Parte 2 - Espaços Vetoriais

Espaço Vetorial: Parte 2 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado soma de u e v. 2. Uma multiplicação por escalar que associa a cada objeto v de V e escalar k (entendido como um número, real ou complexo) um único objeto k v, denominado múltiplo de v por k. O conjunto V acima será denominado um espaço vetorial e seus objetos serão chamados de vetores se as dez propriedades abaixo se verificarem para quaisquer vetores u, v, w e quaisquer escalares α, β. Propriedades da Adição 1. V é fechado sob a adição; isto é, se u, v V então u + v V ; 2. u + v = v + u; 3. ( u + v) + w = u + ( v + w); 4. V possui um elemento neutro da adição, denominado vetor nulo 0; isto é, u + 0 = u para todo u V ; 5. Para cada u V existe um elemento oposto u V ; isto é, u + ( u) = 0 para todo u V. Propriedades da Multiplicação por Escalar Espaço R n : 1. V é fechado sob a multiplicação por escalar; isto é, se u V e α é um escalar, então α u V ; 2. α( u + v) = α u + α v; 3. (α + β) u = α u + β u; 4. α(β u) = (αβ) u; 5. 1 u = u. Se n é um inteiro positivo, definimos o espaço euclidiano real R n como sendo o espaço vetorial formado pelo conjunto das n-uplas ordenadas v = (v 1,..., v n ), onde v 1,..., v n são números reais. O vetor 0 = (0,..., 0) é o vetor nulo desse espaço vetorial e corresponde à origem ou zero do 1

R n. Um vetor v pode ser representado em um sistema de coordenadas, colocando seu ponto inicial na origem e considerando as coordenadas de seu ponto terminal, denominadas componentes do vetor v = (v 1,..., v n ). Assim, dois vetores são equivalentes se as suas componentes forem iguais. Se v = (v 1,..., v n ) e w = (w 1,..., w n ) são vetores no R n e k R é um escalar qualquer, então: 1. v + w = (v 1 + w 1,..., v n + w n ) 2. k v = (kv 1,..., kv n ) 3. v = ( v 1,..., v n ) 4. v w = v + [ w] = (v 1 w 1,..., v n w n ) Subespaços: Um vetor w = (w 1,..., w n ) V é uma combinação linear dos vetores v 1,..., v k se ele pode ser escrito na forma são chamados de coeficientes da com- em que os escalares c 1,..., c k binação linear. w = c 1 v 1 +... + c k v k, Um conjunto não vazio W contido em um espaço vetorial V é chamado de subespaço de V se ele é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Sejam v 1,..., v s vetores do V. O conjunto das combinações lineares desses vetores, v = c 1 v 1 +... + c s v s, forma um subespaço de V. De fato, tal conjunto é não vazio porque o vetor zero 0 = 0 v 1 +... + 0 v s é uma combinação linear dos vetores v 1,..., v s ; além disso, a soma de duas combinações lineares e a multiplicação de uma combinação linear por um escalar continuam sendo combinações lineares. Tal subespaço é denominado subespaço gerado pelos vetores v 1,..., v s e denotado por [ v 1,..., v s ]. 2

Exemplos: Conforme o número de vetores que geram um subespaço, podemos ter no R 2 : 1. A origem (zero vetores) 2. Uma linha reta pela origem (um vetor) 3. O plano R 2 (dois vetores) Conforme o número de vetores que geram um subespaço, podemos ter no R 3 : 1. A origem (zero vetores) 2. Uma linha reta pela origem (um vetor) 3. Um plano pela origem (dois vetores) 4. O espaço R 3 (três vetores) Também pode ser mostrado que o espaço das soluções de um sistema linear homogêneo Ax = 0 com n incógnitas é um subespaço do R n. Dependência Linear: Um conjunto não nulo de vetores S = { v 1,..., v s } V é dito ser linearmente independente (LI) se os únicos escalares que satisfazem a equação vetorial c 1 v 1 +... + c s v s = 0 são c 1 =... = c s = 0. Equivalentemente, podemos dizer que o sistema linear homogêneo formado pelos vetores só admite a solução trivial. O conjunto S será linearmente dependente (LD) se houver um ou mais escalares não nulos que satisfazem a equação acima. Nesse caso, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais. Base: Um conjunto de vetores num espaço vetorial V é dito ser uma base para V se esse conjunto é linearmente independente e gera o espaço V. 3

Seja S = { v 1,..., v k } uma base para V. Então cada vetor v pode ser expresso de maneira única como combinação linear dos vetores de S. De fato, se v = a 1 v 1 +... + a k v k e v = b 1 v 1 +... + b k v k, então 0 = (a 1 b 1 ) v 1 +... + (a k b k ) v k. Como S é base, os vetores { v 1,..., v k } são LI de modo que os coeficientes na expansão acima devem ser todos nulos, isto é, a 1 = b 1,..., a k = b k. O conjunto de vetores C = { e 1,..., e n } no R n definido por { } xk = 1, se k = i, e i = (x 1,..., x k,..., x n ) = x k = 0, se k i forma uma base para o R n, denominada base canônica. De fato, 1. C é LI c 1 e 1 +...+c n e n = 0 (c 1,..., c n ) = (0,..., 0) c 1 =... = c n = 0 2. R n = [C] Dimensão: x = x 1 (1, 0,..., 0) +... + x n (0, 0,..., 1) = x 1 e 1 +... + x n e n Se V é um espaço vetorial não vazio, então existe uma base para V com no máximo n vetores. Além disso, todas as bases de V têm o mesmo número de vetores. Esse número comum a todas as bases é característica do espaço vetorial V e denomina-se dimensão de V, sendo denotado por dim(v ). Assim, 1. O subespaço nulo { 0}, definido como a origem do R n, tem dimensão 0. 2. Uma linha reta através da origem do R n tem dimensão 1. 3. Um plano através da origem do R n tem dimensão 2. 4. O R n tem dimensão n. 4

Se V é subespaço de W, então dim(v ) dim(w ). A igualdade se verifica se e somente se dim(v ) = dim(w ). Transformação Linear: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma função T : V W é chamada de transformação linear de V para W se, para todos os vetores u, v V e todo escalar α: 1. T (α u) = αt ( u) (homogeneidade) 2. T ( u + v) = T ( u) + T ( v) (aditividade) No caso especial em que V = W, a transformação T é chamada de operador linear. Seja T : R n R m uma transformação linear e suponha que vetores são expressos como matrizes coluna. Se e 1,..., e n são os vetores unitários padrão 1 do R n e x R n, então T ( x) pode ser expresso por onde T ( x) = A x, A = [ T ( e 1 )... T ( e n ) ] = [T ] m n é a matriz da transformação linear T. Núcleo: O conjunto de vetores x que são anulados por uma transformação linear T, isto é, T ( x) = 0, é denominado núcleo de T e denotado por ker(t ). Pode ser facilmente demonstrado que o núcleo de uma transformação linear é um subespaço de seu domínio. Se A for a matriz de uma transformação linear T, então o núcleo de T corresponde ao espaço solução do sistema homogêneo A x = 0, também chamado de espaço nulo da matriz A. Imagem: O conjunto de vetores b = T ( x) que são imagem de pelo menos um elemento x do domínio de uma transformação linear T é denominado imagem de T e denotado por Im(T ). 1 Os vetores e i possuem a i-ésima componente igual a 1 e todas as demais nulas. 5

Pode ser facilmente demonstrado que a imagem de uma transformação linear é um subespaço de seu contradomínio. Se A for a matriz de uma transformação linear T, então a imagem de T corresponde ao espaço gerado pelas colunas de A, isto é, o conjunto dos vetores b que tornam o sistema A x = b compatível. Injeção e Sobrejeção: Seja T : V W uma transformação linear. Então 1. T é injetora se mapeia vetores distintos de V em vetores distintos de W, isto é, ker(t ) = { 0}; 2. T é sobrejetora se todo vetor em W é imagem de ao menos um vetor em V, isto é, T (V ) = W. Sob o ponto de vista matricial, podemos reescrever o resultado acima para a transformação linear T : R n R m como 1. T é injetora se e somente se o sistema homogêneo A x = 0 só admite a solução trivial; 2. T é sobrejetora se e somente se o sistema A x = b é compatível para todo b R m. Uma transformação injetora e sobrejetora é chamada de bijetora. Uma transformação linear é invertível se e somente se ela é bijetora. Operadores Lineares: Um operador linear T : V W é injetor se e somente se é sobrejetor. Se T é um operador linear injetor então sua matriz associada [T ] é invertível e sua inversa é a matriz associada ao operador T 1. Exercícios 1. Prove que é espaço vetorial. (a) R n com as operações usuais; (b) o conjunto F (, + ) das funções reais de uma variável real com as operações usuais. 2. Prove que é espaço vetorial. 6

(a) o espaço M m n (R) das matrizes reais m n com as operações usuais; (b) o conjunto R + dos números reais positivos com as operações: u v = uv; α u = u α 3. Sejam u = ( 3, 1, 2, 4, 4), v = (4, 0, 8, 1, 2) e w = (6, 1, 4, 3, 5). Ache as componentes de (a) v w (b) 6 u + 2 v 4. Sejam u = (1, 2, 3, 5, 0), v = (0, 4, 1, 1, 2) e w = (7, 1, 4, 2, 3). Ache as componentes de (a) v + w (b) 3(2 u v) 5. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do R 3. (a) Todos os vetores da forma (a, 0, 0). (b) Todos os vetores com componentes inteiros. (c) Todos os vetores (a, b, c) para os quais b = a + c. (d) Todos os vetores (a, b, c) para os quais a + b + c = 1. 6. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do R 3. (a) Todos os vetores com exatamente um componente não nulo. (b) Todo vetor x com x 1. (c) Todos os vetores da forma (a, a, c). (d) Todos os vetores (a, b, c) para os quais a + b + c = 0. 7. Caracterize os vetores u e v abaixo como LI ou LD. (a) u = ( 2, 8, 4), v = (1, 4, 2) (b) u = (6, 9, 3, 3), v = (2, 3, 1, 0) 8. Caracterize os vetores u e v abaixo como LI ou LD. 7

(a) u = (1, 0, 3), v = (2, 0, 0) (b) u = (1, 2, 3, 0), v = (2, 4, 6, 0) 9. Caracterize os vetores abaixo como LI ou LD. (a) v 1 = ( 3, 0, 4), v 2 = (5, 1, 2), v 3 = (1, 1, 3) (b) v 1 = (2, 5, 4), v 2 = (0, 6, 2), v 3 = (2, 1, 8), v 4 = (4, 3, 7) 10. Caracterize os vetores abaixo como LI ou LD. (a) v 1 = (0, 0, 2, 2), v 2 = (3, 3, 0, 0), v 3 = (1, 1, 0, 1) (b) v 1 = (0, 0, 2, 2), v 2 = (3, 3, 0, 0), v 3 = (1, 1, 0, 1), v 4 = (4, 4, 2, 1) 11. Determine uma base para o espaço solução do sistema linear homogêneo { } 3x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0. 5x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 Qual é a dimensão do espaço solução? 12. Determine uma base para o espaço solução do sistema linear homogêneo x 1 x 2 + x 3 = 0 2x 1 x 2 + 4x 3 = 0 3x 1 + x 2 + 11x 3 = 0 Qual é a dimensão do espaço solução? 13. Seja T (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 2, 3x 1 ). Determine: (a) o domínio de T ; (b) o contradomínio de T ; (c) a imagem de x = (1, 2) sob a ação de T.. 14. Seja T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 2x 2, x 1 2x 2 ). Determine: (a) o domínio de T ; (b) o contradomínio de T ; (c) a imagem de x = (0, 1, 4) sob a ação de T. 8

15. Quais das transformações abaixo são lineares? (a) T (x, y) = (2x + y, x y) (b) T (x, y) = (x + 1, y) (c) T (x, y) = (x, 0) 16. Quais das transformações abaixo são lineares? (a) T (x, y) = (2x, y) (b) T (x, y) = (x 2, y) (c) T (x, y) = (y, y) 17. Dada a matriz [T ] = transformação linear T. 18. Dada a matriz [T ] =, encontre uma expressão para a transformação linear T. 2 1 4 3 5 7 6 0 1 1 1 2 4 7 8, encontre uma expressão para a 19. Dada a transformação linear T (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 + x 3, x 2 + x 3, 0), encontre a matriz [T ]. 20. Dada a transformação linear T (x 1, x 2, x 3 ) = (4x 1, x 2 + x 3 ), encontre a matriz [T ]. 21. Ache o núcleo da transformação linear T (x, y, z) = (x z, y z, x y, x + y + z). 22. Ache o núcleo da transformação linear T (x, y, z) = (x + 2y + z, x y + z). 23. Determine se w = (3, 3, 0) está na imagem do operador linear T (x, y, z) = (2x y, x + z, y z). 9

24. Determine se w = (1, 2, 1) está na imagem do operador linear T (x, y, z) = (x y, x + y + z, x + 2z). 25. Considere a transformação linear T (x, y) = (x y, 2x, 3x 4y). (a) Ache a matriz [T ]. (b) T é injetora? (c) T é sobrejetora? 26. Considere a transformação linear T (x, y, z) = (x + 2y + 3z, x 4z). (a) Ache a matriz [T ]. (b) T é injetora? (c) T é sobrejetora? Respostas 1. (a) (b) 2. (a) (b) 3. (a) v w = ( 2, 1, 4, 2, 7) (b) 6 u + 2 v = ( 10, 6, 4, 26, 28) 4. (a) v + w = (7, 5, 5, 1, 5) (b) 3(2 u v) = (6, 0, 15, 27, 6) 5. (a) Sim (b) Não (não é fechado sob a multiplicação por escalar) (c) Sim (d) Não (não é fechado sob a adição ou multiplicação por escalar) 6. (a) Não (não possui o zero) (b) Não (não é fechado sob a multiplicação por escalar) (c) Sim 10

(d) Sim 7. (a) LD (b) LI 8. (a) LI (b) LD 9. (a) LI (b) LD (conjunto com mais de 3 vetores no R 3 ) 10. (a) LI (b) LD 11. {( 1, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}; dim(v ) = 2. 4 4 12. {( 3, 2, 1)}; dim(v ) = 1. 13. (a) R 2 ; (b) R 3 ; (c) T (1, 2) = ( 1, 2, 3). 14. (a) R 3 ; (b) R 2 ; (c) T (0, 1, 4) = ( 2, 2). 15. (a) Sim (b) Não (c) Sim 16. (a) Sim (b) Não (c) Sim 17. T (x 1, x 2, x 3 ) = ( 2x 1 + x 2 + 4x 3, 3x 1 + 5x 2 + 7x 3, 6x 1 x 3 ) 18. T (x 1, x 2 ) = ( x 1 + x 2, 2x 1 + 4x 2, 7x 1 + 8x 2 ) 11

19. [T ] = 20. [T ] = 2 1 1 0 1 1 0 0 0 [ 4 0 0 0 1 1 ] 21. ker(t ) = { 0} 22. ker(t ) = t 1 0 1 23. Sim. w = T (2, 1, 1). 24. Sim. w = T ( 7 3, 4 3, 5 3 ). 25. (a) [T ] = (b) Sim. (c) Não. 26. (a) [T ] = (b) Não. (c) Sim. 1 1 2 0 3 4. [ 1 2 3 1 0 4 ]. 12