ALINE TEREZINHA DE SOUZA MONITORAÇÃO DA GERAÇÃO DISTRIBUÍDA EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO VIA TESTES GEOMÉTRICOS DE COLINEARIDADE

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1 ALINE TEREZINHA DE SOUZA MONITORAÇÃO DA GERAÇÃO DISTRIBUÍDA EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO VIA TESTES GEOMÉTRICOS DE COLINEARIDADE FLORIANÓPOLIS 2008

2 ii UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA MONITORAÇÃO DA GERAÇÃO DISTRIBUÍDA EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO VIA TESTES GEOMÉTRICOS DE COLINEARIDADE Dissertação subetida à Universidade Federal de Santa Catarina coo parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre e Engenharia Elétrica ALINE TEREZINHA DE SOUZA Florianópolis, Dezebro de 2008

3 iii MONITORAÇÃO DA GERAÇÃO DISTRIBUÍDA EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO VIA TESTES GEOMÉTRICOS DE COLINEARIDADE ALINE TEREZINHA DE SOUZA Esta dissertação foi julgada adequada para obtenção do título de estre e Engenharia elétrica, Área de Concentração e Sisteas de Energia Elétrica e aprovada e sua fora final pelo Prograa de Pós Graduação e Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina. Prof. Antônio José Alves Siões Costa, Ph.D. Orientador Prof a. Elizete Maria Lourenço, Dra. Eng. Co-orientadora Prof a. Katia Capos de Aleida, Ph.D. Coordenadora do Prograa de Pós Graduação e Engenharia Elétrica Banca Exainadora: Prof. Antônio José Alves Siões Costa, Ph.D. Prof a. Elizete Maria Lourenço, Dra. Eng. Prof. Hans Helut Zürn, Ph.D. Prof a. Jaqueline Gisèle Roli, Dra. Eng. Prof. Flávio Antonio Becon Leos, Dr. Eng.

4 iv Aos eus queridos pais Verônica e Francisco por e peritire chegar até aqui. Eu não estaria onde estou se os seus esforços.

5 v AGRADECIMENTOS Ao eu orientador, professor Antônio Siões Costa, que acopanha eus trabalhos desde a graduação e sepre e incentiva a ir e frente, por ter aceitado e orientar, eso que a distância, não poupando esforços para o bo andaento de nossas atividades. À inha co-orientadora, professora Elizete Maria Lourenço, da Universidade Federal do Paraná, por ter e recebido co tanto carinho e por seu valioso apoio durante grande parte da elaboração deste trabalho. Aos professores do Prograa de Pós-Graduação e Engenharia Elétrica da UFSC que tão be soubera e passar os conhecientos necessários para o desenvolviento de inhas capacidades. Aos professores do Departaento de Engenharia Elétrica da UFSC por desenvolvere e seus alunos ua base sólida, necessária para que eu pudesse ingressar no estrado. À inha irã Neide por desde sepre ter e ostrado o quão iportante era estudar e por ter e dado três sobrinhos lindos: Naiana, Gabriel e Mariana, otivos de grande alegria na inha vida. Às inhas grandes aigas Thais e Silvia pelos aravilhosos oentos que passaos juntas durante o período de graduação e de elaboração deste trabalho. A todos os colegas da ACTUAL, e especial Rafael Anastácio e Vinícius José Siedlecki, que sepre e apoiara e fora flexíveis, possibilitando à continuidade deste trabalho. A todos os eus failiares, tanto os que acreditara e i porque auentara inhas forças, quanto os que duvidara de i porque e incentivara a ir e frente. Aos aigos do LABSPOT por todas as vezes que nos unios nos oentos de dificuldade. Ao CNPq, pelo incentivo financeiro no desenvolviento de inha pesquisa, durante o prieiro ano do curso de Mestrado e Engenharia Elétrica.

6 vi Resuo da Dissertação apresentada à UFSC coo parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Mestre e Engenharia Elétrica. MONITORAÇÃO DA GERAÇÃO DISTRIBUÍDA EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO VIA TESTES GEOMÉTRICOS DE COLINEARIDADE Aline Terezinha de Souza Dezebro/2008 Orientador: Antônio José Alves Siões Costa, Ph.D. Co-orientadora: Elizete Maria Lourenço, Dra. Eng. Área de Concentração: Sisteas de Potência. Palavras-Chave: Geração Distribuída, Estiação de Estados, Testes Geoétricos de Colinearidade, Sisteas de Distribuição. Núero de Páginas: 130. Este trabalho apresenta ua etodologia para onitoração e tepo real da geração distribuída e sisteas de distribuição, baseada no uso da ferraenta de estiação de estados, largaente aplicada a sisteas de transissão, e e testes geoétricos de colinearidade. A etodologia proposta perite identificar se os valores das potências geradas pelas fontes de geração distribuída são consistentes co os valores esperados pelo Operador. Caso isso não se verifique, são fornecidas estiativas das potências geradas pelas fontes de geração distribuída a partir das edições efetuadas ao longo dos alientadores. Na etodologia proposta, a estiação de estados é tratada coo u problea de otiização restrita. As equações do odelo de edição, as restrições estruturais referentes aos nós de injeção nula e ao nó de referência, e as restrições operacionais que dize respeito ao status dos nós co fontes de geração distribuída são incluídas no problea coo restrições de igualdade. O algorito de onitoração das fontes de geração distribuída pode ser dividido e seleção de nós suspeitos e identificação dos nós errôneos. A seleção dos nós suspeitos é realizada através da análise dos ultiplicadores de Lagrange noralizados associados às restrições operacionais. Para a identificação dos nós errôneos, são realizados testes geoétricos de colinearidade entre os ultiplicadores de Lagrange noralizados das restrições suspeitas e as colunas correspondentes da atriz de covariância destes ultiplicadores. A etodologia foi avaliada através de siulações envolvendo u sistea de distribuição teste do IEEE de 34 nós e u alientador realístico co 47 nós de ua concessionária de distribuição local. Os resultados obtidos, descritos e discutidos neste trabalho, atesta a capacidade e a eficiência do étodo na onitoração e tepo real de fontes de geração distribuída.

7 vii Abstract of Dissertation presented to UFSC as a partial fulfillent of the requireents for the degree of Master in Electrical Engineering MONITORING OF DISTRIBUTED GENERATION IN DISTRIBUTION SYSTEMS BY COLLINEARITY GEOMETRIC TESTS Aline Terezinha de Souza Deceber/2008 Advisor: Antônio José Alves Siões Costa, Ph.D. Co-advisor: Elizete Maria Lourenço, Dra. Eng. Area of Concentration: Power Systes. Keywords: Distributed Generation, State Estiation, Collinearity Geoetric Tests, Distribution Systes. Nuber of Pages: 130. This work introduces a ethodology for real-tie onitoring of Distributed Generation (DG) in electric distribution networks based on tools derived fro Power Syste State Estiation, largely applied in transission systes, and collinearity geoetric tests. By using the proposed ethod, the distribution syste operator is able to identify whether the current distributed generation levels are consistent with assued or reported values. If inconsistencies are detected, the ethod can provide estiates for the power outputs of the DG sources by processing the available easureents taken on distribution feeders. With the proposed ethodology, state estiation is treated as a constrained optiization proble. The easureent odel equations, structural constraints related to null injection nodes and to the reference bus phase angle, and operational constraints related to the status of the nodes with DG sources are included into the proble as equality constraints. The steps of the algorith for onitoring the distribution generation sources coprise suspect DG source selection and erroneous DG status identification. The selection of suspect nodes is done by analyzing the noralized Lagrange ultipliers associated with operational constraints. In order to identify erroneous DG status, collinearity geoetric tests involving the noralized Lagrange ultipliers of suspect constraints and the coluns of the corresponding covariance atrix are perfored. The ethodology has been evaluated through siulations involving the 34-node IEEE test syste and a 47-node realistic feeder of a Southern Brazil utility. The results described and discussed in this dissertation validate the ethod s perforance and its efficiency for the real-tie onitoring of DG sources.

8 viii Suário Lista de Figuras... x 1. Introdução Introdução Revisão Bibliográfica Geração Distribuída Estiação de Estados e Sisteas de Distribuição Testes Geoétricos de Colinearidade Contribuições deste Trabalho Estrutura da Dissertação Estiação de Estados e Sisteas de Potência: Forulação e Métodos Introdução O Papel da Estiação de Estados e Sisteas de Potência Forulação da Estiação de Estados e Sisteas de Potência Irrestrita pelo Método de Mínios Quadrados Ponderados Modelo de Medição Função Objetivo do Método dos Mínios Quadrados Ponderados Solução Via Equação Noral de Gauss Solução da EESP Irrestrita Via Método da Matriz Auentada de Hachtel Forulação da Estiação de Estados co Restrições de Igualdade Utilizando o Método da Matriz Auentada de Hachtel Restrições Estruturais Restrições Operacionais Solução da EESP co Restrições Via Método da Matriz Auentada de Hachtel Inclusão de Inforações a Priori Processaento de Erros Grosseiros via Multiplicadores de Lagrange Noralizados Conclusão Geração Distribuída Introdução Geração Distribuída: Conceitos Vantagens e Dificuldades Associadas à Geração Distribuída Vantagens Associadas à GD Dificuldades Associadas à GD Monitoração e Tepo Real da Geração Distribuída Modelage das Fontes de GD coo Restrições de Igualdade Casos e que o Status das Fontes de GD é Desconhecido Conclusão Identificação de Erros de Modelage de GD via Testes Geoétricos de Colinearidade Introdução... 54

9 ix 4.2. Abordage Bayesiana (Teste de Hipóteses) x Abordage Geoétrica (Teste Geoétrico de Colinearidade) Identificação de Erros de Modelage de GD via Testes de Colinearidade Caso de ua Única Fonte de GD Incorretaente Modelada Caso de Múltiplas Fontes de GD Incorretaente Modeladas Teste Geoétrico de Colinearidade Aplicado e dois Estágios Prieiro Estágio Segundo Estágio Algorito Utilizado Conclusão Siulação e Resultados Introdução Sistea 34 Nós (IEEE) Plano de Medição do Sistea Siulações Realizadas Caso 1: Sistea se fontes ativas de GD Caso 2: Sistea co 1 fonte ativa de GD Caso 3: Sistea co 2 fontes ativas de GD Caso 4: Sistea co 3 fontes ativas de GD Caso 5: Sistea co 4 fontes ativas de GD Análise dos Resultados Sistea 47 Nós (Sistea Realístico) Plano de Medição do Sistea Siulações Realizadas Caso 1: Sistea se fontes ativas de GD Caso 2: Sistea co 1 fonte ativa de GD Caso 3: Sistea co 2 fontes ativas de GD Caso 4: Sistea co 3 fontes ativas de GD Análise dos Resultados Conclusão Conclusões Conclusões Finais Sugestões para Futuros Trabalhos Referências Bibliográficas APÊNDICE A A.1 Sistea IEEE 34 Nós A.2 Sistea 47 Nós

10 x Lista de Figuras 4.1 MLN associado a restrição dentro do subespaço vetorial gerado pelas colunas de 60 Ws MLN associado a restrição fora do subespaço vetorial gerado pelas colunas de Ws Fluxograa Sistea 34 Nós IEEE Fluxos nos Raos do Caso 3 Sistea 34 Nós Fluxos nos Raos do Caso 4 Sistea 34 Nós Fluxos nos Raos do Caso 5 Sistea 34 Nós Perfil de Tensão de acordo co os Casos Siulados Sistea 34 Nós Análise das Perdas Sistea 34 Nós Sistea 47 Nós CELESC Fluxo nos Raos do Caso 2 Sistea 47 Nós Fluxos nos Raos do Caso 3 Sistea 47 Nós Perfil de Tensão de acordo co os Casos Siulados Sistea 47 Nós Análise das Perdas Sistea 47 Nós

11 1. Capítulo 1 Introdução 1.1. Introdução Muitos países, inclusive o Brasil, vê enfrentando grandes dificuldades para garantir a expansão de seus parques geradores de energia elétrica de odo a satisfazer as necessidades de cresciento econôico. Nesses casos, a inserção de fontes geradoras de pequeno porte dispersas pela rede, coletivaente denoinadas coo Geração Distribuída (GD), perite a substituição ou pelo enos a postergação de vultuosos investientos e transissão e geração de grande porte. Meso não sendo ainda u ercado plenaente explorado, já se verifica ua crescente inserção de fontes de Geração Distribuída nos sisteas de subtransissão e distribuição undiais. Coo a Geração Distribuída te a característica de se encontrar ais perto dos grandes centros de consuo, observa-se co a sua utilização ua relevante diinuição no custo da geração e distribuição de energia. Alé disso, a utilização de GD contribui para a diversificação da atriz energética do setor elétrico, reduz significativaente os ipactos abientais causados pela geração de grande porte e a dependência da geração centralizada, possibilitando a prorrogação da necessidade de expansão do sistea de transissão e distribuição. A disseinação de fontes de GD é otivada pelo estíulo concedido às figuras do Autoprodutor, pessoa física ou jurídica ou epresas reunidas e consórcio que

12 12 receba concessão ou autorização para produzir energia elétrica destinada ao seu uso exclusivo, e do Produtor Independente (PI), pessoa jurídica ou epresas reunidas e consórcio que receba concessão ou autorização para produzir energia elétrica destinada ao coércio de toda ou parte da energia produzida, por sua conta e risco (ANEEL, 1996). Coo as fontes de GD uitas vezes depende de variáveis cliáticas, coo o sol, as chuvas, o vento, etc., ou seu cobustível é de algua fora sazonal, coo no caso do bagaço da cana, não é raro se observar interitência ou alterações inadvertidas nos ciclos de operação das GD s por parte dos PI s. Alé disso, uitas vezes os ciclos de operação das fontes de GD são definidos pelos próprios agentes geradores, sendo que odificações e tepo real nestes ciclos ne sepre são devidaente inforadas ao Operador do sistea de distribuição. Sendo o Operador dos sisteas de subtransissão/distribuição o encarregado de zelar pela segurança e confiabilidade da operação, o eso necessita, para cuprir co o seu papel, ter acesso e tepo real a inforações confiáveis sobre as condições de operação desses sisteas. Para isso, deve contar co o apoio de ferraentas coputacionais que o auxilie na onitoração da operação das fontes de GD no sistea sob sua responsabilidade. No nível de transissão, situações siilares tornara a odelage e tepo real ua ferraenta fundaental para a oderna operação de sisteas de potência. A partir dessa odelage, centrada na estiação de estados, é possível se estiar as tensões coplexas nos nós e as deais variáveis de interesse, tais coo fluxos de potência ativa e reativa nos raos e injeções de potência ativa e reativa nos nós. No caso das redes de distribuição, grande parte dos alientadores não é suficienteente onitorada para aplicações e tepo real, o que constitui ua diferença iportante e relação aos sisteas de transissão. Na operação convencional, este fato não chega a por e risco a segurança da operação, dada a configuração radial típica dos alientadores dos sisteas de distribuição e o fato do fluxo de potência ser, geralente, unidirecional (a potência ativa flui desde a subestação até as cargas ao longo do alientador). Ao se inserir fontes de GD na rede, cria-se condições para alterações no sentido dos fluxos, auentando os riscos operacionais.

13 13 Incentivado pela probleática exposta, este trabalho apresenta ua nova abordage para onitoração e tepo real da Geração Distribuída e sisteas de distribuição, fazendo uso da teoria da Estiação de Estados, de uso corrente e sisteas de transissão de energia elétrica, e de Testes Geoétricos de Colinearidade, que possibilita a validação das hipóteses feitas sobre os status de últiplas fontes de GD ativas. Considerando-se que usualente o interesse dos PI s está na geração de egawatts, o foco da etodologia proposta concentra-se na obtenção de estiativas para valores de potências ativas geradas pelos geradores distribuídos, se pressupor u conheciento prévio preciso sobre estas quantidades. Procedientos baseados na aplicação de testes geoétricos de colinearidade fora anteriorente utilizados para a detecção e identificação de erros últiplos e edidas (Cleents e Davis, 1986) e para a identificação de erros de topologia (Siões Costa, Lourenço e Vieira, 2005; Lourenço e outros, 2005 e 2006), co resultados bastante satisfatórios. Este capítulo conta co ua revisão bibliográfica coposta por três tópicos: o prieiro referente à geração distribuída, o segundo à estiação de estados e sisteas de distribuição e o terceiro à testes geoétricos de colinearidade. Na seqüência são apresentadas as contribuições deste trabalho, alé da estrutura do eso Revisão Bibliográfica Será apresentada nesta seção ua breve revisão bibliográfica das contribuições ais relevantes para os tópicos abordados neste trabalho: Geração Distribuída, Estiação de Estados e Sisteas de Distribuição e Testes Geoétricos de Colinearidade Geração Distribuída A crescente utilização de fontes de GD, assi coo o increento no ontante de energia gerada por estas fontes não pode ser ignorado. O auento de fontes de GD conectadas às redes de subtransissão e distribuição é u fenôeno undial e, coo

14 14 era de se esperar, uito se necessita pesquisar co a intenção de contornar probleas operacionais e otiizar a conexão dessas fontes ao sistea elétrico. E (Goes e outros, 1999) é feita ua análise da influência da incorporação de fontes de GD no desepenho de sisteas elétricos, assi coo o efeito do auento deste tipo de produção de energia e relação ao total de geração e no supriento de u dado sistea. Carneiro (2006) introduz ua etodologia para onitoração e tepo real da GD e sisteas de distribuição, baseada no uso da ferraenta de estiação de estados e e testes estatísticos de hipóteses. Os resultados das siulações atesta o bo desepenho da etodologia proposta. E (Dugan e McDerott, 2001) faz-se ua análise relacionada aos conflitos na operação de sisteas de distribuição co fontes de GD relacionados à proteção do sistea e aos riscos advindos da conexão destas fontes à rede. Ackerann e Knyazkin (2002) apresenta aspectos relacionados à interação entre GD s e sisteas de distribuição, podendo se destacar a diinuição das perdas e as possíveis elhorias relacionadas ao perfil de tensão dos alientadores. Menciona-se tabé o fato de que a inserção de fontes de GD pode auentar as variações entre os níveis de tensão, facilitando a ocorrência de sobretensões. Alé disso, analisa-se probleas relacionados à proteção de sobrecorrente já que os fluxos, antes nu só sentido (da fonte para o consuidor), pode agora se inverter. E (Brown e outros, 2001) é apresentado u algorito capaz de identificar a solução de enor custo entre expansões do sistea de transissão e e subestações e a localização ótia das fontes de GD, de fora a satisfazer o auento de carga. Dependendo da distância dos centros de consuo, eso considerando o elevado custo dos cobustíveis, as fontes de GD tende a fazer co que a infra-estrutura de sisteas de distribuição e transissão não seja tão exigida. Brown e Freean (2001) discute os ipactos que as fontes de GD pode causar na confiabilidade do sistea. Ackerann (1999) e Wright e Forby (2000) aborda aspectos relacionados a características operacionais, as perspectivas de ercado e da própria GD, a influência das fontes de GD na operação e no planejaento dos sisteas, alé de alguns aspectos econôicos e da regulação do ercado energético.

15 15 Lora e Haddad (2006) discute os aspectos tecnológicos, abientais e institucionais da inserção de fontes de GD nos sisteas de distribuição, tentando quebrar o paradiga de que a inserção dessas fontes possa ser ua aeaça às distribuidoras de energia. Carvalho, Araújo e Aado (2004) analisa os ipactos da conexão de pequenos geradores na rede de distribuição de energia elétrica, as principais vantagens e desvantagens ocasionadas co esta conexão, os aspectos regulatórios e as políticas que estiula a iplantação da GD. Arouca e Matz (2004) ostra que o desenvolviento da GD segue a tendência internacional e discute possíveis instruentos de estíulo a esta fora de geração. Aendola, Guiarães e Fronterotta (2004) apresenta u enfoque econôico quanto à viabilidade da iplantação da GD. Mostra-se que a utilização de fontes de GD se justifica quando seu custo de iplantação for enor ou igual ao custo evitado no ponto de instalação. Tal avaliação é realizada co o auxilio dos custos arginais de longo prazo. Tavares (2003) apresenta ua análise acerca dos ipactos, positivos e negativos, causados pela interconexão de produtores independentes de energia nos sisteas de distribuição. Esta avaliação aborda principalente o coportaento dos sisteas de proteção epregados nas concessionárias de energia, visando detectar probleas e características inerentes que se apresenta nos sisteas quando os esos estão sob conexão dos novos agentes de geração. Outros teas relacionados à interligação de novos produtores, coo odificações nos níveis de curto circuito, redistribuição de fluxos de potência, elevações nos perfis de tensão e carregaento dos alientadores, tabé fora abordados Estiação de Estados e Sisteas de Distribuição Estiadores de Estado para Sisteas de Distribuição tê sido desenvolvidos adaptando-se étodos utilizados, a priori, para Sisteas de Transissão (Baran e Kelley, 1994). O principal deles é o Método dos Mínios Quadrados Ponderados, o qual tenta estiar os estados do sistea iniizando as diferenças entre os valores edidos e os valores estiados.

16 16 Guirelli (1999) discute sobre as dificuldades e se estiar os estados de sisteas de distribuição, sendo esses sisteas copostos basicaente por alientadores co características radiais, usualente curtos, não-transpostos e desbalanceados por natureza. Reforça o fato de haver pouca disponibilidade de edidas e tepo real, sendo que a aioria dos pontos edidos situa-se nas subestações e apresenta u histórico dos estiadores de estado aplicados a sisteas de potência desde os anos 70 até o ano de publicação, São apresentadas tabé as funções auxiliares dos estiadores de estado coo: detecção de dados corropidos, topologia, observabilidade e alocação de edidores. E (Baran, Zhu e Kelley, 1996) é ostrado que a estiação de estados eleva a capacidade de onitoração do sistea eso co liitado núero de edidas, sendo utilizada tanto na análise de contingências coo na detecção de erros de topologia. Alé disso, a estiação de estados beneficia as funções de controle (controle de tensão/reativo durante a operação noral e restauração de alientadores e condições de eergência), epregadas ao nível de distribuição. Monticelli (1999) apresenta os fundaentos teóricos da estiação de estados baseada no Método dos Mínios Quadrados Ponderados, incluindo teas relacionados coo: fluxo de potência, teoria de observabilidade, análise de erros grosseiros, entre outros. Baran e Kelley (1994) apresenta u estiador trifásico para sisteas de distribuição que utiliza o étodo dos ínios quadrados ponderados. E (Baran e Kelley, 1995) os autores estende o estiador utilizado e (Baran e Kelley, 1994) para possibilitar a utilização de edidas de corrente. O estiador resultante ostra-se ais eficiente, coputacionalente falando, do que o étodo utilizado anteriorente, baseado na utilização de edidas de tensão e potência. Sarić e Ćirić (2003) apresenta u algorito fuzzy para análise da estiação de estados integrada e do fluxo de carga e redes de distribuição. O algorito utiliza dados históricos disponíveis e edidas e tepo-real. A solução fuzzy proposta pode ser utilizada diretaente, coo dado de entrada para outros sisteas de gerenciaento da distribuição, ou indiretaente nos algoritos clássicos. Pereira e Saraiva (2004) apresenta ua etodologia copleta para elevar o desepenho da estiação de estados e redes de distribuição. O algorito estia os

17 17 valores binários das variáveis topológicas errôneas ou incopletas sendo capaz de incluir dados odelados por núeros fuzzy assi coo resultados fuzzy de procedientos de alocação de carga. O artigo descreve a etodologia desenvolvida para ser utilizada na estiação de estados baseada no sistea de inferência de Takagi- Sugeno Testes Geoétricos de Colinearidade Cleents e Davis (1986) desenvolve ua etodologia para a detecção e identificação de erros últiplos e edidas através da interpretação geoétrica de testes co os resíduos noralizados, aplicados a casos onde tê-se apenas u único erro nas edidas. Este teste, generalizado no eso artigo para erros últiplos e edidas, deterina se o vetor de resíduos das edidas suspeitas encontra-se no subespaço gerado pelas colunas da atriz de sensibilidade dos resíduos. E (Siões Costa, Lourenço e Vieira, 2005) é abordado o problea da identificação de erros de topologia por estiadores de estados ortogonais baseados nas rotações de Givens. O artigo foca a atenção no problea de observabilidade/criticidade durante o processaento dos erros de topologia e o desepenho dos procedientos de identificação. Os testes geoétricos de colinearidade são utilizados de fora a garantir que todos os disjuntores co status errôneo são incluídos no conjunto suspeito. O Teste de Colinearidade envolvendo ultiplicadores de Lagrange e as colunas da atriz de covariância correspondente é utilizado por (Lourenço e outros, 2005 e 2006) para identificação de erros de topologia e redes de transissão. Procediento siilar a este é utilizado nesta dissertação para a identificação de fontes ativas de GD, coo será descrito no Capítulo Contribuições deste Trabalho Nesta dissertação os testes geoétricos de colinearidade são epregados na onitoração de fontes ativas de GD. Trata-se de ua nova aplicação da etodologia de identificação de erros de odelage baseada e testes geoétricos de colinearidade

18 18 Outra contribuição iportante advé do fato de os testes geoétricos de colinearidade tere sido utilizados anteriorente e (Lourenço e outros, 2006) para identificação de erros de topologia e sisteas de transissão. Este trabalho abordará ua aplicação a sisteas de distribuição. Os testes geoétricos de colinearidade tê sido utilizados e aplicações baseadas e odelos lineares da rede elétrica (Lourenço e outros, 2006). Este trabalho estende esta abordage para peritir sua utilização para odelos não-lineares. A onitoração de fontes de Geração Distribuída, tea principal deste trabalho, foi abordada anteriorente e (Carneiro, 2006), onde se fez uso de testes estatísticos de hipóteses baseados na Teoria de Bayes. Dando continuidade a este estudo, que obteve resultados bastante satisfatórios, propõe-se a utilização dos testes geoétricos de colinearidade e substituição aos testes de hipóteses, co intuito de facilitar a ipleentação e diinuir o esforço coputacional Estrutura da Dissertação O Capítulo 2 apresenta ua revisão da teoria da Estiação de Estados e Sistea de Potência (EESP), citando o papel da EESP, descrevendo sua forulação básica e sua forulação co a inclusão de restrições de igualdade. Apresenta-se tabé a solução do EESP co restrições de igualdade pelo étodo da atriz auentada de Hachtel e a fora coo as inforações a priori são incluídas no problea de EESP. Por fi, faz-se ua breve explanação sobre o processaento de Erros Grosseiros (EG s) via ultiplicadores de Lagrange noralizados. No Capítulo 3 são apresentados os conceitos utilizados para definir a Geração Distribuída (GD), as vantagens e dificuldades associadas ao uso dessas fontes e a fora coo a GD pode ser onitorada no problea de EESP. O Capítulo 4 apresenta a forulação da ferraenta ateática dos testes de colinearidade, utilizada na identificação de erros de odelage. Prieiraente abordase o problea para identificação de apenas u erro de odelage, sendo esta abordage estendida para casos de últiplos erros. Descreve-se passo-a-passo a forulação do teste de colinearidade, que é feita e dois estágios. O prieiro estágio é o responsável por garantir que todas edidas co erros de odelage seja incluídas

19 19 no conjunto de edidas suspeitas enquanto que o segundo estágio testa cada edida incluída no conjunto suspeito, certificando-se de que a esa está realente erroneaente odelada. As siulações utilizadas para se concluir a respeito da eficiência da etodologia utilizada, assi coo os resultados obtidos co a aplicação desta etodologia são apresentados no Capítulo 5. Para realização dos testes utiliza-se dois sisteas-teste. O prieiro deles, de 34 nós, é disponibilizado pelo IEEE (IEEE 34 Node Test Feeder) enquanto que o outro, co 47 nós, é u alientador realístico do sistea Sul do Brasil, disponibilizado pelas Centrais Elétricas de Santa Catarina (CELESC). Por fi, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões sobre o tea proposto e sugestões para futuros trabalhos.

20 20 2. Capítulo 2 Estiação de Estados e Sisteas de Potência: Forulação e Métodos 2.1. Introdução A Estiação de Estados de Estados e Sisteas de Potência (EESP) é ua ferraenta coputacional de base estatística que age coo u filtro de ruídos na eliinação de erros e dados (Baran e Kelley, 1994). Neste processo, a topologia e os parâetros (linhas, ipedâncias, etc) da rede são supostos conhecidos e utilizados juntaente co edidas adquiridas e tepo real para a obtenção da elhor estiativa das variáveis de estado do sistea. Os estados fora u conjunto de variáveis (usualente as tensões coplexas nos nós) as quais, se conhecidas, deterina todas as outras quantidades do sistea. Dessa fora, a EESP basicaente deterina o ponto de operação atual do sistea. A Estiação de Estados ve sendo utilizada co sucesso há ais de 30 anos e sisteas de transissão. Nesses sisteas os planos de edição são redundantes o suficiente para assegurar resultados precisos e confiáveis. Nos sisteas de distribuição e subtransissão, onde se encontra a aioria das fontes de GD, usualente, as únicas edidas disponíveis e tepo real nos centros de distribuição são edidas de tensão e potência nas subestações e e alguns pontos de carga e edidas de corrente e fluxo ao longo do alientador. É relativaente cou a falta de inforações precisas sobre o status (ligada/desligada) das fontes de geração distribuída, provocando erros quanto à

21 21 odelage dessas fontes. Já a identificação desses erros constitui u problea bastante coplexo. Devido à sua habilidade na detecção de erros no processaento de inforações, a ESSP te sido largaente utilizada coo ua ferraenta fundaental para a odelage e tepo real do sistea de potência. O processaento de dados teleedidos reporta os valores atuais das variáveis do sistea que são utilizados para a onitoração e a análise de segurança. Existe ua contínua procura por étodos capazes de solucionar o problea de EESP, sendo fatores que influencia na decisão sobre qual étodo se utilizar características coo o coportaento nuérico do algorito e o esforço coputacional envolvido. Dentre os étodos pesquisados destaca-se o étodo da Equação Noral (Schweppe e Wildes, 1970; Schweppe e Ro, 1970; Schweppe, 1970), étodos ortogonais (Siões Costa e Quintana, 1981; Vepati, Slutsker & Tinney, 1991) e o étodo da Matriz Auentada de Hachtel, tabé conhecido coo Tableau Esparso (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985). Para estiar as variáveis de estado, as ferraentas de EESP baseia-se nas edidas existentes e na topologia atual da rede. Para que o processo de estiação não seja coproetido, erros grosseiros de edidas e erros de topologia na odelage da rede precisa ser identificados. U estiador de estados eficiente deve ser capaz de identificar e eliinar erros grosseiros e edidas e erros de topologia, possibilitando dessa fora a correta odelage da rede. O estiador de estados utilizado neste trabalho baseia-se no Método da Matriz Auentada que, por sua vez, utiliza a forulação de Mínios Quadrados Ponderados para solução do problea de estiação. No inicio da década de 90, Monticelli (Monticelli, 1993a, 1993b) propôs ua nova odelage da estiação de estados, possibilitando u aior detalhaento das partes da rede consideradas suspeitas. Esta proposta tornou-se base de novos estudos baseados nos ultiplicadores de Lagrange noralizados (Cleents e Siões Costa, 1998), (Lourenço, 2001). Posteriorente, isto se refletiu na forulação da estiação de estados coo u problea de otiização, onde inforações a respeito do status dos nós co fontes de GD a eles conectadas são representadas coo restrições de igualdade. Para se concluir sobre o real status desses geradores, os valores dos

22 22 ultiplicadores de Lagrange associados a estas restrições são testados (Cleents, Siões Costa, 1998). Este capítulo te coo objetivo apresentar a forulação da ferraenta de estiação de estados para casos não-lineares, proporcionando u odelo que se ajusta ao coportaento e tepo real de sisteas de distribuição e visando identificar o status verdadeiro das fontes de geração distribuída existentes, garantindo deste odo a onitoração adequada da segurança do sistea. Inicialente é apresentado o papel da estiacão de estados e sisteas de potência. Na seqüência, descreve-se a forulação básica da teoria de estiação de estados baseada no étodo dos Mínios Quadrados Ponderados resolvido pelo étodo da Matriz Auentada de Hachtel. Posteriorente aborda-se o trataento de restrições de igualdade e a correspondente extensão da solução via étodo da atriz auentada de Hachtel. A partir da forulação que perite o trataento de restrições de igualdade, inclui-se no problea o processaento de inforações a priori, o que contribui para elhorar o condicionaento nuérico do problea de estiação de estados. Finalente, faz-se ua breve explanação sobre a identificação de erros grosseiros via ultiplicadores de Lagrange O Papel da Estiação de Estados e Sisteas de Potência A estiação de estados é ua ferraenta coputacional cuja função é fornecer ua base de dados e tepo real, a partir do cálculo das variáveis de estado da rede, tendo coo inforações teleedidas obtidas e tepo real e disponibilizadas ao estiador, as quais deve apresentar u grau de redundância que perita a correta identificação de erros grosseiros, assi coo a sua eliinação (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985). O estiador de estados basicaente processa as edidas disponíveis (geralente agnitudes de tensão nos nós, injeções de potência ativa e reativa, fluxos de potência ativa e reativa, correntes, etc) co objetivo de estiar os estados do sistea, ou seja, as tensões coplexas de todos os nós, e função das quais pode ser descritas as deais características do sistea. A Estiação de Estados coo u problea de iniização co restrições de igualdade foi proposto por (Aschoneit, Peterson e Adrian, 1977). E (Cleents e

23 23 Siões Costa, 1998) as restrições de igualdade são classificadas e restrições estruturais, que representa condições que não se altera durante o período de estudo, e restrições operacionais, que representa condições que se altera e função de condições de operação, confore será detalhado nas seções seguintes. Será tabé visto nas seções seguintes o desenvolviento da forulação da EESP, possibilitando assi u elhor entendiento do algorito proposto para e detecção de GD s ativas e Sistea de Distribuição Forulação da Estiação de Estados e Sisteas de Potência Irrestrita pelo Método de Mínios Quadrados Ponderados Modelo de Medição Considera-se u sistea de potência co N nós, no qual N quantidades são edidas e a topologia e os parâetros do sistea são conhecidos. Sob estas condições, a partir de estiativas para os valores das tensões coplexas nos nós, é possível se deterinar o fluxo de potência e qualquer linha de transissão e a injeção de potência e qualquer nó. Assi, o vetor de estados é forado por N 1 ângulos de fase das tensões nos nós do sistea (o ângulo do nó de referência é conhecido) e os N ódulos das tensões nos nós. Dessa fora, a diensão do vetor de estados do sistea é n = 2N 1. O conjunto das quantidades edidas da rede obtidas e tepo real, as variáveis de estado do sistea e os erros de edição pode ser relacionados através do seguinte odelo de edição (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985): z = z 0 + ε (2.1) onde: z : vetor N 1das quantidades edidas;

24 24 z : vetor N 1 dos valores verdadeiros das quantidades edidas; 0 ε : vetor N 1dos erros aleatórios de edição. O vetor x das variáveis de estados forado pelas tensões coplexas nos nós pode ser escrito coo: onde, x = θ (2.2) v θ : vetor ( N 1) 1 dos ângulos nos nós, sendo que o nó de referência é especificada a priori; v : vetor N 1 do ódulo das tensões nos nós. O vetor ε representa as iprecisões de edidores, erros nos transforadores dos instruentos de edição, efeitos de conversão analógica digital, etc. Supondo que este vetor possui édia zero e que os erros de edição são não-correlacionados, a atriz de covariância correspondente é diagonal e seus eleentos são definidos pelas variâncias dos erros de edição, calculados co base na exatidão dos edidores. Assi: e onde: E {.} : operador expectância; { } = 0 E ε (2.3) T { ε } R E ε = (2.4) R : atriz de covariância N N dos erros de edição, suposta diagonal. O vetor de edidas pode ser expresso coo ua função não-linear dos estados, tendo por base as leis de Kirchhoff e a lei de Oh, isto é:

25 25 z = h ( ) (2.5) 0 x onde, x : vetor n 1 de variáveis de estado; h (x) : vetor N 1de funções não-lineares que relaciona as quantidades edidas às variáveis de estado x. Assi, a equação (2.5) pode ser escrita coo: z = h ( x) + ε (2.6) Função Objetivo do Método dos Mínios Quadrados Ponderados A EESP baseia-se no étodo dos ínios quadrados ponderados, o qual busca deterinar as estiativas para o vetor de estados x que elhor se ajusta ao odelo de edição, através da iniização da soa ponderada dos quadrados dos resíduos. Os resíduos de estiação são definidos coo: r = z h (x) (2.7) Portanto, o étodo dos Mínios Quadrados Ponderados fornece ua estiativa para os valores dos estados obtidos pela iniização da seguinte função objetivo: Min x J ( x) = T 1 [ z h ( x) ] R [ z h ( x) ] (2.8) onde R é a atriz de covariância dos erros de edição, de diensão N N.

26 26 A ponderação da função objetivo é realizada pela atriz 1 R, cujos eleentos diagonais são iguais ao inverso da variância de cada edidor. Ou seja, quanto ais exata for a edição, enor é o valor da variância correspondente e conseqüenteente aior é o valor de R 1, ii. Desta fora, os edidores que fornece leituras ais confiáveis recebe aior peso na forulação do problea dos Mínios Quadrados Ponderados Solução Via Equação Noral de Gauss A aplicação do étodo da Equação Noral de Gauss à EESP foi proposta na década de 70 (Schweppe, 1970) e é tabé conhecido coo étodo de Gauss-Newton (Siões Costa, Salgado e Machado, 1999). Devido a natureza quadrática e a ausência de restrições, a problea apresentado e (2.8) pode ser resolvido iterativaente pelo étodo de Newton. Para tanto, a equação (2.8) deve ser linearizada e torno de u valor conhecido do vetor de estados k x (Schweppe e Wildes, 1970; Gjelsvik, Aa e Holten, 1985). A solução do problea linearizado fornece o vetor de correções corrente coo: x que perite atualizar o vetor de estados k x +1 k = x + x (2.9) A função custo a ser iniizada para o problea linearizado toa a fora (Schweppe e Wildes, 1970), (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985): J ( x) = k T 1 k [ z H ( x ) xˆ ] R [ z H ( x ) xˆ ] (2.10) onde z é o vetor increental de edidas e H ( x k ) é a atriz Jacobiana das funções das edidas, dadas por: k ( x ) z = z h (2.11)

27 27 e H k k h ( ) ( x ) x = x k (2.12) A equação (2.13) estabelece a condição necessária de otialidade: J ( x) = 0 (2.13) A aplicação da condição (2.13) leva a conhecida a Equação Noral de Gauss (por conveniência, o arguento de H é supriido) dada por (Schweppe e Wildes, 1970): G x k = H T 1 R z (2.14) onde G é ua atriz quadrada n n definida por: T 1 G = H R H (2.15) A atriz G, denoinada atriz de inforação ou atriz ganho, é siétrica e será definida positiva se e soente se o núero e a distribuição das edidas do plano de edição seja tais que assegure a observabilidade da rede elétrica. Se estas condições fore satisfeitas, a equação (2.8) apresentará ua solução única (Krupholz, Cleents e Davis, 1981; Siões Costa e Mandel, 1986). A solução final do problea de estiação de estados pelo étodo dos ínios quadrados ponderados é obtida através de u procediento iterativo e que calculado e cada iteração resolvendo-se a equação (2.14). Novas estiativas para os estados são então obtidas da aplicação da equação (2.8). As atualizações prossegue até que o critério de parada dado pela equação (2.16) seja satisfeito, ou seja: x é x < β (2.16)

28 28 onde β é u valor de tolerância pré-especificado. Coo indicado e (Siões Costa e Quintana, 1981; Bose e Cleents, 1987) o étodo da Equação Noral é sensível a probleas de estabilidade nuérica. Esta característica está relacionada ao condicionaento da atriz de inforação G, sendo que seu núero de condicionaento é aproxiadaente igual ao quadrado do núero de condicionaento da atriz Jacobiana H (x) (Siões Costa e Quintana, 1981; Siões Costa, Salgado e Machado, 1999). Co isso, u condicionaento nuérico ainda aceitável de H (x) pode provocar au condicionaento de G e afetar a estabilidade nuérica do étodo da Equação Noral Solução da EESP Irrestrita Via Método da Matriz Auentada de Hachtel Na tentativa de solucionar probleas de condicionaento e estabilidade nuérica do étodo da Equação Noral, étodos alternativos fora propostos, entre eles o étodo da Matriz Auentada de Hachtel, tabé conhecido coo étodo do Tableau Esparso. O étodo da Matriz Auentada de Hachtel, proposto e (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985), apresenta estabilidade nuérica superior ao étodo da Equação Noral. Sua atriz de coeficientes é uito esparsa, e a utilização das técnicas de esparsidade copensa o esforço coputacional exigido pela aior diensão da atriz (Siões Costa, Salgado e Machado, 1999). Considerando a definição do vetor de resíduos dada pela equação (2.7), a forulação de ínios quadrados ponderados pode ser apresentada da seguinte fora: s. a onde: T Min r R r (2.17) z 1 h ( x) r r : vetor N 1 de resíduos das edidas; = 0

29 29 R : atriz de covariância dos erros de edição, suposta diagonal e de diensão N N ; z : vetor N 1 de edidas; x : vetor n 1 de estados estiados. O problea de iniização restrita apresentado e (2.17) pode ser resolvido pelo étodo da Matriz Auentada de Hachtel. Para tanto, é necessário forar a função Lagrangeana do problea, atribuindo-se u ultiplicador de Lagrange à restrição de igualdade: L( x) = 1 2 T r R 1 r T + λ ( z h ( x) r ) (2.18) onde λ representa o ultiplicador de Lagrange associado às edidas. A função (2.18) pode ser diferenciada de fora a se obter as condições de prieira orde necessárias para a obtenção de ua solução ótia, tabé conhecidas coo condições de Karush-Kuhn-Tucker (Karush, 1939; Kuhn e Tucker, 1950), o que leva ao seguinte sistea de equações não-lineares: r 1 L= R r λ = 0, (2.19) x T L = H ( x) λ = 0 (2.20) e λ L = z + h ( x) r = 0 (2.21) onde: H k ( x ) ( x) h = (2.22) x

30 30 é a atriz Jacobiana, de diensão N n. Da equação (2.19), concluíos que: r = λ (2.23) R Linearizando-se (2.21) e utilizando-se (2.23), chega-se a: k z h ( x ) H x R λ = 0 (2.24) A partir da linearização de (2.20), que é iediata, e da equação (2.24), verificase que o problea de estiação de estados (2.17), pode ser interativaente resolvido pela aplicação do algorito de tableau esparso de Hachtel (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985) que consiste na solução do seguinte sistea linear e cada iteração: 0 H H T R x = 0. λ z h ( x k ) (2.25) O étodo é iterativo, sendo que recentes de x. A solução é alcançada quando a nora de deterinado liiar (1x10-3, por exeplo). x é utilizado para atualizar os valores ais x for enor que u 2.4. Forulação da Estiação de Estados co Restrições de Igualdade Utilizando o Método da Matriz Auentada de Hachtel A Estiação de Estados pode ser forulada coo u problea de iniização restrita, incorporando novas restrições de igualdade, classificadas coo estruturais e operacionais. A função objetivo é a soa ponderada dos quadrados dos resíduos de estiação (Cleents e Siões Costa, 1998). É ainda possível incorporar à função

31 31 objetivo ais u tero referente às inforações a priori, coo será visto posteriorente neste trabalho. O étodo da Matriz Auentada de Hachtel apresenta boa a estabilidade nuérica e elevado desepenho coputacional (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985; Holten, Gjelsvik, Wu e Liu, 1988). Alé disso, possui a característica de fornecer os ultiplicadores de Lagrange e sua atriz de covariância se a necessidade de se efetuar cálculos adicionais após a solução do étodo. Devido a esses fatores, juntaente co a facilidade de sua concepção e forulação, o étodo da atriz auentada será epregado neste trabalho para se obter a solução do problea de estiação de estados co restrições. Neste trabalho distingue-se dois tipos de restrições de igualdade incluídas ao problea de EESP: restrições estruturais e restrições operacionais. Abas serão descritas nas subseções seguintes Restrições Estruturais As restrições estruturais dize respeito à configuração física da rede, sendo noralente utilizadas na odelage dos nós que possue injeções de potência nulas, tabé chaados de nós de transferência, e do nó de referência. Estes nós não são freqüentes e sisteas de distribuição, as, caso exista, deve ser levadas e consideração. A inforação de que o nó i é u nó de transferência é odelada coo: p = 0 (2.26) i q = 0 (2.27) i onde p i e q i representa as injeções de potência ativa e reativa, respectivaente. O nó de referência é representado através da definição do valor do seu ângulo, da seguinte fora:

32 32 δ = 0 (2.28) r onde r é o índice do nó de referência. As restrições estruturais inclue os dois tipos de condições acia e serão genericaente referenciadas neste trabalho coo: h s ( x) = 0 (2.29) onde, h s (x) : vetor N 1de funções não-lineares das restrições estruturais. s Restrições Operacionais Alé das restrições estruturais, outras restrições definidas coo restrições operacionais, pode surgir no problea e função das necessidades ditadas pelas condições de operação do sistea. As restrições operacionais são dinâicas, podendo ser alteradas no curso do problea. As restrições operacionais pode odelar os nós co potencial de GD, o status de chaves e disjuntores, transações não-reveladas, entre outras configurações da rede e serão referenciadas genericaente na forulação da estiação de estados restrita coo: h o ( x) = 0 (2.30) onde, h o (x) : vetor N 1de funções não-lineares das restrições operacionais. o trabalho. Na seção (3.4) será discutida a utilização das restrições operacionais neste

33 Solução da EESP co Restrições Via Método da Matriz Auentada de Hachtel A partir de (2.17), adicionando-se restrições de igualdade à forulação do étodo da Matriz Auentada de Hachtel, o eso torna-se u problea de otiização restrita: Miniize Sujeito a 1 T 1 r r R 2 r = z h ( x) = 0 h ( x) = 0 s o h ( x) (2.31) Neste caso, o vetor de resíduos, r, e a atriz de covariância dos erros, R, são definidos, respectivaente, por: T [ 0 ] T r = 0 r (2.32) e R R = (2.33) Rs 0 0 R o sendo que R, R s e R o, representa diagonais da atriz de covariância das edidas, restrições estruturais e operacionais, respectivaente. Teoricaente as atrizes R s e R o são nulas, já que corresponde a inforações deterinísticas. Na prática, são substituídas por ε I, onde I é a atriz identidade e ε é u valor pequeno aior do que zero, de fora a se evitar probleas nuéricos no processo de solução.

34 34 A função Lagrangeana do problea, atribuindo-se ultiplicadores de Lagrange para as restrições de igualdade, é representada coo: ) (. ) (. ) ) (.( ) ( 1 x h x h r x h z r R r x L o o s s T λ λ λ + = (2.34) onde λ, s λ e o λ são os ultiplicadores de Lagrange associados às edidas, às restrições estruturais e às restrições operacionais, respectivaente. Os valores destes ultiplicadores representa a sensibilidade da função objetivo co relação às variações nestas restrições (Gjelsvik, 1993). Para se obter as condições de otialidade de prieira orde, necessárias para se alcançar a solução ótia, os gradientes da função (2.34) deve ser feitos iguais a zero. Co isso, tê-se o seguinte sistea de equações não-lineares: 0, 1 = = r r R L λ (2.35) 0, ) ( ) ( ) ( = = o T o s T s T x x H x H x H L λ λ λ (2.36) 0, ) ( = + = r x h z L λ (2.37) 0 ) ( = = x h L s s λ (2.38) e 0 ) ( = = x h L o o λ (2.39) onde são definidas as seguintes atrizes Jacobianas: ( ) ( ), x x h x H k = (2.40)

35 H s k hs ( ) ( x) x 35 = (2.41) x e H o k ( x ) ( x) ho = (2.42) x cujas diensões são N n, N s n e N o n Da equação (2.35) obté-se:, respectivaente. r = λ (2.43) R Linearizando-se o problea e relação a u dado valor de estados k x e eliinando-se a variável r através da equação (2.43), as condições de otialidade pode ser descritas por: k k z h ( x ) H ( x ) x R λ = 0, (2.44) k k hs ( x ) + H s ( x ) x = 0, (2.45) e H T k h ( x ) + H ( x ) x = 0 o o k ( ) λ + T k ( ) λ + T k x H x H ( x ) λ = 0 0 s s k o (2.46) (2.47) Através do conjunto de equações nuéricas obtidos desta diferenciação e da linearização e relação ao vetor de estados k x, o problea de estiação de estados, apresentada e (2.31) pode ser interativaente resolvido pela aplicação do algorito de tableau esparso de Hachtel (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985) ao sistea linear apresentado e (2.48):

36 36 0 H H R T x 0. = λ z h( x k ) (2.48) onde, z = T [ 0 0], z (2.49) T T T T [ h ( x) h ( x) h ( x) ], h( x) = (2.50) s o T T T T λ = λ λs λ (2.51) o e T T T [ H H H ] T H = (2.52) s o A equação (2.48) corresponde à fora padrão do étodo da atriz auentada de Hachtel (Gjelsvik, Aa e Holten, 1985), cuja solução fornece estiativas para o vetor de estados x e para os ultiplicadores de Lagrange associados às edidas e às restrições de igualdade. Os estados estiados deve ser atualizados através de (2.9). Coo o processo iterativo segue até a convergência, as condições de otialidade representadas pelas equações (2.35) a (2.39), deve ser satisfeitas. Alé de λ, o vetor λ obtido coo solução do sistea (2.48) contê os ultiplicadores de Lagrange associados às restrições operacionais estruturais λ o e às restrições λ s. Os valores destes ultiplicadores de Lagrange representa a sensibilidade da função objetivo do problea (2.31) co relação às variações nestas restrições (Gjelsvik, 1993).