Aula 0: Revisão Trigonometria ) Ângulos A palavra Trigonometria é de origem grega formada por tri três, gonos ângulo e metria medidas. A Trigonometria é área da Matemática que trata das relações existentes entre os lados e os ângulos de um triângulo. Assim, para darmos início ao estudo da trigonometria, necessitamos entender as unidades de ângulos presentes e suas correlações. As unidades mais utilizadas são o grau (representado pelo símbolo ) e o radiano (representado por rad). O grau é definido como sendo a divisão de uma circunferência por 360 partes iguais. Já o radiano é definido como sendo o ângulo cujo comprimento de arco é igual ao raio da circunferência. Veja a figura abaixo para um melhor entendimento. Figura : Ilustração das unidades de ângulos. A relação mais comumente utilizada entre o grau e o radiano é dada por: entretanto qualquer outra relação válida também pode ser utilizada. Desse modo: 80 π rad () 80 rad 57,3 π e π rad 80 0,07 rad Exercício : a) Determine a medida em radianos de 60. b) Expresse 5ππ 4 rad em graus. c) Expresse 0,99 em radianos. d) Expresse,5 rad em graus.
Exercício : O Grado é uma unidade de medida de ângulos planos equivalente a /400 de uma rotação completa, ou seja, equivale a π/00 do radiano ou 9/0 do grau. O Grado tem origem no termo francês grade e foi proposto para uso em conjunto com o sistema métrico, porém não foi bem aceito, embora tenha sido adotado por alguns países e em áreas especializadas como, por exemplo, na artilharia francesa que uso o Grado há décadas. Como ilustração do uso dessa unidade, converta 45 em Grados. É importante ressaltar que antes de qualquer cálculo envolvendo funções trigonométricas é necessário ter a certeza de qual unidade se está trabalhando. Na grande maioria das calculadoras científicas e dos softwares matemáticos é permitida a escolha da unidade de ângulo. O exercício é um exemplo típico que leva a um erro muito comum no uso das calculadoras. Muitos alunos selecionam erroneamente grad na calculadora quando se deseja trabalhar com graus. Devemos ter em mente que a unidade correta para graus correta é o deg, do inglês degrees. Outro ponto a ser lembrado é no que se refere ao sinal do ângulo. Por convenção, adotamos ângulo positivo no sentido anti-horário e negativo no sentido horário (figura ). Figura : Ângulos positivos e negativos. Exercício 3: Em se tratando de aspectos trigonométricos: a) Converta 35 em um ângulo positivo equivalente. b) Converta 5ππ 4 rad em um ângulo negativo equivalente. ) Relações Trigonométricas Para um ângulo agudo θ (menor que 90 ) as relações trigonométricas são definidas como razões entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo (figura 3).
Cateto Oposto θ Cateto Adjacente Figura 3: Triângulo Retângulo. São elas: senθ cat op hip cat adj cat op cosθ tanθ hip cat adj E as correlatas: cossecθ senθ secθ cosθ cotgθ tanθ Exercício 4: Um triângulo com hipotenusa de medida 8 possui um ângulo interno de 37. Encontre as medidas dos outros dois ângulos e dos outros dois lados. Exercício 5: Encontre cos θθ se ssssss θθ e tan θθ < 0. 4 Exercício 6: Encontre tan θθ se ssssss θθ e cos θθ > 0. 5 3) Identidades Trigonométricas Uma identidade trigonométrica é uma relação entre as funções trigonométricas. As mais elementares são dadas a seguir. Uma das mais úteis identidades da trigonometria é dada por: sen θ cos θ Se agora dividirmos ambos os lados da equação por cos θ encontramos: + () tan θ + sec θ (3) Outas duas relações muito utilizadas são: sen cos ( θ) senθ (4) ( θ) cosθ (5) sen θ + π senθ (6) cos θ + π cosθ (7) 3
Também temos outras relações muito úteis: sen a± b sen acosb± sen bcos a (8) cos a± b cos acosb sen asen b (9) tan tan a± tan b ± (0) tan atan b ( a b) Existem muitas outras identidades trigonométricas. Aqui apenas relembramos de algumas delas. π Exercício 7: Calcule cos x x. e sen ( 30 ) Exercício 8: Encontre a identidade trigonométrica que relaciona cos x com cos ( x ). Exercício 9: Determine todos os valores de x no intervalo de 0 a π tal que sen x sen ( x). 4) Gráficos das Funções Trigonométricas O gráfico da função f( x) sen x, apresentado na figura 4a, é obtido desenhando-se os pontos para 0 x π e então usando-se a periodicidade da função (equação 6) para completar o gráfico. Observe que os zeros da função seno ocorrem em múltiplos inteiros de π. Analogamente para a função f( x) cos x, apresentada na figura 4b. Vemos que o gráfico do cosseno é obtido deslocando-se em π/ π para a esquerda, em virtude da identidade cos x sen x+. Para o cosseno, os zeros da função ocorrem em múltiplos semi-inteiros de π. Figura 4: (a) f( x) sen x (b) f( x) cos x O gráfico da função f( x) tan x está apresentado na figura 5. 4
Figura 5: f( x) tan x π Exercício 0: Trace o gráfico das funções f( x) + sen x+ 4. 5