Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º no de Matemática Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº. associação de estudantes de uma escola pretende alugar autocarros para transportar 00 alunos numa viagem de finalistas. O presidente da associação dirige-se a uma empresa de camionagem, onde lhe apresentaram as seguintes condições: Possuem 4 autocarros de lugares e autocarros de 0 lugares; Para as datas pretendidas apenas têm motoristas disponíveis; O aluguer de cada autocarro pequeno custa 00 e o de cada autocarro grande 00. Nestas condições, qual deve ser a decisão do presidente da associação de estudantes para que o custo a pagar seja mínimo?. Um grupo local possui duas emissoras de rádio, um de FM e outra de M. emissora FM emite diariamente horas de música «rock», de música clássica e de informação geral. emissora de M emite diariamente horas de música «rock», de música clássica e 9 de informação geral. Cada dia de emissão FM custa ao grupo 000 euros e cada dia de emissão em M custa 000 euros... Sabendo que tem enlatado para transmitir, 0 horas de música «rock», 0 de música clássica e de informação geral, quantos dias deverão emitir com este material cada uma das estações para que o custo seja mínimo, tendo em conta que deve emitir no mínimo dias?.. Imaginemos que as condições se mantêm todas mas que o preço diário de emissão de cada uma das estações é de 00 euros.. Uma fábrica manufactura duas espécies de patins para o gelo: patins de competição e patins B de demonstração. Os patins requerem horas de trabalho no fabrico e os B apenas 4 horas. Os patins requerem hora para acabamentos, enquanto que os patins B precisam de horas. O departamento de fabrico tem, no máximo, 0 horas disponíveis por dia e o departamento de acabamentos não tem mais do que 40 horas/dia. Se o lucro de venda de cada patim é de 0 e o lucro de cada patim B é de, quantos patins de cada espécie devem ser manufacturados cada dia para maximizar o lucro? (ssuma que todos os patins fabricados são vendidos). Professora: Rosa Canelas no Lectivo 00/0

2 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º no de Matemática Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº Proposta de Resolução. associação de estudantes de uma escola pretende alugar autocarros para transportar 00 alunos numa viagem de finalistas. O presidente da associação dirige-se a uma empresa de camionagem, onde lhe apresentaram as seguintes condições: Possuem 4 autocarros de lugares e autocarros de 0 lugares; Para as datas pretendidas apenas têm motoristas disponíveis; O aluguer de cada autocarro pequeno custa 00 e o de cada autocarro grande 00. Nestas condições, pretendemos saber qual deve ser a decisão do presidente da associação de estudantes para que o custo a pagar seja mínimo. x n.º de autocarros de lugares y n.º de autocarros de 0 lugares 0 x 4 0 y x + y y x +, semiplano definido pela utocarros pequenos utocarros grandes Nº de lugares Nº de autocarros Preço Condições 00 recta que passa nos pontos (0,) e (,0) x + 0y 00 y x + 4, semiplano definido pela recta que passa nos pontos(0,4) e (,). função objectivo: C = 00x + 00y é uma família de rectas paralelas a y = x Passemos à representação da região admissível e da recta que traduz a família da função objectivo. Daqui concluímos que a solução óptima é a correspondente ao ponto 4 autocarros de lugares e de 0 lugares. O ponto é a intersecção das rectas de equações y = x + e y = x + 4 que 4 - : (4.0,.0) 0 Professora: Rosa Canelas no Lectivo 00/0

3 podemos obter analiticamente resolvendo o sistema: y = x + y = x + y = x + y = y = x + 4 x + = x + 4 x + x = + x = 4 Resposta: O presidente da associação de estudantes deve contratar 4 autocarros de lugares e de 0 lugares.. Um grupo local possui duas emissoras de rádio, um de FM e outra de M. emissora FM emite diariamente horas de música «rock», de música clássica e de informação geral. emissora de M emite diariamente horas de música «rock», de música clássica e 9 de informação geral. Cada dia de emissão FM custa ao grupo 000 euros e cada dia de emissão em M custa 000 euros... Sabendo que tem enlatado para transmitir, 0 horas de música «rock», 0 de música clássica e de informação geral, quantos dias deverão emitir com este material cada uma das estações para que o custo seja mínimo, tendo em conta que deve emitir no mínimo dias? x n.º de dias de emissão em FM x 0 y 0 y n.º de dias de emissão em M x + y 0 y x + 0, semiplano definido pela recta que passa nos pontos (0,0) e (0,0). x + y 0 y x + 0, semiplano MR MC I Preço definido pela recta que passa nos pontos (0,0) e (,). FM 000 x + 9y y x + semiplano M definido pela recta que passa nos pontos (0,) e (,). x + y y x + semiplano definido Limites 0 0 pela recta que passa nos pontos (0,) e (,0). P função objectivo: P = 000x + 000y y = x + é uma família de rectas paralelas a 000 y = x Professora: Rosa Canelas no Lectivo 00/0

4 Passemos à representação da região admissível e da recta que traduz a família da função objectivo. Daqui concluímos que a solução óptima é a correspondente ao ponto dias de transmissão em FM e 4 dias de transmissão em M O ponto é a intersecção das rectas de equações y = x + e y = x + que podemos obter analiticamente resolvendo o sistema: y = x + y = x + y = x + 0 x + = x + 4 y = x + y = 4 x = x = Resposta: Com estas condições o grupo deve transmitir dias em FM e 4 em M : (.00, 4.00) Imaginemos que as condições se mantêm todas mas que o preço diário de emissão de cada uma das estações é de 00 euros. x n.º de dias de emissão em FM x 0 y 0 y n.º de dias de emissão em M x + y 0 y x + 0, semiplano definido pela recta que passa nos pontos (0,0) e (0,0). x + y 0 y x + 0, semiplano MR MC I Preço definido pela recta que passa nos pontos (0,0) e (,). FM 000 x + 9y y x + semiplano M definido pela recta que passa nos pontos (0,) e (,). x + y y x + semiplano definido Limites 0 0 pela recta que passa nos pontos (0,) e (,0). P função objectivo: P = 00x + 00y y = x + é uma família de rectas paralelas a y = x 00 Professora: Rosa Canelas 4 no Lectivo 00/0

5 Passemos à representação da região admissível e da recta que traduz a família da função objectivo. Daqui concluímos que a solução óptima é obtida em todos os pontos da recta de equação y = x + com abcissa entre 0 e pois esta fronteira tem o declive da recta que traduz a família da função objectivo Resposta: Neste caso o grupo tem a mesma despesa se emitir dias em FM e 4 em M ou 7 em FM e em M ou de FM e de M, ou ainda de FM e 7 de M, 4 de FM e de M, de FM e 9 de M de FM e 0 de M, de FM de M ou 0 de FM e M. 4 : (.00, 4.00) Uma fábrica manufactura duas espécies de patins para o gelo: patins de competição e patins B de demonstração. Os patins requerem horas de trabalho no fabrico e os B apenas 4 horas. Os patins requerem hora para acabamentos, enquanto que os patins B precisam de horas. O departamento de fabrico tem, no máximo, 0 horas disponíveis por dia e o departamento de acabamentos não tem mais do que 40 horas/dia. Se o lucro de venda de cada patim é de 0 e o lucro de cada patim B é de, quantos patins de cada espécie devem ser manufacturados cada dia para maximizar o lucro? (ssuma que todos os patins fabricados são vendidos). x n.º de patins tipo y n.º de patins tipo B Horas de trabalho Horas de acabamento Lucro Patins 0 Patins B 4 Limites 0 40 x 0 y 0 x + 4y 0 y x + 0, semiplano definido pela recta que passa nos pontos (0,0) e (0,). x + y 40 y x + 0, semiplano definido pela recta que passa nos pontos (0,0) e (0,). L função objectivo: L = 0x + y y = x + é uma família de rectas paralelas a y = x Professora: Rosa Canelas no Lectivo 00/0

6 Passemos à representação da região 0 admissível e da recta que traduz a família da função objectivo. 0 Daqui concluímos que a solução óptima é a : (0.00,.00) correspondente ao ponto 0 Patins e Patins B 0 O ponto é a intersecção das rectas de equações y = x + 0 e y = x + 0 que já sabíamos ser ( 0, ) por ter sido este, um dos pontos que escolhemos para traçar as rectas. Resposta: Devem ser manufacturados, por dia, 0 patins e patins B Professora: Rosa Canelas no Lectivo 00/0