RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR UFMG_ ANO 2007 RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

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1 UFMG 2007 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR UFMG_ ANO 2007 PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. QUESTÃO 0 Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, já incluídos R$ 20,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 0%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem A) R$ 3 672,00. B) R$ 3 780,00. C) R$ 3 792,00. D) R$ 3 900,00. Do valor do pacote de viagem excluído o valor das taxas de embarque obtemos ( ) = reais. Sobre este valor Francisco obteve, com o pagamento à vista, um desconto de 0%. Logo a sua despesa foi então de 4 080( 0,0)+20 = ,90+20 = RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 02 Lançada em 977, a sonda espacial Voyager está, atualmente, a,5.0 0 km da Terra. Suponha que, dessa distância, a Voyager envie, para a Terra, um sinal de rádio que se propaga à velocidade da luz, que é de km/s. Despreze o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado até o momento de sua chegada a ela. Então, é CORRETO afirmar que, para chegar à Terra, o sinal enviado por essa sonda gastará A) menos de 8 horas. B) entre 8 horas e 0 horas. C) entre 0 horas e 2 horas. D) mais de 2 horas.

2 O total de segundos, desprezando-se o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado até o momento de sua chegada a ela, será determinado pelo 0,5.0 km 5 quociente = 0,5.0 s = s km/s Cada hora é formada de 3 600s. Logo, s correspondem a = = horas. RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 03 Quando estava viajando pelo Chile, Jorge, por não ter uma calculadora disponível, tinha dificuldade em fazer a conversão dos preços, dados em pesos chilenos, para o valor correspondente em reais. À época, a cotação era de 96,50 pesos para cada real. Assinale, entre as seguintes alternativas, aquela que apresenta a regra que Jorge deveria utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro. A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. Consideremos como p o valor em moedas chilenas que Jorge deveria, na época da viagem, converter em reais. Pesos Chilenos Reais 96,50 p r Ao analisarmos as duas grandezas vemos que elas são proporcionais. Então p r =. 96,50 Analisando agora as alternativas dadas como opções de respostas A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas p p decimais para a esquerda é o mesmo que :00 =

3 B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas p p decimais para a esquerda, é o mesmo que :00 = C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas 2p p casas decimais para a esquerda, é o mesmo que 2p :00 = = D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas 5p p casas decimais para a esquerda, é o mesmo que 5p :00 = = p Sendo r =, então das quatro conclusões, verificamos que a regra que Jorge 96,50 deveria utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro, é a apresentada p p na alternativa A, ou seja r = :00 = RESPOSTA: Alternativa A QUESTÃO 04 Neste gráfico, estão representadas informações referentes aos períodos de chuva (outubro a abril) de a , em Belo Horizonte: FONTE: Estado de Minas, 5 abr (Adaptado) Obs.: Os dados sobre ações preventivas no período não foram disponibilizados. Considere estas afirmativas referentes aos dados contidos nesse gráfico: I O número de famílias removidas de áreas de risco foi proporcional à precipitação pluviométrica verificada nos períodos pesquisados. II A precipitação pluviométrica foi superior a 700 mm no período III O número de ações preventivas no período foi, pelo menos, 30% maior que no período

4 250 : 900 =,3888 IV O número de famílias removidas de áreas de risco no período foi, pelo menos, 0 vezes maior que no período Com base nessas informações, conclui-se, CORRETAMENTE, que A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. B) apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. D) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. Pela analise do gráfico vemos que a afirmativa I é verdadeira. O gráfico nos informa que o número de ações preventivas no período está próximo de 250 e o do período de fica em torno de 900. Temos que o quociente250 : 900 =,3888. O que nos leva a concluir que a afirmação III: O número de ações preventivas no período foi, pelo menos, 30% maior que no período é verdadeira. RESPOSTA: Alternativa C QUESTÃO 05 Seja P = (a,b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < e 0 < b <. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta figura: 2 Considere o ponto Q ( a b, ab) 2 + =. Então, é CORRETO afirmar que o ponto Q está na região 4

5 A) I. B) II. C) III. D) IV. Multiplicando os membros da desigualdade 0 < a < por b >0, temos 0 < ab < b. E multiplicando os membros da mesma desigualdade por a > 0, temos 0 < ab < a. Comparando os dois resultados concluímos que ab é um número positivo ao mesmo tempo menor que a e que b.. Como ab é um número positivo ao mesmo tempo menor que a e que b, pela análise da.figura ao lado chegamos à conclusão de que a abscissa a + b do ponto Q está sobre a reta r e que a sua ordenada ab está no interior da região destacada. 2 2 RESPOSTA:alternativa B. QUESTÃO 06 Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%. Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada. Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrerá um total de A),20 km. B),35 km. C),50 km. D),60 km. Se o carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool, com 0,25l de álcool percorre 2 km. Se percorreu km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, então 2 dos km foram vencidos pelo álcool e 9km pela gasolina. 5

6 Se para percorrer 9km o consumo de gasolina é de 0,75l, com l percorrerá (9:0,75) km = 2km. Então com um litro de combustível composto de 80% de gasolina e 20% de álcool percorrerá 0,8.2km + 0,2.8km = 9,6km +,6km =,2km. RESPOSTA: Alternativa A QUESTÃO 07 Seja S o conjunto dos números naturais maiores que que são divisores de 360 e não possuem fatores primos em comum com 47. Então, é CORRETO afirmar que S contém A) 6 elementos. B) 7 elementos. C) 8 elementos. D) 9 elementos. 47 = Os fatores primos de 47 são 3 e 7. 7 não é divisor de 360. Para encontrar os divisores de 360, maiores que, não múltiplos de 3, dividamos 360 por 9 e determinemos os divisores maiores que do resultado 40. D(40) = ( 2, 4, 5, 8, 0, 20, 40}.. RESPOSTA: Alternativa B. QUESTÃO 08 Na Figura I, está representado um retângulo, cuja base mede 25 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões α, β e γ. Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II. Então, é CORRETO afirmar que a área da região α mede A) 24 cm 2. B) 28 cm 2. C) 30 cm 2. D) 32 cm 2. 6

7 Ao interpretar a situação-problema pudemos construir a figura acima. Chegamos a duas conclusões: a ) O retângulo e o quadrado são equivalentes, têm a mesma área (9.25)cm 2 = 225cm 2. 2 a ) O lado do quadrado mede 5cm, pois (5cm) 2 = 225cm 2. 3 a ) 9 + x = 5 e 25 y = 5 x = 6 e y = 0 4 a ) A região α sendo um triângulo retângulo de catetos 6cm e 0cm, a sua área 6cm. 0cm mede = 30cm 2 2 RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 09 Sejam p(x) = ax 2 + (a 5)x + e q(x) = polinômios com coeficientes b 2x 2 3x + reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é CORRETO afirmar que o valor de a + b é A) 3. B) 6. C) 9. D) 2. Como os polinômios possuem as mesmas raízes, podemos escrever; (a 5) 3 x' + x" = = a 2 3a = 30 2a a = 6 a = 2b b = 3 x'.x" = = b a 2 RESPOSTA: Alternativa C 7

8 QUESTÃO 0 Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST: Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é CORRETO afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede A) 8 2 cm 2. B) 8 3 cm 2. C) 6 2 cm 2. D) 6 3 cm 2. Na figura ao lado, a congruência dos triângulos retângulos nos mostram que todas as arestas do octaedro são iguais a a= = 2 2. Logo sua área total, em cm 2 é ( ) S = 8. = 6 3 RESPOSTA:Alternativa D. 8

9 QUESTÃO Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é A) 00 B) 99 C) 50 D) 49 Como existem 50 pares de cartas iguais, a probabilidade pedida é de /50 RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 2 Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de A) 25%. B) 30%. C) 35%. D) 40%. 9

10 No diagrama acima está representada a situação problema colocada na questão. Sabemos que o n(c) representa 82% do total de entrevistados e que o n(p) representa 78% deste mesmo total. a + x + y + z = 82% (a + b + x + y + z + w) + (x + z) = 60% x + z = 60% b + x + z + w = 78% 00% + (x + z) = 60% Sabemos que o n(bf) representa 75% do total de entrevistados. c + x + y + w = 75% (c + x + y + w + z) + (x) = 35% x = 35% x + z = 60% 00% + (x) = 35% RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 3 Os irmãos Armando, Bernardo e Caio decidiram ajudar na reforma do piso da casa de seus pais, dividindo igualmente, entre eles, o custo de 00 m 2 de cerâmica. Armando e Bernardo compraram, respectivamente, 60 m 2 e 40 m 2 da mesma cerâmica, pagando o mesmo preço pelo metro quadrado. Para acertar sua parte nessa compra, Caio pagou a seus dois irmãos um total de R$ 500,00. Sejam x a parte dessa quantia que coube a Armando e y a parte que coube a Bernardo. Então, é CORRETO afirmar que o valor de x - y é A) R$ 200,00. B) R$ 300,00. C) R$ 500,00. D) R$ 900,00. Considerando como p o valor do metro quadrado da cerâmica e que a parte que coube a cada irmão foi de R$ 500,00, temos 00p = p = 45. Na compra Armando investiu 60p = reais e Bernardo, 40p =.800 reais. Então, é CORRETO afirmar que o valor de x - y = = 900 RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 4 Em uma danceteria, há um aparelho com várias caixas de som iguais. Quando uma dessas caixas é ligada no volume máximo, o nível R de ruído contínuo é de 95 db. Sabe-se que R = log 0 I s, em que I s é a intensidade sonora, dada em watt/m 2 ; e a intensidade sonora I s é proporcional ao número de caixas ligadas. Seja N o maior número dessas caixas de som que podem ser ligadas, 0

11 simultaneamente, sem que se atinja o nível de 5 db, que é o máximo suportável pelo ouvido humano. Então, é CORRETO afirmar que N é A) menor ou igual a 25. B) maior que 25 e menor ou igual a 50. C) maior que 50 e menor ou igual a 75. D) maior que 75 e menor ou igual a 00. Como a intensidade sonora I s é proporcional ao número de caixas ligadas, representando por N o número de caixas ligadas podemos considerar I s = kn com k Q +. Logo a igualdade R = log 0 I s pode ser substituída por R = log 0 (kn). Para N = temos R = 95dB 95 = log 0 k 0.log 0 k = 25 log 0 k = 2,5 k = 0 2,5. Na expressão R = log 0 (kn), substituindo k pelo valor 0 2,5, temos: R = log 0 (0 2,5. N) R = log 0 0 2,5 + 0.log 0 N R = log 0 N R = log 0 N. Sendo N o maior número dessas caixas de som que podem ser ligadas, simultaneamente, sem que se atinja o nível de 5 db, temos: log 0 N < 5 0.log 0 N < 20 log 0 N < 2 N < 00. RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 5 Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que essas pessoas formam quatro casais; e Carolina não é esposa de Paulo. Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando. Então, é CORRETO afirmar que a esposa de Antônio é A) Carolina. B) Júlia. C) Raquel. D) Rita. Prováveis esposas FERNANDO (nd) PAULO (nd) GUSTAVO (dança) Carolina (nd) Raquel Carolina (nd) Júlia (dança) Raquel (dança) Rita (nd) ANTÔNIO (nd) Carolina (nd) Raquel

12 A mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel. Como Júlia não está sentada, é ela quem dança com o marido de Raquel, que só pode ser Gustavo, único homem que não está sentado. Então ela é a mulher de Fernando. Como Carolina não é mulher de Paulo ela só pode ser mulher de Antônio. FERNANDO PAULO GUSTAVO ANTÔNIO Esposas Júlia Rita Raquel Carolina RESPOSTA: Alternativa A. 2