Potência. Potência Instantânea

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1 Potência Potência é a taxa de transferência de energia entre duas regiões do espaço. Essa transferência pode ser feita de várias maneiras. Como exemplos podem ser citados a troca de calor, conjugado mecânico acelerador, etc. Se a troca de energia for feita através de um circuito elétrico tém-se a potência elétrica, cuja medição será estudada. Potência Instantânea Considere-se, então, duas regiões A e B, interconectadas por um par de fios. I(t) A v(t) B A potência elétrica transmitida neste caso é : p(t) = v(t) * i(t) onde, v(t) é a tensão entre os fios e, i(t) é a corrente que circula nos fios. Como p(t) fornece a potência em cada instante ela é denominada potência instantânea.

2 FORMAS DE ONDA Se v(t) e i(t) forem periódicos e de mesma frequência, então, p(t) é também periódico. Porém de períodicidade diferente dos sinais de tensão e corrente. p(t) pode ser obtido por simples manipulação de identidades trigonômetricas: v( t) = Vm* sen( wt) i( t) = Im* sen( wt - q ) p( t) = v( t) * i( t) = Vm* Im* sen( wt)* sen( wt - q ) Ø ø Œ œ Vm* Im Œ œ \ p( t) = Œ { cos q - cos( wt - q ) œ Œ componente componente œ Œ constante de frequencia œ º Œ 2w ßœ

3 Nesse caso, foram obtidos uma componente de frequência ω= e outra de frequência 2ω. Para sinais não senoidais, o produto v*i, também resulta num sinal com frequência diferente das dos sinais originais de tensão e corrente. (Isso pode ser verificado desenvolvendo os sinais em séries de Fourier). Na equação de p(t) acima observa-se que a potência varia com o tempo, podendo inclusive trocar de sinal em cada ciclo; A energia ora está fluindo em um sentido ora em outro, oscilando entre as regiões A e B. Se a região A é, por exemplo, um motor elétrico ou uma antena transmissora e o sistema B sua fonte de alimentação. O trabalho realizado pelo motor ou o alcance da informação transmitida pela antena são proporcionais à energia efetivamente transmitida de A para B, isto é, à componente constante de p(t), que flui e não reflui. As componentes oscilatórias (energia transmitida ao motor e posteriormente devolvida à fonte de alimentação) não realizam trabalho util.

4 Potência Ativa É, portanto, de interesse medir o valor médio da potência. Isto é, da componente constante que corresponde precisamente à parte utilizavel da energia que flui entre os sistemas A e B; Define-se, então, a potência ativa como sendo igual ao valor médio da potência instântanea. P = p( τ ) = p ( τ ) d τ Essa definição não é restrita à sinais senoidais. Potência Aparente, Potência Reativa e Fator de Potência Enquanto as duas regiões estiverem interconectadas uma parte da energia vai de A para B e, posteriormente, retorna integralmente executando um movimento cíclico. Reescrevendo as equações para tensão e corrente senoidais, obtem-se: ( ) p( t) = V * I * cos ϕ * cos 2ωt V * I * senϕ * sen2ωt

5 Potência Aparente O produto dos valores eficazes da tensão e da corrente é comum nos dois termos da equação acima. Esse produto é denominado de potência aparente e é dado por: S=V*I Potência Reativa O segundo termo da equação da potência instantânea acima, tem valor médio igual a zero, visto seguir uma variação senoidal. O valor máximo desse termo é denominado de potência reativa (Q), que é, portanto, dada por: Q=V*I*senf Essa definição se aplica apenas a sinais senoidais.

6 Fator de potência Em face das definições acima, existe uma relação matemática entre as potências aparente, ativa e reativa. Essa relação pode ser visualizada pelo triângulo das potências : Q S φ P S 2 =P 2 +Q 2 O cosseno do ângulo φ no triângulo das potências (defasagem entre V(t) e I(t)) é denominado fator de potência. FP=cosf SINAIS NÃO-SENOIDAIS O aumento do número de equipamentos eletrônicos na indústria, edifícios comerciais e mesmo nas residências tem provocado um aumento crescente dos problemas nas redes elétricas devido à inserção de cargas nãolineares no sistema; Em razão disso constata-se a geração de tensões nãosenoidais, transitórios e outros disturbios. Sinais elétricos não-senoidais podem ser decompostos em componentes harmônicos; A figura no próximo slide mostra um gráfico de um sinal de corrente com forte distorção harmônica.

7 FORMA DE ONDA DE CORRENE O terceiro, quinto e sétimo harmônicos estão todos em sincronismo em 9 e 27 e se somam para formar a onda completa. POÊNCIA AIVA DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS Potência ativa só é gerada por tensões e correntes de mesmas freqüências; Assim, para sinais periódicos, a potência ativa total é a soma da potência ativa gerada pelas harmônicas: P = I o U o + k= UkIk cosϕ Os instrumentos utilizados nessas medições são apenas aqueles capazes de medir esse somatório k

8 POÊNCIA REAIVA DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS O cálculo e mesmo a própria definição da potência reativa harmônica é controversa. Uma das expressões utilizadas para calcular essa grandeza é: Q = k= UkIk sen ϕ k POÊNCIA APARENE DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS A potência aparente é dada por: S = UI = 2 2 U k Uk k = k= Com base nas definições dadas até aqui, pode se concluir que a potência aparente para sinais com harmônicos pode ser calculada por: 2 2 S = UI = P + Q + D 2

9 POÊNCIA DE AUDIO O valor da potência de saída de amplificadores de audio tem, muitas vezes, sido expresso de maneira ambígua Dentre as unidades para expressar essa gradeza são usadas: Watts rms com % de DH Watts rms com 5% de DH Watts de pico (máximo) Watts de pico-a-pico Potência musical A capacidade do amplificador de mover o cone do autofalante, rigorosamente, pode ser expressa somente pelos Watts-rms considere um amplificador conectado a uma carga de 8W que com uma DH de % ele apresenta uma tensão de saída de 4V ac Watts rms a % é P=(Erms) 2 /R=24,5 W Watts de pico-a-pico P=(2* 2* Erms) 2 /R=96 W Instrumentos para Medição Instrumentos Eletromecânicos; Instrumentos eletrônicos Wattímetro com multiplicador analógico; Wattímetro com multiplicador de divisão de tempo; Wattímetro digital Wattímetro com dispositivo de efeito Hall; Wattímetro a termopar

10 Instrumentos Eletromecânicos Inst. eletrodinâmico sem núcleo de ferro (maior exatidão); Inst. eletrodinâmico com núcleo de ferro (para paineis); Ug Ri B I 2 Rv Iv A Iz U - bobina de campo fixa (corrente); 2 - bobina móvel (de potencial); Ri - Resistência da bobina de corrente; Rv - Resistência da bobina de tensão; I - corrente na bobina de corrente; Iv - corrente na bobina de tensão. Iv=U/Rv; Z θ medio = k I Iv dt θ = k 2 U I cosϕ medio ef ef Nota: O erro da medição varia com a tangente do ângulo φ. MEDIDORES ELERÔNICOS Nos medidores eletrônicos o produto da tensão pela corrente e o valor médio são obtidos através de meios eletrônicos; Existem trés tipos de multiplicadores: Analógico; Híbrido; Digital;

11 Instrumento com Múltiplicador Analógico Anotações Os sinais são multiplicados em formato analógico (por meio de um circuito baseado ou em amplificadores logarítimicos ou de transcondutância); No esquema abaixo o multiplicador analógico (xk) faz o produto da tensão Ux(t), através da impedância Z, pela tensão Uy(t)=R*i(t), obtendo a tensão u k(t): u ( t) = k U ( t) U ( t) = k R U ( t) i( t) k x y x A tensão u k(t) é aplicada na entrada do filtro PB, resultando: Us = K R Ux( t) i( t) dt = cp Circuitos - Wattímetro com multiplicador analógico Ux(t) Z i(t) x y K Uk Us=cP V Uy(t) R

12 Instrumento com multiplicador por divisão de tempo Esse é um outro tipo de multiplicador analógico. O multiplicador é implementado através do multiplicador por divisão de tempo, mostrado na figura seguinte; Nesse método, uma onda quadrada de período constante g =t +t 2 e amplitude e ciclo de trabalho determinado pelas tensões de entrada u x (t) e u y (t); A tensão u g (t) do gerador de sinais tem forma triangular; Se g é muito menor do que o período do sinal a ser medido, as tensões u x (t) e u y (t) podem ser consideradas constantes durante o tempo g. Diagrama do Instrumento ux(t) - R R us uy(t) um(t) ug(t) Gerador C us(t) uy(t) t t2 ug(t) t Faixa de frequência de operação: 2 Hz - 2 khz Erro típico:,% -,2% um(t) us t

13 U s u g Equações do Wattímetro U go ( t) = 4 t para t g g uyg Nesse caso t2 = 2 4 4Ugo g Consequentemente t t 2 = U u y go t t + t 2 = ux t dt = k ux t dt + ux t dt k u t t g ( ) ( ) ( ) g 4 ( ) = x ( 2) t A tensão de saída é: U s = k u x u y Instrumento Digital Nesse tipo de instrumento os sinais de tensão e corrente são amostrados a uma freqüência fs; O valor médio é obtido pela soma ponto a ponto do produto das duas grandezas de acordo com a equação abaixo: PLL N P = uk i N k= k u(t) ADC mp Display i(t) ADC

14 Condições de Operação Pode ser mostrado que um mínimo de 3 amostras de cada uma das grandezas é necessário para que o valor calculado da potência represente adequadamente o sinal de saída; Para esse tipo de instrumento o componente mais importante são os conversores A/D, especialmente o do sinal de corrente a tensão proporcional à corrente a ser medida é de baixa amplitude, requerendo assim um conversor A/D de elevado número de bits A figura ao lado mostra um exemplo de um conversor A/D de dois canais usado em instrumentos digitais para medição de potência e grandezas associadas em circuitos trifásicos É preciso notar que estes conversores são precedidos de dispositivos condicionadores de sinais. CONVERSOR A/D D-S

15 Instrumento com dispositivo de efeito Hall O dispositivo Hall é constituido de uma fina pastilha semicondutora; A tensão de saída no dispositivo uh(t) é proporcional ao produto de duas grandezas variaveis no tempo: i(t) Dispositivo Hall B(t) V UH UH( t) = CH i( t) B( t) Ug B I R Z CH - coeficiente de Hall; B - indução magnética; i(t) - corrente através do elemento; ix(t) A deflexão do instrumento é proporcional à potência criada pela fonte de tensão Ux(t)=a*i(t) e pela corrente ix(t) =b*b(t), onde a e b são fatores de proporcionalidade: P = ux(t) ix(t) dt = a b i(t) B(t) dt Substituindo o produto i(t)*b(t) pelo valor dado na primeira equação em função de u H(t), na equação acima, obtém-se: P a b = CH U H onde UH é o valor médio de u H(t)

16 Instrumento a ermopar Anotações oda vez que a energia elétrica é dissipada em uma resistência, ocorre a geração de calor. Isso pode ser usado para a construção de um instrumento para medição de potência a partir da determinação da elevação de temperatura. A potência dissipada é proporcional ao valor eficaz da tensão aplicada de acordo com a seguinte equação: i(t) Rs ia(t) ai(t) ib(t) u(t) A UA bu(t) bu(t) UB B Z V V=UA-UB Rv Instrumento a ermopar Na figura A e B são dois termopares com características identicas: U=kI 2 ia e ib são as correntes instantâneas pelo termopar e i(t) e u(t), respectivamente a corrente e a tensão na carga A potência ativa é o valor médio da potência instantânea. Assim, p( t) = u(t) i(t ) P = p(t) As correntes do termopar são dadas por ia( t) = ai(t) + bu ( t) e i B(t) = ai (t) bu( t) Conseqüêntemente, a corrente e tensão na carga será: ia(t) + ib(t) ia(t) ib(t) i(t ) = e u(t) = 2a 2b Substituindo o resultado na primeira equação acima, tem-se: P 2 = ia (t)dt 4ab 2 ib(t)dt = 4ab 2 2 ( I I ) A B

17 Instrumento a ermopar Anotações IA e IB na equação acima são respectivamente o valor eficaz da corrente que passa pelo termopar A e pelo termopar B. Devido às correntes IA e IB, aparece na outra extremidade dos termopares as tensões contínuas UA e UB. Considerando as propriedades dos termopares: 2 U A = ki A e UB = Substituindo este resultado na equação anterior, resulta: 2 2 P = ( U A UB) 4ab As perdas nas resistências Rv e Rs produzem um efeito sistemático que pode ser corrigido. Esses instrumentos podem ser usados em freqüências na faixa dos MHz e com incertezas de %. ki 2 B