GRITO Matemática Etensivo V. 6 Eercícios 0) E 0) 0) omo essas retas são perpendiculares, temos que o coeficiente angular de uma das retas é o oposto e inverso da outra, ou seja, m reta. m reta a + a a a + a a + a + a a I. Verdadeiro. Note que, portanto é isósceles. II. Falso. Para que D, pertença ao segmento, é necessário que ele pertença à reta, que tem equação:. ( ) 0 0. ( 0) 0, mas se,, logo D não pertence ao segmento. III. Falso. equação da reta é dada por:. ( ). ( ). ( ) + + omo P é eqüidistante dos eios coordenados, as coordenadas de P são da forma (a, a) ou (a, a), a R. Sendo P um ponto da reta r, temos: a a+ a 0 0 ou ou a+ ( a) 0 0 a Logo P, ou P (, ). lem disso, a reta r de equação + 0 0 + 0 possui coeficiente angular e portanto, o coeficiente angular das retas perpendiculares a ela é:. ssim, há duas retas nas condições do enunciado: uma adimite equação. ( ) 0 6 0 e a outra admite equação. ( + ) 0 0 0) I. Verdadeiro. Os coeficientes angulares das retas O e O são: m O 0 6 0 m O 6 0 0 De fato, m O, ou seja, são perpendiculares. m O II. Falso. Por I temos que m O. Por outro lado, m O 6 0 0. O ângulo formado pelos segmentos de reta O e O é: mo mo tg θ 6 + mo. mo + ( ). 9 6 8 III. Falsa. + 6+ ( ) m Pm (, ) + + 6 8 m IV. Verdadeiro. D P, O ( ) + ( + ) 0 D P, ( 6) + ( + ) 0 Matemática
GRITO 0) 08) Note que o ângulo θ do coeficiente angular α tg θ está no intervalo [0, 80 ). À medida que a reta inclina no sentido anti-horário até 90, o coeficiente angular aumenta. Porém, se começarmos com θ maior e próimo a 90, o coeficiente angular é negativo, e aproima-se de zero na medida em que aproimamos θ a 80 (lembre-se do gráfico da tangenoide). Logo, a ordem fica: s, r e t. D 06) D 07) omo elas se "cortam" no ponto (, ), temos que: a + e b+ c () I ( II) De (I) a. Mas como elas são perpendiculares, temos que: a b b b. ssim, de (II) temos:. + c c 6 Pelas informações dadas, podemos esboçar o seguinte triângulo: P Esboçando os pontos,, e D no plano, notamos que o ponto D pertence à reta perpendicular ao segmento que passa por, ou seja, a reta, logo, a abscissa de D é. Por outro lado, d D d ( ( )) + ( ) 6. 09) E Portanto, a ordenada do ponto D deve distar unidades do ponto, assim: D +. Portanto, D (, ). H D 0 E No gráfico da apostila, (, 0) e (, 0). Â vem do fato de P ser 90 (pois r s). Logo, do P temos: ateto Oposto tg 0 ateto djacente P. Temos que a área do é: 6. 9. ED 9 e ED.HD Logo, HD 9. Então, D 9, e a reta é m + 6. Substituindo o ponto na reta D : m. ( ) + 6 m. Logo, omo D pertence a, temos: D + 6.. 9 + 6 Matemática
GRITO D, portanto D 9, angular de r é: m r 7 9 7. 0 0) E. Então, o coeficiente Se 0, temos. Logo, os pontos de interseção são 0, e (, 0). om isso, a área do triângulo fica:.. ) asta acharmos a equação da reta r e igualarmos a zero. Para a reta r, usaremos o ponto e o ponto médio entre e. Seja M esse ponto médio: M + + M + Logo, M (, ). + gora, a reta M é dada por: M M M. ( ) M. ( ) 7. ( ) 7 +. Se 0, temos. Logo, r corta o eio em. X O comprimento de (rampa) é dado por: cos 6 m. ) ' ' 7 ' 7 ) asta acharmos a equação da reta e os pontos nos quais ela intercepta os eios e. Note que m, em que m é o coeficiente angular m da reta que passa pelo ponto (, ) e a origem. ssim, m 0 0. Logo, m. Portanto, r : ( ) +. Se 0, temos. Seja r a reta procurada, então m r m m r + + Por outro lado, r passa por c': r: c' m r. ( c' ) (7). ( ()) + + + 0 ) 07 0. Verdadeiro. Note que: d 8 e d 8. Matemática
GRITO 0. Verdadeiro.² + + ² + 0 ( )² 0 (raiz única) 0. Verdadeiro. omo a tangência da reta r com a circunferência tem um raio perpendicular a essa reta, descobriremos a equação da reta s que contém esse raio. Note que m s. Por outro m r 0 0 6 lado, s passa pela origem, logo: s: ( 0) m s. ( 0) s:. O ponto de tangência da circunferência com r é o mesmo ponto de tangência de r com s. omo r: 0. ( 6) r: + ssim, r: + s: Logo,. + 6 Portanto, o ponto de interseção é 6,. Logo, o raio da circunferência é: 6 d 0, (, ) + 6. Portanto, a equação da circunferência é: ² + ² 6. 08. Falso. 0 m sen 0,. Fazemos o cálculo com a altura dos olhos do viajante, que é,80 0,0,70.,0 +,70,0. 0,0,80 ) Temos que descobrir qual é a equação da reta D. Sua inclinação já foi dada: tg m D tg. gora, se encontrarmos as coordenadas de poderemos montar a reta D. Mas note que d d. ssim, e 6) I Por outro lado, r:. ( ). Se 0, temos. ( ). Logo, o ponto (0, ), portanto e assim, por II,. inda de r:. ( ), se 0, temos: 0. ( ). Logo,. ssim, (, 0) e por I,. Portanto, (, ). Logo, D : ( ) m. ( ) D ( ). ( ( )). Se 0, temos e assim,, logo D (, 0). Por fim, d D ( ) +( ) 8 II + + 8 8 que é um número irracional. Do enunciado podemos concluir que o coeficiente angular m r, da reta r é dado por m r tg. ssim, uma possível equação de r é. ( ) e, portanto, + (I). omo s é perpendicular a r, temos m s. ssim, uma possível equação para s é:. ( ) e, portanto, + 7 (II). solução do sistema formado por (I) e (II) nos dará as coordenadas do ponto : + e + 7 8 Então, (, ). om isso: d O ( 0) + ( 0) cm. Matemática
GRITO Fazendo M, temos que OM. Logo, a hipotenusa do triângulo retângulo mede e os catetos medem e. ssim, por Pitágoras temos: ( )² ² + ² 0 + + 9 6 0,6 Portanto, a área deste triângulo é: 6,., 8) D onstruindo a figura do enunciado, temos: Q 7) Lembre-se de que o ortocentro é a interseção das alturas do triângulo. Façamos primeiro a reta (r) suporte da altura relativa ao vértice (7, ). Para isso, achamos o coeficiente angular que é o oposto inverso do coeficiente angular da reta formada pelos pontos (, ) e (, ), ou seja, m r. ssim, a reta r é dada por:. ( 7). gora fazemos a reta (s) suporte da altura relativa ao vértice (, ). Para isso, achamos o coeficiente angular, que é o oposto inverso do coeficiente angular da reta formada pelos pontos (, ) e (7, ), ou seja, m s 7 6. Logo, s: 6. ( ) s: 6 9. Temos que (a, b) é a interseção de r e s, que é: 6 9 7 0 + 7. 7 7 7. Logo, a 7 e b 7. Portanto: a b. 7. 7 7 + 7. 0 F 60 E D 60 60 60 60 P No O: cos 60 O O O omo PQ //, temos que OP Q 60 e da figura concluímos que: cos 60 OP PQ, portanto PQ 0. PQ 9) D Se um dos pontos que dividem o segmento em m partes iguais pertence ao eio das ordenada, temos, para esse ponto, 0. Então, a razão entre as distâncias do ponto para o ponto da abscissa O e desta para o ponto é: 0 ( 9) 6 ( 9) 9 K K 9 0 6 K Portanto, m deve ser múltiplo de. Matemática
GRITO 0) ) E figura descrita no enunciado: r D E M F omo D é quadrado e sua área é 9 cm², podemos calcular o lado: ² 9 cm. nalisando a figura, vemos que FE é um paralelogramo e é a diagonal do quadrado: cm. omo FE, o ponto E tem coordenadas (0, ). ssim, como r passa por E e tem m r (r // ), temos que: r: +. gora, analisando as alternativas: a) Verdadeiro. r não é paralela a nenhum dos eios e sua forma segmentária é: + (Note que r passa por E (0, ) e pelo ponto (, 0). b) Falso. Para, temos: ( ) +. c) Verdadeiro. + oeficiente linear d) Verdadeiro. Isolando na reta dada: 0, que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. reta que passa pelos pontos (0, ) e (, 0) é: 0. ( 0) + 0 ( ) O centro da circunferência pertence à reta perpendicular a reta + e passa pelo ponto médio do segmento : M,. equação dessa reta tem a forma: + b. + b b 6 +. Sendo tangentes as duas circunferências, os seus centros são alinhados e portanto pertencem à reta que passa pelos pontos, e (0, ): a. ( 0) a. Nessa equação, substituindo e pelas ordenadas do ponto, : a a + O centro da circunferência pertence ao mesmo tempo às retas cujas equações são: + e + + + 6 Matemática
GRITO + + + 6 + 9 e O centro de é o ponto (, ). Logo, o raio r é: r d, (, ) ( 0 ) + ( ) ) V - F - V - V - V. (V) equação da reta r é: b m. ( a) m + b ma. (F) interseção da reta r com o eio das abscissas é o b ponto a,0 e com o eio das ordenadas é m (0, b ma). (V) área do triângulo OPQ é dada por: b a m ( b ma. ) b ab ma m + ab b ma + m ab área do OPQ será maior ou igual que ab se, e somente se, ab, ou seja: b ma + m m²a² + abm + b² 0, ou (ma + b)² 0, que é verdadeira para todo m < 0 e a e b reais positivos. ssim, o menor valor que a área do OPQ pode ter é ab, atingindo quando m b, P (a, 0) e Q (0, b). a ) D ) (s): + 0 + m s Logo, a equação da reta paralela a (s) que passa por (, ) é:. ( ) 0. omo a área é 6, temos que: 6 ² 6. Logo, a diagonal desse quadrado mede: d d 6.. Logo, o produto será:.. ( ). ( ). 9. ) + 0 Note que: (, ) (, + ) E como P ( P, P ) é ponto médio de, temos: P + (I) P + + + + (II) De (I) e (II): + + 0 6 Logo, (, 0) e (, 6), e a equação dessa reta é: ( ) 6 0. ( ). ( ) + + + + 0 Note que o produto dos valores k e t são justamente os coeficientes lineares das retas, ou seja, o ponto no qual elas cortam o eio. Notem também que duas retas têm coeficientes lineares igual a e duas têm coeficientes lineares igual a. Matemática 7
GRITO 6) 0 0. Falso. menor distância em questão é a distância entre o ponto P (, ) e a reta de equação: + 0, que é dada por: d P, r.( ) +.( ) + 8 + 9+ 6 0 0. 0. Falso. O número possível de gabaritos é 0 0. 0. Verdadeiro. O termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton (a + b) 0 é: T p + 0 p. a0 p. b p. Eiste um termo no desenvolvimento do binômio citado que é T 0 p p. 0 p ( ).. Efetuando as potências em p, temos: 7) T 0 p. ( ) T 0 p. 0p p p 0. p. 0p. p 0 Para acharmos o termo independente, o epoente de deve ser zero, ou seja, p 8. ssim: T 0 8. 0. 8 0!!. 8! 0. 9 08. Falso. Se log 0,0, então 0 0,0. multa é 0, pois são 0 dias, então: 0 0, 0 0 ( ) 0 0 0 6,0 > 0 6 000 000. I. Verdadeiro. 7 det 7 6 7. II. Verdadeiro. r: + + m r. s: + 9 + 9 + 9 m s Logo r // s. III. Falso. h 7 r V. π. r². h V π. ². 7 V π. π cm³ 8) reta s que divide o paralelogramo em duas regiões de mesma área deve necessariamente passar pelo ponto de interseção das diagonais e D (ponto médio das diagonais). ssim: M + 6 +, 7, omo a reta s é paralela à reta r, de equação 0, sua equação é do tipo: + k 0. omo o ponto M 7, pertence à reta s, temos que:. 7. + k 0 k Portanto, a equação da reta s é: 0 6 0 0 9) a) 7 b) 9 ( + ) 6 s θ (0,7) θ s θ s ( 7,0) 0 ( 7, 0 a) reta r de equação + 7 intercepta os eios coordenados nos pontos (0, 7) e 7, 0 e forma 0 com o eio,pois seu coeficiente angular é. reta s: + 7 intercepta os eios e nos pontos (0, 7) e (7, 0) e forma com o eio, pois seu coeficiente angular é. No triângulo, temos: θ r θ + θ s 0 θ + θ 7 r ( 8 Matemática
GRITO b) área do é: 7 O. ( 7). 7 9 ( + ) 6 0) a) P b b b( b a),0 a. Q (0, b) e R, b a ( b a) b) a 8, b e c b a 6. a) onsiderando a figura dada, a equação da reta PQ é a + b, com a < 0 e b > 0, e uma equação da reta OR é c, com c > 0. ssim, em PQ, 0 b e 0 b a, ou seja, Q (0, b) e P b a,0. Finalmente, R (, ) é a interseção de PQ e OR, ou seja: b a+ b c a c bc c a E, sendo b a média aritmética dos coeficientes a e b, temos b a+ c c b a e b b( b a) R, b a ( b a). b) omo a área do ΔOPQ é e a área do ΔOPR é o dobro da área do ΔOQR, as áreas dos ΔOPR e ΔOQR são, respctivamente e. Portanto, lembrando que a< 0 e b > 0: b.. b a b a b. b..( ) b.( ba) b a b a a 8 ab b Ou seja, a 8, b e c b a 6. ) Por outro lado, m r tg θ r tg 60. ssim, r tem equação: ( ). ( ()) + + + equação da reta r é dada por: 0. ( 0) + 0 0 ( ) equação da reta s paralela ao eio e que passa pelo ponto Q (, ) é. omo é o ponto de interseção da reta s com o eio das abscissas, então (, 0). O ponto de interseção das retas r: + 0 e (s), logo: + 0 (, ) (,) (,0) No triângulo da figura, tem-se: ()² 6² + ². Logo, o perímetro é: 6 + +. ( + ). ) E omo o ponto P tem abscissa igual a e pertence à parábola, podemos descobrir o valor que f assume nesse ponto: f() ()² + ( + ). (). Logo, P (, ). Matemática 9
GRITO ) s: + 0 ) D s (r) (s) b α r 6 Q R α equação proucurada da reta tem a forma s: + b com b > 0, pois ela é paralela à reta r e não intercepta o o quadrante. distância do ponto P (0, b) para a reta r é igual a, portanto, do gráfico, cos α b. sec α b b tg α + + ) Daí, segue a equação da reta s: s: + + 0 0 θ s P 7 reta s: 0 tem coeficiente angular m s θ s, e contém a diagonal PR do quadrado PQRS, cujos lados são paralelos aos eios coordenados. Os pontos Q (, 6) e S são pontos da reta r, perpendicular à s, simétricos em relação à reta s, resultando S (7, ). distância d de S à origem é: d 7 + 8 S P (,) O gráfico de r é parecido com o esboço acima. O que nos resta é verificar se P pertence a alguma das equações das alternativas da questão: a) Falso. + 0. () +. 0 6 + 6 0 0 0 b) Verdadeiro. + 0. +. 0 0 0 0 c) Falso. + 0. +. 0 6 + 6 0 0 7 0 d) Falso. 6 + 9 0 6. + 9. 0 + 7 0 6 0 Logo, P (, ) pertence à reta de equação + 0. 0 Matemática