NOÇÕES DE PROBABILIDADE prof. Adré Aparecido da Silva adrepr@yahoo.com.br 1
TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidades busca estimar as chaces de ocorrer um determiado acotecimeto. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimetos ou feômeos aleatórios. 2
Experimeto Aleatório Experimeto aleatório é um procedimeto cujo resultado é icerto Exemplos: Jogar uma moeda Sortear um úmero iteiro de um a cem Laçar um dado 3
Espaço amostral ou de probabilidades O cojuto de todos os possíveis resultados de um experimeto aleatório é o espaço amostral S Jogar uma moeda S {cara, coroa} Sortear um úmero iteiro de um a cem S {1,2,...,100} Laçar um dado S {1,2,3,4,5,6} 4
Eveto Eveto é qualquer subcojuto do espaço amostral E {cara} sortear cara E {25, 27, 26} sortear o. etre 24 e 28 E {3, 5, 1} laçar o. impar o dado 5
Resumido... Experimeto aleatório: É um experimeto que pode apresetar resultados diferetes, quado repetido as mesmas codições. Espaço amostral: É o cojuto de todos os resultados possíveis de um experimeto aleatório. Idicamos o espaço amostral por Ω. Eveto: Chama-se eveto a qualquer subcojuto do espaço amostral. Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quado seus elemetos têm a mesma chace de ocorrer. 6
2. Evetos certo, impossível e mutuamete exclusivos Eveto certo: Ocorre quado um eveto coicide com o espaço amostral. Eveto impossível: Ocorre quado um eveto é vazio. 7
Exemplos: Ex.: 1 Laçar um dado e registrar os resultados: Espaço amostral: Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eveto A: Ocorrêcia de um úmero meor que 7 e maior que zero. A {1, 2, 3, 4, 5, 6} Portato A Ω, logo o eveto é certo. 8
Eveto B: Ocorrêcia de um úmero maior que 6. B Não existe úmero maior que 6 o dado, portato o eveto é impossível. Eveto C: Ocorrêcia de um úmero par. C {2, 4, 6} Eveto D: Ocorrêcia de múltiplo de 3. D {3, 6} 9
Eveto E: Ocorrêcia de úmero par ou úmero múltiplo de 3. E C D E {2, 4, 6} {3, 6} E {2, 3, 4, 6} - Uião de evetos Eveto F: Ocorrêcia de úmero par e múltiplo de 3. F C D F {2, 4, 6} {3, 6} F {6} Itersecção de evetos 10
Eveto H: Ocorrêcia de úmero ímpar H {1, 3, 5} Obs.: C e H são chamados evetos complemetares. Observe que C H. Quado a iterseção de dois evetos é o cojuto vazio, eles são chamados evetos mutuamete exclusivos. 11
CONTEXTUALIZAÇÃO... É possível alguém jogar a megassea e ter certeza que irá gahar? SIM,é possível!!! 12
QUANTOS SÃO OS JOGOS POSSÍVEIS NA MEGASSENA? 60 * 59 * 58 * 57 * 56 * 55 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 13
QUANTOS SÃO OS JOGOS POSSÍVEIS NA MEGASSENA? 60 * 59 * 58 * 57 * 56 * 55 36045979200 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 720 50.063.860 de apostas diferetes14
PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO úmero de elemetosde A P A P A úmero de elemetosde Ω A Ω 15
Exemplos Ex.: 1 Cosideremos o experimeto Aleatório do laçameto de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: Ω {cara, coroa} Ω 2 Eveto A: A {cara} A 1 A Como, temos ou 0,50 50% P A B P A 1 2 16
Ex.: 2 No laçameto de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair úmero maior do que 4? Espaço amostral: Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω 6 Eveto A: A {5, 6} A 2 1 2 A 3 6 Ω A P A P A P 17
Ex.: 3 No laçameto simultâeo de 3 moedas perfeitas distiguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a Pelo meos 2 caras? b Exatamete 2 caras? C cara K coroa Ω {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} Ω 8 A {CCC, CCK, CKC, KCC} A 4 18
a A {CCC, CCK, CKC, KCC} A 4 4 1 P A 50 % 8 2 b B {CCK, CKC, KCC} B 3 3 P B 0,375 8 37,5 19
Ex.: 4 Vamos formar todos os úmeros de 3 algarismos distitos, permutado os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhedo um úmero desses ao acaso, ele ser: a ímpar b par? c múltiplo de 6? d múltiplo de 4? e maior que 780? Ω {789, 798, 879, 897, 978, 987} Ω 6 20
a Eveto A: ser ímpar A {789, 879, 897, 987} A 4 4 2 P A 0,66 6 3 66% b Eveto B: ser par B {798, 978} B 2 2 1 P B 0,33 6 3 33% 21
c Eveto C: ser múltiplo de 6 C {798, 978} 2 P C 0,33 6 33% d Eveto D: ser múltiplo de 4 D D 0 D 0 P D 0 0% Ω 6 e Eveto E: ser maior que 780 E Ω E 6 E 6 P E 1 100% Ω 6 22
Ex.: 5: Cosideremos todos os úmeros aturais de 4 algarismos distitos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhedo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair um úmero que comece por 3 e termie por 7? 6! 6! 6.5.4.3.2! Ω A 360 6, 4 6 4! 3 7 A A4, 12 2 4 4! 2! 2! 2! 4.3.2! 2! A 12 1 P A 0,033 Ω 360 30 3,33% 23
Exemplo 6: Num grupo de 75 joves, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somete de música; 9 gostam somete de esporte e 5 gostam somete de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses joves: a ele gostar de música; b ele ão gostar de ehuma dessas atividades. 24
M 6 8 9 E 14 16 6 5 L 11 Ω 75 gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 44 ão gostam de ehuma dessas atividades: 75 6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16 75 64 11 25
a a probabilidade de gostar de música: A 44 P A Ω 75 58% b probabilidade de ão gostar de ehuma dessas atividades: B 11 P B Ω 75 14% 26
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS Cosideremos dois evetos A e B de um mesmo espaço amostral Ω. Da teoria dos cojutos sabemos que: B A B A B A + Dividido os membros da equação por Ω, temos: B A B A B A + Ω Ω + Ω Ω B A B A B A B A P B P A P B A P + 27
Exemplo 7 : No laçameto de um dado, qual é a probabilidade de se obter o úmero 3 ou um úmero ímpar? Espaço amostral: Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω 6 Eveto A: úmero 3 A{3} A 1 Eveto B: úmero ímpar b{1, 3, 5} B 3 28
A B {3} {1, 3, 5} {3} A B 1 PA B PA + PB PA B PA B 1 6 + 3 6 1 6 PA B 3 6 29
Exemplo 8: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás? Ω 52 Eveto A: a carta é vermelha A 26 Eveto B: a carta é ás B 4 A B 2 P A B P A + P B P A B 30
26 4 P A B + 52 52 2 52 P A B 28 52 7 P A B 13 53,8% 31
PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR A probabilidade de ão ocorrer o eveto A é a probabilidade de ocorrer o eveto complemetar de A, represetado por. Nessas codições, temos : A A Ω e A A P Ω P A A Etão, 1 P A + P A P A 1 P A 32
Exemplo 9: No laçameto simultâeo de dois dados perfeitos distiguíveis, vamos calcular a probabilidade de NÃO sair soma 5. Ω {1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6, 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 3,5, 3,6, 4,1, 4,2, 4,3, 4,4, 4,5, 4,6, 5,1, 5,2, 5,3, 5,4, 5,5, 5,6, 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5, 6,6}. Ω 36. Seja A o eveto sair soma 5. Etão: A {1,4, 2,3, 3,2, 4,1} A 4 33
A 4 P A Ω 36 1 9 P A 1 P A P A 1 1 9 P A 8 9 34
Exemplo 10: Uma máquia produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é a probabilidade de que: a Os três sejam perfeitos? b Os três sejam defeituosos? c Pelo meos um seja defeituoso? Ω º de combiações de 50 elemetos tomados 3 a 3. 35
Ω C 50! 3!50 3! 50! 3!.47! 50.49.48.47! 50,3 6.47! 19.600 aeveto A: os três parafusos são perfeitos 45! 45.44.43.42! A C 45, 3 14190 3! 45 3! 6.42! P A 14190 A Ω 19600 0,72398 ou 72,4% 36
b eveto B: os três parafusos são defeituosos B C, 3 3!5 5! 3! 5.4.3! 5 3!.2! c eveto C: pelo meos um é defeituoso, o que correspode ao complemetar de A os três são perfeitos. Logo: 10 P B 10 A Ω 19600 0,00005 ou 0,005% P C P A P C 1 P A P C 1 0,72398 P C 0,27602 ou 27,6% 37