Revisão de Férias MATEMÁTICA II SETOR SISTEMA DE ENSINO VETOR 1. d) (2, 15) e) ( 1, 12)

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1 Revisão de Férias MATEMÁTICA II SETOR 7. (Uerj) Quatro balões esféricos são preenchidos isotermicamente com igual número de mols de um gás ideal. A temperatura do gás é a mesma nos balões, que apresentam as seguintes medidas de raio: Balão Raio I R II R III R IV R A pressão do gás é maior no balão de número: a) I b) II c) III d) IV. (Pucrj) Considere os pontos A = (0, 6) e B = (, 0). Tomamos um ponto P sobre o segmento de reta AB. Considere o retângulo R com um vértice na origem, um vértice em P e lados sobre os eixos x e y. conforme a figura abaixo. d) (, 5) e) (, ) 4. (Mackenzie) Se f: é uma função definida por f(x) = x + x +, então os valores de x para os quais f assume valores positivos são a) x b) x c) x d) x e) x 5. (Uerj) Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos est? representada a desvalorização de quatro desses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica. a) Encontre a equação da reta r que passa pelos pontos A e B. b) Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P. Escreva, em função apenas de x, uma fórmula para a área do retângulo R. c) Qual é a maior área possível para o retângulo R?. (Udesc) A função quadrática cujo gráfico contém os pontos (0, 9), (, 0) e (, 5) tem vértice em: a) (, ) b) (, 0) c) (0, 9) Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi: a) I b) II c) III d) IV SISTEMA DE ENSINO VETOR

2 6. (Famerp) Um animal, submetido à ação de uma droga experimental, teve sua massa corporal registrada nos sete primeiros meses de vida. Os sete pontos destacados no gráfico mostram esses registros e a reta indica a tendência de evolução da massa corporal em animais que não tenham sido submetidos à ação da droga experimental. Sabe-se que houve correlação perfeita entre os registros coletados no experimento e a reta apenas no º e no º mês. Se a massa registrada no 6º mês do experimento foi 0 gramas inferior à tendência de evolução da massa em animais não submetidos à droga experimental, o valor dessa massa registrada é igual a a),47 kg. b),7 kg. c),kg. d),5 kg. e),9 kg. 7. (Efomm) A forma de uma montanha pode ser descrita pela equação y = x + 7x 66 (6 x ). Considere um atirador munido de um rifle de alta precisão, localizado no ponto (, 0). A partir de que ponto, na montanha, um indefeso coelho estará 00% seguro? a) (8, 9). b) (8, 6). c) (7, 9). d) (7, 5). e) (7, 4). 8. (Pucrj) Um estudante vai a pé da escola até o metrô. Se ele caminha a 6 km h, ele demora 0 minutos. Se ele corre, ele demora apenas minutos. Com que velocidade ele corre? a) 0 km h b) km h c) 5 km h d) 9 km h e) 8 km h 9. (Pucrj) Uma ração para passarinhos é composta por tipos de sementes: X, Y e Z. A tabela abaixo mostra as quantidades, em gramas, de dois nutrientes A e B, em kg de cada uma das sementes: A B X Y Z Para preparar um saco dessa ração, utilizamos,5 kg da semente X, kg da semente Y e 0,5 kg da semente Z. Então, quantos gramas do nutriente A temos em kg dessa ração? a) 50 b) 70 c) 00 d) 50 e) (Pucrj) Em dias de trabalho, 8 costureiras de uma escola de samba fazem as fantasias da ala Só Alegria. Se costureiras ficassem doentes e não pudessem trabalhar, quantos dias seriam necessários para confeccionar as fantasias dessa mesma ala? a) 6 b) 0 c) 4 d) 8 e). (Uerj) Uma herança foi dividida em exatamente duas partes: x, que é inversamente proporcional a, e y, que é inversamente proporcional a. A parte x é igual a uma fração da herança que equivale a: a) 5 b) 5 c) 6 d) 5 6. (Unesp) Observe o infográfico, publicado recentemente em um jornal digital. SISTEMA DE ENSINO VETOR

3 Assinale a alternativa CORRETA. a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira. e) Apenas II e III são verdadeiras. 5. (Ita) Se x é um número real que satisfaz então x é igual a 0 a) 5x + 7x + 9. b) x + 6x + 8 c) x + 6x +. d) 7x + 5x + 9. e) 9x + x + 0. x = x +, a) Admitindo-se que o total de dinheiro apostado em determinado concurso da Mega-Sena tenha sido 5 milhões de reais, calcule quanto desse dinheiro, em reais, foi destinado ao esporte brasileiro (comitês olímpico e paraolímpico, juntos). b) Admita que o comprimento da barra do gráfico correspondente às Despesas de custo tenha,8 unidades de comprimento (,8 u). Para que a proposta do infográfico esteja matematicamente correta, calcule a medida indicada no infográfico por x, em unidades u de comprimento.. (Uerj simulado) O tempo necessário para que um planeta do sistema solar execute uma volta completa em torno do Sol é um ano. Observe as informações na tabela: PLANETAS DURAÇÃO DO ANO EM DIAS TER- RESTRES Mercúrio 88 Vênus 5 Terra 65 Marte 687 Se uma pessoa tem 45 anos na Terra, sua idade contada em anos em Vênus é igual a: a) 7 b) 76 c) 79 d) 8 6. (Ufsc) Guardadas as condições de existência, determine o valor numérico da expressão 4 4 (5x y + 5xy ) (mx m + nx n) (x 4) para x = 4. (x 4x 4x) (7my 7ny) (x xy y ) (69x 69y) 7. (Enem (Libras)) A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra R$ 0,00 por cada serviço realizado e atende 00 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 0 clientes por mês. Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de a) R$ 0,00. b) R$ 0,50. c) R$,00. d) R$ 5,00. e) R$ 0, (Enem) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. 4. (G - ifsc) Analise as afirmações seguintes: I. II. 5 6 ( 0) ( 5) = 7 5 ( ) = 0 III. Efetuando-se ( + 5)( 5), obtém-se um número múltiplo de. SISTEMA DE ENSINO VETOR

4 Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura? a) 6 b) 5 c) 5 4 d) 5 e) (Unesp) Uma função quadrática f é dada por f(x) = x + bx + c, com b e c reais. Se f() = e f() f() =, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a a). b) 6. c) 0. d) 5. e) (Pucrj) Dadas as funções f, g : definidas por f(x) = x - x + 6 e g(x) = - x +. a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas funções. b) Encontre os valores reais de x para os quais f(x) g (x). c) Encontre os valores reais de x que satisfazem f(x + ) = g(x ). 4 SISTEMA DE ENSINO VETOR

5 Gabarito: Resposta da questão : [B] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] Pela equação dos gases, tem-se: PV = nrt n = nº mols R = constante dos gases T = temperatura nrt P = V Assim, a pressão será maior no balão que apresentar o menor raio (são inversamente proporcionais). O balão com o menor raio é o II. [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] Balão Raio Volume I 4 R ( π R ) II R 4 R π ( π ) III R 4 π ( R) IV R 4 ( R ) Numa transformação isotérmica ( P V = k ), quanto menor o raio, menor o volume e, consequentemente, maior a pressão. Conclusão: o balão II apresenta o menor raio e a maior pressão interna. Resposta da questão : a) A reta passa pelos pontos A(0, 6) e B(, 0). Portanto seu coeficiente angular será dado por: 0 6 m = = 0 Portanto, a equação da reta será dada por: y 6 = x 0 y = x x + y = 0 b) Determinando o valor de y na equação da reta, temos: x + y = x x + x A = x y A(x) = A(x) = + 6x c) O maior valor para a área do retângulo será dado pela ordenada do vértice da parábola de equação x A(x) = + 6x, portanto: Δ 6 Amax = = = 8 4 a 4 Resposta da questão : [E] Seja y = ax + bx + c, com a 0, a lei da função. Logo, temos c = 9 e, portanto, vem a + b 9 = 0 a + b = 9 a + b 9 = 5 a + b = a = e b = 6. Em consequência, escrevendo a forma canônica da lei da função, encontramos y = (x + x ) = (x + ). A resposta é (, ). Resposta da questão 4: [E] Calculando as raízes: f(x) = x + x + = 4 ( ) = 9 x = 9 x = ou 4 x = Como a parábola tem concavidade para baixo (x é negativo) a função assumirá valores positivos quando x. Resposta da questão 5: [B] As taxas de desvalorização anual dos veículos I, II, III e IV foram, respectivamente, iguais a Calculando a área do retângulo, temos: SISTEMA DE ENSINO VETOR 5

6 5 75 = 0, =,5, = 6 6 e 6 6 = 5. 4 Portanto, segue que o veículo que mais desvalorizou por ano foi o II. Resposta da questão 6: [E] Calculando: y = ax + b P (, ) e P (, ) y a = = = x x y = + b = + b b = Assim: y = (x + ) 6º mês y 0, 7 y = (6 + ) = =,5,5 0, =,9 kg Resposta da questão 7: [B] Teremos: 0 = m + n n = m Então, ( t) y = mx m O ponto de tangência entre a reta t e a parábola é dado por: mx m = x + 7x 66 x + x m m = 0 = 0, m m = 0 m 4m m = 0 m 6m + 5 = 0 m = 5 ou m = Se m =, y = x y = x + 7x 66 x = x + 7x 66 x 6x + 64 = 0 x 8 = 0 x = 8 Substituindo x = 8 na equação y = x, y = 6 Se m = 5, y = 5x 50 y = x + 7x 66 5x 50 = x + 7x 66 x + 8x + 6 = 0 x + 4 = 0 x = 4 Como o ponto que garante a segurança do coelho está no primeiro quadrante, tal ponto é: ( 8, 6 ). Resposta da questão 8: [A] A equação da reta t é dada por: y = mx + n O ponto (, 0 ) é um ponto da reta t, logo, Considerando que velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais e que v é sua velocidade quando corre, podemos escrever que: v = 6 0 v = 0 km h 6 SISTEMA DE ENSINO VETOR

7 Resposta da questão 9: [C] Calculando, inicialmente, a massa do saco de ração:, ,5 = 7 kg Calculando a massa no nutriente A neste saco de ração (7 kg)., ,5 00 = 00 g Logo, a massa do nutriente A em kg nessa mistura será: 00 7 = 00 g Resposta da questão 0: [A] dias 8 costureiras x dias 6 cos tureiras Como número de dias e número de costureiras são grandezas inversamente proporcionais, Podemos escrever a seguinte equação: 6 x = 8 x = 6 Portanto, seriam necessários 6 dias para confeccionar as fantasias dessa mesma ala. Resposta da questão : [A] Calculando: x = x = y y mas, x + y = Logo: 5 x + x = x = x = 5 Resposta da questão : a) O resultado é dado por ,07 = R$ ,00. b) É fácil ver que as barras têm o mesmo comprimento. Logo, sabendo que 0% corresponde a,8 unidades de comprimento, então cada barra deverá medir 00%,8 66,4 u. 0% = Portanto, para que a proposta do infográfico esteja matematicamente correta, deve-se ter 7,76% +,4% x = 66,4 = 4,6 u. 7,76% +,4% + % +,7% + % Resposta da questão : [A] Se a idade da pessoa, em dias terrestres, é igual a , então sua idade em Vênus é = 7 5 anos. Resposta da questão 4: [B] [I] (Verdadeira). 5 6 ( 0) ( 5) = 5 4 ( 0) 5 = = 7 [II] (Falsa). 5 ( ) = 5 ( ) = 5 0 =,5 [III] (Verdadeira). ( + 5)( 5) = 5 = 4 Resposta da questão 5: [C] De x = x +, ( x ) = ( x + ) 9 x = x + x + x + 9 x = x + 6x + x + 8 Mas, x = x +, logo, 9 x = x + + 6x + x x = 6x + x De x = 6x + x + 0, 9 x x = x 6x + x x = 6x + x + 0x Mais uma vez lembremos que 0 x = 6 x + + x + 0x 0 x = x + 6x + Resposta da questão 6: 5. De x = x +, portanto, 4 4 (5x y + 5xy ) (mx m + nx n) (x 4), (x 4x + 4x) (7my + 7ny) (x xy + y ) (69x + 69y) SISTEMA DE ENSINO VETOR 7

8 ( + ) ( ( ) + ( )) ( + ) ( ) ( + ) ( ( ) + ( )) ( + ) ( ) 5xy x y m x n x x x x x 4x + 4 7y m + n x xy + y 69 x + y 5xy x y m x n x x x x x 4x + 4 7y m + n x xy + y 69 x + y x + y x xy + y x m + n x + x ( x ) ( m + n) ( x xy + y ) 69 ( x + y) + y ( x xy + y ) ( x ) ( m n) ( x ) ( m+ n) ( x xy y ) + ( x ) ( x+ ) Resposta da questão 7: [D] + ( x + ) ( x ) + ( x y) Seja x o número de reais cobrados a mais pelo cabeleireiro. Tem-se que a renda, r, obtida com os serviços realizados é dada por r(x) = (0 + x)(00 0x) = 0x + 00x Em consequência, o número de reais cobrados a mais 00 para que a renda seja máxima é = 5 e, portanto, ele deverá cobrar por serviço o valor de ( 0) = R$ 5,00. Resposta da questão 8: [D] Calculando: Parábola Pontos 5, 0 e 4, f(x) = ax + bx + c b = 0 parábola simétrica ao eixo y Resposta da questão 9: [D] Se f() f() =, então + b + c ( + b + c) = b = 6. Logo, se f() =, então = + ( 6) + c c = 4. Portanto, temos f(x) = x 6x + 4 = 5 + (x ). Em consequência, o menor valor que f pode assumir é 5, quando x =. Resposta da questão 0: a) Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de f e g, basta resolvermos a equação f(x) = g(x). De f(x) = x x + 6, g(x) = x + e f(x) = g(x), x x + 6 = x + x x + 4 = 0 Resolvendo a equação acima, x = ou x = 8 De x =, g() = + g() = 6 De x = 8, g(8) = 8 + g(8) = 4 Logo, os pontos de interseção dos gráficos das funções são (, 6) e (8, 4). b) De f(x) g(x), x x + 6 x + x x (x ) (x 8) 0 f(0) = c = H x ou x 8 0 = a (5) + H 0 = 5a + H 5 = 9a a = H = = a (4) + H = 6a H c) De f(x) = x x + 6, f(x + ) = (x + ) (x + ) + 6 f(x + ) = x + x + x + 6 f(x + ) = x x SISTEMA DE ENSINO VETOR

9 De g( x) = x +, g(x ) = (x ) + g(x ) = x g(x ) = x + 6 Então, x x + 4 = x + 6 x 9x + 8 = 0 Resolvendo a equação acima, x = ou x = 8 SISTEMA DE ENSINO VETOR 9

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