DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 02

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1 A MATEMÁTICA V MATEMÁTICA BÁSICA DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 02 1) (FAVA 2012) Considere os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que n( B ) 24 n( A B ) 4 n( B C ) 16 n( A C ) 11 n( B C ) 10 Calcule: a) n ( A B ) b) n ( A B C ) c) n(b ( C A )) d) n (( A B) C ) e) n ( B ( A B )) 4 :) 8 Analisando o diagrama de Venn (com os respectivos números de elementos a, b, c, d e e): (n BA1 3 :) a + b + c + d + e ( 1 ) b + c 4... ( 2 ) b c + d + e 16 a a + b b 11 b c b + e e 10 e Substituindo a 8, b 3, c 1 e e 7 em ( 1 ), teremos: d + e 24 d Podemos afirmar que: a) n ( A B ) 8 b) n ( A B C ) 1 c) n(b ( C A )) 7 d) n (( A B) C ) 3 e) n ( B ( A B )) 12 B) (1 (2 Respostas: a) 8. b) 1. c) 7. d) 3. e) 12. AULA 02 - Página 1 de 8

2 2) (Vunesp 2000 adaptada) Um estudo de grupos sanguíneos humanos realizado com 1000 pessoas (sendo 600 homens e 400 mulheres) constatou que 470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas tinham o antígeno B e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. Determine: a) o número de pessoas que têm os antígenos A e B simultaneamente? b) supondo independência entre sexo e grupo sanguíneo, a probabilidade de que uma pessoa do grupo, escolhida ao acaso, seja homem e tenha os antígenos A e B simultaneamente. n A A A(n AB (n A P A (n A (n A + Pr Homem Pr A eb P Assim, + b) Considerando P a probabilidade que atende ao enunciado, teremos: P Respostas: a) 150. b) 9%. n(n (U)(n B)(n 1000 A)(n A)(n B)450 B)(n B)(n B)550 ) B) B) B) B) 150 a) ob. ob ) (UFES) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? c) Quantos não consumiram a cerveja S? d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? Marcas Número de consumidas consumidores A 150 B 120 S 80 A e B 60 B e S 40 A e S 20 A, B e S 15 Outras 70 T a Com as informações 45 (n T150 presentes na tabela podemos montar o diagrama de Venn correspondente: Assim, a cb5 a) Considerando o total de pessoas que atendem ao enunciado (a), teremos: Ta. b) Considerando Td 70 T d8545 o total de pessoas 155 que atendem ao enunciado (b), teremos: + + Tb. c) Considerando o total de pessoas que atendem ao enunciado (c), teremos: Tc. d) Considerando o total de pessoas que atendem ao enunciado (d), teremos: + Td. Tba A) Tc Respostas: a) 315. b) 75. c) 235. d) 155. AULA 02 - página 2 de 8

3 4) (PUC-Rio 2008) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais: - 96 eram brasileiros, - 64 eram homens, - 47 eram fumantes, - 51 eram homens brasileiros, - 25 eram homens fumantes, - 36 eram brasileiros fumantes, - 20 eram homens brasileiros fumantes. Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não fumantes; b) o número de homens fumantes não brasileiros; c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes. Montando um diagrama de Venn para a situação em questão, no qual os conjuntos H (homens), M (mulheres), B (brasileiros) e F (fumantes): 1º passo: 20 eram homens brasileiros fumantes; 2º passo: 25 eram homens fumantes (20 + 5); 3º passo: 51 eram homens brasileiros ( ); 4º passo: 64 eram homens ( ); 5º passo: 36 eram brasileiros fumantes (20 homens + 16 mulheres); 6º passo: 47 eram fumantes ( ); 7º passo: 96 eram brasileiros ( ); 8º passo: 242 passageiros ( ). Com os dados obtidos na interpretação do diagrama de Venn, podemos informar: a) 29. b) 5. c) 127. Observação: Na resolução, efetuada pelo aluno, NÃO deverão ser informados os passos aqui apresentados, ou seja, a leitura e interpretação do diagrama de Venn são exclusivas na resolução matemática; os passos só foram apresentados, na resolução acima, com vistas ao melhor entendimento por parte do aluno em sua fase revisional. O recado que fica é que devemos ter muita criatividade na utilização do diagrama de Venn. Respostas: a) 29. b) 5. c) 127. Maneira 2: Utilizando TABELA ao invés de diagrama de Venn: Homens Não Fumantes Homens Fumantes Mulheres Fumantes Mulheres Não Fumantes Total Brasileiros Estrangeiros Total º passo: 20 eram homens brasileiros fumantes; 2º passo: 25 eram homens fumantes (20 + 5); 3º passo: 51 eram homens brasileiros ( ); 4º passo: 64 eram homens ( ); 5º passo: 36 eram brasileiros fumantes (20 homens + 16 mulheres); 6º passo: 47 eram fumantes ( ); 7º passo: 96 eram brasileiros ( ); 8º passo: 242 passageiros ( ). Com os dados obtidos na interpretação do diagrama de Venn, podemos informar: a) 29. b) 5. c) 127. Respostas: a) 29. b) 5. c) 127. AULA 02 - Página 3 de 8

4 5) (UERJ 2002 adaptada) Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando pelo menos os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela ao lado: Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. a) Calcule o valor de X; b) Calcule quantas pessoas possuem dois, e somente dois sintomas; c) Calcule quantas pessoas possuem pelo menos dois sintomas; Sintomas Frequência Diarréia 62 Febre 62 Dor no corpo 72 Diarréia e febre 14 Diarréia e dor no corpo 8 Febre e dor no corpo 20 Diarréia, febre e dor X no corpo. Considerando: Conjunto D: pessoas com diarréia; Conjunto F: pessoas com febre; 62 Conjunto C: pessoas com dor no corpo; 72 [ X ] d d (pessoas com apenas diarréia), f (pessoas com apenas febre) e c (pessoas com apenas dor no corpo). (n DFX] c f X a) Com as informações do enunciado (e respectiva tabela de dados) podemos montar o diagrama de Venn: cd + + cf fd + c ([ 14 X]) 82 + X + + [ 160 f 3450) b) Com os cálculos efetuados no item anterior ( a ): pessoas possuem dois, e somente dois sintomas. c) Com os cálculos efetuados no item anterior ( a ): pessoas possuem pelo menos dois sintomas. X)(8X)(20 14 (d c)160(46 Respostas: a) X 6. b) 24 pessoas. c) 30 pessoas. dc f (14 (20 X)(20 X)(8 X) ]) (20X)(X (n D)(20 28)(X X)f44) AULA 02 - página 4 de 8

5 6) (UFRJ 2002) Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Todos os alunos aprovados na universidade A também foram aprovados em pelo menos uma das outras duas universidades, ou seja, BA B 3 não existe nenhum 5029 (n AB aluno aprovado apenas na universidade A; Com base nas informações do enunciado, consideraremos as incógnitas x, y, z e k como correspondentes aos números de alunos representados no diagrama de Venn ao lado, k 2 x x29 z872965y x11 x11 yz115 z kz Nkz N O número N de alunos aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados será: N. Resposta: 15 alunos. (n (6511) N 15 AULA 02 - Página 5 de 8

6 DISCURSIVAS SÉRIE CASA AULA 02 1) (UEPA.2012 adaptada) Uma ONG Antidrogas realizou uma pesquisa sobre o uso de drogas em uma cidade com 200 mil habitantes adultos. Os resultados mostram que 11% dos entrevistados que vivem na cidade pesquisada são dependentes de álcool, 9% são dependentes de tabaco, 5% são dependentes de cocaína, 4% são dependentes de álcool e tabaco, 3% são dependentes de tabaco e cocaína, 2% são dependentes de álcool e cocaína e 1% dependente das três drogas mencionadas na pesquisa. O número de habitantes que não usa (n nenhum tipo de droga mencionada na pesquisa é: 9 % (n A A dependentes T 234 % (n AT 1% de álcool Considerando os conjuntos T dependentes de tabaco C dependentes de cocaína Como se trata de um caso envolvendo 3 conjuntos e todas as informações apresentadas, ou seja, Podemos, pois, aplicar a fórmula da união de três conjuntos com vistas a otimizar nosso processo de cálculo. A)11 T) 5% T) FÓRMULA DA UNIÃO DE TRÊS CONJUNTOS: Adaptando para o nosso problema: n T T (n AT [ T x 9] 5 T [ 3C2) ) n T ] + Precisamos encontrar o valor de x, ou seja, o número de habitantes que não usa nenhum tipo de droga mencionada na pesquisa. nttc%) 100 x83 17% ) 83 tes... ( 1 ) Em porcentagem: Assim, x Em número de habitantes: x Resposta: habitantes. (A n(a)n(t)n( n(a )n(tn(a n(A x 100% n(a n(a (11 )(4 100% )(1 %(A 17% (A ( habitan AULA 02 - página 6 de 8

7 2) (Cefet-MG.2012 adaptada) Na aplicação de uma avaliação com três questões A, B e C, em uma escola, obteve-se os seguintes resultados: Com base nesses dados, calcule o número de alunos que acertaram a questão C. (U)n(A n(u (n 5 n(u) n(u)[ 15 A) ] (n 15 n(u) 3684 (U) Com as informações da tabela apresentada no enunciado podemos montar o diagrama de Venn ao lado: No diagrama de Venn, temos: (n 0 Observação: A área destacada 5corresponde a 70% de n (n ( U ) Podemos afirmar que: Assim, Resposta: 51 alunos acertaram a questão C. n SC B ) (n n + AULA 02 - Página 7 de 8

8 3) (UFPE) Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que: - o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas; - existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física; - existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática; - o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150; - o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190. Quantos alunos cursam as três disciplinas? Considerando os conjunto M (alunos que cursam Matemática), Q (alunos que cursam Química) e F a bc (alunos que cursam Física), além das incógnitas a (alunos que cursam somente Matemática), b (alunos que cursam somente Física), c (alunos que 6cursam somente Química) e x (alunos que cursam as três disciplinas); :) 15018cxx ) Montando o diagrama de Venn com as informações presentes no enunciado, teremos: ( + x 1) a (5 (2150 7)b...(1190 ) (222 + Resposta: 22 alunos. AULA 02 - página 8 de 8