Este número é racional ou irracional. Se 2. é racional então basta tomar b = c = 2. Vem b c = 2. é irracional, então seja b = = 2, que é racional

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Antônio Álvares
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1 Métodos de demonstração A semântica da lógica clássica é baseada na noção de verdade. E em particular cada proposição é absolutamente verdadeira ou falsa. Isso traduzse pelo princípio do terceiro excluído: p p. Mas isto não nos dá muita informação... Mostrar que existem irracionais b e c tal que b c é racional Dem. Demonstração por casos:seja 2 2. Este número é racional ou irracional. Se 2 2 é racional então basta tomar b = c = 2 Se 2 2 é irracional, então seja b = 2 2 e c = 2. Vem b c = = 2 2 = 2, que é racional Mas afinal quais são esses valores?a demonstração não é constructiva... DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 1

2 Intuicionismo Uma proposição só é verdadeira ou falsa, se nós soubermos porquê que isso acontece... ou seja se podermos ter uma demonstração construtiva dela... A semântica duma proposição deve basear-se na noção de demonstração: uma fórmula é verdadeira se tivermos uma construção para uma demonstração dela... e esta noção estende-se para as conectivas (BHK): Uma construção de α β consiste numa construção de α e numa construção de β Uma construção de α β consiste numa construção de α ou numa construção de β Uma construção de α β é um método de transformar qualquer construção de α numa construção de β Uma construção de α é um método de transformar qualquer construção de α num objecto não que existe (ou seja α α ) (RA) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 2

3 Mostrar que p p (ou p ((p ) ) é uma tautologia intuicionista: Dada uma demonstração de p, podemos obter uma demonstração para ((p ) ): Seja uma demonstração para (p ), isto é, um método de transformar demonstrações de p em demonstração de. Como temos uma demonstração para p podemos ter uma demonstração para Mas p p não é uma tautologia intuicionista: o facto de não termos uma demonstração para p não nos permite concluir que tenhamos uma demonstração para p... E, do mesmo modo p p não é uma taulogogia!... em geral não é garantido que se tenha uma demonstração para p ou uma para p. A lógica intuicionista obtêm-se da lógica clássica,p.e, retirando a regra E do sistema NK 0... DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 3

4 Regras estruturais para sequents Permitem uma manipulação explicita das hipóteses numa dedução. Num sequent Γ, Γ e devem ser considerados sequências (listas) de fórmulas. Enfraquecimento Γ Θ α,γ Θ W L Γ Θ Γ Θ,α W R Contração Permutação α,α,γ Θ α,γ Θ CL Λ,α,β,Γ Θ Λ,β,α,Γ Θ XL Γ Θ,α,α Γ Θ,α CR Γ Θ,α,β,Λ Γ Θ,β,α,Λ XR DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 4

5 Com as regras estruturais, no cálculo LK 0 podem-se considerar os contextos sequências e : Os contextos de cada uma das premissas duma regra não necessitam de ser iguais: pode-se usar WL ou WR. o Axioma pode ser da forma α α Na lógica intuicionista, num sequent Γ, tem no máximo uma fórmula. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 5

6 Dedução Natural Intuicionista, NJ 0 α α Ax Γ α Γ,α α W Γ,α,α α Γ,α α C Γ,α,β, α Γ,β,α, α X Γ α β Γ, α β I Γ α β Γ α E 1 Γ α β Γ β E 2 Γ α Γ α β I 1 Γ β Γ α β I 2 Γ α β,α γ,β γ Γ, γ E Γ,α β Γ α β I Γ α α β Γ, β E Γ Γ α E DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 6

7 A negação pode ser definida por α = α Mostrar que NJ0 p p mas não p p... As equivalências das leis de DeMorgan deixam de ser válidas... Mostrar que p p não é derivável A última regra seria uma das E. Mas então ou p ou p é derivável. p não é derivável. Para p, ou seja p, a última regra é I, mas nenhuma regra concluí, p. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 7

8 Cálculo de sequents intuicionista, LJ 0 α α Ax Γ α Γ,α,α α Γ,α α W Γ,α α C Γ α,α α Γ, α Corte Γ,α,β, α Γ,β,α, α X Γ Γ α Γ,α β Γ,α α β L 1 Γ,α β Γ,α α β L 2 Γ α β Γ, α β R Γ,α β,α β Γ,,α α β L Γ β Γ α β R 2 Γ α Γ α β R 1 Γ α,β α Γ,,α β α L Γ α Γ, α L Γ,α β Γ α β R Γ,α Γ α R DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 8

9 Proposição 2.1. p p (Ax) ( L) p, p p p ( R) p p ( R) Γ LJ0 α se e só se Γ NJ0 α Dem. Na transformação usa-se uma versão da regra do corte para NJ 0 : que é obtida de : Γ α, α α Γ, α Subs. Γ α.,α α α α I Γ, α E DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 9

10 ( L 1 ) π Γ,α α Γ,α β α transforma-se em α β α β (Ax) α β α E Γ,α β α N(π) Γ,α α Subs DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 10

11 ( L) π Γ α π,β α Γ,,α β α transforma-se em: α β α β (Ax) Γ,α β β N(π) Γ α E Γ,,α β α N(π ),β α Subs etc... DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 11

12 Transformam-se deduções sem regra do corte em transformações com Subs Para as regras à direita, usa-se a regra do corte...mas as deduções naturais podem-se normalizar eliminando todas as aplicações consecutivas duma introdução e duma eliminação para a mesma conectiva. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 12

13 Normalização em NJ 0 (sem sequents...) [α] (1) [β] (2) α α (1) β β (2) (α α) (β β) α α Simplifica para: [α] (1) α α (1) [α] (3) [α α] (1) α α (3) β α α (2) (α α) β α α β α α Simplifica para: [α] (3) α α (3) β α α (2) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 13

14 Regra de normalização para ( I) Σ β [β] (i) Π α β α (i) α Σ β Π α DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 14

15 Semântica para a lógica intuicionista Os sistemas dedutivos apresentados são íntegros para a semântica dos valores de verdade {, } da lógica clássica...mas não são obviamente completos... Não existem semânticas para a lógica intuicionista baseadas num qualquer número finito de valores de verdade... Podem-se modificar as álgebras boolenas usadas para a lógica clássica, para outras álgebras (de Heyting) que permitem mostrar a completude dos distemas dedutivos apresentados... O que é necessário é introduzir a noção de parcialidade Vamos ver uma semântica baseada em mundos possíveis ou estados de informação... DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 15

16 Semântica de Kripke Seja F uma estrutura (X,, =) tal que: (X, ) é uma ordem parcial = é uma relação binária em X V ar tal que para todo x, y X, se x = p e x y então y = p. Se x = p diz-se que p é forçada em p. A relação = estende-se ao conjunto das fórmulas: x = α β sse x = α e x = β x = α β sse x = α ou x = β x = α β sse para todo o y, x y, y = α então y = β x = α sse para todo o y, x y, y = α x = para todo o x DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 16

17 E ainda: x = Γ β sse para toda α Γ, x = α, então x = β. Uma fórmula α é forçada em F se todo o x X força α α é intuicionisticamente válida se é forçada em qualquer estrutura F Teorema 2.1. (monotonia) Se x = α e x y então y = α Proposição 2.2. x = α sse x = α Proposição 2.3. que u = α x = α sse para todo o y, x y, existe u, y u tal α α é intuicionisticamente válida x = α α sse para todo y, x y, y = α então y = α (pois...) α α é intuicionisticamente válida x = α α sse para todo y, x y, y = α então y = α. E y = α sse para todo u, y u existe v, u v e v = α. O que é verdade, por transitividade de e monotonia. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 17

18 p p não é intuicionisticamente válida x = p p, sse para todo y, x y, y = α então y = α. Isto é,sse, para todo o u, y u, existe v, u v, v = α implica y = α. Por exemplo, tomar a estrutura ({0, 00}, (0 00), =) com 00 = p. Do mesmo modo, p p não é intuicionisticamente válida Teorema 2.2. (integridade) Se Γ α é derivável em NJ 0 então Γ α é intuicionisticamente válido. Teorema 2.3. (completude) Se Γ α é intuicionisticamente válido, então NJ0 Γ α. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 18

19 [?] Cap.3: [?]Cap 2, 7 [?] Leituras DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 2 19

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