UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL. Edilson Morais Lima e Silva

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Edilson Morais Lima e Silva FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE NÃO-LINEAR FÍSICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO SOB O ESTADO PLANO DE TENSÕES, UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. Belém PA 2010

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Edilson Morais Lima e Silva FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE NÃO-LINEAR FÍSICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO SOB O ESTADO PLANO DE TENSÕES, UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Pará como pré-requisito para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil, orientado pelo professor Dr. Remo Magalhães de Souza. Belém PA 2010

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Edilson Morais Lima e Silva FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE NÃO-LINEAR FÍSICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO SOB O ESTADO PLANO DE TENSÕES, UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. Dissertação submetida à Comissão Examinadora designada pelo Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil como pré-requisito para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil. Belém, 05 de Março de 2010 Assinatura: Nome: Prof. Remo Magalhães de Souza Instituição: Instituto de Tecnologia UFPA Orientador. Assinatura: Nome: Prof.ª Luís Augusto Conte M. Veloso Instituição: Instituto de Tecnologia UFPA Assinatura: Nome: Prof.ª Ronaldson José de F. M. Carneiro Instituição: Instituto de Tecnologia UFPA Assinatura: Nome: Prof.ª André Maués Brabo Pereira Instituição: Pontifícia Universidade Católica PUC/Rio Assinatura: Nome: Prof.ª Luciana Ericeira Lopes Instituição: SEFA-PA

4 iv RESUMO Neste trabalho é apresentado um elemento finito para o estudo do comportamento não-linear de estruturas de concreto armado sobre carregamentos monótonos e biaxiais. O modelo numérico do concreto foi definido a partir do modelo ortotrópico incremental proposto por Darwin (1974) e dessa maneira as relações de tensões versus deformações do concreto são obtidas com a utilização do conceito de deformação uniaxial equivalente, facilitando assim sua simulação e uma boa precisão nos resultados obtidos. Este modelo descreve bem o comportamento do concreto solicitado sobre diversos tipos de carregamento, bem como a representação satisfatória do esmagamento e da fissuração do concreto. A consideração da fissuração no elemento finito é feita na forma distribuída (Rashid, 1968), podendo as fissuras girar livremente segundo as direções das tensões principais. Para a representação da armadura, foi adotado o modelo distribuído facilitando assim a simulação de peças de concreto armado com taxas densas de armadura. O comportamento do aço é descrito por um modelo constitutivo uniaxial não-linear proposto por Giufre-Mengotto-Pinto. Foi criado um programa para a análise não-linear de concreto armado na plataforma MATLAB utilizando o método dos elementos finitos. O elemento finito apresentado utiliza uma formulação isoparamétrica na forma incremental a partir do princípio dos deslocamentos virtuais, considerando o estado plano de tensões. Por fim, para validar o modelo implementado são realizadas varias simulações numéricas com o concreto armado, obtendo-se excelentes resultados a partir da comparação com os valores obtidos na literatura e por programas comerciais. Palavras Chaves: Elementos Finitos, Concreto Armado, Análise Não Linear.

5 v SUMÁRIO CAPITULO 1 - INTRODUÇÃO Metodologia Motivação e Objetivos da Pesquisa Organização do Trabalho... 4 CAPITULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 6 CAPITULO 3 - ESTADO PLANO DE TENSÃO PARA MATERIAIS ORTOTRÓPICOS... 8 CAPITULO 4 - ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA UTILIZANDO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Solução de Sistemas Não Lineares Método de Newton Raphson Modelagem Numérica dos Materiais - Concreto Equações Constitutivas Ortotrópicas Deformação Uniaxial Equivalente Curvas Tensão-Deformação para Carregamento Monotônico Concreto Submetido à Compressão Tensão Abaixo da Máxima Resistência à Compressão Concreto Submetido à Compressão Tensão Acima da Máxima Resistência à Compressão Concreto Submetido à Tração Deformação Abaixo da deformação de pico Concreto Submetido à Tração deformação acima da deformação de pico Modelo Constitutivo Biaxial do Concreto Modelagem da Fissuração no Concreto Modelo de Fissuração Discreta Modelo de Fissuração Distribuída Critério de Formação de Fissuras Armadura de Aço... 46

6 vi Modelo Constitutivo para a Armadura de Aço a) Modelo Constitutivo de Giufre-Menegotto-Pinto Formulação do Elemento Finito para Análise Não-Linear Física O Método dos Elementos Finitos Elemento Finito Quadrilateral Bilinear com Não-Linearidade Física Funções de Forma Utilizando a formulação Isoparamétrica Deformação no Interior do Elemento Matriz de Rigidez do Elemento Integração Numérica O Problema Não-Linear CAPITULO 5 - IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Sequência de Análise CAPITULO 6 - RESULTADOS Exemplo Numérico I Exemplo Numérico II Exemplo Numérico III CAPITULO 7 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ANEXO A - REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS... 87

7 vii Lista de Figuras Figura 3.1-Estado Plano de Tensão... 8 Figura 3.2 Efeito separado das deformações ocasionadas pelas tensões normais e cisalhantes Figura 4.1 Representação Gráfica do Método de Newton Raphson Figura 4.2 Rotação de Eixos Figura 4.3 Efeito do estado de tensões biaxiais no concreto plano Figura 4.4 Deformação Uniaxial Equivalente iu para um material linear (Darwin 1974) Figura 4.5 Estado de tensões representados pelos círculos de Mohr s Figura 4.6 Curva tensão-deformação uniaxial equivalente (Neto 2007) Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto comprimido abaixo da máxima resistência à compressão(darwin 1974) Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto comprimido acima da máxima resistência à compressão(darwin 1974) Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto tracionado abaixo da máxima resistência à compressão(neto 2007) Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto tracionado acima da máxima resistência à compressão(neto 2007) Figura Curva envoltória da resistência biaxial do concreto(kupfer 1969) Figura Esquema do modelo de fissuração discreta(neto 2007) Figura Esquema do modelo de fissuração distribuída(neto 2007) Figura Curva tensão-deformação para o elemento com fissuras distribuídas(neto 2007) Figura Curva tensão-abertura da fissura (Neto 2007) Figura Curva tensão-deformação em função da energia de fratura(neto 2007).. 44 Figura 4.17 Comprimento Equivalente de cada ponto de integração de Gauss no Elemento Finito Figura Definição de Comprimento equivalente em função do ângulo de propagação da fissura(neto 2007) Figura 4.19 Aproximação elásto-plástica perfeita(bono 2008) Figura 4.20 Aproximação elástica com endurecimento linear(bono 2008)... 47

8 viii Figura 4.21 Aproximação trilinear para o aço(bono 2008) Figura 4.22 Curva completa para o aço(bono 2008) Figura Representação distribuída da armadura(neto 2007) Figura 4.24 Representação da armadura embutida(neto 2007) Figura 4.25 Representação da armadura discreta (Neto 2007) Figura 4.26 Curva Tensão x Deformação para o Aço Figura 4.27 Malha de Elementos Finitos Figura 4.28 Elemento Quadrilateral Bilinear Figura 4.29 Mudança do Sistema Cartesiano para o Sistema Natural Figura 4.30 Gráfico representativo do problema não-linear Figura 6.1 Detalhe da viga bi-apoiada analisada (Exemplo I) Figura 6.2 Malha de Elementos Finitos (Exemplo I) Figura 6.3 Configuração Deformada (Exemplo I) Figura 6.4 Representação das Tensões Principais (Exemplo I) Figura 6.5 Deslocamento Vertical no centro do Vão da Viga (Exemplo I) Figura Detalhe da viga bi-apoiada analisada (Exemplo II) Figura 6.7 Malha de Elementos Finitos(Exemplo II) Figura Configuração Deformada (Exemplo II) Figura Representação das Tensões Principais (Exemplo II) Figura Deslocamento Vertical no centro do Vão da Viga (Exemplo II) Figura Detalhe da viga bi-apoiada analisada (Exemplo III) Figura 6.12 Malha de Elementos Finitos (Exemplo III) Figura 6.13 Configuração Deformada(Exemplo III) Figura 6.14 Representação das Tensões Principais(Exemplo III) Figura Deslocamento Vertical no centro do Vão da Viga (Exemplo III)... 83

9 ix Lista de Tabelas Tabela 6.1 Dimensões e Propriedades do Elemento Estrutural (Exemplo I) Tabela Dimensões e Propriedades do Elemento Estrutural (Exemplo II) Tabela Dimensões e Propriedades do Elemento Estrutural (Exemplo III)... 81

10 1 CAPITULO 1 - INTRODUÇÃO O Método dos Elementos Finitos é um método numérico bastante abrangente e difundido no âmbito da engenharia estrutural. A maioria dos programas computacionais de análise estrutural utilizam o método dos elementos finitos, pelo fato do mesmo ser sistemático e de fácil implementação computacional, tornando-o desta forma uma ferramenta poderosa para a solução de sistemas estruturais complexos. As primeiras idealizações do método dos elementos finitos foram obtidas a partir do método de Rayleigh-Ritz (Moura 2000). Entretanto, foi com uma série de trabalhos publicados por Argyris e Kelsey, na metade dos anos 50, que a formulação matricial do método Rayleigh-Ritz ficou finalmente determinada. No entanto o método na forma que o conhecemos hoje foi apresentado pela publicação do trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp, em 1956, sendo o responsável pelo nome do método, o professor da Universidade da Califórnia em Berkeley, Clough. As estruturas de concreto armado têm sido utilizadas na construção civil desde meados do século XIX, justamente na época em que surgiu a necessidade de se construir um grande número de fábricas, estradas, pontes, portos e outras obras, em decorrência do crescimento acelerado da indústria, do comércio e do transporte. Desde então, o concreto armado vem sendo utilizado pela humanidade com bastante intensidade e sucesso. O concreto armado é um dos materiais mais importantes na construção civil, sendo constituído por concreto com barras de aço previamente dispostas em seu interior. Este material se torna vantajoso em frente a outros materiais, pelo fato de ser facilmente moldável, ter alta resistência ao fogo, a agentes atmosféricos, agentes mecânicos e possuir um baixo custo econômico. Muitas pesquisas são realizadas com intuito de se obter mais precisamente a resposta do comportamento estrutural do concreto armado submetido sob diversos níveis e estados de carregamento. A primeira formulação sobre a utilização do método dos elementos finitos na modelagem numérica de estruturas de concreto armado foi publicada no trabalho (Ngo 1967). Desde então inúmeros aperfeiçoamentos foram feitos sempre em busca de uma melhor representação deste material.

11 2 Vale salientar que este trabalho tem o intuito de apresentar um texto didático sobre e o desenvolvimento de um elemento finito para realizar análises estruturais de elementos de concreto armado para estado plano de tensões, considerando o caráter nãolinear físico do material. 1.1 Metodologia De uma maneira geral a metodologia empregada neste trabalho, baseia-se na formulação analítica e a implementação numérica dos modelos constitutivos dos materiais utilizados na composição do concreto armado, bem como na definição e apresentação do elemento finito utilizado na análise estrutural a partir do princípio dos trabalhos virtuais. Neste trabalho os modelos constitutivos do concreto e da armadura de aço são tratados independentemente um do outro e posteriormente as correspondentes tensões e rigidezes são superpostos de forma a criar um modelo constitutivo equivalente ao concreto armado. Optou-se por utilizar modelos constitutivos bastante difundidos e consolidados de acordo com o que foi encontrado na literatura. Assim, para o concreto é utilizado o modelo de deformação uniaxial equivalente proposto por Darwin (1974) em conjunto com envoltória de tensões biaxiais proposto por Kupfer (1969). Para a armadura de aço foi utilizado um modelo de deformação uniaxial com enrijecimento proposto por Giufre-Menegotto-Pinto. O elemento finito apresentado segue uma formulação isoparamétrica em que as funções de forma são definidas a partir da multiplicação de dois polinômios de Lagrange. O elemento é do tipo membrana com quatro nós e dois graus de liberdade por nó. O princípio dos deslocamentos virtuais é deduzido a partir da forma fraca das equações diferenciais de equilíbrio, e a partir daí pode-se obter a matriz de rigidez do elemento. Para calcular a integral referente à matriz de rigidez do elemento, utiliza-se a quadratura gaussiana. O programa para a realização do estudo do comportamento estrutural de peças em concreto armado utiliza o método dos elementos finitos em conjunto com um procedimento incremental-iterativo de forma criar um algoritmo eficiente para a realização de analises estruturais que considerem o caráter não-linear do material.

12 3 Assim, a matriz de rigidez tangente da estrutura é obtida a partir da contribuição das matrizes de rigidez de cada elemento finito, e para a solução do sistema não linear de equações globais, utiliza-se o Método de Newton-Raphson. Deve-se dizer que nos modelos analisados nesse trabalho é considerada uma perfeita aderência entre as barras de aço e o concreto. É interessante salientar também que os exemplos apresentados consideram o estado plano de tensões, que ocorre por exemplo em vigas, vigas paredes, pilares paredes, etc. Cabe ressaltar também que este modelo pode ser utilizado na análise por elementos finitos de lajes e cascas delgadas em concreto armado, onde o efeito das deformações de cisalhamento nos planos perpendiculares à superfície da estrutura pode ser desprezado. Neste caso, discretiza-se a laje/casca em camadas ao longo da espessura, e em cada ponto de integração de cada camada de cada elemento finito se emprega a hipótese de estado plano de tensão. 1.2 Motivação e Objetivos da Pesquisa O estudo do comportamento estrutural de peças de concreto armado é fonte de muitas pesquisas recentes, principalmente no que diz respeito à modelagem numérica de peças de concreto armado submetidas a um estado de tensões biaxiais. Desta maneira, surgiu um grande interesse em se estudar a criação de elementos finitos que considerassem os modelos constitutivos do concreto armado, bem como o caráter nãolinear de cada um desses materiais para diversos níveis e estados de carregamentos biaxiais. O objetivo geral desta dissertação é apresentar a formulação matemática e a implementação computacional de um elemento finito do tipo membrana para a realização de uma análise não linear-física de estruturas de concreto armado considerando o estado plano de tensões. Entre os objetivos específicos deste trabalho, podem-se citar: a) A apresentação e obtenção da matriz constitutiva ortotrópica do material a partir dos conceitos da teoria da elasticidade linear, assim como a formulação matemática e os conceitos introduzidos pelos modelos constitutivos do aço e do concreto utilizados na obtenção dos parâmetros reológicos do concreto armado.

13 4 b) A formulação do elemento finito com não-linearidade física a partir da consideração de incrementos lineares, assim como a apresentação do problema não-linear e o método numérico utilizado para sua solução. c) A implementação de um algoritmo eficiente utilizando o método dos elementos finitos para a simulação computacional de estruturas de concreto armado, bem como as formas utilizadas para inserção de dados e apresentação de resultados. Para demonstrar a validade do algoritmo, é realizado um estudo comparativo entre o modelo numérico adotado e os resultados experimentais e numéricos obtidos na literatura. 1.3 Organização do Trabalho Este texto está organizado em seis capítulos. No Capítulo 2 é apresentado uma breve revisão bibliográfica de trabalhos referentes ao estudo da análise não linear física do concreto armado. No Capítulo 3 é realizada uma revisão sobre a obtenção da relação constitutiva entre tensões e deformações para um material ortotrópico, utilizando os conceitos da teoria da elasticidade linear. No Capítulo 4 é apresentada a formulação matemática para a criação do elemento finito com não-linearidade física para o concreto armado. Neste capítulo, demonstram-se detalhadamente os modelos de materiais empregados na análise estrutural, a definição do problema não linear e o método utilizado em sua solução, a definição e obtenção das funções de forma do elemento, bem como a determinação da matriz de rigidez utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais. No Capítulo 5 é apresentada a implementação computacional para a solução do problema utilizando o método dos elementos finitos. Neste capítulo é descrito o passo a passo do algoritmo de análise, bem como a forma da entrada (pré-processamento) e saída (pós-processamento) de dados. No Capítulo 6 são apresentados os resultados do modelo adotado e as respectivas comparações com os resultados numéricos e experimentais presentes na literatura

14 5 futuros. Por fim no Capítulo 7, são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos

15 6 CAPITULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Dentre os vários estudos realizados sobre o comportamento estrutural do concreto armado submetido a carregamentos biaxiais, podem-se citar segundo a literatura encontrada os seguintes trabalhos em ordem cronológica: A primeira publicação que demonstrou a aplicabilidade do método dos elementos finitos em peças de concreto armado foi apresentada por (Ngo 1967) apud Darwin (1974). Eles modelaram o aço e o concreto como materiais elásticos lineares conectados por vínculos de aderência. A fissuração foi modelada pela separação nodal e redefinição da topologia estrutural. (Nilson 1968) expandiu este trabalho introduzindo o comportamento não-linear do material. Rashid (1968) apud Darwin (1974) propôs a introdução da fissuração no concreto de forma distribuída e considerando-o como um material ortotrópico. Darwin (1974) propôs um modelo constitutivo ortotrópico incremental para o concreto sobre um estado de tensões biaxiais a partir da introdução do conceito de deformação uniaxial equivalente. Este conceito de uma maneira geral trata a relação tensão versus deformação biaxial do concreto com curvas uniaxiais equivalentes, de forma a retirar o efeito do coeficiente de Poisson e assim facilitar a determinação das tensões principais. Deve-se salientar que nesse trabalho é utilizada a envoltória de tensões biaxiais proposto por Kupfer (1969) Greunen (1979) apud Marins Neto (2007) utilizou o modelo de deformação uniaxial equivalente para analisar painéis de concreto armado, obtendo excelentes resultados. Vale ressaltar que neste trabalho é citado que outros pesquisadores observaram que o modelo constitutivo utilizando o conceito de deformação uniaxial equivalente apresenta melhores resultados quando comparados com outros modelos presentes na literatura, além de não requerer um maior esforço computacional. Chan (1982) apud Marins Neto(2007), analisou elementos de cascas de concreto armado, através do método dos elementos finitos, onde a modelagem do concreto foi feita utilizando o modelo da deformação uniaxial equivalente, chegando também a excelentes resultados.

16 7 Shayanfar (1995) apud Marins Neto (2007) analisou os efeitos do tamanho do elemento finito na análise não-linear de estruturas de concreto, onde o modelo da deformação uniaxial equivalente foi utilizado para modelar o concreto, devido à facilidade de manuseio e os excelentes resultados obtidos. D'Avila (2003) apresentou um trabalho sobre a consideração de dois modelos distintos de fissuração em peças de concreto armado: a fissuração distribuída e a fissuração incorporada. O primeiro modelo baseia-se no conceito da descontinuidade incorporada dentro do campo de deslocamentos do elemento finito padrão. Já o segundo modelo considera que a descontinuidade no campo de deslocamentos causada pela fissura é espalhada ao longo do elemento. Marins Neto (2007) apresentou estudos sobre os aspectos das propriedades do concreto, das propriedades do aço e das interações entre eles, com particular interesse na deterioração da aderência que ocorre na interface aço-concreto, para a análise numérica de estruturas de concreto armado. O principal objetivo deste trabalho foi o desenvolvimento de uma modelagem numérica capaz de investigar, de forma mais realista, o comportamento de vigas de concreto armado, considerando a não-linearidade física dos materiais e os efeitos do deslizamento entre a armadura de aço e o concreto. Bono (2008) apresenta um trabalho sobre um modelo numérico abrangente para a análise tridimensional de estruturas de concreto armado submetidas a cargas monotônicas e cíclicas utilizando o método dos elementos finitos. Neste trabalho, o modelo constitutivo proposto para o concreto simples é o modelo ortotrópico que segue a teoria da elasticidade não-linear, utilizando três curvas tensão-deformação uniaxiais equivalentes. Bittencourt Júnior (2009) desenvolveu uma plataforma computacional via método dos elementos finitos para analisar peças de concreto armado convencionais e reforçadas com fibra de carbono. É interessante ressaltar que o estudo do comportamento e modelagem do concreto e do aço, bem como o desenvolvimento do elemento finito proposto nesta dissertação, é baseado principalmente nos trabalhos de Darwin, (1974), Bono, (2008) e Marins Neto (2007).

17 8 CAPITULO 3 - ESTADO PLANO DE TENSÃO PARA MATERIAIS ORTOTRÓPICOS Entre as análises de Estruturas planas, o estado plano de tensão pode ser definido como o estado em que todas as tensões não nulas estão contidas no plano da estrutura, sendo estas denominadas de tensões normais e tensões de cisalhamento. A Figura 3.1 apresenta ilustrativamente o estado plano de tensões. Figura 3.1-Estado Plano de Tensão Um material ortotrópico pode ser definido como um material que possui diferentes propriedades mecânicas em três eixos ortogonais. A seguir são apresentadas as formulações matemáticas para definir o estado plano de tensão para um material ortotrópico utilizando os conceitos da teoria da elasticidade linear. As equações (3.1) a (3.6) são obtidas a partir da superposição dos efeitos e apresentam, de acordo com a Figura 3.2, as relações constitutivas para um material

18 9 linear elástico ortotrópico, em que as deformações são calculadas a partir da Lei de Hooke generalizada. Deformação devido à tensão normal x Deformação devido à tensão normal Deformação devido à tensão normal z y Deformação devido às tensões cisalhantes τ ij Figura 3.2 Efeito separado das deformações ocasionadas pelas tensões normais e cisalhantes. Equation Chapter 3 Section 1. ν ν = (3.1) 1 y z xx xx yy zz Ex Ey Ez ν x 1 ν z = + (3.2) E E E yy xx yy zz x y z

19 10 ν ν x y 1 = + (3.3) E E E zz xx yy zz x y z xy xz yz 1 τ xy = γ xy = (3.4) 2 2 G xy 1 τ xz = γ xz = (3.5) 2 2 G xz 1 τ yz = γ yz = (3.6) 2 2 G yz Onde: E x, E y e E z são os módulos de elasticidade longitudinais nas direções ortotrópicas x, y e z ; ν x, ν y e ν z são os coeficientes de Poisson nas direções ortotrópicas x, y e z ; xx, yy e zz as tensões normais nas direções ortotrópicas x, y e z ; τ xy τ = τ yx, xz zx = τ e τ zy = τ yz as tensões cisalhantes nos planos ortotrópicos; xx, yy e zz as tensões normais nas direções ortotrópicas x, y e z. xy, yz e zx as deformações cisalhantes nos planos ortotrópicos; γ xy, γ yz e γ zx as distorções de cisalhamento nos planos ortotrópicos; G xy, G xz e G yz os módulos de elasticidade transversais. Por definição e de acordo com a Figura 3.1, para estado plano de tensão no plano xy, todas as componentes de tensão que se encontram fora do plano da estrutura,, são nulas, assim. zz = τ xz = τ yz = 0 (3.7)

20 11 Substituindo as considerações da equação (3.7) nas relações constitutivas dadas pelas equações de (3.1) a (3.6), obtêm-se as deformações para o estado plano de tensões. ν = (3.8) 1 x xx xx yy Ex Ey ν y 1 yy = xx + yy (3.9) E E x y ν ν = (3.10) y x zz xx yy Ex Ey τ xy xy = (3.11) 2 G xy yz = = 0 (3.12) xz Reescrevendo as equações (3.8), (3.9) e (3.11) na forma matricial, tem-se. 1 ν x 0 Ex E y xx xx ν y 1 yy = 0 yy Ex Ey γ xy τ xy G xy (3.13) Invertendo a equação (3.13), e realizando algumas operações matemáticas, obtêm-se: xx Ex Exν y 0 xx 1 yy = Eyν x Ey 0 yy 1 ν xν y τ xy 0 0 (1 ν xν y ) G xy γ xy (3.14) ou na forma compacta, { } [ D]{ } = (3.15) onde:

21 12 { } xx = yy τ xy (3.16) é o vetor de tensões; Ex Exν 0 y 1 D = Eyν x Ey 0 1 ν xν y 0 0 (1 ν xν y) G xy { } (3.17) é a matriz constitutiva do material ou matriz de coeficientes elásticos; { } xx = yy γ xy (3.18) é o vetor de deformações.

22 13 CAPITULO 4 - ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA UTILIZANDO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS No contexto da análise estrutural, a não linearidade física ou do material corresponde a não proporcionalidade entre tensões e deformações na relação constitutiva do material. Para estruturas de concreto armado submetidas a um estado biaxial de tensões e já apresentando um determinado nível de fissuração, a forma mais precisa de se obter resultados precisos sobre seu comportamento estrutural, é utilizando uma matriz constitutiva ortotrópica, e levando em consideração o caráter não linear da curva tensão-deformação do concreto. Com isso, eliminam-se, respectivamente, duas hipóteses simplificadoras utilizadas comumente em análises lineares, quais sejam, as hipóteses de isotropia e de comportamento linear elástico do material. De forma a possibilitar uma análise estrutural não linear física de peças de concreto armado, será utilizado neste trabalho um elemento finito isoparamétrico quadrilateral do tipo membrana de quatro nós e oito graus de liberdade com não linearidade física do material. Neste capítulo, será apresentado a formulação deste elemento finito, demonstrando inicialmente os métodos interativos para a solução de sistemas não lineares, assim como os modelos constitutivos adotados para o aço e o concreto, finalizando com a apresentação do elemento finito e do problema não linear a ser solucionado. 4.1 Solução de Sistemas Não Lineares Para a resolução de sistemas não lineares é usual utilizar métodos numéricos baseados em um procedimento incremental iterativo. Basicamente esses métodos utilizam incrementos de carga e/ou deslocamentos em ciclos iterativos de forma a equilibrar o sistema de equações não lineares, até que se obtenha a precisão satisfatória ao critério de convergência adotado. Dentre os vários métodos numéricos iterativos presentes na literatura, destaca-se o Método de Newton Raphson. 4.2 Método de Newton Raphson O método de Newton Raphson é uma das técnicas mais populares para se obter as raízes de equações não lineares em uma variável, sendo que o método pode ser facilmente generalizado para funções de varias variáveis. Assim sendo, para o caso de

23 14 funções não-lineares com uma variável, tem-se a partir da série de Taylor a seguinte expressão. Equation Chapter 4 Section 1 ( x0 ) ( ) df f ( x) = f ( x0 ) + x x0 + (4.1) dx Desprezando os termos de ordem superior e igualando f ( x ) = 0, obtêm-se a fórmula de iteratividade dada pela equação (4.2) ( ) ( ) ( ) ( ) f x df x x = x sendo f x = (4.2) 0 ' 0 0 ' 0 f x0 dx A interpretação geométrica do Método de Newton Raphson a partir da equação (4.2) é apresentada na Figura 4.1. Figura 4.1 Representação Gráfica do Método de Newton Raphson. tem-se: Analogamente, para um sistema de duas variáveis e usando a série de Taylor,

24 15 (, ) (, ) ( ) ( ) f1 x0 y0 f1 x0 y0 f1 ( x, y) = f1 ( x0, y0 ) + x x0 + y y0 + x y (, ) (, ) ( ) ( ) f2 x0 y0 f2 x0 y0 f2 ( x, y) = f2 ( x0, y0 ) + x x0 + y y0 + x y (4.3) Desprezando os termos de ordem superior e reescrevendo a equação (4.3) na forma matricial, obtêm-se. (, ) (, ) f1 x0 y0 f1 x0 y0 f1 ( x, y) f1 ( x0, y0 ) x y ( x x0 ) = + f2 ( x, y) f2 ( x0, y0 ) f ( ) ( ) ( 0 ) 2 x0, y0 f 2 x0, y y y 0 x y (4.4) onde, denomina-se de matriz Jacobiana ( J ) a matriz de gradientes de na equação (4.4). Logo o Jacobiano é expresso pela equação (, ) (, ) f1 x y f1 x y x y J ( x, y) = f2 ( x, y) f2 ( x, y) x y f i apresentada (4.5) Igualando as funções f1( x, y ) = 0 e f2( x, y ) = 0, obtêm-se a seguinte fórmula de iteratividade dada pela equação (4.6). (, ) (, ) f1 x0 y0 f1 x0 y0 x x0 x y f1 ( x0, y0 ) = y y0 f2 ( x0, y0 ) f2 ( x0, y0 ) f2 ( x0, y0 ) x y 1 (4.6) Em um caso mais geral, para um sistema de n equações e n variáveis, tem-se. ( 0, 0,, 0 ) ( 0, 0,, 0 ) ' ' ' f1 x1 x2 x x 3 1 x 1 f11 f12 f 1n 1 0 ' ' ' x2 x2 f21 f22 f f 2n 2 x1 x2 x 3 = 1 0 ' ' ' x n xn fn 1 fn2 f nn f3 ( x1, x2,, x3 ) (4.7)

25 16 Reescrevendo a equação (4.8) de forma compacta, é obtida a forma geral de iteratividade para sistemas de varias variáveis a partir do método de Newton Raphson. { } 1 k + 1 k k k { x } { x } J ( x ) f ( x ) = (4.8) 4.3 Modelagem Numérica dos Materiais - Concreto De forma a representar o comportamento fisicamente não linear do concreto armado, é realizado a formulação matemática independentemente dos modelos constitutivos do concreto e do aço. Na literatura, encontram-se diversas relações tensão versus deformação para o aço e para o concreto, entre as quais, o modelo de deformação uniaxial equivalente proposto por (Darwin 1974) para o concreto e Modelo de Giufre- Menegotto-Pinto para o aço. Estes dois modelos constitutivos serão utilizados neste trabalho Equações Constitutivas Ortotrópicas A formulação matemática do modelo constitutivo do material é estabelecida de forma que ela possa ser utilizada em conjunto com o método dos elementos finitos para análise não linear. Assim sendo, as equações constitutivas do material são escritas de forma a serem utilizadas com esta técnica de análise estrutural. Sendo o modelo constitutivo do concreto sob um estado de carregamento biaxial e possuindo um caráter não-linear em sua relação tensão-deformação, a forma que se utiliza para representá-lo numericamente é usando procedimentos iterativoincrementais. Desta forma, a cada iteração o material é tratado como se tivesse um comportamento linear elástico (Darwin 1974). Ou seja, a cada iteração os deslocamentos e deformações são atualizados corrigindo dessa forma os valores de rigidez e tensões no material. O modelo de material isotrópico para o concreto plano foi idealizado inicialmente por (Gerstle 1973) e o modelo de material ortotrópico por (Liu, Nilson et al. 1972). Negligenciando as deformações de cisalhamento por um momento, as equações constitutivas do material, ou seja, as relações entre tensões e deformações para um material ortotrópico, com incrementos lineares, podem ser obtidas analogamente ao que

26 17 foi demonstrado no capítulocapitulo 3 -. Assim sendo, estas relações podem ser expressas conforme as equações (4.9) e (4.10) = ν (4.9) E1 E2 ν = 1 + (4.10) E1 E2 onde, E1, E2, ν1, ν 2 são variáveis dependentes das propriedades do material. Os eixos ortotrópico de coordenadas do material 1 e 2 coincidem com os eixos principais de tensão (Darwin 1974). Modificando as equações (4.9) e (4.10) de tal maneira que os incrementos de tensão sejam expressos em função dos incrementos de deformação e reescrevendo na forma matricial, tem-se a 1 1 E1 ν 2E1 1 = 1 ν ν ν E E (4.11) Deve-se notar que a matriz de dimensões dois por dois da equação (4.11) possui uma condição de simetria expressa pela equação (4.12). ν E = ν E (4.12) De maneira a simplificar e impor que nenhuma direção principal seja favorecida pelo coeficiente de Poisson, o coeficiente ν é expresso pela seguinte equação. 2 ν = ν ν (4.13) 1 2 Em que ν é o coeficiente equivalente de Poisson e depende do estado de tensões e deformações do material. Utilizando as equações (4.12) e (4.13) e reescrevendo a equação (4.11), tem-se, 1 1 E1 ν E1E 2 1 = ν ν E1E2 E 2 2 (4.14)

27 18 expandido a equação (4.14) a partir da inclusão da deformação por cisalhamento, tem-se como resultado a equação (4.15). 1 E1 ν E1E = ν E 2 1E2 E ν 2 τ (1 ν ) G γ 12 (4.15) em que: De forma compacta a equação (4.15) pode ser escrita da seguinte forma: { p} = D p { p} (4.16) 1 = 2 τ 12 { p} (4.17) é o vetor de incrementos de tensões, E1 ν E1E2 0 1 D = ν E E E 0 p ν (1 ν ) G (4.18) é a matriz de coeficientes elásticos, e 1 = 2 γ 12 { p} (4.19) é o vetor de incrementos de deformações. Sendo G o módulo de elasticidade transversal, e considerando que este é uma grandeza de difícil determinação para um estado biaxial de tensões no concreto, optouse por obter o módulo de elasticidade transversal em função do coeficiente de Poisson e dos Módulos de elasticidade longitudinais do concreto. Uma solução satisfatória para esse problema consiste em se observar o efeito da rotação dos eixos do material de um

28 19 ângulo θ conforme mostra a Figura 4.2, e assim realizar a transformação de coordenadas da matriz constitutiva do material D p (Darwin 1974). Figura 4.2 Rotação de Eixos De acordo com a Figura 4.2, a rotação de eixos pode ser determinada a partir das seguintes equações Lembrando que cos( θ ) cos( θ ) x = x cos( θ ) + y sen( θ ) (4.20) p p y = x sen( θ ) + y cos( θ) (4.21) p =, sen( θ) sen ( θ ) equações (4.20) e (4.21) na forma matricial, tem-se: p = e reescrevendo as x cosθ senθ x p = y senθ cosθ y p (4.22) onde, cosθ senθ a = senθ cosθ (4.23) é a matriz de rotação.

29 20 Lembrando alguns conceitos da álgebra tensorial, tem-se que um tensor de segunda ordem pode ser obtido a partir do produto externo de dois tensores de primeira ordem. Dessa forma, a transformação de coordenadas para este tensor pode ser realizada a partir da transformação de coordenadas de tensores de primeira ordem. Usando a notação indicial de Einstein, com somatório implícito em índices repetidos, tem-se ij = UiV j (4.24) U = a U (4.25) p i ik k V = a V (4.26) p j jl l onde, a ij é a matriz de rotação e ij, U i, V j, são tensores no novo sistema de coordenadas ( x, y ). Realizando as substituições das equações (4.25) e (4.26) na equação (4.24), tem-se = a U a V (4.27) p p ij ik k jl l Por analogia a equação (4.24), o tensor de segunda ordem coordenadas é expresso por, ij no atual sistema de = U V (4.28) p p p ij i j Dessa maneira a equação (4.27) pode ser reescrita da seguinte forma, T = a pa (4.29) Considerando agora como o tensor de tensões, a equação (4.29) pode ser reescrita como segue, p p xx xy cosθ senθ xx xy cosθ senθ p p xy = yy senθ cosθ xy yy senθ cosθ (4.30) realizando as operações matriciais podem-se obter as componentes de tensão xx, yy e ' xy no novo sistema de coordenadas a partir das seguintes equações p 2 2 cos p 2 p xx xx yysen xy cos = θ + θ θsenθ (4.31)

30 21 = sen θ + cos θ + 2 cosθ senθ (4.32) p 2 p 2 p yy xx yy xy 2 2 ( ) p p p = cosθsenθ cosθ senθ + cos θ sen θ (4.33) xy xx yy xy Reorganizando estas equações utilizando a notação de Voigt, obtém-se: 2 2 p xx cos θ sen θ 2cosθ senθ xx 2 2 p yy = sen θ cos θ 2cosθsenθ yy 2 2 p xy cosθ senθ cosθ senθ cos θ sen θ xy (4.34) ou na forma compacta, { } [ H ]{ p } = (4.35) onde 2 2 cos θ sen θ 2cosθ senθ H = sen θ θ θsenθ 2 2 cosθ senθ cosθ senθ cos θ sen θ 2 2 [ ] cos 2cos (4.35) Define apartir de [H] uma matriz [T], denominada matriz de transformação de coordenadas ocasionada pela rotação dos eixos do material, tal que. 2 2 cos θ sen θ senθ cosθ θ θ θ θ 2 2 2senθ cosθ 2senθ cosθ cos θ sen θ T 2 2 [ T ] = [ H ] = sen cos sen cos (4.36) é interessante salientar que a matriz [ T ], ao contrário da matriz [a], não é ortogonal. Assim, considerando incrementos lineares e utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), pode-se determinar as expressões para o vetor de incrementos de deformações e consecutivamente para a matriz constitutiva do material nos novos eixos coordenados. Assim, a equação (4.35) é reescrita da seguinte maneira, { d} T T { d p} = (4.37) Considerando que o trabalho realizado deve ser o mesmo nos dois sistemas de coordenadas, tem-se que

31 22 T T { d} { d} { d p} { d p} = (4.38) substituindo a equação (4.37) na equação (4.38), chega-se a { d p} [ T ]{ d} = (4.39) O vetor de incrementos de tensões pode ser relacionado com o vetor de incremento de deformações utilizando-se a matriz constitutiva do material, { d p} D p { d p} = (4.40) logo, a substituiçãoda equação (4.39) na equação (4.40), resulta em, { d } p D p [ T ]{ d} = (4.41) e realizando a substituição da equação (4.41) na equação (4.37), tem-se, T { d} [ T ] [ D][ T ]{ d} = (4.42) portanto, de acordo com equação (4.42) a matriz constitutiva do material no novo sistema de coordenadas pode ser expressa pela equação. [ D] [ T ] T D [ T ] = (4.43) p tal que { d} [ D]{ d} = (4.43) Considerando-se um valor arbitrário para o ângulo θ e realizando as operações matriciais apresentadas pela equação (4.43), obtêm-se o valor do módulo de elasticidade transversal para os novos eixos de coordenadas, conforme a equação (4.44) G = sen θ cos θ ( E1 + E2 2 ν E1E 2 ) + (cos sen θ ) Gp (4.44) De acordo com Darwin (1974), é desejável que o módulo de elasticidade transversal seja independente do ângulo θ de rotação do sistema de coordenadas. Assim, pode-se impor que

32 ( E1 + E2 2 ν E1E2 ) 2 2 Gp = G = sen θ cos θ + (cos sen θ) G 2 1 ν p (4.44) E dessa forma realizando algumas operações matemáticas, chega-se a seguinte expressão para o módulo de elasticidade transversal. G p 1 ( E1 + E2 2 ν E1E 2 ) = ν (4.45) Pode-se notar que o módulo de elasticidade transversal está definido em função dos módulos de elasticidade longitudinais do concreto e do coeficiente de Poisson. Vale ressaltar, que para materiais isotrópicos (com E1 = E2 ) a equação (4.45) resulta na relação usual. G p E = 2(1 + ν ) (4.45) Substituindo a equação (4.45) na equação(4.18), tem-se. 1 E1 ν E1E = ν E 2 1E2 E ν τ 12 1 γ ( E1 + E2 2 ν E1E2 ) 4 (4.46) É interessante notar que a equação (4.46) apresenta uma relação constitutiva ortotrópica que é definida apenas por três grandezas a se determinar, E 1, E 2, e ν (Darwin 1974). Neste trabalho, os eixos materiais ortotrópicos são orientados de acordo com os eixos de tensões principais que ocorrem em cada ponto do material (pontos de integração de Gauss) A cada iteração do processo de solução, os valores das propriedades do material E 1, E 2, e ν são determinados em função do estado de tensões e deformações em cada ponto do elemento analisado. A matriz constitutiva é então rotacionada utilizando a matriz de transformação [T ] para os eixos globais de coordenadas definidos para a estrutura como um todo. Desta forma, a cada iteração as coordenadas dos eixos

33 24 materiais e, por conseguinte as tensões, deformações e a matriz de rigidez de cada elemento são corrigidas até que seja atingido um critério de convergência pré-definido Deformação Uniaxial Equivalente Tendo sido estabelecida a matriz constitutiva do material, conforme equação (4.46), existe a necessidade então de se obter os parâmetros que definem essa matriz, no caso, os módulos de elasticidade longitudinais e o coeficiente de Poisson, representados respectivamente por E 1, E 2, e ν. Para tanto, devem ser utilizadas curvas tensãodeformação do concreto. Entretanto, além do caráter não linear desta relação, ainda existe o fato de que para o estado de tensões biaxiais do concreto a deformação em uma direção é função não somente da tensão nesta direção, bem como também da tensão perpendicular a esta direção, que se deve ao efeito do coeficiente de Poisson, conforme representado na Figura 4.3. Desta maneira, e de forma a solucionar o problema para se determinar os valores das propriedades do material, é utilizado o conceito da deformação uniaxial equivalente proposta inicialmente por (Darwin 1974). Figura 4.3 Efeito do estado de tensões biaxiais no concreto plano

34 25 De acordo com a Figura 4.3, pode-se notar que a curva biaxial 2 apresenta uma maior resistência a compressão quando comparada com a curva uniaxial 2. Isto pode ser explicado pelo fato de que para um estado de tensões biaxiais no qual, o concreto plano está submetido a tensões de compressão, existir um ganho de resistência em uma determinada direção, por exemplo, em x devido à imposição de uma tensão perpendicular atuante em y. Em contrapartida quando o concreto está submetido a tensões de tração, nota-se a perda de resistência na direção perpendicular a direção em que a tensão de tração atua. O conceito de deformação uniaxial equivalente foi desenvolvido de forma a permitir que a atual curva tensão-deformação biaxial seja representada por duas curvas de tensão-deformação uniaxiais (Darwin 1974). Este conceito advém do fato das propriedades do material serem facilmente determinadas a partir de curvas uniaxiais de tensões. Ou seja, a utilização de deformações uniaxiais equivalentes consiste em um método que separa o efeito do coeficiente de Poisson das deformações e assim, permite a obtenção de uma curva uniaxial, através da qual se pode obter as tensão e módulo de elasticidade tangente em cada direção de maneira independente. A deformação uniaxial equivalente é facilmente introduzida usando um material elástico linear, conforme pode ser apresentado pela Figura 4.4. Figura 4.4 Deformação Uniaxial Equivalente iu para um material linear (Darwin 1974)

35 26 De acordo com a Figura 4.4, uma curva representa a relação tensão versus deformação para uma compressão uniaxial. A outra curva representa a relação tensão deformação para a direção de maior compressão em um estado de compressão biaxial, 1 quando 1 = α 2, sendo α a razão 2. Deve-se notar que esta curva é mais acentuada que a primeira, devido ao efeito do coeficiente de Poisson. A deformação real i para uma determinada tensão i é dada pela curva de carregamento biaxial, entretanto a deformação uniaxial equivalente iu é uma deformação fictícia obtida a partir da mesma tensão i pela curva de carregamento uniaxial, na qual é separado o efeito do coeficiente de Poisson. Para um material elástico linear a deformação uniaxial equivalente para uma determinada direção é dada pela equação i iu = (4.47) E i A deformação iu pode ser interpretada como uma deformação idealizada, de tal modo que existindo uma deformação na direção i a tensão na direção perpendicular j seja considerada nula. O conceito de deformação uniaxial equivalente pode ser facilmente estendido para um material não linear, como mostra a equação iu d i diu (4.48) Ei = = Onde, d i e di são respectivamente os diferenciais de tensão e de deformação uniaxial equivalente, sendo E i o módulo de elasticidade longitudinal. Utilizando um procedimento incremental-iterativo, a deformação uniaxial equivalente total iu para todos os incrementos pode ser representada de acordo com a equação i iu = (4.49) E i

36 27 Vale lembrar que as deformações uniaxiais equivalentes 1u e 2u estão associadas aos eixos de tensões principais. Um exemplo de como a deformação uniaxial equivalente pode ser calculado, é apresentado na Figura 4.5, em que o círculo de Mohr apresenta o estado de tensões do início e do final de uma iteração Figura 4.5 Estado de tensões representados pelos círculos de Mohr s. Sendo assim, e de acordo com que mostra a Figura 4.6 o acréscimo de deformação uniaxial equivalente para certo acréscimo de tensões em uma direção i é dada por. = (4.50) j j 1 j i i iu j 1 E i onde, j i é a tensão principal aproximada na direção i da iteração atual j 1 i é a tensão principal aproximada na direção i da iteração anterior j 1 E i é o módulo de elasticidade tangente na direção i da iteração anterior Desta forma, a deformação uniaxial equivalente total acordo com a equação iu pode ser obtida de

37 28 = + (4.51) j j 1 j iu iu iu onde, j iu é a deformação uniaxial equivalente total para direção i da iteração atual. j 1 iu é a deformação uniaxial equivalente total para direção i da iteração anterior. iteração atual. j iu é o incremento de deformação uniaxial equivalente para direção i da Figura 4.6 Curva tensão-deformação uniaxial equivalente (Neto 2007) Tendo sido demonstrados os conceitos da deformação uniaxial equivalente e da matriz constitutiva ortotrópica, serão apresentadas a seguir as relações constitutivas para os diversos estágios do concreto submetido à compressão e à tração, utilizando as curvas tensão-deformação, considerando o conceito de deformação uniaxial equivalente.

38 Curvas Tensão-Deformação para Carregamento Monotônico Concreto Submetido à Compressão Tensão Abaixo da Máxima Resistência à Compressão. Segundo Neto (2007), a relação tensão versus deformação para o concreto submetido à compressão é representada a partir dos conceitos da deformação uniaxial equivalente proposta por (Darwin 1974) pela curva uniaxial mostrada na Figura 4.7, que descreve o comportamento do material quando a tensão é menor ou igual à máxima resistência à compressão (tensão de esmagamento, crushing) Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto comprimido abaixo da máxima resistência à compressão(darwin 1974). A expressão que gera esta curva foi proposta por (Saenz 1964) e é dada pela equação (4.52). E =, E 0 iu iu Es ic ic iu 0 i 2 iu ic (4.52) Onde, i é a tensão principal na direção i ;

39 30 iu deformação uniaxial equivalente total na direção da tensão principal i ; ic é a máxima tensão de compressão na direção principal i, obtida pela curva de envoltória biaxial proposta por ic é a deformação correspondente a ic ; E 0 é módulo de elasticidade tangente inicial para tensão zero; E s é módulo de elasticidade secante para a máxima tensão de compressão ic. O módulo de Elasticidade secante é dado pela equação (4.53). E s ic = (4.53) ic A partir da relação tensão versus deformação pode-se obter alguns dos parâmetros necessários para se montar a matriz constitutiva do material, no caso os módulos de elasticidade tangentes nas direções principais, E 1 e E 2. Esses valores são obtidos para cada iteração a partir da derivação da equação (4.52), satisfazendo dessa forma o comportamento não-linear do material. E i E 1 iu 0 i ic 2 2 iu E 0 iu iu = = Es ic ic (4.54) É interessante notar que neste estágio de carregamento, a deformação iu ainda não ultrapassou a deformação ic referente à resistência à compressão do concreto e que também o concreto ainda não começou a fissurar por tração devido à outra tensão principal.

40 Concreto Submetido à Compressão Tensão Acima da Máxima Resistência à Compressão. Segundo Neto (2007), quando a tensão de compressão atinge a máxima resistência à compressão (tensão de esmagamento), a tensão passa a cair com o aumento da deformação. Uma fissura por esmagamento aparece no plano normal à direção da tensão principal que ultrapassou o limite de resistência do material, no ponto em consideração. Esse comportamento se dá pela perda da rigidez (amolecimento) resultante do esmagamento do concreto, causando um descarregamento até a deformação atingir uma deformação limite, a partir da qual é considerado que o concreto perdeu toda a sua capacidade de suporte. Para o concreto submetido a uma deformação além da deformação de pico, é definida uma curva que representa o amolecimento do concreto comprimido. Essa curva é apresentada na Figura 4.8 e a expressão que a rege é dada pela equação (4.55). Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto comprimido acima da máxima resistência à compressão(darwin 1974). 0, 2 fc ic i = ic + u ic iu ic u ic ( ), ( ) (4.55) onde:

41 32 i é a tensão principal na direção i ; iu deformação uniaxial equivalente total na direção da tensão principal i ; ic é a máxima tensão de compressão na direção principal i, obtida pela curva de envoltória biaxial proposta por (Kupfer 1969) ic é a deformação correspondente a ic ; u é a deformação limite do concreto na compressão. f c é a tensão de máxima resistência a compressão do concreto. Neste estado de tensões a tensão cai com o aumento das deformações e assim o módulo de elasticidade passa a ter um valor negativo. ic 0.2 f E i = ic u c (4.56) Concreto Submetido à Tração Deformação Abaixo da deformação de pico Segundo Neto (2007) a resistência à tração do concreto é uma das propriedades mais importantes para a análise numérica não-linear de estruturas de concreto armado. A máxima resistência à tração corresponde a aproximadamente um décimo da resistência à compressão. O concreto tracionado se comporta como um material linear elasto-frágil, fissurando nas regiões em que a tensão de tração é superior à máxima resistência à tração do material. Na região onde a tensão de deformação ainda não ultrapassou a deformação de pico do concreto em tração, a curva tensão-deformação pode ser considerada linear, conforme a Figura 4.9.

42 33 Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto tracionado abaixo da máxima resistência à compressão(neto 2007) onde, Dessa forma a tensão principal na direção i, é dada por. = E0, ( ) (4.57) i iu iu it it é a tensão máxima de resistência à tração do concreto na direção i. it é a deformação correspondente à it. O módulo de elasticidade tangente E i na direção principal i é considerado constante e igual ao módulo de elasticidade inicial tangente para a tensão igual a zero. Ei = E (4.58) Concreto Submetido à Tração deformação acima da deformação de pico Segundo Neto (2007) quando a tensão de tração atinge a máxima resistência à tração (tensão de fissuração), o concreto começa a fissurar e a tensão cai rapidamente com o aumento da deformação. Uma fissura por tração aparece no plano normal à direção da tensão principal que ultrapassou o limite de resistência do material, no ponto em consideração. Esse comportamento se dá pela perda da rigidez (amolecimento)

43 34 causando um descarregamento vertical, a partir do qual é considerado que o concreto perdeu toda a sua capacidade de suporte. Em elementos de concreto armado, após o início da fissuração, o aço assume parte da transferência da tensão entre os planos da fissura, contribuindo na rigidez total do concreto. Assim, o concreto fissurado mantém certa rigidez entre os planos da fissura (tension stiffening effect), perdendo resistência gradualmente após a fissuração (Figueiras 1983). A curva envoltória para o amolecimento do concreto tracionado, representado pela curva uniaxial tensão-deformação, conforme Figura 4.10, quando a deformação é maior do que a deformação de pico à tração, a partir do conceito da deformação uniaxial equivalente apresentada (Darwin 1974) (Neto 2007)é dada por: = ( ), ( ) it i itu iu iu it itu it (4.59) Onde, i é a tensão principal na direção i ; iu deformação uniaxial equivalente total na direção da tensão principal i ; itu é a deformação última do concreto sob tração, levando em consideração o critério de energia da fratura; f t é a tensão de máxima resistência a tração do concreto.

44 35 Figura Curva tensão-deformação uniaxial equivalente para o concreto tracionado acima da máxima resistência à compressão(neto 2007) O módulo de elasticidade tangente E i na direção principal i é dado por: E i it = it itu (4.60) Modelo Constitutivo Biaxial do Concreto É importante ressaltar que as relações constitutivas, apresentadas de forma a representar o estado de tensões das quatro condições de carregamento do concreto descritas na seção utilizando o conceito de deformação uniaxial equivalente dependem dos parâmetros ic, it, ic e it. Estes parâmetros podem ser obtidos a partir da envoltória de tensões do modelo constitutivo biaxial do concreto apresentada inicialmente por (Kupfer 1973). Para o estabelecimento deste modelo foram realizados vários testes de carregamento biaxial no concreto. Vale salientar também que é a partir destes parâmetros que é introduzido o efeito ocasionado pelo coeficiente de Poisson para estados de carregamento biaxial no concreto. Isto é bastante intuitivo já que as relações constitutivas do material são definidas a partir do conceito de deformação uniaxial equivalente, o qual introduz uma

45 36 deformação fictícia iu de forma a separar o efeito de Poisson e assim facilitar a determinação das reais tensões e módulos de elasticidade principais do material. Portanto, o efeito do coeficiente de Poisson é introduzido na relação tensão versus deformação uniaxial equivalente através de suas variáveis, quais sejam, as tensões ic, it e deformações ic, it extremas obtidas de uma envoltória experimental de combinações de tensões biaxiais no concreto. A Figura 4.11 apresenta a curva envoltória de resistência biaxial do concreto proposto por (Kupfer 1969). Figura Curva envoltória da resistência biaxial do concreto(kupfer 1969) Esta curva apresenta quatro regiões definidas como a, b, c e d que dependem do estado de tensão do concreto representado pela relação α entre a tensão principal aproximada na direção 1, 1, e a tensão principal aproximada na direção 2, 2. Devese dizer que as tensões de compressão são sempre negativas e as tensões de tração são sempre positivas. Dessa forma, a relação α é expressa pela equação

46 37 =, (4.61) ( ) 1 α A seguir são apresentadas as quatro regiões do modelo constitutivo biaxial do concreto utilizado em conjunto com o conceito da deformação uniaxial equivalente. a) 1 (compressão) e 2 (compressão), 0 α 1 Para esta região, considera-se que a máxima tensão principal e a mínima tensão principal são de compressão (Neto 2007). 1+ 3,65α = ( 1+ α ) 2 c 2 fc (4.62) = α (4.63) 1c 2c c = c 1, 6 p1 + 2, 25 p1 + 0,35 p 1 (4.64) [ 3 2] = (4.65) 2c c p2 p =, p = (4.66) 1c 2c 1 2 fc fc onde: 1c é a máxima tensão de compressão na direção principal 1, obtida pela curva de envoltória biaxial proposta por (Kupfer 1969); 2c é a máxima tensão de compressão na direção principal 2, obtida pela curva de envoltória biaxial proposta por (Kupfer 1969); 1c é a deformação correspondente a 1c ; 2c é a deformação correspondente a 2c ; c é a deformação limite para a tensão de pico f c suportada pelo concreto tendo como valor de acordo com a NBR 6118, c = 0,002 ; E 0 é módulo de elasticidade tangente inicial para tensão zero;

47 38 f c é a tensão de máxima resistência a compressão do concreto. As equações (4.62) e (4.63) são baseadas na curva envoltória da resistência biaxial de (Kupfer 1973) enquanto as equações (4.64) e (4.65) foram propostas por (Darwin 1974) baseadas em observações experimentais(neto 2007). b) 1 (tração) e 2 (compressão), 0,17 α 1 Para esta região, considera-se que a máxima tensão principal é de tração e a mínima tensão principal é de compressão. Se a deformação iu for superior à deformação devido a tensão de pico it, então se passa a considerar a fissuração com a perda progressiva da resistência do concreto até a fissuração total, onde a rigidez é considerada nula nessa direção (Neto 2007). 1+ 3, 28α = ( 1+ α ) 2 c 2 fc (4.67) = α (4.68) 1t 2c c = c 2,58 p2 + 7,54 p2 8,38 p2 + 4, 42 (4.69) 1t 1t = (4.70) E0 p 2c 2 = (4.71) fc onde: 1t é a máxima tensão de tração na direção principal 1, obtida pela curva de envoltória biaxial proposta por (Kupfer 1969); 1t é a deformação correspondente a 1t ; As equações (4.67) e (4.68) foram sugeridas por (Darwin 1974) enquanto as equações (4.69) e (4.70) foram propostas por (Rajagopal 1976) (Neto 2007). c) 1 (tração) e 2 (compressão), α 0,17

48 39 Para esta região, considera-se que a máxima tensão principal é de tração e a mínima tensão principal é de compressão, como no caso anterior (Neto 2007). 2 = 0,65 f (4.72) c c = (4.73) 1t ft 1t 1t = (4.74) E c = c 2,58 p2 + 7,54 p2 8,38 p2 + 4, 42 (4.75) p 2c 2 = (4.76) fc onde, f t é a tensão de máxima resistência a tração do concreto. d) 1 (tração) e 2 (tração), 1 α Nesta região as tensões máximas e mínimas principais são de tração. = = f (4.77) 1t 2t t f t 1t = 2t = (4.78) E0 onde, 2t é a máxima tensão de tração na direção principal 2, obtida pela curva de envoltória biaxial proposta por (Kupfer 1969); 2t é a deformação correspondente a 2c ; Modelagem da Fissuração no Concreto O comportamento das fissuras sob as condições do carregamento externo é uma combinação de dois componentes: determinação do início (formação) de fissuras e

49 40 método de representação (Neto 2007). Na modelagem da fissuração do concreto existem basicamente dois modelos a considerar; o modelo de fissuração discreta e o modelo de fissuração distribuída. Deve-se dizer que o modelo a ser escolhido para realizar a análise estrutural com elementos finitos depende da finalidade a qual a análise se destina. Assim, neste trabalho será utilizado o modelo de fissuração distribuída. A seguir serão apresentados os conceitos básicos destes dois tipos de modelos de fissuração Modelo de Fissuração Discreta No modelo discreto a fissuração em estruturas de concreto é considerada como uma descontinuidade geométrica da malha de elementos finitos. Ou seja, as fissuras se localizam e seguem as faces desses elementos (d'avila 2003), (Neto 2007). Portanto, para utilizar o modelo discreto de fissuração, deve-se saber previamente a forma e a localização das fissuras, ou a malha de elementos finitos deve ser continuamente alterada durante a análise, para considerar as fissuras. O primeiro modelo de fissuração discreta foi desenvolvido por (Ngo 1967) que propôs um modelo elástico linear para a análise de vigas de concreto armado, no qual as fissuras já pré-estabelecidas são definidas e implementadas na estrutura analisada através da separação nodal dos elementos finitos, e assim sendo atribuídos novos nós sobrepostos aos nós onde passarão as fissuras (Neto 2007), conforme pode ser apresentado na Figura Figura Esquema do modelo de fissuração discreta(neto 2007) Normalmente, o modelo de fissuração discreta é utilizado quando se tem interesse no comportamento local de uma fissura dominante (Murray 1993).

50 41 Na modelagem da fissuração discreta em estruturas de concreto, existe a necessidade de se conhecer previamente a localização e orientação da fissura de modo que seja a forma mais próxima da situação real. Isto gera grandes dificuldades na utilização desse modelo de fissuração, uma vez que, nesse modelo, existe a necessidade de redefinir a topologia da malha de elementos finitos e assim modificar consecutivamente a matriz de rigidez destes elementos, gerando dessa forma aumento no esforço computacional para realização da análise estrutural Modelo de Fissuração Distribuída No modelo de fissuração distribuída, as fissuras são consideradas nas estruturas de concreto armado a partir da mudança de propriedades do material em cada ponto de integração do elemento finito. Neste modelo, a topologia da malha de elementos continua inalterada, não havendo a necessidade de readaptação da malha por conta da fissuração do elemento. Com esse modelo, a fissuração pode se propagar para qualquer direção, não necessitando de grande esforço computacional. A Figura 4.13 mostra representação das fissuras distribuídas em um elemento finito. Este modelo foi inicialmente idealizado por (Rashid 1968). Figura Esquema do modelo de fissuração distribuída(neto 2007) Critério de Formação de Fissuras Neste trabalho, será utilizado como critério de formação de fissuras, o critério da energia da fratura. Neste critério, é estabelecido que uma fissura surja na direção perpendicular à direção em que a resistência à tração do concreto é excedida pela sua

51 42 tensão principal atuante, sendo a abertura ou fechamento da fissura controlada pela energia da fratura do material. Será apresentada a seguir a demonstração de forma geral para a utilização da energia da fratura na curva tensão-deformação do concreto. Considerando um elemento finito com fissuras distribuídas ao longo de um comprimento equivalente h, a curva tensão-deformação após o início da fissuração é apresentada na Figura Figura Curva tensão-deformação para o elemento com fissuras distribuídas(neto 2007) A área da curva apresentada na Figura 4.14 é dada pela equação g = d (4.79) f i iu onde, g f é área sob a curva tensão-deformação após o início da fissuração. i é a tensão principal na direção i ; d iu é o diferencial da deformação uniaxial equivalente na direção i;

52 43 Define-se também G f como a energia de fratura necessária para criar uma unidade de área de uma fissura contínua, dada pela área da curva tensão versus abertura de fissura apresentada pela Figura 4.15 (Neto 2007). Figura Curva tensão-abertura da fissura (Neto 2007) Assim, G f pode ser dado pela equação G f = dw (4.80) i onde dw é o diferencial da abertura de fissura. Define-se também W como a soma total de abertura de todas as micro-fissuras dentro da zona de fratura h (Neto 2007), podendo ser expressa pela equação (4.81) W = dn (4.81) iu Considerando que as micro-fissuras são distribuídas uniformemente a equação (4.81) pode ser alterada para. W = h iu (4.82) E assim fazendo algumas considerações e operações matemáticas utilizando as equações (4.79), (4.80) e (4.82), obtêm-se a relação entre G f e g f.

53 44 G f = hg (4.83) f Deste modo, pode-se definir uma nova curva tensão-deformação do concreto, conforme a Figura 4.16, em função da energia da fratura G f do material. Figura Curva tensão-deformação em função da energia de fratura(neto 2007). E assim de acordo com a Figura 4.16, a deformação última devido à tração itu pode ser obtida, levando em consideração a energia da fratura (4.84). G f, a partir da equação itu 2G f = h (4.84) it Deve-se notar que h é o comprimento equivalente que corresponde à área de influência de cada ponto de Gauss na direção perpendicular ao plano de propagação da fissura. A Figura 4.17 apresenta o comprimento equivalente em um elemento finito que possui quatro pontos de integração de Gauus.

54 45 Figura 4.17 Comprimento Equivalente de cada ponto de integração de Gauss no Elemento Finito. O comprimento equivalente é obtido diretamente em função das dimensões, da forma de cada região do ponto de Gauss e do ângulo normal à propagação da fissura. Deve-se dizer que o comprimento equivalente é uma grandeza puramente geométrica e que é determinado de acordo com a Figura 4.18 a partir da equação (4.85). h = B cosθ + Hsenθ (4.85) Onde, B e H são as dimensões dos lados do elemento finito quadrilateral utilizado neste trabalho. Figura Definição de Comprimento equivalente em função do ângulo de propagação da fissura(neto 2007).

55 Armadura de Aço Aas barras de aço no concreto armado têm como finalidade resistir a esforços axiais apenas, ou seja, as solicitações perpendiculares aos eixos das barras (por exemplo, o efeito do esforço cortante) são desprezadas.. Assim, em função dahomogeneidade e isotropia do material aço, é suficiente o conhecimento das propriedades das barras relativas a um estado de tensão uniaxial para realizar a análise não linear física de peças de concreto armado(bono 2008). Para carregamentos monotônicos, normalmente os modelos constitutivos para o aço podem ser representados como um material elástico plástico-perfeito ou com endurecimento linear, ou ainda como uma curva tensão-deformação trilinear ou uma curva tensão-deformação completa, conforme apresentam respectivamente as Figura 4.19, Figura 4.20Figura 4.21 (Bono 2008). Figura 4.19 Aproximação elásto-plástica perfeita(bono 2008).

56 47 Figura 4.20 Aproximação elástica com endurecimento linear(bono 2008) Figura 4.21 Aproximação trilinear para o aço(bono 2008) Figura 4.22 Curva completa para o aço(bono 2008)

57 48 Na modelagem numérica da armadura de aço, além da escolha do modelo constitutivo a ser utilizado, deve-se também levar em consideração a forma de como será representado a armadura de aço dentro da peça de concreto armado analisada. Desta maneira, e de acordo com a literatura pode-se dizer que existem basicamente três formas de representar a armadura, entre as quais, a representação distribuída, a representação embutida e a representação discreta. a) Representação distribuída: considera que a armadura esta distribuída no elemento finito de concreto, sendo utilizada uma relação constitutiva que combina as propriedades do aço e do concreto em um mesmo elemento. Nesta representação é considerada uma perfeita aderência entre o concreto e o aço(neto 2007). Figura Representação distribuída da armadura(neto 2007) b) Representação Embutida: A armadura de aço é considerada como um elemento axial conectada ligado diretamente ao elemento finito do concreto, de tal forma que os deslocamentos da armadura sejam consistentes com o do elemento de concreto. Nesta representação é considerada uma perfeita aderência entre o concreto e o aço(neto 2007).

58 49 Figura 4.24 Representação da armadura embutida(neto 2007) c) Representação Discreta: A armadura de aço é considerada como um elemento finito do tipo barra com dois ou três graus de liberdade por nó conectado aos nós do elemento de concreto. Nesta representação os deslocamentos da armadura não são necessariamente iguais ao do elemento de concreto, e assim pode-se considerar o deslocamento relativo entre a armadura de aço e o concreto(neto 2007). Figura 4.25 Representação da armadura discreta (Neto 2007). Neste trabalho não serão realizadas análises que se estendam até a completa ruína dos elementos estruturais de concreto armado. Desta maneira, será considerada uma perfeita aderência entre a armadura de aço e o concreto, sendo então utilizada a representação distribuída da armadura. É interessante notar também a facilidade em se modelar estruturas de concreto armado que possuam uma taxa de armadura muito densa utilizando este tipo de representação Modelo Constitutivo para a Armadura de Aço Na literatura existem diversos modelos constitutivos para o aço, os mais usados definem basicamente o comportamento do aço através de funções explícitas entre

59 50 tensões e deformações específicas. Neste caso podem-se citar dois modelos a considerar: a) O modelo de (Ramberg 1943) no qual as deformações são obtidas em função = f sendo utilizado em análises estruturais das tensões específicas ( ) com elementos finitos baseados no método das forças. b) O modelo de Giufre-Menegotto-Pinto no qual as tensões são obtidas a partir = f sendo usado em análises estruturais das deformações específicas ( ) que utilizem elementos finitos baseados no método dos deslocamentos. O modelo constitutivo para o aço a ser utilizado na análise não-linear de peças de concreto armado será o de Giufre-Menegotto-Pinto, pois o elemento finito formulado neste trabalho é baseado no método dos deslocamentos. a) Modelo Constitutivo de Giufre-Menegotto-Pinto De acordo com Giufre-Menegotto-Pinto a expressão que determina a curva tensão-deformação do aço apresentada pela Figura 4.26 é dada conforme a seguinte equação p ( 1 b) p py = f py b + py R p 1 + py 1 R (4.86) onde: p é a deformação específica; é a tensão devido a deformação específica p ; f py é a tensão de escoamento do aço; b é o módulo enrijecedor; R é o parâmetro que define a curvatura do trecho de transição das curvas elástica e de enrijecimento.

60 51 Figura 4.26 Curva Tensão x Deformação para o Aço A partir da relação tensão-deformação do aço pode-se obter o módulo de elasticidade tangente do aço Assim tem-se. E ta derivando a equação (4.86) em função da deformação. E ta R 1 p p ( b 1) aço b b 1 py = = f py R R 1 p + py R R p 2 p py + 1 py + 1 py py (4.87) 4.5 Formulação do Elemento Finito para Análise Não-Linear Física Deve-se salientar que a formulação do elemento finito para a análise não linear física utilizando um procedimento incremental iterativo, proporciona a possibilidade de tratar o material como linear elástico em cada iteração. Dessa forma, a dedução do elemento finito para incrementos lineares é bastante análoga ao realizado para uma análise linear elástica.

61 O Método dos Elementos Finitos O método dos elementos finitos é um método numérico que consiste em subdividir um sistema contínuo em um número finito de pequenas regiões chamadas elementos finitos, permitindo assim a representaçãoa do meio contínuo por um sistema discreto.. No caso de análise linear de tensões, as relações constitutivas podem ser estabelecidas utilizando os conceitos da teoria da elasticidade e desta maneira pode-se obter as deformações e o estado de tensões do elemento. A Figura 4.27 apresenta um sistema discreto, na forma de uma malha de elementos finitos. Figura 4.27 Malha de Elementos Finitos Elemento Finito Quadrilateral Bilinear com Não-Linearidade Física A seguir apresenta-se a formulação do elemento finito quadrilateral bilinear isoparamétrico do tipo membrana para análise de estado plano de tensões com nãolinearidade do material. Este elemento possui oito graus de liberdade no total, sendo dois graus de liberdade por nó. É interessante dizer também que os graus de liberdade considerados são translações nas direções x e y, conforme apresenta a Figura 4.28.

62 53 Figura 4.28 Elemento Quadrilateral Bilinear Funções de Forma Utilizando a formulação Isoparamétrica A formulação dos elementos isoparamétricos, publicada por Irons em 1966, permite gerar elementos com lados inclinados e/ou curvos que modelem mais adequadamente os contornos irregulares do modelo que se pretende discretizar (Assan 2003). Deve-se dizer que a idéia básica da formulação isoparamétrica consiste em utilizar as mesmas funções de forma de interpolação de deslocamentos no interior do elemento, para interpolar as coordenadas do interior do elemento a partir dos seus valores nodais (Moura 2000). Para tanto, o sistema de coordenadas cartesianas ( x, y ) do elemento é transformado para um sistema de coordenadas mais adequado, no caso, o sistema natural ( ξ, η ), conforme mostrado na Figura É interessante notar que o elemento quadrilateral não precisa ter necessariamente os seus lados paralelos ao sistema cartesiano de coordenadas (Moura 2000).

63 54 Figura 4.29 Mudança do Sistema Cartesiano para o Sistema Natural. Deve-se salientar que no sistema de coordenadas naturais os comprimentos dos lados dos elementos são sempre iguais a duas unidades, com as coordenadas naturais variando de 1 a 1. Desta forma, para a interpolação de deslocamentos e coordenadas no elemento finito quadrilateral bilinear, será utilizado às seguintes funções forma: N 1, N 2, N 3 e N4 apresentadas respectivamente pelas equações (4.88), (4.89), (4.90) e (4.91). É interessante dizer que as funções de forma para esse elemento podem ser obtidas a partir de interpretações geométricas. Entretanto, com a utilização dos polinômios de Lagrange pode-se obter estas funções de uma maneira mais prática e eficaz. 1 N1 = (1 ξ )(1 η ) (4.88) 4 1 N 2 = (1 + ξ )(1 η ) (4.89) 4 1 N3 = (1 + ξ )(1 + η ) (4.90) 4 (, ) 1 N 4 = (1 ξ )(1 + η ) (4.91) 4 Assim dadas às coordenadas cartesianas nodais ( x, y ), ( x, y ), (, ) I I J J x y, x y e as coordenadas paramétricas ξ e η de um ponto P qualquer no interior do K K L L

64 55 elemento, pode-se obter as coordenadas x e y desse ponto em função de ξ e η, conforme mostra as equações (4.92) e (4.93). 4 = i ξ η i (4.92) i= 1 x( ξ, η) N (, ) x 4 = i ξ η i (4.93) i= 1 y( ξ, η) N (, ) y De forma a obter a matriz de transformação de sistemas de coordenadas naturais para o sistema de coordenadas cartesianas, se faz necessário obter a derivada de uma função qualquer ( x, y) ϕ definida no interior do elemento em relação às coordenadas naturais. Para tanto se utiliza a regra da cadeia φ( x, y) φ x φ y = + ξ x ξ y ξ φ( x, y) φ x φ y = + η x η y η (4.94) (4.95) Reescrevendo as equações (4.94) e (4.95) na forma matricial, têm-se. φ x y φ ξ ξ ξ x = φ x y φ η η η y (4.96) onde, a matriz jacobiana de transformação J é dada pela matriz de ordem dois da equação (4.96). x y ξ ξ J = (4.97) x y η η A matriz J transforma as derivadas de uma função qualquer em relação ao sistema cartesiano de coordenadas nas derivadas dessa função em relação ao sistema natural de coordenadas. Entretanto, as derivadas conhecidas utilizando o método dos elementos finitos são em relações ao sistema natural. Dessa forma, para se obter as

65 56 derivadas da função qualquer em relação ao sistema cartesiano, deve-se inverter a equação (4.96), obtendo-se assim a equação (4.98). φ φ x ξ φ = φ y η 1 J (4.98) De acordo com a equação (4.97), a matriz jacobiana é obtida realizando as derivadas parciais em relação às coordenadas naturais ξ e η das equações (4.92) e (4.93). x = N 4 i xi (4.99) i= 1 ξ y = ξ N 4 i yi (4.100) i= 1 ξ x = η N 4 i xi (4.101) i= 1 η y = η N 4 i yi (4.102) i= 1 η (4.110) As derivadas das funções de forma são obtidas a partir das equações (4.103) a N1 1 = 1 ξ 4 ( η ) N1 1 = 1 η 4 ( ξ ) N 2 1 = 1 ξ 4 ( η) N2 1 = 1 + η 4 ( ξ ) (4.103) (4.104) (4.105) (4.106)

66 57 N3 1 = 1 + ξ 4 ( η) N3 1 = 1 + η 4 ( ξ ) N4 1 = 1 + ξ 4 ( η) N 4 1 = 1 η 4 ( ξ ) (4.107) (4.108) (4.109) (4.110) Deformação no Interior do Elemento Utilizando os conceitos da Teoria da Elasticidade, podem-se obter as deformações do elemento a partir das seguintes equações. xx U x x = (4.111) yy U y = (4.112) y γ xy U U x = 2 xy = + x y y (4.113) onde U x e U y são respectivamente os deslocamentos nas direções x e y. deformações. Reescrevendo essas equações na forma matricial obtêm-se o vetor de 0 x xx U x yy = 0 y U y γ xy y x (4.114) ou, de forma compacta;

67 58 { ( x, y) } = [ ]{ ( x, y) } U (4.115) em que; cartesiano; cartesiano. [ ] é a matriz de operadores diferenciais; { ( x, y) } é o vetor de deformações no interior do elemento no sistema { U ( x, y )} é o vetor de deslocamentos no interior do elemento no sistema Sabendo-se que os deslocamentos no interior do elemento são obtidos a partir interpolação dos deslocamentos nodais através das funções de forma, tem-se a equação (4.116). { ( x, y) } = [ ( x, y) ]{ } U N d (4.116) onde [ N( x, y) ] N 0 N 0 N 0 N = 0 N1 0 N2 0 N3 0 N 4 (4.117) é a matriz de funções de forma no sistema natural de coordenadas; d1 d 2 d 3 d4 d = (4.118) d5 d 6 d7 d 8 { } é o incremento de deslocamentos nodais. Assim, substituindo a equação (4.116) na equação (4.115), têm-se que; { ( x, y) } = [ ][ N( x, y) ]{ } = [ B( x, y) ]{ } d d (4.119)

68 59 onde, B corresponde às derivadas das funções de forma em relação às coordenadas cartesianas. Com essa matriz, se obtêm as deformações no interior do elemento a partir dos deslocamentos nodais do elemento. N1 N2 N3 N x x x x N1 N2 N3 N 4 [ B( x, y)] = [ ][ N ( x, y) ] = (4.120) y y y y N1 N1 N2 N2 N3 N3 N4 N 4 y x y x y x y x Matriz de Rigidez do Elemento A matriz de rigidez de qualquer elemento finito pode ser obtida a partir do emprego do Princípio dos Trabalhos Virtuais. Este princípio geral pode ser expresso de duas formas distintas, quais sejam o Princípio dos Deslocamentos Virtuais, e o Princípio das Forças Virtuais, dando origem, respectivamente, ao método dos deslocamentos, e ao Método das Forças, utilizados na Teoria de Estruturas. Na formulação do elemento finito apresentado neste trabalho é utilizado o Método dos Deslocamentos. A seguir é apresentada a dedução do Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV). A partir das equações fundamentais da Teoria da Elasticidade, tem-se que as equações de equilíbrio no domínio em sua forma forte são expressas pelas seguintes equações: + + b = (4.121) xx, x xy, y x b = (4.122) yx, x yy, y y 0 xy = (4.123) yx Deve-se salientar que na forma forte as equações de equilíbrio devem ser satisfeitas pontualmente, ou seja, para que um corpo esteja em equilíbrio estas equações devem ser satisfeitas em qualquer ponto do corpo. No entanto, pode-se impor o equilíbrio no corpo em um sentido médio, não pontual, e para tanto se pode utilizar a forma fraca das equações de equilíbrio, conforme procedimento abaixo.

69 60 ( xx, x + xy, y + bx) δu x + ( yx, x + yy, y + by) δu y dω Ω (4.124) onde, δ Ux e δ U y são funções de ponderação completamente arbitrárias e Ω representa o domínio do elemento. Negligenciando por um momento as forças de corpo e desenvolvendo a equação (4.124), e apresentando inicialmente a primeira parcela desse desenvolvimento, tem-se que, xx, xδu xdω (4.125) Ω é interessante notar que, o termo da integral mostrada pela equação (4.125) é uma parcela que pode ser obtida a partir da regra da derivada do produto, logo ( U ) δ xx x xx U x = δu δ x + xx x x x (4.126) e reorganizando os termos da equação (4.126), tem-se que ( ) δu = δu δu (4.127) xx, x x xx x, x xx x, x Assim, de acordo com equação (4.127), pode-se reescrever a equação (4.125) da seguinte forma: e sendo a parcela ( ) Ω xx x, ( ) δu dω = δu dω δu dω (4.128) Ω xx, x x Ω xx x xx x, x, x Ω δu dω dada pela equação (4.128), uma integral contida no x domínio do elemento, pode-se utilizar o Teorema de Green no Plano, de forma a facilitar a resolução desta integral. De uma maneira geral, este teorema transforma a integral no domínio do corpo em uma integral ao longo de seu contorno, conforme mostra a equação (4.129) f ( x, y) d Ω = f ( x, y ) n ˆ xd Γ Ω x (4.129) Γ

70 61 onde, f ( x, y ) é uma função qualquer, Γ representa o contorno do elemento e n ˆx é a componente da direção x do vetor normal ao contorno do elemento. Logo de acordo com a equação (4.129), pode-se reescrever a equação (4.128) da seguinte maneira: δu dω = δu nˆ dγ δu dω (4.130) xx, x x xx x x xx x, x Ω Γ Ω analogamente ao que foi apresentado para a equação (4.125), pode-se obter as demais parcelas do desenvolvimento da equação (4.124). Aassim, tem-se que δu dω = δu nˆ dγ δu dω (4.131) xy, y x xy x y xy x, y Ω Γ Ω δu dω = δu nˆ dγ δu dω (4.132) yx, x y yx y x yx y, x Ω Γ Ω δu dω = δu nˆ dγ δu dω (4.133) yy, y y yy y y yy y, y Ω Γ Ω e desta maneira somando-se os dois lados das equações (4.130) a (4.133),tem-se, Ω Γ Ω ( xx, x + xy, y) δu x + ( yx, x + yy, y ) δu y dω = ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ) xxnx xyny δu x yxnx yyny δu y dγ xxδu x, x xy δu x, y δu x, y yyδu y, y dω (4.134) sabendo-se que o campo de deformações reais é dado por: xx yy = U = U x, x y, y 1 = + 2 ( U, U, ) xy x y y x (4.135) Analogamente, obtêm-se o campo de deformações virtuais, δ δ xx yy = δu = δu x, x y, y 1 δ = δ + δ 2 ( U, U, ) xy x y y x (4.136) utilizando o campo de deformações virtuais e reintroduzindo as forças de corpo na equação (4.134), determina-se o Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV), de forma

71 62 que o trabalho virtual externo conforme equação (4.137). δ seja igual ao trabalho virtual interno δ wint, wext ( xδ x yδ y ) ( xδ x yδ y ) Ω Γ ( xxδ x + 2 xyδ xy + yyδ y ) dω Ω b U + b U dω + t U + t U dγ = (4.137) Sendo que, ( ) ( ) (4.138) δ w = b δu + b δu dω + t δu + t δu dγ ext x x y y x x y y Ω Γ ( xx x xy xy yy y ) δ w = δ + δ + δ dω (4.139) int 2 Ω Logo, reescrevendo-se a equação (4.137) na forma matricial, Ω b t U U dω + U U dγ = x { δ δ } { δ δ } x x x x x by t Γ y xx δ xx δ yy δ xy yy τ xy { 2 } Ω (4.140) Levando à equação do PDV na forma matricial em uma forma compacta, onde, { δ } T { } { δ } T { } { δ} T { } U b dω + U t dγ = dω (4.141) Ω Γ Ω { δ U} é o vetor de deslocamentos virtuais no interior do elemento; { b } é o vetor de forças de corpo; { t } é o vetor de forças de superfície; { δ } é o vetor de deformações virtuais; { } é o vetor de tensões.

72 63 Observa-se que as cargas concentradas podem ser consideradas como um caso particular das forças de superfície atuando em uma área infinitesimal. Dessa forma, pode-se considerar as forças concentradas como um somatório destas cargas multiplicadas pelos respectivos deslocamentos nodais virtuais, ou seja. n T δ di pi = { δ d} { p} (4.142) i= 1 Assim, utilizando a equação (4.142) pode-se reescrever a equação (4.141) da seguinte forma { δ } T { } + { δ } T { } + { δ } T { } = { δ} T { } (4.143) d p U b dv U t da dv Ω Γ Ω Deve-se ressaltar que a equação acima, correspondente ao PDV é válida para qualquer tipo de material, linear ou não linear. Partindo-se das equações (4.116) e (4.119), podem-se determinar os deslocamentos virtuais e deformações virtuais no interior do elemento; { δu} [ N( x, y)] { δ d} = (4.144) { δ} [ B( x, y)]{ δ d} = (4.145) Substituindo as equações (4.145) e (4.144) na equação (4.143), o Princípio dos Deslocamentos Virtuais pode ser expresso pela equação (4.146). T T T T T T T { δ } { } + { δ } [ ] { } + { δ } { } { } = { δ } [ ] { } d p d N b dv d N t da d B dv maneira: Ωel Γel Ωel (4.146) Sendo { δ d} constante, pode-se reescrever a equação (4.146) da seguinte d p + [ N] b dv + [ N] t da [ B] dv = 0 Ωel Γel Ω el T T T T { δ } { } { } { } { } (4.147) e como os deslocamentos virtuais { δ d} são arbitrários, a equação (4.147) pode ser reescrita como segue:

73 64 p B dv N b dv N t da Ω el Ωel Γ el T T T { } = [ ] { } [ ] { } + [ ] { } (4.148) onde a parcela entre colchetes da equação (4.148) corresponde às forças nodais equivalentes { p eq}, ou seja: T T { peq} = [ N] { b} dv + [ N] { t} da (4.149) Ω el Portanto, o vetor de forças nodais internas pode ser determinado pela equação. T { p} = [ B] { } dv { p eq } Ωel Γ el (4.150) Deve-se ressaltar que a equação (4.150) acima foi deduzida a partir do PDV sem fazer qualquer menção ao tipo de material empregado, sendo portanto, válida para qualquer relação constitutiva, sendo ela linear ou não linear. Portanto, esta relação pode ser implementada diretamente em um programa para análise não linear. A linearização da equação (4.150) pode ser feita da seguinte forma: { p} { p} = { d} { d} T = [ B] { } dv { peq} { d} { d} Ωel T { } = [ B] dv { d} { d} Ωel (4.151) A relação entre as tensões e deformações pode ser expressa na forma incremental como (ver equação (4.152)) { } { } = { } = [ D]{ } { } (4.152) Utilizando a regra da cadeia e considerando as equações (4.151) e (4.152), temse que

74 65 { } { } { } = = [ D ][ B ] { d} { } { d} (4.153) Substituindo a equação (4.153) na equação (4.151), tem-se que T { p} = [ B] [ D][ B] dv { d} (4.154) Ωel ou seja, a relação incremental entre forças e deslocamentos do elemento é dada por onde { p} = [ k]{ d} (4.155) k = B D B dv (4.156) Ω el T [ ] [ ] [ ][ ] é a matriz de rigidez tangente do elemento. É importante notar que a integral apresentada pela equação (4.156) está no sistema de coordenadas cartesianas, portanto deve-se realizar a transformação de coordenadas para o sistema natural. Considerando a espessura e do elemento finito constante e utilizando o determinante da matriz jacobiana J definida pela equação (4.97), pode-se fazer uma transformação para o sistema natural de coordenadas, e a equação (4.156) pode ser reescrita da seguinte forma: Integração Numérica 1 1 T [ k] = e [ B] [ D][ B] J dξdη (4.157) 1 1 Devido à complexidade das integrais que devem ser resolvidas para se determinar a matriz de rigidez, o vetor de forças internas e o vetor de forças nodais equivalentes dos elementos, utiliza-se a integração numérica para avaliar essas integrais(bono 2008).

75 66 Na Quadratura de Gauss-Legendre considera-se, inicialmente, uma função contínua, f, com apenas uma variável, x, definida em um intervalo [ a, b ], tal que: a x b. Para calcular o valor aproximado da integral definida, utiliza-se uma combinação linear de valores da função f ( x) em certos pontos x i tal que: certos valores a xi b e w i, que são os pesos, de modo que a integral é calculada somando-se os produtos do peso em cada ponto pelo valor da função no mesmo ponto(assan 2003), resultando: b f ( x) dx w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + + wn f ( xn ) (4.158) a Deve-se salientar que os pontos x i e os pesos wi são obtidos de modo que a regra seja exata para qualquer polinômio de grau 2n 1, sendo n o número de pontos tomados no intervalo [ 1,1 ]. É interessante notar que este intervalo é bastante adequado quando está se utilizando as coordenadas naturais. Este intervalo corresponde a uma mudança de variável de x para ξ. Deve-se então realizar a transformação da integral para as coordenadas atuais do problema, ou seja, cartesianas ou naturais. Essa transformação é realizada utilizando o jacobiano de transformação J. A quadratura de Gauss pode ser estendida para duas ou três dimensões. Seja a função (, ) g ξ η integrada no domínio 1 ξ 1 e 1 η 1. A forma explícita da integral numérica é: 1 1 g ( ξ, η ) dξdη = wi wjg ( ξi, ηi ) (4.159) 1 1 i j Utilizando a quadratura gaussiana para obter a solução numérica das integrais apresentadas pelas equações (4.149) e (4.157), podem-se determinar respectivamente o vetor de forças nodais equivalentes e a matriz de rigidez do elemento, conforme as equações (4.160) e (4.161). T T ( ( ξ η ) { } ( ξ η ) { }) ( ξ η ) { peq} = [ N i, i ] b + [ N i, i ] t J i, i wi w j (4.160) i j

76 67 T ( ξi η ) i ( ξi ηi ) ( ξi ηi ) ( ξi ηi ) i j (4.161) [ k] = B, D, B, J, w w i j onde, J é o jacobiano de transformação obtido pela equação (4.97) O Problema Não-Linear Umas das etapas fundamentais para a realização do cálculo estrutural, utilizando o método dos elementos finitos, consiste em se determinar o sistema de equações de equilíbrio que relacionam as forças atuantes e os deslocamentos nodais da estrutura analisada. A equação de equilíbrio em uma estrutura pode ser expressa como: onde, int ( ) P ( D) = P P D (4.161) des ext Pext é o vetor de forças externas da estrutura, correspondentes às contribuição de todas as forças nodais e as forças nodais equivalentes; D é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura; Pint ( D) é o vetor de forças internas da estrutura, correspondentes às contribuições de todas as forças internas dos elementos da estrutura; Pdes ( D) é um vetor de forças desequilibradas. Ou seja, a solução do problema não-linear consiste em se obter um vetor de deslocamentos que torne o vetor de forças desequilibradas nulo. Assim, vendo de um modo abstrato para uma estrutura com vários graus de liberdade, o problema não-linear pode ser apresentado graficamente conforme Figura 4.30.

77 68 Figura 4.30 Gráfico representativo do problema não-linear É interessante notar que a matriz de rigidez para um sistema não-linear, pode ser determinada a partir da derivada das forças nodais internas em relação aos deslocamentos nodais da estrutura. Deve-se dizer também que essa matriz é chamada de matriz de rigidez tangente. Sendo, portanto, o problema não-linear expresso pela equação, a fórmula de iteratividade do Método de Newton-Raphson pode ser reapresentada da seguinte forma: Utilizando a equação (4.8) e fazendo com que a função f ( x ) e a variável x sejam respectivamente iguais ao vetor de forças desequilibradas P ( D) e ao vetor de deslocamentos globais da estrutura, pode-se obter a seguinte relação desb 1 Pdes ( D) D = D0 + Pdes ( D) D (4.162) derivando a função P ( D ) em relação a suas variáveis D, tem-se, desb Pdes ( D) P ( D) D D int = 0 (4.163) logo, de acordo com a equação (4.163) a matriz de rigidez tangente da estrutura é obtida por,

78 69 K T Pint ( D) ( D) = D (4.164) assim, utilizando as equações (4.163) e (4.164) pode-se reescrever a equação (4.162) de forma a obter a fórmula de iteratividade para a solução do problema não-linear. D = D + K D P D (4.165) 1 0 T ( ) des ( )

79 70 CAPITULO 5 - IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Matlab. Este capítulo apresenta a sequência de análise do programa desenvolvido em 5.1 Sequência de Análise a) Entrada de Dados: Definem-se as características geométricas, propriedades dos materiais, dos carregamentos e das condições de contorno do problema. Gera-se então a malha de elementos finitos a ser utilizada na análise. b) Obtêm-se as matrizes constitutivas dos materiais a partir dos módulos de elasticidades tangentes obtidos da iteração anterior. No, entanto para o primeiro incremento-iteração o concreto é tratado como um material isotrópico em que os módulos de elasticidades E 1 e E 2 são iguais ao módulo de elasticidade inicial E 0, da mesma forma o aço possui o módulo de elasticidade para o primeiro incremento-iteração igual ao seu módulo de elasticidade inicial. Matriz Constitutiva do Concreto, Matriz Constitutiva do Aço, [ ] [ ] T P D T D [ T ] C = C E1 A 0 0 D AÇO 0 E2 A 0 = c) Gera-se a matriz de rigidez dos elementos de concreto e aço através da seguinte expressão: T ( ξ η ) ( ξ η ) ( ξ η ) ( ξ η ) [ k] = B i, i DC i, i B i, i J i, i wi wj + i j i j T ( ξ, η ) ( ξ, η ) ( ξ, η ) ( ξ, η ) B D B J w w i i AÇO i i i i i i i j d) A partir da matriz de rigidez de cada elemento finito é montada a matriz de rigidez da estrutura como um todo.

80 71 [ K( estrutura )] = A n el [ k ] e) É obtido o vetor de incremento de forças nos graus de liberdade livres. O carregamento total é dado pela soma de todos os incrementos de carga. { P} = n { P} f) É realizada a solução iterativa do sistema de equações. { P} = [ K ]{ d} g) São calculados os incrementos de deformações em cada ponto de Gauss, { } = [ B]{ d} O vetor deformação total atual é dado por: p el { i } { i = 1 } + { i } h) Assim, a partir da matriz linearizada do material no sistema de coordenadas usais, são calculados os incrementos de tensões aproximadas no concreto. { i } i 1 { i C = D C } As tensões aproximadas totais são calculadas: { i } { i 1 } { i C = C + C} e) É então utilizado o círculo de Mohr para obter as direções e as tensões aproximadas principais 1p e 2 p para cada ponto no interior do elemento. f) Calculam-se os incrementos de deformações uniaxiais equivalentes, = 1u Atual Anterior 1p 1p Anterior E1 p = 2u Atual Anterior 2 p 2 p Anterior E2 p Obtêm-se então as deformações uniaxiais equivalentes dadas por: = + i i 1 i iu iu iu

81 72 1p g) Com isso a relação α = é obtida e assim a partir do critério de ruptura 2 p utilizado determinam-se as tensões ponto de Gauus. ic e deformações ic extremas em cada h) Utilizam-se as curvas tensão-deformação uniaxiais equivalentes de forma a determinar as tensões principais corrigidas bem como os módulos de elasticidade tangentes principais. i) Levando em consideração as direções principais atuais obtidas no item (e) realizam-se as transformações das tensões principais corrigidas 1p e 2 p para os eixos globais da estrutura, de forma a obter as tensões corrigidas 1 e 2 em cada ponto do material (concreto). j) Utilizando as deformações calculadas no item (g), calcula-se a tensão uniaxial na armadura para cada direção bem como o módulo de elasticidade tangente do aço para cada ponto do elemento. k) Dessa forma é obtido o vetor de carregamento interno do elemento a partir da seguinte expressão: T { } { } P = B J w w + i int ( ξ, η ) C ( ξ, η ) i j i j j T { } B J w w ( ξ, η ) AÇO ( ξ, η ) i j l) A partir disso, o vetor de carregamento interno da estrutura é montado, e utilizando o vetor de carregamento externo, o vetor de carregamento desequilibrado é calculado e obtido da seguinte forma. { P } = { P } { P } des ext int erno m) Com o vetor de carregamento desequilibrado é verificado o critério de convergência dando continuidade ao procedimento incremental-iterativo. n) A análise então é reiniciada e as matrizes constitutivas são atualizadas de acordo com o resultado da interação anterior e conseqüentemente atualizamse a matriz de rigidez da estrutura, bem como o campo de tensões e deformações, de tal forma que o resulta convirja de forma que o critério de parada pré-determinado possa ser atendido.

82 73 CAPITULO 6 - RESULTADOS Neste capítulo serão apresentados os resultados de três exemplos numéricos encontrados na literatura contrapostos com os resultados obtidos pelo presente trabalho. 6.1 Exemplo Numérico I Apresenta-se os resultados da simulação computacional de uma viga bi-apoiada, em concreto armado, solicitada por um carregamento concentrado no meio do vão, como mostra a Figura 6.1. Neste exemplo, são comparados os resultados numéricos obtidos pelo presente trabalho em relação aos resultados numéricos obtidos por Marins(Neto 2007), Kwak and Filippou (1997) apud Marins Neto(2007) e Oliveira, Corrêa et al.( 2000) apud Marins Neto(2007) e a resultados experimentais citados por Oliveira, Corrêa et al (2000) apud Marins Neto(2007). Figura 6.1 Detalhe da viga bi-apoiada analisada (Exemplo I) A Figura 6.2 e a Tabela 6.1 apresentam respectivamente a malha de elementos finitos utilizada para a obtenção dos resultados e as propriedades e dimensões do elemento estrutural analisado. O carregamento total aplicado foi de 140kN, sendo mostrado os resultados de deslocamentos em relação aos seguintes incrementos de cargas 20kN, 40kN, 60kN, 80kN, 100kN, 120kN, 140kN.

83 74 Figura 6.2 Malha de Elementos Finitos (Exemplo I) Tabela 6.1 Dimensões e Propriedades do Elemento Estrutural (Exemplo I) Geometria Comprimento(L) 370cm Altura (h) 50.8cm Largura (b) 20.3cm Concreto Módulo de Elasticidade inicial ( E ) MPa Resistência a Compressão ( f ) c 33.9MPa Resistência a Tração ( f t ) 3.6MPa Deformação Última ( ) u Coeficiente de Poison inicial (υ ) 0.2 Armadura de Aço Diâmetro das Barras Camada inferior 2.54cm Módulo de Elasticidade inicial ( E ) MPa Módulo de Elasticidade inicial (E 2890MPa Tensão de Escoamento 316MPa Tensão de Ruptura 400MPa Curvatura ( R ) 100 Módulo Enrijecedor ( b ) E E 0 y A Figura 6.3 e a Figura 6.4 apresentam respectivamente, a configuração deformada da estrutura analisada e a representação do campo de tensões principais. Vale salientar que as setas em cor azul apresentadas na Figura 6.4 representam tensões de compressão e as setas em cor vermelho representam tensões de tração.

84 75 Figura 6.3 Configuração Deformada (Exemplo I) Figura 6.4 Representação das Tensões Principais (Exemplo I) A Figura 6.5 apresenta os deslocamentos verticais do centro do vão da viga analisada (Exemplo I) Carregamento (kn) Marins Neto Silva Experimental Oliveira Kwak 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 Deslocamento (m) Figura 6.5 Deslocamento Vertical no centro do Vão da Viga (Exemplo I)

85 76 A curva obtida no presente trabalho possui um comportamento semelhante à curva obtida por Marins Neto (2007), a qual considera, assim como no presente trabalho, a aderência perfeita entre a armadura de aço e o concreto. Deve ser destacado que Marins Neto(2007) utiliza a representação da armadura de forma discreta. No entanto, a curva obtida por Oliveira (2000) apud Marins Neto (2007), que considera a perda de aderência entre a barra de aço e o concreto, apresenta um melhor comportamento quando comparada com a curva obtida experimentalmente. A curva obtida por Kwak and Filippou (1997) apud Marins Neto (2007), também situa-se próximo da curva experimental, apesar de ter um formato mais irregular. Deve-se salientar também que a curva obtida no presente trabalho localiza-se próxima à curva experimental até um estado de carregamento em torno de 60kN. 6.2 Exemplo Numérico II Apresenta-se os resultados da simulação computacional de uma viga bi-apoiada, em concreto armado, solicitada por duas cargas concentrados eqüidistantes de 78,3cm de cada uma das faces perpendiculares ao eixo baricêntrico do vão da viga, como mostra a Figura 6.6. Neste exemplo, são comparados os resultados numéricos obtidos no presente trabalho com os resultados numéricos obtidos por Marins Neto (2007) e Aurich e Campos (2003) apud Marins Neto (2007) e com resultados experimentais citados por Aurich e Campos (2003). Figura Detalhe da viga bi-apoiada analisada (Exemplo II)

86 77 A Figura 6.7 e Tabela 6.2 apresentam respectivamente a malha de elementos finitos utilizada para a obtenção dos resultados e as propriedades e dimensões do elemento estrutural analisado. O carregamento total aplicado foi de 50kN, sendo mostrado os resultados de deslocamentos em relação aos seguintes incrementos de cargas 10kN, 20kN, 30kN, 40kN, 50kN. Figura 6.7 Malha de Elementos Finitos(Exemplo II) Tabela Dimensões e Propriedades do Elemento Estrutural (Exemplo II) Geometria Comprimento(L) 250cm Altura (h) 25cm Largura (b) 12cm Concreto Módulo de Elasticidade inicial ( E ) MPa Resistência a Compressão ( f ) c 33.2MPa Resistência a Tração ( f t ) 3.28MPa Deformação Última ( ) u Coeficiente de Poison inicial (υ ) 0.20 Armadura de Aço Diâmetro das Barras Camada inferior 1.00cm Diâmetro das Barras Camada superior 0.63cm Módulo de Elasticidade, inicial ( E ) MPa Módulo de Elasticidade, escoamento ( E ) 2926MPa Tensão de Escoamento 549MPa Tensão de Ruptura 659MPa Curvatura ( R ) 100 Módulo Enrijecedor ( b ) E E 0 y y

87 78 As Figura 6.8 e Figura 6.9 apresentam respectivamente, a configuração deformada da estrutura analisada e a representação do campo de tensões principais. Figura Configuração Deformada (Exemplo II) Figura Representação das Tensões Principais (Exemplo II) A Figura 6.5 apresenta os deslocamentos verticais do centro do vão da viga analisada (Exemplo II).

88 Carregamento (kn) Marins Neto Experimental Aurich Presente Trabalho 0 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 Deslocamento(m) Figura Deslocamento Vertical no centro do Vão da Viga (Exemplo II) A modelagem apresentada por Aurich e Campos (2003) apud Marins Neto (2003) utiliza elementos tridimensionais para o concreto, elementos de treliça para o aço e considera os efeitos de aderência através da mudança de forças no elemento finito do tipo barra utilizado para representar a armadura de forma discreta (Neto 2007). A curva obtida no presente trabalho possui um comportamento semelhante à curva obtida por Aurich e Campos (2003) apud Marins Neto (2007) e ambas situam-se próximas à curva experimental. No entanto, a curva obtida com o presente do trabalho, a partir de um carregamento em torno de 25kN começa a se afastar da curva obtida por Marins Neto(2007). É importante ressaltar que a curva obtida no presente trabalho e a obtida por Marins Neto(2007) deveriam estar mais próximas uma vez que ambas consideram a aderência perfeita entre a armadura e o concreto. Logo, uma das possíveis causas desse afastamento se deve ao tipo de elemento e o grau de refinamento da malha de elementos finitos utilizada no presente trabalho, já que a malha utilizada por Marins Neto(2003) é formada por elementos quadráticos de oito nós, possuindo oito elementos na direção horizontal por oito elementos na direção vertical, enquanto que no presente trabalho utiliza-se uma malha com elementos quadrilaterais lineares, com vinte elementos na direção horizontal por dez elementos finitos na direção vertical. Deve-se dizer também que um dos fatos que levaram a este grau de refinamento se diz respeito a

89 80 uma melhor idealização da armadura dentro da estrutura uma vez que a mesma é representada de forma distribuída. 6.3 Exemplo Numérico III Apresentam-se os resultados da simulação computacional de uma viga biapoiada em concreto armado, solicitada por um carregamento concentrado no meio do vão, como mostra Figura 6.1. Neste exemplo são comparados os resultados numéricos obtidos pelo presente trabalho em relação aos resultados numéricos obtidos por MarinsNeto (2007), Kang (1977) apud Marins Neto (2007), Lin (1973) apud Marins Neto (2007), e a resultados experimentais citados por Kang (1977) apud Marins Neto (2007). Figura Detalhe da viga bi-apoiada analisada (Exemplo III) A Figura 6.12 e Tabela 6.3 apresentam respectivamente a malha de elementos finitos utilizada para a obtenção dos resultados e as propriedades e dimensões do elemento estrutural analisado. O carregamento total aplicado foi de kN, sendo mostrado os resultados de deslocamentos em relação aos seguintes incrementos de cargas 44.48kN, 88.96kN, kN, kN, kN, kN e kN.

90 81 Figura 6.12 Malha de Elementos Finitos (Exemplo III) Tabela Dimensões e Propriedades do Elemento Estrutural (Exemplo III) Geometria Comprimento(L) 640cm Altura (h) 55cm Largura (b) 22.8cm Concreto Módulo de Elasticidade inicial ( E ) MPa Resistência a Compressão ( f ) c 38.8MPa Resistência a Tração ( f t ) 3.88MPa Deformação Última ( ) u Coeficiente de Poison inicial (υ ) 0.2 Armadura de Aço Diâmetro das Barras Camada inferior 2.85cm Diâmetro das Barras Camada intermediária 2.85cm Diâmetro das Barras Camada superior 1.27cm Módulo de Elasticidade inicial ( E ) MPa Módulo de Elasticidade inicial (E 2882MPa Tensão de Escoamento 552MPa Tensão de Ruptura 689MPa Curvatura ( R ) 100 Módulo Enrijecedor ( b ) E E 0 y A Figura 6.13 e a Figura 6.14 apresentam respectivamente, a configuração deformada da estrutura analisada e a representação do campo de tensões principais.

91 82 Figura 6.13 Configuração Deformada(Exemplo III) Figura 6.14 Representação das Tensões Principais(Exemplo III) A Figura 6.5 apresenta os deslocamentos verticais do centro do vão da viga analisada (Exemplo III).