FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. No referencial ortonormado da figura seguinte, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de centro O 00,. O vértice C tem coordenadas,. (5).. Justifique que a mediatriz de AC contém os pontos B e D e mostre que a equação reduzida dessa mediatriz é y x. A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos do segmento AC. Ora, como [ABCD] é um quadrado sabemos que BA BC DC DA = lado do quadrado. Portanto, os pontos B e D pertencem à mediatriz de AC. Como C,, então A,, pois é o simétrico de A em relação à origem do referencial, uma vez que o centro do quadrado coincide com a origem. Portanto, a equação da mediatriz é x y x y x 8x 6 y 6y 9 x 8x 6 y 6y 9 8 6 8 6 6y 6y 8x 8x y 6x y 6x y x y x y Esta é a equação reduzida da mediatriz de AC, quer dizer, da reta BD. x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
(8).. Escreva a equação da circunferência e mostre que os pontos B e D têm coordenadas, e,, respetivamente. Equação da circunferência: 0 0 Raio: Para mostrar que B, e x y OC x y 5 OC 0 0 6 9 5 5 ou calcular OC D, podemos usar, pelo menos, dois processos:.º processo: Uma reta e uma circunferência têm, no máximo, dois pontos comuns. B, pertence às duas curvas. Vejamos se 5 9 6 5 P.V. P.V. Vejamos se D, pertence às duas curvas. 5 9 6 5 P.V. P.V. Portanto, B e D são os pontos comuns à circunferência e à reta BD..º processo: Resolver o sistema com as equações das duas curvas. (ver Versão ). (5).. Determine a equação reduzida da reta BC e indique uma condição que represente a região sombreada. A região sombreada está acima da reta BC e dentro da circunferência. Comecemos por descobrir a equação reduzida de BC: y mx b 7 m BC 7 ou BC C B, 7 Como C, é um ponto da reta temos 7 b Portanto, a equação reduzida de CD é y7x 5. B, e C, v 7 e mbc 7 v 8 b b 5 Assim, a região sombreada é definida por y x x y 7 5 5 (5).. Determine as coordenadas de todos os vetores colineares com OC e que têm norma 0. Qualquer vetor colinear com OC C O, Portanto, v k, k, k. Como pretendemos que 0 6k 9k 0 Assim, se é da forma v koc, com k. v, temos k k 5k 0 0 00 k 5 k temos o vetor v, 8, 6 k temos o vetor simétrico v 86, se k k Portanto, só estes dois vetores são colineares com OC, k e têm norma 0. Outro processo: Ver Versão. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
. No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte estão representados: - uma esfera de centro C e diâmetro [OA], sendo 006,, as coordenadas do ponto A; - um plano que interseta a esfera e é paralelo ao plano coordenado xoy; - um ponto B de coordenadas 5, 0, 5, comum ao plano e à superfície da esfera. (0).. Diga, justificando, qual das condições seguintes define a esfera. (A) x y z 9 (B) x y z 9 (C) x y z 6 (D) x y z 9 d Trata-se da esfera de centro 0, 0, e raio r. Portanto, a condição que define a esfera é (B) x y z 0 0 (8).. Sabendo que [BD] é um diâmetro da esfera, determine as coordenadas do ponto D. Como [BD] é um diâmetro da esfera e B está na superfície da esfera, então D C BC. Temos BC C B 0, 0, 5, 0, 5 5, 0, Assim, D 0, 0, 5, 0, 5, 0, Outros processos: C é o ponto médio de [BD]. Ou D B BC (5).. Justifique que o plano tem equação z 5 e calcule a área da interseção da esfera com esse plano. Como é paralelo a xoy tem uma equação do tipo z qualquer do plano). Sabemos que B 0, 5, 5 c (sendo c a cota de um ponto é um ponto do plano, então o plano tem equação z 5. x y z 9 z 5 A interseção do plano com a esfera é o círculo definido por: Substituindo y na condição da esfera obtemos Trata-se do círculo de centro 0, 0, 5 e raio r 5. Outro processo: ver Versão Assim, a área desse círculo é x y 5 9 x y 5 5 5 unidades quadradas. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
(0).. Admita agora que o plano, partindo do ponto O, se desloca até ao ponto A. Seja g a função que a cada valor da cota c do plano faz corresponder a área a da secção produzida na esfera pelo plano. Diga, justificando, qual dos seguintes pode ser o gráfico da função g? A ordenada de P varia entre 0 e 6. Assim, Dg 0, 6. Portanto, não pode ser o gráfico D. A área da secção obtida é máxima para c, quando o plano passa pelo centro da esfera, diminuindo novamente até zero à medida que c se aproxima de 6. Assim, só o gráfico A representa a área da seção produzida pelo plano.. No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte está representado um octaedro regular [ABCDEF] cujo centro coincide com a origem do referencial. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
(8).. Usando as letras (pontos) da figura, indique, justificando, dois vetores simétricos. Como temos um octaedro regular, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Assim, como [ABCD] é um quadrado os lados opostos são paralelos. Portanto, os vetores AB e CD (por exemplo) são simétricos. (5).. Efetue as operações seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. Apresente os raciocínios efetuados. (A) AEC... = A AF F (B) DE FD... = DE DF DE EB DB (C) D FO EB... = D FE EB = D FB = D DE = E (5).. Sabendo que o ponto A tem coordenadas 00,,, mostre que 0 0 0 x,y,z,, k,,, k é uma equação vetorial da reta AD e averigue se o ponto 60,, pertence a AD. Uma equação vetorial de AD é da forma P A k AD, k. Temos A 00,, e D 0,, 0, portanto AD D A 0,, 0, 0, 0,, 0 Portanto, uma equação de AD é 0 0 0 O ponto 60 x,y,z,, k,,, k,, pertence à reta AD se e só se ' k :, 6, 0, 0, 0 k,, 0 Assim,, 6, 0 k, k, 0 k 6 k 0 0 k 6 k 0 0 k k 0 0 Logo, como não existe um k único, 60,, não é ponto da reta AB. ().. Unindo os pontos médios das arestas que se encontram no vértice B obtém-se o quadrilátero [PQRS], conforme ilustra a figura da direita. Diga, justificando, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa: VolumeAECFB Volume PQRSB Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/7 Versão
[AECFB] e [PQRSB] são pirâmides quadrangulares regulares (e semelhantes). A 00,, e E 0, 0, Lado AE 0 0 0 0 6 6 A pirâmide quadrangular [AECFB] tem base de área AE e altura OB. 8 Volume AECFB Assim, Temos PQ AE, porque unindo os pontos médios dos lados de um triângulo obtemos um segmento paralelo ao terceiro lado e com metade do seu comprimento (Questão Aula). A pirâmide [PQRSB] tem base de área PQ 8 6 Assim, Volume PQRSB 8 VolumePQRSB 6 6 Portanto,, e a afirmação é falsa. Volume AECFB 8 8 Outro processo: Ver Versão 8 OB e altura.. No referencial da figura abaixo estão representadas várias parábolas identificadas por f, f, f e f, sendo a função f definida por f x x. Todas as parábolas têm a mesma abertura, isto é, a. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/7 Versão
().. Escreva a expressão algébrica que define cada uma das funções na forma y ax h k. Nota: recordar que a expressão f x ax h k representa a família de parábolas que têm a mesma forma (ou abertura), que é dada por a, e vértice no ponto V h,k. f tem vértice V, e concavidade contrária à de f, isto é a. Assim: f x x Portanto, tem expressão f tem vértice V 50, e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. f x x 5 Portanto, tem expressão f tem vértice V, e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. f x x (0).. Para a função f, indique: o domínio, o contradomínio, os extremos e os intervalos de monotonia. Domínio: Portanto, tem expressão Df Contradomínio: D f, Tem apenas um máximo (absoluto): y 0 É crescente em,5 e decrescente em 5, 0 (0).. Indique, caso existam, os zeros de f e construa o quadro de sinais da função. A função f tem dois zeros: x 5 e x Tabela de sinais x - -5 - + f x 0 + 0 ().. Seja g uma função cujo gráfico tem a mesma abertura do gráfico de f, definida por: g x x x Transforme a expressão de g numa expressão do tipo g x ax h k e indique a equação do eixo de simetria e as coordenadas do vértice da parábola de g. g x x x Portanto, x x colocando a em evidência x x somando e subtraindo o quadrado de metade de x x x reconstruindo o quadrado x distribuindo a simplificando a expressão x é a equação do eixo de simetria do gráfico de g cujo vértice é V, BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/7 Versão