Sistema dedutivo Estudaremos um sistema dedutivo axiomático axiomas lógicos e axiomas não lógicos (ou esquemas de axiomas) e regras de inferência (ou esquemas de regra) do tipo de Hilbert para a lógica de predicados.
Esquemas Esquemas de axiomas e de teoremas No que segue, chamaremos de axioma, por exemplo α (β α) e x (α β) (α x β) o que, propriamente, não são. São esquemas de axiomas e de teoremas, pois usam variáveis da metalinguagem. Os axiomas são obtidos quando substituímos tais variáveis por fórmulas nas quais figuram apenas símbolos do alfabeto.
Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert I Os axiomas lógicos são (A1) α (β α) (A2) (α (β ξ)) ((α β) (α ξ)) (A3) (α β) ((α β) α) (A4) α (β (α β)) (A5) α β α (A6) α β β (A7) α α β (A8) β α β (A9) (α γ) ((β γ) (α β γ)) (A10) α α
Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert II (A11) ( x (α β)) ( x α x β). (A12) ( x α) [α] t x sempre que t é admissível para x em α. (A13) α x α sempre que x VL(α).
Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert III (A14) t. = t (A15) t 1. = t2 t 2. = t1 (A16) (t 1. = t2 t 2. = t3 ) t 1. = t3 (A17) (t 1. = t 1 t n. = t n ) ( R(t 1,..., t n ) R(t 1,..., t n) ) (A18) (t 1. = t 1 t n. = t n ) ( F (t 1,..., t n ). = F (t 1,..., t n) )
Axiomas do Sistema de Hilbert Axiomas do Sistema de Hilbert IV (A19) as generalizações dos esquemas de fórmulas acima.
Exemplos de axiomas y P(y) ( P(x) y P(y) ) é instância do esquema (A1), portanto é axioma. (R(x, y) ( y (y. = 0) R(x, y)) é instância de β (α β), portanto é axioma do esquema (A8). x ( y (x. = y) ) ( y (z. = y) ) x ( A(x) y A(y) ) ( A(y) y A(y) ) são axiomas do esquema (A12).
Exemplos de axiomas x ( y B(x, y) ) y B(y, y) não é axioma do esquema (A12); viola a condição de admissibilidade.
Exemplos de axiomas vimos que y P(y) (P(x) y P(y)) é uma instância de (A1). Também é um axioma a generalização x ( y P(y) (P(x) y P(y)) )
Exemplos de axiomas Na linguagem aritmética, temos o axioma lógico (x < y) ( y (y = 0) (x < y)) assim como as generalizações x ( (x < y) ( y (y = 0) (x < y)) ) y x ( (x < y) ( y (y = 0) (x < y)) )
Exemplos de axiomas (x = y) ((x + x = 0) (x + y = 0)) é um axioma do esquema (A18). (x = y) ( x (x + x = 0) x (x + y = 0)) (x = y) ( y (x + x = 0) y (x + y = 0)) não são axiomas do esquema (A18).
Regras de inferência Regras de inferência primitivas Modus Ponens α, α β β
Sequente e Prova Prova Uma prova de α a partir de Γ é uma sequência finita de fórmulas ϕ 1 ϕ 2. ϕ n tal que ϕ n = α e, para i < n, e em cada linha ϕ i é 1 ou um axioma 2 ou uma fórmula de Γ 3 ou uma fórmula obtida de ϕ j, ϕ k, para j, k < i, por Modus Ponens.
Sequente e Prova Prova Notação: Γ α e lê-se α é deduzível de Γ Notação: α e lê-se α é teorema lógico (corresponde a α.)
Propriedades de Propriedades de As seguintes propriedades valem exatamente como no cálculo de proposições: 1 Autodedução: Γ α para todo α Γ. 2 Monotonicidade: Se Γ α e Σ Γ então Σ α. 3 Regra do corte: Se Γ α 1, Γ α 2,..., Γ α k e {α 1,..., α k } β então Γ β. 4 Regra do destacamento: Se Γ α e Γ α β então Γ β. 5 Teorema da Dedução: Γ, α β sse Γ α β.
Exemplos de dedução I Teorema (Lei do terceiro excluído) α α Demonstração. Deduz-se como no cálculo proposicional. Teorema (Redução ao absurdo (RA)) α β, α β α Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A3).
Exemplos de dedução II Teorema (Introdução da conjunção (IC)) α, β α β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A4). Teorema (Eliminação da conjunção (EC1)) α β α Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A5).
Exemplos de dedução III Teorema (Eliminação da conjunção (EC2)) α β β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A6). Teorema (Introdução da disjunção (ID1)) α α β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A7).
Exemplos de dedução IV Teorema (Introdução da disjunção (ID2)) β α β Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A8). Teorema (Duns Scotus (DS)) α, α β Demonstração. Deduz-se como no cálculo proposicional.
Exemplos de dedução V Teorema (Modus Tollens (MT)) α β, β α Prova. 1. α β (hip.) 2. β (hip.) 3. (α β) ((α β) α) (A3) 4. β (α β) (A1) 5. α β (MP 2,4) 6. (α β) α (MP 1,3) 7. α (MP 5,6)
Exemplos de dedução VI Teorema (Contra-positiva (CP1)) α β β α Demonstração. Segue de Modus Tollens por aplicação do Teorema da Dedução.
Exemplos de dedução VII Teorema (Silogismo hipotético (SH)) α β, β γ α γ Prova. Deduz-se como no cálculo proposicional.
Exemplos de dedução VIII Teorema (Silogismo disjuntivo (SD)) α β, α β Prova. 1. α β (hip.) 2. α β (reescrita de 1) 3. α (hip.) 4. β (por MP 2,3)
Exemplos de dedução IX Teorema (Troca condicional (TC)) θ (φ ξ) φ (θ ξ) Prova. Deduz-se como no cálculo proposicional. Teorema (Dupla negação (DN1)) α α. Prova. Segue de (A10) e o teorema da Dedução.
Exemplos de dedução X Teorema (Dupla negação (DN2)) α α Prova. Deduz-se como no cálculo proposicional.
Exemplos de dedução XI Teorema (Contra-positiva (CP2)) β α α β Prova. 1. β α (hip.) 2. ( β α) ( α β) (CP1) 3. α β (MP 1,2) 4. α α (DN2) 5. β β (DN1) 6. α β (SH 4,3) 7. α β (SH 6,5)
Exemplos de dedução XII Teorema (Instanciação universal (IU)) x α [α] t x, para todo termo t admissível para x. Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A12). Teorema (Generalização universal (GU)) α x α, se x VL(α). Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A13).
Exemplos de dedução XIII Teorema (Generalização existencial (GE)) [α] t x x α, se t é admissível para x. Prova. Provaremos [α] t x x α, se t é admissível para x. 1. x α [α] t x (A12) 2. ( x α [α] t x) ( [α] t x x α) (CP1) 3. [α] t x x α (MP 1,2) 4. [α] t x [α] t x (DN2) 5. [α] t x x α (SH 3,4) 6. [α] t x x α (def. de )
Exemplos de dedução XIV Teorema x α x α Prova. Fixado t admissível para x em α 1. x α [α] t x (A12) 2. [α] t x x α (GE) 3. x α x α (SH 1,2)
Regras de inferência derivadas I Uma regra de inferência derivada é uma regra de inferência que não é dada como parte do sistema dedutivo, mas que constitui uma abreviatura de um teorema previamente provado.
Regras de inferência derivadas II Se Γ α com Γ = {γ 1,..., γ k } finito então acrescentamos a regra γ 1,..., γ k α à nossa lista de regras de inferência. O teoremas acima nos dão várias regras derivadas, todas já conhecidas do cálculo porposicional e que agora valem para fórmulas da lógica de predicados.
Regras de inferência derivadas III (RA) α β, α β α (ID2) β α β (IC) α, β α β (DS) α, α β (EC1) α β α (MT) α β, β α (EC2) α β β (SH) α β, β γ α γ (ID1) α α β (TC) θ (φ ξ) φ (θ ξ)
Regras de inferência derivadas IV (CP1) (CP2) α β β α β α α β (DN1) α α (DN2) α α
Regras de inferência derivadas V (GU) α x α, se x VL(α). (IU) x α [α] t, se t x admissível para x. (GE) [α]t x x α, se t admissível para x. ( / ) x α x α Exercício: x α [α] t x?
Teorema da Generalização Teorema da Generalização (TG). Seja Γ um subconjunto de fórmulas de uma linguagem de primeira ordem tal que a variável x não ocorre livre em nenhuma fórmula de Γ. Se Γ α, então Γ x α.
Exemplo de dedução Teorema S Se α então [α] t x, se t é admissível para x em α. Prova 1. α (teorema) 2. x α (TG em 1) 3. x α [α] t x t admissível para x em α (A12) 4. [α] t x (MP 2,3)
Exemplo de dedução Teorema Se α β e x α então x β. Prova 1. α β (teorema) 2. x α (teorema) 3. x (α β) (TG 1) 4. x (α β) ( x α x β) (A11) 5. x α x β (MP 3,4) 6. x β (MP 2,5)