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Por juros entende-se toda e qualquer remuneração de um capital. Pode ser entendido também como o pagamento de um indivíduo pelo uso do capital de outro. O uso do capital pode ser realizado através de um investimento em uma instituição financeira (poupança, ações, renda fixa, entre outros), de um empréstimo realizado por intermediação de uma financiadora ou de empréstimos pessoais. 3
Nas operações que envolvem os juros, há sempre dois agentes : o tomador de recursos (que paga os juros) e o emprestador de recursos (que recebe os juros). Ambos podem ser pessoas físicas ou jurídicas. Vale lembrar que o agente (PF ou PJ) que, em uma operação é tomador, em outra operação pode ser emprestador. 4
O emprestador do capital, ao calcular o valor do juros do empréstimo, deve considerar vários fatores, dentre eles: a) o risco do empréstimo, isto é, a probabilidade de receber ou não o capital emprestado; b) despesas operacionais, contratuais e tributárias pertinentes ao empréstimo; c) inflação prevista para o prazo do empréstimo e 5 d) spread, isto é, margem de ganho do emprestador, considerando o custo de oportunidade do capital.
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Os juros simples são utilizados no mercado financeiro nas operações de curtíssimo prazo, como: hot money (empréstimo diário e renovável), cheque especial, desconto de títulos (nota promissórias e duplicatas) e desconto antecipado de cheques. 9
Em finanças, há duas formas de se considerar o tempo: ano civil (365 ou 366 dias) e ano comercial (360 dias). Quando se trata do ano civil (mês com 28 ou 29, 30 ou 31 dias), dizse que os juros são exatos e, quando se trata do ano comercial (todos os meses com, exatamente, 30 dias), diz-se ordinários. 10 O primeiro é o utilizado pelas Instituições Financeiras e normalmente não é utilizado nos problemas de Finanças, a não ser que seja mencionado.
É importante observar que, para os cálculos daqui para frente, a taxa de juros deverá ser transformada em taxa decimal. Nos cálculos financeiros devemos sempre atentar para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade temporal. Isto quer dizer que, se a taxa é apresentada ao mês, o tempo deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao ano, o tempo deverá ser expresso em anos, e assim por diante. Se no problema apresentado isto não ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quanto o tempo para obter a homogeneidade. 11
J = C. i. t J = Juros C = Capital i = Taxa t = Tempo 12
Solução considerando t = 1 período 13 [f] [REG] 1200 [CHS] [PV] 3 [ENTER] 6 [x] [i] 6 [ENTER] 6 [] [n] [FV] [PV] [+]
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(Metrô 1994) Qual o juro obtido na aplicação, durante 3 meses, de um capital de R$ 10.000,00, à taxa de juros simples de 10% ao mês? $ 1.000,00 $ 2.000,00 $ 3.000,00 $ 4.000,00 $ 5.000,00 (TCDF adaptada) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 60% a.m.? $ 110.000,00 $ 120.000,00 $ 130.000,00 $ 140.000,00 $ 150.000,00 15
(Metrô 1994) Qual o juro obtido na aplicação, durante 3 meses, de um capital de R$ 10.000,00, à taxa de juros simples de 10% ao mês? $ 1.000,00 $ 2.000,00 $ 3.000,00 $ 4.000,00 $ 5.000,00 (TCDF adaptada) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 60% a.m.? $ 110.000,00 $ 120.000,00 $ 130.000,00 $ 140.000,00 $ 150.000,00 16 O MS-Excel não possui nenhuma função específica para cálculo de juros simples!!
J = C. i. t C i J. t i J C. t t J C.i 17
(TTN ESAF) Paulo emprestou R$ 150,00, a juros simples comerciais, lucrando R$ 42,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 120 dias, a taxa de juros mensal aplicada foi de: 7% 8% 6% 5% 4% (TTN ESAF) Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? 3 meses e 3 dias 3 meses e 8 dias 2 meses e 23 dias 3 meses e 10 dias 27 dias (TCDF adaptada) Qual o valor do capital que se deve aplicar, à taxa de 8% ao ano, durante 7 meses, para obter juro de R$ 8.568,00? 18 $ 183.600,00 $ 193.600,00 $ 203.600,00 $ 213.600,00 $ 223.600,00
(TTN ESAF) Paulo emprestou R$ 150,00, a juros simples comerciais, lucrando R$ 42,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 120 dias, a taxa de juros mensal aplicada foi de: 7% 8% 6% 5% 4% (TTN ESAF) Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? 3 meses e 3 dias 3 meses e 8 dias 2 meses e 23 dias 3 meses e 10 dias 27 dias (TCDF adaptada) Qual o valor do capital que se deve aplicar, à taxa de 8% ao ano, durante 7 meses, para obter juro de R$ 8.568,00? 19 $ 183.600,00 $ 193.600,00 $ 203.600,00 $ 213.600,00 $ 223.600,00
(ESAF TRF 2006) Indique qual o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 3,6% ao mês, rende R$ 96,00 em 40 dias. R$ 2.000,00 R$ 2.100,00 R$ 2.120,00 R$ 2.400,00 R$ 2.420,00 20
(ESAF TRF 2006) Indique qual o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 3,6% ao mês, rende R$ 96,00 em 40 dias. R$ 2.000,00 R$ 2.100,00 R$ 2.120,00 R$ 2.400,00 R$ 2.420,00 C 96,00 0,0012. 40 21
J = M - C J = C. i. t 22 Fórmula da Taxa de Juros Considerando t = 1 período J = C. i i = (M /C) - 1
(ESAF TTN 1989) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros mensal cobrada foi de: 23 0,6% 4,2% 6% 42% 60%
(ESAF TTN 1989) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros mensal cobrada foi de: 6% 24 0,6% 4,2% 6% 42% 60% i i C M 1 74,20 70,00 1 Capital R$ 70,00 Montante R$ 74,20 0 30 prazo (dias)
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26 Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$ 19.000,00 após 6 meses, a uma taxa de 3% a.m. Pede-se obter os juros da operação.
Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$ 19.000,00 após 6 meses, a uma taxa de 3% a.m. Pede-se obter os juros da operação. j 19000 x 0,03 x 6 1 0,03 x 6 27
28 Fórmula do Montante M = C + J J = C. i. t M = C + C. i. t M = C (1 + i. t)
(CEF Auditor Júnior 2004) O montante de uma aplicação de R$ 2.000,00, acumulado em 3 anos, a uma taxa de juros simples de 5% ao ano, é de: a) R$ 1.000,00 b) R$ 2.300,00 c) R$ 2.500,00 d) R$ 3.250,00 e) R$ 4.550,00 C = R$ 2.000,00 i = 5% a.a. t = 3 anos 29
(CEF Auditor Júnior 2004) O montante de uma aplicação de R$ 2.000,00, acumulado em 3 anos, a uma taxa de juros simples de 5% ao ano, é de: a) R$ 1.000,00 b) R$ 2.300,00 c) R$ 2.500,00 d) R$ 3.250,00 e) R$ 4.550,00 30
(SUSEP) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros simples, durante 6,5 meses, a uma taxa de 3% ao mês. Obtenha o montante ao fim do prazo. a) R$ 2.360,00 b) R$ 2.390,00 c) R$ 2.420,00 d) R$ 2.423,66 e) R$ 2.423,92 C = R$ 2.000,00 i = 3% a.m. t = 6,5 meses 31
(SUSEP) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros simples, durante 6,5 meses, a uma taxa de 3% ao mês. Obtenha o montante ao fim do prazo. a) R$ 2.360,00 b) R$ 2.390,00 c) R$ 2.420,00 d) R$ 2.423,66 e) R$ 2.423,92 32
(Administrador Júnior Petrobras CESPE 2007) João pagou R$ 1.890,00 por um empréstimo que ele tomou por um mês. Nessa situação, considerando-se que a taxa de juros foi de 5% ao mês e que não incidem quaisquer outros encargos sobre a operação, calcule o valor do empréstimo. M = R$ 1.890,00 i = 5% a.m. t = 1 mês 33
34 (Administrador Júnior Petrobras CESPE 2007) João pagou R$ 1.890,00 por um empréstimo que ele tomou por um mês. Nessa situação, considerando-se que a taxa de juros foi de 5% ao mês e que não incidem quaisquer outros encargos sobre a operação, calcule o valor do empréstimo.
1 1 i. t 35
(CEF) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples, à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de: a) 1 ano e 10 meses b) 1 ano e 9 meses c) 1 ano e 8 meses d) 1 ano e 6 meses e) 1 ano e 4 meses C = R$ 15.000,00 i = 3% a.b. M = R$ 19.050,00 36
(CEF) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples, à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de: a) 1 ano e 10 meses b) 1 ano e 9 meses c) 1 ano e 8 meses d) 1 ano e 6 meses e) 1 ano e 4 meses 37
(CEF) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples, à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de: a) 1 ano e 10 meses M b) 1 ano e 9 meses c) 1 ano e 8 meses C d) 1 ano e 6 meses t e) 1 ano e 4 meses i 1 t 19050 15000 0,03 1 38 t 1,27 0,03 1 t 0,27 0,03 t 9 bimestres t = 1 ano e 6 meses
(Agente, Auxiliar e Arrecadador Tributário SEFAZ/PI 2001) Durante o mês de maio, um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado no open market (sistema de juros simples) a uma taxa de 30% ao mês, tendo produzido um montante de R$ 2.240,00. O número de dias em que esse capital esteve aplicado foi de: a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 C = R$ 2.000,00 i = 30% a.m. M = R$ 2.240,00 39
(Agente, Auxiliar e Arrecadador Tributário SEFAZ/PI 2001) Durante o mês de maio, um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado no open market (sistema de juros simples) a uma taxa de 30% ao mês, tendo produzido um montante de R$ 2.240,00. O número de dias em que esse capital esteve aplicado foi de: a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 M = C (1 + i. t) 2240 = 2000 (1 + 0,01. t) 2240 = 2000 + 20 t 2240-2000 = 20 t 240 = 20 t t = 12 dias 40
(IF SP 1998) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: C = R$ 15.000,00 t = 2 bimestres M = R$ 16.320,00 41
(IF SP 1998) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: 16320 = 15000 (1 + i. 2) 16320 = 15000 + 30000. i 16320 15000 = 30000. i 1320 = 30000. i i = 4,4% ao bimestre i M C t 1 i 16320 15000 2 1 42 i = 2,2% ao mês i 1,0880 1 2 i 0,088 2
(SOCIESC Companhia Águas de Joinville Analista Econômico e Financeiro 2007) Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? 18 anos 22 anos 19 anos 21 anos 20 anos 43
(SOCIESC Companhia Águas de Joinville Analista Econômico e Financeiro 2007) Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? 18 anos 22 anos 19 anos 21 anos 20 anos M = C (1 + i. t) 3C = C (1 + 0,1. t) 3 = 1 + 0,1. t 3 1 = 0, 1. t 2 = 0,1. t t = 20 anos 44
j C.i. t 360 Juro Comercial ou Ordinário Ordinary Simple Interest O prazo em dias segue o calendário comercial (360 dias) O divisor é 360 (total de dias no ano comercial) j C.i. t 365 Juro Exato Exact Simple Interest O prazo em dias segue o calendário civil (365 ou 366 dias) O divisor é 365 ou 366, para anos bissextos (total de dias no ano civil) 45 j C.i. t 360 Juro bancário (Regra dos banqueiros) Banker s Rule O prazo em dias segue o calendário civil (365 ou 366 dias) O divisor é 360 (total de dias no ano comercial)
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48 Como, no Brasil, é adotado a convenção de notação de datas no formato dia, mês e ano, recomenda-se que o indicador D.MY esteja sempre ativado.
j C.i. t 360 Juro Comercial ou Ordinário j C.i. t 365 Juro Exato 49 j C.i. t 360 Juro bancário (Regra dos banqueiros)
j C.i. t 360 Juro Comercial ou Ordinário 100,00.0,05. 44 j 360 j C.i. t 365 Juro Exato 100,00. 0,05. 45 j 365 50 j C.i. t 360 Juro bancário (Regra dos banqueiros) 100,00. 0,05. 45 j 360
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53 A chamada regra dos banqueiros considerada a contagem de tempo exato para o cálculo do número de dias, associado incoerentemente com o ano comercial. Tal prática é comum, pois visa um valor maior de juros.
(AFTN 1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 720,00 b) R$ 725,00 c) R$ 705,00 d) R$ 715,00 e) R$ 735,00 54
(AFTN 1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 720,00 b) R$ 725,00 c) R$ 705,00 d) R$ 715,00 e) R$ 735,00 j C.i. t 365 55 j 10000,00.0,18.146 365
Calcule os juros simples exatos, comerciais e pela regra dos banqueiros, relativos ao capital de R$ 1.800,00 aplicado à taxa de 40% a.a., durante 74 dias. Adaptado de MERCHEDE, Alberto. HP-12C: cálculos e aplicações financeiras: exercícios interativos. São Paulo: Atlas, 2009. p. 32. 56
Calcule os juros simples exatos, comerciais e pela regra dos banqueiros, relativos ao capital de R$ 1.800,00 aplicado à taxa de 40% a.a., durante 74 dias. Procedimento Teclas Visor Introduzir o prazo, em número de dias 74 [n] 74,00 Introduzir a taxa anual 40 [i] 40,00 Introduzir o valor do capital 1800 [CHS] [PV] - 1800,00 Determinar os juros ordinários (e bancários) [f] [INT] 148,00 Calcular o montante (capital + juros) [+] 1948,00 Calcular os juros simples exatos [R] 145,97 57
(CFC Bacharel 2000) O juro exato e o comercial ou ordinário gerados pelo capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa simples de 12% a.a. e pelo prazo de 3 meses e 15 dias são: a) R$ 340,51 e R$ 350,00 b) R$ 350,00 e R$ 350,00 c) R$ 345,21 e R$ 350,00 d) R$ 350,00 e R$ 345,21 58
(CFC Bacharel 2000) O juro exato e o comercial ou ordinário gerados pelo capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa simples de 12% a.a. e pelo prazo de 3 meses e 15 dias são: a) R$ 340,51 e R$ 350,00 b) R$ 350,00 e R$ 350,00 c) R$ 345,21 e R$ 350,00 d) R$ 350,00 e R$ 345,21 j 10000,00.0,12.105 365 R$345,21 59 105 [n] 12 [i] 10000 [CHS] [PV] [f] [INT] [+] [R] j 10000,00.0,12.105 360 R$350,00
Prazo Médio Taxa Média Capital Médio C. i. t t m C. i C. i. t i m C. t C C. i. t m i. t 60 O símbolo é a letra grega maiúscula sigma.
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C. i. t t m C. i 62
63 [f] [REG] 4 [ENTER] 20000 [+] 3 [ENTER] 30000 [+] 2 [ENTER] 50000 [+] [g] [Xw] t 20000. i.4 30000. i.3 50000. i.2 m 20000. i 30000. i 50000. i 80000i 90000i 100000i t m 100000i t 270000i m 100000 t 2, 7 i m
64
65 t 8000. i.8 10000. i.5 6000. i.9 m 8000. i 10000. i 6000. i [f] [REG] 8 [ENTER] 8000 [+] 5 [ENTER] 10000 [+] 9 [ENTER] 6000 [+] [g] [Xw]
C. i. t i m C. t 66
67 i 3000.0,06. t 5000.0,04. t 8000.0,0325. t m 3000. t 5000. t 8000. t [f] [REG] 6 [ENTER] 3000 [+] 4 [ENTER] 5000 [+] 3,25 [ENTER] 8000 [+] [g] [Xw]
68
69 i 3000.0,03. t 2000.0,04. t 5000.0,02. t m 3000. t 2000. t 5000. t [f] [REG] 3 [ENTER] 3000 [+] 4 [ENTER] 2000 [+] 2 [ENTER] 5000 [+] [g] [Xw]
C C. i. t m i. t 70
C m 1200.0,04.20 1800.0,06.30 2100.0,10.15 0,04.20 0,06.30 0,10.15 71
Representa a substituição de um título por outro (s) com vencimento (s) diferente (s). Portanto, precisa-se determinar o valor de um título quando o mesmo necessita ser antecipado ou postecipado, ou ainda substituído por outro título, cujo valor represente o equivalente àquele original, considerada dada taxa. A data que se considera como base de comparação dos valores referidos a diferentes datas é denominada de data focal ou data de avaliação ou data de referência. 72
INCINDIBILIDADE DO PRAZO No regime de juros simples, a formação do montante e, reciprocamente, a determinação do valor atual são não-cindíveis, no sentido de que não se pode fracionar o prazo de aplicação. 73 Por força da característica da incindibilidade do prazo, a equivalência financeira entre conjunto de capitais fica, no regime de juros simples, dependente da data fixada para comparação. Conjuntos equivalentes em uma determinada data não o serão em outra data distinta.
DATA FOCAL é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes, ou seja, é a data para onde serão transportados os valores de entrada e saída de dinheiro, com o objetivo de avaliação. (AFRF 2002 ESAF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. 74 a) R$ 10.940,00 b) R$ 11.080,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640,00 e) R$ 12.820,00
(AFRF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. R$ 4.000,00 C =? R$ 4.620,00 R$ 3.960,00-20 0 50 100 prazo (dias) 75 a) R$ 10.940,00 b) R$ 11.080,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640,00 e) R$ 12.820,00
Postecipado i l C 1 1T C i b C 76 i ( 1T) i l b
Uma aplicação no regime de juros simples, durante o prazo de 5 meses, rende juros à taxa de 22% a.a. e paga Imposto de Renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00? i ( 1T) i l b i l = (1-0,2).0,22 i l = 0,1760 77 M = C(1 + it) M = 8000 (1 + 0,1760. 0,4167) M = R$ 8.586,67
Antecipado i l C 1 ib C(1 T. i C(1 T. i ) b b ) 78 i l (1 T) i 1 T. i b b
Uma aplicação no regime de juros simples, durante o prazo de 5 meses, rende juros à taxa de 22% a.a. e paga Imposto de Renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no início da operação. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00? i l (1 T) i 1 T. i b b i l 0,1760 1,0440 i l = 0,1686 79 M = C(1 + it) M = 8000 (1 + 0,1686. 0,4167) M = R$ 8.561,99