Cálculo Diferencial e Integral I o Exame - MEMec; MEEC; MEAmb) 7 de Julho de - 9 horas I val.). i) Sendo u n n do teorema das sucessões enquadradas, dado que n, tem-se u n. Como a sucessão u n é convergente, é consequentemente itada. ii) Para b, v n e para b ±, v n ±/. Ora uma sucessão de termos constantes é convergente. Para b >. v n bn+ b n + Finalmente para b ], [\{}, b n b b + b n + b. v n b b n + b +. Assim, qualquer que seja b R, v n é convergente e consequentemente todas as suas subsucessões são convergentes.. Seja a sucessão a, a, a n+ a n + a n, n. i) Como para n, a n n ) e a n n ) então a n+ +a n a n + n ) n ) n. ii) Mostremos por indução matemática que a n n ) e a n n ), n N. Para n, a e a é uma proposição verdadeira. Fixemos n arbitrariamente. Mostremos que se a n n ) e a n n ) Hip.indução) então a n n ) e a n+ n) Tese). Usando a alínea anterior, prova-se de imediato a implicação anterior. iii) A sucessão a n é divergente pois não é itada superiormente a n n ) > n, n N
II 7 val.). i) x + fx) e )/e + ) f) a função f não sendo contínua em x também não é diferenciável nesse ponto. Para x >, f é diferenciável pois resulta da composição de funções diferenciáveis. De forma análoga conclui-se que a função f também é diferenciável em x <. A função derivada é definida pela expressão seguinte f x) 4e x e x +) se x > x ) +x se x < ii) Sendo f x) > em ], [, f é estritamente crescente nesse intervalo e em ], ], pois f é contínua à esquerda de x. A função é diferenciável com derivada não nula em ], [, não sendo satisfeita a condição necessária para a existência de extremos, portanto f não tem extremos em ], [. A função não é contínua em x, e f) não é extremo relativo, pois verifica-se que f é estritamente crescente em R. iii) O polinómio de Taylor de o grau em potências de x associado à função f no intervalo [, ] é o polinómio onde f x) P x) f) + f )x + f )x x x x ) +x ) x +x ), f ), f ), f). i) ii) uma vez que x senx) x + senx) cosx) R.Cauchy) x + cosx) / xln x) e x + ln x) ln x e. x + x + ln x / ln x) ln x) R.Cauchy) x + x x R.Cauchy) ln x) x + x ln )
. i) Mostremos que a equação x 4 + x 4x + tem uma solução x ], [ e uma solução x ], [. A função fx) x 4 + x 4x +, é uma função contínua em R. Como f).f) < e f).f) <, aplicando o teorema de Bolzano em ], [ e ], [ tem-se a existência de um zero x ], [ e um zero x ], [ i.e a equação tem pelo menos uma solução x ], [ e uma solução x ], [. ii) Para mostrar que x e x são as únicas soluções da equação basta mostrar que existem no máximo soluções e de acordo com a alínea anterior ter-se-á o pretendido. Supondo que existiam soluções, x, x e x, e x < x < x então como f é contínua em [x, x ] e [x, x ], diferenciável em ]x, x [ e ]x, x [ e fx ) fx ) fx ) aplicando o teorema de Rolle, existem x ]x, x [ e x 4 ]x, x [ tal que f x ) f x 4 ). Uma vez que f é contínua em [x, x 4 ], diferenciável em ]x, x 4 [ e f x ) f x 4 ) aplicando o teorema de Rolle desta vez a f, existe x 5 ]x, x 4 [ tal que f x 5 ) o que é impossivel pois f x) x +, x R III 6,5 val.). i) x + x x dx A x dx + B x dx onde A e B R.Barrow) [ lnx )] [lnx)] ln8/). ii) x + x dx t + t tdt t ) + ) dt R.Barrow) [ t ) + ln + t) ] + t ln4). i) Sendo G x) x x t ln tdt, x [, ], [ t G) t ln tdt Int.por partes) ] ln t + t t dt ln + [ t 9 ] ln 8). 7
ii) A função G é diferenciável, pelo teorema fundamental do cálculo, uma vez que a função fx) x ln x é uma função contínua em [, ] e a expressão para a sua derivada é G x) x ln x). Como G só se anula em [, ] quando x e e G x) >, x [, e[ e G x) <, x ]e, ], Ge) é um extremo local. Sendo G também uma função contínua em [, ], intervalo itado e fechado), do teorema de Weierstrass G tem máximo e mínimo absolutos.. Apresentando a região plana itada pelo gráfico da função fx) arctg x pelas rectas x e y. O valor da área da região apresentada é obtido por arctg xdx 4. arctg xdx Int.por partes) [x arctg x] π [ ] 4 ln + x ) π ln ) x + x dx x+ e x+ e x fx) e x sene t )dt senu) Int.por substituição) ex du x e u x [ ] e x+ cosu) e x+ Int.por partes) e x cosu) du u e x e u x e x cose x+ ) ) + cosex ) e x+ cosu) + du e x+ e x u e x e + x+ e + x e x+ e x u du e x + e e x+ e x+ + e x e x ) R.Barrow) e x + e e + x+ ) ) e e x. e x+ [ u ] e x+ e x ) 4
IV,5 val.). i) Para o estudo da natureza da série + n + n n+n +) n + n Do critério de comparação as séries + n n+n, considere-se o seguinte ite +) + +. n n n n+n +) e + natureza e neste caso são ambas divergentes uma vez que + de Dirichlet divergente. ii) A série + n + )! diverge, uma vez que de n! + n + )! n! + n + )n + )n! n! + /n!) n + )n + ) n / são da mesma, é uma série n / + + n! n + )! A sucessão não tende para não sendo satisfeita a condição necessária n! + para a convergência de séries. Considere-se a série n + + n+ ) n x n+ i) O raio de convergência, R, da série de potências + com a n ) n é A série de potências + R n + a n a n+ a n y n, a n y n é absolutamente convergente para os valores de y, que verificam a condição y <. Assim a série de potências + ) n x n+ 5
x + ) n x n é absolutamente convergente para os valores de x que verificam a condição x <. O maior intervalo aberto onde a série de potências é absolutamente convergente é ], [. A série numérica + n ) n é uma série convergente, pois é uma n+ n série geométrica de razão /) inferior a. Uma vez que a soma de séries convergentes é convergente, a série n + + n+ converge absolutamente para x ], [ ) n x n+ ii) A série quando x / é a soma de séries geométricas convergentes, n ) n + ) n 4 / + /4 + /4 9. Sendo a n uma sucessão de termos reais convergente para a, a série + a n+ a n ) é uma série de Mengoli convergente e a série + a n+ + a n ) diverge, uma vez que n + a n+ + a n ) a. 6