a X b f x dx P X A f x dx Caso bidimensional: a A b d b d P a X b; c Y d f x, y dx dy f(x, y) dy d b f(x, y) dx dy c a P X A; Y B f x, y dx dy a c a c d A B a b c dx
Exemplo : Um banco resolveu apostar num serviço Van Gogh, além do atendimento convencional. Em um dia seja X a proporção de tempo do serviço Van Gogh, e Y de caixa convencional. Assim, X (,) e Y (,). Sabe-se que a distribuição conjunta de X, Y é f x, y 6 5 x + y2, se x,, y, caso contrario Calcule a probabilidade de nenhum dos serviços estar ocupados em mais de um quarto de tempo. /4 /4 P X 4 ; Y 4 x + y 2 dy dx /4 x + y 2 dy x 4 + y3 4 x 3 4 + 3 4 3 x 4 + 92
P X 4 ; Y 4 /4 x 4 + 92 dx /4 x 4 + 92 dx /4 x 4 dx + /4 92 dx x 2 8 /4 + 92 4 /6 8 + 92 4 7 64 Resposta: P X 4 ; Y 4 7 64
... Distribuições marginais............ Caso discreto Caso contínuo X Y x y y 2... y m p p 2... p m p p i m j p ij f(x, ) y f(x, y) x 2 p 2 p 22... p 2m p 2 f X (x) + f(x, y) dy x n p n p n2... p nm p 2 p j p m n i p ij p n p... + f Y (y) f(x, y) dx f(, y) f(x, y) x
Exemplo : Um banco resolveu apostar num serviço Van Gogh, além do atendimento convencional. Em um dia seja X a proporção de tempo do serviço Van Gogh, e Y de caixa convencional. Assim, X (,) e Y (,). Sabe-se que a distribuição conjunta de X, Y é f x, y 6 5 x + y2, se x,, y, caso contrario Calcule a distribuição de proporção do serviço de Van Gogh. Calcule a distribuição de proporção do serviço de caixa convencional. Distribuição marginal de proporção do serviço de Van Gogh : + f X x f(x, y) dy 6 5 x + y2 dy, x,
Distribuição marginal de proporção do serviço de Van Gogh : + f X x f(x, y) dy 6 5 x + y2 dy, x, x + y 2 dy x + y2 dy y3 x + 3 x + 3, x [,]
Distribuição marginal de proporção do serviço de caixas convencionais: + 6 f Y y f(x, y) dx 5 x + y2 dx, y, x + y 2 dx x dx + y 2 x 2 2 + y 2 2 + y2
Independência de variáveis aleatórias Caso discreto Caso contínuo duas variáveis aleatórias discretas são independentes se p ij p i p j para i, j quaisquer. duas variáveis aleatórias contínuas são independentes se f(x, y) f X (x)f Y (y) para x, y quaisquer.
Independência de variáveis aleatórias 6 Exemplo f x, y 5 x + y2, se x,, y, caso contrario f X (x) x + 3, x [,] f Y y 2 + y2, y [,] f(x, y) f X (x)f Y (y)
Exemplo 2: Uma mulher e um homem decidem se encontrar num lugar. Se cada um deles independentemente um de outro chega no local em um instante uniformemente distribuído entre 2hs e 3hs Qual é a probabilidade de que o primeiro a chegar não vai esperar o outro mais de que min? Seja X, Y tempo de chegada de mulher e de homem respectivamente. A probabilidade de interesse é P( X Y < ). X, Y~U(,). 6 P X Y < 6 f x, y dxdy x y </6 f X (x)f Y (y)dxdy x y </6 I(x, y [,]) dxdy x y </6
Exemplo 2 P X Y < 6 Área 5 6 I(x, y [,]) dxdy 2 y x y </6 36 5/6 /6 /6 x
Exemplo 2 P X Y < 6 I(x, y [,]) dxdy x y </6 f x, y I x, y,, se x, y,, caso contrario 5/6 /6 x y </6 /6 I(x, y [,]) dxdy Área Altura 36
... Esperança de Z g(x, Y)......... Caso discreto Y X y y 2... y m g(x, y ) g(x, y 2 ) g(x, y m ) x p p 2... p m Caso contínuo x 2 g(x 2, y ) g(x 2, y 2 ) g(x 2, y m ) p 2 p 22... p 2m E Z g x, y f(x, y) dx dy x n g(x n, y ) g(x n, y 2 ) g(x n, y m ) p n p n2... p nm E Z g x i, y j p ij i,j
Covariância e coeficiente de correlação Covariância entre duas v.a.s cov(x, Y) é, pela definição, a esperança cov X, Y E(X E X )(Y E Y ) Outra forma alternativa de calcular a covariância cov(x, Y) é cov X, Y E XY E X E Y Caso discreto Caso contínuo E XY x i y j p ij i,j E X x i p i E Y y j p j i j E XY xyf(x, y) dx dy E X xf X (x) dx E Y yf Y (y) dy
Covariância e coeficiente de correlação Se duas variáveis X e Y são independentes, então cov X, Y. Para ver isso basta observar que neste caso E XY E X E(Y): E XY xyf(x, y) dx dy xyf X (x)f Y (y) dx dy xf X (x) dx yf Y (y) dy E X E(Y) então cov X, Y E XY E X E Y E X E Y E X E Y
Covariância e coeficiente de correlação Coeficiente de correlação entre duas v.a.s ρ(x, Y) é dado pela formula cov X, Y ρ X, Y Var(X) Var(Y). ρ X, Y 2. ρ X, Y se e somente se existe b > e a tais que Y a + bx 3. ρ X, Y se e somente se existe b < e a tais que Y a + bx Coeficiente ρ X, Y as vezes chamam de medida de dependencia linear.
Exemplo f x, y 6 5 x + y2, se x,, y, caso contrario f X (x) x + 3, x [,] f Y y 2 + y2, y [,] Achar covariância entre essas duas variáveis Para isso temos que achar E(X), E(Y) e E(XY)
Achamos E(X): E X xf X (x) dx x 6 5 x + 3 dx x 3 3 + 6 5 x 2 2 x 2 dx 6 5 + 6 3 2 5 + 5 3 5 + 6 5 x 3 dx Achamos E(Y): E Y yf Y (y) dy y 6 5 6 y 2 2 + 6 5 y 4 4 2 + y2 dy y 2 dy + 6 5 6 2 + 6 2 3 + 3 3 5 y 3 dy
Achamos E(XY): E XY xyf(x, y) dx xy 6 5 x + y2 dx dy xy x + y 2 dx dy x 2 y + xy 3 dx dy y x3 + y 3 x2 3 2 dy y 3 + y3 2 dy y 2 y 4 6 5 + 6 6 5 2 + 6 4 5 + 3 2 7 2 2 4 cov X, Y E XY E X E Y 7 2 3 5 3 5.
Achamos coeficiente de correlação ρ(x, Y): E X 2 x 2 f X (x) dx x 2 6 5 x + 3 dx x 2 6 x 3 dx + 6 5 5 3 dx 6 2 + 6 3 2 2 Var X E X 2 E X 2 2 3 5 7 5 E Y 2 y 2 f Y (y) dy y 2 6 5 y 2 2 dy + 6 5 y 4 dy 2 + y2 dy 5 + 6 25 25 Var Y E Y 2 E Y 2 25 3 5 2 2 5 25
Achamos coeficiente de correlação ρ(x, Y): Coeficiente de correlação entre duas v.a.s ρ(x, Y) é dado pela formula cov X, Y ρ X, Y Var(X) Var(Y) ρ X, Y cov X, Y Var(X) Var(Y)..4.4.34
Densidade condicional Pela definição a densidade de X dado Y y é f X Yy x f(x, y ) f Y (y ) Verificamos se isso é realmente uma função da densidade + f X Yy x dx + f(x, y ) f Y (y ) dx f Y (y ) f Y y f Y (y ). + f(x, y )dx
Exemplo f x, y 6 5 x + y2, se x,, y, caso contrario f X (x) x + 3, x [,] f Y y 2 + y2, y [,] Achar densidade de X dado Y.5 f X Y.5 x f(x,.5) f Y (.5) 6 5 x + 4 6 5 2 + 4 4 3 x +, x [,] 3 4 3 x + 4
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal Definição: Variáveis (X, Y) tem a distribuição bi-dimensional normal se a sua densidade conjunta for dada por exp 2( ρ 2 ) f x, y 2 2πσ x σ y ρ 2 x μ x + y μ y σ x σ y x, y (, + ) 2 2ρ y μ y x μ x σ x σ y Distribuições marginais: X~N μ x, σ 2 2 x, Y~N μ y, σ y Coeficiente de correlação: ρ X, Y ρ
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal μ x μ y, σ x 2 σ y 2, ρ independência
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal μ x μ y, σ x 2 σ y 2, ρ.7 dependência positiva
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal μ x μ y, σ x 2 σ y 2, ρ.7 dependência negativa
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal As distribuições conjuntas são normais, com densidades f Y X x y ~N f X Y (y x)~n μ y + ρ σ y σ x x μ x ; σ y 2 ρ 2 μ x + ρ σ x σ y y μ y ; σ x 2 ( ρ 2 )