Otzação d Rds d strbução d Água co Bobanto Ua rd d dstrbução d água é coposta por u conunto d canos u ntrlga nós os uas rprsnta consudors (casas ndústras tc.) forncdors d água (caas d'água staçõs d tratanto tc.). E u probla d otzação d rds d dstrbução a dsposção dos canos é concda t-s coo obtvo a dtrnação dos dâtros d odo a nzar o custo d plantação da rd antndo a prssão nos nós aca d u dtrnado lt satsfazndo a danda dos consudor Bobas d água pod sr ntroduzdas no ssta para garantr a prssão ína na rd. Est probla é dfícl d rsolvr poru alguns poucos dâtros d canos stão dsponívs corcalnt d odo u as varávs do probla são ntra Euaçõs das rds d dstrbução. Fando-s os dâtros dos canos supondo concdas as caractrístcas das bobas pod-s dtrnar o fluo d água ua rd co canos (ou arcos) n nós (ou unçõs) através da rsolução d u ssta não lnar co +n uaçõ As varávs do probla são as prdas d carga H nos canos as vazõs Q nos nós confor dscrto abao. Contnudad da vazão nos nó Supondo u fluo constant ncoprssívl ua rd a soa algébrca do fluo d água u ntra u sa d u nó dv sr zro ou sa = Francsco Asss Magalãs Gos Nto p. d Matátca Aplcada IMECC UNICAMP 308-970 Capnas SP E-al: cco@.uncap.br Carlos Hnru as * Inst. d Mat. Estatístca Cop. Cntífca IMECC UNICAMP 308-970 Capnas SP E-al: c007@dac.uncap.br. a = Q = K n () ond é o núro d arcos conctados ao nó é a vazão no cano conctado ao nó Q é a vazão trna (d suprnto ou danda) do nó a é gual a ou - dpndndo do sntdo do fluo no cano. Prda d carga cano Quando u fludo atravssa u cano part da nrga total é convrtda nrga térca dvdo *Bolssta d Incação Cntífca FAPESP - - ao atrto ntrno à turbulênca. Para u cano u concta os nós da rd sta prda d nrga u caaos d prda d carga é prssa por: 0.852 H = = R = K (2) ond H é a prda d carga no cano são os valors das cargas nos nós é a vazão no cano supondo o fluo d a R é a rsstênca do cano dada função d su coprnto dâtro. Método d Hansn Madsn Nlsn. U étodo fcnt para rsolvr o probla d otzação d rds s bobas fo proposto por Hansn Madsn Nlsn (HMN) [2] 99. Est étodo stá basado na prograação lnar süncal co rgõs d confança do tpo caa. Os dâtros = K são tratados coo varávs ras ao fnal d cada tração são arrdondados para os valors corcas garantndos u a carga nos nós sta aca dos valors ínos stpulado Os valors das vazõs das prdas d carga são obtdos rsolvndo-s o ssta ()-(2) para u conunto d dâtros fo O custo d ua rd na ual os canos tê coprnto L... L dâtros... é dado por: = = F( ) L $( ) (3) ond $( ) é o custo por tro d cano co dâtro. Podos agora forular o probla d nzação. Coo o vtor d carga é obtdo a partr do vtor d dâtros scrvos = (). Ass tos: Mnzar F( ) a : ( ) n = K n ond os coponnts d dv corrspondr sont aos valors d dâtros tablados (dâtros forncdos corcalnt) n é o valor íno d carga adtdo no nó. A lnarzação do probla aca nclundo ua rgão d confança fora d caa pod sr
scrta da sgunt fora: Mn a L( + ) a ( ) antror + b + ( ) + = K n = K. n próo (4) O algorto do étodo d Hansn Madsn Nlsn é rsudo abao: Algorto HMN. Entrada dos dâtros ; Austar os dâtros ; F atual = F(); {uação(3)} Parar = falso; Enuanto Parar = falso Obtr rsolvndo (4) co fo; Obtr novo austando + ; F novo = F( novo ); {uação(3)} S F novo < F atual Atualzar = novo F atual = F novo ; Snão Parar = vrdadro; F Coo s obsrva o algorto só trna uando a nova solução (F novo ) for por u a atual (F atual ). Rds co boba A plantação d bobas rds d dstrbução d água t grand portânca na anutnção no aunto das cargas nos nós d danda sndo aplant utlzada rds ond os nós fonts (caas d água) não atnd toda a danda por carga ou uando a topografa g u s transport água a pontos lvado O obtvo d nosso odlo co bobas srá dtrnar os dâtros dos canos da rd as cargas d forncnto das bobas d odo a nzar os custo Rsuos abao as adaptaçõs u prcsa sr ftas no odlo antror para a nclusão d boba Introduzndo bobas no odlo. Na odlag das rds d dstrbução d água co bobas consdraos u: Cada boba srá odlada através da cração d u arco d coprnto nulo u lga dos nós coo lustrado na Fgura. Os dos nós possurão danda trna gual a zro; = Fgura. O gano d carga do nó ao srá a carga forncda pla boba; As vazõs das bobas ass coo o sntdo do fluo da água nstas srão spr constant Gano d carga nas boba A prda d carga u cano cou contnuará sndo prssa pla uação (2). Já para u arco y (d coprnto nulo) co boba a varação da carga é dada por: = y y = K Y (5) ond são os índcs dos nós lgados plo arco y y rprsnta o gano d carga forncda pla boba Y é o núro d arcos u contê boba O tro do lado drto t snal ngatvo ndcando u a carga aunta d para Contnudad da vazão nos nó A uação da contnudad da vazão nos nós contnua sndo prssa por () para os nós nos uas não ncd u arco co boba. No caso do nó prtncr a u conunto boba dvos tr ua danda trna nula d odo u a uação da contnudad vazão no nó s rsu a = Adaptação do étodo HMN. a = 0. (6) Coo á dscrto o Método d Hansn Madsn Nlsn é u étodo tratvo u lnarza a função obtvo as rstrçõs rsolvndo sucssvos problas d prograação lnar. E sua forulação orgnal st étodo não consdra a utlzação d boba Entrtanto a partr da proposta d Ksslr Sar [3] propoos abao ua adaptação do odlo para otzar rds d dstrbução d água co boba Forulação do Probla. Para a forulação do probla assuros ua rd d dstrbução d água co canos n nós consudors r nós d suprnto n boba Os nós consudors srão nurados d a n os nós fonts srão nurados d n+ a n+r os canos srão nurados d a as bobas srão nuradas d - 2 -
+ a +n. S as vazõs nas bobas são dsconcdas o probla adt nfntas soluçõs óta st odo supoos u são dadas as vazõs nas bobas + K + n. Co sso sont os dâtros dos canos orgnas da rd K os valors d carga K + d cada boba são varávs a + n sr dtrnada trnação das vazõs nos canos das cargas nos nó Para u dado conunto d valors d dâtros d carga nas bobas é possívl dtrnar as vazõs nos canos K as cargas nos nós consudors K n bastando para sso rsolvr o ssta não lnar u nvolv as uaçõs da prda d carga nos canos (2) do gano d carga nas bobas (5) d contnudad () (6). Ess ssta é rsudo abao consdrando-s u a prda d carga é dada pla fórula d Hazn-Wllas: ond 068L C = 852 HW = K ( ) = 0 y z { K n + 2n} ( ) = 0 = + K + n ~ a = Q = K n + 2n a ~ Q 487 y Q = 0 = 0 z 0.852 s = K n; y s = n + K n + 2n; s stá a ontant d ; s stá a usant d ; s não á arcolgando a ; z (7) Coo s obsrva o snal d a ndca o sntdo adotado para o fluo no cano. O ssta (7) é não lnar tndo +n+3n uaçõs +n+3n ncógnta Est ssta fora as rstrçõs do probla é usado para dtrnar uando os dâtros = K as cargas das bobas = + K + n tê sus valors fado fnção do probla atátco. O custo d construção d ua rd dpnd dos canos (dâtro coprnto atral) das bobas (cargas vazõs d trabalo). st odo o custo total d plantação anutnção d ua rd é dado por: F( ) = = L $( ) + + n γ δ ( CP + CHP ) = + (8) ond CP é o custo d ausção d ua boba CHP é o custo da nrga rurda para o funconanto da boba ao longo do orzont d proto. Para cada vtor solução do nosso probla forado plos dâtros dos canos plas cargas nas bobas dtrnaos o valor d = K n através do ssta (7). sta fora consdrando u st ssta é dfndo d fora plícta podos forular o probla d nzação d rds d dstrbução d água co bobas coo: Mnzar a. : ( ) a F( ) n = K n + 2n = + K + n (9) n ond é o vtor d dâtros dos canos é valor íno d carga adtdo no nó = K n + 2n a é a carga áa d forncnto adtda para a boba = + K + n. Naturalnt coo os canos só stão dsponívs corcalnt alguns poucos dâtros tablados é u vtor co coponnts ntras nuanto é u vtor ral. Algorto adaptado para rds co boba No algorto d Hansn Madsn Nlsn lnarza-s a função obtvo as rstrçõs do odlo (9) para u sa possívl rsolvr a cada tração u probla d prograação lnar. Na lnarzação da função obtvo aproa-s F torno do ponto ( ) usando-s a fórula F( + + ) Γ( + + ) ond Γ ( + + ) = a + b + a + b as constants a b b a faz co u o odlo lnar sa gual à função orgnal no ponto ( ). Estas constants srão dfndas as à frnt. O probla (9) aprsnta n+2n rstrçõs não lnars n rstrçõs lnars ua vz u as rstrçõs d carga áa d forncnto da boba á são lnar Utlzando a fórula d aylor podos lnarzar as rstrçõs da sgunt fora: - 3 -
( ) ( ) + + + ( ) = K n + 2n. st odo o probla (9) é aproado por: Mn Γ( + + ) = a a.: ( ) + ( ) a + a = + K + n n (0) ua fora gral o algorto rsolv a cada tração st probla d prograação lnar usa as soluçõs + + coo statvas para os dâtros cargas nas bobas na tração sgunt. Entrtanto os dâtros só pod assur valors tablados (IAM k k = K s ) o probla d prograação lnar (0) consdra u os valors dos dâtros coo contínuo Para contornar sto após a rsolução d (0) austaos + para os valors tablados dos canos IAM k k = K s co o cudado d antr spr as cargas nos nós aca dos lts íno No caso das cargas das bobas adtos soluçõs contínuas ou sa + não prcsa sr austado após a rsolução d (0). Por outro lado pod-s austar a carga ua boba caso algua rstrção d (0) sta nfactívl sa as barato auntar sta carga u varar o dâtro d algu cano. Ests austs stão dscrtos no algorto 2 (Aust d cargas dâtros). Coo o odlo lnar u usaos para aproar o probla orgnal não é confávl para dâtros d canos cargas nas bobas uto dfrnts dos valors usados na fórula d aylor adotaos ua rgão d confança para. Esta rgão d confança é dfnda coo s sgu. âtros: Sgundo o u fo proposto por Hansn Madsn Nlsn toando os valors dos dâtros tablados ordnados (IAM < IAM 2 < K <IAM s ) podos ontar a sgunt rstrção: antror próo + = K () ond = IAM k k = K s antror = IAM v v = a{ k } próo = IAM u = n{ k + s} Cargas das bobas: Nst caso adtos u a varação áa ε ína - ε d carga é u dado d ntrada u dv sr stado para cada tpo d probla. sta u fora tos: ε ε = + K n (2) + Rscrvndo o probla (0) co as rstrçõs () (2) obtos: Mn Γ( + + ) = a n a : ( ) ( ) + = K n + 2n; antror + + + a próo = K ; a = + K + n. ε ε O probla aca t +n varávs 2+n+5n rstrçõ Função custo lnarzada. Podos scrvr a função Γ coo: (3) Γ ( + + ) =Γ ( + ) + Γ ( + ) ond Γ ( + ) = Γ ( + ) = [ a ( + ) + c ] = + n a ( + ) + c ] +[ = Para o tro rlaconado aos dâtros Γ ( + ) coo staos consdrando o ntrvalo antror próo + (rstrção ()) dfnos a c coo os cofcnts angular lnar rspctvant da rta austada aos pontos antror antror P ( L $( )) P = ( L $( )) 2 próo próo P 3 = ( L $( )). Para calcular o custo aproado das bobas Γ ( + ) coo sont staos consdrando o ntrvalo ε ε (rstrção (2)) dfnos a c rspctvant coo os cofcnts angular lnar da rta austada aos pontos P = ε F ( ε )) P 2 = ( F ( )) P 3 = ( + ε F ( + ε )) ond ( F ( γ δ ) = CP + CHP = + K + n é o custo d ausção opração d ua boba. Os austs das curvas nos casos aca pod sr - 4 -
ftos através do étodo dos uadrados íno Algorto HMN para rds co boba Entrada dos dâtros das cargas ; Austar os dâtros cargas ; F atual =F( ); {Euação (8)} Parar = falso; Enuanto Parar = falso Obtr rsolvr (3) co fos; y = + ; y = + ; Obtr novo novo aust y y ; F novo = F( novo ); {Euação (8)} novo S F novo < F atual tn = novo ; = ; novo F atual = F novo ; Snão Parar = vrdadro; F Austs dos dâtros das cargas das boba vos dtrnar u vtor u sa coposto apnas por dâtros factívs (tablados) garantndo tabé u a carga cada nó sta aca dos lts íno Podos tabé varar para assgurar u as cargas nos nós sta aca dos lts ínos d factbldad. A prra part do aust é fta transforando os valors contínuos dos dâtros valors tablado Para tanto tntaos prrant dfnr novo arrdondando os dâtros para os valors tablados as próo Contudo após ssa opração alguas cargas nos nós pod star abao dos sus lts ínos ou sa as rstrçõs d (9) pod não star sndo satsfta Para contornar ssa stuação podos substtur os dâtros d alguns canos plos valors tablados datant aor A st novo vtor dos dâtros caaros d try. Poré é ncssáro sabr s u aunto no dâtro é lor tros d custo u u aunto ε na carga da boba. Para rsolvr st probla rscrvros a uação da rstrção (3) coo: try novo n ( novo ) + ( novo ) (4) try = K n + 2n ond try é a carga da boba co u acrésco ε. Para dtrnar s avrá u aunto na carga das bobas ou nos dâtros procdos da sgunt fora: ) Usando a uação (4) localzaos a rstrção as volada; 2) trnaos ( novo ) t = K s n t = ( ) r = + K + n s > n r 3) Utlzando as drvadas dfndas aca dtrnaos o dâtro ou carga da boba u provoca u aor aunto por undad ontára. Est dâtro t ou carga da boba r é ntão auntado. 4) Rptos o procsso até u todas as cargas nos nós sta aca dos lts íno Eplo nuérco. Para plfcar a aplcação do algorto aca dscrto rsolvos o probla u consst dtrnar os dâtros a carga da boba da rd aprsntada na Fgura 2 d fora a nzaros o custo d construção opração da rd. 00 3 / 00 3 2 3 / 2 +60 +50 7 270 3 / 20 3 / 5 4 4 +50 +55 8 5 +70 700 3 / 9 200 3 / 00 3 / 8 7 6 +60 6 +65 Fgura 2. 3 A carga ína adssívl cada nó é d 30 aca do nívl topográfco. Os dâtros dsponívs co sus rspctvos custos ncontra-s na tabla a sgur. $ 2 5 8 6 23 32 2 3 4 6 8 0 $ 50 60 90 30 70 300 550 2 4 6 8 20 22 24 9 0 420 3 / - 5 -
Para st probla adtos u os canos são d PVC alé d utlzaros C HW = 48 CP = 2 (custo d ausção da boba) CHP = 950 (custo d opração da boba). Coo dâtros ncas vazõs ncas (nos canos) cargas ncas toaos rspctvant todos guas a 0 n = 0.254 200 3 / = 5555.0-3 3 /s 200. No caso da boba adtos ua carga ncal d 70. A varação áa d carga da boba prtda por tração para st probla é dada por ε = 5. Rsolvndo o probla no Matlab obtos a sgunt solução na ual os dâtros stão ordnados d acordo co a nuração dos arcos na Fgura 2: [ 0 8 8 6 6 8 6 6 6] = [ 60] = As saídas gráfcas obtdas no Matlab são dadas abao: Vazão Sntdo do Fluo âtros plo algorto au dscrto. Entrtanto ssa dvsão dos canos trcos não costua sr utlzada na prátca o u coprot a ualdad dos rsultados ass obtdo Conclusão. O algorto d Hansn Madsn Nlsn adaptado para bobas ostrou-s fcnt rápdo rlatvant fácl d plntar. O étodo é ua boa altrnatva para a solução d problas nos uas a ntrodução d bobas é ncssára para garantr ua prssão ína nos nós consudors b coo para rduzr o custo d plantação da rd. A fcênca do algorto pôd sr coprovada coparando-s as soluçõs gradas àulas forncdas plos étodos spcífcos para otzação d rds propostos por Savc Waltrs [4] Ksslr Sar [3]. Anda u só tnaos rsolvdo problas co poucos arcos sua aplcação a rds d grand port não aprsnta dfculdad Possívs aprorantos do algorto nvolv o uso d ua função uadrátca para aproar o custo da rd o prgo d ua stratéga não onótona para a actação dos novos dâtro Rfrênca Fgura 3. Para rsolvr st probla fora ncssáros 66 sgundos d trabalo coputaconal ( u coputador co procssador AM-K6 II d 450MHz) u tpo razoávl para ua rd d dstrbução d água puna. Outros problas clásscos da ltratura adaptados pla nclusão d bobas tabé fora rsolvdo Os rsultados fora coparados a dos outros prograas: u algorto gnétco proposto por Savc Waltrs [4] tabé adaptado para a otzação d rds d dstrbução co bobas o étodo d Ksslr Sar [3]. ua fora gral o dspno do étodo dscrto aca pod sr consdrado bastant satsfatóro. As soluçõs por l ncontradas s aproara bastant das soluçõs forncdas plo algorto gnétco a u custo coputaconal uto nor. O étodo d Ksslr Sar obté dâtros ntros para os canos dvdndo cada trco da rd ua süênca d dos ou as canos d dâtros dfrnts conctado Naturalnt sta solução aprsnta u custo nor u a forncda [l] BHAVE P. R. Analyss of flow n watr dstrbuton ntwork Lancastr cnoc 99. [2] HANSEN C..; MASEN K.; NIELSEN H. B. Optzaton of pp ntwork Matatcal prograng 52() p. 45-58 99. [3] KESSLER A. & SHAMIR U. coposton tcnu for optal dsgn of watr supply ntwork Engnrng Optzaton 7() p. - 9 99. [4] SAVIC. A. & WALERS G. A. Gntc algorts for last cost dsgn of watr dstrbuton ntwork Journal of watr rsourcs plannng and anagnt ASCE 23(2) p. 67-77 997. - 6 -