Conjuntos Numéricos. Por meio do diagrama podemos verificar que: Introdução

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2 Conjuntos Numéricos Introdução Os conjuntos numéricos mostram a evolução do homem no decorrer do tempo mostrando que, de acordo com suas necessidades, criava novos números para atendê-las. Os conjuntos podem ser divididos em: Naturais Inteiros Racionais Reais Neste material não veremos números complexos, conteúdo explorado em vestibulares não em concursos Conjunto dos Números Naturais Representamos o conjunto dos números naturais com a letra maiúscula N, daqui para frente sempre designados apenas números naturais. Os números naturais são uma sequência numérica que inicia no número zero e segue até infinito. N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... } Sua criação esta ligada à necessidade do homem contar. Representamos o conjunto dos números inteiros com a letra maiúscula Z, daqui para frente sempre designados apenas números inteiros. Os números inteiros são uma sequência numérica em que número zero marca o valor central. Cada número a direita do zero tem seu o oposto a esquerda com sinal negativo Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... } Os números inteiros têm como representação geométrica a reta numerada Sua criação esta ligada a necessidade do homem em representar valores que não possuía, como por exemplo, a dívida. Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais é representado pela letra maiúscula Q, daqui para frente sempre designados apenas números racionais. Os números racionais não todos os números que podes ser escritos na forma em que a e b são números inteiros, e o número b é diferente de zero. Podemos, então, dizer que números naturais são os números que podem ser escritos como fração. Ex.: Sua criação esta ligada à necessidade do homem em representar valores que representam partes de um inteiro. Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais é representado pela letra maiúscula R, daqui para frente sempre designados apenas números reais. O conjunto dos números reais reúne os números que podem ser escritos como fração (racionais), unidos com os que não podem ser escritos como fração (irracionais). Números irracionais, ou seja, que não podem ser escritos como frações temos como mais usuais os que não têm raiz exata e o número. Representação por diagrama 1 Por meio do diagrama podemos verificar que:

3 Operações com números e suas Propriedades números consecutivos, sucessor e antecessor Os conceitos de consecutivos, sucessor e antecessor são utilizados em números naturais e números inteiros. Dois números inteiros são consecutivos quando entre eles não houver outro número inteiro. Ex1.: Os números 3 e 4 são consecutivos pois entre eles não temos nenhum outro número inteiro. Ex2.: Os números -3 e -2 são consecutivos pois entre eles não temos nenhum outro número inteiro. Ex3.: Os números 3 e 6 não são consecutivos pois entre eles temos outros números inteiros, como 4 e 5. Adição e subtração de Inteiros a) (+ 4) + (+ 7) = = +11 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) b) (- 4) + (- 7) = - 4-7= -11 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) c) (+ 4) + (- 7) = = - 3 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) d) (+ 4) - (+ 7) = = -3 (tiramos os parênteses e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) e) (- 4) - (- 7) = = + 3 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) Multiplicação e divisão de inteiros Na multiplicação de inteiros além de multiplicarmos ou dividirmos temos que usar o jogo de sinais: Sinais iguais resulta em positivo e sinais diferentes resulta em negativo. a) Exemplos de Multiplicação: (-2) x (+5)= -10 (-3) x (-5)= +15 (+6) x (-4)= -24 (+5) x (+4)= +20 b) Exemplos de divisão: (-20) (+5)= -4 (-35) (-5)= +7 (+56) (-4)= -14 (+48) (+4)= +12 Múltiplos dos Números Naturais Um número natural x é múltiplo de um número natural y se existir um número natural k que, multiplicado por y, seja igual a x. x= y k Ex.: 15 é múltiplo de 5, pois 15 = é múltiplo de 4, pois 24 = é múltiplo de 6, pois 24 = 4 x 6 24 é múltiplo de 12, pois 24 = é múltiplo de 9, pois 27 = 3 9. M (7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,... } M (11) = { 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88,... } Sendo 0 um número natural, então o zero será múltiplo de todos os números naturais, pois tudo número multiplicado por zero é zero. Divisores de um Número Natural A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural é divisor de outro número natural, se este for múltiplo do mesmo. Por exemplo: 4 é divisor de 20, pois 20 = 4 5, logo 20 é múltiplo de 4 e também é múltiplo de 5. Ex.: Divisores de 60: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Divisores de 18: D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Divisores de 20: D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Divisores de 30: D (20) = {1, 2, 3, 5, 6, 12, 15, 30} 2

4 a) Múltiplos Zero é múltiplo de qualquer dos números naturais O número de múltiplos de um número natural é infinito. b) Divisores 1 é divisor de qualquer um dos números naturais. O número de divisores de um número natural é finito. Critérios de Divisibilidade Os critérios de divisibilidade são regras que nos permitem verificar se um determinado número é divisível por outro sem a necessidade de efetuarmos a divisão. As divisibilidades por 2, 3, 5, 6, 9 e 10 são as mais importantes e de fácil fixação. Divisibilidade por 2 Um número natural será divisível por 2 quando ele for par, ou seja, se termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Ex1.: 3746 é divisível por 2, porque é um numero par, pois termina em 6. Ex2.: 235 não é divisível por 2, pois não é um número par, pois termina em 5. Divisibilidade por 3 Um número será divisível por 3 quando a soma dos valores dos seus algarismos for um número divisível por 3. Ex1.: 432 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 4+3+2=9, e como 9 é divisível por 3, temos que 432 é divisível por 3. Ex2.: 253 não é divisível por 3 pois a soma de seus algarismos é igual a 2+5+3=10, e como 10 não é divisível por 3, temos que 253 não é divisível por 3 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos, o da dezena e o da unidade for um número divisível por 4. Ex1.: 1900 é divisível por 4, pois termina em 00. Ex2.: 2416 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. Ex3.: 2524 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. Ex4.: 3750 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5. Ex1.: 95 é divisível por 5, pois termina em 5. Ex2.: 110 é divisível por 5, pois termina em 0. Ex3.: 117 não é divisível por 5, pois termina com 7 e não com 0 ou 5. Divisibilidade por 6 Quando um número é divisível por 2 e por 3, ele também é divisível por 6. Ex1.: 312 é divisível por seis, pois é par logo divisível por 2 e tem soma dos algarismos 6 logo divisível por 3. Ex2.: 5214 é divisível por seis, pois é par logo divisível por 2 e tem soma dos algarismos 12 logo divisível por 3. Ex3.: 716 não é divisível por seis, pois apesar de ser par e divisível por 2 sua soma dos termos é 14 que não é divisível por 3. Ex4.: 3405 não é divisível por seis, a soma dos seus algarismos é 12 logo divisível por 3 mais não divisível por 2 pois o numero é impar. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Ex.: 2880 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a =18, e como 18 é divisível por 9, então 2880 é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é zero. Ex1.: 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. Ex2.: 2126 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Ex3.: 890 é divisível por 10, pois termina em 0. 3

5 Números Primos São números naturais primos os que têm apenas dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo. Ex1.: 2 tem apenas dois divisores o número 1 e ele mesmo 2, portanto 2 é um número primo. Ex2.: 13 tem apenas os divisores o número 1 e ele mesmo 13, portanto 13 é um número primo. Ex3.: 9 tem os divisores 1, 3 e 9, portanto 9 não é um número primo. Considerando os números naturais até 100 os primos são: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} Decomposição em Fatores Primos Todo número pode ser representado por uma multiplicação que envolve somente números primos Regra prática Existe uma regra prática para fatorar um número. Pelo dispositivo prático dividimos o número pelo seu menor divisor primo, até atingirmos o quociente um. Ex.: Decomponha em fatores primos o número 420. Divisores de um Número Inteiro Um número inteiro além dos divisores positivos também tem os divisores negativos, isso significa que quando consideramos os números inteiros temos o dobro de divisores em relação aos números naturais. Ex.: Divisores de 18: D (18) = {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18} Veja o dispositivo para encontrar dispositivo para encontra o número de divisores inteiros Primeiramente, decomponha o número em fatores primos, depois some 1 aos expoentes e multiplique os resultados e depois dobre o valor. Ex.: o número 18 tem quantos divisores inteiros? Logo temos 2¹ x 3². Somando 1 aos expoentes e multiplicando temos (1 + 1) x (2 + 1) = 2 x3 = 6 Dobro de 6 é 12. Logo o número 18 tem 12 divisores inteiros. Observação: quando queremos saber o numero de divisores positivos basta não dobrar o valor no final. Ex2.: Qual o número de divisores positivos de Fatorando: 4 Temos, então, que 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7, representado em matemática como 2² x 3 x 5 x 7 Ex2.: Decomponha em fatores primos o número 72. Temos que 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3, ou 2³ x 3² fatorado fica 2² x 5³ x 7¹. Logo o número de divisores é dado por (2 + 1) x (3 + 1) x (1 + 1) = 3 x 4 x 2 = 24. Assim o número de divisores positivos de 3500 é 24. Máximo Divisor Comum (mdc) Dois números naturais sempre têm divisores comuns.

6 Ex.: Os divisores de 18 e 24 são: D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18 D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Divisores comuns a 18 e 24 são: 1, 2, 3 e 6. O maior dos divisores comuns é o 6. Logo o 6 é o Máximo divisor comum. Mínimo Múltiplo Comum (mmc) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns. Para percebemos essa característica, vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 4. M(3) = (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...) M(4) = (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) O mínimo múltiplo comum denominado mmc é o menor múltiplo diferente de zero comum aos múltiplos dos dois números. Neste caso o mmc entre 3 e 4 é 12. Forma prática de encontra o mmc e o mdc Podemos utilizar a fatoração cara encontrar o mmc e o mdc no mesmo dispositivo, a decomposição em fatores primos. Ex1.: Qual é o mmc e o mdc entre 56 e 72? Iremos decompor em fatores primos e toda vez que os dois valores tiverem o mesmo divisor marcaremos com *. Para encontrar o mmc basta multiplicar todos os fatores primos na decomposição. mmc = Para encontrar o mdc basta multiplicar os que contem *. mdc = = 8 Ex2.: Qual é o mmc e o mdc entre os valores 320, 400 e 720. mmc = = 7200 mdc = = (CONESUL) Assinale a alternativa que apresenta o valor do M.D.C. de 72 e 168. a) 12. b) 24. c) 8. d) 16. e) (VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a: a) 24 b) 36 c) 49 d) 64 e) (FCC) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em: a) 9 de dezembro de b) 15 de dezembro de c) 14 de janeiro de d) 12 de fevereiro de e) 12 de março (FCC) Ao sacar X reais de sua conta corrente, Alaíde recebeu do caixa do Banco um total de 51 cédulas, que eram de apenas três tipos: 10, 20 e 50 reais. Considerando que as quantias correspondentes a cada tipo de cédula eram iguais, o valor de X era: a) R$ 300,00 b) R$ 450,00 c) R$ 600,00 d) R$ 750,00 e) R$ 900,00 5

7 05. O esportivo, comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de inserções para cada produto. Sabese que a duração de cada inserção, para todos os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a: a) 32 b) 30 c) 24 d) 18 e) (OBJETIVO-SP) - O m.m.c. entre os números é 360. Então, os valores de m e n são, respectivamente: a) 3 e 2 b) 2 e 3 c) 1 e 4 d) 4 e 1 e) n.d.a 07. (FUVEST-SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) (FCC) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi a) 18/11/02 b) 17/09/02 c) 18/08/02 d) 17/07/02 e) 18/06/ (FCC) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se que: Todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em pacotes e encaminhados a diferentes setores dessa Unidade; Todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos; Cada pacote deverá conter um único tipo de objeto. Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um número compreendido entre: a) 10 e 20 b) 20 e 30 c) 30 e 40 d) 40 e 50 e) 50 e (CESGRANRIO) Considere dois grupos de agentes censitários, um deles com 66 agentes e o outro, com 72. Os dois grupos serão divididos em equipes de trabalho. Essas equipes deverão ter o mesmo número de agentes, sendo que todos os agentes de cada equipe devem ser originários do mesmo grupo. Desse modo, o número máximo de agentes por equipe será a) 3 b) 4 c) 5 d) (CESGRANRIO) João tem 100 moedas, umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O número de moedas de 25 centavos que João possui é a) 32 b) 56 c) 64 d) 68 e) B E D E E A E D B C D

8 Frações Definição A expressão que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na composição da fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração, que representa uma divisão. Onde: Numerador indica quantas partes do inteiro são tomadas Nunerador e o denominador indica em quantas Denominador partes estamos dividimos o inteiro, sabendo que este número inteiro deve sempre ser diferente de zero. Para representações de partes de um inteiro utilizamos frações próprias, ou seja, frações em que o numerador é menor que o denominador. Ex.: Para representação de frações impróprias podemos usar os números mistos com inteiros e frações. Operações com Números Racionais Soma e subtração com frações Soma de inteiros com frações é mais fácil se relacionarmos com números mistos. Ex1.: Para somarmos dois quintos com dois inteiros devemos pensar em figuras divididas em cinco partes. Dois inteiros representam 10 partes logo à soma fica: Ex2: Dois sétimos que dizer que estamos dividindo em sete partes logo três inteiros são 7 x 3 = 21 partes. Temos: Na imagem vemos um retângulo dividido em 6 partes onde 5 delas estão pintadas, logo a fração que representa a parte pintada é de 5 6, que é uma fração própria. Quando o numerador é maior que o denominador temos uma fração imprópria, pois temos mais de um inteiro. Os retângulos foram divididos em 6 partes cada um, e o total de partes pintadas é de 9, logo a fração que representa a imagem é ou em número misto, que se lê um inteiro e três sextos. Subtração de inteiros com frações Ex3.: + = 7 7 7A fração tem denominador 3 logo estamos dividindo em três partes. Três inteiro 2 representam 9 pedaços, assim: 3 3 Soma e Subtração de Frações com Frações Soma = de frações temos que garantir que as mesmas 3 3 tenham 3 denominadores iguais ou seja o inteiro esteja dividido em partes iguais. Quando os denominadores são diferentes devemos reescrever as frações com um denominador comum, o mínimo múltiplo comum (mmc). Ex.: O mmc entre 8 e 6 é 24, logo reescreveremos as duas frações com denominador

9 Para encontrar a fração equivalente com denominador 24 que substitui cada uma dividimos o numero 24 pelo antigo denominador e multiplicamos o resultado pelo antigo numerador: 24 dividido por 8 é 3, que multiplicado por 5 resulta em dividido por 6 é 4, que multiplicado por 1 resulta em 4. Temos então: Na subtração de frações a exemplo da suma temos que garantir que as mesmas tenham denominadores iguais ou seja o inteiro esteja dividido em partes iguais. Ex.: Dízimas Periódicas e Decimais Exatos Um número racional pode ser uma dizima periódica ou um decimal exato. Uma fração é um decimal exato quando efetuamos a divisão do numerador pelo denominador e encontramos o fim da mesma. Ex.: Uma fração é uma dízima periódica quando efetuamos a divisão do numerador pelo denominador e encontramos uma repetição infinita que chamamos de período. Ex.: Multiplicação de Frações Para efetuar a multiplicação de frações basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Ex.: Dízima com período 6 Dízima com período 3 Como o numerador e o denominador são múltiplos de 4 podemos efetuar a simplificação encontrando uma fração equivalente dividindo por 4. Em problema quando pedimos, por exemplo: = 4 de 5 quer dizer Dízima com período 5 Dízima com período 15 Transformação de Um Número Decimal Exato em Fração Para transformar um decimal exato em fração contamos o número de casas depois da vírgula, para identificar quantos zeros terá o denominador. Ex1.: 8 Divisão de frações Na divisão de duas frações temos que multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. Ex.: Lembramos que a divisão de frações pode aparecer representada por: Escrevemos 23 sobre 100 porque o decimal original tinha duas casas depois da vírgula Ex2.: Escrevemos 211 sobre 100 porque o decimal original tinha duas casas depois da vírgula. Ex3.:

10 Transformação de Um Número em Dízima Periódica para Fração Geratriz Chamamos de fração geratriz a fração que gerou uma dízima periódica quando dividimos o numerador pelo denominador. Para encontrar essa fração usamos uma artifício matemático descrito a seguir. Ex1.: 2, Resolução: Chamamos 2, de x temos x = 2, depois multiplicamos por 10 pois o período da dizima tem só uma casa, logo 10 x = 23,33... Agora fazemos o maior menos o menor 10x = 23, x = 2, x = x = = 9 3 A fração geratriz da dizima periódica 2, é a fração 3 Ex2.: Qual a fração geratriz da dizima periódica 1, Resolução: Chamamos 1, de x temos x = 1, depois multiplicamos por 100 pois o período da dizima tem duas casas, logo 100 x 123, Agora fazemos o maior menos o menor 100x = 123, x = 1, x = x = 99 Ex3.: Qual a fração geratriz da dizima periódica 1, Resolução: Chamamos 1, de x temos x = 1, depois multiplicamos por 10 pois temos um número que não faz parte do período da dizima, logo 10 x = 12, Agora resolvemos como os anteriores. 10 x = 12, multiplicamos por 10 pois o período da dizima tem só uma casa 100x = 123, x = 12, x = 111 Expressões Quando se resolve expressões numéricas devemos observar o seguinte: Deve-se obedecer a seguinte prioridade de operação: 1º - multiplicação e divisão na ordem em que as mesmas aparecem 2º - soma e subtração na ordem em que as mesmas aparecem II Deve-se primeiro resolver as operações dentro dos parênteses, depois do colchete e por fim as chaves, e dentro de cada um dos três obedecer às regras do item I Ex1.: Resolvemos primeiramente as operações que estão dentro dos parênteses: mmc(3,5) = 15 e mmc(8,12) = 24 Antes de multiplicarmos podemos simplificar por 3 o 24 com o 15 temos então. Ex2.: x = = Começamos pelos parênteses resolvendo as somas em seu interior mmc(5,10)=10, e mmc(6,8)=24 Resolvendo a divisão temos. Resolvendo a divisão temos. 9

11 Simplificando temos. 01. Evandro gasta um terço de seu salário com moradia e ainda lhe sobram R$ 800,00 reais. Qual o salário de Evandro? Daniel gasta de seu salário com 2 4 alimentação de seu salário com moradia e 5 ainda lhe restam R$ 720,00. Qual o salário de Daniel? Daniel gasta de seu salário com alimentação 2 4 do restante com moradia e ainda 5 lhe restam R$ 720,00. Qual o salário de Daniel? 04. (FCC) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos do dia, então ele iniciou a digitação do texto às: a) 13h40min b) 13h20min c) 13h d) 12h20min e) 12h10min 05. (FCC) Suponha que, no instante em que a água de um bebedouro ocupava os de sua capacidade, uma mesma garrafa foi usada sucessivamente para retirar toda a água do seu interior. Considerando que tal garrafa equivale a de litro e foram necessárias 45 retiradas de garrafas totalmente cheias d'água até que o bebedouro ficasse completamente vazio, a capacidade do bebedouro, em metros cúbicos, era: a) 0,054 b) 0,06 c) 0,54 d) 0,6 e) 5,4 06. (FCC) O funcionário A executa de uma tarefa em 1 hora. O funcionário B executa desta mesma tarefa em 1 hora. Os dois funcionários trabalharam juntos na tarefa durante 1 hora. O funcionário A retirou-se após 1 hora de trabalho e o funcionário B terminou a tarefa sozinho. Considerando que o funcionário B mantenha a sua mesma velocidade de execução, o tempo total que o funcionário B permaneceu executando a tarefa é: a) 2h40min. b) 2h50min c) 3h00min d) 3h30min e) 4h00min 07. (FCC) Considere que Tancredo gasta, em média, horas para analisar N documentos fiscais. Assim sendo, para cada 10 documentos a mais que Tancredo analisar, o acréscimo de tempo na análise dos documentos será de a) 2 horas e 30 minutos. b) 2 horas e 15 minutos. c) 1 hora e 45 minutos. d) 1 hora e 30 minutos. e) 1 hora e 15 minutos. 08. (CESGRANRIO) Em Floresta, no interior de Pernambuco, um tonel de 200 litros de água custa R$4,00. Na região central do Brasil, a água que abastece residências custam desse valor. Qual é, em reais, o preço de 100 litros da água que abastece residências na região central do Brasil? a) 0,50 b) 1,00 c) 1,50 d) 2, , , ,00 A A A E A 10

12 00 Geometria A geometria plana é baseada em figuras que tem seus nomes determinados dependendo do número de lados ou de ângulos que possui e ainda dependendo do tamanho desses lados temos alguns nomes especiais. Triângulo Os triângulos posem ser classificados pelo tamanho de seus lados ou pelo tamanho de seus ângulos. Lados Pelo tamanho de seus lados podem ser: Equilátero Isósceles Escaleno No triângulo equilátero e no triângulo isósceles temos que usar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura do triângulo. No triângulo equilátero podemos decorar a fórmula da altura ou usar Pitágoras. Por Pitágoras temos: L L = h L L = h L 2 L = h L L = h 4 2 3L 2 = h 4 3L 4 2 = h 2 L 3 h = 2 No triângulo isósceles vamos usar um exemplo: Ângulo Em relação ao ângulo temos três classificações Retângulo Acutângulo Obtusângulo Quando falamos de triângulos o mais conhecido é o retângulo, pois a relação entre o tamanho de seus lados é a mais conhecida: Teorema de Pitágoras hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos = h + 5 = = h = h h = 144 h = h 25 2 Nos quadriláteros os mais conhecidos são o quadrado e o retângulo. O quadrado tem todos os lados e ângulos iguais logo podemos encontrar a fórmula para o calculo da diagonal = = = 25 d = L + L d = 2L 2 2 d = 2L 2 d= L 2

13 Ex: Qual a diagonal de um quadrado de lado 12cm. d = 12 2cm A exemplo do quadrado o retângulo também tem diagonal calculada pelo teorema de Pitágoras. Ex: Qual é a diagonal de um retângulo que tem comprimento 20cm e largura 12cm? Losango. Losango tem todos os ângulos iguais e não tem ângulos internos iguais. Ex.: Calcule o lado do losango de diagonais 40 cm e 30 cm? d = = + d = 544 d = d Paralelogramo No paralelogramo por termos lados oblíquos usamos o teorema de Pitágoras ou trigonometria no triângulo retângulo. Qual é a altura do paralelogramo se x = = 6 + h = 36 + h = h h = 64 h= 8 L = = + d = 625 d = 25cm d Perímetro e Área. Perímetro: é o contorno da figura Área: é o espaço interno, ou seja a extensão que ela ocupa. Perímetro é a soma de todos os lados da figura. 12 Qual é a diagonal maior do paralelogramo. d = d = + d = 320 d= 8 5 Perímetro = = 24 Área é o espaço interno

14 Área = 29 pois são 29 quadradinhos Fórmula da área de figuras. 13

15 00 Porcentagem Toda fração que tem como denominador o número 100, representa uma porcentagem, o próprio nome quer dizer por cem. Ex.: Multiplicando Cruzado O símbolo % que aparece nos exemplos acima substitui a palavra porcento. Se repararmos em nosso volta, ao andarmos observando as vitrines das lojas vamos perceber que este símbolo % aparece com muita frequência como também o vemos em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc. A porcentagem que pode ser representada por símbolo por fração ou como decimal Com o foco em concursos públicos a forma de resolução mais indicada é por regra de três, pois usamos operações com lucro e prejuízo sobre custo e sobre venda e relacionando com regra de três. Ex2: Uma certa mercadoria foi adquirida por R$ 2 000,00 e revendida com um lucro de 30% sobre o custo. Qual o preço de venda? Ex.: Calcular 18% de 800. Podemos resolver de três maneiras diferentes 1º Forma Multiplicando pela forma de fração. Preço de venda R$ 2.600,00 Ex3.: Uma certa mercadoria foi adquirida por Uma mercadoria foi adquirida por R$ 2 000,00 e revendida com um lucro de 30% sobre a venda. Qual o preço de venda? 14 Podemos cortar dois zeros do 800 com dois zeros do 100 cobrando 8 vezes 18 8 x 18 = º forma Por multiplicação por decimal. 18% = 0, x 0,18 = 144 3º forma Por regra de três % x - 18% Preço de venda R$ 2 857,14 Operações financeiras podem ser realizadas com prejuízo que por sua vez pode ser sobre a venda ou sobre o custo. Ex4: Uma certa mercadoria foi adquirida por R$ 2 000,00 e revendida com um prejuízo de 30% sobre o custo. Qual o preço de venda? Preço de venda R$ 1 538,36

16 Acréscimos sucessivos Quando trabalhamos com acréscimos sucessivos temos tomar o cuidado para trabalhar com um acréscimo de cada vez. Ex1: Um produto sofreu dos acréscimos sucessivos uma de 15% e em seguida um de 10%. Qual o novo valor do produto se antes dos aumentos o mesmo custava R$ 4 500,00. Resolução: Primeiramente encontramos o primeiro aumento que foi de 15%. Depois do primeiro aumento o valor do produto passou a ser 5 175, que é o valor que sofrerá o segundo aumento. Logo o novo preço do produto é R$ R$ 517,50 = R$ 5 692,50 Ex2.: Um carro sofreu dois aumentos sucessivos um de 20% e depois outro de 10%. Que porcentagem única substituiria esses dois aumentos? Resolução: Considere que o valor do carro era de 100 logo 20% de 100 é 20 assim o valor com o primeiro aumento é % de 120 é 12 assim o valor com o segundo aumento é 131. Logo como foi de 100 para 131 o aumento foi de 31%. 01. A renda de uma pessoa cresceu este ano de 8% e atingiu R$ 2 700,00. Qual foi a sua renda do ano anterior? 02. Uma nota promissória de R$ 1980,00 foi paga com R$ 1 683,00. Qual foi a taxa de desconto? 03. Sobre um investimento de R$ 2 500,00 obteve-se lucro de R$ 550,00. Qual foi o percentual de lucro? 04. Uma pessoa recebeu R$ 210,00 para fazer a compra de um objeto, achando-se incluída naquela soma a sua comissão de 5%. Qual é o custo do objeto? 05. O advogado recebe 90% de uma questão avaliada em R$ ,00 e cobra 12% da importância recebida, a título de honorários. Qual a soma que coube ao cliente? 06. (CESPE) Ao entrar em vigor lei específica que estabeleceu novos direitos aos usuários de telecomunicações, uma operadora de telefonia celular perdeu 8% dos seus clientes. A empresa decidiu, então, diminuir sua margem de lucro sobre os serviços ao cliente, o que acarretou um aumento de 10% no número atual de clientes da empresa. Nessa situação, considerando que, após as medidas tomadas pela empresa, o número de clientes da operadora passou a ser de , então o número de clientes dessa operadora antes da perda dos 8% de clientes era a) Inferior a b) Superior a e inferior a c) Superior a e inferior a d) Superior a e inferior a e) Superior a (CESGRANRIO) Uma cidade, no ano de 1990, tinha uma população de milhões de habitantes. Essa mesma cidade, no ano 2000, apresentou uma população de milhões. A taxa de crescimento dessa população, no período de 1990 a 2000, em termos percentuais, foi a) 400% b) 300% c) 200% d) 25% e) 4% 08. (CESGRANRIO) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as mercadorias, em relação ao preço cobrado em janeiro. Pensando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao preço de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de fevereiro, R$72,00 por certa mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a compra fosse feita em 12 de fevereiro? a) 27,00 b) 56,00 c) 61,20 d) 63,00 e) 64,80 15

17 09. (FGV) Guido fez um investimento em um fundo de ações e, a cada 30 dias, recebe um relatório mostrando a valorização ou desvalorização das cotas do fundo nesse período. No primeiro mês o fundo teve uma valorização de 8% e, no segundo mês de 25%. O terceiro mês foi de crise e todas as ações caíram. Entretanto, no fim do terceiro mês, Guido verificou, com certo alívio, que tinha quase que exatamente o mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização no terceiro mês foi de cerca de: a) 22%. b) 26%. c) 30%. d) 33%. e) 37% 10. (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em. a) 18,5%. b) 20%. c) 22,5%. d) 25%. e) 27,5%. 11. (FCC) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um técnico judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número restante à tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o número daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a a) 84,64% b) 85,68% c) 86,76% d) 87,98% e) 89,84% ,00 15% 22% 200, , E A D B D 11 A 16

18 Sistemas de Medidas Sistema Métrico Decimal Conjunto de medidas que reúnem em sua formação inicial três grandezas (comprimento, volume e massa) de forma a eliminar as discrepâncias existentes em todo o mundo. Posteriormente esse sistema veio a ser substituído pelo SI - Sistema Internacional de unidades que abrange toda e qualquer forma de medidas existente. Vejamos agora algumas formas conhecidas: Medida de Comprimento A medida padrão de comprimento adotado foi o metro que vem do grego métron e que significa o que mede. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existe ainda múltiplos e submúltiplos, que tem seus nomes formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Multiplos quilômetro hectômetro decâmetro km hm dam 1000m 100m 10m Unidade fundamental metro m 1m Submultiplos decímetro centímetro milímetro dm cm mm 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos da unidade padrão o metro são usados na medição de grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, tem a função de representar pequenas distâncias. Leitura das Medidas de Comprimento Com o auxílio do quadro abaixo a compreensão torna-se mais simples. Ex.: Faça a leitura da medida 87,052 m. Observe agora: Distribua os números nos respectivos campos abaixo. km hm dam m dm cm mm 8 7, Lemos a parte inteira acompanhada da unidade de medida do último algarismo bem como a parte decimal também acompanhada da unidade de medida de seu último algarismo milímetros ou 87 metros e 52 milímetros. seis quilômetros e 6,07km sete decâmetros oitenta e dois 82,107dam decâmetros e cento e sete centímetros 0,003m três milímetros Transformação de Unidades Veja agora como fica aplicando o quadro acima. Ex.:Converta 25,147 hm em m. km hm dam m dm cm mm Para transformar de hm para m (que está duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 25,147 hm = 25,147 x 100 = 2.514,7m Ex.: Transforme 456 m em km. km hm dam m dm cm mm Para transformar de m para km (que está três posições à esquerda) devemos dividir por m = 456 : = 0,456km Para resolver uma expressão que contem termos em diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos para mesma unidade e em seguida efetuar as operações. 17

19 Medida de Área e medida de Superfície Antes de iniciar nossa breve definição vamos diferenciar Área de Superfície. Superfície é uma grandeza representada em duas dimensões. Já a Área é a medida dessa grandeza descrita por um número. A POLEGADA é uma unidade de comprimento usada no sistema imperial de medidas britânico. Uma polegada são 2,54 CENTÍMETRO OU 25.4 MILÍMETROS. 1 ha = 1hm2 = m² 1a =dam²= 10 m² 1ca = 1m² Transformação De Unidades Para transformar as unidades de superfície devemos considerar que cada unidade é 100 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior: Metro Quadrado A unidade usada para representar a área de uma superfície denomina-se metro quadrado. O metro quadrado (m²) é a medida correspondente à superfície de um quadrado cujo lado mede 1m. Multiplos km² hm² dam² 1000m² 100m² 10m² Unidade Fundamental (Metro Quadrado) m² 1m² Submultiplos dm² cm² mm² 0,1m² 0,01m² 0,001m O dam², o hm² e km² são utilizados para medir grandes superfícies, são os múltiplos do metro quadrado, enquanto o dm², o cm² e o mm² são utilizados para as pequenas superfícies, pois são os submúltiplos do metro quadrado. Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies na área rural, plantações, reservas, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um, o hectare (ha); e um submúltiplo, o centiare. Unidade Agrária Equivalência de valor. Hectare are(a) centiare (ca) 100a 1a 0,01a Observe as seguintes transformações: Ex: Transformar 5,52 m² em mm². km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Para transformar m² em mm² (que está três posições à direita) devemos multiplicar por , vezes 100 a cada casa (100x100x100). Assim: 5,52 x = mm² Ex.: Transformar 400,5 dam² em km². km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Para transformar dam² em km² (que está duas posições à esquerda) devemos dividir por pois duas casa representa dividir por (100 x 100). Assim: 400,5 : = 0,04005 km² Medidas de Capacidade Capacidade é o volume interno de um recipiente e a sua unidade denomina-se litro. Um litro equivale a 1dm³ (10cm³) ou o mesmo que um cubo com aresta de 1dm (10 cm). Aresta: segmento que une dois planos Obs.: as medidas para volume serão vistas no próximo tópico. Múltiplos e submúltiplos do litro. Multiplos kl hl dal 1000l 100l 10l Unidade Fundamental (Litro) l 1l 18

20 Submultiplos dl cl ml 0,1l 0,01l 0,001l Relações importantes: 1kl = 1m³ 1l = 1dm³ 1ml = 1cm³ Transformação de unidades Ao transformar as unidades de capacidade usando o sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Transformação de Unidades Ao transformarmos unidades de volume usando o sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Ex.:Converta 7,51 m³ para dm³. Usando a tabela abaixo como referência temos: km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ Ex.:Converta 5,7 litros para ml Usando a tabela abaixo como referência observe como ficaria. kl hl dal l dl cl ml Para transformar l para ml (que está três posições à direita), devemos multiplicar por 1.000, vezes 10 a cada casa (10x10x10). Assim: 5,7 x = ml Medidas de Volume A medida do volume envolve três dimensões, a saber: comprimento, altura e largura. Para obtermos essa medida utilizaremos o metro cúbico (m³) que é a unidade padrão para volume. Vale lembrar que um m³ equivale ao espaço ocupado por um cubo com um metro de aresta. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Cúbico Multiplos km³ hm³ dam³ m³ m³ 1.000m³ Unidade Fundamental (Metro Cúbico) m³ 1m³ Submultiplos dm³ cm³ mm³ 0,001m³ 0, m³ 0, m³ Para transformar m³ em dm³ (que esta uma posição à direita) devemos multiplicar por Assim: 7,51 x = dm³ Relação entre Capacidade e Volume Agora que conhecemos as medidas de Capacidade e de Volume podemos fazer uma breve correlação entre elas. Vale aqui o breve apanhado feito nas medidas de capacidade. 1 kl = 1m³ 1m³ = 1000L 1L = 1dm³ 1ml = 1cm³ Medidas de Massa É comum confundirmos massa com peso. Massa é a quantidade de matéria existente em um corpo aqui ou em qualquer lugar do espaço. Já o peso é a massa mais a gravidade que atua sobre esse corpo. Assim, um corpo aqui na Terra e o mesmo corpo na Lua teriam pesos distintos por conta da gravidade que atua nestes locais ser diferente. A unidade fundamental da massa é o quilograma (kg), mas usualmente utilizamos o grama como unidade principal. 1 l de água destilada (sem sais) = 1 dm³ = 1 kg. Transformação de Unidades 19

21 Ex: Converta 7,13 kg em dag. Usando o quadro como base, temos: kg hg dag g dg cg mg, simplificando podemos escrever o que significa dizer que para cada 3 administradores compareceram 5 economistas. Para transformar kg para dag (que está duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). Assim: 7,13 x 100 = 713 dag Peso bruto: é o peso do produto com a sua embalagem. Peso líquido: é o peso somente do produto sem a embalagem. Medidas de Tempo As medidas de tempo não fazem parte do Sistema Métrico Decimal. Assim essas medidas serão regidas pelo Sistema Internacional (SI) e este considera como sendo a unidade de tempo padrão, o segundo. Múltiplos e Submúltiplos do Segundo Múltiplos minutos hora dia min h d 60s 60min = 3.600s 24h = 1440 min = s Os submúltiplos do segundo são: Décimo de segundo, centésimo de segundo e milésimo de segundo. Na razão dizemos que 3 é o antecedente e 5 é o conseqüente. Uma das maiores aplicações da razão esta nos mapas, pois neles aparece a escala utilizada que é uma razão entre a medida na figura e a medida real. Ex.:Um mapa esta na escala de 1: Quer dizer que cada centímetro no mapa corresponde a centímetros na realidade. Sempre que fizemos uma comparação usando a palavra por, como em densidade demográfica: habitantes por metro quadrado, metros por segundo, gramas por metro cúbico, etc... Estamos usando uma razão. Proporção Quando temos duas frações que representam a mesma quantidade dizemos que temos uma proporção. Ex.: São frações iguais logo diretamente proporcionais. 20 3,40h 3 h 40 min., pois 0,4 é uma fração da hora. Assim para obtermos os minutos teríamos que multiplicar 0,4 x 60 (min.) = 24 min. Logo 3,40h = 3h e 24 min Razão e Proporção Razão A razão entre dois números nada mais é do que uma fração. Vamos considerar, por exemplo, que em uma reunião compareçam 15 administradores e 25 economistas. O número de administradores esta para o número de economistas assim como: 15 esta para 25. São frações inversamente proporcionais, pois 2/5 é igual ao inverso de. Em uma proporção direta o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Usando o exemplo em que também escrever: podemos o numero 2 e o numero 10 são os extremos e o 5 e o 4 são os meios. Ao invés de produto entre meios e extremos é mais usual a multiplicação cruzada na representação por frações

22 Cálculo da Terceira Proporcional Quando queremos a terceira proporcional x já nos é informado às duas primeiras. Ex.: Qual é a terceira proporcional a 2 e 8. Multiplicando cruzado, ou seja, os meios e os extremos temos: Divisão de grandezas inversamente proporcional Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma delas aumenta a outra diminui, ou quando uma delas diminui a outra aumenta. Ex.: Divida o numero 80 em grandezas inversamente proporcional a 3 e 5. Multiplicando cruzado A terceira proporcional é 32. Cálculo da quarta proporcional Quando queremos a quarta proporcional x já nos é informado às três primeiras. Ex.: Qual é a quarta proporcional a 2, 4 e 8. Multiplicando cruzado, ou seja, os meios e os extremos temos: A quarta proporcional é 16. Divisão de Grandezas Diretamente Proporcional Entendemos por grandeza tudo o que pode ser medido ou contado. No nosso diaa-dia encontramos varias situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando uma delas aumenta a outra também aumenta, ou quando uma delas diminui a outra também diminui. Ex.: A razão entre a idade de um pai e seu filho é de 7:4. Qual a idade de cada um se a soma de suas idades é 66? Saber se duas grandezas são diretas ou inversas é essencial para resolução correta de exercícios com regra de três composta. Regra de Três Regra de três simples A regra de três simples compara duas grandezas e é dividida em duas partes a regra de três simples diretamente proporcionais e a regra de três simples inversamente proporcionais. Diretamente Proporcional Na regra de três diretamente proporcionais temos duas grandezas proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta a outra também aumenta e vice versa. Ex.: 20 operários colhem 150 caixas de tomates em uma manha. Para colher 600 caixas, quantos operários são necessários? Resolução: As duas grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, pois teoricamente se aumentarmos o numero de operários aumentam o numero de caixas colhidas. Assim representamos por duas flechas com mesmo sentido. 21 Multiplicando cruzado temos:

23 Inversamente Proporcional Na regra de três inversamente proporcionais temos duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta a outra diminui e vice versa. Ex.: Uma viagem é feita em 12h com velocidade média de 60Km/h. Qual seria o tempo de viagem se a velocidade aumentasse para 80 Km/h? Resolução: As duas grandezas envolvidas são inversamente proporcionais, pois se aumentarmos a velocidade diminui o tempo de viagem. Representamos por flechas com sentido oposto as grandezas inversas. Conservamos a primeira fração e invertemos a segunda, que tem flecha contraria. Regra de Três Composta A regra de três composta compara mais de duas grandezas. A interpretação se torna parte fundamental dos problemas. Nestes problemas temos que comparar informações aos pares, ou seja, de duas em duas considerando as restantes constantes, para definir quais são inversamente proporcionais e quais são diretamente proporcionais. Ex 1 30 operários gastam 15 dias de 8 horas para construir 52m de muro. Quantos dias de 9 horas gastarão 25 operários, para construir 39m de um muro igual? Resolução: Primeiro passo, temos que comparar todas as grandezas com a grandeza a ser calculada. Durante essa comparação consideramos as outras grandezas constantes. Operários e dias são inversos, pois aumentando o número de operários diminuem os dias de trabalho. Horas por dia e dias são inversos, pois trabalhando mais horas por dia diminuem os dias de trabalho. Dias e metros são diretamente proporcionais, pois mais dias de trabalho mais metros de muro construídos. Fixando o sentido da flecha dos dias, colocamos a flecha diretamente proporcional no mesmo sentido e as inversas com sentido contrario: As frações com flecha contraria a da fração que contem a letra são invertidas. Simplificando 5x = 60 x=12 dias x = x= 12 dias Ex 2 Se 16 homens gastam 8 dias montando 32 máquinas, o número de dias que 20 homens necessitarão para montar 60 máquinas é: Resolução: temos que comparar todas as grandezas com a grandeza a ser calculada, nesse caso o numero de dias. Homens e dias são inversos, pois se aumentando o número de homens diminuem os dias de trabalho. Dias e maquinas são diretamente proporcionais, pois se aumentarmos o número de dias de trabalho mais maquinas são montadas. Fixando o sentido da flecha dos dias que é a grandeza a ser calculada, colocamos a diretamente proporcional no mesmo sentido e a inversa com sentido contrario temos: Simplificando x=12 dias Sem Simplificação Sem Simplificação x=12 dias Ex 3 Um grupo de 12 mulheres leva 6 dias trabalhando 4 hora por dia para colher 300 caixas de morangos. Quantas mulheres serão necessárias para colher 400 caixas de morango em 8 dias trabalhando 6 hora por dia 22

24 Resolução: temos que comparar todas as grandezas com a grandeza a ser calculada, no caso o numero de mulheres. Mulheres e dias são inversos, pois se aumentando o número de mulheres diminuem os dias de trabalho. Mulheres e horas por dia são inversos, pois se aumentando o número de mulheres diminuem as horas diárias de trabalho. Mulheres e números de caixas são diretamente proporcionais, pois se aumentarmos o número de mulheres, aumentam o número de caixas de morangos colhidas. Fixando o sentido da flecha dos dias que é a grandeza a ser calculada, colocamos a diretamente proporcional no mesmo sentido e a inversa com sentido contrario temos: 03. (CESPE) Lavadora de roupas _ À vista 1.300,00 ou 10 vezes de 162,50. De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em: a) Exatamente 25% do valor à vista. b) Mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. c) Exatamente 30% do valor à vista. d) Mais de 30% do valor à vista. 04. (CESPE) A metade de um trabalho foi feito em 15 dias por 6 operários. No fim desse tempo 4 operários abandonaram o serviço. Os operários restantes terminarão o trabalho em quantos dias? a) 18 b) 40 c) 25 d) 45 e) 30 São necessárias 8 mulheres 01. (CESPE) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que: a) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime. b) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. c) O salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00. d) O salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. 02. (CESPE) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse valor, ele gastou 25% pagando dívidas e com alimentação. Nesse caso, o que sobrou do salário de Flávio foi: a) Inferior a R$ 180,00. b) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. c) Superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. d) Superior a R$ 280, (CESPE) Uma pessoa pagou 3/5 de uma divida. A seguir liquidou-a com o desconto de R$ 500,00, correspondente a 5%. Qual o valor da divida? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (CESPE) A taxa única que deverá substituir várias outras de 8%, 10% e 20% nos abatimentos sucessivos de uma fatura é: a) 42,5% b) 41,25% c) 33,76% d) 37,42% e) 39,71% 07. (CESPE) Um viajante quer fazer em 8 dias um trajeto já feito em 12 dias, de 10 horas. Quantas horas por dia deverá andar, se aumentarmos de 1/5 a sua velocidade? a) 10 horas b) 13 horas c) 12,5 horas d) 9 horas e) 8 horas 23

25 08. (CESGRANRIO) Considere que a distância da Terra ao Sol seja, em certo dia, de 150 milhões de quilômetros. Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é de 300 mil quilômetros por segundo, o tempo que a luz emitida do Sol demora para chegar ao nosso planeta é de: a) 8 minutos e 20 segundos. b) 9 minutos. c) 12 minutos e 40 segundos d) 15 minutos e 30 segundos. e) 20 minutos. 09. (CESGRANRIO) A cidade de Rio Claro tem, aproximadamente, 190 mil habitantes. Nessa cidade, um em cada cinco habitantes tem, no máximo, 10 anos de idade. Quantos são os habitantes de Rio Claro que têm mais de 10 anos de idade? a) 19 mil b) 38 mil c) 72 mil d) 144 mil e) 152 mil 10. (FCC) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina e Jasmin foram incumbidos de digitar as 150 páginas de um texto. Para executar essa tarefa, o total de páginas foi dividido entre eles, de acordo com o seguinte critério: Amaro e Jasmim dividiram 3/5 do total de páginas entre si, na razão direta de suas respectivas idades: 36 e 24 anos; Belisário e Celina dividiram entre si as páginas restantes, na razão inversa de suas respectivas idades: 28 e 32 anos. Nessas condições, aqueles que digitaram a maior e a menor quantidade de páginas foram, respectivamente, a) Belisário e Celina b) Amaro e Belisário c) Celina e Jasmim. d) Jasmim e Belisário e) Amaro e Celina. 11. (FCC) Sabe-se que, juntos, três funcionários de mesma capacidade operacional são capazes de digitar as 160 páginas de um relatório em 4 horas de trabalho ininterrupto. Nessas condições, o esperado é que dois deles sejam capazes de digitar 120 páginas de tal relatório se trabalharem juntos durante a) 4 horas e 10 minutos b) 4 horas e 20 minutos c) 4 horas e 30 minutos. d) 4 horas e 45 minutos e) 5 horas A D A D C C C A E E C

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27 Teoria de Conjuntos Um assunto mais tranquilo depois 00das proposições e argumentos. Veremos aqui os principais conceitos dos conjuntos e suas operações. Definições O conceito de conjunto é redundante visto que se trata de um agrupamento de coisas, coisas essas que são os elementos do conjunto. Ex.: Conjunto das vogais do alfabeto. Elementos: a, e, i, o, u. A nomenclatura dos conjuntos são letras maiúsculas do alfabeto Ex.: Conjunto dos estados da região sul do Brasil A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} Representação dos conjuntos Os conjuntos podem ser representados tanto em chaves como em diagramas. Representação em chaves: Ex.: Conjuntos dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Paraguai. B = {Paraná, Mato Grosso do Sul} Representação em diagramas Ex.: Conjuntos das cores da bandeira do Brasil. Elementos e relação de pertinência Nos conjuntos, os elementos pertencem ao conjunto, a relação de pertinência é representada pelo símbolo (pertence). Ex.: Conjunto dos algarismos pares G = {2, 4, 6, 8, 0} Observe que: 4 G 7 G Conjunto unitário e conjunto vazio Conjunto unitário: é aquele que possui um só elemento. Ex.: Conjunto da capital do Brasil K = {Brasília} Conjunto vazio: simbolizado por Ø ou {} é o conjunto que não tem nenhum elemento. Ex.: Conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Chile. M = Ø Subconjuntos Subconjuntos são partes de um conjunto. Ex.: - Conjunto dos algarismos F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} - conjunto dos algarismos impares H = {1, 3, 5, 7, 9} Observe que o conjunto H esta dentro do conjunto F sendo então o conjunto H um subconjunto do conjunto F. As relações entre subconjunto e conjunto são de: esta contido e contém. Os subconjuntos estão contidos nos conjuntos e os conjuntos contém os subconjuntos. Veja: H F; e F H.

28 01. Todo conjunto é subconjunto de si próprio. (D D) 02. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( D) 03. Se um conjunto A possui p elementos, então ele possui subconjuntos. 2 p 04. O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A. Assim, se A = {4, 7}, o conjunto das partes de A, é dado por {, {4}, {7}, {4, 7} Operações com conjuntos União de conjuntos: a união de dois conjuntos quaisquer será representada por A U B e terá os elementos que pertencem a A ou a B, ou seja: A U B = {x / x A ou x B} 01. (FCC) Duas modalidades de esporte são oferecidas para os 200 alunos de um colégio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 não praticam nenhuma destas modalidades. O número de alunos que praticam uma e somente uma destas modalidades é a) 120. b) 100. c) 80. d) 60. e) 40. Resolução: representando o enunciado, temos: O número de elementos da união de dois conjuntos será dado por: n(aub) = n(a) + n(b) - n(a B) Para resolver as questões de conjunto que envolve união de conjuntos, começaremos a resolução sempre pelo que for mais comum aos conjuntos. Interseção de conjuntos: a interseção de dois conjuntos quaisquer será representada por A B e terá os elementos que pertencem a A e a B, ou seja: A B = {x / x A e x B} Calculando o valor de x : 140 x + x x + 20 = x = 200 X = X = 60. Se x = 60, então só 80 praticam somente basquete e só 40 praticam somente futebol. Como a questão está pedindo o número de alunos que praticam somente uma modalidade, essa será de: = 120. Portanto a resposta correta é a letra A. Diferença de conjuntos: a diferença de dois conjuntos quaisquer será representada por A B e terá os elementos que pertencem somente a A, mas não pertencem a B, ou seja: A B = {x / x A e x B}