VALOR MÉDIO E EFICAZ

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1 ALOR MÉDO E EFCAZ KAZUO NAKASHMA UNERSDADE FEDERAL DE AJUBÁ NSUO DE ENGENHARA DE SSEMAS E ECNOLOGAS DA NFORMAÇÃO RESUMO Medição de tensão (olt) e corrente (Aere) é ua atividade de rotina ara qualquer eletricista. Contudo a sua indisensável ferraenta de trabalho, o MULÍMERO, digital ou analógico, ode realizar edições incorretas e sisteas onde a fora de onda não é senoidal. Estas edições incorretas ode rovocar esecificações inadequadas de cabos, fusíveis, chaves, edidores, disositivos eletrônicos, dissiadores de calor, etc. Qualquer ultíetro ede corretaente, na escala DC, o valor édio da tensão ou corrente. oré, na escala AC, oucos ultíetros, geralente digitais, ede corretaente o valor eficaz de ondas não senoidais. OBJEOS Ao final desta unidade você estará ato a:. Reconhecer a diferença entre valor édio, eficaz ou rs, eficaz real (true rs).. Esecificar o ultíetro adequado ara edição de tensão e corrente não senoidal. 3. Calcular o valor édio e eficaz de tensão e corrente, a otência dissiada, o fator de crista e o fator de fora de ondas eriódicas não senoidais. ALOR MÉDO () O alor Médio (rage - ) de ua onda eriódica de ENSÃO, CORRENE E OÊN- CA (e outras grandezas físicas) está relacionado co a coonente contínua desta onda e o interesse or este valor está relacionado co o resultado aós a filtrage do sinal. O valor édio reresenta ua grandeza contínua F que te a esa área sob a curva que a onda eriódica, no eso intervalo. Graficaente, o valor édio ode ser reresentado coo área sob a curva, no intervalo, dividido elo eríodo. O eríodo é o intervalo de teo de reetição da onda eriódica. =/f onde f é a freqüência. S S S S =S F = f(t) dt S Figura - alor édio ALOR EFCAZ () F F F alor eficaz ou (Root Mean Square) de ua onda eriódica de CORRENE e ENSÃO está relacionado co o calor dissiado e ua resistência. A clássica fórula de otência erite obter o valor édio da otência dissiada na resistência. () = = R. R t t t Kazuo Nakashia [email protected] htt://

2 alor Médio e Eficaz O valor eficaz reresenta o valor de ua tensão (ou corrente) contínua que roduz a esa dissiação de otência que a tensão (ou corrente) eriódica. A otência instantânea dissiada e ua resistência é (t) = v (t) R = R.i (t) e a otência édia dissiada é () = (t).dt = R.i (t).dt = R i (t).dt gualando as duas equações de otência édia obteos a equação abaixo, orige do tero - Root Mean Square (Raiz Quadrada da Média do Quadrado) () = i (t).d t () = v (t).d t A Figura ostra a relação entre o valor EF- CAZ e a otência Média dissiada e ua resistência de ara ua onda senoidal. + v(t) - + (t),5 Figura - alor eficaz ou e otência. wt = = R R 3 - SOMA DE CORRENES 3 Figura 3- Soa de corrente. S ara valor édio, o resultado da soa é silesente ua soa aritética. S() = () + () + 3() +... ara o valor eficaz o resultado não é tão siles assi; a equação abaixo alé de ais colicada é valida soente se as correntes fore funções ortogonais. S() = () + () + 3() +... duas funções são ortogonais se o valor édio da ultilicação (roduto) entre estas duas funções for zero. f (t). f (t).dt = Esta roriedade será utilizada ara calcular o valor édio e eficaz de ondas eriódicas colexas. Neste rocesso de cálculo dividireos esta onda colexa e vários intervalos de teo e calculareos o valor édio e eficaz de cada intervalo. 4 FAOR DE FORMA (K f ) v(t)=.sen(ωt) v (t) (t) = = R =.sen(ωt) -cos(ωt) R R K f Este fator está relacionado co taxa de utilização ou de aroveitaento de u coonente eletro-eletrônico. Se este fator for ínio (Kf= e corrente contínua constante) significa que a UNFE / ES - Kazuo Nakashia

3 alor Médio e Eficaz 3 otência útil (trabalho realizado) do equiaento será realizado co a enor corrente ossível. Sua alicação está ais relacionada co conversores ac/dc e co edidores average sensing. 5 - FAOR DE ONDULAÇÃO - Rile Rile AC( ) Este fator é a relação entre o valor eficaz soente da coonente alternada e a coonente contínua, ac/dc, e indica a resença de ondulação e ua fonte de corrente contínua. 6 FAOR DE CRSA (K ) K ico Este fator indica o grau de distorção de ua onda. ode nos inforar sobre o fator de utilização tabé e é uito iortante ara esecificar edidores rue Ua corrente co fator de crista uito alto significa que o coonente deve ser esecificado co corrente uito aior que outro co fator de crista enor, elo eso trabalho realizado. Observe na Figura 4 que, ara esa corrente de ico, quanto enor o valor de K aior é a corrente eficaz. 7 DH DSORÇÃO HARMÔNCA OAL DH h h h =alor eficaz da fundaental h h =alor eficaz da harônica h Este fator indica, co ais recisão, o grau de distorção de ua onda ou a quantidade de harônicas. Ua onda senoidal ura se distorção aresenta DH= - - Figura 4- Fator de fora e de crista Kf= K= =+ = ac= d=,5 K= = = ac= d=, Kf=,58 K=3,873 =, =,58 ac=,38 d=, Kf=,36 K=,36 =, =,447 ac=,4 d=,8 Kf=,8 K=,8 =,8 =,894 ac=,4 K=,44 = =,77 ac=,77 Kf=,6 K=,44 =,639 =,77 ac=,39 Kf=,57 K= =,38 =,5 ac=,385 UNFE / ES - Kazuo Nakashia

4 alor Médio e Eficaz 4 8 MEDDORES AERAGE SENSNG OU AERA- GE RESONDNG Estes edidores ede corretaente o valor édio de qualquer fora de onda na escala DC. oré, na escala AC, o valor eficaz é edido corretaente soente ara onda SENODAL erfeita. O sensor ou transdutor destes ultíetros resonde soente a tensão contínua filtrada, ortanto ao valor édio. ara edir o valor eficaz de u sinal alternado senoidal, este sinal é retificado e onda coleta, filtrado e alificado or u fator,7 e então convertido ara digital. A relação entre o valor eficaz de ua onda senoidal e o valor édio desta onda retificada e onda coleta é v(t) / = =,7 v(t) /π v(t) v(t)=.sen(wt v(t) = / π = / Figura 5 - Fator. dos ultíetros rage Sensing. Qualquer fora de onda não senoidal erfeita será edido incorretaente, inclusive ondas senoidais retificadas. ara ondas retangulares o ultíetro rge Sensing ode aresentar u erro sisteático entre -33,3% e +%, resectivaente ara ciclo de trabalho d=, e d=,5. 9 MEDDORES RUE Estes ultíetros Eficaz erdadeiro, obviaente uito ais caros, ede corretaente o valor EFCAZ de qualquer fora de onda desde wt que o fator de crista K e a freqüência seja enor que o esecificado elo fabricante. Menos que % dos edidores disoníveis coercialente são rue e custa de 5 a vezes ais e relação aos edidores rage Sensing. A aioria dos osciloscóios digitais e sisteas de aquisição de dados ede corretaente o valor eficaz de ondas não senoidais. - ACOLAMENO AC Devido ao acolaento AC adotado na aioria dos ultíetros na escala AC, é necessário fazer a edição nas duas escalas, DC e AC, e utilizar a seguinte equação ara obter o valor eficaz total, AC+DC. dc ac = Os exelos seguintes ostra o ecaniso de oeração dos ultíetros co acolaento AC na escala AC. Onda senoidal O sinal aresentado na Figura 6 é ua suerosição de corrente alternada co corrente contínua, uito cou na eletrônica. v(t) (t) 44W / R=Ω 64W Figura 6 Sinais AC+DC dc dc ac dc=+ ac=7,7 =7,3485 7,3485 = 54 =54W v(t) = + sen(ωt)= + sen(ωt) dc = + ac = / = 7,7 = + = () +(7,7) 7,3485 UNFE / ES - Kazuo Nakashia

5 alor Médio e Eficaz 5 Onda não senoidal A onda retangular de, Duty Cycle de, e Off Set de, aresentado na Figura 7(a), é siétrica na alitude (+; -) as não no teo (d=.). O valor édio desta onda é = dc =-6 e o valor eficaz é =. A -6 - B - 4 C +6,4 +4 D +3, AC+DC + AC, onda coleta ½ onda +6,8 = -6 = = rs = 8 = 6,4 = 3, dc ac ac(?) Erro ,8 -,4% Figura 7: Onda Retangular d=, Nos ultíetros que utiliza acolaento AC, a coonente contínua é bloqueada e a onda realente edida elo ultíetro é coonente AC aresentada na Figura 7(b). Esta onda, obviaente co valor édio igual a zero, aresenta outro valor eficaz que será o valor indicado elo ultíetro rue na escala AC, ac =8. ara obter o valor eficaz AC+DC deveos utilizar a seguinte equação: = (-6) 8 dc ac No ultíetro rage Sensing co acolaento AC, esta coonente AC é retificada e onda coleta, coo ostra a Figura 7(c), e o valor édio é ultilicado elo fator,7, resultando ac(?)=6,4x,7=7,84, u erro de -,4% e relação ao ultíetro rue AC. ara facilitar os cálculos odeos fazer a retificação e eia onda e ultilicar o valor édio elo fator,4=x,7 coo ostra a Figura 7(d). ac(?)=3, x,4 = 7,84. O valor eficaz da coonente AC, que é o valor indicado elo ultíetro rue co acolaento AC, ode ser calculado ela seguinte equação. ac A Figura 8(a) aresenta ua onda retangular de, Duty Cycle de,5 e Off Set de +. O Multíetro rage Sensing na escala AC indicará ac(?)=,7x5=,4x.5=5,5535, u erro de +,7%. a) b) c) d) +7 AC+DC +5 AC =5,385 =+ = -5 =,5 Retificação e ½ onda =5 =5 Retificação e onda coleta dc ac ac(?) Erro + 5 5,385 5,553 +,7% Figura 8: Onda Quadrada d=,5 Aenas coo curiosidade, ara ciclo de trabalho d=,84 este ultíetro indicará o valor correto. UNFE / ES - Kazuo Nakashia

6 alor Médio e Eficaz 6 ONDA REANGULAR Ondas retangulares de correntes são couns e conversores tiristorizados ac/dc e dc/dc. ensões retangulares são encontrados e conversores dc/dc (choer) e dc/ac (inversores). n t (Av e ) n () t d= =.d +.(-d) n =.d +.(-d) Figura 9 Onda retangular genérica. ulso Retangular ulso Retangular =d d = t () () = d d d d(-d).d(-d) erro (?),,,995, -77,9,5,36,79,55-5,59,,36,3,999-33,36,,447,4,3554 -,4,3,5477,4583,4665 +,8,4,635,4899,533 +8,83,5,77,5,5554 +,7,6,7746,4899,533 +8,83,7,8367,4583,4665 +,8,8,8944,4,3554 -,4,9,9487,3,999-33,36,95,9747,79,55-5,59,99,9949,995, -77,9 ac(?) ac(?) =,4 d(-d) erro% = - ac ac S S ULSO RAEZODAL ulsos senoidais, triangulares, traezoidais e retangulares são encontrados e circuitos de coutação coo fontes chaveadas, choer, inversores, etc. ulsos retangulares e triangulares são casos articulares da onda traezoidal. S t S =S S Figura 9 ulso retangular uniolar. t d= Calcular o valor édio e eficaz de ua onda retangular UNOLAR é relativaente fácil ois deende aenas do valor de ico e da relação entre a largura do ulso t e o eríodo. A relação t/=d é denoinado ciclo de trabalho ou relação arca/esaço (duty cycle). B A t d = A+ B d=t / d = Figura ulso raezoidal. A A B B UNFE / ES - Kazuo Nakashia

7 alor Médio e Eficaz ULSO RANGULAR v(t) =.t t t Hold Off t =d ac(rue ) = = 3 3 ac (Sense) =. =. 4 ac(sense) =,96... Erro -3,87% ac(rue ) d d (Av e ) = () = 3 a) AC+DC Figura ulso riangular (assiétrico) Esta onda será siétrica soente ara d= (Hold Off=), quando o valor édio assa exataente no eio dos valores ico a ico. DC S S =S S b) AC,5,5 c) Onda coleta =/ t r t f s tr () = () = 3 d) ½ Onda Figura Onda riangular (siétrica) ara ondas triangular e dente de serra os valores édio e eficaz indeende da sietria subida/descida. Observe que o ciclo de trabalho, na conceção seiciclo ositivo/seiciclo negativo, e relação ao valor édio, é sere,5. DMM rage Sensing ara ondas siétricas, coo a onda triangular aresentada na Figura, o ultíetro rge Sensing aresenta, na escala AC, u erro sisteático de -3,87% indeendente da sietria, teo de subida/teo de descida. =/4 dc =() ac= = 3 3 Figura 3 Onda riangular (siétrica) UNFE / ES - Kazuo Nakashia

8 alor Médio e Eficaz 8 4 ONDA SENODAL Ondas arcialente senoidais são encontrados e conversores ac/dc tiristorizados, nos reguladores ac/ac tiristorizados e e circuitos ressonantes. ulso Senoidal Recortado t t s = cos(α) - cos(β) (β-α) + sen(α) - sen(β) =, e e radianos - rad Figura 4- Onda senoidal O cálculo do valor édio e eficaz de ua onda arcialente senoidal é ais colicado orque envolve cálculo de seno e coseno e requer o cuidado de converter os ângulos geralente e GRAUS ara RADANOS. O eríodo é o intervalo de reetição da onda arcialente senoidal e ode ser aior, igual ou enor que. = ou são observados e sisteas onofásicos. =/3 ou /6 são observados e sisteas trifásicos. > são observados e circuitos ressonantes (ulsos senoidais). Os ângulos e estão relacionados co o início (cruzaento de zero) da senoidal corresondente. Nos conversores tiristorizados onofásicos o ângulo coincide co o ângulo de disaro, tabé denoinado. Nos conversores trifásicos, or outro lado, o valor destes dois ângulos são diferentes, otivo de uita atenção. ts π t t d= = λ= = t S=π t π cos(α) - cos(β) = d π d (β-α) + sen(α) - sen(β) = π d = +cos((-λ)π) π d sen((-λ)π) = λ+ π ulso Senoidal t.d t = d= π = d s UNFE / ES - Kazuo Nakashia

9 alor Médio e Eficaz 9 Exelo : otência Média A chave eletrônica oera na freqüência de Hz co ciclo de trabalho d=,5. s 5 O O R Z O 5s 5 A s W W 3W 5s R,5Ω z f = Hz = s t = 5s d =,5 A otência édia fornecida or ua fonte de tensão contínua ou dissiada no diodo zener é roorcional ao alor Médio da corrente. = S() S () ara o resistor a otência édia é roorcional ao quadrado do alor Eficaz da corrente. =R R() ortanto a otência (édia) dissiada na carga (R+z) é: = R + Z Quando a chave está fechada circulará ua corrente instantânea de: s z = = = A R,5 A otência instantânea é R ico ico = R. =,5. =W Zico = Z. ico =. = W otalico = R + Z=+=3W S ico = S. S ico =5. =3W Quando a chave estiver aberta, a otência dissiada é zero. ortanto, a otência édia fornecida ela fonte de tensão s, que é igual à otência édia dissiada na carga (R+z), será: otal() =d. otal(ico) =,5. 3 =5W Utilizando os valores édio e eficaz da corrente: = d. =,5. =A () () = d. =,5. =,44 A O() Z = R + S() S =,5.,44 +. = 5W = = 5. = 5W Este é o rocesso ara calcular a otência dissiada no diodo e no tiristor. Os valores da resistência (Rt) e da barreira de otencial (t) são fornecidos elos fabricantes. Alterando o ciclo de trabalho conseguios alterar a otência édia na carga. O () () s 5 8s s = d. =,. =,4A = d. =,. =,894 A O() Z = R + =,5.,894 +.,4 = 6 W = = 5.,4 = 6 W S() S d = ton / =, UNFE / ES - Kazuo Nakashia

10 alor Médio e Eficaz Exelo : Ortogonalidade Duas funções são ortogonais se o valor édio da ultilicação (roduto) destas duas funções for zero. A) 5 B) 5 C) 5 D) E) 5 7,5 F) +,5 G) -,5 f (t). f (t).dt = A=(B+C)=(D+E)=(F+G) d=,5 A fora de onda A(t) ode ser decoosta e vários odos. No rieiro odo decooos a fora de onda ao longo do teo teo A(t)=B(t)+C(t). Coo B(t) e C(t) são funções ortogonais, ua vez que o valor édio do roduto B(t).C(t) é zero B =7,7 C =3,535 A = B +C =7,95 No segundo odo a fora de onda é decoosta na alitude A(t)=D(t)+E(t). D(t) e E(t) não são funções ortogonais ua vez que as duas funções ossue coonente contínua. D =5 E =3,535 D +E =6,3 (???) (?) 6,3 não é o valor eficaz de A(t) ortanto, toda vez que deararos co ua fora de onda colexa, deveos analisar or artes, divididas ao longo do eixo do teo. Outra fora correta de dividir a onda é decoor e coonente contínua F(t) e coonente alternada G(t). F(t) e G(t) são funções ortogonais orque o valor édio do roduto F(t).G(t) é zero. = (7,5) (,5) 7,95 dc ac Nos ultíetros rage Sensing acolaento AC a onda G(t) é retificada e onda coleta, filtrada, tornando-se ua onda contínua de,5 e então ultilicada elo fator,. O valor indicado or este tio de ultíetro na escala AC será ac(?)=,5..7=,775. Na escala AC o ultíetro rue (AC+DC) indicaria 7,95, o ultíetro rue (AC) indicaria,5 e o ultíetro rage Sensing (AC) indicaria,775. (AC+DC) =,5 +7,5 =7,95 ac= 7,95-7,5 =,5 ara o valor édio, no entanto, encontrareos o valor corretaente e todos os casos. A =B +C =5+,5=7,5 =D +E =5+,5=7,5 =F +G =7,5+=7,5 dc ac ac(?) A 7,5 7,95,5,776 B 5 7,7 5 5,553 C,5 3,535,5,776 D 5 5 E,5 3,535,5,776 F 7,5 7,5 G,5,5,776 UNFE / ES - Kazuo Nakashia

11 alor Médio e Eficaz Exelo 3: Senoidal rifásico A tensão retificada de ua onte tiristorizada trifásica ideal co ângulo de disaro de 3 o é aresentada na figura abaixo. Este ângulo de disaro é (tabé) denoinado (alfa) e não deve ser confundido co o ângulo da fórula ara o cálculo do valor édio e valor eficaz. Existe ua diferença de 6 o entre estes dois ângulos. Observe que teos 6 ulsos no intervalo corresondente ao eríodo de ua onda senoidal lena. Consequenteente a freqüência destes ulsos, arcialente senoidal, é 6 vezes aior que a freqüência da rede de alientação. or este otivo o eríodo utilizado na fórula é =/3. CB AB AC BC BA CA CB - - A Recoendaos a utilização das equações co ua calculadora científica e co os ângulos e radianos. α =9 = π/ rad β =5 =5π/6 rad = 6 = π/3 rad / =.87 / =.847 B C Se, eventualente, não disoros de ua calculadora científica, odeos utilizar a tabela da ágina. Coo os valores de / e / desta tabela são válidos ara, deveos dividir a onda e duas artes. é o intervalo sobreado e destaque, arte da onda senoidal lena tracejada. é a arte que vai de até e é a arte que vai de até. =-. β = π, = π, α =9, α =5 / =.59 (av) (rs) (av) (rs) / =.3536 / =.3 (av) (rs) / =.849 (av)=(av) - (av) / =.379 (rs) (rs) (rs) = - / =.3433 Coo são 6 ulsos iguais no intervalo : = 6. = 6.,379 =,874 av rs (av) = 6 = =.849 (rs) As diferenças nos resultados (.5%) se deve ao núero de casas deciais utilizados na tabela. U exelo uito interessante de NÃO ortogonalidade é a corrente no neutro de u sistea trifásico equilibrado: a corrente no neutro é zero aesar de existir corrente (funções não ortogonais) nas três fases. UNFE / ES - Kazuo Nakashia

12 alor Médio e Eficaz = = = GRAU RADANO RADANO COS SEN / / o / /6 / /3 5/ / 7/ /3 3/4 5/6 / π 8 α = α α = α 8 π (rad) (graus) (graus) (rad) /.77 / / 6.48 /.887 * abela ara ser utilizada quando não teos ua calculadora científica disonível, =. Multíetros rue ÉCNCA DE CONERSÃO ÉRMCO DGAL ANALÓGCO K : : 5: RECSÃO,%,%,% EMO DE RESOSA > seg. - seg. < seg. FREQUÊNCA ALA MHz BAXA MÉDA 4 KHz CUSO MUO ALO ALO BAXO ALCAÇÃO CALBRAÇÃO BANCADA ORÁL Nota: Os ultíetros Beckan -33 (rue AC+DC) e Fluke 86A (rue AC) são utilizados intensivaente no Laboratório de Eletrônica de otência da UNFE desde 986, quase 3 anos e atividade. tajubá, MG, setebro de 3 7, 5,, 999 UNFE / ES - Kazuo Nakashia