ESTUDO DE ESTRUTURAS COMPOSTAS POR LÂMINAS PLANAS DE ESPESSURAS CONSTANTES: UMA ABORDAGEM PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 ESTUDO DE ESTRUTURAS COMPOSTAS POR LÂMINAS PLANAS DE ESPESSURAS CONSTANTES: UMA ABORDAGEM PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ÂNGELO VIEIRA MENDONÇA Tese aresetada à Escola de Egehara de São Carlos da Uversdade de São Paulo, coo arte dos requstos ara obteção do título de Doutor e Egehara ORIENTADOR: Prof Assoc JOÃO BATISTA DE PAIVA São Carlos

2 AGRADECIMENTOS Deseo exressar eus agradecetos a todos aqueles que audara dreta ou dretaete a torar ossível este trabalho Sou esecalete grato ao Professor Assocado João Batsta de Pava, or sua dedcada oretação e estíulo e todas as etaas deste trabalho Estedo eus agradecetos aos Professores Márco R S Corrêa, Wlso S Vetur, Sérgo P B Proeça, José E Laer e Huberto B Coda or suas valorosas cotrbuções que fora dadas a ao logo desses aos e que estve a Escola de Egehara de São Carlos Aos agos coteorâeos de ós-graduação do Deartaeto de Egehara de Estruturas(SET) tabé exresso ha gratdão or suas valosas observações e sugestões, esecalete aos alados da ecâca coutacoal, detre eles: Alexadre Botta, Arthur Mesquta, Fausto Saches, Lucao Gobo, Valéro Aleda, Wlso Wuztow Aos fucoáros do SET estedo eus agradecetos ela azade e or tere getlete e auxlado e dversas stuações e que fu cosultá-los Agradeço ada a Fudação de Aaro à Pesqusa do Estado de São Paulo elo aoo facero coceddo a este trabalho Agradeço tabé ao Cetro Acadêco Arado Sales de Olvera (CAASO) or sua rograação cultural que te sdo arecada elo autor desde os teos da graduação e Egehara Cvl

3 Para ha aravlhosa faíla: João e Geralda, eus as; Taara, ha rã

4 Hoes flhos do sol, hoes flhos da lua, hoes flhos do ar, aqu vera sofrer, sohar (Ctação lda e algu lugar a fâca)

5

6 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE ABREVEATURAS E SIGLAS LISTA DE SÍMBOLOS RESUMO ABSTRACT v v v x xv APRESENTAÇÃO Geeraldades Revsão Bblográfca 4 FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTOSTÁTICA LINEAR 4 Itrodução 4 Geeraldades 4 Relações eleetares da teora da elastcdade 5 Problea trdesoal 6 Problea bdesoal 8 Teora de chaas 9 4 Teora clássca de lacas 4 4 Reresetação de Paovtch-Neuber 46 5 Probleas elástcos fudaetas 5 5 Problea de Kelv trdesoal 5 5 Deslocaetos va vetor de Paovtch 5 5 Deslocaetos va trasforadas de Fourer 55 5 Tesões, deforações e forças de suerfíce 59 5 Problea de Kelv bdesoal 59 5 Deslocaetos va vetor de Paovtch 59 5 Deslocaetos va trasforadas de Fourer 6 5 Tesões, deforações e forças de suerfíce 6

7 6 Problea fudaetal de lacas delgadas 64 6 Deslocaetos va solução dreta 64 6 Deslocaetos va trasforada de Fourer 67 6 Dervadas dos deslocaetos, esforços 67 REPRESENTAÇÕES INTEGRAIS PARA PROBLEMAS ELASTOSTÁTICOS PLANOS 69 Itrodução 69 Equações tegras de cotoro de chaas 69 Potos o doío 69 Potos o cotoro 7 Carregaetos exteros dstrbuídos e lha e cocetrados (estados laos) 74 4 Reresetações tegras dos estados laos o sstea de referêca local 77 Equações tegras de lacas delgadas 8 Potos de doío 8 Potos o cotoro 9 Ações alcadas learete dstrbuídas e cocetradas 4 REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS DOS PROBLEMAS ELÁSTICOS 4 Itrodução 4 Reresetações tegras dscretzadas 4 Dscretzação 4 Aroxação das varáves do roblea 5 4 Iterolações a forulação Hexaaraétrca 5 4 Iterolações a forulação Tetraaraétrca 4 Trasforação das tegras de doío ara o carregaeto 4 Reresetações Algébrcas 4 4 Cálculo das tegras 4 4 Itegração sgular 4 4 Itegração ão-sgular 9

8 4 Sstea de equações 4 Forulação Hexaaraétrca 4 Probleas slesete coectados 4 Probleas colaares co ultrregões 4 Probleas ão-colaares 5 4 Forulação Tetraaraétrca 6 4 Probleas co regões sles 7 4 Estruturas colaares 7 4 Estruturas ão-colaares 7 4 Deteração dos deslocaetos e esforços o doío 8 5 REPRESENTAÇÕES INTEGRAIS E ALGÉBRICAS PARA PROBLEMAS INELÁSTICOS 4 5 Itrodução 4 5 Equações tegras ara robleas co caos cas 4 5 Equações báscas 4 5 Equações tegras 44 5 Reresetações Itegras Dscretzadas 66 5 Dscretzação 66 5 Aroxação das varáves do roblea 7 5 Reresetação Algébrca 7 5 Cálculo das tegras ara os caos cas 7 5 Sstea de equações 76 5 Forulação hexaaraétrca 76 5 Probleas slesete coectados de chaas e lacas 76 5 Probleas colaares co ultrregões 86 5 Forulação Tetraaraétrca 9 5 Probleas co regões sles 9 5 Probleas colaares ultcoectados 95 6 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS 96 6 Itrodução 96

9 6 Cocetos báscos da lastcdade 96 6 Relações tesão-deforação creetal 6 Crtéros de lastfcação 6 6 Crtéro de Tresca 7 6 Crtéro de Maxwell-Huber- Mses 7 6 Crtéro de Mohr-Coulob 9 64 Crtéro de Drucer-Prager 9 65 Crtéro de Rae 6 Algortos Icreetas-teratvos do Sstea de Equações 7 AVALIAÇÃO NUMÉRICA 9 7 Aálse Elastolear 9 7 Placa egastada sob carregaeto uforeete dstrbuído 9 7 Placa egastada subetda a u carregaeto hdrostátco 7 Placa aoada sob carregaeto uforeete dstrbuído 74 Placa aoada sob carregaeto hdrostátco 75 Placa aoada sob carregaeto cocetrado 76 Placa aoada os catos e carreg uforeete dstrbuído 4 77 Chaa slesete tracoada 5 78 Chaa subetda a báros as extredades 6 79 Chaa subetda ao csalhaeto uro 7 7 Problea de Coo 8 7 Placa aoada co regões sob carreg dstrbuído e lha 9 7 Placa de esessura varável e balaço 7 Vga π egastada as extredades 4 74 Vga V egastada as extredades 8 75 Vga de seção oocelular egastada as extredades 4 76 Reservatóro elevado 45 7 Lâas laas subetdas a caos cas de teeratura 5 7 Chaa co acréscos costates de teeratura 5 7 Placa aoada co gradete de teeratura 5 7 Placa egastada co gradete de teeratura 54

10 7 Aálse Elastolástca 55 7 Chaa e rege elastolástco co ecruaeto lear 55 7 Tubo ressurzado e rege elastolástco erfeto 57 7 Placa e rege elastolástco erfeto Chaa co duas regões e rege elastolástco co ecruaeto lear Placa co duas regões e rege elastolástco erfeto 6 8 CONCLUSÕES 64 9 REFERÊNCIAS 67 ANEXO I 89 ANEXO II 9 ANEXO III 9 ANEXO IV 9 ANEXO V 95

11 LISTA DE FIGURAS Fgura - Deslocaetos segudo as dreções dos exos cartesaos 6 Fgura -Estado de tesões e u eleeto ftesal 7 Fgura - Resultates de tesão e u eleeto ftesal de chaa 4 Fgura 4- deslocaeto vertcal e rotações resetes a laca 4 Fgura 5- Esforços resetes e u eleeto ftesal de laca 44 Fgura 6- Equlíbro o círculo auxlar 65 Fgura - Poto fote stuado o cotoro 7 Fgura -Âgulos resetes e C 74 Fgura - Esquea reresetatvo da chaa 8 Fgura 4- Carregaetos resetes a laca 87 Fgura 5-Cotoro auxlar 9 Fgura 6-Moveto de coro rígdo ara a obteção do tero lvre 96 Fgura 7-Potos aterores e osterores aos catos 97 Fgura 4- Dscretzação de cotoro e de doío Fgura 4- Fuções teroladoras leares 6 Fgura 4- Fuções Iteroladoras φ 8 Fgura 44-Fuções teroladoras φ 9 Fgura 45- Esquea reresetatvo da tegração sobre a célula Fgura 47-Fuções teroladoras leares ara o eleeto sgular 5 Fgura 48- Fuções φ o Eleeto Sgular 7 Fgura 49-Fuções Iteroladoras φ o Eleeto Sgular 8 Fgura 4- Duas regões colaares Fgura 4- Ssteas de referêcas 6 Fgura 4-Geoetra da estrutura olédrca 7 Fgura 4- Oretação das lâas a estrutura olédrca 8 Fgura 44- Oretação da lâa e relação ao sst global da estrutura Fgura 45- Defção do âgulo γ Fgura 46- Oretação dos graus de lberdade versus sstea local Fgura 47- Forças teratvas dscretas

12 Fgura 5- Dagraas tesão-deforação e robleas uaxas 4 Fgura 5- Esquea reresetatvo do roblea de ebraa 47 Fgura 5- Esquea reresetatvo do roblea de flexão 54 Fgura 54- Sstea de referêcas utlzado a dferecação de Lebtz 55 Fgura 55- Dscretzação de cotoro e de doío 66 Fgura 56- Iterolação dos Caos Ielástcos 7 Fgura 57- Itegração a célula 7 Fgura 58- Sstea de referêca (resultates de tesão o cotoro) 79 Fgura 59- Sstea de referêca (oetos o cotoro) 8 Fgura 5- Duas regões elástcas colaares 86 Fgura 5- Ssteas locas e ua terface co duas regões 89 Fgura 6- Modelo sótroo (caso uaxal) 98 Fgura 6- Modelo sótroo uaxal (elastolástco erfeto) 98 Fgura 6- Modelo Ceátco 99 Fgura 64- Modelo sto Fgura 65- Tresca & Mses e tesões rcas 8 Fgura 66- Drucer-Prager & Mohr-Coulob Fgura 67-Modelo de Rae Fgura 68-Tesões e artes dscretzadas ao logo da seção 5 Fgura 7-Placa egastada co carregaeto uforeete dstrbuído 9 Fgura 7- Carregaeto learete dstrbuído alcado Fgura 7- Placa slesete aoada uforeete carregada Fgura 74- Carregaeto hdrostátco e laca slesete aoada Fgura 75- Placa slesete aoada sob carregaeto cocetrado Fgura 76- Placa aoada exclusvaete sobre os aoos rígdos 4 Fgura 77- Chaa aoada ao logo da base a dreção x 5 Fgura 78- Vga e flexão 6 Fgura 79- Chaa subetda ao csalhaeto 7 Fgura 7- Esquea e dscretzação do roblea de Coo 9 Fgura 7- Placa slesete aoada sob carregdstrbuído e lha Fgura 7-Tos de Malhas Fgura 7- Coef α Versus To de Malha

13 Fgura 74- Placa egastada co varação de esessura Fgura 75- Deslocaeto Trasversal ao Logo lha A-B Fgura 76- Esquea Reresetatvo da Vga π 4 Fgura 77- Deslocaeto Trasversal ao Logo da Iterface AB da Vga π 5 Fgura 78- Deslocaeto Noral ao Logo da Iterface AB da Vga π 5 Fgura 79- Deslocaeto Tagecal ao Logo da Iterface AB da Vga π 6 Fgura 7- Deslocaeto Trasversal ao Logo da Lha BC da Vga π 7 Fgura 7-Moetos fletores x ao Logo da lha BC da Vga π 7 Fgura 7- Esquea reresetatvo da vga V 8 Fgura 7-Deslocaeto Trasversal ao Logo da Iterface AB da Vga Fgura 74- Deslocaeto Tagecal ao Logo da Iterface AB da Vga Fgura 75- Deslocaeto Trasversal ao Logo da Lha BC da Vga V 9 V 9 V 4 Fgura 76- Moetos fletores x ao Logo da lha BC da Vga V 4 Fgura 77- Esquea Reresetatvo da Vga Moocelular 4 Fgura 78- Desloc Trasv a Iterface AB da Vga Moocelular 4 Fgura 79- Desloc Tagecal a Iterface AB da Vga Moocelular 4 Fgura 7- Desloc Noral a Iterface AB da Vga Moocelular 4 Fgura 7- Moetos fletores x ao logo de BC da Vga Moocelular 44 Fgura 7- Moetos fletores x ao logo de BD da Vga Moocelular 44 Fgura 7- Esquea Reresetatvo do Reservatóro 45 Fgura 74- Oretação de Parte das Lâas do Reservatóro 46 Fgura 75- Desloc Trasv a Iterface C do Reservatóro 46 Fgura 76- Desloc Tagecal a Iterface C do Reservatóro 47 Fgura 77- Desloc Trasv ao Logo de C D do Reservatóro 47 Fgura 78- Moetos fletores x ao logo de C D do Reservatóro 48 Fgura 79- Desloc Trasv a Iterface 4A do Reservatóro 49 Fgura 74- Desloc Tagecal a Iterface 4A do Reservatóro 49 Fgura 74- Desloc Trasv ao Logo de EF do Reservatóro 5 Fgura 74- θ x ao logo EF do Reservatóro 5

14 v Fgura 74- Moetos fletores x ao logo de EF do Reservatóro 5 Fgura 744- Chaa subetda ao cao térco eraete 5 Fgura 745- Dscretzação do lao édo das células 5 Fgura 746 Chaa Slesete Tracoada 56 Fgura 747 Evolução Carga-Deslocaeto do ó A 56 Fgura 748 Tubo Pressurzado 57 Fgura 749 Curva Carga-Deslocaeto do ó Pertecete ao Rao Extero 58 Fgura 75- Curva Deslocaeto-Carregaeto ara o Poto Cetral 59 Fgura 75- cofguração da chaa slesete tracoada co regões 6 Fgura 75- Dscretzação das células da chaa sl tracoada co regões 6 Fgura 75 Evolução Carga-Deslocaeto do ó A 6 Fgura 754- Cofguração laca co duas regões 6 Fgura 755- Curva Deslocaeto-Carregaeto ara o Poto cetral 6 Fgura 8- Maeaeto da atrz das cógtas 66

15 v LISTA DE TABELAS Tabela 7 Tabela 7 Tabela 7 Tabela 74 Tabela 75 Tabela 76 Tabela 77 Tabela 78 Tabela 79 Tabela 7 Tabela 7 Tabela 7 Tabela 7 Tabela 74 Tabela 75 Tabela 76 Tabela 77 Tabela 78 Tabela 79 Deslocaetos e oetos adesoalzados Deslocaetos e oetos adesoalzados Deslocaetos e oetos adesoalzados Deslocaetos e oetos adesoalzados Desloc adesoalzados ara dversas razões dos lados Deslocaetos e oetos Deslocaetos, forças de suerfíce e tesões Deslocaetos e tesões Deslocaetos e tesões Deslocaetos e tesões rcas o roblea de Coo Dfereça relatva ara caos a terface AB Dfereça rel e deslocaetos e oetos a lha BC Dfereça relatva ara os caos de desloc e oetos Dfereça relatva ara deslocaetos a terface AB Dfereça relatva ara deslocaetos e oetos Deslocaetos e oetos Desloc e resultates de tesão verdaderas e chaa Desloc e oetos verdaderos o oto cetral da laca Desloc e oetos verdaderos o oto cetral da laca

16 v LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS ABCP BP EI EDP EPD EPT HC HL HP MDF MEC MEF MSPF RRG RTP TL TP TRB TRP vc vh Assocação Braslera do Ceto Portlad Baraétrco Equação Itegral Equação Dferecal Parcal Estado Plao de Deforação Estado Plao de Tesão Hexaaraétrca cúbca Hexaaraétrca lear Hexaaraétrca Método das Dfereças Ftas Método dos Eleetos de Cotoro Método dos Eleetos Ftos Método dos Segetos de Parede Fa Reresetação de Raylegh-Gree Reresetação traraétrca Tetraaraétrca lear Tetraaraétrca Teorea da Recrocdade de Bett Técca do Resíduo Poderado Valor Prcal de Cauchy Valor Prcal de Hadaard

17 v LISTA DE SÍMBOLOS a b d d d µ d λ D E f ( σ ) f F( σ ) F () ς F () c g G G ĝ [ f () r ] ĝ g h H H I J J [ F() ς ], J e J K (,s) Desão do eor lado Força voluétrca Fuções harôcas Fuções vetoras harôcas de Paovtch Coefcete de roorcoaldade do odelo de Zegler Fator de roorcoaldade Módulo de flexão da laca Módulo de elastcdade logtudal Suerfíce de lastfcação Forças de suerfíce do roblea de chaas Fora da suerfíce de carregaeto Fução f ( r) o esaço trasforado Força cocetrada alcada o oto c Eerga otecal lástca Módulo de elastcdade trasversal Matrz de fluêca dos esforços Trasforada tegral de Fourer de f ( r) Trasforada versa de Fourer de F ( ς) Carregaeto utáro fudaetal Esessura Iclação da curva do dagraa tesão-deforação Matrz de fluêca dos deslocaetos Núero agáro eleetar gual a Matrz detdade Jacobao do sstea (, ) x ara o adesoal ε x Ivarates do cao das tesões desvadoras Kerel geérco

18 v K l L L s N q q q e Q () s q r R () R R c R ce, R cd r, R s, S s S t ( s,) u, u q ( ) u q, ( ) ( u,u, ) u Cooetes do tesor oeto-curvatura Coreto do eleeto de cotoro Vetor de Galer Moeto fletor Moeto volvete Resultate do cao das tesões(chaas) Exos oras ao cotoro da lâa Carregaeto dstrbuído; tesão oral ao lao; oto-fote Dreção geérca Co-seos dretores das dreções q e e relação ao sstea ( x, x ) Matrz de trasforação etre os ssteas ( x, ) e ( τ η) x, Força cortate Dstâca etre o oto-fote e o oto-cao s Resíduo assocado à solução aroxada da EDP o oto Curvatura do cotoro Reação de cato Reações de cato ateror e osteror à agulosdade Co-seo dretor do rao vetor r Resíduo oderado édo global Potos-cao assocados ao cotoro e ao doío Exos tagecas ao cotoro da lâa Cao das tesões desvadoras Sstea de referêcas do cotoro ( s,) Esessura Gradetes dos deslocaetos a dreção do lao édo Deslocaeto do oto-fote segudo a dreção q Dervada drecoal a dreção de deslocaeto a dreção q Cooetes de deslocaeto segudo o sstea (, x, ) x x

19 x v, t V W w w w x, x ( x, ) x x s, xs ( x, x ) ( x, x, ) x ( x, x, ) τ x z z x Deslocaetos/forças de suerfíce as dreções do sstea ( τ, η) Força equvalete de Krchhoff Deforação elástca, deslocaeto trasversal Vetor de Paovtch Solução artcular ara w Trabalho lástco Coordeadas das extredades cas e fas do eleeto Sstea de referêca global (, ) x x Coordeadas do oto S o sstea x, x ) ( Ssteas de referêca local do oto-fote S Sstea de referêca global Sstea local das lâas Coordeadas do oto τ e relação ao sstea global do estrutura Fuções harôcas Exos oras ao lao da lâa α α Coefcete assocado ao deslocaeto trasversal áxo; coesão Coordeada do cetro da suerfíce de carregaeto α, α Âgulos tagecas ao cotoro ateror e osteror à agulosdade γ Versor oral ao cotoro de Ω d, Meor âgulo etre as oras γ dcel δ (,s) Delta de Drac de dos laos da folha olédrca Maor âgulo etre as oras de dos laos da folha olédrca Cotoro do roblea Cotoro da célula d

20 x δ ε ε ( ε, θ, φ ) η θ θ t θ z Θ κ λ λ θ ν ν ρ σ e σ σ f q σ q τ φ φ φ χ χ, χ ψ Ω Ω d Delta de Kröecer Cooetes das deforações Deforação efetva Sstea de coordeadas e coordeadas esfércas Dreção oral ao cotoro Rotação oral Rotação tagecal Rotação zetal Fuções harôcas κ Parâetro de ecruaeto Coefcete do tero lvre de tegral Coefcete do tero lvre de tegral Coefcete de Posso Coefcete aarete de Posso Valor do rao-vetor r o cotoro da célula Tesão efetva Cao de tesões Tesões oblzadas elo rege de flexão Tesões oblzado elo rege de ebraa Dreção tagecal ao cotoro Fuções de fora Fuções de fora Âgulo de atrto tero Costate ara o odelo de ecruaeto ceátco Varáves arbtráras dos esforços Fução escalar obtda da dvergêca de t Doío do roblea Doío de ua regão da célula d

21 x ϕ Co-seo dretor da oral ao cotoro o oto osteror ao cato; fuções harôcas arbtráras ς Varável do doío trasforado de r o Produto escalar Produto tesoral u, f, Kerels () da EI dos deslocaetos(chaas); teros lvres ε, N ; λ u, f, λ r, κ ; Kerels () da EI dos gradetes de deslocaetos(chaas); teros lvres λ θ, E r, D α s, d, Kerels () da EI das resultates de tesão(chaas); teros lvres ε l, N r ; L r Z r, q,, s Kerels () da EI dos deslocaetos (lacas); teros lvres, w θ, c R, w,, ; q, V,,, Kerels () da EI das rotações (lacas); teros lvres ; R, s,,, c, w θ,,,, w, ;

22 x, 4 q, q,,q, Kerels () da EI das curvaturas(lacas); teros lvres, w, s,q θ,q,,,q c,q,q V,q, w,q, R ;, Y α q,q V,q µ, µ, Kerels () da EI dos oetos(lacas);teros lvres,q s,q µ, µ, w,q µ, µθ,,q µ, R c, q,q µ w,q, µ ; µ, µ Y α

23 x RESUMO MENDONÇA, A V Estudo de estruturas coostas or lâas laas de esessuras costates: ua abordage elo étodo dos eleetos de cotoro São Carlos, 96 Tese (Doutorado)- Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo Icalete, são aresetadas este trabalho duas forulações do étodo dos eleetos de cotoro ara aálse elástca de estruturas coostas or lâas laas de esessuras costates E abos odelos, o coortaeto de cada lâa-base é aalsado levado-se e cota os efetos de laca e de chaa A lâa e flexão é assuda sob as hóteses de Krchhoff Na rera abordage, as varáves do roblea são reresetadas or u couto de quatro graus de lberdades (GLs) e deslocaetos e forças assocadas a chaas (deslocaetos oral, tagecal e suas resectvas forças de suerfíce) e a lacas (deslocaeto trasversal, rotação oral e seus resectvos esforços reresetados ela força de Krchhoff e oeto fletor) Esta abordage fo chaada de odelo tetraaraétrco Na seguda abordage, duas varáves adcoas são serdas a forulação tetraaraétrca, resultado e ua técca hexaaraétrca Co sso, o vetor de deslocaetos é coosto elos deslocaetos oral, tagecal, trasversal e elas rotações oral, tagecal e zetal Essa últa varável é assocada a ua rotação que atua ao logo da dreção eredcular ao lao édo da lâa-base Alé dsso, o odelo hexaaraétrco o vetor das forças te aeas quatro GLs (forças oral e tagecal o roblea de chaa; força de Krchhoff e oeto fletor o caso de flexão) Icalete, as atrzes de fluêca são otadas ara abos odelos e etão téccas esecas são eregadas soete ara a abordage hexaaraétrca, a f de resolver a coatbldade de ordes etre as atrzes de fluêca dos deslocaetos e das forças E seguda, a técca da subregão é utlzada ara otar o sstea fal de equações da estrutura ão-colaar A artr dos odelos tetra e hexaaraétrcos elástcos ara robleas ãocolaares, o coortaeto elastolástco é cororado essas abordages coo caos tesoras cas (tesão/oeto ou deforação/curvatura) ara aalsar robleas colaares utlzado reresetações clásscas ara a suerfíce de lastfcação

24 xv ABSTRACT MENDONÇA, A V Study of lated structures of costat thcesses: a boudary eleet ethod aroach São Carlos, 96 Tese (Doutorado)- Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo Frstly ths wor, two forulatos of the boudary eleet ethod for the lear elastc aalyss of lated structures of ufor thcesses are reseted I both odels, the behavour of each late ut s aalysed tae to accout the effects fro the late bedg ad the late teso The bedg late s assued uder Krchhoff s hyotheses I the frst aroach, the varables of the roble are rereseted by a set of four degrees of freedo(dofs) dslaceets ad forces assocated wth the late teso (oral ad tagetal dslaceets ad ther resectve tractos) ad the late bedg (trasverse dslaceets, oral sloe ad ther efforts rereseted by Krchhoff force ad bedg oet) Ths aroach was called four-araeter odel I the secod aroach, two further varables are serted to the four-araeter odel, resultg a sx-araeter techque Hece, the dslaceet vector s oulated by oral, tagetal, trasverse dslaceets ad by oral, tagetal ad zethal sloes The last varable s assocated wth a rotato actg alog the eredcular drecto to eda lae of the late ut I addto, for the sx-araeter odel the force vector has oly four DOFs (oral, tagetal forces teso late roble ad bedg oet ad Krchhoff force bedg case) Itally, the fluece atrces are assebled for both odels ad the secal techques are oly eloyed to sx-araeter aroach order to solve a coatblty of orders betwee the fluece atrces of dslaceets ad forces The the subrego techque s used to asseble the fal syste of equatos of the ocolaar lated structure Fro the four ad sx araeter elastc odels for ocolaar lated structures, the elastolastc behavour s cororated to these aroaches as tal tesor felds (stress/oet or stra/curvature) order to aalyse colaar robles usg classcal reresetatos for the loadg surface

25 APRESENTAÇÃO GENERALIDADES As estruturas foradas or folhas olédrcas são alaete eregadas e dversos robleas da egehara cvl, aeroáutca, aval e outras Essas estruturas e egehara cvl são usadas coo oção de sstea estrutural, rcalete, e estruturas de grade orte, or exelo, otes, slos, úcleos de rgdez, etc Detre dversos trabalhos que descreve o erego da terologa estrutural, o adrão adotado ela Assocação Braslera do Ceto Portlad ABCP(967): lâa é defda coo u eleeto e que ua das desões é be eor que as deas; ua estrutura forada or ua ou as lâas, cuas suerfíces édas sea laas, recebe a deoação de folha olédrca U subcouto dessas estruturas - e que a geoetra de cada lâa é forada or arestas aralelas é deoado folha rsátca O assuto de folhas olédrcas á fo abordado e dversos trabalhos voltados, tato ara o desevolveto/aerfeçoaeto das reresetações físcoateátcas dos odelos(teoras), quato ara os rocedetos eregados ara a obteção das soluções das equações dferecas advdas delas, etre os quas, costa os étodos uércos Ua dessas téccas uércas é o etão deoado Método dos Eleetos Ftos(MEF), ertecete aos étodos de doío, cua alcação e estruturas olédrcas é u assuto que te sdo alaete esqusado Outra técca uérca alteratva ara os étodos de doío é o etão deoado Método dos Eleetos de Cotoro(MEC) As forulações do MEC tê sdo desevolvdas de fora tesa ara alcação e dversos robleas de egehara Cotudo, o aerfeçoaeto e alcabldade do MEC ão te sdo hoogêeo e utas áreas da ecâca dos sóldos Nesse cotexto, u dos robleas que te recebdo ouca ateção dos esqusadores está assocado à aálse de folhas olédrcas U úero cosderavelete reduzdo de forulações é ecotrado ara a aálse desses robleas, quer odelados aeas elo MEC, quer e cobação desse co outros étodos uércos Ass, este trabalho fora desevolvdas (e/ou esteddas) duas

26 forulações do étodo dos eleetos de cotoro ara folhas olédrcas, a artr de reresetações tegras ara os reges desacolados de ebraa e flexão, etão, dsoíves a lteratura Eregado-se ua coveete herarqua de ssteas de referêca e/ou fuções teroladoras ara as varáves do roblea, os estados de flexão e ebraa são acolados ara a aálse elástca de robleas coostos or lâas laas de esessuras costates Na revsão bblográfca realzada, be oucos trabalhos fora ecotrados evolvedo alcações do MEC e folhas olédrcas subetdas a caos cas, o que ode ser até coreesível devdo ao úero reduzdo de forulações ara aálse elastolear Ass, este trabalho, tabé são aalsados robleas colaares subetdos a caos cas, evolvedo fluxo lástco, a artr da extesão das abordages roostas ara robleas e rege elástco Os caítulos deste trabalho fora orgazados utlzado-se a segute a dsosção: No caítulo, são defdos os robleas e seus odelos abordados or este trabalho Alé dsso, é aresetada a evolução de alguas forulações dsoíves a lteratura de robleas correlatos No caítulo, são aresetadas tato as relações báscas da teora da elastcdade quato de seus robleas fudaetas, que tê ael ortate a reresetação ateátca dos robleas descrtos os caítulos subseqüetes No caítulo, são aresetadas as téccas de obteção das reresetações tegras ara os robleas elástcos de chaas e de lacas No caítulo 4, as equações tegras exlctadas o caítulo são trasforadas e reresetações algébrcas edate a dscretzação do cotíuo e o do cálculo das tegras evolvdas Icalete, esses rocedetos são dscutdos dvdualete ara os robleas de flexão e ara os estados laos (de deforação ou de tesão) E seguda, são aresetadas as téccas eregadas ara aálse desses robleas coostos or regões co roredades geoétrcas e ecâcas dsttas Por f é dscutdo o acolaeto ebraa/flexão ara os robleas ão-colaares No caítulo 5, as reresetações tegras e algébrcas do rege elastolear são esteddas ara o rege elástco e robleas colaares

27 No caítulo 6, as reresetações algébrcas ara robleas colaares elástcos são artcularzadas ara o rege lástco ode odelos clásscos são utlzados ara a reresetação da suerfíce de lastfcação No caítulo 7, são aresetados os exelos uércos ara robleas os reges elastolear e elastolástco Aresetada a dsosção dos assutos ao logo do texto deste trabalho, assa-se agora ara alguas observações referetes à latafora coutacoal utlzada as forulações: O códgo coutacoal fo escrto a lguage Fortra Cové ressaltar que todas as rotas fora laeadas, edtadas e deuradas elo Autor, exceto os casos abaxo relacoados: a) Resolução do sstea lear (elação de Gauss): extraído de DOMINGUEZ & BREBBIA et al(989), 65-66, e cua rota te o oe de SLNPD b) Iversão de atrz: forecda getlete elo Prof João Batsta de Pava c) Processo creetal-teratvo: extraído de OWEN & HINTON(98) ode as rotas ( INV, 4; YIELDF, 4-4; FLOWPL, 4-44 e RESIDU, 5-55) fora adatadas ara as forulações do MEC eregadas este trabalho d) Cração de arquvos de forato DXF (vsualzação da geoetra, das uerações de ós e de células): rotas fora getlete ceddas e coatblzadas co o sstea gerecador (rograa rcal) elo Eg Valéro S Aleda (atualete atrculado o rograa de doutorado e Egehara de Estruturas da EESC-USP) e) Maeaeto dos valores as atrzes: rotas fora getlete ceddas elo Eg Wlso Wesley Wurztow (atualete atrculado o rograa de estrado e Egehara de Estruturas da EESC-USP) Nesse trabalho, arte das resostas obtdas ela resete abordage fora coaradas co as do Software Asys, cua utlzação fo legalete cocedda ao Deartaeto de Egehara de Estruturas edate assatura de cotrato

28 4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O erego de equações tegras ão é ua técca recete e te sdo usada desde o século XIX ara reresetar algus robleas da físca-ateátca tas coo: êdulo sócroo, ABEL(88); elastostátca, BETTI(87), BOUSSINESQ(885), CERRUTI(88), SOMIGLIANA(886); e 884, algus robleas da eletrostátca, VOLTERRA(856) e outros No íco do século XX, FREDHOLM(9) deostrou, or eo do uso de ua técca de dscretzação, a exstêca de soluções ara equações tegras decorretes da reresetação de fuções harôcas, utlzado-se ou otecas de caada sles ou de caadas dulas LAURICELLA(99) estedeu a abordage de Fredhol ara lacas elástcas egastadas Alteratvaete à abordage de Fredhol, KELLOG(99) utlzou ua suerosção dessas duas classes de otecas, eregado os teoreas de Gree, ara a reresetação tegral de fuções harôcas evolvedo a teora otecal Os étodos de TREFFTZ(97) e PRAGER (98), alcados a resolução das equações tegras evolvedo a teora de fluxo de fludos, ode ser cosderados os recursores das téccas atuas alcadas ao MEC No íco da seguda etade do século XX, cotrbuções exressvas da escola russa, MIKHLIN(957), MUSKHELISHVILI(945,95), ulsoara a técca da reresetação tegral eregado ua abordage e que fora utlzadas equações tegras sgulares assocadas a otecas colexos Este últo trabalho, de 95, é de grade ortâca ara a egehara estrutural, ua vez que reresetações colexas fora elegateete alcadas à aálse de robleas elástcos bdesoas Na década de 96, co o surgeto das reras gerações de coutadores, as téccas uércas torara-se ua ferraeta vável a busca de soluções das equações goverates de utos robleas HESS & SMITH(96) resolvera, uercaete, ua equação tegral de seguda eséce de Fredhol assocada a u roblea de u fluxo ufore de ar sobre ua suerfíce de revolução; JASWON(96) aalsou o roblea de caactâca eletrostátca utlzado equações tegras de Fredhol de rera eséce ara a deteração da dstrbução de carga

29 5 As téccas uércas tabé desertara teresse e arte dos esqusadores elas reresetações tegras de algus robleas elástcos JASWON & PONTER(96) aalsara u roblea de torção e que equações tegras fora usadas ara reresetar as fuções de eeaeto Esse fo u dos trabalhos oeros, que exlorou a seguda detdade de Gree assocado otos-fote o cotoro E JASWON et al(967), fo aresetada ua forulação e que os robleas barôcos era escrtos e fução de duas de equações de Lalace, va reresetação de Alas Nesse trabalho fora aalsados tato robleas assocados a u eo se-fto, cotedo u orfíco elítco, quato outros assocados a ua chaa retagular fta chafrada e u dos catos RIZZO(967) aalsou uercaete os robleas elástcos bdesoas exlorado a detdade de SOMIGLIANA(886) Esse trabalho teve u ael ortate a reresetação tegral dos robleas elástcos, ua vez que as desdades utlzadas ara a otage dos robleas sãos suas róras varáves físcas Essa técca é deoada étodo dreto CRUSE(969) estedeu a reresetação de Rzzo ara robleas elástcos trdesoas JASWON(98) aotou alguas aalogas que ode ser observadas a cofecção de equações tegras, utlzado a seguda detdade de Gree a teora otecal escalar e a detdade Soglaa a teora otecal vetoral, a artr do trabalho de KUPRADZE(965) As reresetações tegras tabé ode ser estruturadas evolvedo desdades fctícas, sto é, que ão estão dretaete relacoadas co as varáves físcas do roblea, de fora que essas téccas são classfcadas coo étodos dretos E alguas forulações dretas, os caos de deslocaetos e tesões são escrtos a artr das reresetações de Mushelshvl evolvedo otecas colexos Esses otecas ode ser obtdos eregado-se a fórula tegral de Cauchy, cuo tegrado é forado or desdades fctícas e varáves colexas MCCARTNEY(98) aresetou ua forulação ara robleas co doío fto ou robleas terores utlzado-se de ua dscretzação e que as desdades fctícas são reresetadas or olôos colexos e or curvas sles oderadas or coefcetes colexos arbtráros, que são deterados a artr da

30 6 osção das codções de cotoro MCCARTNEY(984) estedeu a forulação dreta, aresetada e 98, a robleas ftos, utlzado-se de duas curvas sles dsttas ara a coosção da desdade fctíca colexa Nesse artgo são aalsados robleas de fratura e lacas crculares e retagulares Ua das característcas arcates do étodo dos eleetos de cotoro é a reseça de sgulardades os erels de sua reresetação tegral Desde as reras forulações, os esqusadores do étodo aotara a deedêca do deseeho da solução uérca e relação à técca alcada o cálculo das tegras, rcalete, quado o oto-fote é aroxado do oto-cao Nas últas décadas, dversos trabalhos fora drecoados esecalete ara o trataeto desses casos Ua das reras abordages ara esse tea é a etão chaada técca da subeleetação descrta e LACHAT & WATSON(976, 977), JUN et al (985) Nessa técca, à edda que a colocação do oto-fote tora-se crítca, o eleeto de cotoro é fragetado e regões eores, e o úero de otos de tegração é gradualete desfcado o setdo do subeleeto as róxo do oto-fote Mutas outras téccas surgra co o tuto de auetar a efcêca do cálculo das tegras, etre as quas, costa: trasforações exoecas HIGASHIMACHI et al(98), trasforações cúbcas TELLES(987), trasforações de coordeadas HAYAMI & BREBBIA(987) Outra aera de ldar co o cálculo das tegras é alcado-se téccas ara reduzr a orde das sgulardades Essas abordages são deoadas téccas de regularzação SISSON (99) roôs ua estratéga de regularzação, classfcada coo uérca, e que é utlzada ua suerosção das tesões obtdas da reresetação tegral e u oto o cotoro co os valores das tesões atuates a vzhaça desse oto Alé da regularzação uérca, outra técca que te sdo desevolvda é a etão chaada regularzação aalítca U dos reros trabalhos e que se alcou ua classe dessa técca fo aresetada or GHOSH et al (986) Nesse trabalho, a regularzação é obtda a artr de relações geoétrcas, evolvedo as dreções do rao vetor, dos versores oras e tagecas ao cotoro, e alcado-

31 7 se a técca de tegração or artes a tegral de cotoro que coté a sgulardade as severa Esse rocedeto coduz a u ovo tegrado forado or u erel co ua sgulardade logarítca e ela dervada tagecal da varável rtva (deslocaetos) Co sso, é ecessáro utlzar ua estratéga adcoal ara vablzar a alcação de codções de cotoro assocadas aos deslocaetos a reresetação algébrca, ua vez que as reresetações tegras são escrtas e fução das dervadas tagecas dos deslocaetos Três aos deos, e BALAS et al(989), fo aresetada ua regularzação ara a reresetação tegral das tesões, co redução de u grau a orde das sgulardades dos erels, alcado-se o teorea de Stoes Essa abordage coduzu a odfcações o erel as crítco e ao aareceto de u oerador evolvedo dervadas drecoas tagecas dos deslocaetos Na dscretzação do roblea, a reresetação algébrca é forada elos valores odas assocados às dervadas tagecas dos deslocaetos e às forças de suerfíce Ass, ua estratéga adcoal, aáloga à de Ghosh, é utlzada ara ossbltar a osção das codções de cotoro e deslocaeto SLADEK & SLADEK(99) aresetara ua extesão da forulação regularzada, roosta elo esos autores e 98 e 989, ara a obteção de ua reresetação tegral ão-sgular ara as tesões E YOUNG (996), é utlzado o teorea de Stoes e cobação co certos teros, que corora todas as tegras sgulares das equações tegras e ítegro-dferecas de cotoro, de fora que eles ode ser covertdos e exressões ão-sgulares, desde que sea escrtos sobre ua regão do cotoro que corora a vzhaça da sgulardade Outros esqusadores utlzara outras téccas ara a obteção das tesões o cotoro LEI (994) forulou ua abordage e que as equações tegras corora valores de cotoro assocados a tesões e ao tesor ftesal de rotação Essa técca erte que tesões o cotoro sea deteradas dretaete da solução uérca, evtado-se, co sso, as hersgulardades dos erels da forulação clássca Cotudo, a rcal restrção da forulação é a dfculdade de or codções de cotoro geércas Cofore ecoado elo róro autor, ara tas casos, essa forulação ode ser utlzada de fora couta co a reresetação clássca, sto é: ara a deteração dos deslocaetos do

32 8 cotoro, é utlzada a forulação clássca, e e seguda, ara a deteração das tesões, rescreve-se os deslocaetos co os valores da aálse uérca réva; só etão, alca-se a forulação e questão ara a deteração das tesões o cotoro No lvro edtado or SLADEK & SLADEK(998) são descrtas alguas téccas que ode ser alcadas o trataeto das tegras sgulares e algus robleas da ecâca dos sóldos odelados elo MEC U outro roblea que te u ael ortate a egehara estrutural está assocado às lacas Cofore ecoado aterorete, as reras equações tegras ara casos artculares desses robleas fora aresetadas or Laurcella o íco do século XX Cotudo, só a artr da década de 96, as téccas uércas fora alcadas as tesaete ara os robleas de lacas e as reras forulações evolvera o étodo dreto E JASWON et al(967) é aresetada ua técca, utlzado-se a reresetação de Alas, ara resolver casos artculares de codções de cotoro e lacas crculares e elítcas SEGEDIN & BRICKELL(968) tabé aresetara ua técca ara casos artculares de lacas slesete aoadas e que fo estudada a fluêca da varação do âgulo forado elos bordos covergetes a u cato A solução geral do roblea é ecotrada ela cobação de ua solução artcular co a hoogêea, que é obtda trasforado a EPD barôca e duas equações tegras va seguda detdade de Gree ara o deslocaeto e ara seu Lalacao Aós a dscretzação do roblea, a solução é obtda exlorado-se algus exos de setra do roblea WU & ALTIERO(978) aresetara ua forulação sgular ara a aálse de casos artculares de lacas egastadas Essa forulação fo estedda ara robleas que evolve codções de cotoro arbtráras e WU & ALTIERO(979) Outra abordage, dstta da aresetada e 978, está assocada ao erego de u cotoro crcular fctíco, que crcuscreve o roblea real, caracterzado-se desta fora o étodo regular do MEC, ara evtar os robleas co as sgulardades observadas o trabalho ateror As reresetações tegras são escrtas, ara cada ar esecífco de codções de cotoro, evolvedo duas equações tegras co erels dos deslocaetos e suas dervadas suerores É adtdo que estão alcados força e oeto fletor dstrbuídos ao logo do

33 9 cotoro fctíco É ostrada a deedêca do deseeho da forulação ara deteradas relações de desões etre rao do cotoro fctíco e o aor lado da geoetra retagular do roblea real Outras forulações do étodo dreto que evolve a alcação de varáves colexas fora aresetadas VABLE & ZHANG (99) utlzara ua reresetação tegral, que é obtda a artr das equações de Fredhol de seguda eséce Os erels, ara o deslocaeto trasversal e suas dervadas suerores, são otados algortcaete utlzado-se quatro fuções e varáves colexas Tal rocedeto erte que as tegrações da reresetação tegral sea fetas aaltcaete eregado-se as soluções algorítcas U outro assuto dscutdo esse artgo de Vable está relacoado co a reresetação tegral escrta utlzado-se de varáves adesoas Nesse estudo, são ostrados casos e que a solução do roblea ode ser deedete da escolha dos arâetros adesoalzates Só o fal da década de 97, é que aarecera as reras forulações ara lacas delgadas evolvedo ua reresetação tegral dreta ara o roblea BEZINE(978) e STERN (979) aresetara forulações dretas do MEC quase sultaeaete, cotudo, cocebdas deedeteete a artr da fora blear, descrta e BERGMAN & SCHIFFER(958) Abos esqusadores escrevera ua reresetação tegral ara o deslocaeto trasversal e outra sua dervada drecoal(rotação) Cotudo, a dscretzação do roblea recebeu trataeto dstto: Beze utlzou ua terolação costate, equato Ster aroxou learete as varáves cotíuas do cotoro, e ada assocou u ó e cada agulosdade do cotoro da laca ara reresetar as reações de cato Nesses trabalhos fora aresetados exelos uércos de lacas retagulares slesete aoadas e egastadas, todava, Beze restrgu-se aos casos de forças cocetradas e Ster às forças uforeete dstrbuídas sobre todo o doío da laca U outro trabalho coteorâeo aos dos aterores fo escrto or TOTTENHAM(979) Nesse artgo são utlzadas as foras dreta e dreta va solução da equação barôca do roblea fudaetal Na abordage dreta, é descrta a utlzação de ua exasão das desdades fctícas e sére de Fourer,

34 desde que a curva fctíca exteror sea u círculo Tal rocedeto vablza, aós o cálculo das tegras evolvdas, exressar a equação tegral rtva e teros de ua sére fta Na abordage dreta, é utlzada ua reresetação seelhate à de Beze; a dscretzação do roblea, são utlzadas fuções costates ara a terolação das varáves e as tegrações sgulares são substtuídas or ua aálse fta de tegras Mutos trabalhos fora escrtos evolvedo as reresetações tegras dretas de lacas aresetadas aterorete, rcalete a de Ster E geral, esses trabalhos é vestgado o deseeho da forulação e robleas co geoetras e codções de cotoro, dsttos daqueles aresetados os artgos orgas Outra lha de esqusa está assocada à alcação de téccas alteratvas ara a obteção da reresetação algébrca do roblea BEZINE (98) estedeu a forulação dreta de 978 ara a aálse de robleas co vículos ou forças cocetradas o doío Nesse artgo, o roblea do acolaeto etre as cógtas dos ós de cotoro e de doío é abordado de tal fora que o vetor das cógtas é solado a reresetação algébrca dos otos de cotoro E seguda, esse vetor é substtuído a reresetação dos otos de doío, de fora que a reresetação fal do sstea ode ser resolvda aós a rescrção dos valores de doío A reresetação de Ster fo alcada o trabalho PAIVA(987) ara dversas cofgurações de codções de cotoro e de carregaeto Alé dsso, fo aresetada ua forulação alteratva utlzado-se aeas equações tegras ara os deslocaetos trasversas Nessa abordage, são utlzados dos otos-fote dsttos oscoados fora do cotoro Nesse trabalho tabé fo aresetada a aálse da teração da laca co outros eleetos estruturas de avetos de edfícos Dos aos deos, SHI & BEZINE(989) aresetara a detdade de Raylegh-Gree, eregado o rcío dos trabalhos vrtuas Na dscretzação, é utlzada ua terolação costate ara as varáves e os oetos volvetes reas são aroxados or eo de dfereças ftas dos valores odas da rotação oral O tero da tegral de doío é elado utlzado-se ua técca cohecda de escrever as reresetações tegras e fução da solução hoogêea da equação de

35 equlíbro de lacas A rera restrção dessa forulação está assocada à dfculdade de alcação de ua força cocetrada o cato, ua vez que os oetos volvetes são aroxados or dfereças ftas das rotações oras Outra restrção está assocada à solução real do roblea ua vez que esta é obtda ela suerosção das soluções hoogêeas e artculares Todava, as soluções artculares só estão dsoíves ara algus casos artculares de carregaeto Ebora u dos obetvos dessa forulação sea a aálse de lacas co orfícos, aeas são ostrados robleas evolvedo setra de vculação e de oscoaeto dos orfícos o doío da laca Outros trabalhos tabé eregara a reresetação tegral de Ster ara aálse de alguas cofgurações geoétrcas de lacas E OLIVEIRA NETO(99), são aalsadas lacas co bordas curvas; CHAVES(997) estudou casos de lacas co varação lear do ódulo de flexão sobre o doío Já e PAIVA(99), fo aresetada ua forulação e que a reresetação tegral dscretzada de Ster é alterada, de fora que a força equvalete de Krchhoff é adtda cocetrada os otos odas ao logo do cotoro Ada a estratéga de coosção das reresetações algébrcas, DU et al (984) aresetara ua forulação e que a dscretzação do roblea é feta usado-se eleetos retos ara a geoetra do roblea Os deslocaetos trasversas são terolados or olôos cúbcos e alcado-se fuções leares ara as deas varáves Para a defção dos olôos cúbcos são ecessáros, alé dos valores odas dos deslocaetos, os valores de suas dervadas tagecas, coduzdo, ortato, a três graus de lberdade ara o vetor assocado aos deslocaetos Ass, ara cada ó, alé das duas equações tegras utlzadas a reresetação de Ster, é escrta ua equação tegral adcoal assocada à dervada drecoal tagecal dos deslocaetos e algus exelos são aalsados ara alguas cofgurações de geoetra e codções de cotoro Já e SONG & MUKHERJEE(986), a reresetação algébrca, obtda utlzado o odelo de DU et al (984), é escrta tabé ara tegrações sobre eleetos crculares e exelos fora aresetados ara váras geoetras e vculações E ARISTODEMO & TURCO(994), é utlzada ua técca de

36 dscretzação e que o cotoro é dvddo e segetos, etão chaados acroeleetos, que ossue suas róras fuções teroladoras Cada u deles é dvddo e eleetos eores ela trodução de ós e as varáves do cotoro são teroladas or curvas Sle quadrátcas Ebora as varáves sea teroladas or fuções quadrátcas, as tegras são calculadas aaltcaete de tal fora que os resultados são exressos e fução de arcelas oloas de orde geérca Ass, terolações co B-sles de ordes suerores, aós algus austes algébrcos, ode ser tabé obtdas e eregadas e dversas aálses, rcalete, evolvedo estudos de -adatvdade E WEARING & BETTAHAR (995), é alcado o étodo regular ara dversas cofgurações de geoetra e codções de cotoro, e sua efcêca é coarada co o deseeho das forulações sgulares Alé dsso, é aeado o tervalo ara as dstâcas de colocação dos otos-fote versus deseeho da forulação HARTMANN & ZOTEMANTEL (986) leetara ua forulação e que ua das reresetações tegras de Ster, assocada à dervada drecoal dos deslocaetos, te sua sgulardade reduzda ela alcação de u dos odos de coro rígdo Na dscretzação do roblea, é utlzada ua terolação herteaa ara os deslocaetos trasversas, que evolve, alé de seus róros valores odas, outros valores assocados a suas dervadas tagecas Esses últos são escrtos e fução dos valores odas dos reros através de dfereças ftas; ara as deas varáves são utlzadas terolações leares Cové ressaltar que, ao cotráro do trabalho de DU et al(984), ão é utlzada ehua equação adcoal e, s, aeas as duas equações tegras assocadas ao deslocaeto trasversal e à sua dervada drecoal oral o cotoro Nessa forulação, Harta,996, ão é utlzado o etão dfuddo coceto de ó dulo ara regões ode haa descotudades das tagetes do cotoro Nesse trabalho é estudado o efeto das sgulardades o deseeho da forulação a artr da aálse de algus robleas: descotudade de vculação, cocetração de tesões devdo a aoos rígdos o doío, âgulos crítcos e lacas escosas OLIVEIRA NETO & PAIVA (995) aresetara ua forulação a artr de alterações a reresetação tegral de Ster, que coduz à assocação de três graus de lberdade ara o vetor de deslocaeto, sto é, deslocaeto trasversal, rotação

37 oral e rotação tagecal Ass, ara a otage da reresetação algébrca são utlzadas equações tegras assocadas ao deslocaeto, e suas dervadas drecoas oral e tagecal ao cotoro Essa forulação fo leetada e OLIVEIRA NETO(998) utlzado-se duas abordages: a rera, todas as varáves do roblea são teroladas or fuções leares; a seguda é utlzado u olôo cúbco ara os deslocaetos trasversas As rotações tagecas são aroxadas ela fução obtda da dferecação tagecal da fução teroladora do deslocaeto; as deas varáves são teroladas or fuções leares Nesse trabalho, fora estudados robleas do acolaeto da laca co outros eleetos estruturas dos avetos de edfícos e as lacas co dversas cofgurações de codções de cotoro e de carregaeto Dfereteete da forulação de Olvera Neto, as forulações aterorete dscutdas- DU et al(984), SONG & MUKHERJEE(986) e HARTMANN & ZOTEMANTEL (986) atê o erel da força equvalete de Krchhoff e de suas dervadas alterados as reresetações tegras Os robleas assocados às sgulardades tabé estão resetes os robleas de lacas Ass, alguas das téccas de regularzação, alcadas calete os robleas elástcos, fora adatadas ara os robleas de flexão BALAS et al(989), SLADEK & SLADEK(99) aresetara ua reresetação tegral que corora o deslocaeto trasversal e duas rotações segudo as dreções oral e tagecal ao cotoro A artr da EDP do roblea fudaetal, de aulações algébrcas evolvedo o erel da força cortate e o delta de Drac, a equação tegral rtva sgular dos deslocaetos é trasforada e ua reresetação ão-sgular Para o caso da equação tegral dos gradetes de deslocaeto é alcado o teorea de Stoes sobre a tegral de cotoro coosta ela dervada do erel da força cortate oderada elo deslocaeto trasversal, que aós alguas aulações algébrcas a reresetação ão-sgular das rotações é obtda Na reresetação algébrca, as dervadas tagecas são escrtas e fução dos valores odas do deslocaeto, ara vablzar a alcação das codções de cotoro e deslocaeto Ua outra técca de regularzação ara lacas delgadas fo aresetada or FRANGI(996), e que são utlzados detdades auxlares e algus

38 4 rocedetos da abordage de GHOSH et al(986) ara robleas elástcos bdesoas Na dscretzação, os deslocaetos são escrtos a artr dos valores odas dos deslocaetos e da rotação tagecal, utlzado-se u olôo de Herte cúbco Os oetos fletores e força de equvalete de Krchhoff são terolados or olôos de Lagrage quadrátcos Para os catos da laca são escrtas três equações: ua ara os deslocaetos e duas outras ara as rotações oras assocadas aos otos ateror e osteror ao cato Algus esqusadores utlzara outras téccas ara evtar o erego de erels co sgulardades de ordes suerores PARIS & LEÓN (986) aalsara robleas de lacas artculares utlzado ua técca sedreta, e que a equação barôca é escrta e fução de duas equações de Posso desacoladas Isso coduzu a ua aálse de lacas que utlzava a técca do MEC ara robleas otecas, evolvedo, ortato, sgulardades eores que a do roblea barôco PARIS & LEÓN (987,996) estedera a forulação de 986 ara robleas co codções de cotoro arbtráras Nesses casos, as duas equações de Posso e sere ode ser desacoladas As tegras de doío são aroxadas or equações tegras de cotoro equvaletes evolvedo ua fução que requer otos de colocação tato o doío quato o cotoro utlzado-se u caso artcular da técca da recrocdade dual descrto e NARDINI & BREBBIA (98) As equações tegras do roblea evolve ua varável esecal assocada à soa dos oetos fletores e à sua dervada drecoal oral Ass, a artr de exressões esecas (que relacoa a varável esecal e sua dervada co esforços e rotações o cotoro) é vablzada a alcação de codções de cotoro arbtráras Cotudo, essas exressões estão assocadas a cotoros curvlíeos, de fora que e cotoros retos as codções de cotoro são alcadas utlzado-se dfereças ftas ZUO-HUI(99) utlzou soluções fudaetas ão-sgulares esecífcas ara o roblea de lacas Essas soluções são obtdas utlzado-se séres de Fourer, que são toadas coo fuções oderadoras, de fora que satsfaze tato as equações de equlíbro quato as codções de cotoro do roblea fudaetal Essas codções de cotoro são cocdetes co as do roblea real Alé dos robleas co sgulardades, algus esqusadores estudara

39 5 robleas esecífcos, tato assocados às codções de cotoro quato à geoetra do roblea RAJAMOHAN & RAAMACHANDRAN(997) forulara ua abordage ara lacas escosas usado ua solução fudaetal arorada ara esse to de roblea Ao escrever-se a equação dferecal ara lacas sótroas e u sstea de referêca oblíquo, os autores ercebera ua aaloga co as equações dferecas arcas(edp) de lacas delgadas asótroas e u sstea cartesao A artr do étodo roosto or LEKHNITSKII(98), e que são utlzadas varáves colexas, a solução de lacas asótroas ode ser obtda a artr das raízes de ua equação característca de quarto grau Ass, substtudo-se os coefcetes equvaletes etre EDPs do caso sótroo e coordeadas oblíquas or aqueles do asótroo, a solução fudaetal ara as lacas escosas é obtda Cotudo, e âgulos de escosdade, cuos seos dos arcos são ulos, ocorre sgulardades a solução fudaetal de laca escosa Para esses casos, os autores sugerra que a solução fudaetal clássca é ua alteratva que ode ser usada Na reresetação tegral do roblea, é utlzada ua forulação dreta etão cohecda coo Método de Sulação de Mudaça(MSM), e que o deslocaeto real do doío é obtdo or ua suerosção de ua solução artcular co ua outra obtda ela oderação de ua desdade fctíca elo erel de deslocaeto ao logo do cotoro do roblea Ebora a MSM dsese a dvsão do cotoro e eleetos, o que ela as tegrações uércas, u fator restrtvo dessa técca está assocado à escolha e obteção da solução artcular ara cofgurações de carregaetos geércos, que e utos casos, ode ão estar dsoíves Alé dos robleas de chaas e lacas, cuos caos de tesão são desacolados(quado odelados sob hóteses de equeos deslocaetos: aálse geoetrcaete lear, AGL), exste outras categoras de eleetos estruturas(até eso os odelos da AGL) que ode exgr ua aálse sultâea desses robleas: as lâas Cofore a terologa adotada e ABCP(967), as lâas são classfcadas e dos grades gruos detfcados ela curvatura da suerfíce éda do coro; lâas laas, a exstêca de curvatura e casca ara os deas casos Alé dsso, outra classfcação é dada ara as

40 6 estruturas coostas or u couto de lâas: folha, o caso do eleeto-base ser ua casca; folha olédrca ara eleetos-base laos Exste dversos trabalhos e que são utlzadas forulações do MEF a aálse de cascas co varadas cofgurações geoétrcas da suerfíce éda, tas coo: CHEUNG(969), CLOUGH(97), BERNADOU & BOISSERIE(98), GOULD(985), HUANG(989), BULL(989), ZIENKIEWICZ(99), NAVARRA(995) No étodo dos eleetos de cotoro, aeas casos esecas ode ser aalsados devdo à colexdade ateátca ara a obteção das soluções dos robleas fudaetas e casos geércos de geoetra ANTES(98) fo u dos oeros a aresetar u étodo dreto ara a reresetação tegral de cotoro ara cascas, cotudo, os erels ostrados estava assocados a u roblea fudaetal de casca clídrca crcular; alé dsso, ehu exelo uérco fo aresetado E FU & HARB (99), HARB & FU(99), algus robleas de cascas esfércas fora reresetados va étodo dreto e utlzado-se erels esecas Já e SIMOS & SADEGH (989), ua forulação dreta fo dscutda ara casca esférca co codções de cotoro geércas eregado-se erels as sles que os das téccas dretas E utos robleas de egehara, a geoetra da casca é tal que a razão altura/vão é u valor equeo, de fora que o eleeto estrutural assa a ser deoado casca abatda A equea relação etre a altura e o vão coduz a slfcações ortates as equações goverates de cascas e que fora cororadas e teoras esecífcas aresetadas or Resser e Vlazov segudo BESKOS(99) Nesses trabalhos, a fluêca das tesões csalhates (que atua a dreção da esessura) é desrezada as equações goverates do roblea NEWTON & TOTTENHAM(968) aresetara u dos reros trabalhos a dscutr casos artculares de robleas utlzado equações tegras va teora de Resser/Vlasov Nessa forulação as EDPs fora escrtas e teros dos deslocaetos trasversas e de fuções de tesões de Ary (deoada de forulação w ϕ ) Alé dsso, a técca desevolvda fo alcada co sucesso ara aalsar cascas esfércas abatdas Para esse to de roblea, TOSAKA & MIYKAKE(98) tabé aresetara ua forulação e que os erels fora obtdos utlzado varáves colexas; e HADJIKOV et al(985), fora

41 7 eregadas curvas sles e erels esecífcos ara aálse de cascas abatdas clídrcas crculares GOSPODINOV(984) aresetou os erels e aalsou robleas de cascas abatdas de curvaturas gaussaa ostva e que o estado de flexão ão era oblzado Já TEPAVITCHAROV(985) aresetou os erels ara cascas abatdas esfércas tabé subetdas ao rege de flexão E YE(988), as EDPs desse roblea, ara o caso de cotoro slesete aoado, era decoostas e equações de Lalace e Posso, cuas soluções coduza a erels as sles E YOKOYAMA et al(988), fo roosta ua reresetação tegral, alteratva a da forulação w ϕ, que fo escrta dretaete a artr do vetor de deslocaetos, cuos erels fora obtdos a artr de téccas eregadas e MATSUI & MATSUOKA(978) Soluções fudaetas ara cascas abatdas co suerfíces quadrátcas geércas fora aresetadas e algus trabalhos: ELLING(97), SIMMONDS & BRADLEY(976), MATSUI & MATSUOKA(978) Nesses trabalhos fora eregadas dversas téccas ateátcas arroadas, a f de reduzr ou slfcar as equações dferecas arcas do roblea, o que leva e grade úero dos casos ao aareceto de fuções esecas, geralete escrtas e séres ftas, coferdo ao erel alguas dfculdades assocadas à oeracoaldade uérca E PENG & HE(986), são roostas alguas téccas ara facltar o cálculo desses erels, cotudo, a aora dos trabalhos arte ara abordages alteratvas ara o roblea A lha rcal eregada essas abordages é a utlzação das soluções fudaetas de lacas ara o rege de flexão e os erels de chaas ara o rege de ebraa Cotudo, a reresetação tegral da casca abatda surge tegras de doío assocadas às forças de teração etre os reges ebraa/flexão, o que levou essa técca ser chaada de Método dos Eleetos de Cotoro/Doío(MEC/D) e aareteete oeraete alcada or FORBES & ROBINSON(969) aud STERN(989) Mutos outros trabalhos te sdo forulados va MEC/D tato ara cascas abatdas clásscas ZHANG & ATLURI (986), BESKOS(99), WANG et at (998), quato aquelas escrtas e teoras que leva e cota a deforação or cortate o rege de flexão - WANG et at (998), DIRGANTARA &ALIABADI(999), WEN et al(a, b) - cua solução fudaetal de

42 8 lacas baseada a teora de Resser, fo roosta or VANDER WEEËN(98) E WEN et al(a, b), as tegras de doío, assocadas às forças de teração dos robleas ebraa/flexão, são trasforadas e tegras de cotoro utlzado os Métodos de Itegral Dreta (MID), WEN et al(998), e da Recrocdade Dual (MRD), NARDINI & BREBBIA(98) Ebora soluções fudaetas ara cascas abatdas de suerfíce éda quadrátca geérca - e que é cororada a deforação or cortate o rege de flexão - estea dsoíves e LU & HUANG(99), LU & MAHRENHOLTZ(994), aareteete, forulações tegras evolvedo tas erels ão tê sdo uto eregadas, rcalete devdo às dfculdades ecotradas o côuto das tegras As estruturas e folhas olédrcas tabé tê u ael ortate o rol dos ssteas estruturas U dos reros trabalhos a utlzar o étodo dos eleetos de cotoro ara aálse desses robleas fo aresetado or PALERMO JUNIOR(989), que aalsa estruturas, cuo exo logtudal é aralelo a u dos exos cartesaos Na otage do sstea algébrco do roblea, são escrtas duas equações da reresetação tegral clássca de lacas STERN(979), e as outras duas reaescetes são escrtas a artr das equações tegras da elastostátca bdesoal RIZZO(967) Outra forulação e que cororou essas esas reresetações tegras fo aresetada or OHGA et al(99) Cotudo o sstea algébrco fal fo obtdo utlzado-se a técca da subestruturação ou étodo da trasferêca de atrz, que coduz a atrzes de fluêca eores, e, ortato, ossblta ua redução do úero de oerações ara a resolução do sstea fal de equações algébrcas do roblea O MEC é alcado ara odelar estruturas olédrcas e KRAMIN & KRAMIN (997) Nesse trabalho, a solução fal do roblea é obtda or eo da cobação de ua solução artcular e da solução hoogêea dos robleas fudaetas que fo troduzda as reresetações de Ster e Rzzo Na coosção do sstea algébrco global do roblea, as varáves assocadas aos deslocaetos de cada lâa são escrtas e relação a u sstea de coordeadas globas da estrutura trdesoal, equato as varáves assocadas aos esforços de

43 9 cada lâa são escrtas a artr do resectvo sstea local de cada lâa No acolaeto das lâas, é toado u exo, que ode ser eteddo coo ua geratrz, ara alcar a técca das sub-regões e, a dscretzação do roblea, são utlzadas terolações costates e exstdo ua restrção elo fato de se utlzar soluções artculares ara forular o roblea E FERNANDES & VENTURINI(), lacas erecdas or vgas são aalsadas utlzado-se duas abordages Na rera, a vga é cosderada ua regão erecda, coduzdo, ortato, a duas lhas de teração laca-vga e co dscretzação ossudo duas varáves or ó No segudo esquea, o úero de graus de lberdade é reduzdo ela etade ao logo da terface ao assur-se que o oveto da seção trasversal é defdo or aeas três cooetes deedetes Reresetações tegras artculares do roblea são obtdas dretaete cludo a teração vga-laca, de fora que as codções de coatbldade e equlíbro são autoatcaete verfcadas Ass, aós a dscretzação do roblea as cógtas do roblea ode ser deteradas Alé das reresetações tegras ara folhas baseadas e hóteses slfcadoras ara o cotíuo (eg, as teoras de cascas ou de folhas olédrcas), exste outras que são escrtas dretaete ou co equeas adatações o odelo elástco trdesoal U dos reros trabalhos a alcar essa técca fo MUKHERJEE & PODDAR (986) Nesse trabalho, as equações tegras, calete escrtas o sstea cartesao trdesoal, são trasforadas e fução de u sstea curvlear esecal defdo ao logo da suerfíce éda da casca Alé dsso, a artr de hóteses adcoas ara o cao de deslocaetos a dreção da esessura, deforações e tesões são deteradas o teror da casca Já LIU(998) alcou as equações tegras de robleas elástcos trdesoas dretaete e estruturas olédrcas Icalete, o autor dscute que o sstea algébrco forado or equações tegras ara robleas de doíos ftos ão é degeerado quado alcado e robleas de aredes delgadas Devdo ao fato de algus eleetos de cotoro odere estar uto róxos de u couto de outros eleetos, ara garatr o bo deseeho da forulação, as quasesgulardades são tratadas alcado-se ua técca que utlza o teorea de Stoes a vzhaça da sgulardade, trasforado a tegral quase-sgular e ua

44 soa de tegras de lha ão-sgulares e fracaete sgulares E SOUZA(), algus exelos uércos - tato ara eleetos estruturas corretes e edfícos(vgas, lacas, etc) quato ara casos de cascas esfércas - são ostrados a artr da alcação dreta do odelo elástco trdesoal Alé das equações tegras dos deslocaetos de CRUSE(969), a reresetação do roblea tabé é odelada va equações tegras dos gradetes dos deslocaetos Na dscretzação do roblea fora utlzados eleetos laos e terolações costates, leares e quadrátcas ara as varáves de cotoro O sstea algébrco fo otado utlzado-se o étodo regular ara o oscoaeto do oto-fote A forulação tegral ara sóldos trdesoas é eos restrtva que as forulações tegras obtdas a artr das dversas teoras de lâas, ua vez que, e utos casos - geoetra co raos de curvatura ftos, esessura ão-ufore - as soluções das EDPs do roblea fudaetal ada estão dsoíves Cotudo, quado a forulação de robleas elástcos trdesoas é alcada os casos e que as soluções fudaetas dos robleas laares são cohecdas, ela ode torar-se cotraroducete, ua vez que seus eleetos de cotoro estão defdos o esaço bdesoal e os assocados às teoras de lâa são reresetados or curvas udesoas Outras forulações ecotradas a lteratura descreve a aálse de alguas estruturas artculares e folhas olédrcas, e o roblea é odelado utlzado-se o étodo dos eleetos de cotoro cobado co outras téccas uércas KOMATSU & NAGAI(98) aalsara seções tubulares retagulares Nesse trabalho, a estrutura é dvdda e três regões costtuída de ua regão cetral e duas extreas A regão cetral é odelada elo Método dos Segetos de Parede Fa (MSPF), e que é utlzada a teora de Vlasov, e a dscretzação é feta e segetos trdesoas cuos graus de lberdade estão oscoados ao logo das seções ertecetes às extredades de cada segeto As duas regões extreas são odeladas elo étodo dos eleetos de cotoro e as lhas de terface etre o MSPF e o MEC há ecessdade da clusão de u eleeto de trasção o MSPF ara ossbltar a alcação das codções de equlíbro e de coatbldade os

45 resectvos graus de lberdade coatíves etre os dos étodos Ass, u sstea algébrco que evolve as cotrbuções de abos os étodos ode ser resolvdo Já GALUTA & CHEUNG(995) odelara seções celulares utlzado ua cobação etre os étodos dos eleetos ftos e de cotoro Nesse trabalho, as equações tegras clásscas de lacas são escrtas ara os ós stuados a laca sueror, sto é, o tabulero da ote As regões reaescetes do roblea são odeladas elo MEF Os graus de lberdade dos ós assocados ao MEF, stuados a terface de regões cous aos dos étodos, são trasforados e arâetros odas coatíves co o MEC Co sso, a atrz de fluêca fal das cógtas recebe cotrbuções de abos os étodos TANAKA & BERCIN(998) rousera ua forulação ara a aálse de lacas erecdas or vgas rsátcas de seção trasversal aberta arbtrára Nessa aálse, o roblea fo dvddo e regões erecdas ou ão or vgas de seção aberta A laca fo reresetada elas equações tegras clásscas de Ster e fo eregada ua teora de vgas de seção aberta coosta or aredes delgadas ertdo que as rgdezes - de flexão, de torção e de eeaeto - e a excetrcdade da vga e relação ao lao édo da laca fosse levadas e cota Nas regões de terface, as codções de coatbldade e de equlíbro fora ostas, ossbltado que u sstea algébrco evolvedo as duas téccas udesse ser resolvdo Ada o roblea de lacas erecdas, CARMO() utlzou ua cobação etre o MEF e o MEC ara aalsar a fluêca da excetrcdade do cetro de gravdade da vga e relação ao lao édo das lacas Nessa forulação, os efetos de ebraa e flexão a lâa são reresetados resectvaete elas equações de RIZZO(968) e STERN(979); a vga é odelada elo MEF A artr da coatblzação de deslocaetos e forças as regões de terface e a utlzação da técca de sub-regões, obté-se o sstea de equações fal do roblea Já e WEN et al(), os erecedores são tratados coo ua força dstrbuída e lha alcada o doío laca A reresetação tegral do roblea é costtuída de cco equações: as duas reras corora o efeto de ebraa utlzado-se as equações clásscas de RIZZO(968) As três restates estão assocadas à reresetação tegral de lacas que corora a deforação or cortate descrta e VANDER WEEËN(98) Para o erecedor,

46 são adtdas as hóteses clásscas de vgas rsátcas, cuo cetro de gravdade ossu ua excetrcdade e relação lao édo da laca Aós a dscretzação, são ostas as codções de equlíbro e de coatbldade de deslocaeto os otos odas cous etre a vga e laca, de fora que o sstea fal fca escrto aeas e fução dos ós do cotoro e de doío da laca Os robleas de folhas olíedrcas são aalsados a resete forulação utlzado-se duas forulações: A rera deoada de Tetraaraétrca utlza duas equações tegras de RIZZO(968) ara o rege de ebraa e duas adcoas ara roblea de flexão, a artr da reresetação tegral de lacas delgadas descrta e STERN(979) Na seguda forulação, chaada de Hexaaraétrca, são utlzadas três equações tegras de lacas descrtas e OLIVEIRA NETO & PAIVA (995), OLIVEIRA NETO(998) ara o rege de flexão Já os efetos de ebraa são reresetados elas duas equações de Rzzo e or ua tercera equação tegral adcoal, que rereseta ua rotação o lao da chaa, obtedo-se, co sso, o total de ses equações a reresetação tegral de cada lâa laa Aós a otage do sstea algébrco de cada lâa, or eo de ua rotação coveete dos ssteas de exos, e alcado-se as téccas de subregão, u sstea algébrco global da estrutura é obtdo Aós a osção das codções de cotoro e a resolução do sstea algébrco, as varáves do cotoro de cada lâa são deteradas E, a artr dessas, os deslocaetos, os esforços e as tesões ode ser calculados o doío de cada lâa Ebora as téccas uércas alcadas às equações tegras ara robleas elástcos teha recebdo grade ateção durate a década de 96, as reras forulações ara a aálse de robleas fscaete ão-leares só aarecera a década osteror U dos trabalhos oeros esse cao fo aresetado or SWEDLOW & CRUSE(97) Nesse trabalho, os autores estedera a detdade de Soglaa ara robleas trdesoas cororado u fluxo lástco Alé dsso, fora adtdas as hóteses da assocatvdade ara o fluxo lástco e da suerfíce de lastfcação evoludo segudo u ecruaeto sótroo Ebora esse trabalho teha sdo o arco cal da utlzação de reresetações tegras dretas ara

47 robleas elástcos, tato as equações tegras ara tesões quato as dscretzações do roblea ão fora aresetadas A alcação efetva de téccas uércas ara a solução do roblea elastolástco só fo aresetada co a ublcação do trabalho de RICCARDELLA(97) Nesse trabalho fora estudados robleas bdesoas Alé da reresetação tegral ara os deslocaetos, fo escrta ua versão coleta da equação tegral das tesões ara otos teros Os robleas a dferecação da tegral de doío, assocados à arcela lástca, fora corretaete evtados utlzado-se ua técca de tegrar aaltcaete o tero lástco rero, e só etão artu-se ara a obteção das dervadas requerdas Esse rocedeto fo faclete alcado devdo à utlzação de ua fução costate ara a terolação das deforações lástcas A resolução do sstea algébrco fo obtda or terédo da alcação de ua técca lícta trabalhosa e algus exelos uércos fora aresetados MENDELSON(97) aresetou e dscutu dferetes forulações tegras ara robleas elastolástcos eregado os étodos dreto e dreto Para esse últo fora aresetadas as reresetações tegras ara os deslocaetos e tesões evolvedo robleas b e trdesoas As exressões ara as tesões aresetava alguas correções assocadas ao tero de deforação lástca MENDELSON & ALBERS(975) estedera e leetara a forulação de 97 ara a aálse de algus robleas, tas coo torção de barras rsátcas, flexão sles de robleas co reetrâcas e fo adtda que o ateral é regdo elo odelo de Mses e elas hóteses de ecruaeto or deforação Dos aos deos, MUKHERJEE(977) eregou ua técca ara o roblea teroelastolástco bdesoal Us dos rcas fudaetos dessa forulação está assocado à adssão de coressbldade ara as deforações do fluxo lástco Os autores corrgra ua técca utlzada or MENDELSON(975), e que ua detdade ara robleas bdesoas fo obtda utlzado-se ua adatação correta da reresetação ara robleas elástcos trdesoas ara os robleas aalsados e duas desões E seguda, a reresetação tegral ara as tesões fo obtda or eo de dferecações a artr da equação tegral corrgda dos deslocaetos e das

48 4 relações tesão-deforação utlzado-se as hóteses do roblea e cao cal de deforações Ao adtr-se a coressbldade das deforações lástcas, a alcação da reresetação torou-se restrta a odelos e que a dlatação lástca ão é ertda, or exelo, o de Vo Mses Outra restrção dessa forulação é que a reresetação tegral ara as tesões fo escrta de fora coleta, decorrete de robleas ocorrdos a aulação ateátca do tero assocado à tegral de doío elástca Aeas o fal da década de 97, é que a dferecação da tegral de doío lástco fo corretaete reresetada co o trabalho de BUI(978) Nesse artgo, fora aalsados robleas trdesoas co caos cas O autor utlzou os cocetos de dferecação de tegras sgulares, aresetados or MIKHLIN(96,965), ara escrever a reresetação tegral coleta dos gradetes de deslocaetos, e que fora exlctados os coefcetes dos teros lvres de tegral assocados aos caos cas Na forulação aresetada, o fluxo lástco é adtdo coo coressível e o roblea tabé ode estar subetdo a u cao cal térco desacolado Tabé fo estudado u roblea de clusão esférca e u eo se-fto subetda a u cao cal térco costate, cua solução é obtda aaltcaete e coarada co aquela forecda ela reresetação tegral coleta, deostrado-se que, se os teros lvres assocados aos caos cas, as equações tegras estava corretas No ao segute, o rero trabalho que utlzou as reresetações tegras coletas ara os robleas elastolástcos bdesoas fo aresetado e TELLES & BREBBIA (979) Nesse artgo, as equações tegras bdesoas são escrtas levado-se e cota caos cas de deforação lástca e a artr do roblea trdesoal co ua restrção à dlatação do fluxo lástco, seelhate à técca eregada e MUKHERJEE(977) Para a dferecação do tero lástco, fora utlzadas as téccas de Mhl cofore aotado or Bu Neste eso ao, BANERJEE et al(979) aresetara ua forulação dreta do BEM evolvedo caos cas e tesão Nesse trabalho, as deforações ão são calculadas co o erego da reresetação tegral dos gradetes e, s, a artr da dfereças ftas dos valores odas dos deslocaetos Na dscretzação do roblea, são utlzadas fuções teroladoras leares ara as

49 5 varáves de cotoro do roblea No algorto ara a resolução do sstea de equação ão-lear é utlzada a esa estratéga eregada or ZIENKIEWICZ et al (969) o étodo dos eleetos ftos São utlzados dos odelos ara o ecruaeto do ateral, dos quas o rero está assocado à exasão estátca da suerfíce de carregaeto segudo as hóteses do ecruaeto sótroo O segudo odelo está assocado a ua traslação de coro rígdo da suerfíce de carregaeto utlzado-se o odelo de ZIEGLER(959), que é obtdo a artr da trodução de alguas odfcações o de PRAGER(955) Os autores aalsara quatro exelos, dos quas os três reros estão assocados a u carregaeto ootôco crescete O rero cosste de u cldro esesso ressurzado e regdo or u odelo de lastcdade deal O segudo está assocado à flexão de fudação aoada e u se-esaço elastolástco, e que tato a lastcdade erfeta quato o ecruaeto ostvo e egatvo são odelados O tercero exelo está assocado a u cubo erso o se-esaço O últo cosste e ua estaca lateralete carregada sob u rege cíclco, cosderado-se ora o roblea fudaetal de Kelv, ora o de Mdl No íco da década de 98, TELLES & BREBBIA (98a) leetara as reresetações tegras, ara o roblea da elastolastcdade bdesoal, escrtas levado-se e cota caos cas de deforação lástca coressível aresetadas o trabalho de 979 Na dscretzação do roblea fora utlzadas fuções leares tato ara os eleetos de cotoro quato ara as células Para o cálculo das tegras de doío fo utlzada ua técca seaalítca, e que a orde das sgulardades dos erels é reduzda de u grau É adtdo que o fluxo lástco sea regdo elo odelo de Vo Mses, e a evolução da suerfíce de lastfcação sob as hóteses do ecruaeto sótroo or deforação Dos exelos uércos são aresetados resectvaete ara os estados laos de tesão e deforação Ao assur a coressbldade das deforações lástcas, a alcação dessa forulação fcou restrta a casos e que o fluxo lástco é devatórco A aálse de robleas subetdos a u rege de ecruaeto egatvo tabé se torou robtva devdo à adoção de ecruaeto or deforação ara o ateral TELLES& BREBBIA (98b) aresetara ua reresetação tegral

50 6 elastolástca ara robleas evolvedo selaos Nas equações tegras, desses robleas ara o rege elástco, são utlzados erels ara os deslocaetos e forças de suerfíce a artr de adatações das soluções fudaetas de MELAN (94) ara tesões Para a obteção da reresetação tegral das tesões, é utlzado o coceto de MIKHLIN(965) ara as dferecações das tegras, obedecedo-se o cotoro lvre de forças de suerfíce do roblea fudaetal O fluxo lástco é assudo coo devatórco, e a suerfíce de lastfcação é regda elo odelo de Vo Mses; a estratéga adotada ara a resolução do sstea algébrco quase-lear é a esa utlzada or MENDELSON(97), e que é eregada a forulação e deforações cas Para o caso de caos cas e tesões, e que são utlzadas as suerfíce de lastfcação de Mses, Tresca, Mohr-Coulob e Drucer-Prager, a técca de resolução do sstea algébrco é seelhate àquela aresetada or Zeewcz ara o étodo dos eleetos ftos A dscretzação do roblea é feta utlzadose fuções de fora leares tato ara os eleetos de cotoro quato ara as células, e são odelados dos exelos, dos quas o rero evolve ua fudação loga e o segudo é assocado a u túel, cua seção trasversal é coosta or arcos abatdos E VENTURINI(98), é aresetada ua forulação ara caos e que alguas ão-leardades físcas(elastolastcdade e elasto/vscolastcdade) são assudas coo caos cas Esse trabalho é voltado rcalete ara robleas sob as hóteses da forulação coleta de robleas bdesoas, costtuída elo estado lao de tesão, estado lao de deforação e o estado de deforação coleto Alguas aálses uércas são fetas ara alcações e robleas de túes e atrataeto de ecostas TELLES & BREBBIA (98c) dscute u rocedeto ara a dscretzação das reresetações tegras ara o roblea elastolástco trdesoal As células são dvddas e tetraedros e, ara o cálculo das tegras de doío lástcas, é utlzada ua aaloga da técca se-aalítca bdesoal adatada ara os robleas trdesoas, e fuções teroladoras costates são utlzadas ara todas as varáves e teros de doío Os odelos ara o ateral e o algorto de solução do roblea são seelhates ao alcado o artgo de TELLES & BREBBIA (98b) Ebora sea descrtos os rocessos de

51 7 dscretzação, trataeto das tegras sgulares e estratéga de resolução do sstea algébrco, ehu exelo uérco é aresetado Nesse eso ao, TANAKA & TANAKA(98) aresetara ua estratéga ara a solução do roblea elastolástco trdesoal se rocedetos teratvos A equação de equlíbro do roblea é trasforada e u sstea de equações tegras o doío e o cotoro Aós a dscretzação do roblea, alé dos valores odas das varáves do cotoro, os deslocaetos odas das células tabé são utlzados coo cógtas a reresetação algébrca do roblea Por eo de aulações algébrcas essa reresetação, u sstea é escrto de tal fora que as cógtas do cotoro e do doío são reudas e u úco vetor, cua solução é obtda utlzado-se u algorto creetal, que dsesa oerações teratvas Nesse artgo, ehu exelo uérco é aresetado U ao deos, PALIZZOTO (98) aresetou ua forulação e que o cao das tesões, ara otos de doío, ode ser obtdo dretaete das varáves de cotoro dsesado-se a utlzação da reresetação tegral de deslocaeto A reresetação tegral ara as tesões é obtda utlzado-se aeas o coceto, troduzdo or Soglaa, de deforações cocetradas alcadas o roblea fudaetal Os autores descrevera ua relação etre os erels utlzados a forulação roosta e a técca clássca, que utlza força cocetrada o roblea fudaetal Cotudo, ehu exelo uérco fo aresetado O MEC fo alcado or POTR(987) e robleas bdesoas teroelastolástcos, que evolve caos cas de tesão e de teeratura desacolados Co o auxílo do teorea da recrocdade, ua reresetação tegral é escrta ara u cao de tesão gerado or ações ecâcas e de teeratura Na reresetação das tesões o cotoro, são utlzados dos rocedetos: o rero cosste e equações tegras ara ua arte de suas cooetes; o segudo basea-se a obteção das deas cooetes a artr dos valores odas de deslocaetos O algorto ara a solução do sstea algébrco segue a esa estratéga daquele aresetado or MENDELSON(968) No trabalho de Potr, ua chaa é aalsada, ara u fluxo lástco gerado aeas or ua ação térca, e a evolução das regões lástcas é aeada ara deteradas

52 8 teeraturas o tervalo de varação de º C a 5 º C BANERJEE & RAVEENDRA(986a) forulara o roblea elastolástco b e trdesoal utlzado ua dscretzação soaraétrca quadrátca e u algorto ara acelerar a covergêca da aálse O algorto de solução do sstea ão-lear e tesões cas é alterado de odo que a curva das tesões reas, obtda o creeto de carga ateror, é usada ara extraolar as tesões lástcas o íco do creeto correte, ates das oerações teratvas Ua extesão desse trabalho fo aresetada e BANERJEE et al(986b) ara cororar carregaetos cíclcos Dos odelos são utlzados ara o ecruaeto do ateral: o rero assue ua exasão sótroa ara a suerfíce de carregaeto evolvedo o odelo de ecruaeto or deforação co a suerfíce de Vo Mses; a seguda abordage assue ua traslação da suerfíce de carregaeto evolvedo o odelo de duas suerfíces descrto e MROZ(967), que erte ua trasção suave do coortaeto elástco ara o lástco Já e BANERJEE & RAVEENDRA(987), fo aresetado u algorto creetal ão-teratvo ara o roblea elastolástco bdesoal a artr do trabalho de 986(a) desses autores Por eo de alguas aulações das relações costtutvas elastolástcas a reresetação algébrca do roblea, as oerações teratvas são eladas do rocedeto utlzado a solução do sstea de equações fal E VENTURINI(988), são dscutdas forulações que erte levar e cota coortaetos elastolástcos e vscolástcos - assudos coo caos cas e tesão - ara algus robleas bdesoas, destacado-se abordages alteratvas ara a odulação de utas co ou se a trodução de eleetos esecas TANG & KITCHING(99) forulara ua abordage dreta ara o roblea elastolástco utlzado varáves colexas As reresetações tegras dretas são escrtas evolvedo caos cas e tesão; os erels dos robleas são exressos e fução de soluções fudaetas de otecas colexos Para os robleas aalsados esse artgo, essas soluções evolve dos casos O rero está assocado a u lao fto, e que as soluções dos otecas colexos ode ser utlzadas ara obter os erels de Kelv; o segudo está assocado a u

53 9 lao fto co orfíco crcular, cuos erels ode ser obtdos ela suerosção das soluções dos otecas colexos do lao fto co as resectvas soluções de suas ages ao logo do orfíco U exelo de ua chaa co u orfíco é aresetado va estado lao de tesão, e os resultados são coarados tato co outras forulações coo co dados exeretas Outro exelo aalsado evolve ua chaa fta ara o caso e que o carregaeto é alcado ao logo do cotoro do orfíco; ara o ateral é adtda ua suerfíce de carregaeto elastolástca erfeta utlzado-se o odelo de Vo Mses Alguas forulações ara o roblea elastolástco fora drecoadas rcalete ara a auetar a efcêca do cálculo da tegral do tero lástco MATSUMOTO & YUUKI(986) eregara exressões aalítcas ara as tegras de doío lástcas ara o roblea bdesoal Na reresetação tegral dos deslocaetos, a tegral de doío assocada à arte sgular dos erels fo escrta coo u soatóro de fuções auxlares As exressões aalítcas ara essas fuções são obtdas co o auxílo de u alcatvo ateátco(software) ara o cálculo das tegras, e que as sgulardades dos tegrados rtvos fora decrescdas de u grau or terédo da utlzação de u sstea de referêca tragular e coordeadas olares Na reresetação tegral das tesões, a tegração sobre a arte sgular da tegral de doío é obtda ela dferecação das fuções auxlares cobadas co as relações costtutvas Ebora os valores das fuções auxlares sea exlctaete ostrados o artgo, o eso ão ocorre co os valores de suas dervadas Dos exelos são ostrados ara robleas de cldro esesso ressurzado No rero exelo, adtu-se que o roblea está subetdo a u cao e deforações cas e que o carregaeto extero é alcado tegralete e u úco creeto O segudo exelo fo aalsado ara casos e que a suerfíce de lastfcação era erfetaete lástca, e o carregaeto extero fo alcado e creetos; a solução do sstea algébrco fo obtda utlzado-se u algorto creetal-teratvo HENRY & BANERJEE (988) aresetara ua forulação e que a tegral lástca de doío é substtuída or tegras artculares, que ão requere tegração o doío A solução geral do roblea é obtda utlzado-se

54 a suerosção da solução hoogêea, que evolve aeas o roblea elástco lear, e ua solução artcular ara o roblea elastolástco A solução artcular é assuda coo ua força voluétrca a equação de Naver e escrta e teros das cooetes do vetor de Galer E CISILINO et al(998), é aresetada ua forulação ara algus robleas elastolástcos que evolve caos cas e deforações Os valores rcas das tegras de doío são calculados or eo de ua técca aresetada or ALIABADI et al (985), e que são alcadas exasões de Taylor sobre os erels ara o trataeto das sgulardades As tesões o cotoro são deteradas a artr de dferecações das fuções de fora dos deslocaetos, e são utlzadas aroxações soaraétrcas ara as varáves de cotoro É aresetado u exelo de cldro esesso ressurzado, e que a lastcdade é adtda coo deal U outro exelo é o de ua chaa co u orfíco, utlzado-se o odelo sótroo co ecruaeto or deforação O roblea elastolástco bdesoal fo descrto e OCHIAI & KOBAYASHI(998) utlzado-se ua técca do étodo da recrocdade últla Ua abordage do roblea elastolástco bdesoal e tesões cas, co a elação da dscretzação do doío, é obtda a artr da extesão da forulação roosta or OCHIAI & SEKYIA(995) ara o roblea bdesoal de codução de calor forçada Nessa técca, as dstrbuções arbtráras da fote tera de calor são teroladas or equações tegras de cotoro costruídas a artr da alcação da seguda detdade de Gree e evolvedo fuções olarôcas U cldro esesso ressurzado é aalsado ara ua suerfíce de carregaeto erfetaete lástca e regda elo odelo de Vo Mses Algus rocedetos de regularzação fora alcados aos robleas ãoelástcos E NING(99), o roblea elastolástco é forulado a artr da extesão da reresetação tegral regularzada elástca de GHOSH et al(986) ara robleas co caos cas Essa técca coduz à obteção das tesões o cotoro dretaete das equações tegras que evolve sgulardades as bradas HUBER et al(996) leetara ua reresetação tegral regularzada das tesões As tesões o cotoro são obtdas a artr da técca de

55 regularzação de tegras fortes e hersgulares roosta or GUIGGIANI et al (99) cobada co a abordage eregada e DALLNER & KUHN(99) Na dscretzação, é utlzada ua terolação soaraétrca quadrátca Na avalação do deseeho da técca, são aresetados dos exelos: o rero ara ua chaa tesoada co u orfíco e seu cetro; o segudo ara u roblea da ecâca da fratura U outro to de roblea que te sdo abordado or utos esqusadores está relacoado co a aálse fscaete ão-lear de lacas MORJARIA & MUKHERJEE(98) aresetara ua forulação sedreta, e que o deslocaeto trasversal e rege elástco é deedete do teo A equação dferecal de lacas, evolvedo as cotrbuções elástcas e as elástcas, é trasforada e duas equações tegras acoladas: a rera está assocada ao deslocaeto trasversal; a seguda está assocada ao Lalacao dos deslocaetos, que restrge a alcação dessa forulação a robleas co codções de cotoro artculares, rcalete aquelas e que as curvaturas o cotoro são ulas Na dscretzação do roblea, são utlzadas fuções de fora leares ara as varáves do cotoro e ua quadrátca ara os teros de doío e cada célula tragular O fluxo lástco é regdo elo odelo de HART(976), e que se adte a dlatação coo elástca Algus esqusadores aresetara forulações dretas ara o roblea elastolástco de lacas MOSHAIOV & VORUS(986a) estedera o roblea de flexão de lacas de Ster ara caos cas e oetos lástcos Adte-se que o fluxo lástco é regdo elas hóteses do odelo de Vo Mses Na dscretzação do roblea, são utlzadas fuções teroladoras costates e ara a avalação uérca da forulação são aresetados robleas co dos tos de geoetra: o rero evolve lacas crculares egastadas, co o ateral regdo elos odelos de lastcdade erfeta e ecruaeto sótroo lear; o segudo está assocado a ua laca quadrada egastada subetda a u carregaeto dstrbuído ootocaete crescete utlzado-se o odelo de ecruaeto sótroo Neste eso ao, MOSHAIOV & VORUS(986b) estedera a forulação elastolástca de lacas do trabalho (986a) ara algus robleas e que os efetos tércos troduze erturbações as hóteses assocadas à

56 hoogeedade do odelo rtvo No desevolveto da forulação, é adtdo que a ão-hoogeedade é troduzda aeas ao logo da dreção da esessura, e a equação dferecal global do roblea é trasforada e equações de tegras de cotoro utlzado-se coveeteete a detdade de Raylegh- Gree Quatro aos deos, CHUEIRI(994) aresetou ua forulação evolvedo oetos cas, e que a reresetação tegral era coosta de duas equações tegras e deslocaeto Na dscretzação, fora utlzadas fuções quadrátcas ara os eleetos de cotoro, e terolações leares ara as células Para a reresetação da suerfíce de lastfcação, fora adtdos os odelos de Mses e Tresca U odelo slfcado ara o cocreto arado, descrto e CORRÊA(99), fo leetado a forulação Na aálse uérca, fo odelada ua laca slesete aoada, e que o fluxo elástco é regdo or ua suerfíce erfetaete lástca Outra aálse fo aresetada ara ua laca de cocreto arado e os resultados uércos da forulação fora coarados co valores obtdos exeretalete FERNANDES(998), cororou a forulação de CHUIERI(994) o odelo de MAZARS(984) ara a erda de rgdez devdo à dafcação do cocreto Já e BACARJI(), é roosta ua aálse fscaete ão-lear ara avetos de edfícos utlzado-se o MEC - a artr da cororação de odelos costtutvos do cocreto e do aço as téccas adotadas or RIBEIRO(99) e SILVA(996) ara reresetar o roblea de flexão sob as hóteses de Resser Já e SONG & MUKHERJEE(989), robleas elastolástcos são aalsados utlzado-se ua extesão do odelo de três equações tegras ara robleas elástcos calete roosto e DU et al (984) Algus exelos são aresetados, rcalete, evolvedo casos de lacas quadradas co alguas cofgurações de vculações tas coo: slesete aoada, egastada, aodada/egastada A aálse uérca de folhas e rege elastolástco te recebdo ua tída ateção dos esqusadores, quado coarada co o teso estudo de soluções uércas ara outros robleas da egehara estrutural Até eso e forulações evolvedo o MEF, o úero de ublcações ara esses robleas ão é grade Tal fato tabé ode ser esteddo à aálse desses robleas elo MEC

57 E MUKHERJEE & PODDAR (989), é ecotrada ua extesão da forulação elástca descrta o trabalho de 986 (e que as equações tegras ara robleas trdesoas escrtas o sstea cartesao são trasforadas e fução de u sstea curvlear esecal assocada à suerfíce éda da casca) ara robleas elástcos e u exelo é odelado evolvedo a aálse elastovscolástca de u cldro subetdo a ua varação lear da ressão tera Neste resete trabalho, as téccas eregadas as forulações tetra e hexaaraétrca ara o rege elástco são esteddas e alcadas e robleas elastolástcos co geoetra coosta or lâas colaares de esessuras costates utlzado-se os odelos clásscos dsoíves a lteratura

58 4 FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTOSTÁTICA LINEAR ) Itrodução Neste caítulo, calete, são aresetadas as relações báscas da teora da elastcdade lear, e esecal, evolvedo os robleas bdesoas reresetados elas lâas soladas Falzado o caítulo, são aresetados os robleas fudaetas elástcos tr e bdesoas e suas resectvas soluções ) Geeraldades U sstea estrutural ode ser coosto or ua ou as categora de eleetos estruturas Tas categoras ode ser classfcadas e três gruos, a saber: Eleetos leares: quado ua das desões é be aor que as deas Eleetos de suerfíce: quado ua das desões é desrezível ao ser coarada às deas Eleetos voluétrcos ou trdesoas: quado todas as desões tê a esa orde de gradeza Geoetrcaete, a lâa é u eleeto estrutural de suerfíce, que satsfaz a segutes rescrções: a) É ltada or duas suerfíces laas, ode o lao eqüdstate etre elas é chaado lao édo b) A dstâca etre as suerfíces sétrcas ao lao édo, chaada de esessura, ão ecessaraete costate, é equea quado coarada às deas desões, caracterzado-se u eleeto de suerfíce A lâa recebe a segute classfcação e relação às roredades do ateral costtute, a saber: Asótroa: quado areseta roredades dferetes e qualquer dreção Isótroa: quado areseta as esas roredades e qualquer dreção Pode-se ada, classfcar a lâa quato às ações, a saber: Chaa: a lâa laa é solctada segudo as dreções do lao édo Placa: a lâa laa é solctada segudo trasversalete ao lao édo Algus autores ada classfca a laca, segudo a relação etre a esessura (h) e a desão do eor lado (a), e sugere os segutes valores ltes:

59 5 Muto delgada: h, a Delgada:, < h, a Esessa: h >, a A aálse clássca do coortaeto ecâco acroscóco de u coro sóldo subetdo a cofgurações de ações de aturezas dversas, e geral, vsa deterar o efeto dessas erturbações sob três asectos, sto é: o cao dos deslocaetos, o cao das deforações e o cao das tesões Segudo LOVE(944) Te-se que dstgur dos estados de u coro -o rero e o segudo As artículas do coro assa de suas osções cas o rero estado ara osções fas o segudo estado através de u deslocaeto Se qualquer dstâca etre as artículas sofrer alteração, sto é, lcar ua udaça da fora ao assar do rero ara o segudo estado, dz-se que o coro sofreu deforação Essa udaça de fora do coro oblza forças teras etre as artículas caracterzado-se o cao das tesões E geral, as equações ara descrção do coortaeto do roblea ode ser classfcadas e três categoras, a saber: a)codções de equlíbro b)relações deforação-deslocaeto c)reologa As equações terão de satsfazer as codções de equlíbro ua vez que é desta fora que todas as forças adtdas resetes o roblea estarão verfcadas O equacoaeto do roblea tabé é afetado elas relações deforaçãodeslocaeto ua vez que essas dca a aera e que as deforações são eddas a artr dos deslocaetos A reologa ou le costtutva, ou ada as relações tesão-deforação descreve a evolução das tesões e fução do estado de deforações resete o roblea ) Relações eleetares da teora da elastcdade Ua das abordages acroscócas eregadas ara descrção do coortaeto dos coros sóldos é a teora da elastcdade

60 6 Icalete, as hóteses dessa teora são alcadas a coros trdesoas e e seguda, alguas slfcações adcoas são troduzdas esse roblea a f de abordar os coros bdesoas ) Problea trdesoal Sea u coro trdesoal tedo assocado a ele u sstea de referêca cartesao dextrógro ( x, x, ) e as cooetes de deslocaeto ( u,u, ) x cofore dcado a fgura u Fgura - Deslocaetos segudo as dreções dos exos cartesaos Defdo o cao de deslocaetos, ua alteratva ara o equacoaeto das relações deforação-deslocaeto é adt-las sob as hóteses do tesor de equeas deforações cohecdo coo tesor de Cauchy, sto é: ε u u ;,,,,, () Cofore ctado aterorete, ua outra etdade eregada ara a descrção do coortaeto do sóldo está assocada às relações tesão-deforação U dos odelos ara a reologa do ateral é fudaetado as hóteses da teora da elastcdade lear, a saber: a) Materal hoogêeo e cotíuo b) Relação lear etre os caos das deforações e das tesões c) Materal ao ser solctado, defora-se; alvado dessa ação, retora à sua osção cal ates da solctação

61 7 Na fgura, u estado de tesão é ostrado segudo u sstea de referêca (, x, ) x ara u eleeto ftesal x Fgura -Estado de tesões e u eleeto ftesal O rege elástco lear, sob ua trasforação sotérca, é regdo ela le de Hooe, sto é: σ ;,,,q, () C ε q q ode o tesor C q ara casos de ateras elástcos e sótroos é dado or: C q Gν δ δ G ( δ δ δ δ );,,,q, q q q ν () e que σ, ε e δ são as cooetes das tesões, das deforações e o delta de Kröecer, resectvaete O ódulo de elastcdade trasversal G está relacoado co o ódulo de elastcdade logtudal E e co o coefcete de Posso ν ela segute exressão: G E ( ν ) (4) Quado houver forças de volue que ão roduza oetos dstrbuídos or udade de volue, a setra do tesor das tesões ode ser obtda or eo E REISSNER(944), são dscutdos algus robleas que roduze oetos or udade de volue

62 8 das codções de equlíbro dos oetos o eleeto ftesal ostradas a fgura, sto é: σ ;,,, (5) σ E u oto a suerfíce do coro, sueto a u cao de tesões, ua relação etre as cooetes de forças de suerfíce ˆ e de tesões σ ode ser escrta a artr de equações cohecdas coo fórula de tesão de Cauchy, sto é: σ ;,,, (6) ode η é o co-seo dretor da oral à suerfíce o oto Iodo-se as codções de equlíbro estátco o eleeto ostrado a fgura, obtê-se as equações de equlíbro da elastostátca dadas or: σ ;,,, (7), b ode b são as cooetes das forças voluétrcas segudo as três dreções dos exos cartesaos Levado-se as equações () e () a equação de equlíbro(7), obté-se a equação de Naver : b u, u, ν G ;,,, (8) ) Problea bdesoal A teora da elastostátca alcada a robleas bdesoas ode ser abordada a artr de restrções alcadas as hóteses dos coros trdesoas Ua das oções de abordage é o Estado Plao de Deforação(EPD) A restrção característca ara a obteção desse to de aálse é adtr ser ula a deforação atuate e ua esa dreção e setdo do exo logtudal do roblea E geral, a lteratura, é eleto o exo x, co sso, te-se que ε Os robleas aalsados segudo essa hótese são reresetados or coros ode ua das desões é uto sueror às deas e subetdos a ações eredculares ao seu exo logtudal e costates ao logo de seu coreto Os exelos clásscos

63 9 desses robleas são as barrages de usas hdrelétrcas, tubulações sob ressão, e outros Substtudo-se a deforação ula ε e (), obté-se ua equação slar a essa últa, cotudo a varação dos ídces (,,) fca restrta aos valores e As equações de equlíbro e as de Naver ara o EPD ode ser escrtas de ua fora aáloga a (7) e (8), resectvaete Necesstado-se aeas u auste o tervalo da varação dos ídces, cofore coetado aterorete Outra abordage ara a aálse de coros bdesoas é o Estado Plao de Tesão (EPT) A restrção característca desse to de abordage é adtr ser ula a tesão atuate a dreção e setdo do exo eredcular ao lao édo, or exelo, a dreção x Os robleas reresetados or esse to de hótese são aqueles que ossue ua das desões uto eor que as deas Os exelos clásscos são os dversos tos de estruturas de coberturas e ebraas Ao substtur σ e (), obté-se ua relação tesão-deforação coo: σ ;,,,q, (9) C qε q ode C q Gν δ δ G ( δ δ δ δ );,,,q, q q q ν () Já que a trodução das hóteses do EPT rooveu alterações a reresetação ateátca da reologa roblea, a equação de Naver tabé deve ser austada à ovas codções, assado a ser escrta coo: b u u,, ν G,,, () ) Teora de chaas Cofore descrto a defção geoétrca das lâas, elas são deltadas or duas suerfíces laas, caracterzado-se, co sso, ua das desões do roblea: a esessura Sedo as chaas u subcouto das lâas laas, que tê

64 4 carregaetos alcados aeas a dreção de seus laos édos, é ecessáro adatar o equacoaeto dos estados laos ara cororar ua dada esessura fta t As resultates de tesão or udade de coreto da chaa ode ser escrtas a artr do cao de tesões subetdo ao coro: t N σ dx ;,, t () Adtdo-se que as tesões estão uforeete dstrbuídas ao logo da esessura t, logo a equação () ode ser exressa as slesete or: N tσ ;,, () E u oto a suerfíce do coro, ua relação etre as forças de suerfíce e as resultates de tesão ode ser estabelecda coo: f N ;,, (4) As relações resultates de tesão-deforação ode ser escrtas substtudo-se as equações () ou (9) e (), cofore o estado lao aalsado No etato, abos ode ser geercaete reresetados se for assocado a cada estado lao u coefcete de Posso aarete ν Co sso, a equação () ode ser escrta a artr de (), a saber: N ε ;,,,q, (5) tc q q ode C δ δ G ( δ δ δ δ ) q Gν q q q ;cové ressaltar que o caso de ν EPD te-se ν ν e ara o EPT, o coefcete de Posso aarete vale ν ν A reresetação ateátca do ódulo de elastcdade trasversal G ν eraece varate e abos estados laos A equação de equlíbro de chaas ode ser obtda odo-se as codções de equlíbro estátco o eleeto ostrado a fgura, sto é:

65 4 N b ;,, (6), dx x N N dx N x N N N,dx N N,dx b b N N,dx N N,dx Fgura - Resultates de tesão e u eleeto ftesal de chaa Se a equação (5) for levada a equação de equlíbro (6), a equação de Naver ara o robleas de chaas ode ser escrta: ν b tg u, u,,,, (7) Na equação (7), há ecessdade de correção do ν aalogaete ao rocedeto eregado e (5) Co sso, falza-se a aálse do efeto de chaas das lâas, restado ada outro a ser abordado: o estado de flexão oblzado elas ações alcadas eredcularete ao lao édo das lâas laas, caracterzado-se co sso as categoras das lacas 4)Teora clássca de lacas O roblea das lacas está serdo a categora dos coros bdesoas ltados or duas suerfíces laas, sto é, u subcouto das lâas Dfere das chaas rcalete ela dreção de alcação das ações, cofore descrto o te () Na lteratura exste dversas teoras ara abordar o coortaeto das lacas subetdas à flexão sles, ua das reras é a teora clássca de lacas O desevolveto dessa teora é descrto e KIRCHHOF(85), e é baseada e alguas hóteses, a saber:

66 4 a) A laca é costtuída de ateral elástco lear, hoogêeo e sótroo b) Os deslocaetos trasversas são equeos e relação à esessura da laca, sto é, a deforação é descrta a artr das hóteses de equeos deslocaetos c) As tesões oras a dreção trasversal são desrezadas, ass coo as tesões tagecas as faces da laca, sto é, a aálse é toada segudo o EPT d)seções laas, calete oras ao lao édo da laca, aós a flexão, eraece laas e eredculares ao lao édo deforado, ou sea, a teora clássca desreza a fluêca da deforação devdo à força cortate e) A suerfíce éda é assuda rígda as dreções do lao que a coté A artr das hóteses descrtas aterorete, as equações goverates da teora de lacas de Krchhoff ode ser deteradas As cooetes de deslocaeto de u oto ertecete à laca são reresetadas or u,u, u as dreções dos exos cartesaos x, x, x, ostrados a fgura O deslocaeto vertcal do lao édo u é reresetado or w Os deslocaetos u e u ode ser obtdos or relações geoétrcas, fgura 4, a artr das rotações do lao édo, ua vez que ele é adtdo coo deforável Fgura 4- deslocaeto vertcal e rotações resetes a laca Idcalete, tas relações geoétrcas dos deslocaetos ode ser aresetadas a fora, a saber:

67 4 u x w, ;, (8) As deforações ode ser obtdas ela dferecação de (8) e do tesor de Cauchy (): ε u x w, u,, ;, (9) As hóteses de alterabldade das seções laas os estados cas e fas de flexão e das relações costtutvas elastoleares coduze a ua dstrbução lear das deforações ao logo da esessura Co sso, as tesões fca subetdas a esa varação, cofore ode ser observado as equações ara o cao das tesões obtdas, levado a equação (9) a le de Hooe ara EPT (9), sto é: E ( ν ) w, ν w, δ σ x ;,,, ν () Os esforços, sto é, os oetos fletores, os oetos volvetes e as forças cortates são resultates do cao das tesões atuates ao logo de ua dada seção e ode ser reresetados, resectvaete, or: t σ x dx ;,, t t q σ dx ;, t () () Outra alteratva ara exressar os oetos é escrevê-los e fução das curvaturas da laca a artr da substtução de () e (), sto é: K w ;,,,l, () l,l ode D é o ódulo de rgdez à flexão e K l é a cooete do tesor oetocurvatura, cuos valores são dados or:

68 44 D Et ν ; K l D ( ) ( ν ) νδ δ l δ δ l δ lδ (4) As forças cortates tabé ode ser escrtas e fução da dervada do lalacao do deslocaeto trasversal da laca: q D w, ;,, (5) A osção de equlíbro dos esforços e ações atuates o eleeto ftesal de laca, ostrado a fgura 6, erte escrever as segutes relações: q, g ;, (6) q ;,, (7), ode g é o carregaeto extero dstrbuído dx q x dx x q,dx x g,dx,dx q q,dx,dx q q,dx Fgura 6- Esforços resetes e u eleeto ftesal de laca Dferecado-se (6) e relação a, seguda da substtução e (5), obté-se a equação dferecal de lacas e fução dos oetos, a saber:, g ;,, (8) A equação dferecal de lacas delgadas, e fução do deslocaeto trasversal do lao édo- cohecda or equação de Lagrage, é obtda ela substtução de () e (8):

69 45 g, ;,, D w (9) Ne sere é vataoso exressar as varáves da laca o sstea global ( x, x ) U dos exelos clásscos é a osção das codções cotoro e bordos clados e relação aos exos globas Ua alteratva as efcaz é escrever as varáves e relação a u sstea de coordeadas que cotele as dreções oras e tagecas a este bordo Alé dsso, outro caso que ode ser ctado é a reseça de outras categoras de eleetos estruturas coectados à laca, or exelo, u lar e u aveto de edfíco Ne sere os exos desse eleeto cocde co o sstea global da laca, gerado, co sso, u trabalho adcoal ara roover o acolaeto de abos Ass, descreve-se e seguda os rocedetos ecessáros ara o auste das varáves da laca e outros ssteas de referêcas dsttos do cal Ua cooete de tesão ode ser reresetada segudo as dreções e setdos de u sstea de coordeadas geérco a artr de u sstea de referêca de coordeadas cal Sea tal cooete toada segudo a dreção e setdo a artr do cao de tesões escrto e fução do sstea ( x, x ), etão, a exressão ara esta trasforação ode ser escrta coo: σ σ ;,, () ode, são os co-seos dretores das dreções e e relação ao sstea x, x Toado-se as dreções (, ) cocdetes co o sstea de coordeadas (,s ) assocadas ao cotoro da laca, as tesões oras e tagecas ode escrtas a artr de (6) coo: σ σ ;,, () σ σ s ;,, () s Ua trasforação aáloga à ateror ode ser alcada aos oetos a artr de ( ), () e ( ), sto é:

70 46 ;,, () s ;,, (4) s A trasforação das forças cortates do sstea ( x, x ) ara o (,s ) ode ser reresetado or: q q ;, (5) Faz-se ecessáro, ara a resolução da equação dferecal de lacas, a rescrção das codções de cotoro A solução ara a equação dferecal de quarta orde das lacas requer que duas codções de cotoro sea satsfetas e cada oto do cotoro da laca Estas codções são escrtas e relação ao sstea (, s ) e ode ser ua cobação do deslocaeto w, rotação oral θ, força cortate q, oeto fletor e oeto volvete s KIRCHHOFF(85) ostrou que e lacas cua deforação or cortate é desrezada, as codções de cotoro relatvas aos esforços q e ode ser agruadas e ua úca codção chaada de cortate equvalete, sto é: s V q s s (6) Co sso, as três codções de cotoro ara os esforços exstetes e cada oto do cotoro aalsado fca reduzdas a aeas duas, ossbltado a resolução da equação dferecal de quarta orde da teora clássca 4) Reresetação de Paovtch-Neuber Ua das dfculdades ecotradas a aálse de robleas elástcos está relacoada co a solução das equações dferecas arcas (EDPs) goverates do roblea Exaado-se o caso da elastostátca lear, ua terdeedêca etre as cooetes de deslocaeto ode ser verfcada as EDPs aresetadas e (8), eg, as cooetes de deslocaetos a dreção x :

71 47 b u u u ( u u u ),,,,,, ν G (7) Pode-se evdecar que as EDPs (7) ão só são deedetes das dervadas de u, as tabé dervadas das cooetes de deslocaetos as deas dreções, sto é, ão exste aeas u úco argueto caracterzado a varável das EDPs, coduzdo-se co sso a alguas colexdades ara a obteção da solução das equações dferecas arcas do roblea elástco GALERKIN(9) aresetou ua técca e que as cooetes de tesão e u sóldo elástco, sótroo, hoogêeo são escrtas e teros de dervadas arcas de fuções ϕ : quarta orde: ( ν )( ϕ, ϕ, ) ϕ, νϕ, σ δ ;,,,,, (8) Alé dsso, é adtdo que as fuções ϕ satsfaze equações dferecas de ϕ C ;,,,, (9), ode C é ua costate arbtrára Ada o desacolaeto das varáves, te-se os trabalhos de PAPKOVITCH(9a, b) e que é verfcado que os deslocaetos ode ser assocados a alguas fuções, que ao sere subetdas a oeradores dferecas ertecetes a ua esa faíla das equações de Naver(8), ode desacolar as varáves dessas EDP, sto é: u α ;,,,, (4) w, w, Naver: Ao substtur-se (4) e (8), te-se, etão, a EDP equvalete à de,, ν [ ( ν ) α] w w b G ;,,,, (4) U valor que ode ser atrbuído à costate α e que reduz a equação (4) a u oerador barôco é dado or:

72 48 α (4) ( ν ) Co sso, o desacolaeto das EDP é obtdo, fcado aeas escrta e tero das dervadas da fução w a dreção, sto é: w, b ;,,,, G (4) Ua solução geral ara (4) ode ser toada coo: w w t z ;,, (44) ode w é ua solução artcular de (4) O lalacao de t é dado or ua equação do to: t d ;,,, (45), ode d, z são fuções harôcas, sto é, são regdas or: d ; z ;,,, (46),, A artr de (4) e (44), as cooetes de deslocaeto ode ser escrtas coo: ( ) [ t ], z, ν u u d ;,,, (47) Co: u w, w, ;,,, ( ν ) (48) Adtdo-se ada que ua fução escalar ψ é a dvergêca de t, sto é: ψ t, Etão, a artr de (45) e da roredade harôca de d dada e (46), a segute detdade ode ser escrta: ψ ;,,, (49), t, d, Ua solução ossível ara (49) ode ser escrta coo:

73 49 ψ x d ;,, (5) Te-se tabé que a dvergêca de z ode ser escrta e teros de ua fução harôca g, sto é: g ;,, z, (5) Substtudo-se (5), (5) e (47), te-se que: u u d ;,, 4 ( ) ( ψ ), g, ν (5) As cooetes de tesão ode ser obtdas a artr da substtução de (), (), (48) e (49) e (5), resultado e: σ E ( w, w, ) ν ( ) ( w ), νw,δ ν ( d d ),, t νt δ 4 ( ) ( ),, ν ;,,,,, (5) Paovtch tabé aotou que as costates arbtráras (9), ode ser escrtas coo: C dcadas C b ;,, G (54) E NEUBER(94), é vestgado o caso de robleas elástcos lvres de forças voluétrcas e que as cooetes de deslocaetos são escrtas e teros de duas fuções, a saber: Gu F, βθ ;,, (55) ode Θ são fuções harôcas, F é ua fução escalar e β ua costate arbtrára a ser deterada Alcado-se o oerador lalacao e (55), obté-se a detdade:

74 5 Gu F βθ ;,,, (56),,, Lebrado-se que Θ é harôca ( Θ ) e que o coro ão está, subetdo a forças voluétrcas ( b ode ser escrta coo: ), a artr de (8) e (56) ua equação x F, u ν, ;,,, (57) Se a exressão dferecada e (57) coduz a u valor ulo, etão cocluse que a esa deede de x, e, é gual a ua costate: F, u, ξ ;,, ν (58) Arbtrado-se ξ e substtudo-se (58) a dervada de (55) e relação à dreção, logo, ua equação ode ser escrta coo: ( ν ) F, β, Θ ;,,, (59) Toado-se ua fução F escrta e teros de ua fução harôca h e do roduto tero etre as fuções vetoras x e Θ F x Θ h ;,, (6) Ao substtur-se (6) e (59), a costate β é deterada, sto é, ( ) β 4 ν Alcado-se o oerador lalacao e (59), e lebrado-se que Θ é harôca, logo ua equação barôca, que rereseta o desacolaeto das cooetes de deslocaeto, ode ser escrta coo: F, ;,,, (6) E WESTERGAARD(95), são vestgadas as EDPs de Galer (8) ara u esaço -desoal Fo roosto esse trabalho que as fuções de desacolaeto ode ser terretadas coo cooetes de u vetor etão

75 5 chaado de vetor de Galer L As cooetes de deslocaetos e desse vetor relacoa-se segudo: u G [ ( ) ν ] L, L, ( ) ν ; se ;,, (6) se ;,,, ode é a desão do roblea No caso bdesoal, o estado e questão é o EPT E MINDLIN (96, b), as fuções w assara a ser chaadas de cooetes do vetor de Paovtch Ua relação etre as cooetes dos vetores de Paovtch e de Galer fo etão escrta, o que ode ser verfcado coaradose (4) e (6), sto é: w ν ;,, G L (6) Nos caítulos subseqüetes serão dscutdas alguas reresetações tegras e suas resectvas dscretzações ara a odelage de estruturas olédrcas Essas equações tegras ode ser escrtas de tal fora que dos tos de robleas dsttos fca correlacoados: O rero é o róro roblea real, e o segudo é u vrtual, que sob alguas codções ad hoc, é deoado roblea fudaetal Na seqüêca, serão exostos algus robleas fudaetas assocados à elastostátca tr e bdesoal(chaas e lacas de Krchhoff ) 5)Probleas elástcos fudaetas Os robleas elástcos fudaetas caracterza-se or ateder duas codções báscas: a rera está assocada a EDP de equlíbro A seguda codção está vculada ao cao de tesões oblzado e u oto de teresse devdo à alcação de ua fote e outro oto do coro As EDPs de equlíbro dos robleas elastoleares subetdos a equeas deforações são reresetadas elas equações de Naver (8) Quato ao cao de tesões oblzado, deve satsfazer duas codções: a)quado a dstâca etre oto de alcação da fote e aquele ode é observado o seu efeto teder ao fto, as tesões esse oto deve teder a zero

76 5 b)as tesões deve ser ftas quado houver cocdêca dos otos de alcação e observação 5 Problea de Kelv trdesoal 5) Deslocaetos va vetor de Paovtch O roblea de Kelv trdesoal ode ser reresetado coo u coro esférco elastolear de rao fto evolvedo o oto de alcação da fote Para caracterzar esse roblea coo fudaetal, as codções báscas ostradas a seção 5 deverão ecessaraete ser satsfetas As equações goverates de equlíbro - ara ua fote b (,s) alcada e u oto, deoado de otofote, segudo ua dreção, e co seu efeto observado e u oto s, deoado de oto-cao, segudo ua dreção - ode ser escrtas a artr de (8) coo: u ν G (,s) u (,s) b (,s),, ;,,,, (64) Cofore descrto a seção 4, há ua terdeedêca de varáves as faílas de EDP a que (64) ertece; logo, é ster utlzar ua técca de desacolaeto Ass, as cooetes de deslocaetos e teros das cooetes do vetor de Paovtch ode ser escrtas a artr de (5): u d ( x d g) ;,,, 4( ν ) x (65) ode d são fuções vetoras harôcas de Paovtch U asso ortate agora é a escolha de ua fução ara d e outra ara g que ateda dvdualete às equações de Lalace e que satsfaça, a artr de (65), as codções do cao de tesões ara o roblea fudaetal, cofore descrto a seção 5 Arbtrado-se g, ua fução sles que verfca todas as codções ctadas aterorete é dada or: d δ ;,,, r (66)

77 5 ode r é a dstâca etre os otos cao e fote Substtudo-se (66) e (65), ua outra reresetação ara as cooetes de deslocaetos ode ser escrta coo: u [( κ ) δ κr r ],, ;,,, r ode κ / 4( ν ); r [ x ( s) x ( ) ]/ r, (67) Se for alcado o teror de ua esfera reresetatva do roblea ua carga cocetrada de tesdade P, segudo ua dreção e co seu efeto observado a dreção, ( ) b Pδ, s δ, ode-se calcular as resultates oblzadas o coro a artr das codções de equlíbro Tal rocedeto ode ser exlctado ela tegração da equação de Naver (64) sobre o doío esfera Ass, te-se: Ω ε da Ωε u, P ν ;,,,, G (,s) u, (,s) dω ε δ (,s) δ dω ε Ωε (68 ) Utlzado-se as roredades da dstrbução de Drac δ (,s), a equação (68) assa a ser escrta coo: (,s) u, (,s) dω ε δ u, ν ;,,,, G Ωε P (69 ) Lebrado-se que o teorea da dvergêca ara u cao vetoral χ é dado or: dvχ dω ε ( χ o ) d (7) ε Ωε ε ode são o cotoro e a oral a ele; o síbolo ( o ) dca roduto escalar e ε O teorea do gradete é u coroláro de (7) e ode ser escrto coo: ode o síbolo ( ) deota roduto tesoral χ dω ε ( χ ) d (7) ε Ωε ε

78 54 As relações (7) e (7) ode ser exressas alteratvaete e fução das cooetes, resectvaete, or: χ, dω ε χ d (7) ε Ωε ε Ωε ( χ ) dω ε χ dε (7) Alcado-se as relações (7) e (7) e (69), te-se ua exressão evolvedo aeas tegras sobre o cotoro da esfera: ε (,s) ( s) u, (,s) ( s) dε δ u, ν ;,,,, G ε P (74) Fazedo-se as devdas dervadas das cooetes de deslocaetos requerdas e (74), essas ode ser exressas coo: u, [ ( ) δ r ( δ r r r r r )] κ,, δ,,,, ;,,,, (75 ) r u, ( κ ) r, ;,,, r (76 ) Na esfera ode ser observada ua cocdêca etre as dreções do rao vetor e da oral à suerfíce de cotoro: r ;,, (77 ), Substtudo-se (77), (76) e (75) e (74), te-se que: ( κ ) P [( κ ) δ r, r, ] dε δ r, r, ;,,,, ν r r G ε Escrevedo-se (78) e coordeadas esfércas ( ε θ, φ ) (78 ), e sabedo-se que a relação de trasforação etre os dferecas é dada or d ε ε d θ dφ, essa tegral ara a suerfíce da esfera de rao ε ode ser escrta coo:

79 55 ( κ ) P [( κ ) δ r, r, ] ε dθdφ ε δ ππ r,r, ;,,,, ν G ε ε (79 ) ode o co-seo dretor r, e coordeadas esfércas é dado or r,,, seθ cosφ ; r seθ seφ ;r cosθ Fazedo-se a tegração dcada e (79) ara as três dreções evolvdas e lebrado-se que κ / 4( ν ), ua detdade ode ser escrta coo: P 4 π ; G (8) Se or vetura o equlíbro fosse verfcado ara u carga cocetrada utára alcada o lugar de P, bastara slfcar a equação (68) elo valor dado or P 4πG : u [( κ ) δ κr r ],, ;,,, 4πGr (8) Ao substtur-se o valor de κ utlzado e (67), obté-se o erel de deslocaeto usualete ecoado a lteratura: ( ν ) [( 4ν ) r r ] u δ 6πG r,, ;,,, (8) 5) Deslocaetos va trasforadas de Fourer Ua outra técca que ode ser alcada à resolução da EDP de Naver (64) é a trasforada tegral de Fourer ĝ f ( r) ara a fução f () r -que tede a u [ ] valor ulo quado r ou r - é escrta coo: ĝ π [ ()] ( ) ( ) r ς f r F ς f r e dr dr dr ;,, (8) ode ς é o doío trasforado de r ; é o úero agáro gual a Se a fução f () r δ (,s), a trasforada de Fourer é dada or:

80 56 π [ (,s) ] F( ) (,s) e r ς ς δ dr dr dr ĝ δ ;,, (84) Alé dsso, a trasforada da dervada de f ( r) e ua dreção geérca ode ser obtda ela tegração or artes de (84), de fora que ode ser exressa coo: ĝ x f ;,, x π ς () r [ f () r ] e r dr dr dr ς F( ς ) (85) Desde que as dervadas de ordes ferores da fução f () r ateda a codção de exstêca da trasforada de Fourer, as dervadas de ordes suerores ode ser obtdas eregado-se recursvaete a estratéga de tegrações or artes: x L xl x π r ς [ f () r ] e dr dr dr ( π ) ς ςl Lς F( ς) ;,, (86) ode é a orde da aor dferecação Toado-se as cooetes do deslocaeto fudaetal u coo f ( r), o cao trasforado ara seu lalacao e seu dv grad ode ser escrto a artr de (86), resectvaete, coo: u, () r 4π ς ς U ( ς ) 4π ς U ( ς ) u ;,,,, (87) dv grad ( u ) u ( r) 4π ς ς U ( ς ) ;,,,, (88), b Substtudo-se (87), (88) e (84) e (64), e ada sabedo-se que (, s) δ δ, a equação de Naver ode ser escrta o esaço trasforado coo: δ ς U ( ς ) ς ς U ( ς ) ;,,,, ν 4π G (89) Multlcado-se a EDP(89) ela cooete ς do esaço trasforado, ua relação ode ser reescrta coo:

81 57 ς U ( ς ) ( ν ) ς ( ) ;,,, 8π ν Gς (9) Levado-se (9) e (89), te-se o deslocaeto fudaetal escrto o esaço trasforado, sto é: U δ ς ς ς 4 ;,,, 4π G ς ( ν ) ς ( ) (9) A solução da EDP de Naver (9) o esaço trasforado ão é sufcete ara reresetar os caos físcos da elastcdade o sstea real rtvo, de fora que há ecessdade de fazer-se o retoro do esaço trasforado ara o rtvo Essa oeração é feta or eo da trasforada versa de Fourer, ĝ [ F( ς )] ode ser escrta ara robleas trdesoas coo:, que ĝ F ;,, [ F( ς )] f () r ( π ) ( ) r ς ς e dς dς dς (9) Ass, ara a obteção do erel dos deslocaetos o esaço rtvo é resolver a tegral forada da substtução de (9) e (9): u (,s) ĝ 4π G ς ĝ ς ς ( ) 4 ν ς ;,,, (9) Se essa tegração for efetuada dretaete o sstea de coordeada esférca, chegar-se-á a ua tegral róra, cua solução ão é trval Ass - e FOLLAND(99), CHEN & ZHOU(99), etc- estão descrtas alguas téccas tas coo as detdades de Bessel-Parseval, fuções Gaa, que são eregadas o tegrado de (9) e (9) Por eo das téccas ctadas os trabalhos aterores, a trasforada de Fourer de f () r ara u esaço trdesoal r ode ser escrta coo: ĝ r ( ) ας F ς ;,,, (94) Co

82 58 ( ) π α ;,,, (95) ode a fução gaa é defda coo ( ) dt e t z t z Se ao argueto z for acrescdo u valor te-se que: ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z L ; ara z, ( ) ( )! L ; z, π L Utlzado-se a roredade ( ) ( ) ς F ĝ r f e toado-se () r r f α tese ĝ ς dada a artr de (94) or: α ς r ĝ ;,,, (96) E (9), ua das trasforadas de teresse é dada or (94) e (95) co, sto é: r ĝ π ς ;,,, (97) Já a trasforada versa da seguda arcela e (9), 4 ĝ ς ς ς, ode ser obtda ela roredades da dferecação ( ) ( ) [ ] ς ς ς π ς F ĝ 4 F x x ĝ ode ( ) ς F é obtda atrbudo-se e (95) e (96) Ass, ve que: ( ) ( ) ( ),,, 4 r r r r x r x x ĝ δ π π π ς ς ς ;,,, (98) Substtudo-se (98), (97) e (9), te-se as cooetes do erel dos deslocaetos tal qual exresso e(8)

83 59 5) Tesões, deforações e forças de suerfíce O cao das deforações ode ser obtdo a artr de () e (8): ( ν ) [( ν )( δ r δ r ) r r r r ] ε,, δ,,,, 6π r G ;,,,, (99 ) Outro cao de teresse ara coletar a aálse do coro é o das tesões, que ode ser obtdo a artr da le de Hooe () e (99): ( ν ) [( ν )( δ r δ r r ) r r r ] σ,, δ,,,, 8π r ;,,,, () Alé da caracterzação dos caos o doío do coro, forças de suerfíce ode ser deteradas ela fórula de tesão de Cauchy (6) e (): ( ν ) [( ν ) δ r r ] ( )( r r ) { r },,, ν 8π r,, ;,,,, () 5 Problea de Kelv bdesoal 5) Deslocaetos va vetor de Paovtch O roblea de Kelv ara o caso bdesoal ode ser assocado a u dsco de esessura t e co rao fto evolvedo o oto de alcação da fote Para que esse roblea sea cofgurado coo fudaetal ele deve satsfazer as codções báscas dscutdas a seção 5 Ebora a reresetação de Paovch (65) teha sdo orgalete desevolvda ara cotelar os robleas trdesoas, ela ode ser alcada aos bdesoas utlzado-se o coceto de coefcete de Posso aarete dscutdo a seção Ass as cooetes de deslocaetos ode ser exressas or: u d κ ( x d g) ;,, x () ode κ ara o roblea bdesoal é dada ela exressão: ( ) κ / 4 ν () coν deotado o coefcete de Posso aarete dado e (5)

84 6 Ua fução vetoral harôca caddata ara reresetar os deslocaetos, que atede as codções fudaetas ara as tesões quado dferecada, ode ser escrta coo: d ( l r) δ ;,, (4) Alé dsso, se for arbtrado g, e substtudo-se (4) e (), te-se: ( ) l r r r u κ δ, ;,, (5), que: Substtudo-se (5) a equação de Naver bdesoal (7), te-se ν b tg u, u,,,,, (6) Pδ, s δ, Alcado-se o teror do dsco ua carga cocetrada ( ) cofore dscutdo a seção 5, o equlíbro e teros das resultates deve ser verfcado Co sso, ua detdade ode ser escrta: Ωε u, P (7) ν ;,,, tg Ωε (,s) u, (,s) dω ε δ (,s) δ dω ε b Utlzado-se as roredades do delta de Drac, os teoreas da dvergêca e do gradete, a equação (7) ode ser exressa o cotoro do dsco coo: (,s) ( s) u, (,s) ( s) dε δ u, ;,,, ν tg ε P (8) As dervadas e o dvergete das cooetes de deslocaeto resetes e (8) ode ser exressos, resectvaete, or u, [( ) δ r κ ( δ r r r r r )] κ,, δ,,,, ;,,, r (9)

85 6 u, ( κ ) r, ;,, r () Coo as dreções do rao vetor e da oral são cocdetes, etão: r ;, (), Substtudo-se (9), () e () e (8), ua exressão ode ser exressa or: ( κ ) ( κ ) r, r, δ dε δ ;,, ν r r tg ε P () Escrevedo-se (5) e coordeadas olares ( ε, θ ) e sabedo-se que a relação de trasforação etre os dferecas é dada or d εd θ, essa tegral ε ara o cotoro do dsco de rao ε ode ser escrta coo: ( κ ) ( κ ) π P r, r, δ ε dθ δ ;,, ν ε ε tg () ode os co-seos dretores r, e coordeadas esfércas são dados or r,, cosθ ; r seθ Efetuado-se o cálculo da tegral resete e (), te-se que: π P tg (4) Se o coro for subetdo a ua carga cocetrada utára, logo, a equação (7) deve reduzda or u fator gual ao verso P : [( κ ) l r r r ] u πgt δ,, ;,, (5) Substtudo-se o valor da costate () e (5) te-se: [( 4ν ) l r r r ] u δ,, 8π ( ν ) Gt ;,, (6)

86 6 5) Deslocaetos va trasforadas de Fourer Para os robleas bdesoas ode ser alcadas estratégas slares às dos trdesoas Ass, a EDP de Naver o esaço trasforado ode ser obtda a artr de (6), (84) e (85), sto é: δ ς U ( ς ) ς ς U ( ς ) ;,,, ν 4π Gt (7) Se (7) for ultlcada ela cooete ς do esaço trasforado, a EDP(7) ode ser reescrta coo: ς U ( ς ) ( ν ) ς ( ) ;,, 8π ν Gtς (8) Se (8) for levada e (7), te-se as cooetes do erel dos deslocaetos o esaço trasforado: U δ ( ) ς ς ς 4 ;,, 4π Gt ς ν ς ( ) (9) Tal qual o roblea trdesoal, os robleas laos há ecessdade de calcular as trasforadas versas de Fourer das arcelas de (9) ara se obter as cooetes do erel o esaço real rtvo E CHEN & ZHOU(99), relações aálogas a (94) ara o roblea bdesoal ode ser escrtas coo: ode ĝ [ l r ] F( ) βς ς () β () e ĝ 4 [ r l r] F( ) β ς ς () β π ()

87 6 Ao fazer-se as trasforadas versas e () e (), te-se que: [ ς ] l r (4) ĝ β 4 [ ς ] π r l r ĝ (5) x Para o cálculo da trasforada versa da seguda arcela e (9) ode- se utlzar a roredade da dervada ĝ F( ς ) 4π ς ς ĝ [ F( ς )] x, sto é: ĝ 4 ς ς ς 4π 4π 4π x x ( r lr) lr δ r r π,, ; (6),, Substtudo-se (6), (5) e (9), te-se as cooetes dos erels de deslocaetos exressos o cao real rtvo e dadas ela exressão (6) 5) Tesões, deforações e forças de suerfíce Alé dos deslocaetos, ua exressão ara seus gradetes ode ser escrta a artr da dferecação de (6): (,s) [( 4ν ) δ r δ r r r r r ] δ u u,,, x ( ) 8π ( ν ) Gtr,,, ;,,, (7) Já o cao das deforações ode ser obtdo a artr das relações do tesor de Cauchy () e (7): ε ( ν ) [( ν )( δ r δ r ) r r r r ],, δ 8π Gtr,,,, (8) Para falzar o roblea fudaetal de Kelv ara os estados laos, o cao das tesões ode ser obtdo a artr da le de Hooe (5) e (8), de fora que ua exressão ode ser escrta coo:

88 64 ( ν ) [( ν )( δ r δ r δ r ) r r r ] N tchεh,,, 4π r,,,h,,,,, ; (9) Alé da caracterzação dos caos o doío do coro, forças de suerfíce ode ser deteradas ela fórula de tesão de Cauchy (4) e (9): {( ν )( r r ) r [( ν ) δ r r ]} f N,,,,, 4π( ν ) r (),,,, 6) Problea fudaetal de lacas delgadas 6) Deslocaetos va solução dreta O roblea fudaetal do rege de flexão ode ser assocado a ua laca crcular de rao fto cuo oto-fote está colocado e seu cetro e cua EDP ode ser escrta a artr de (9): w, (,s) δ ;,, D () Utlzado-se as roredades do delta de Drac δ (,s), ara otos-fote e caos dsttos, () tora-se ua EDP barôca:, ;,, () w Ass, ara facltar as aulações ateátcas da EDP (), ode-se escrevê-la segudo o sstea olar de coordeadas Detre as relações clásscas etre oeradores escrtos o sstea de coordeadas retagulares e olares, te-se que o lalacao dado or: d dr r d dr () A artr de () e (), a EDP barôca ode ser reescrta e coordeadas olares coo:

89 65 4 d d d d ( w ) ( w ) dr 4 r dr r dr r dr (4) Ua faíla de soluções aalítcas dretas ara (4) ode ser escrta geercaete coo: C 4 r 8 w r l r ( C C ) C l r C4 (5) ode C,C,C e C4 são costates A artr da codção de setra, a rotação o oto sob o carregaeto dw alcado deve ser ula, e, dr r O coefcetec deve ser, obrgatoraete, gualado a zero; caso cotráro, a rotação e r é coduzda a u valor fto Para a deteração do coefcete C, é utlzada a codção de equlíbro das forças vertcas atuates e u círculo auxlar de rao r, cuo cetro é o oto de alcação da carga utára(vde fgura 7) o que coduz a segute relação: π V r (6) r V Fgura 7- Equlíbro o círculo auxlar A força equvalete de Krchhoff o cotoro do círculo auxlar ode ser escrta a artr de (4), (4) e (), sto é:

90 66 V Dr, d dr d dr r d dr ( w ) (7) Substtudo-se (6), (7) e (4), o valor do coefcete C ode ser escrto coo: C π D (8) Ass, substtudo-se (7) e (4), te-se o erel dos deslocaetos: w r r l r C 8πD 8 C4 πd (9) ode C, C são costates orudas da tegração defda da equação dferecal fudaetal A esses coefcetes ode ser atrbuídos valores arbtráros, oré STERN(979) e BEZINI(978) adota C e C Co sso, o 4 π D deslocaeto trasversal fudaetal (9) ode ser escrto coo: w r 8π D lr (4) Alteratvaete, DANSON(979) aresetou os segutes valores às costates C e C, de fora que o erel (4) tabé ode ser aresetado coo: w r 8π D l r (4) Cové otar que tato (4) coo (4) ertece à faíla de soluções fudaetas ara os deslocaetos trasversas de lacas de Krchhoff Ass, abas ode ser utlzadas a leetação da teora clássca de lacas va MEC

91 67 6) Deslocaetos va trasforada de Fourer A dervada de orde quatro de u fução f ( r), que atede às codções das trasforadas, ode ser dada a artr de (86), sto é: π r ς 4 [ f () r ] e dr dr ( π ) ςςlςς F( ς ) x xl x x ;, l,,, (4) Se (4) for substtuída e (), a EDP de lacas o esaço trasforado ode ser escrta coo: ς 6π 4 ς D ( ) W 4 (4) Utlzado-se a trasforada versa (5) e (4), te-se o erel dos deslocaetos trasversas o cao real rtvo exresso tal qual e (4) 6) Dervadas dos deslocaetos, esforços Alé dos deslocaetos trasversas, exste outros caos do roblea que ode ter codções de cotoro assocadas à teora clássca de lacas Ass, a seqüêca são aresetados esses caos ara o roblea fudaetal O erel da rotação oral θ ode ser escrto a artr da dferecação de (4), sto é: r θ w, ;, x, { w (,s) } r l r () s 4πD (44) Os erels dos oetos ode ser obtdos a artr da dferecação dula e (4) e da le costtutva de laca(), sto é: () () { } Klw,l Kl w ( ν ) l r ( ν )( r, ) x s x s 4π l [ ν ] ; (45) ν s Klw,lt Klt w ( tr, )( r, );,,,l, x 4π () () { s x s } l (46) Já o erel da cortate ode ser obtdo a artr da dferecação do lalacao de (4) e da relação (5):

92 68 q r, Dw, w ;,, x () () () { } s x s x s πr (47) O erel da força equvalete de Krchhoff ode ser escrto a artr da forca cortate(46) e da dervada drecoal tagecal do oeto volvete (46): s, V q t ( ν )( tr, ) x () s 4πr ν [ ν ] ( t r )( r ) r,, ;,, πr (48) ode / R é a curvatura do cotoro; t, são os co-seos dretores das dreções tagecal e oral o cotoro; r, é o co-seo dretor da dreção do rao vetor r

93 69 REPRESENTAÇÕES INTEGRAIS PARA PROBLEMAS ELASTOSTÁTICOS PLANOS ) Itrodução No caítulo ateror, fora descrtas tato as relações báscas da teora da elastcdade bdesoal e da teora clássca de lacas coo alguas soluções usuas ara seus resectvos robleas fudaetas Neste caítulo, as equações dferecas arcas de equlíbro dos estados laos e do rege de flexão são trasforadas e reresetações tegras edate a alcação de alguas estratégas, detre as quas, costa a Técca do Resíduo Poderado(TRP) e o Teorea da Recrocdade de Bett(TRB) Ass, co tuto de descrever a alcação de abas estratégas, este trabalho otou-se or eregar a TRP ara o rege de flexão e o TRB ara os robleas laos de tesão ou de deforação )Equações tegras de cotoro de chaas )Potos o doío As reresetações tegras ara os estados laos ode ser obtdas or eo da alcação dreta do TRB os caos tesoras dos robleas real e fudaetal: Ω ( S ) ε (,S ) dω ε ( S ) N (,S ) dω N ;,,, () Ω ode os erels ε e N estão exressos e (8) e (9) Toado-se ada as detdades N ε N u,, u, N ε N e substtudo-as e (), ode-se escrever a segute equação: Ω ( S ) u (,S ) dω u ( S ) N (,S ) dω N,, ;,,, () ode o erel u, está dcado e (7) Ω Ao tegrar-se or artes (), te-se a segute relação:

94 7 N ( s) u (,s) d N ( S ) u (,s) dω u ( s) N (,s) d Ω Ω, (,S ) u ( S ) dω N ;,,,, () Alé dsso, a EDP de equlíbro do roblea fudaetal, que está subetdo a u carregaeto cocetrado utáro coo: N δ (,s ) δ, ode ser escrta δ(,s ) δ ;,,, (4), Substtudo-se as relações de Cauchy (4), a EDP de equlíbro do roblea real (6), e aquela do roblea fudaetal (4) e (), te-se outra reresetação tegral que ode ser escrta coo: f () s u (,s) d b ( S) u (,s) dω u ( s) f (,s) d Ω Ω ( S) δ(,s) δ dω u ;,, (5) Sabedo-se que as roredades da dstrbução de Drac são dadas or : ( S ) dω δ u ( ) u ( ) δ (,S ) δ u ;,, (6) Ω e co a substtução de (6) e (5), te-se a detdade de Soglaa ara robleas elástcos bdesoas, sto é: u ( ) f (,s) u () s d u (,s) f ( s) d u (,S ) b ( S ) dω ;,, (7) Ω ode f e u rereseta os erels relatvos às forças de suerfíce e aos deslocaetos que estão exressos resectvaete e () e (6) Outra equação tegral a ser escrta é dos gradetes de deslocaetos, que ode ser obtda a artr da dferecação da reresetação tegral dos deslocaetos(7): u, ( ) f (,s) u ( s) d u (,s) f ( s) d u (,S) b ( S) dω ;,, (8) Ω

95 7 ode f e u são os erels relatvos às dervadas das forças de suerfíce e deslocaetos e ode ser exressos or: f (,s) x [,,, ] r [ δ r δ r ( ν) δ r 4r r ]},,, {( ν) δ δ δ r ( r r ) ( ) 4π( ν), r, r,,,,,, r, r ; (9) (,s) [( 4ν ) δ r δ r r r r r ] δ u u,,, x ( ) 8π ( ν ) Gtr,,, ;,,, () Alé das reresetações tegras ara os deslocaetos e seus gradetes, as equações tegras ara as tesões ode ser obtdas a artr da substtução de (8) o tesor de Cauchy () e a le de Hooe(5), sto é: N ( ) s (,s) u ( s) d d (,s) f ( s) d d (,S) b ( S) dω Ω ;,,, () ode os erels s e d são dados or: s Gt tcl fl r, [( ν ) δr, ν ( δr, δ r, ) 4r, r, r, ] π( ν ) r ( r r r r ) ( ν )( r r δ δ ) ( 4ν ) },, (,s),,,, { ν δ,, ;, () ( ν ) [( ν )( δ r δ r δ r ) r r r ] d (,s) tclul,,,,,, ;,,, () 4π r ) Potos o cotoro A detdade de Soglaa é válda ara otos do doío Quado o oto fote é colocado e u oto do cotoro, há ecessdade de u artfíco ateátco ara equacoar-se tal oto Ua estratéga que te sdo eregada or dversos esqusadores BREBBIA(978), BREBBIA & WALKER(98), VENTURINI(98) e outros- é adcoar u setor de círculo o oto, e co sso, o cotoro assa a ser, coo ostrado a fgura Co essa c ε odfcação, o oto assa a ertecer ao doío Ω, ortato, equação (7) ode ser utlzada: ( ) u (,s) f () s d f (,s) u ( s) d u (,S) b ( S) ε u dω;,, (4) ε ΩΩΩ ε

96 7 ε A f de retorar ao cotoro rtvo basta, e ada subdvddose os tervalos de tegração e e ε, o cálculo das tegras desses tervalos ode ser escrto, resectvaete, coo: d ε s _ ε φ ε _ Fgura - Poto fote stuado o cotoro ( ) () ( ) () c l u ( ) ( ) Ω ε,s f s d f,s u s d u,s b S d ;,, ΩΩ (5) ( ) ( ) c lε u,s f d f,s u d u (,S) b ( S) dω ;,, ε ε Ωε (6) Utlzado-se o coceto do valor rcal de Cauchy e (5), essa equação ode ser reduzda a: (,s) f ( s) d f (,s) u ( s) d u (,S ) b ( S ) dω u c ;,, (7) Ω Já a detdade dcada e (6) ode ser dvdda e duas artes, cosstdo a reseça ou ão de sgulardades fortes As arcelas co sgulardades fracas tê os valores ulos ara seus ltes, quado o rao tede a zero: ε (,s) f ( s) d lε u ;,, (8)

97 7 Ω ε (,S ) b ( S ) dω lε u ;,, (9) A arcela que te o erel das forças de suerfíce f areseta ua sgulardade forte Ass, ara suerar essa descotudade a tegração, ode ser utlzado u artfíco de soar e subtrar o eso tero auxlar: l (,s)[ u ( s ) u ( )] d lε f (,s) u ( ) d ε f ;,, ε ε () Assudo-se válda a codção de Hölder ara os deslocaetos, sto é: u () s u ( ) Bε α ;,, () ode B e α são úeros ostvos E substtudo-se () o rero tero de (), te-se o valor ulo ara o lte quado o rao tede a zero: (,s) Bε α d lε f ;,, () ε Já a seguda arcela de () ode ser calculada or eo de: ( ν ) δ 4( υ ) θ r, r, lε d u ( ) C φ u ( ) ;,, θ () Co a substtução de (), (7) e (4), a detdade de Soglaa ode ser reresetada or: C u ( ) f (,s) u () s d u (,s) f ( s) d u (,S) b ( S) dω ode o tero lvre Ω C é exresso tal qual e HARTMANN(98): ;,, (4)

98 74 C 4 ode (α α α π π se α 8π ( ) ( ) ( ) se α se α se α ν 4π ν α α se α se α ( ) ( ) ( ) se α se α ν π 8π ν α, (5) ) rereseta os âgulos das dreções tagecas do cotoro ateror e osteror à agulosdade dcados a fgura α α X Fgura -Âgulos resetes e Tal qual ara a reresetação tegral dos deslocaetos, ao levar-se o oto fote ara o cotoro ocorre sgulardades os erels das equações tegras dos gradetes dos deslocaetos Ass, utlzado-se técca aáloga àquela descrta ara os deslocaetos, sto é, aós a subdvsão dos tervalos de tegração e e ε, ua relação ode ser escrta coo: ode ( ) C δ δ u ;,,, l, (6) l,l c 4c c (,s) u () s d u (,s) f ( s) d u (,S) b ( S) dω f ΩΩ ;,,, (7) (, s) u ( s) d u (, s) f ( s) d u (, S) b ( S) dω f 4 c ;,,, (8) ε ε Ωε

99 75 Ao ser toado o lte do rao ε, a f de recuerar-se o cotoro rtvo, e ada utlzado-se o coceto de valor rcal de Cauchy(vc) e de Hadaard (vh)e (7), ode-se escrever a segute relação: c l f (,s) u ( s) d u (,s) f () s d l u(,s) b ( S) dω Ω ΩΩ (9) (,s) u ( s) d u(,s) f( s) d u (,S) b ( S) dω f Ω ;,,, Icororado-se e (8) u oveto de coro rígdo de valor ( ) essa equação ode ser reescrta coo: u, 4 c l f (,s) [ u ( s) u ( ) ] d u (,s) f ( s) d ;,,, ε ε () Adtdo-se váldas as codções de Hölder ara os deslocaetos e forças de suerfíce, as segutes exasões a vzhaça do oto-fote ode ser exressas or, GUIGGIANI(998): f α [ ] O( ) () s u ( ) u ( ) x ( s) x ( ) u,l l l r ;, l, () α () s tc u ( s) tc u ( ) O( r ) ;, h,, l, () hl h,l hl Se (), co r [ x ( ) x ( ) ] r, l l ua relação ode ser exressa or: l h,l, e () fore substtuídas e (), ou 4c l f,l,l ε ε (,s) r r u ( ) d u (,s) tc u ( ) hl h, l 4 c l X l (,s) u, l ( ) d ;,,, l, ε d ;, h,, l, () (4) ode o erel X l é exresso e DONG & GEA(998) coo:

100 76 X l (,s) r r f (,s) tc u (,s) ( ν ) {( 5 8ν ) δ r r,l hl h,, l 8π r ( 4ν ) δ r r ( ν ) δ r r ( 7 4ν ) δ r r δ r r l,,,,l,,l l,, (5) ν 6 r, r, r, r,l l, r, l ;,,, l, ν [ 4( ν ) δ r δ δ ] Calculado-se as tegras e (4) ara u cotoro suave, te-se que: ode X ( ) r X (,s) l π X l l,l ε ε ( φ ) εdφu ( ) δ u ( ) 4c δ l φ l, l ;,,, l, (6) Co sso, a artr de (6), (9) e (6), te-se a reresetação tegral ara otos colocados sobre cotoros suaves, sto é: D l u,l f (,s) u ( s) d u (,s) f ( s) ode as cooetes do tesor D l são dadas or: Ω u (,S ) b ( S ) d ;,,,, l, dω (8) D l l δδ ;,,, l,, (9) As reresetações tegras das resultates de tesão o cotoro requere u trataeto aálogo ao alcado ao caso dos gradetes de deslocaetos, ua vez que as ordes das sgulardades resetes tê as esas característcas Ass, () ode ser exressa slarete à (6): l l ( ) δ δ N ;,,, l, (4) t 4t Ass, a artr da relação costtutva (5), as cooetes dos erels dos gradetes de deslocaetos deve ser austadas ara o cao das tesões: t l s (,s) u ( s) d d (,s) f () s d l d (,S) b ( S) dω Ω ΩΩ (4) (,s) u ( s) d d (,s) f ( s) d s ;,,,, l,

101 77 O tero 4t ara os casos de cotoro suave, equvalete ao 4c, ode ser escrto coo: 4 t l s ε ε (,s) u ( s) d d (,s) f ( s) d (4) l ε f (,s) r r N ( ) d u (,s) t C N ( s),l l ε hl h l d ;,,,, l, A artr da coaração de (4) co (), ode-se coclur que as arcelas da tegração de 4t são slares às de 4c Desta fora, substtudo-se (4), (4) e (4), te-se a reresetação tegral de tesões ara otos-fote e cotoro suave dada or: ( ) s (,s) u ( s) d d (,s) f ( s) d d (,S) b ( S) Dl Nl dω;,,,, l, (4) ode D l ode ser escrto coo e (9) Ω )Carregaetos exteros dstrbuídos e lha e cocetrados (estados laos) Alé das ações exteras alcadas dstrbuídas o doío bdesoal da chaa, outras odaldades de carregaetos ode estar resetes o roblea, tas coo os udesoalete dstrbuídos e os dscretaete alcados (carregaetos cocetrados) A f de esteder as reresetações tegras (4), (8) e (4) ara cotelar esses casos, é ecessáro que aeas o tero de doío sea austado à ação extera e questão Ass, a força voluétrca b, referda as equações tegras dscutdas as seções aterores deste caítulo, ode ser subdvdda cofore a desão de seus resectvos doíos de alcação: b ( S ) δ Ωl δ b, se S Ω b ( B d es ) ( S,l) b ( l) dω ( l), se l Ω ( U d es ) L ( S,c) F ( c) l l, se c for u oto (44)

102 78 E (44), utlzado-se as roredades do delta de Drac ara o carregaeto alcado e lha, te-se: b ( S ) δ ( S,l) b ( l) dω b ( S ) L l Ωl Substtudo-se (44) o tero de doío de (4), te-se a segute relação: L Ω u (,S ) b ( S ) dω u (,S ) b ( S ) dω u (,S ) b ( S ) dω Ω Ωb (,S ) δ ( S,c) F ( c) dω Ωl u ;,, L (45) Coo F () c é ua varável deedete o últo tero de (45), essa arcela ode ser reescrta coo: u (,S ) δ ( S,c) F ( c) dω F ( c) u (,S ) δ ( S,c) dω ( S ) Ω ;,, (46) Ω Alcado-se as roredades do delta de Drac o últo tero de (46), e sedo e seguda substtuído e (45), te-se a tegral de doío cotelado os três tos de carregaetos e suas resectvas regões de alcação, sto é: Ω u (,S) b ( S) dω u (,S) b ( S) dω u (,S) b ( S) dω u (,c) F( c) Ωb Ωl L ;,, (47) Para as reresetações tegras dos gradetes de deslocaetos(8) e das resultates de tesão(4) ode ser alcado u rocedeto aálogo, de fora que o tero de doío dessas ode ser escrto resectvaete coo: Ω Ω u d (,S) b ( S) dω u (,S) b ( S) dω u (,S) b ( S) dω Ωb (,c) F ( c) Ωl u ;,,, (,S) b ( S) dω d (,S) b ( S) dω d (,S) b ( S) dω Ωb (,c) F ( c) Ωl d ;,,, L L (48) (49)

103 79 4)Reresetações tegras dos estados laos o sstea de referêca local Na lteratura, as reresetações tegras ara os robleas laos e trdesoas, e geral, são aresetados utlzado-se u sstea de referêca global ( x, ) x Cotudo, e alguas stuações, ode ser as atratvo adotar-se ssteas dsttos ara exressar as cooetes dos caos (de deslocaetos, de deforações e das resultates de tesão) assocadas ao oto-fote e ara as varáves ao cotoro Ass, esta resete forulação otou-se escrever as reresetações tegras ara os estados laos de tal fora que o oto-fote os deslocaetos são escrtos segudo ua dreção geérca q e as varáves do roblea são exressas segudo às dreções tagecal τ e oral η ao cotoro Substtudo-se (47) e (4), a reresetação tegral dos deslocaetos ode ser escrta coo: q λu q ( ) q ( ) f (,s) Q ( s) v ( s) d q ( ) u (,s) Q ( s) t ( s) d K ( ) u (,S) b ( S) d q ( ) u (,S) g ( S) dω L q ( ) u (,S) F ( S) Ω Ω Ω ;,,, L Nfc (5) ode λ é o coefcete lvre de tegral co valores deedetes da regão de colocação do oto-fote( λ, oto o teror; λ, oto o exteror; λ / ara oto sobre cotoro suave); v e t são os deslocaetos e as forças de suerfíce escrtos as dreções do sstea ( τ, η) ; ( ) u q é o deslocaeto do oto-fote segudo a dreção q, que ode ser reresetado or u u ( ) q ( ) que q ( ) está assocado ao co-seo dretor de q Vde fgura E (5), Q () s é a atrz de trasforação, etre os ssteas (, ) ( τ, η), que ode ser escrta coo: Q ( s) ( s) τ ;, q e x e x (5) Q ( s) ( s) η ;, (5) Já as rotações o lao da chaa, e, a dervada drecoal segudo ua dreção, de ua cooete de deslocaeto a dreção q, ode ser escrta coo: u ( ) u ( ) q ( ) u ( ) q ( ) ( ) ; q,,,,, (5)

104 8 x x g L Ω L F q b L r Ω L u s v v u t x s t x Fgura - Esquea reresetatvo da chaa A artr de (5), (8) e de (48), a reresetação tegral das rotações o lao da chaa e que as varáves do cotoro estão o sstea local de coordeadas ode ser escrta coo: q q λ u ( ) q ( ) f ( s) ( ) Q ( s) v ( s) d θ q,, ( ) u (,s) ( ) Qr ( s) t r ( s) d q ( ) u (,S ) b ( S ) dω ( ) u (,S ) ( ) g ( S ) d q ( ) u (,K ) ( ) F ( K ) Ω L ;,,,r, L Ω ode Ω r r (54) q e são co-seos dretores de q e e relação a ( x, ) λ / é o tero lvre de tegral ara oto de colocação e cotoro suave x θ )Equações tegras de lacas delgadas )Potos de doío De ua aera sucta, a técca do resíduo oderado ode ser descrta coo ua estratéga de or u valor ulo ara o resíduo oderado édo global do roblea causado ela adssão de soluções aroxadas ara as equações dferecas do roblea e cada oto do roblea

105 8 Se o doío de u roblea (or exelo, u coro elástco) for coosto de artes dscretas e R ( ) for o resíduo devdo à adssão de ua solução aroxada da EDP e cada oto Alé dsso, se U ( ) for toada co a fução oderadora desse oto e ada se as codções essecas(deslocaetos) e as aturas(forças) fore leaete satsfetas e suas resectvas regões defdas sobre o cotoro do coro, o resíduo oderado édo global roblea ode ser calculado coo: R R () U () U () R do (55) Se o resíduo édo oderado global for osto ulo e (55), te-se a equação da TRP deste roblea: () U () R (56) Aalogaete ao caso ateror, a equação da TRP ara robleas de doíos cotíuos x ode ser escrta coo: ( x) U ( x) dx R (57) x No etato, se for adtdo que as codções essecas e aturas ão são satsfetas, sto coduzrá a resíduos o cotoro do coro Ass, os resíduos do cotoro deverão ser troduzdos a exressão (57), resultado e: x R ( x) U ( x) dx r f ( x) d x r u( x) d x x x (58) ode x, x são as regões relatvas ao doío e ao cotoro do coro; a exressão do resíduo das codções essecas é dada or r u u, sedo defda e x e u deota deslocaeto rescrto e f ( x) é a fução de oderação de r Aalogaete, Já x r, t deotado força rescrta e ( x) t t é a exressão ara as codções aturas defdas e u é a fução de oderação de r Toado-se a EDP do roblea real de lacas delgadas(9) e a fução oderadora reresetada elo erel de deslocaeto(4); as varáves de cotoro w, θ,,v e R são oderadas resectvaete elos seus caos c

106 8 fudaetas duas, sto é V,, θ, w e wc Ass, te-se a equação da TRP aáloga à (58) escrta coo: Ω [ ] [ Dw ( S ) g( S )] w (,S ) dω [ w( s) w] q (,s) (,s) R c, s,t d [ θ () s θ ] (,s) d V ( s) [ V ] w (,s) d (,s)( w wc ) [ ( s) ] (,s) d w (,s)( R R c ) c θ ; c c (59) ode,, e c,,n c é a regão do cotoro ode as codções essecas ( w w, θ θ ) são cohecdas; deota a regão e que as codções aturas ( V V, ) são cohecdas A cortate de Krchhoff, coo dscutda o caítulo, ode ser exressa coo V q detdade: Fazedo-se a tegração or artes a rera arcela de (59), te-se a s, t D w, () s w (,s) d D w ( ) w (,S) dω g( s) w (,s) dω Ω, [ w() s w] q (,s) (,s), [ ] d s,t [ θ () s θ ] (,s) d V ( s) Ω [ V ] w (,s) d (6) R c (,s)( wc wc ) wc (,s)( Rc R c ) [ () s ] θ (,s) d ;,, co: A equação (6) ode ser exressa de ua aera as cocsa coo: () s w (,s) d D w, ( ) w, (,S) dω D w, I Ω (6)

107 8 I g() s w (,s) dω [ w( s) w] q (,s) (,s) Ω [ θ () s θ ] (,s) d V ( s) [ ] d s,t [ V ] w (,s) d [ () s ] (,s) θ d ;,, Substtudo-se (5) e (7) e (6), te-se que: () s w (,s) d, ( ) w, (,S ) dω I q Ω (6) ;,, (6) Itegrado-se or artes a tegral de doío do lado esquerdo de (6), ua ova detdade ode ser escrta coo: () s w (,s) d ( s) w (,s) d ( ) w (,S) dω I ; q,, Ω,, (64) A artr das relações (9) e () e (), o teorea da recrocdade de Bett ara lacas delgadas ode ser escrto coo: Ω ( S ) w (,S ) dω (,S ) w ( S ) dω,, ;,, (65) Levado-se (65) e (64), ve que: q I Ω () s w (,s) d ( s) w (,s) d Ω (,S ) w ( S ) dω, ;,, (66), Alcado-se coveeteete duas tegrações or artes a arcela da tegral de doío do lado dreto de (66), ua relação ode ser escrta coo: q () s w (,s) d ( s) w (,s) d I () q (,s) w( s) d w ( s) (,s) d (,s) w( S) dω w s, ;,,, escrta:, Ω (67) Co o auxílo de relações trgooétrcas, a segute detdade ode ser s s δ ;,, (68) A soa dos ares(oeto-rotação) o sstea de referêcas do cotoro ( s,) ode ser exressa o sstea global (, ) x a artr da relação: x

108 84 s t, ( s s ) θ θ w ;,,, (69) Se (68) for substtuída e (69), ua outra detdade ode ser escrta: θ θ w ;,, s t, (7) Substtudo-se (7) e (67), ua reresetação tegral evolvedo esforços, deslocaetos e rotações o cotoro, alé dos carregaetos real e fudaetal o doío, ode ser escrta coo: [ w() s q (,s) θ () s (,s) θ t ( s) s (,s) ] d w( S), (,S) dω Ω q () s w (,s) ( s) θ (,s) ( s) θ (,s) d I [ s t ] (7) Cofore dscutdo o caítulo, os esforços q e ão ode ser s deterados sultaeaete as hóteses da teora clássca de lacas Ass fo roosto or Krchhoff o coceto de força cortate equvalete e que esses dos esforços são escrtos e fução de u úco, que está dcada a exressão (6) Alcado-se a tegração or artes a tercera arcela da rera tegral do lado dreto de (7), te-se que: s () s θ (,s) d () s w (,s) t β [ s ] w (,s) s () d β s (7) t ode ( β, β ) são as coordeadas das extredades dos cotoros cotíguos a u cato da laca Substtudo-se (6) e (7), te-se que: () s θ (,s) d () s w (,s) β [ ] w (,s) V () s q () s s β [ ] d s t (7) Levado-se (7) e (7), obté-se: [ w() s q (,s) θ () s (,s) θ t ( s) s (,s) ] d w( S), (,S) dω Ω R ( S) w (,s) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) d I c β ode R () [ ()] c s s s β c [ ] (7) Se a seguda arcela de (6) for tegrada or artes, a detdade I ode ser reescrta coo:

109 85 Ω I g() s w (,s) dω [ w( s) w] q (,s) Ω [ θ () s θ t ] (,s) d w( s) t [ θ () s θ ] (,s) d V ( s) s d β [ w] s β [ V ] w (,s) d [ () s ] (,s) θ d ;,, Ao substtur-se (75) e (74), te-se que: [ ] d ( ) (,S ) dω w q (,s) θ (,s) θ t (,s) w S R c, [ w() s q (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) (,s) ] d ( S ) w (,S ) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) c t [ ] d [ V w (,s) θ (,s) ] d g(,s ) w (,S ) dω Ω s s (75) (76) Sabedo-se que as codções essecas e e que as codções aturas e são cohecdas, a equação (76) ode ser escrta e ua fora geérca ua vez que Ass, ve que: [ w( s) q (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) (,s) ] d w( S) (,S ) dω R c ( S ) w (,S ) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) c t s [ ] d g( S ) w (,S ) dω ; Ω Ω, (77) c,,n c A equação de equlíbro do roblea fudaetal de lacas - aalogaete à (8) - é dada or g, co, δ ( s, ) g reresetado o carregaeto do roblea fudaetal Substtudo-se essas relações e (77) e ada utlzado-se as roredades da dstrbução de Drac, a equação tegral dos deslocaetos ara otos do doío ode ser escrta coo:

110 86 w [ ] d ( ) w( s) q (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) (,s) R c () s w (,s) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) c Ω g [ ] d ( S ) w (,S ) t s dω ; c,, Nc (78) Alé dsso, se ara o tero sθ t d fore alcados rocedetos aálogos aos descrtos as equações (7) e (7) ara a tegral relação ode ser escrta coo: (,s) θ ( s) d (,s) w ( s) β [ ] w( s) [ V (,s) q (,s) ] d s β θ d, ua s t (79) Se (79) for substtuída e (78), te-se a reresetação tegral cohecda coo detdade de Raylegh-Gree: s t w [ ] ( ) w( s) V (,s) θ ( s) (,s) d w ( s) R (,s) R c [ ] d () s w (,s) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) c Ω g ( S ) w (,S ) dω ; c,, Nc c c (8) Tato a equação(78), este trabalho deoada de detdade traraétrca, quato a detdade de Raylegh-Gree(8) ode ser escrtas e ua reresetação tegral cou: w [ ] [ ] ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θ t ( s) β (,s) d wc ( s) γ c (,s) R () s w (,s) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) d c c Ω g ( S ) w (,S ) ode ( β γc ) ( q s ) ( α β γ ) ( V R ) dω ; c,, Nc (8) α, ara Reresetação traraétrca(rtp); c c, ara Reresetação de Raylegh-Gree(RRG) Alé dsso, está assocado ao ote-fote; s e S são os otos-cao assocados ao cotoro e ao doío, resectvaete; V, q, e s são os esforços do cotoro assocados à força equvalete de Krchhoff, força cortate, oeto fletor e oeto volvete, resectvaete; R c é a reação de cato; w, θ e t θ são os

111 87 resectvos deslocaetos trasversas, rotações oras e tagecas ao cotoro; Nc, R c dca o úero de catos e as reações sobre eles, vde fgura 4 x g L g g F x u r L s t x Fgura 4- Carregaetos resetes a laca Dferecado-se a equação tegral dos deslocaetos trasversas(8) segudo ua dreção geérca, a reresetação tegral ara as dervadas drecoas dos deslocaetos ode ser escrta coo: w, [,, t, ] d ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) w c [ ] d ( s) µ (,s) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) R c c, () s w (,s) g( S ) w (,s) dω ; c,, Nc c, Ω ode ( α β µ ) ( q ), RTP; ( α β µ ) ( V R ),, c, s,,,,, c, c, (8), RRG E (8), u dos rocedetos ara a obteção das dervadas drecoas e ua dreção geérca dos erels de (8) ode descrto toado-se, or exelo, a dferecação de q : q, (,s) ( r, r, );,,, (8) π r Ass, os deas erels ode ser obtdos de fora aáloga ao da dervada drecoal da força cortate w, q, (8) e seus valores ode ser escrtos coo: r ;, (84) 4πD, (,s) r l r

112 88, t, (,s) [( r )( r ) ( ) l r] θ,,, ;,,, (85) 4 π D (,s) {( ν )( r ) ( ν )( r )( [ ) ( r )( r )]} 4πr,, ν (,s) {( )( t r ) ( t )( r ) ( r )( r )( t r )} π 4 r,,,,, (, s) ( ν )( s r )[ 4( r )( r )( s r ) ( s )( r ), { q, q,, t, t, V 4πr ν ( )( [ ) ( r, )( r, )]} s r, t r πrr ode D é o ódulo de flexão da laca; r ν ( )( [ ) ( r )( s r )] oto cao s;,t q,q,,, ;,,,, (86) ;,,, (87) ;,,q,t, (88) é a dstâca etre o oto fote e o R é a curvatura do cotoro; r, é o co-seo do rao vetor r ; e t são as cooetes da dreção oral e tagecal ao cotoro o oto s Alé das reresetações tegras dos deslocaetos trasversas e seus gradetes, ua outra equação tegral que ode ser escrta é ara as curvaturas, a artr da dferecação e ua dreção geérca q da equação (8), sto é: w, q [ ] d ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s),q,q ς (,S) w ( S) V () s w (,s) ( s) θ (,s) c c t,q [ ] d g( S) w (,S),q,q ; c,,,nc Ω,q dω ode ( α β ς ) ( q ), RTP; ( α β ς ) ( V R ),q,q c os erels são dados or: q,q,q s,q,q (,s) [ r q r q r ( q 4r r q )],q c,q c,q (89), RRG;,,,,, ;,,, (9) π r, q (, s) {( ν )( q r, r, q ) ( ν )[, q 4πr ( q r r q )( r ) r r ( r q r )]},,, α, β,,, α α, α α, β β,, ;, (9) s,q r ν (,s) { [ rγ tγ ( r q r q ) r β β ( r q t r q α tα ),,,,,, 4πr r t ( q 4r r q )] ( q t q t )};,,, α, β, γ,, α α, β β,, α α α α (9) w (,s) { r r q q l r},, ;,,, (9) 4 π D, q

113 89 θ,q (,s) {[ r r q q ] r r q r q },,,, τ τ, β β γ γ ; 4πrD,,, α, β, γ, τ, { 4 ν [ V,q (,s) ( ν )( sr, ) [ 4 r, q r, lr, l 4πr ( r, q r, q q ) ] 4( ) r, s ( s q sq ) 4r, ( r, s q r, sq )] 4( ν ) r, ss q ( ν ) r ( q 4 r r q ) r q r q [,,,,, ]} ν s r, r, q ( s r, slr,l );,,,l, πrr (94) (95) A reresetação tegral dos oetos fletores e volvetes, assocados aos exos de referêca arbtráros (,q), ode ser obtda utlzado-se as relações costtutvas da teora clásscas de lacas(4) e a equação (89): q,, d ( ) q ( ) ( ) w( s) µα (,s) θ ( s) µ (,s) q θ t, µςc () s µβ (,s) d q ( ) t ( ) (,S) R ( S) ( ) t ( ) V () s µ w (,s) () s µθ (,s) d,, c (96) q ( ) t ( ) R c ( S) µ wc, (,S) q ( ) t ( ) g( S) w, (,S) Ω µ dω ; c,,, Nc ; ode ( µα µβ µς ) ( µ q ), RTP; ( µβ µς ) ( µv µ R ),, c, µ s, µα, RRG;,, c, c, os erels são dados or: ( ν ) ν µ w, l r ( ) δ r, r, 4π ν ;,, (97) {( ν ) δ r, ( )[ r, r, r, r, ] } µθ, ν 4πr, ;,,, (98) µ, ( ν ) ( ν ) δ ( ν ) D 4πr { r r ( ν )[ r ( r,,,, r ] ( v) ( r ) ]} r r r ;,,,,,,, δ, (99)

114 9 µ, α α, ( ν ) ( ν ) δ δ ( ν ) D 4πr {[ δ r r ] ( ν )[ δ r r α, α,, α,, α,,,,,, α ] ( ν )( δ δ δ δ ) ( ν ) δ r r } δ r r δ r r 4r r r r α ;,,, α, α α,, () {( ν )[ r r r r r ] ( ν ) δ r } D µ q,,,,,,, ;,,, () πr { [ D (,s) ( ν )( s r ) 4 r { δ ν ( ν ) r r } µ V,, l,l,, 4πr 4{ ( ν )( r, r, ) ( ν ) r,l lδ }] 4( ν ) r, s [ ( ν ) s ( -ν ) s 4r, {( ν ) r, s ( ν ) r, s}] 4( ν ) r, [( ν ) ss νδ ] ( ν )[ r {( ν ) δ 4( ν ) r r } ( ν ) r ( ) r ]} ν s r { s r [ δ ν ( ν ) r r ]( s )};,,,l,,,,, ν,,,,, l r,l () πrr A força cortate segudo a dreção ode ser obtda ela dervação do Lalacao dos deslocaetos e relação à dreção : q Dw, tt ;,t, () ode a reresetação tegral ara a dervada do lalacao dos deslocaetos ode ser obtda da dferecação de (89): w ( ) w( s) α (, s) ( s) (, s) d, tt, tt θ, tt θ t () s β (,s) d ς (,S ) R ( S ),tt,ttc c (4) V () s w (,s) () s θ (,s) d,tt (, ) w ( S) g( S) w ( S) c tt c, tt, Ω R, dω ; c,,, Nc ; ode ( α β ς ) ( q ), RTP; ( α β ς ) ( V R ),tt,tt c,tt,tt os erels são dados or:,tt s,tt q, tt (,s),tt, tt, tt, ttc, tt c, tt, RRG; ; t, (5) [ ] ν (,s) r r 4r ( r ),,, α α, β β ;,,, α, β, (6) πr

115 9 s,tt ν (,s) [ 4r r t r r t t r ],,,,, ;,,,t, (7) πr (,s) ( r r ) θ,tt,, ;,,t, (8) πdr w,tt (,s) r, ;,t, (9) πd r V,tt ν (,s) { 4( r s ) ( 6r r ) 4r ( s s r r ),,,,l l,, 4 πr v r, s r, s r, s l r,l ;,,,l,t, π Rr } ( ) { } () )Potos o cotoro Se o oto-fote for levado ara o cotoro, ocorre sgulardades os erels Co sso, alguas téccas são ecessáras ara suerar este coveete aalogaete àquelas utlzadas os robleas de chaas Ua das téccas, descrta e PAIVA(987) e OLIVEIRA NETO(998), cosste e escrever a reresetação tegral de lacas sobre u ovo cotoro defdo coo dcados a fgura 5 Ass, a equação (78) ode ser alterada ara: ε w [ t ] d ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) ε [ w() s α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) ] d γ ce (,S ) we ( S ) γ cd (,S ) wd ( S ) [ V () s w (,s) ( s) θ (,s) ] d [ V () s w (,s) ( s) θ (,s) ] d R ( S ) w (, S ) ε Ω Ω R ce ( S ) we (,S ) Rcd ( S ) wd (,S ) ( S ) w (,S ) dω g( S ) w (,S ) dω ;,, - g Ωε t ()

116 9 ode R, R rereseta as reações de cato ateror e osteror à agulosdade; ce cd w E, wd são os seus resectvos erels ; da esa fora γ E,γ D estão assocados ao erel γ c s d ε d β φ φ _ ε e _ Fgura 5-Cotoro auxlar Quado o rao ε de ε tede a zero, te-se que e Ω Co sso, () o lte ode ser escrta coo: w [ ] d ( ) l w() s α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) l ε ε [ w() s α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) ] d l e l [ R (,S ) w ( S ) R (,S ) w ( S )] ce l E [ V () s w (,s) ( s) θ (,s) ] d ε ε [ V () s w (,s) ( s) θ (,s) ] d ( S ) w (, ) l Rce ( S ) we (,S ) Rcd ( S ) wd (,S ) R S e de t [ ] ( S ) w (,S ) dω l g( S ) w (,S ) dω l g Ω Ωε Ω Ω Ωε ;,, - D t ()

117 9 O cálculo dos ltes evolvedo as tegras defdas sobre o cotoro, a equação (), coduz a resultados equvaletes aos valores das róras tegras defdas sobre o cotoro, sto é: l l [ w() s α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) ] d [ V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) ] d l t g Ω Ω Ω ( S ) w (,S ) dω [ w() s q (,s) θ () s (,s) θ t ( s) s (,s) ] d g( S ) w (,S ) dω Ω () Ass, resta os ltes das tegras defdas sobre o cotoro auxlar ε Utlzado-se o artfíco de adcoar e subtrar o deslocaeto trasversal w ( ) e as s rotações [ w( ), w( ) ] às suas equvaletes o oto cao w, w θ, w θ t ; ua detdade sobre o cotoro auxlar ode ser s aresetada coo: l ε ε [ w() s w( ) ] α (,s) θ ( s) w( ) (,s) d l ε ε θ t s () s w( ) β (,s) w( ) α (,s) d (4) l s ε ε (,s) w( ) β (,s) w( ) d Adtdo-se válda as codções de Hölder, os ltes das três reras tegras e (4) tora-se ulos Ass, essa equação assa a ser escrta coo: w( ) α (,s) (,s) w( ) β (,s) w( ) d s s (5) ε As rotações oral e tagecal ode ser escrtas e fução de dreções geércas ( q, u q ) dcadas a fgura 4 coo:

118 94 w w s ( ) ( ) se cos ( φ γ) cos( φ γ) ( φ γ) se( φ γ) Substtudo-se (6) e (5), te-se que: l 4π ε ε [( ν) lε ( ν ) r ν] se( φ γ ), w( ) w( ) u ( ) w q cos ( φ γ ) ν w ( ) ( ) w ( ) ( ) r, s, cosφ γ seφ γ d ε l α w( ) d ε l ε ε 4π q u ε ε ( ) (6) w d ε u (7) A artr de relações geoétrcas dcadas a fgura 5, ode-se coclur que r, e r, s Co sso,, ode ser escrta coo l w( ) dε ε ε V q, de fora que a últa arcela e (7) r π ε E, ada, utlzado-se da relação d ε ε dφ, a detdade e (7) assa a ser escrta coo: π β w( ) (8) π Substtudo-se (8), () e (), a reresetação tegral geral ara o deslocaeto trasversal ode ser exressa or: w R [ ] d γ (,S) w ( ) ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) S [ ] c ( S) wc (,S) V () s w (,s) ( s) θ(,s) d g( S) w (,S) t Ω c dω c ; c,, Nc (9) β ode o tero lvre de tegral é dado or π Tal qual a reresetação tegral do deslocaeto trasversal, há ecessdade de vestgar-se as sgulardades que ocorre a reresetação tegral das dervadas drecoas do deslocaeto trasversal, ao levar-se o oto-fote ara o cotoro Ass, ode-se utlzar de u rocedeto aálogo ao eregado a reresetação tegral dos deslocaetos, sto é, aós o acolaeto de u setor crcular auxlar co cetro o oto sgular do cotoro rtvo e a dvsão desse cotoro e (, ε ), as tegrações ode ser estudadas dvdualete e cada ua dessas regões

119 95 O cálculo dos ltes das tegras(8) sobre ode ser toado coo os valores rcas das tegras defdas sobre o cotoro, sto é: w, [ ] d ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) l ε ε,, [ w() s α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) ] d l, ε l, t t, [ R (,S ) w ( S ) R (,S ) w ( S )] ce E [ V () s w (,s) ( s) θ (,s) ] d ε ε l ε Ω, cd, D, [ V () s w (,s) ( s) θ (,s) ] d,, [ R ( S ) w (,S ) R ( S ) w (,S )] ce ( S ) w (,S ) dω cd g, ; c,, Nc () Subetedo-se a laca a u oveto de coro rígdo de valor gual a w( ), vde fgura 6, a equação () ode ser rearesetada coo: w, { } d ( ) [ w( s) w( ) ] α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) l ε ε l ε l ε, {[ w() s w( ) ] α (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) β (,s) } d, { γ (,S ) w ( S ) w( ) γ,s w S w } ce R,, [ ] ( )[ ( ) ( )] E cd D t t, γ c c ( S ) wc, (,S ) V ( s) w, (,s) ( s) θ, (,s) [ R ( S) w (,S) R ( S) w (,S) ] ce E cd, (,S ) w ( S ) [ ] d D Ω ( s) w (,s) dω g, ; c,, N c c () Os ltes ão-ulos das tegras defdas sobre o cotoro auxlar ε e () ode ser exressos coo: l l ε ε ε θ t ε [ w() s w( ) ] α (,s) θ ( s) w( ) (,s) d s, () s w( ) β (,s) (,s) w( ) β (,s) w( ) d l ε,,,, s { γ (,S )[ w ( S ) w( ) ] γ (,S )[ w ( S ) w( ) ]} ce E cd D ()

120 96 Adtdo-se coo váldas as codções de Hölder, a seguda e a tercera arcela de () tora-se ulas, de fora que assa a ser escrta coo: l ε ε [ w() s w( ) ] α (,s) (,s) w( ) β (,s) w( ) d l ε,,, s { γ (,S )[ w ( S ) w( ) ] γ (,S )[ w ( S ) w( ) ]} ce E cd D () w f w w - w f w f, w f _ φ r ε ε q _ Fgura 6-Moveto de coro rígdo ara a obteção do tero lvre Ou a artr da fgura 6 ou através da exasão de Taylor, é ossível escrever a segute relação geoétrca o cotoro auxlar: w ( s) w( ) εw ( ), (4) Substtudo-se (4) e () e ada co r ε, r, s, os teros evolvdos ela tegral resultate ode ser rescrtos coo: ar, l εw ε 4πε l ε b 4πε, 4πε ( ) ( ν) r w ( )] d s,, ( ν ) s w( ) dε ode ( a,b) (,), RTP; ( a,b) ( -ν,) s,rrg ε e, (5) A artr da fgura 5, ode-se deduzr que r se( φ γ ), e cos( φ γ ); o dferecal do cotoro d εdφ e substtudo-se essas relações e (6) e(5), te-se que: e

121 97 ( a ν) π l 4π ε b 4π π ε β [ se ( φ γ ) w se( φ γ ) cos( φ γ ) w ] dφ ( ν ) l cos ( φ γ ) w se( φ γ ), β [ ] dφ Aós o cálculo das tegras resetes e (6), te-se que: [ a ν ( ν) b] ( ) ( ) π w, 8π β [ a ν ( ν ) b] {[ se( β γ ) seγ ] w ( ) cosγ cos( β ) w ( ) } 6π,, γ,u,u (6) (7) Na detdade descrta e () ada resta as arcelas lvres de tegral: { γ (,S )[ w ( S ) w( ) ] γ (,S )[ w ( S ) w( ) ]} l ε ce E cd D (8) γ ε ε ζ u µ s e - D β E e s e- α Φ d s d- ϕ d- s d D - E e- Fgura 7-Potos aterores e osterores aos catos Ass, assa-se agora a exaar os dos catos defdos ela terseção do setor de círculo co o cotoro rtvo, vde fgura 7 A rera arcela assocada ao rero cato ode ser escrta coo: γ [ ] εw ( ) e e (,S )[ w ( S ) w( ) ] (,S ) (,S ) ce E s, s,, µ (9)

122 98 ode, são os erels das dervadas dos oetos volvetes osteror e e e s s ateror ao cato E Para o oto ateror ao rero cato, a artr da fgura 6, te-se que µ e µ, que, se substtuídos a exressão (87), esse e erel ode escrto coo: e s, s e (,S ) ( ν ) Φ 4πε ;, () ode Φ é o co-seo dretor da oral ao cotoro o oto ateror ao cato E, vde fgura 7 Para o oto osteror ao cato E, te-se as relações µ e µ, s e e que, quado levados e (87), te-se que: e s, (,S ) ( ν ) Φ 4πε ;, () Ass, outra relação ode ser escrta ara o rero cato, substtudo-se () e () e (9): γ ν ;, () π (,S )[ w ( S ) w( ) ] Φ w ( ) ce E, µ Aalogaete ao trataeto do cato E, as relações geoétrcas ara os otos ateror e osteror ao cato D ode ser escrtas coo ( ξ, s d ξ ) Se essas relações fore substtuídas e (87), te-se os erels - d ateror e osteror ao segudo cato- escrtos coo: d s, d s, (,S ) (,S ) ( ν ) α 4πε ( ν ) ϕ 4πε ;, () ;, (4) ode ϕ é o co-seo dretor da oral ao cotoro o oto osteror ao cato D A artr da fgura 7, ode ser otado que α te oretação oosta à de ϕ, de fora que ua relação etre esses co-seos ode ser escrta coo α ϕ Ass, a seguda arcela de (8) ode ser exressa a artr da substtução de (4), () e (87) or:

123 99 γ cd ν [ s, s, ] εw, ξ ϕ w, ξ d d (,S )[ w ( S ) w( ) ] (,S ) (,S ) D Alé dsso, as dervadas drecoas w, µ e (5) π w, ξ ode ser escrtas e fução do sstea (,u) a artr de relações geoétrcas coo, vde fgura 7 ( ) seγ cosγ ( ) se( γ β ) cos( γ β ) ( ) ( ) w, µ w, (6) w, ξ w,u Co o auxílo de (6) e das relações Φ cosγ e ( γ β ) ϕ cos, a relação (8) ode ser reescrta coo: {[ se ( γ β ) se γ ] w, ( ) [ cos γ cos ( γ )] w, u ( ) } (7) 4π β Ao substtur-se (7), (7) e (4), te-se que: [ a ν ( ν ) b] ( ) ( ) π w, 8π β [ a ν ( ν ) b4d] {[ se( β γ ) seγ ] w ( ) cosγ cos( β ) w ( ) } 6π ode ( a,b,d ) (,,), RTP; ( a,b,d ) ( -ν,, ), γ,rrg,u (8) Se a exressão (8) for levada e (), a reresetação tegral da dervada drecoal dos deslocaetos ode ser escrta coo: w, ( ) 4w, ( ) u [ w() s α (,s) θ ( s), (,s) θ t ( s) β, (,s) ] d γ c (,s) Rc ( s),q [ V () s w (,s) () sθ (,s) ] d R ( s) w (,s) g( S) w (,s),, c c, dω,,, ; Ω c Nc (9) ode os teros lvres de tegral ara a reresetação traraétrca(rtp) ode ser escrtos coo: ( ν ) [ se γ se ( γ β )] β (4) π 8π ( ν ) [ cos γ cos ( γ β )] 4 (4) 8π

124 Se a reresetação tegral for a de Raylegh-Gree(RRG), esses teros lvres assa a ser exressos or: ( ν ) [ se γ se ( γ β )] β (4) π 4π ( ν ) [ cos γ cos ( γ β )] 4 (4) 4π Quado a dreção geérca é artcularzada ara a dreção oral a regão do cotoro ode o oto-fote está locado, a RRG ara a dervada dos deslocaetos ode ser escrta coo: R c, w, [ ] d ( ) w ( ) w( s) V (,s) θ ( s) (,s) 4,s, [ ] d R ( s) w (, ) (,s) w ( s) V ( s) w (,s) ( s) θ (,s) c s Ω g, () s w (,s) dω,,, c,, Nc ode e 4 estão dcados e (4) e (4), c c, (44) Se a reresetação tegral for a traraétrca, as dervadas segudo as dreções oral e tagecal (, ) ao cotoro ode o oto-fote está colocado s ode ser exressas resectvaete or: w, [ ] d ( ) w ( ) w( s) q (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) (,s) 4,s,, t s, [ V () s w, (,s) ( s) θ, (,s) ] d Rc ( s) wc, (, s) Ω g () s w (,s), dω, c,, Nc (45) w [ ] d ( ) w ( ) w( s) q (,s) θ ( s) (,s) θ ( s) (,s),s 4,,s,s t s,s [ V ( s) w,s (,s) ( s) θ,s (,s) ] d Rc ( s) wc,s (,s) g( s) w,s (,s) d Ω Ω ;c,, Nc (46) ode e 4 estão dcados e (4) e (4) Ass coo as reresetações dos deslocaetos e as suas dervadas drecoas, quado o oto-fote é colocado o cotoro, ocorre sgulardades os erels das reresetações tegras das curvaturas, dos oetos e da força cortate Cofore dscutdo aterorete, aós a utlzação de alguas estratégas,

125 os teros lvres de tegral ode ser ftaete obtdos ara as reresetações tegras de cotoro ara os deslocaetos e suas dervadas drecoas Todava ara os caos das curvaturas e dos esforços, as ordes das sgulardades tora-se as severas Na lteratura, certos esqusadores tê descrto alguas estratégas alteratvas ara exlctar as reresetações tegras de cotoro desses caos utlzado-se rcalete as téccas cohecdas coo regularzação uérca e aalítca Ebora tas téccas sea efcetes o abradaeto das sgulardades as crítcas, e geral elas troduze odfcações as varáves rtvas do roblea Ass, este trabalho, otou-se ela ão utlzação das reresetações tegras de cotoro dos esforços o roblea de lacas; e cotraartda utlzara-se outras estratégas cohecdas ara escrever a reresetação algébrca do roblea, que estão descrtas o caítulo 4 ) Ações alcadas learete dstrbuídas e cocetradas(lacas) As tegras de doío ara carregaetos exteros alcados e dstrbuídos e lha ou cocetrados ara lacas delgadas ode ser escrtas de aera aáloga ao aresetado a seção Ass, o carregaeto extero g ( S ) ode ser subdvddos as três regões de alcação, vde fgura 4: g ( S ) δ Ωl g( S ), se S Ω b ( B d es ) ( S,l) g () l dω () l g ( S ), se l Ω ( U d es ) δ L ( S,c) F( c) l L l, se c for u oto (47) A artr de (9) e (47), o tero de doío da reresetação tegral de deslocaetos cotelado essas ações ode ser escrto coo: Ω (,S) g( S) dω w (,S) g( S) dω u (,S) b ( S) dω F( c) u (,S) δ( S,c d )Ω w L (48) Ωb Ωl Utlzado-se as roredades do delta de Drac e (48), te-se que: Ωl

126 Ω w (,S) g( S) dω w (,S) g( S) dω u (,S) b ( S) dω w (,c) F( c) Ωb Ωl L (49) Por eo de u rocedeto aálogo ao alcado o tero de doío de (9), os resectvos teros das reresetações tegras da dervada drecoal dos deslocaetos(9), das curvaturas(89), dos oetos(96) e da dervada drecoal do lalacao de deslocaetos(4) ode ser exressos or: (,S) g( S) dω w (,S) g( S) dω w (,S) g ( S) dω w (,c) F( c) w,,, L Ω Ωb Ωl (,S) g( S) dω w (,S) g( S) dω w (,S) g ( S) dω w (,c) F( c) w, q,q,q L Ω Ωb Ωl,,q (5) (5) (,S) g( S) dω µ w (,S) g( S) dω µ w (,S) g ( S) dω µ w (,c) F( c) µ w (5) L Ω Ωb Ωl Ω w (, S) g( S) dω w (, S) g( S) dω w (, S) g ( S) dω w (, c) F( c), tt, tt, tt L Ωb Ωl, tt (5)

127 4 REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS DOS PROBLEMAS ELÁSTICOS 4)Itrodução Neste caítulo, as reresetações tegras ara os estados laos e ara lacas delgadas descrtas o caítulo são dscretzadas E aós o cálculo das tegrações resetes, as reresetações algébrcas são calete escrtas searadaete ara os estados laos e o rege de flexão Tabé são dscutdas alguas abordages alcadas às aroxações das varáves E seguda, as reresetações algébrcas são adatadas ara cororar robleas laares as sles coostos or eleetos-base colaares de rgdezes dsttas A artr de etão, a técca de acolaeto é estedda ara estruturas ão-colaares Esses rocedetos são descrtos ara a forulação tetraaraétrca(tp) e ara a hexaaraétrca(hp) 4) Reresetações tegras dscretzadas 4) Dscretzação As soluções aalítcas ara as equações tegras (5), (54), (9) e (9) estão dsoíves ara oucos casos artculares Ass, arte-se ara soluções uércas Etretato, essas requere que o cotoro do roblea sea dscretzado, sto é, dvddo e u úero fto de regões eores, que são deoadas de eleetos de cotoro E geral, quado há reseça de teros cotedo tegras de doío, ua das téccas que ode ser alcada é a dscretzação do doío Ω e regões eores, células, vde fg 4 x x x Ω L Ω x x Fgura 4- Dscretzação de cotoro e de doío

128 4 Ass, as reresetações tegras dscretzadas de chaas assocadas às equações (5) e (54) (de acordo co a forulação adotada) ode ser aresetadas coo: C Nel T T ( ) U ( ) F Φ d U ( s) U Φ d P ( s) Ncel T U Ψ Ω Nel c T cc d Ω B ( S ) U Θ d Ω B ( S ) U F ( S ) Ncell Ωl ode é o úero de ós do eleeto ; L L Nf c (4) c e cc são os resectvos úeros de ós da célula co carregaetos alcados e área e e lha; Nel, Ncel e Ncell são os resectvos úeros de eleetos de cotoro, de células das regões subetdas a carregaetos alcados e área e e lha; Φ, Ψ e Θ são as resectvas atrzes coostas or fuções teroladoras T T T das varáves de cotoro e das forças voluétrcas alcadas e área e e lha Na reresetação (4), os vetores -ésos P e U estão assocados às varáves do cotoro(forças e deslocaetos, resectvaete); os vetores -ésos B e c B estão assocados às ações exteras alcadas dstrbuídas e área e cc L learete, resectvaete; as atrzes F e U estão assocadas aos coutos de erels de forças e deslocaetos, resectvaete Já as reresetações tegras dscretzadas de lacas, (9) e (9), ode ser aresetadas coo: Nel Nel Nc T T ( ) W( ) c Φ d W () s d Φ d V () s r () s w g g g cel cell NFC T c wgψ dω G g L L Ω Ω L T c ( S ) w Θ dω G ( S ) F ( ) w (4) E (4), os vetores -ésos V e W estão assocados às varáves do cotoro(esforços e deslocaetos, resectvaete); os vetores -ésos G e estão assocados às ações exteras alcadas e dstrbuídas e área e learete, c G cc L

129 5 resectvaete; as atrzes c e d estão assocadas aos coutos de erels de esforços e deslocaetos, resectvaete; g W é o vetor assocado ao erels dos deslocaetos dos catos 4) Aroxação das varáves do roblea Neste trabalho, otou-se or duas abordages ara a terolação das varáves a forulação HP: a rera cosste e alcar-se as esas fuções de fora tato ara os deslocaetos e rotações quato ara os esforços e forças de suerfíce Na seguda abordage são eregadas terolações aálogas ara esses últos, cotudo, as fuções aroxadoras ara os deslocaetos e rotações são escrtas de tal aera que cotele tabé ordes suerores as terolações Já a forulação TP será eregada aeas a rera técca do odelo de HP 4) Iterolações a forulação Hexaaraétrca Na seqüêca, são descrtas as téccas eregadas a abordage HP ara a obteção da reresetação algébrca utlzado-se ua esa fução teroladora ara as varáves dos robleas de chaas e lacas Adtdo-se ua fução teroladora lear ara a geoetra do roblea, resulta e: x x x x x x ϕ ϕ ϕ ϕ ; (4) ode x, x são as resectvas coordeadas das extredades cas e fas do eleeto Adotado-se ua terolação é soaraétrca ara o roblea de lacas, e, as varáves são aroxadas elas esas fuções utlzadas ara a geoetra: t t t w w w θ θ ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ θ θ ; (44) ϕ ϕ ϕ ϕ V V V ; (45)

130 6 Note que o odelo HP, o vetor dos deslocaetos de lacas é forado or u deslocaeto e duas rotações (oral e tagecal ao cotoro) Ass, substtudo-se (44) e (45) e (4), as reresetações tegras dscretzadas de lacas ode ser escrtas coo: ( ) ( ) ( ) { } Nel s,,, s,,, s,, W d q q q w w w I c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ξ ξ ξ µ µ µ µ µ { } c Nel Nc,,,,,, g g g R w w w V d w w w ξ µ ξ ξ µ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ (46) ode I é a atrz detdade; c é o tero lvre de tegral que recebe o valor utáro ara otos-fote o doío; E cotoros suaves seu valor é c e e forulações regulares recebe valor ulo Os deas vetores tê e (46) ode ser reresetados coo: { } ( ) t t T w w w θ θ θ θ (47) { } ( ) T V V V α α (48) ( ) ϕ ς ; ( ) ϕ ς (49) As fuções teroladoras ϕ dcadas e (49) são defdas a artr de coordeadas adesoas, cofore dcadas a fgura 4 ς ς ϕ ϕ Fgura 4- Fuções teroladoras leares Os graus de lberdade reaescetes da lâa laa assocados ao roblea de chaas ode ser terolados de aera aáloga aos de lacas:

131 7 θ ν ν ϕ ϕ ϕ θ ν ν ϕ ϕ ϕ θ ν ν z z z ; (4) t t t t t t ϕ ϕ ϕ ϕ ; (4) Cové otar que o vetor de deslocaetos deslocaeto e chaas é coosto or dos deslocaetos (tagecal e oral ao cotoro) e or ua rotação oral ao lao édo, este trabalho chaada de rotação zetal Substtudo-se (4), (4) e (4), as reresetações tegras de chaas ode ser escrtas coo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Nel,s s U d Q q Q q Q R Q R Q R Q R u u u I c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Nel b b b P d Q q u Q q u Q u R Q u R Q u R Q u R (4) ode: { } ( ) z z T U θ ν ν θ ν ν (4) { } ( ) T t t t t P β β (44) Alé da aálse soaraétrca, é dscutdo o erego de fuções aroxadoras dsttas ara a obteção das atrzes de fluêca do roblea o odelo HP Os deslocaetos oras da chaa são aroxados or eo de ua terolação cúbca evolvedo os valores odas de deslocaetos e de suas dervadas tagecas: z 4 z u θ φ ν φ θ φ ν φ (45) ode as fuções de fora φ estão dcadas a fgura 4 e ode ser escrtas coo: ς ς φ ; ( ) L ς ς ς φ ; ς ς φ ; ( ) L 4 ς ς φ (46) ode L é o coreto do eleeto de cotoro

132 8 φ φ ς / ς / 4L/7 φ φ 4-4L/7 ς L L Fgura 4- Fuções Iteroladoras φ Já os deslocaetos tagecas são escrtos co a esa terolação eregada a aálse soaraétrca lear: us ϕν ϕν (47) As rotações o lao da chaa ode ser exressas a artr da dferecação de (47): u,s φν φθ z φν φ4θ z (48) ode as fuções de fora φ, dcadas a fgura 44, ode ser escrtas coo: 6 φ ς( ς ) ; φ ς 4ς L ; 6 ς L ( ς ) φ ; φ ς( ς ) 4 (49) Ressaltado-se que as terolações ara as forças de suerfíce são aálogas a da abordage soaraétrca lear A artr da substtução de (46), (47), (48) e (49) e (4), a reresetação tegral dscretzada de chaas assa a ser escrta coo:

133 9 us c I u u,s ( ) ( ) ( ) ( R ) ( ) Nel Q R Q ( R Q ) ( R Q ) ( q Q ) ( q Q ) ( R ) ( ) Nel uq Ru Q ( RuQ ) ( RuQ ) ( q u Q ) ( q u Q ) ϕ φ φ φ φ ϕ φ φ φ4 d φ 4 { U } ϕ ϕ b ϕ ϕ d { P } b ϕ ϕ b (4) ς φ /(L) -/(L) φ ς / / / / φ φ 4 -/ ς -/ ς L L Fgura 44-Fuções teroladoras Ua terolação aáloga ao roblea de chaas ode ser alcada aos deslocaetos e rotações da laca, sto é: w φ φ w φθ t φw φ4θ t (4) θ ϕθ ϕθ (4) θ w w t φ φ θ t φ φ4θ t (4) As terolações ara os esforços são aálogas ao caso soaraétrco lear Ass, substtudo-se (45), (4)-(4) e (4), a reresetação tegral dscretzada de lacas assa a ser exressa coo:

134 ( ) ( ) ( ) { } Nel 4 4 s,,, s,,, s,, W d q q q w w w I c φ φ φ φ ϕ ϕ φ φ φ φ ξ ξ ξ µ µ µ ξ µ { } c Nel Nc,,,,,, g g g R w w w V d w w w ξ µ ξ ξ µ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ (44) ode ( ) ( ) w, θ µ e ( ) ( ) w t, θ ξ Os vetores deedetes, ( ) T g g g e (44) e ( ) T b b b e (4), são obtdos ela tegração dos carregaetos exteros dstrbuídos e área e e lha sobre suas resectvas regões de alcação E lacas, esse vetor ode ser escrto coo: ( ) ( ) NFc,, L Ncell,, Ncel,, F w w w d S g w w w d S g w w w g g g ξ µ Ω ξ µ Ω ξ µ Ω Ω (45) 4) Iterolações a forulação Tetraaraétrca Na aroxação das varáves o odelo TP é utlzada a terolação soaraétrca lear Ass, eregado-se ua reresetação slar do vetor dos esforços (4) ara seu resectvo vetor dos deslocaetos, a reresetação tegral dscretzada de chaas(5) ode ser escrta coo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } Nel s U d Q R Q R Q R Q R u u I c ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) { } ϕ Nel P d Q u R Q u R Q u R Q u R b b (46) ode os vetores e (46) são dados or: { } ( ) T U ν ν ν ν L (47) { } ( ) T t t t t P L (48) Aalogaete, as equações tegras dscretzadas de lacas, (9) e (9), ode exressas a artr da alcação de terolação slar e(45) ara seus resectvos deslocaetos:

135 w c I w, ( ) ( ) µ w V { W } Nel Nc ϕ d V, µ, µ θ w N c { V } R c Nel ϕ d w,, w θ µ, µ µ R R c c, µ g g W (49) ode I e c tê as esas defções dcadas a seção (4) Os vetores e (49) são exressos coo: T { w } ( w θ L w θ ) (4) T { V } ( V L V ) (4) 4) Trasforação das tegras de doío ara o carregaeto Alguas tegras defdas sobre o doío Ω d de ua regão assocada a ua célula d ode ser trasforadas e outras equvaletes que evolve aeas tegrações ao logo de seus cotoros dcel E PAIVA(987), fo roosta ua técca ara o roblea de lacas e que o doío fo dscretzado e células tragulares devdo à grade adatabldade às geoetras olgoas; alé dsso, fo adtdo que u carregaeto extero learete dstrbuído atuava sobre o doío de cada célula Na seqüêca, são ostradas as etaas utlzadas a trasforação das tegras de lacas e de chaas eregado-se os rocedetos descrtos o trabalho de Pava ublcado e 987 A artr das hóteses descrtas aterorete, a tegral de doío e o carregaeto ode ser exressos resectvaete or: h d gw dω d (4) g Ωd g ( S ) A x ( S ) B x ( S ) C ( S ) s s (4) ode x são as coordeadas do oto S o sstea ( x, x ) e o vetor dos s, xs erels dados or W ( w w w ) T g, ϖ, ε Através de ua traslação de ssteas de referêca, as coordeadas do oto s ode ser escrtas e relação a u sstea ( x, x ), e e seguda, subetedo-se

136 ua trasforação desse últo ara o sstea olar ( r,θ ), o carregaeto ode ser escrto coo: ode: g ( ) A r cos θ B r seθ D ( ) D ( ) A x ( S ) B x ( S ) C ( S ) s s (44) (45) Por eo do Jacobao de trasforação, a relação etre os dferecas e coordeadas cartesaas e olares é dada or: dω d rdrdθ (46) A artr de (4)-(46), a cotrbução da tegral evolvedo o carregaeto dstrbuído e área ode ser dada coo: θρ ( r cos θ B r s e θ ) r dr d θ hd wg A D (47) Coo o vetor resultado e: w é ua fução de r, a equação (47) ode ser tegrada, g θ ( ρ) h λ d θ d (48) ode ρ é o valor de r o cotoro da célula A artr de relações geoétrcas, vde Fgura 45, ode-se escrever que: d γ r θ d dcel ;, ode γ é o versor oral ao cotoro de ρ Ω d (49) A artr de (48) e (49), obté-se a tegral o cotoro da célula: γ r, hd λ ( ρ ) d dcel ;, (44) ρ dcel U dos valores de ( λ λ λ ) T λ evolvedo a equação tegral dos deslocaetos trasversas ara o roblea de lacas é dado or: 4 ρ λ r 4π D ode ρ, r,, ( A r B r )( lρ 7) r ( 4lρ ),, D ρ 8πD, ;, (44)

137 x x _ x ρ _ x dr d r rd c a s Ω ρ d d dcel b d d dcel a c s ρ d r d dcel d ρ b Fgura 45- Esquea reresetatvo da tegração sobre a célula Já os valores assocados às equações tegras das dervadas drecoas ode ser escrtos e fução de: a ρ 64πD D ρ ( ) r r ( A r B r )( 4lρ ) r r ( lρ ),,,,,, 6πD,, ; (44) Ass, os valores λ,λ fca deterados a artr do oeto que ua dreção esecífca é atrbuída a -o caso de oto-fote o cotoro essas dreções são µ, ξ resectvaete : λ a( µ ); λ a( ξ ) (44) E chaas, as tegras de doío ode ser tratadas de aera slar à técca descrta aterorete Aeas u fato deve ser ressaltado: é quato à reseça do vetor w e (4), que deve ser substtuído elo vetor equvalete do g roblea de chaa u Ass, as cooetes de λ ode ser escrtas coo: g c ode: g 8π r ρ Gt ( ν ) λ R g R g ;,,, c ρ ( 4ν ) δ lρ r r ( A r B r ) D,,,,,,, ; (444) (445)

138 4 λ c qr, α α 8π Gt ( ν ) [( 4ν ) δ r δ r δ r r r r ] D ρ( A r B r ),,,,, α,,,,,,, ; (446) As cotrbuções, devdo ao carregaeto extero alcado e lha, ara os vetores deedetes ode ser calculadas de fora aáloga às téccas eregadas a obteção das atrzes de fluêca, sto é, dvde-se a curva reresetatva da lha de carga e segetos de retas ou arcos eores, assocado-se a eles ua quatdade de otos odas coatível à fução reresetatva do carregaeto alcado Neste trabalho, são aalsados casos e que o carregaeto e lha sea, o áxo, learete dstrbuído e a geoetra da curva de alcação será terolada or células udesoas retas Ass, a cotrbução da tegração de ua célula ode ser escrta coo: h L w G w, µ Ω Ω L w, ξ L ( ϕ ) ϕ d L GL ode as fuções teroladoras ϕ estão exressas e (49) (447) 4) Reresetações Algébrcas 4) Cálculo das tegras Ao fazer-se a trasção da reresetação tegral ara a algébrca, as tegras resetes o roblea dscretzado deve ser calculadas, e geral, utlzado-se ua técca uérca 4) Itegração sgular Quado o oto-fote estver cotdo o eleeto e que a tegração está sedo realzada, ocorre sgulardades Ass, ua alteratva utlzada ara o cálculo das tegras esses casos é o rocedeto aalítco que é descrto a segur As fuções teroladoras ϕ, vde fgura 47, são dadas or: ϕ ς L ( b ); ϕ ( b ς ) (448) L

139 5 O cálculo ao logo do eleeto sgular ode ser subdvdo e dos tervalos ara os ltes de tegração: q, ϕ d ς πr L πr L a b ( )( b ς ) dς ( )( b ς ) dς ς ;, (449) ϕ ς ς -a b -a b ϕ Fgura 47-Fuções teroladoras leares ara o eleeto sgular A artr da oretação da varável ς, te-se que ς r a arte egatva do exo assocado a ς, e ς r a arte ostva Fazedo-se ua udaça de varável ara arte egatva κ ς, a exressão(449) ode ser escrta coo: q, ϕ d κ πκ L πr L a b ( )( b κ ) dκ ( )( b ς ) dς ς (45) E (45), exste dos tegrados cotedo sgulardades do to fraca e forte, as quas serão calculadas utlzado-se o coceto de Parte Fta de Hadaard(PFH), que será ostrado a segur: α t dy α dy l β ( y t) β t ( y t) ( β t) ( α t) (45) ode > Para os casos e que, a arte fta de Hadaard assa a ser exressa or: ode t < α α t dy l α dy ( y t) ( y t) β l ( β t) l( α t) (45)

140 6 Nas tegrações dos erels te-se tegrados slares a (PFH) ode t Co sso, ode-se fazer ua udaça de varáves y y coduzdo as α tegrações (45) e (45) a: α α (45) dy dy ( y ) α α ( αy ) α dy y α dy l( α ) α (454) αy Para oralzar os ltes de tegração a arte egatva de ς, faz-se κ κ / a e ς ς / b ara a arte ostva Co sso, a exressão (45) assa a ser escrta coo: q ϕ d πl, ( b / a) (455) Procededo-se aalogaete à técca ara a obteção de (455), o cálculo da tegração do eso erel oderado or ϕ ode ser escrta coo: q ϕ d πl, ( a / b) (456) E seguda, estão descrtas as tegrações sgulares evolvedo as dervadas drecoas dos erels dos oetos fletores e volvetes, sto é:, ς b r r, ϕ d 4πrL 4πrL a, ( b ς ) dς ( b ς ) dς ς (457) Através das udaças de varáves e do coceto de PFH, a tegração ode ser escrta coo: ν ϕ d r (458),, 4π Para as deas tegras sgulares dos erels de lacas, vde aexo I As tegrações ara o eleeto sgular evolvedo os erels da chaa são descrtas a seqüêca Tabé são eregadas téccas aálogas àquelas alcadas o roblea de lacas, de fora que as tegrações sgulares de chaas estão descrtas o aexo II

141 7 Cofore dscutdo aterorete, ua outra técca eregada a forulação HP ara obteção das atrzes de fluêca é alcar duas fuções teroladoras dsttas ara (deslocaetos, rotações) e (esforços, forças de suerfíce) Ass, a seqüêca, é aresetado o cálculo das tegrações ara o eleeto sgular, evolvedo a atrz de fluêca dos deslocaetos e rotações As fuções de fora dcadas a fgura 48 ode ser escrtas coo: [ ε ( b a) ε ab ] ( a b ) φ ε b (459) [ aε ( ) ( b ab a ) ε ( b ab ba ) ] a b φ ε ab (46) [ ε ( b a) ε ab ] ( a b ) φ ε a (46) [ bε ( ) ( b a ) ε ( ab a b a ) ] a b φ 4 ε ba (46) a a b φ φ -a ς b ς -a b a a b b a a b φ φ 4 -a b a b ς L L Fgura 48- Fuções φ o Eleeto Sgular As fuções φ, dcadas a fgura 49, ode ser escrtas coo: [ ε 6( b a) ab ] ( a b ) φ ε (46)

142 8 [ ε ( ) ( b ab a ) b ab ] a b φ ε (464) ba [ ε 6 ( b a ) ab ] ( a b ) φ ε (465) [ bε ( ) ( b a ) ab a b ] a b φ 4 ε a (466) No eleeto sgular, a atrz oderada dos erels ode ser escrta coo: H K q, µ, ξ s, µ ϕ φ φ φ φ ϕ φ φ φ 4 d φ 4 (467) ou ode: H f f ϕ, ξ ϕ q, µ φ s, µ φ ; f f f 4 ϕ, ξ ϕ f 6 d (468) q, µ φ s, µ φ (469) f 4 q, µ φ s, µ φ ; f 6 q, µ φ 4 s, µ φ 4 (47) ς φ -ab (a b ) ab (a b ) φ ς -a b -a b φ φ 4 ς ς -a[a(b-a)-b] ( a b[b(b-a)-a] b) (a b) L L Fgura 49-Fuções Iteroladoras φ o Eleeto Sgular

143 9 As tegrações sgulares sobre cada u dos eleetos da atrz(468) estão descrtas o aexo III Aalogaete, as tegrações ara os erels dos deslocaetos e rotações da chaa ode ser escrtas coo: H c H ( R Q ) ( R Q ) ( R Q ) ( R Q ) ( q Q ) ( q Q ) c ϕ ( R ) ( ) Q R Q a a ( ) ( ) ( ) ( ) R Q R Q a a q Q q Q a a φ φ φ φ ϕ φ φ φ4 d φ 4 (47) (47) aϕ aϕ aϕ a a a φ φ φ a a a φ φ φ a a a ϕ ϕ ϕ a a a φ φ φ a a a φ4 φ4 d φ 4 (47) Tal qual e (468), as tegrações dos eleetos da atrz (47) estão descrtas o aexo IV 4) Itegração ão-sgular Na lteratura ode ser ecotrados algus trabalhos -ARISTIDEMO & TURCO(994), FOLTRAN(999) e outros- e que são eregados étodos aalítcos ara o cálculo das tegrações otos fote e cao ão cocdetes Cotudo, de u odo geral, a estratéga as usual é o cálculo uérco utlzadose quadraturas tas coo Gauss-Legedre, Gauss-logarítca, etc Ass, a seqüêca são descrtos os rocedetos báscos que deve ser observados ara o erego das téccas ecoadas aterorete E geral, essas quadraturas são aresetadas adesoalzadas e escrtas e fução de u ar de varáves, sto é, a coordeada ε e seu valor oderado assocado w Toado-se u erel geérco K (,s), a tegral desse deve ser escrta e fução deste sstea de referêca adesoal: Nq K (,s) d K( ε ) J dε K( ε ) w ode J é o Jacobao do sstea (, ) otos escolhdos a quadratura x x ara o adesoal ε ; q (474) N é o úero de

144 À edda que o oto-fote é aroxado do oto-cao, ode ocorrer recsões o cálculo das tegras Ass, dversos esqusadores rousera téccas auxlares ara elhorar o deseeho dessas quadraturas os casos de quase-sgulardades Ua das reras abordages ara esse tea é a técca da subeleetação descrta e LACHAT & WATSON(976,977), JUN et al (985) e outros Nessa técca, o oeto e que a colocação do oto-fote é adtda crítca, o eleeto de cotoro é fragetado e regões eores, e o úero de otos de tegração é gradualete cocetrado o setdo do subeleeto as róxo do oto-fote Detre outras téccas exstetes ara o aroraeto do cálculo uérco, te-se as trasforações exoecas HIGASHIMACHI et al(98), trasforações cúbcas TELLES(987), trasforações de coordeadas HAYAMI & BREBBIA(987) 4) Sstea de equações Aós o cálculo das tegrações das arcelas das equações tegras dscretzadas, te-se a reresetação algébrca do roblea utlzado-se as forulações tetra e hexaaraétrca Na seqüêca são aresetados ssteas algébrcos ara a seguda abordage: calete, os robleas de chaas e lacas são reresetados deedeteete ara robleas slesete coectados E seguda, esses ssteas são esteddos ara casos colaares coostos or regões co rgdezes dsttas Cocludo-se a exosção da forulação HP, é escrta a reresetação algébrca de estruturas laares ão-colaares Na seção de fechaeto do caítulo, a forulação HP é austada ara cotelar aeas quatro equações or ó (forulação TP) ara os robleas slesete coectados, robleas colaares ult-coectados e robleas ão-colaares 4) Forulação Hexaaraétrca Ao logo dessa seção é dscutda a obteção das reresetações algébrcase que são utlzadas ( equações, chaas; equações, lacas) - ara o odelo HP 4)Probleas slesete coectados Por slcdade, as cotrbuções do -éso ó de ua reresetação algébrca hexaaraétrca geérca, corresodetes à equação (4) de chaas e (4) do rege de flexão, ode ser escrtas resectvaete coo:

145 c c b g u h (475) g v g w h (476) Ou exressas atrcalete resectvaete or: z b b b t t g g g g g g v h h h h h h h h h θ ν (477) t g g g V g g g g g g w h h h h h h h h h θ θ (478) Iserdo-se valores ulos tato e g e c g ass coo varáves arbtráras χ, χ resectvaete e v e, as atrzes e vetores resetes e (477) e (478) tê suas desões coatblzadas, sto é: z b b b t t g g g g g g h h h h h h h h h χ θ ν ν (479) t g g g V g g g g g g w h h h h h h h h h χ θ θ (48) Alteratvaete (479) e (48) ode ser reudas e ua úca reresetação algébrca ara a lâa laa: z t z z z z z z V t t g g g g g g g g g g g g w h h h h h h h h h h h h h h h h χ χ θ θ θ ν ν (48) Na reresetação algébrca (48), alguas recauções são requerdas a f de se evtar ua cosstêca a resolução desse sstea de equações A rescrção das codções de cotoro ara os graus de lberdade assocados à rotação tagecal

146 θ t a laca ou lgados à rotação zetal θ z a chaa coduz a atrz das cógtas a ser reechda or lhas coletaete ulas, ua vez que as varáves fctícas ossue aeas valores ulos a atrz de fluêca dos esforços G Ua técca que ode ser utlzada ara evtar a sgulardade da solução do sstea algébrco é atrbur valores ulos a todos os eleetos localzados as lhas e coluas assocadas às varáves fctícas, exceto os da dagoal rcal da atrz de fluêca dos deslocaetos H O vetor deedete T tabé deve ter os valores gualados a zero as osções equvaletes ao graus de lberdade e questão Alé dsso, eso co a equação adcoal das reresetações tegras ara os gradetes de deslocaetos a chaa, a rotação é calculada aeas o oto-fote, de sorte que esse grau de lberdade ão aarece o oto-cao Co sso, a úca aera ela qual esse arâetro recebe fluêca da atrz Q é elas cooetes do tesor D l Ass, a rera restrção dessa forulação é que ela exclu a alcabldade do MEC regular, á que os oscoaetos do otofote esse últo coduze a valores ulos de todas as cooetes de D l, e ortato coduzdo à cosstêca a resolução do sstea algébrco A seguda restrção é a exclusão de oscoaeto do oto-fote as agulosdades, á que aeas os cotoros suaves reduze as cooetes ão-ulas de D l à dagoal rcal, o que, essas codções, coduz ao desacolaeto leo dos gradetes u, 4) Probleas colaares co ultrregões Nas seções aterores fora aresetadas as reresetações tegras e algébrcas ara os robleas de laca e chaa, e que tato as roredades físcas quato as geoétrcas ão sofra alterações ao logo de toda a regão ode esses robleas estava defdos Todava, a reseça dessas ão-ufordades é freqüeteete observada e dversos robleas de estruturas laares Alé dsso, fo dscutdo o caso evolvedo ua regão sles e que, a forulação HP, é observada ua dfereça o úero de graus de lberdade assocados aos deslocaetos e às rotações co aquele que rereseta os esforços e

147 as forças de suerfíce Essa coatbldade do úero de varáves é robleátca ara os ós e que os deslocaetos ou as rotações estão rescrtos; todava, esses casos as equações tegras de rotações- tagecal (laca) e zetal (chaa)- são reovdas se erturbar o sstea algébrco do roblea Ao esteder-se a forulação ara odelar coros co duas ou as regões, a dsardade etre os graus de lberdade ão é alterada, cotudo, as terfaces das resectvas regões os valores dos graus de lberdade são quase sere descohecdos, requeredo-se, ortato, outras téccas ara a solução do roblea Na seqüêca, é dscutda a otage do sstea algébrco de u caso esecal e que a estrutura é colaar e forada or regões co roredades físcas e/ou geoétrcas dsttas Para este f, ode ser utlzada ua estratéga cohecda coo técca da subregão que fo descrta e dversos trabalhos, detre eles te-se BREBBIA & WALKER(98) Ass assa-se agora ara as etaas da técca da subregão: dscretzação de cada ua das regões; osção das codções de coatbldade (deslocaetos) e de equlíbro os otos odas ertecetes às terfaces das regões Na fgura 4 é ostrado u roblea cotedo duas regões: a rera tedo assocada a ela u doío Ω ass coo cotoros e ; á a seguda está reresetada or etdades aálogas Ω, e Geoetrcaete, os cotoros e estão defdos e ua esa regão de terface, cotudo, suas oretações são oostas Ω Ω Fgura 4- Duas regões colaares Redefdo-se os cotoros de terface coo reresetação algébrca da rera regão ode ser escrta coo: e, a

148 4 Z Z P P G G G G U U H H H H (48) ode os vetores geércos U, U estão assocados resectvaete aos ós defdos sobre os cotoros, As atrzes de fluêca geércas H e G são obtdas co otos-fote sobre o cotoro e os otos-cao sobre o cotoro A seguda regão te sua reresetação escrta coo: Z Z P P G G G G U U H H H H (48) Há ecessdade de equações adcoas ara a solução do sstea algébrco (48) e (48), ua vez que o úero de cógtas suera as relações obtdas elas equações tegras Na terface, tas equações suleetares ode ser obtdas a artr das relações de coatbldade e das equações de equlíbro, sto é: w w z t z t θ θ θ ν ν θ θ θ ν ν (484) V t t V t t (485) Note que etre as varáves fctícas, o equlíbro tabé deve ser verfcado; cotudo os setdos de alcação são arbtráros Portato, as segutes relações ode ser escrtas: χ χ ; χ χ (486)

149 5 A artr de (484), (485) e (486), o sstea algébrco ara abas as regões ode ser escrto coo: H H H H H H H H G G G G U U U P G G G G P P Z Z Z Z (487) No sstea algébrco (487), te-se u úero sueror de equações e relação às varáves reas Nos cotoros que ão erteça a ua terface, ode ser utlzada ua técca aáloga àquela eregada e regões sles Nas terfaces, deve ser atrbuídos zeros aos resectvos valores dos eleetos da atrz de fluêca das cógtas assocados aos esforços fctícos χ e χ do vetor P - exceto aos da dagoal rcal, que recebe a udade Aos valores do P vetor deedete a osção de χ e χ tabé deve ser atrbuídos zeros Co sso, as varáves fctícas assa a ter aeas ua fução auxlar a otage e resolução do sstea de equações, á que seus valores são sere ostos coo guas a zero, ua vez que elas ão faze arte das varáves efetvas do roblea 4) Probleas ão-colaares Nesta seção, as téccas dscutdas a seção ateror são esteddas ara coros forados or ua dsosção ão-colaar de lâas Icalete, é ecessáro eleger u sstea de referêca e que as reresetações algébrcas assocadas a suas resectvas lâas sea acoladas e u úco sstea de equações global U sstea que te sdo alaete eregado ara essa fução, esecalete o Método dos Eleetos Ftos, é adotar o sstea dextrógro (, x, ) x co orge e u oto arbtráro E, a artr desse sstea de x referêca, atrzes de rotações são escrtas ara todas as lâas cotrbutes da estrutura olédrca evolvedo o sstea global e os assocados a cada sstea local (, x, ) x das lâas, cofore está dcado a fgura 4, x ZIENKIEWICZ(99), NAVARRA(995) e outros

150 6 x x x x x x Fgura 4- Ssteas de referêcas Alé da utlzação do MEF ara odelage de estruturas olédrcas, e alguas abordages fora eregadas téccas - evolvedo o acolaeto do MEC co outros étodos - aresetadas or dversos esqusadores, detre eles, KOMATSU & NAGAI(98),CODA(99), GALUTA & CHEUNG(995), TANAKA & BERCIN(998), CARMO() Nesses trabalhos fora utlzados ssteas de referêcas arorados e coatíves co cada u dos étodos, a f de ossbltar o acolaeto etre eles Outros esqusadores utlzara aeas o étodo dos eleetos de cotoro ara aalsar estruturas olédrcas tas coo: PALERMO JUNIOR(989), OHGA et al(99), KRAMIN & KRAMIN (997) Nesses trabalhos fora utlzados bascaete dos tos de ssteas de referêcas No rero, as cooetes dos deslocaetos e forças são escrtas (coatblzadas e equlbradas) e relação a u sstea global fxado e dreções artculares de certas estruturas olédrcas Já o segudo está assocado a u sstea local de referêca utlzado ara escrever o equlíbro de oetos fletores Na resete forulação otou-se desevolver ua técca alteratva, que utlza ua coveete herarqua de ssteas de referêca E lhas geras, a técca cosste e adotar ssteas globas deedetes locados e cada terface

151 7 e assocados a aeas ua das lâas, arbtraraete eletas coo estres, que cocorre a essas terfaces As atrzes de rotações das varáves do roblea são calculadas a artr dos ssteas de referêca das lâas ertecetes às suas resectvas terfaces ara o resectvo sstea de referêca fxado as suas resectvas lâas-estre Para elucdar esse rocedeto, toa-se, or slcdade, ua estrutura olédrca cua lâa vertcal ossu duas terfaces e que fexes de lâas estão lgadas a ela, cofore dcado a fgura 4 Fgura 4-Geoetra da estrutura olédrca A rera etaa ara o acolaeto dos exos de referêca requer ua defção de ua herarqua etre eles Arbtraraete são eletos coo estres os cotoros ertecetes à lâa vertcal, sto é,, e os exos assocados aos cotoros e 4 coo os seus resectvos escravos Aalogaete, o cotoro está subugado ao exo estre, vde fgura 4 Note que os exos-estre ertecetes aos resectvos cotoros de ua esa sub-regão são deedetes, or exelo, e As atrzes de rotação etre os cotoros e 4 e seus estres cous são dados or:

152 8 s s (488) cos(, ) cos(, z ) ( ) ( ) z cos z, cos z, z z s 4 s (489) 4 cos( 4, ) cos( 4, z ) ( ) ( ) z4 cos z4, cos z4, z z s z Ω Ω z s 4 Ω s z z s s4 z Ω 4 Fgura 4- Oretação das lâas a estrutura olédrca Já a atrz de rotação etre os ssteas assocados ao cotoro e seu estre ode ser escrta coo: s s (49) cos(, ) cos(, z ) ( ) ( ) z cos z, cos z, z z Outra etaa ortate ara o cálculo das atrzes de rotações dcadas e (488), (489) e (49) é a defção das oretações dos exos oras z ao lao

153 9 da lâa, oras e tagecas s ao cotoro O setdo da oral ao lao de cada lâa ode ser deterado a artr da etão cohecda regra da ão dreta ua vez cohecdos os setdos de ercurso dos seus resectvos cotoros Ass, os co-seos dretores de ode ser deterados a artr das coordeadas, que estão assocadas a u sstea global da estrutura, de três otos arbtráros cotdos esse lao, cofore dcado a fgura 44: ode: co: ( z z z ) z (49) z λ ρ ;,, s (49) β α γ α γ α β α ( x )( x x ) ( x x )( x ) λ x x (49) γ α β α β α γ α ( x )( x x ) ( x x )( x ) λ x x (494) β α γ α γ α β α ( x )( x x ) ( x x )( x ) λ x x (495) ρ λ λ ;,, (496) ode τ x são as coordeadas de u oto τ e relação ao sstea global do estrutura Já os versores assocados aos cotoros ode ser obtdos quado a geoetra é terolada or eleetos leares a artr de dos ós ertecetes a esses: co: ξ ( s s s ) s (497) s ζ ρ ;,, s (498) ε ς x x ;,, (499)

154 ρ ζ ζ ;,, s (4) Os versores da dreção oral ao cotoro ode ser obtdos elo roduto vetoral etre s e z, sto é : s z (4) z s ε ς γ α x x β x Fgura 44- Oretação da lâa e relação ao sst global da estrutura O âgulo γ, vde fgura 45, forado etre as oras de dos laos ode ser exresso or: π γ, γ γ, se γ > π se γ π (4) E(496), o seo do âgulo γ é dado ela relação da álgebra de vetores: seγ l l (4) Lebre-se que γ é o eor âgulo forado etre as oras, sto é, seu tervalo de varação está stuado e [,π ], ua vez que o ódulo do roduto vetoral está resete a exressão (4) Todava, ara ertr u

155 oscoaeto arbtráro das lâas escravas e relação às estres, o tervalo desse âgulo γ eddo aeas o setdo at-horáro assa a ser [,π ] É devdo a esse fato que correções e γ, dcadas a exressão (4), deve ser alcadas quado o âgulo real γ etre as oras for aor que π Defdo-se cooα o âgulo do dedro, eddo o setdo at-horáro, forado elos laos do estre e do escravo, as segutes relações ode ser escrtas: γ α π (44) Ass, a atrz de rotação ode ser escrta coo: s s cosα se α z se α cosγ z (45) Outra aera de obter-se as atrzes de rotação é escrever cada sstea local e relação a u sstea global da estrutura, sto é: s x A x z x (46) ode cos( s, x ) cos( s, x ) cos( s, x ) x A ( ) ( ) ( ) cos, x cos, x cos, x x ( ) ( ) ( ) cos z, x cos z, x cos z, x x (47) ode cos B cos cos s z x B x x ( s, x ) cos( s, x ) cos( s, x ) x ( ) ( ) ( ), x cos, x cos, x x ( z ) ( ) ( ), x cos z, x cos z, x x (48) (49)

156 _ γ γ _ γ γ Fgura 45- Defção do âgulo γ Ivertedo-se B e substtudo-se e (46), te-se a relação: s s (4) AB z z w z s u v θ θ t θ z Fgura 46- Oretação dos graus de lberdade versus sstea local Cofore dcado a fgura 46, os deslocaetos, as forças de suerfíce de ebraa e a força equvalete de Krchhoff segue a esa oretação do sstea de coordeadas local: ν ν w A B ν ν w (4) t t (4) t A B t V V

157 ode: A B a a (4) a a Todava, as rotações e os oetos fletores ão segue leaete esse sstea, sto é: θ θ (44) θ t a a θ t θ z a a θ z (45) Nos robleas ão-colaares, surge forças teratvas dstrbuídas cotuaete as terfaces devdo ao acolaeto dos caos dos reges de ebraa e flexão Quado as hóteses de Krchhoff são adtdas ara o roblea de flexão, forças teratvas cocetradas são oblzadas o roblea da lâa laa e vrtude das reações de cato de laca cofore lustrado - or slcdade e ua estrutura coosta or duas lâas a fgura 47 Rc Sub Rc Sub Fgura 47- Forças teratvas dscretas Neste trabalho, as forças de teração dscretas são desrezadas

158 4 Procededo-se aalogaete ao caso de duas lâas colaares, redefdo-se os cotoros de terface α, α, γ, γ e 4 τ as reresetações algébrcas da rera à quarta subregão ode ser escrtas resectvaete coo: Z Z Z P P P G G G G G G G G G U U U H H H H H H H H H γ α γ α γγ γα γ αγ αα α γ α γ α γγ γα γ αγ αα α γ α (46) Z Z P P G G G G U U H H H H α α α α α α α α α α (47) Z Z P P G G G G U U H H H H γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ (48) Z Z P P G G G G U U H H H H τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ (49) E cada terface, as codções de coatbldade são ostas segudo o sstea de referêca do cotoro-estre Ass, a artr das atrzes de rotação do escravo ara o estre, as relações suleetares ode ser deteradas Na terface ertecete ao estre essas relações ode ser obtdas a artr de (488) a (49) Na sub-regão 4, relações aálogas ode ser obtdas ara as rotações:

159 5 ode: 4 ν ν ν 4 ν ν ν 4 w w 4 w (4) R R θ t θ t 4 θ, 4 θt θt θt 4 θ z θ z θ z R t cos cos (, ) cos(, z ) ( z, ) cos( z, z ) cos cos ( ) ( ), cos, z ( z, ) cos( z, z ) (4) Outra relação ode ser obtda elas equações de equlíbro e cada terface: ode: t t V R t t t V R 4 t t t V (4) R t cos cos (, ) cos(, z ) ( z ) cos( z z ),, (4) A artr das equações (46)-(4), a reresetação algébrca global da estrutura olédrca ode ser escrta coo:

160 P P P U U U U U U G H H G G H H G H H G H H G H H G H H G G H H H H G G H H H H G G H H H τ γ α γ α τ τ τ τ τ γ γ γ γ γ γ γ α α α α α τ τ γ γ α α γγ γα γ γγ γα γ αγ αα α αγ αα α γ α γ α Z Z Z Z Z Z Z Z Z P P P P G G G G G G G G G τ γ α γ α τ γ α γ α (44) Nas terfaces ode estar covergdo dversas lâas Observado-se (4) e (4), ode-se otar que as varáves ertecetes ao cotoro de ua sub-regão escrava e cada terface ode ser eladas da reresetação algébrca, sto é, os vetores P e U e e aalogaete P e U e As varáves fctícas resetes e 4 P e P ode ser reovdas da aálse aalogaete ao dscutdo o caso de duas lâas colaares 4) Forulação Tetraaraétrca Nesta seção são aresetadas alguas adatações a forulação hexaaraétrca ( equações: chaas; equações: lacas) a f de reduz-la ara a reresetação do odelo TP ( equações: chaas; equações: lacas)

161 7 4) Probleas co regões sles Toado or slcdade, a reresetação algébrca da lâa laa ara o odelo tetraaraétrco- obtda a artr da dscretzação das equações (5), () e ()- ode ser aresetada de fora reduzda coo: z z z z V t t g g g g g g g g w h h h h h h h h θ ν ν (45) Cofore ode ser observado e (45), os úeros de graus de lberdade assocados aos deslocaetos e às forças são dêtcos, dsesado, ortato a técca de serção de varáves fctícas eregada a forulação hexaaraétrca Co sso, a solução do sstea algébrco ode ser obtda odo-se dretaete as codções de cotoro 4) Estruturas colaares Para as estruturas colaares, as relações de coatbldade a forulação tetraaraétrca ode ser exressas ela suressão das rotações zetas e tagecas e (484), resultado e: w w θ ν ν θ ν ν (46) Já as equações de equlíbro ode ser escrtas tas quas e (485) Ass, substtudo-se essas relações as reresetações algébrcas de cada ua das subregões (48) e (48), ua reresetação algébrca slar a (487) ode ser escrta ara o roblea colaar 4) Estruturas ão-colaares A adatação da abordage hexa ara a tetraaraétrca tabé ode ser efetuada co os devdos austes as relações de equlíbro e coatbldade e ua terface que te u fexe de lâas covergetes Tas relações ode ser obtdas ela suressão das rotações tagecas e zetas dadas e (4):

162 8 θ θ θ θ q q q q q, t, t t t w v v R w v v R w v v R w v v L (47) ode: ( ) ( ) ( ) ( ) z, z cos, z cos z, cos, cos R t (48) As codções de equlíbro ode ser escrtas slarete às descrtas e (4) V t t R V t t R V t t R V t t q q q q q, t, t t L (49) ode t t R R ara o odelo TP E (47) e (49), q e é o úero de terfaces escravas covergetes à terface-estre Co sso, substtudo-se (47) e (49) as reresetações (46)- (4), te-se u sstea de equações slar à (44) ara o roblea de lâas ão-colaares va forulação tetraaraétrca Cotudo, ao cotráro de (44), a resolução do sstea ode ser efetuada dretaete, dsesado serção de varáves fctíca ua vez que o úero de varáves do vetor de deslocaetos é gual ao do vetor de forças 4)Deteração dos deslocaetos e esforços o doío Aós a osção das codções cotoro o sstea fal de equações, as cógtas do roblea são deteradas Ass, as atrzes de rotações (4)- (45) ecessta ser ovaete eregadas ara que os resultados da aálse sea exressos segudo cada sstea local de cada sub-regão Aeas os deslocaetos, rotações, esforços e forças de suerfíce o cotoro de cada fuículo

163 9 ão tora a aálse do roblea coleta; ada resta deterar os caos de deslocaetos, tesões, esforços dos otos teros O cálculo dos esforços q e de otos teros ode ser efetuado a artr das curvaturas da laca e de suas dervadas Ass, os oetos fletores e volvetes, assocados aos exos de referêca arbtráros (,q), ode ser obtdos a artr da reresetação tegral dos oetos descrta e (96); a força cortate segudo a dreção ode ser obtda substtudo-se (4) e (): q ( ) D w() s α (,s) θ () s (,s) d D θ t,tt,tt () s β (,s) d Dς (,S ) R ( S ),tt D V,tt, tt () s w (,s) () s θ (,s) d c,tt (,) w ( S) D g( S) w (,S) DRc,tt c,tt dω ; c,,, Nc ; Ω ode ( α β ς ) ( q ), RTP; ( α β ς ) ( V R ),tt,tt ctt,tt s,tt,tt,tt c c,tt,tt c,tt, RRG (4) Já as tesões σ f oblzadas elo estado de flexão tabé ode ser q deteradas a artr substtução das reresetações tegral das curvaturas da laca(89)e () Alé do estado de flexão, a lâa tabé ode estar subetda ao estado de ebraa A resultate do cao das tesões oblzado esse estado ode ser escrta a artr da reresetação tegral do cao das resultates de tesão (4); se exressa e coordeadas locas, te-se que: N q Ω q N q ( ) q ( ) s(,s) ( ) Qs( s) vs ( s) d q ( ) d(,s) ( ) Qs()() s ts s d ( ) s (,S ) ( ) b ( S ) dω q ( ) s (,S ) ( ) b ( S ) dω ΩL L L (4) N fc t ( ) s (,S ) ( ) F ( S ) q ;,, t

164 4 E u oto (que está localzado ao logo da esessura de ua seção trasversal qualquer) te seu cao das tesões oblzado obtdo ela f suerosção dos efetos de flexão σ e de ebraa q σ a artr de seus q resectvos esforços or udade de coreto: ode: q f ( ) σ ( ) σ ( ) σ (4) q q σ ( ) q N q t ( ) (4) ) σ f q ( ) ( ς q t (44) E (44), a coordeada ς te tervalo [ t / t/] e esa oretação da oral ao lao édo de cada lâa; t é a esessura da lâa

165 4 5 REPRESENTAÇÕES INTEGRAIS E ALGÉBRICAS PARA PROBLEMAS INELÁSTICOS 5) Itrodução Nos caítulos aterores fora dscutdas as reresetações tegras e algébrcas ara estruturas coostas or folhas olédrcas e rege elástco lear Exste, oré, algus robleas e que caos cas ode ser utlzados ara reresetar o coortaeto de reges teroelástco, vscoelástco, elastolástco e outros Ass, esse caítulo são dscutdas as reresetações tegras de robleas elástcos geércos e, o róxo, a forulação será alcada ao rege elastolástco Cové ressaltar que os robleas elástcos ode ser dvddos de ua aera geral e dos grades gruos: o rero ode ser assocado àqueles ateras cua reologa é deedete do teo, e geral assocada a u coortaeto vscoso A outra odaldade de roblea ode ser reuda aqueles e que tas efetos são desrezados, tas coo os abordados ela teora da lastcdade Neste trabalho, as equações são descrtas ara u roblea elástco geérco, de fora que tato os caos deedetes do teo quato os deedetes são reresetados de ua úca aera Ass, os casos e que há reseça de efetos vscosos, o síbolo rereseta o estado atual do cao Nos deas casos, tal síbolo rereseta acréscos do cao 5)Equações tegras ara robleas co caos cas 5)Equações báscas As deforações totas ode ser escrtas a artr da dferecação dos deslocaetos: ε u, u,,,,, (5) Essas esas deforações ode ser escrtas e duas arcelas cotrbutes assocadas aos reges elástco ε e elástco ε : e a e a ε ε ;,,, ε As equações de equlíbro ode ser escrtas coo: (5)

166 4 σ, b ;,,, (5) E u oto a suerfíce do coro, sueto a u cao de tesões, ua relação etre as cooetes de forças de suerfíce e de tesões σ ode ser escrta a artr de equações cohecdas coo fórula de tesão de Cauchy: σ ;,,, (54) ode são os co-seos dretores da oral à suerfíce o oto Se as deforações elástcas são toadas coo cao cal, as relações Tesão-Deforação co auxílo de relações geoétrcas dcadas a fgura 5b e da le de Hooe ode ser escrtas coo: σ a a Gν G ε ε ε ε δ v ;,,,, (55) Tesões Tesões a σ C B B e σ σ D σ D A ε Defor A a ε E e ε ε Defor (a) (b) Fgura 5- Dagraas tesão-deforação e robleas uaxas Se o roblea elástco for aalsado toado-se as tesões elástcas coo cao cal, ua estratéga alteratva à ateror ode ser eregada Para ua deterada deforação total, u cao de tesões elástcas fctícas σ, vde fgura 5(a), ode ser obtdo or terédo da le de Hooe: e

167 4 e σ Gν Gε ε δ ;,,,, v (56) Essas tesões fctícas ode tabé ser reresetadas ela soa de arcelas de tesões verdaderas σ e elástcas σ : a e a σ σ ;,,, σ (57) Substtudo-se (56) e (57), te-se a relação costtutva e tesões cas: σ Gν v a Gε ε δ σ ;,,,, (58) ode as tesões elástcas e (58) são escrtas e fução das deforações elástcas, substtudo-se (58) e (55): a σ a a Gν Gε ε δ ;,,,, v (59) As relações aresetadas aterorete este caítulo são váldas ara robleas trdesoas, de fora que ara casos bdesoas elas deve ser adatadas ao estado lao de teresse Toado-se u roblea de chaas, co esessura fta t, subetdo a u carregaeto extero e a caos cas Fazedo-se o equlíbro do coro e u eleeto ftesal, a equação dferecal goverate do roblea- e fução das resultates de tesão- ode ser escrta coo: N, b ;,, (5) Se as deforações elástcas fore toadas coo caos cas e fore adotadas as hóteses do estado lao de tesão(ept) e de deforação(epd) e (55), as relações tesão-deforação ara esses casos ode ser escrtas coo:

168 44 N N tc tc q q ε ε q q ε a ε a q q, a Gtν ε ν, EPT EPD ;,,,q, (5) ode o tesor C δ δ G ( δ δ δ δ ) ν ν ara EPD e ν q Gν q q q é dado e (); ν ν ara EPT ν No etato, se o cao elástco for toado e tesões cas e fore ostas as hóteses dos estados laos e (58), as relações tesão-deforação deve ser escrtas coo: N a tc ε N ; EPT ou EPD ;,,,q, q q (5) Coo o rege elástco, as reresetações tegras ara robleas elástcos ode ser obtdas tato co a alcação do Teorea da Recrocdade de Bett(TRB) quato co a Técca do Resíduo Poderado(TRP) No caítulo, fo alcada ara o rege elástco a rera estratéga ara os estados laos e a seguda ara o rege de flexão Neste caítulo, ara exelfcar as ua vez a trasforação das EDPs e equações tegras, os robleas e a orde dos rocedetos eregados serão vertdos, sto é: TRB ara lacas, e TRP ara os estados laos 5)Equações tegras Ua exressão do resíduo oderado de chaas, evolvedo a oderação de (5) o doío e das codções essecas u u () s o cotoro, ode ser escrta coo: e aturas f f ( S ) b ( S ) u (,S ) dω f f () s u (,s) N, d Ω u u () s f (,s) d,,, (5)

169 45 ode os erels u, f estão dcados e (6) e ();, são as regões do cotoro ode as codções essecas e aturas são rescrtas, resectvaete; Alcado-se a técca de tegração or artes a rera arcela de (5), ua detdade ode ser escrta coo: Ω b f ( S) u (,S) dω f ( s) u (,s) d N ( S) u (,S) dω f () s u (,s) d u u () s f (,s) Ω d ;,,,, (54) Se o rege e questão fosse aeas elástco, u rovável asso segute ara a obteção da detdade de Soglaa sera a alcação do teorea da recrocdade de Bett a tegral de doío do lado dreto de (54) E se tratado do rege elástco, ua etaa teredára ada é requerda, sto é, a geeralzação desse teorea ara robleas elástcos Icalete, é dscutda a alcação do teorea da recrocdade e robleas uaxas, ua vez que a reresetação gráfca do dagraa tesãodeforação ode ser obtda de aera be sles O teorea de Bett ode ser alcado as retas do dagraa tesão-deforação, or exelo o segeto EB dcado a fgura 5b Ass, a artr dessa fgura, estededo-se ua aaloga ara o caso trdesoal, e que as deforações são toadas coo caos cas, esse teorea ode ser escrto coo: a σ (,S ) u, ( S ) u, ( S ) dω σ ( S ) u, (,S ) dω ;,,,, Ω Ω (55) Ua outra dscussão é a adequação da detdade descrta e (55) ara os robleas bdesoas- Estados Plaos de Deforação (EPD) e de Tesão (EPT) No EPD, as cooetes de deforações totas ε e as cooetes do tesor fudaetalε são ulas, de fora que a equação tegral (55), ode ser escrta coo:

170 46 a a N Ω Ω (,S) u, ( S) u, ( S) dω N (,S) ε ( S) dω N ( S) u (,S),,, Ω, d (56) ode os erels N e u estão dcados as exressões (9) e (7); cové, ressaltar que N é a resultate do cao das tesões ao logo da esessura, sto é, N t σ e o erel N te ua reresetação aáloga exressa or N tσ No EPT, σ e σ são adtdas coo ulas Ass, a geeralzação do teorea de Bett, ara robleas e que as deforações elástcas são toadas coo cao cal, ode ser escrta coo: a N (,S) u, ( S) u, ( S) dω N ( S) u, (,S) dω ;,,, (57) Ω Ω Ua estratéga aáloga à relação dada e (55) ode ser alcada a geeralzação do teorea de Bett ara robleas bdesoas e que as tesões elástcas são toadas coo cao cal: Ω N e a,, ;,,, (58) Ω ( S ) u, ( S ) dω u (, S ) N ( S ) N ( S ) dω Co o teorea geeralzado de Bett ara robleas do EPD co deforações elástcas toadas coo cao cal, outras detdades ode ser escrtas a artr da substtução de (56) e (54) Se essas detdades fore alcadas as téccas de tegração or artes, a segute exressão ode ser escrta: Ω b ( S ) u (,S ) dω f ( s) u (,s) d u ( s) f (,s) d f f () s u (,s) d u u () s f (,s) d N (,S) u, ( S) dω Ω a (59) Ω N a (,S) ε( S) dω N (,S) u ( S) dω Ω, ;,,,

171 47 Cové ressaltar que a equação dferecal de equlíbro do roblea elástco fudaetal é dada or: N (,S ) δ(,s ) δ ;,,, (5), Substtudo-se (5) e (59), te-se a detdade de Soglaa ara o EPD ara robleas e que as deforações elástcas são toadas coo cao cal: u ( ) u ( s) f (,s) d f ( s) u (,s) d N (,S ) u, ( S ) dω Ω a (,S ) ε ( S ) dω u (,S ) b ( S ) dω N ;,,, Ω Ω a (5) A reresetação tegral equvalete à equação (5) ara o EPT ode ser escrta coo: u ( ) u ( s) f (,s) d f ( s) u (,s) d N (,S ) u, ( S ) dω Ω ( S ) u (,S ) dω b ;,,, Ω a (5) As reresetações tegras aterorete ostradas são escrtas e teros de u sstea de referêca global (, ) x Cofore aresetada o caítulo, x ua técca alteratva cosste e escrever as reresetações dos estados laos e u sstea local equvalete àquele do roblea de flexão, (vde fgura 5) x x b L Ω L a σ Ωa q b r ε a Ω u s v v u x s t t x Fgura 5- Esquea reresetatvo do roblea de ebraa

172 48 Ass, substtudo-se a detdade N a u, a N ε as equações (5) ou (5), a reresetação tegral aras os deslocaetos e deforações cas ode ser exressa or: u q ( ) q ( ) f (,s) Q () s v r () s d q ( ) u (,s) Q () s t r () s d r ( ) u (,S ) b ( S ) q ( ) u (,S) b L ( S) q dω Ω Ω L a ode u q ( ) u ( ) q ( ) ; o tero elástco ( ) u d L r a Ω I ( ε ) I ε é dado or: u ;,,r, (5) I u a ( ε ) q q ( ) N (,S ) ε ( S) ( ) N (,S) ε ( S) dω q ( ) N (,S) ε ( S) Ω Ω a a dω ;,,, Ω a EPT, dω ; EPD (54) Se as tesões elástcas fore toadas coo cao cal, a reresetação a tegral e deslocaetos ode ser obtda ela substtução de I ( ε ) or I a ( N ) e (5) Essa últa arcela elástca ode ser escrta ara abos estados laos coo: I u a a ( N ) q ( ) (,S) N ( S) dω ; EPD ou EPT Ω ε ;,,, (55) Na obteção da reresetação tegral dos gradetes de deslocaetos, a dferecação do tero lástco da equação dos deslocaetos (5) ode ser efetuada utlzado-se o coceto de dervação de tegras sgulares de MIKHLIN(96), cofore sugerdo e alcado e robleas trdesoas or BUI(978) Na seqüêca, serão ostradas as reresetações coletas dos estados laos e ara o rege de flexão utlzado-se esses cocetos A dferecação da tegral de doío das tesões elástcas e (5) ode ser escrta coo: u u V a ε (,S ) N ( S ) dω x ;,,, (56) ( ) Ω Nos trabalhos de Mhl, as equações tegras sgulares fora alaete dscutdas e u dos tócos está assocado às dferecações dessas equações co

173 49 sgulardades fracas E MIKHLIN(965), ode ser ecotrada ua exressão ara a dferecação de equações tegras ara robleas ultdesoas a artr do trabalho de TRICOMI(98) ara o esaço bdesoal- exressa coo: ( x, θ ) ( x, θ ) ϕ ϕ u( y) dy u( y) dy u x r x r T ode T é o cotoro de rao utáro; é a desão do esaço ( x) ϕ( x, θ ) cos( r,x ) d y (57) Adatado-se (57) ao roblea elástco bdesoal, e que as tesões são toadas cao cal, ua relação ode ser escrta coo: x ( ) Ω a N () s ψ r ( θ) dω Ω a N () s x ( ) ψ r,,,, ( θ) dω N a ( ) ψ ( θ) T r d ;, (58) ode ε (,s) ψ ( θ ) r Ua aera alteratva ara exressar (58) é: x ( ) Ω a N ( S) ε (,S) dω N ( S) κ (,S) dω N ( ) ε (,S) Ω a,,,, a T r d ;, (59) ode a dervada das cooetes do erel das deforações é dada or: κ x ε {( ν )( δ δ δ δ ) δ δ ( ) 8π ( ν ) r Gt [ r, ( δ r, δ r, ) r, ( δ r, δ r, ) r, ( δ r, r, ) ν ( δ r r δ r r ) 4r r r r ]} ;,,,, δ,,,,,,,, (5) Cové ressaltar que a covergêca da detdade (59) deede forteete da seguda tegral TELLES (98) E algus casos, ara os quas essa tegral coverge, está assocada a colocação dos otos-fote o doío ou e cotoro se agulosdade A tercera tegral da detdade (59) ode ser calculada aaltcaete o doío crcular de rao utáro co a utlzação do erel descrto e (8) e co o auxílo de coordeadas olares Por slcdade, o cálculo dessa tegração

174 5 será efetuado ara aqueles casos descrtos aterorete que coduze à covergêca de (59) Ao trasforar o sstea de coordeadas cartesao ara o olar, a tegração do últo tero de (59) ode ser dvddo e duas arcelas, a rera das quas ode ser escrta coo: θ r, αr, βdθ cπδαβ ; α, β, (5) ode o coefcete c está assocado a:, se θ π, e Ω (5) c /, se θ π, e ( suave) A arcela reaescete da últa arcela de (58) ode ser escrta coo: θ r αr, βr, γ rς d c 4 ( δ δ δ δ δ δ ) π, θ ; α, β, γ, ς, αβ γς ας βγ αγ βς (5) Substtudo-se (5), (5) a últa arcela de (59), ua exressão ara o coefcete do tero lvre de tegras elástcas ode ser aresetada ass: ode: D cq 8 N a ( ) ( ) α ( ν ) Gt c ( ) ε (,S) r d q ( ) ( ) D N ( ), α a a ( 4ν ) N α ( ) N tt ( ) δ α α α a [( ν )( δ δ δ δ ) δ δ ] ;,,,,t, α, α 4 α α α ;,,,r, 6( ν ) Gt (54) (55) Substtudo-se (54) e (58) a equação resultate da dferecação da equação tegral dos deslocaetos(5), te-se a reresetação tegral ara os gradetes de deslocaetos e que as tesões elástcas são toadas coo cao cal: u q, ( ) q ( ) f (,s) ( ) Q ( s) v r ( s) d q ( ) u (,s) ( ) Q () s t r () s d r ( ) u (,S) ( ) b ( S) q ( ) u(,s) ( ) bl( S) d L q dω Ω Ω L ;,,, α, r a Ω ( N ) I θ z (56)

175 5 a ode o tero elástco ( N ) I θ ode ser escrto coo: z a a ( N ) q ( ) κ (,S ) ( ) N ( S ) θ r r dω a z Ω a a r ; I q ( ) ( ) D N r( ),,,r, (57) A reresetação tegral dos gradetes de deslocaetos e deforações a a cas ode ser obtda ela substtução de I θ ( N ) or I ( ε ) últa arcela elástca ara o EPT ode ser escrta coo: I θ z a a ( ) q ( ) λ (,S) ( ) ε ( S) dω ε q ( ) ( ) E r( ) a a Ω r r z θ e (56) Essa z a rε ;,,, (58) ode λ r e E r são dados or: { ( ν )[ δ δ δ δ δ δ λr N r r r xr ( ) 8π( ν ) r r ( δ r δ r δ )] δ r r δ r r δ r r 4r r r r };, r,, r,,, r,, r,,,,,,r (59) E,,,r, c ( ) [( 4ν )( ) ( ) ] δδr δδ r ν δrδ ν ;,,,r, (54) r 4 6 ode o valor de c é dado e (5) Alé das reresetações tegras dos deslocaetos e de seus gradetes, ua outra equação tegral que ode ser exressa é ara o cao das tesões e que ode ser escrta a artr das reresetações tegras dos gradetes dos deslocaetos(56) e da relação tesão-deforação do roblea e questão Ass, ara os casos e que as tesões elástcas são toadas coo u cao cal, ua detdade de Soglaa ara as tesões ode ser escrta coo: N q q ( ) q ( ) s(,s) ( ) Qr( s) vr() s d q ( ) d(,s) ( ) Qr() s tr() s d ( ) d (,S) ( ) b ( S) dω q ( ) d (,S) ( ) bl( S) Ω ΩL,,,r, dω L a I σ ( N ) (54)

176 5 a ode tero elástco ( N ) I σ ara abos estados é dado or: I σ a a a ( N ) q ( ) ( ) Z (,S) Nr( ) q ( ) ε (,S) ( ) Nl( S) dω r Ω l ;,,, r, (54) co ε l e Z r dados or: ε l Gt x ε x Gν t ε v x l l l x x ε δ π ( ν ) r ( ν )[ δ δ δ δ l l δ δ l δ r, r, l ] (54) Z ν ( δ r r δ r r δ r r δ r r ) δ r r 4r r r r };,,,l, l,,,,l,,l l,, l,,,, [ 4ν ( c) 5] δ δ ( 4ν ) δ δ ( ν ) { δ δ } ;,,,r, (544) r r r 4 8( ν ) ode o valor de c é dado e (5) A reresetação tegral das tesões e deforações cas ode ser obtda a a ela substtução de I σ ( N ) or I ( ε ), σ e (54) A arcela elástca toada coo cao cal de deforações ara o EPT ode ser escrta coo: a a a Iσ ( ε ) q ( ) Nr(,S) ( ) εr( S) dω q ( ) ( ) Lr(,S) εr( ) ;,,,r, (545) ode Ω N r e L r são dados or:,l r N r Gt x N x N Gν t v x ( N ) δ r l r r l Gt π ( v ) r {( ν )[ ( δ r r δ r r ) ( δ δ δ δ )] ( 4ν ) δ δ,,r r,, r r r (546) ν ( δ r r δ r r δ r r δ r r ) 8r r r } r,,,,r,,r r,, ;,,,r,,,, r,r

177 5 L Gt [ ν ( c) c 8] δ δ ( 4ν ) { cδ δ r r r 4( ν ) ν [ 8ν ( c) ( 9c 8) ν c] δ δ } ;,,,r, (547) ode o valor de c é dado e (5) No roblea de lâa laa, alé dos estados laos, o coro ode estar subetdo aos caos assocados ao estado de flexão Ass, a seqüêca serão ostradas as reresetações tegras de lacas subetdas a caos cas de oetos e de curvaturas Alteratvaete ao étodo dos resíduos oderados que fo alcado aos robleas dos estados laos, as equações dferecas de equlíbro de lacas serão trasforadas e reresetações tegras, artdo-se dretaete do teorea de recrocdade ara o rege de flexão Utlzado-se as hóteses de KIRCHHOFF(85), o rege de flexão ode ser obtdo a artr do estado de ebraa eregado-se (9) e () e (55), e te-se as relações costtutvas ara lacas co curvaturas elástcas toadas coo cao cal: a a Dν w, w, δ ( ),, ν w w ;,,, (548) Se as equações (9) e () fore substtuídas e (55), te-se o teorea da recrocdade ara lacas e curvaturas cas: a (,S ) w, ( S ) w, ( S ) dω ( S ) w, (,S ) dω,, Ω Ω (549) ode w, e são dados or: w (,s) { r r l r},, ;,, (55) 4πD, δ {[( ν ) l r ν ] δ ( ν ) r r } 4π,, ;,, (55)

178 54 A artr da coveete alcação sucessva (duas vezes) das téccas de tegração or artes - as tegras de doío e abos lados da equação (549) e da detdade(7) - obté-se a reresetação tegral dos deslocaetos trasversas de lacas ara robleas elástcos, cuo cao cal está assocado às curvaturas: w ( ) w() s α (,s) θ () s (,s) θt () s β (,s) d γ c c c d c a g S w,s dω I w, Ω w ; c,,, Nc; (,S) w ( S) R () s w (,s) V () s w (,s) θ (,s) () s ode ( β γc ) ( q s ) ( β γ ) ( V R ) ( ) ( ) (55) α, ara Reresetação traraétrca(rtp); α, ara Reresetação de Raylegh-Gree(RRG) c c As cotrbuções elástcas são reresetadas or: a a I w w, w, Ω ( S) (,S) dω ;,, (55) x g g L g a w a x u r a L s t x Fgura 5-Esquea reresetatvo do roblea de flexão Alé das equações tegras dos deslocaetos, as rotações tabé ode ter u ael a estrutura do sstea de equações do roblea Ass, as dervadas drecoas, segudo ua dreção geérca, ode ser obtdas dferecado-se a equação (55)

179 55 Alcado-se a fórula de Lebtz a dferecação da arcela elástca de (55), e utlzado-se ua reresetação aáloga àquela descrta e TELLES(98), te-se que: x ( ) R ε a [ a l r ψ ( θ )] w, () s (, θ ) rd r x R ε x ε al r ε ε ;,,, a [ a l r ψ ( θ )] w, () s rd r ( ) ode ( r,θ ) são os exos de referêca do sstea olar, vde fgura 54 (554) E (554), o erel dos oetos escrto o sstea olar te a fora de: ( θ ) a l r ψ ;,, (555) a ν δ 4π ; ψ ( θ ) ( ν ) [ r r νδ ],, ;,, (556) 4π q dx - ε r- r θ θ- Ω ε ε ΩΩ ε Fgura 54- Sstea de referêcas utlzado a dferecação de Lebtz Aós a dferecação de (554), quado o oto-fote é toado a orge de sstea ( r,θ ), sto é, O q, te-se que θ ser alteratvaete exressa coo: θ e ε ( r, θ ) ε Ass, (554) ode

180 56 x ( ) R ε a [ a l r ψ ( θ )] w, () s ( al ) rdr x R ε x ε ε ε ;,,, a [ a l r ψ ( θ )] w, () s rdr ( ) (557) Fazedo-se o lte da exressão (557) co ε, te-se a covergêca das tegras, e o lte do últo tero coduz a u valor ulo, sto é, l ε ( ε lε ) Ass, as reresetações tegras das rotações co curvaturas elástcas, toadas coo cao cal, ode ser escrtas coo: w w w, ( ) ( ) 4 ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θt ( s) β (,s) d c, µ c () s (,s) ( ) V () s w (,s) () s θ (,s) d a ( ) Rc wc, (,c) ( ) g( S) w, (,S) dω ( ) Ω,, u I θ w, ode os coefcetes dos teros lvres de tegral (, ),, ; c,,, Nc ;, 4 (558) vale, resectvaete, (, ) ara otos-fote o doío, e, ara otos de colocação e cotoro suaves é o co-seo dretor da dreção de dferecação; os erels estão assocados ( α β µ ) ( q ), RTP; ( α β µ ) ( V R ) co:,, c, s, As cotrbuções do tero elástco e (558) são dadas or: I θ w a, ( ) (,S) w, ( S) Ω, a,, dω ;,,, [( ν ) δ r ( ν )( δ r r r r r )],,, δ, 4πr,,, c, c,, RRG (559) ;,,, (56) Os oetos são escrtos a artr das curvaturas, de fora que ara sua reresetação or equações tegras é ecessáro que sea efetuada o estudo da covergêca das equações tegras das curvaturas; essas or sua vez ode ser escrtas alcado-se ua dferecação dula e (55), resultado e:

181 57 w,tq ( ) q ( ) t ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θt ( s) β (,s) d,,, ς c ( P,S) wc ( S) q ( ) t ( ) V ( s) w, (,s) ( s) θ, (,s) d q ( ) t ( ) R c ( S) w (,S) q ( ) t ( ) g( S) w (,S) dω Ω c,, (56) ode a q ( ) tr ( ) (,S) w, ( S) dω ; c,,, Nc ;,, ; x Ω ( ) x ( ) r q, t são os co-seos dretores assocados às dreções q e t ( α β ς ) ( q ), RTP; ( α β ς ) ( V R ),tq,tq c J ode,tq s,tq,tq,tq c,tq c,tq, RRG A dferecação do tero lástco e (56) ode ser escrta coo: α R α R a ( ), a w w () s rdr dθ,, x ( ) α ε ˆ ˆ r r ( θ), ( ε, θ ) a w, ε x ( ) ε dθ ε x ( ) ˆ, r ;,,, ( θ) w a, () s rdr dθ (56) ˆ,, r ;,,, (56) Aalogaete à (557), feta a dferecação de (56), toado-se O q e ada fazedo-se o lte ε ara reresetar a tegral de doío orgal, tese que: J α R α ˆ ( θ ) ˆ a a, ( ) a, ε w l w, () s rdr dθ l w ( ) ε θ,, d ε x ( ) r ε ε x ε,,,, ; (564) Na detdade (564), a últa tegral coverge dretaete, cotudo a eúlta coverge codcoalete A f de elucdar esse tóco, essa arcela ode ser escrta coo:

182 58 a ( w ) α R ( ) α R ˆ θ ˆ ( θ ) a a l, w () θ () ( ) ε,, s rdr d l w, s dr x r ε r J, dθ ε ε α a { w ()[ s l R lε ]} ˆ ( θ ) l dθ ;,,,, ε ode os erels são dados or:, ( ), (565) ˆ, θ r, ;,,,, (566) {( ν )( δ δ δ r r ) ( ν )( δ δ δ δ ),, 4πr, ( ν )( δ r r δ r r δ r r δ r r δ r r 4r r r r )]},,,,,,,,,,,,,, ; (567),,, α, A ão-covergêca da tegral é causada quado ε e l ε Ass, ua codção ara garatr a covergêca do roblea é fazer que a últa tegral e (567) sea ula: α ˆ, ( ) dθ θ ;,,,, (568) Alguas das raízes da equação (568) ode ser exressas or âgulos α π (oto-fote colocado e u cotoro suave) e α π (oto-fote o doío) Alé dsso, o cálculo da últa arcela de (564) ode ser escrto coo: ode l ˆ ε ε x α a, ( θ ) w, ( ) dθ J w ( ) [( ν ) δ δ ( ν )( δ δ δ δ )], ;,,,, (569) c ;,,,, (57) 8 ode o valor de c é dado e (5) Substtudo-se (568) e (569) e (56), te-se a reresetação tegral das curvaturas co cao cal e curvaturas:

183 59 w,tq ( ) q ( ) t ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θt ( s) β (,s) d q ς, c ( P,S) wc ( S) q ( ) t ( ) V ( s) w, (,s) ( s) θ, (,s) d a ( ) t ( ) R c ( S) wc, (,S) q ( ) t ( ) g( S) w, (,S) dω Ω ( ),, I χ w, (57) c,,,nc ;,, ; ode: a a a ( w ) q ( ) t ( ) (,S) w, ( S) d q ( ) t ( ) J w,r ( ) I χ,,r Ω r ;,,,r, (57) Ω co exresso e (567),r A reresetação tegral dos oetos ode ser obtda or eo da substtução de (57) e (548): tq q ( ) q ( ) t ( ) w( s) µα (,s) θ ( s) µ (,s) θt ( s) µβ (,s) d, µςc c ( ) t ( ) (,S) R ( S) q ( ) t ( ) V ( s) µ w (,s) ( s) µθ (,s) d a ( ) t ( ) g( S) µ w (,S) dω q ( ) t ( ) R c ( S) µ w (,S) I ( w ) q, c, µ, ; Ω, c,,,nc ;,, ; ode ( µα µβ µς ) ( µ q ), RTP; ( µβ µς ) ( µv µ R ),, c, µ s, tero elástco e (57) é dado or:,,, c,,, c, (57) µα, RRG; o I a a a ( w ) q ( ) s ( ) µ (,S) w,r ( S) dω q ( ) s ( ) J w,r ( ) ; µ,,r µ r Ω,,,r, co : D 4πr {( ν)( [ ν) δ δ ( ν) δ r r ] ( ν) δ δ µ,,, ( ν ) ( δ r r δ r r δ r r δ r r δ r r 4r r r r )]},,,,,,,,,,,,,,,,, α, ; (574) (575)

184 6 µ cd 8 [ ] {( ν)( ν) δ δ ( ν)( ν) δ δ ( ν) δ δ },,,, ; ; (576) ode c é dado e (5) A força cortate é obtda a artr da dferecação do Lalacao dos deslocaetos() Ass, é ecessáro escrever a reresetação tegral ara a dervada drecoal das curvaturas: w,tt ( ) ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θt ( s) β (,s) d,tt,tt,tt c, tt, tt θ, tt ( ) ς (, S) wc ( S) ( ) V ( s) w (, s) ( s) (, s) d ( ) R c ( S) w (,S) ( ) g( S) w (,S) dω Ω c,tt,tt (577) a ( ) (,S) w, ( S) dω ; c,,, Nc ;,r,, x x x Ω r r ode ( α β ς ) ( q ), RTP; ( α β ς ) ( V R ), tt, tt c, tt, tt s, tt, tt tt,, tt tt, c, tt, RRG Cofore dscutdo os casos aterores, ua etaa ortate ara a obteção das equações tegras está assocada ao estudo da covergêca de suas tegras Ass, u rocedeto ara tal f ode ser executado a artr da dferecação das equações das curvaturas dcadas e (577): J a ( w ), α R ˆ l ε x ( ) ( ) β x ε l ε xβ α R ( ) x ( ) ε ˆ, r, ( θ ) r ( θ ) w a, w a, () s rdr dθ () s rdr dθ (578) α a ε l w, ( ) ε dθ ;,,, ε xβ ( ) x Aós o cálculo das dervadas resetes e (578) e ao toar-se outra fora ara a detdade ode ser escrta deste odo: O q, ua

185 6 J a ( w ), α R l ε x ε ( ) x ( ) β ˆ, r ( θ ) w a, () s rdr dθ α w a, ( ) [ ˆ ( δ r r ) ˆ r ˆ r ] l dθ, β,, β,, β,β, ε ε (579) lˆ ε α, r, a w,β ( ) ;,,,, β, Austado-se (579) à dervada do Lalacao dos deslocaetos e fazedose o lte da exressão co ε, te-se: J α R a ( w, ) l ε ε ˆ,β r ( θ ) w a, () s drdθ l ε ε α a [ ˆ ( δ r r ) ˆ r ˆ r ] w, ( ) dθ, β,, β,, β,β, (58) α a l ˆ,r, w,α ( ) dθ ;,,, α, β, ε ode o erel do lalacao dos oetos é dado or: r πr x r ( ), ββ ( θ ) r, ββ ( ) xβ ( ) [ r 5( ν )( δ r δ r ) ( ν ) r r r ],,,,,, ;,,, β, (58) Exaado-se a detdade (58), verfca-se que o últo tero é dretaete covergete, cotudo a seguda e a tercera arcela tê covergêcas codcoadas O segudo tero ode ser reescrto coo: ˆ ( θ ) α R α,β a l w,, ε r ε R ε ε a () s drdθ l w () s ( θ d )θ,β ;,,, α, (58) Ass a covergêca de (58) está codcoada à osção de valor ulo ara a últa tegral: α ˆ β ( θ ) dθ ;,,, β, (58), U dos valores que satsfaze essa equação é α π ( oto-fote o doío) Cové ressaltar que ara otos-fote oscoados e cotoro suave

186 6 ( α π ), a equação (58) ão é satsfeta coduzdo (58), ortato, à ãocovergêca O tercero tero e (58) ode ser exresso as slesete or: l ε ε α a [ ˆ ( δ r r ) ˆ r ˆ r ] w, ( ) dθ, ν l w π ε ε β a,,, β,, β α ( ) ( δ r δ r ), β β,,, dθ ;,,, β, (584) Ass, a covergêca é codcoada à osção ( r δ r ) dθ α δ,, α α, e que ua das raízes ode ser obtda ara α π ; o valor da tegração do últo tero de (58) ode ser dado or: ( ν ) ( ν ) α a a a α l ˆ r, w, ( ) d w, ( ) w, ( ), β β β θ ;,,, β, ε 4π α π (585) Co sso, substtudo-se as exressões (585), (584) e (579) e (577), obté-se a reresetação da dervada drecoal do Lalacao dos deslocaetos toado-se as curvaturas elástcas coo cao cal: w,tt ( ) ( ) w( s) α (,s) θ ( s) (,s) θt ( s) β (,s) d,tt,tt,tt c, tt, tt θ, tt ( ) ς (, S) wc ( S) ( ) V ( s) w (, s) ( s) (, s) d a ( ) R c ( S) w (, S) ( ) g( S) w (, S) dω I ( w ) c, tt Ω ;, tt q, (586) c,,,nc ;,r,, ode: a a a ( w ) ( ) (,S) w, ( S) d ( ) w,tt ( ) I q,,tt Ω ;,,, (587) Ω Equvaleteete ao roblea de ebraa, ua outra alteratva de tratar o rege elástco e lacas é toá-lo coo cao de oetos cas Ass, as relações costtutvas ara esses casos ode ser obtdas a artr da substtução de (9) e () e (58), ve que:

187 6 a ν w, δ ( ) w, ;,,, D ν (588) Alé dsso, o teorea da recrocdade geeralzado ara lacas, e que os oetos elástcos são toados coo cao cal, ode ser obtdo a artr da substtução de (9) e () e (58): Ω a, ;,, Ω (,S ) w, ( S ) dω ( S ) ( S ) w (,S ) dω (589) Alcado-se duas vezes a técca de tegração or artes e (589), as equações tegras dos deslocaetos ode ser aresetadas tal qual e (58), a bastado que a arcela I ( ) sea substtuída or I a ( ) escrto coo: w w, a a ( ) ( S) w (,S) Ω w Esse tero ode ser I w dω ;,, (59), As reresetações tegras ara as dervadas dos deslocaetos ara o cao de oetos cas - aós u trataeto aálogo ao dado à dferecação da tegral elástca o caso do cao de curvatura cal - ode ser escrtas a a coo (558), requeredo aeas a troca do tero elástco de I θ ( ) or ( ) Esse últo ode ser exresso or: ode: w I θ a a ( ) ( ) w (,S) ( S) Ω w, I θ, dω ;,,, (59) ( δ r, δ r, δ r, r, r, r, ); 4πDr,,,,, (59) As reresetações tegras das curvaturas ara os caos cas e oetos tabé ode ser escrtas utlzado-se estratégas slares às equações tegras descrtas aterorete, sto é, adequado-se o tero elástco a a ao seu resectvo cao cal, ortato, trocado-se I χ ( ) or ( ) (57) Esse tero ode ser escrto coo: a a a ( ) q ( ) t ( ) w (,S) ( S) d q ( ) t ( ) Y α ( ) w, I χ e I χ α α Ω α ;,,, α, (59) ode: Ω,

188 64 w 4πDr [ { δ δ δ δ δ δ ( δ r δ r δ r ), α α α α,,, r, α δ r δ r r δ r r 4r r r r ;,,, α, αr,, α,, α,,,,,, α ]} (594) Y ( δ δ δ δ δ δ ) c α ;,,, α, (595) 8D α α α ode c é dado e (5) A artr das reresetações tegras das curvaturas e oetos cas, as equações tegras ara os oetos ode ser escrtas utlzado-se e (57) a a a troca do tero I µ ( ) elo ( ) w, I µ Esse últo tero ode ser escrto coo: I a a a ( ) q ( ) t ( ) µ w (,S ) ( S ) dω q ( ) t ( ) Y ( ) ; µ α,α α µ Ω,,, α, α (596) ode: {( ν) δ δ [( ν) 8 / c] δ δ ( ν) δ δ } c µ Y α α α α ;,,, (597) 8 {( ν) δ δ ( ν) ( δ δ δ δ ) α α α 4πr [( ) δ r r ( ν )( δ r δ r ) r µ w, α ν,, α,,, α ( ν )( δ r r δ r r δ r r 8r r r r ) ]} α,, α,, α,,,,,, α,,, α, (598) ode c é dado e (5) Falzado-se as reresetações tegras dos esforços e oetos cas, te-se as equações tegras dos esforços e oetos cas, te-se a força cortate que ode ser escrta a artr de ua odfcação as equações tegras das a dervadas drecoas das curvaturas e (586), sto é, trocado-se ( ) I a ( ) q I or q w, Para a obteção desse tero ode ser eregada ua técca aáloga ao caso do roblea elástco toado coo cao de curvatura cal: a ( ) ( ) a I q w, (,S) ( S) dω ;,,,r, (599) x Ω r ( ) x ( ) x ( ) r Para o cálculo das dferecações e o estudo das tegras resultates, ua estratéga aáloga ao caso de cao cal e curvaturas é utlzada:

189 65 J α R a ( ) l ε ε ŵ r,β ( θ ) a () s dθ l ε ε α a [ ŵ ( δ r r ) ŵ r ŵ r ] ( ) dθ, β,, β,, β,β, (5) α a l ŵ,r,, β ( ) dθ ;,,, ε E (5), a últa arcela coverge codcoalete, cotudo as deas são deedetes dos valores do âgulo α : l ε ε α a [ ŵ ( δ r r ) ŵ r ŵ r ] ( ) dθ, ν l π ε ε β a,, β,, β α ( ) ( δ r δ r ), β β,,, dθ ;,,, β, (5) Ass, a covergêca é codcoada à osção ( r δ r ) dθ α δ,, α α, e que ua das raízes ode ser obtda ara α π e o valor da tegração do últo tero ode ser dado or: α a a a α l ŵ,r,, β ( ) d, β ( ), β β θ δ ( ) ;,, β, ε 8π 4 α π (5) Ass, substtudo-se (5), (5) e (599), obté-se a arcela elástca da reresetação tegral da dervada drecoal das curvaturas, sto é: I ode: q a a a ( ) ( ) w (,S) ( S) dω ( ) Ξ ( ),tt Ω ;,,, (5) πdr ( δ r δ r r r r r ) w, tt,, δ, 4,,, ( 4), ;,,, t, (54) Ξ δ ;,, (55) 4D

190 66 5)Reresetações Itegras Dscretzadas 5) Dscretzação As soluções aalítcas ara as equações tegras dos robleas elástcos, e geral, ão estão dsoíves; ass, arte-se ara soluções uércas Dessa fora, aalogaete ao descrto o caítulo, essas soluções requere que o cotoro do roblea sea dscretzado e eleetos de cotoro E geral, ara os teros que cotê tegras de doío, ua das téccas que ode ser alcadas é a dscretzação Ω e células, vde fgura 55 Ass reresetações tegras dscretzadas de chaas(5/55), e deforações cas, ode ser aresetadas coo: C Nel T T ( ) U ( ) P QΦ d U ( s) U QΦ d P ( s) Ncell U Ωl Nel Θ T cc T a a d Ω B ( S ) σ Ψ d Ω ε ( S ) D( ) ε ( ) L L Ncel Ω (56) ode é o úero de ós do eleeto ; c e cc são os resectvos úeros de ós da célula co carregaetos alcados e área e e lha; Nel, Ncel e Ncell são os resectvos úeros de eleetos de cotoro, de células das regões subetdas a carregaetos alcados e área e e lha;, e Θ T T T Φ Ψ são as resectvas atrzes coostas or fuções teroladoras das varáves de cotoro e das deforações elástcas x x x Ω L Ω x x Fgura 55- Dscretzação de cotoro e de doío

191 67 Na equação (56), os vetores -ésos assocados às varáves de cotoro e aos valores de doío dados tal qual e (4); o vetor que coté as cotrbuções elástcas e deforações cas ode ser escrto coo: ε a a a ac ac ac ( ε ε ε L ε ε ε ) T (57) T Já as reresetações tegras dscretzadas de lacas,(55/558) e curvaturas cas, ode ser aresetadas coo: Nel Nel Nc T T ( ) W( ) c Φ d W ( s) d Φ d V ( s) r ( s) w g g g cell Ncel T c wg Θ dω L G L Ω L Ω T a ( S ) Ψ dω χ ( S ) (58) E (56), os vetores -ésos assocados às varáves de cotoro e os valores de doío são dados tal qual e (4); os vetores das cotrbuções elástcas e curvaturas cas ode ser escrtos coo: T a a a ac ac ac ( w w w L w w w ) T χ (59),,,,,, Cové ressaltar que as reresetações tegras dscretzadas, e tesões (chaas) e oetos (laca) cas, ode ser escrtas aalogaete às equações (58), bastado ucaete fazer as trocas coveetes das atrzes de fluêca assocadas às deforações/curvaturas cas or aquelas das tesões/oetos cas Alé das reresetações tegras dscretzadas dos deslocaetos, ara vablzar a solução do sstea algébrco dos robleas elástcos, e geral, são utlzadas as reresetações dos esforços, or exelo, tesões ara os robleas de chaas e oetos ara o rege de flexão Neste trabalho, as reresetações tegras dscretzadas desses caos tesoras serão escrtas aeas ara otosfote colocados o doío, de fora que elas ode ser exressas resectvaete a artr de (54) e (57):

192 68 ( ) () () s P Q s U Q Nel T Nel T u Φ σ Φ σ σ d d ( ) S B cc L Ncell l T u Ω Ω Θ σ L d ( ) ( ) ( ) E S a a Ncel T ε ε Ω Ψ σ Ω ε d (5) ( ) () () () Nc g w g g Nel T v Nel T w M s r s V d M s W d M M Φ Φ ( ) ( ) ( ) S d M S G d M a a Ncel T c L cell L L T g w χ Λ χ Ω Ψ Ω Θ Ω χ Ω (5) ode os vetores Θ, Ψ, Φ são dados e (4), (4) Os deas vetores e (5) são dados or: σ d d d q d q q d q q d q ;,, (5) σ u s s s q s q q s q q s q ;,, (5) σ ε N N N N q N q N q q N q q N q q N q ;,, (54) L L L L q L q L q q L q q L q q L q E ;,, (55) ode os erels e (5) a (55) são dados resectvaete e (), () e (546) Já os teros lvres de tegral e (55) estão dcados e (547) Alé dos vetores Θ, Ψ, Φ, os deas resetes e (58) são dados or:

193 69 q µα,q qµ,q qµβ,q M w qµα, qµ, qµβ, ;,, µα, µ, µβ, q µ w,q qµθ,q M v qµ w, qµθ, ;,, µ w, µθ, q µ q qµ q qµ q M χ qµ qµ qµ ;,, µ µ µ (56) (57) (58) qµ J Λ qµ J µ J q q µ J q µ J µ J q q µ J q µ J µ J q ;,, (59) Os erels resetes e (56) e (57) estão dcados as exressões de (97) a () O vetor dcado e (58) é coosto elo erel exresso e (575) Já os teros lvres de tegral reudos e (59) estão dcados e (576) Caso as reresetações tegras ara os robleas de chaas e flexão sea escrtas e tesões/oetos cas, os vetores ε T (57) e χ (59) deve T T ser trocados resectvaete araσ e que são exressos or: T T a a a ac ac ac ( N N N L N N N ) T σ (5) T a a a ac ac ac ( L ) T (5) Alé dsso, as atrzes σ E, ε M χ e Λ e (5) e (5) deve ser substtuídas resectvaete or σ, F, M σ e Ξ Essas são exressas or: σ σ qε qε ε q q ε q ε ε q q ε q ε ε q ;,, (5)

194 7 qz q qz q qz q (5) F qz qz qz ;,, Z Z Z ode os erels resetes (5) são dados e (54) Já os teros lvres de tegral e (5) estão dcados e (544) q µ w,q qµ w,q qµ w, q M qµ w, qµ w, qµ w, ;,, µ w, µ w, µ w, (54) qµ Y Ξ qµ Y µ Y q µ Y q µ Y µ Y q µ Y q µ Y µ Y ;,, (55) Os erels resetes e (54) estão dcados a exressão (598) Já os teros lvres de tegral reudos e (55) estão dcados e (597) 5) Aroxação das varáves do roblea Cofore descrto o caítulo 4, são utlzadas duas abordages o odelo hexaaraétrco ara terolação das varáves do cotoro: a rera é a soaraétrca lear e a outra é a terolação cúbca ara os deslocaetos oras e trasversas ao cotoro da lâa Já a forulação tetraaraétrca aeas a terolação soaraétrca lear é utlzada O assuto da aroxação das varáves o cotoro á fo abordado o caítulo 4 Ass, otou-se descrever esta seção aeas as téccas eregadas a terolação dos caos cas as células Os teros elástcos são learete terolados o doío de cada célula, vde fgura 56 a Ν a Ν ó Ν a a a ó a ó ó ó ó Fgura 56- Iterolação dos Caos Ielástcos

195 7 Eregado-se a terolação soaraétrca lear, a reresetação tegral dscretzadas de chaas, e que as deforações são toadas coo cao cal, c ode ser escrta tal qual e (56); os vetores -ésos P, U, B, P, U deota o eso que e (4); os deas vetores ode ser exressos coo: ψ Ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ( ε ε ε ε ε ε ε ε ε ) (56) T ε (57) Já ara o roblea de flexão e co a terolação soaraétrca lear, os vetores -ésos V, W, G, c G, cc L c, d e W ode ser exressos tas quas g e (4) O vetor Ψ é dado tal qual e (56) e os deas vetores resetes e (58) ode escrtos coo: ( w w w w w w w w w ) T χ,,,,,,,,, (58) 5) Reresetação Algébrca 5) Cálculo das tegras ara os caos cas Devdo à reseça de sgulardades as severas, ua alteratva ara calcular as tegras elástcas é eregar téccas uércas(quadraturas) o doío Ua dessas téccas é o rocedeto roosto e TELLES(98), e que o doío é escrto e fução de coordeadas olares e, e seguda, os erels são tegrados aaltcaete e fução do rao Por f, é alcada ua quadratura udesoal os teros resultates da rera tegração, que são deedetes da varável agular do sstea olar Na seqüêca, são descrtos esses rocedetos Cofore dscutdo a seção 5, as arcelas tesoras elástcas são teroladas learete o doío Ass, esses teros assocados tato co os estados laos quato coo o rege de flexão ara caos cas e tesão/oeto ode ser escrtos coo:

196 7 N a a a a ψ N ψ N ψ N (59) a a a a ψ ψ ψ (5) ode ψ, N e são resectvaete a fução teroladora; os vetores que cotê as cooetes da tesão e oeto elástco; abos estão assocados aos ós, ou da célula, vde fgura 56 E (56), as fuções teroladoras ode ser escrtas utlzado-se equações de laos, de fora que ode ser exressas coo: ψ ( S ) B x ( S ) C x A (5) ode os coefcetes A, B, C ode ser exressos or: A ( x x )/ D ; ( ) t B x x / D t A ( ) x / D x t ; ( ) x / D x t ; C ( x x x x ) / D ; t x x / D x x C ; B ; ( ) t (5) A ( )/ D x x t ; B ( ) / D x x t ; C ( x x x x )/ Dt co: D t x ( x x ) x ( x x) x ( x x ) Alteratvaete, (5) ode ser escrta segudo o sstea olar, sto é: ψ r ( A cosθ B seθ ) C (5) A arcela de tegral elástca da reresetação dos gradetes de deslocaetos e chaas(56) ode escrta o sstea olar de coordeadas, vde fgura 57, or: a h ah h ah h ah ( ) κr (,s) ( ) N r ( S) dω ( cn c N c N ) q Ω,,, r, ; (54) ode c h r co ( θ ) κ r R θ R ( θ) ( θ) q ˆ κr h h h ( ) ( θ) ( ) [ r( A cos θ B seθ) C ] r rdrdθ ˆ é a arte deedete do rao r o erel dado e (5): (55) ( θ ) r κ ˆ κ r r ;,,, r, (56)

197 7 S R (θ) R (θ) r θ x Fgura 57- Itegração a célula Aós o cálculo da tegração a dreção radal, (55) ode ser escrta coo: c h r h h ( ) κˆ ( θ) ( ) ( A cos θ B seθ) ( θ) ( θ) θ R q r l R [ R ( θ ) R ( θ )]} dθ h C ;,,, r, (57) Aalogaete à reresetação (55), o tero elástco da reresetação tegral dos deslocaetos trasversas de laca (59) ode ser escrto coo: a h ah h ah h ah (,s) r ( S) dω ( ) w,r Ω ;,,, r, (58) ode: h r ( ) R θ h h h ( δ r l r r, r,r ) [ r( A cosθ B seθ ) C ] θ R ( θ ) 4πD rdrdθ (59) Aós o cálculo da tegração a dreção radal, (59) ode ser escrta coo: h r h C {[ R ( θ ){ l R ( θ )} R ( θ ){ l R ( θ )}] δ r 4πD [ R ( θ) R ( θ) ] r r } dθ θ [ ] { r r h h,, r ( A cosθ B seθ ) R ( θ ) R ( θ ) 8πD θ R r ;,,, r, ( θ ) l R ( θ ) R ( θ ) l R ( θ ) δ dθ,, r (54)

198 74 O cálculo dos teros das tegras elástcas da reresetação tegral das resultates de tesões (54) ode ser efetuado tal qual e (54), bastado-se trocar κr or ε r esa Ass, te-se que: co:, ua vez que a orde das sgulardades esses erels é a a h ah h ah h ah ( ) εr (,s) ( ) N r ( S ) dω ( tn t N t N ) Ω q (54) t h r ode ( θ ) ε r θ q h h ( ) ˆ ε ( θ ) ( ) ( A cosθ B seθ ) r [ R ( θ ) R ( θ )]} dθ h C ;,,, r, R l R ( θ ) ( θ ) ˆ é a arte deedete do rao r o erel e (54): r ( θ ) r ε ˆ ε ;,,, r, r (54) O erel da tegral elástca ara a reresetação tegral dos oetos (57) ode ser trabalhado o sstea olar de coordeadas de aera slar ao da arcela elástca da reresetação tegral dos gradetes (56) Ass, o cálculo da tegral de doío de (596) ode aresetado coo: a h ah h ah h ah ( ) µ w,r (,s) ( ) r ( S) dω ( e e e ) Ω q ;,,, r, (54) co: e h r ode ( θ ) µ, r h h ( ) µ ŵ ( θ) ( ) ( A cosθ B seθ) ( θ) ( θ) θ R q,r l R [ R ( θ ) R ( θ )]} dθ h C ;,,, r, ŵ é a arte deedete do rao r o erel dado e (598): ( θ ) r µ ŵ µ ;,,, r,, r w,r (544) As tegrações aterorete aresetadas fora escrtas ara caos elástcos e tesões/oetos cas Cofore dscutdo as seções aterores deste caítulo, ua outra aera que os robleas elástcos ode ser abordados é or eo de caos cas e deforações/curvaturas Adotado-se ua

199 75 terolação lear ara esses caos o doío de cada célula, o cálculo das tegrações do tero elástco ode ser efetuado u rocedeto slar ao dos caos cas e deforações/curvaturas Ass, as reresetações dos gradetes dos deslocaetos e chaas são obtdas trocado-se ˆ ( θ ) or ( θ ) (55); á e lacas, a troca deve ser w,r or κ r r e (54): a h ah h ah h ah ( ) λr (,s) ( ) εr ( S ) dω ( cε cε cε ) Ω ˆ e q ;,,, r, (545) ode c h r co ( θ ) λ r q h h R ( ) ( ) ( ) ( ) ( θ) λˆ θ A cos θ B seθ l r ( ) θ R θ [ R ( θ ) R ( θ )]} dθ h C ;,,, r, ˆ é a arte deedete do rao r o erel dado e (59): r ( θ ) r ˆ λ λ ;,,, r, r a χh ah χh ah χh ah (,S ) w,r ( S ) dω ( w, w, w, ) r Ω λ r (546) ;,,, r, (547) ode: χ r ( ν) π C 4 θ h [ R ( θ) { l R ( θ) } R ( θ) { l R ( θ) }] { δ r ( ν ) 8π r r ν,,r [ R ( θ ) R ( θ )] νδ dθ h h ( A cosθ B seθ ) [ R ( θ ) R ( θ )] θ r r, r,r { νδr ν (548) R r ;,,, r, ( θ ) lr ( θ ) R ( θ ) lr ( θ ) δ dθ Da esa fora, o cálculo dos teros elástcos das reresetações tegras das tesões e oetos ara os caos cas e deforação/curvatura ode ser efetuado a artr do rocedeto alcado à abordage tesão/oeto cal, bastado-se austar os resectvos erels ˆ ( θ ) or ( θ ) ŵ ( θ ) or ˆ ( θ ) µ, r µ, r Ass, te-se que: ε r ˆ ; σ r

200 76 a µ h ah µ h ah µ h ah ( ) µ (,s) ( ) w,r ( S ) dω ( e w, e w, e w ),r q, Ω,,, r, ; (549) co: e µ h r θ q ode co ( θ ) µ, r h h ( ) µ ˆ ( θ) ( ) ( A cosθ B seθ),r [ R ( θ ) R ( θ )]} dθ h C R l R ;,,, r, ( θ) ( θ) ˆ é a arte deedete do rao r o erel dado e (575): ( θ ) r (55) µ ˆ,r µ,r ;,,, r, (55) 5)Sstea de equações Cofore dscutdo o caítulo 4, a reresetação algébrca é obtda or eo da tegração das equações tegras dscretzadas Nesta seção são descrtos os ssteas algébrcos ara as forulações tetra e hexaaraétrca 5)Forulação hexaaraétrca Na seqüêca são aresetados os ssteas algébrcos da forulação hexaaraétrca ara doíos slesete coectados ara os robleas deedetes dos estados laos e do rege de flexão E seguda, esses ssteas são esteddos ara doíos colaares co regões co rgdezes dsttas 5)Probleas slesete coectados de chaas e lacas Icalete, são dscutdos os ssteas de equações obtdos das equações tegras dos deslocaetos e seus gradetes E seguda, o eso é feto ara as equações tegras de tesões/oetos ara otos de doío Cofore dscutdo o caítulo 4, devdo a ua dfereça o úero de graus de lberdade o vetor dos deslocaetos e o de forças e cada u dos robleas de chaas e lacas são serdos zeros as resectvas osções assocadas às varáves fctícas troduzdas o vetor das forças No roblea de caos cas e tesões/oetos, as cotrbuções de u -éso eleeto da reresetação algébrca - deslocaetos e seus gradetes e chaas e

201 77 deslocaetos trasversas e suas dervadas drecoas e lacas- ode ser escrtas resectvaete coo: h h h h h h h h h ν g ν g, θ z g g g g t b t b χ b D D D D D D D D D N N N a a a (55) ode D são as subatrzes e que os ídces, estão assocados resectvaete a à lha da reresetação tegral e o úero do ó da célula; o vetor N coté as cooetes das tesões elástcas do ó da célula h h h h h h h h h w g θ g θ t g g g g V g g χ g a D D D (55) a D D D a D D D ode D são subatrzes equvaletes à D ; o vetor a coté as cooetes dos oetos elástcos do ó da célula Aós a colocação do oto-fote os otos de doío e a cororação das cotrbuções de todos os eleetos e células, as reresetações (55) ou (55) ode escrtas geercaete coo: ( ) D Dˆ T a u G (554) H ode D é a atrz de fluêca da tegral de doío assocada aos caos a elástcos(tesão ou oeto cal) T teros lvres elástco Dˆ é a atrz dos coefcetes dos Alcado-se u rocedeto sular ara as reresetações tegras de tesões/oetos ara otos-fote o doío, as cotrbuções de u -éso eleeto ode ser escrtas resectvaete coo:

202 78 N N N N N N a a a s s s s s s s ν d s ν d s z θ d d d d t E t E χ E E E E E E E N N N a a a (555) a s a s a s s s s s w d s θ d s θt d d d d V E E χ E E E E a E a E a E (556) Aós a colocação do oto-fote os otos de doío e o côuto das cotrbuções de todos os eleetos e células, as reresetações (555) ou (556) ode escrtas geercaete coo: T d H d u Gd Dd Dˆ d T (557) a d ode D é a atrz de fluêca dos caos elástcos(tesão e/ou oeto cal) das reresetações tegras dos esforços(tesão e/ou oeto) resectvaete Dˆ é atrz dos teros lvres elástcos d d H, G e T d, T a d são as atrzes de fluêca das varáves de cotoro e do vetor dos oetos/tesões reas e elástcos ara otos-fote o doío, resectvaete Nesse trabalho, otou-se reterr as reresetações tegras de cotoro ara tesões e oetos devdo à reseça de alguas sgulardades severas dos erels Ass, artu-se ara ua abordage usual BANERJEE et al(979), TELLES & BREBBIA(979), etc - e que os tesões e oetos o cotoro são deterados a artr de equações de equlíbro de arte de suas cooetes As deas são obtdas or terolações dos valores odas dos deslocaetos e rotações Na seqüêca, essa técca é dscutda co as detalhe Toado-se u eleeto de cotoro geérco e o sstea de referêca local ( xˆ, ) xˆ, cofore dcado a fgura 58, os co-seos dretores cos( xˆ,xˆ ) e cos( xˆ,xˆ ), se levados as relações de Cauchy (54), e as cooetes de força de suerfíce ode ser escrtas coo:

203 79 (558) Nˆ tˆ t (559) Nˆ tˆ t A cooete reaescete de tesão algebrso a le costtutva e tesões cas (58): v Gt a t Nˆ Nˆ ˆ ν ν ε Nˆ Nˆ ode ser obtda or u Nˆ a (56) Se (558) for substtuída e (56), ve: v Gt a tt Nˆ ˆ ν ν ε Nˆ Nˆ a (56) s L ^ s, x ^, x L ^ σ ^σ σ ^ ^ σ - Fgura 58- Sstea de referêca (resultates de tesão o cotoro) Já a deforação ˆε ode ser obtda eregado-se ua técca bastate utlzada o Método dos Eleetos Ftos (MEF), sto é, dferecado-se as fuções de fora dos deslocaetos Ass, te-se que: ˆ ε t t L ξ ξ [ φ () s ] ν [ φ () s ] ν [ φ ( ξ )] ν [ φ ( ξ )] ν (56) Para o rege de flexão ode ser eregada ua estratéga slar ao roblea de chaas, vde fgura 59 Ass, a artr das relações (), ode-se escrever que:

204 8 ˆ (56) Aós ua aulação algébrca as relações costtutvas ara caos elástcos toados coo oetos cas (588) e, ada, utlzado-se (56), a cooete ˆ dos oetos ode ser escrta coo: ˆ a a v ˆ D( ν )ŵ, ˆ (564) Já a cooete ˆ ode ser exressa a artr de (588) coo: ˆ a D( )ŵ, ˆ ν (565) x θ ^, t w ^ ^, θ w, x, x ^ ^ ^ ^ ^ - L L Fgura 59- Sstea de referêca (oetos o cotoro) coo: A artr da fgura 59, as dervadas drecoas o cotoro ode escrtas ŵ, θ ; ŵ, θ t (566) Tato (565) e (566) estão escrtas e fução das ucaete e fução das curvaturas as dreções e setdos dos oetos e questão Essas curvaturas ode ser aroxadas a artr da dferecação das fuções de fora das rotações tagecas e oras ao cotoro:

205 8 () () ( ) ( ) ξ φ ξ θ ξ φ ξ θ θ φ θ φ θ, L s s xˆ xˆ ŵ (567) () () ( ) ( ) ξ φ ξ θ ξ φ ξ θ θ φ θ φ θ t t t t t, L s s xˆ xˆ ŵ (568) Cové efatzar que ara u ó ertecete a dos eleetos cotíguos, cuos coretos sea L, L, as cotrbuções ara ele ode ser aroxados, utlzado-se a éda artétca daquelas assocadas aos dos eleetos: ( ) ( ), L L ŵ ξ φ ξ θ ξ φ ξ θ (569) Para as deas cooetes dos caos aroxadas o cotoro descrtas e (568) e (56) ode ser eregada ua técca slar As equações (558), (559), (56) e (56) ode ser reudas e ua úca reresetação algébrca das tesões de u oto o cotoro ara os robleas de chaas: a a a Nˆ Nˆ Nˆ t t t t Nˆ Nˆ Nˆ ν ν χ ν ν ( ) z z v v v v A A L Gt θ θ ν (57) ode ( ) [ ] ξ φ ξ A, e que 5, A ara ua fução φ lear

206 8 Se equação (57) for escrta ara o oto cocdete co o segudo ó do eleeto de cotoro, sto é, v v ó (fgura 57), e ada, se for eregada a técca da éda dos coefcetes de fluêca, dscutda e (569), te-se que: a a a Nˆ Nˆ Nˆ t t t t Nˆ Nˆ Nˆ ν ν χ ν ν z v v L L Gt θ ν (57) Para o roblea de flexão, ode ser utlzada ua estratéga slar ara reresetar as resultates de tesões os otos de cotoro, de fora que a reresetação algébrca equvalete a (57) ode ser exressa or: a a a ˆ ˆ ˆ V ˆ ˆ ˆ ν χ ν ( ) t w L L D θ θ ν (57) Ass, aós cororação das cotrbuções de todos os ós do cotoro, ua reresetação algébrca ara as tesões dessa regão ode ser escrta coo: a c c c c c c T Dˆ D G u H T (57) E (57), o ídce c das atrzes de fluêca está assocado aos otosfote o cotoro Ass, o sstea algébrco ara otos de doío e de cotoro ode ser exresso a artr de (557) e (57):

207 8 a d a c d d c c d c d c d c T T Dˆ D Dˆ D G G u H H T T (574) Ou ada exressa a fora coacta coo: a T Dˆ D G u H T (575) Ua das aeras ara se escrever o sstea algébrco do roblea elástco é reresetá-lo elado-se as cógtas do cotoro or eo da substtução da reresetação algébrca de cotoro dos deslocaetos e suas dervadas (554) a reresetação das tesões/oetos (575) As cógtas do cotoro são reagruadas esses ssteas edate a osção das codções de cotoro Cofore dscutdo aterorete, devdo à reseça de varáves fctícas o vetor das forças, u rocedeto esecal, slar ao dscutdo a seção 4, ode ser eregado, caso os graus de lberdade(gl) z θ e/ou t θ fore rescrtos Nessa estratéga, às lhas do sstea assocadas aos GL rescrto(s), z θ e/ou t θ, deve ser atrbuídos valores ulos, clusve e D e Dˆ E seguda, às resectvas coluas das atrzes de fluêca assocadas a esse(s) GL tabé deve ser ostos valores ulos E falzado-se o rocedeto, atrbu-se a udade os eleetos da dagoal assocado(s) às rotações rescrtas( z θ e/ou t θ ) Ass, aós o rocedetos de osção das codções de cotoro e (575), as cógtas ode ser regruadas coo: ( ) a T Dˆ D f y A (576) ( ) a T Dˆ D f y A T (577) E, falete, as cógtas do cotoro ode ser eladas do sstea algébrco de lacas co a substtução de (576) e (57): a a e BT T T T (578)

208 84 ode: ( D Dˆ )( D Dˆ ) B D E A A (579) f A A f (58) Se o cao cal for toado e deforações/curvaturas, reresetações ara deslocaeto e tesões( doío) ode ser escrtas coo: ( ) R Rˆ χ a u G (58) H T d H d u Gd Rd Rˆ d χ (58) a d ode Rd é a atrz de fluêca dos caos elástcos (deforação e/ou curvatura cal) das reresetações tegras dos esforços(tesão e/ou oeto) resectvaete d Rˆ é a atrz dos teros lvres elástcos χ a d é o vetor dos deforações/curvaturas cas ara otos-fote o doío, resectvaete Cofore dscutdo aterorete, este trabalho otou-se or ão escrever as equações tegras das tesões/oetos e otos do cotoro Ass, alcado ua técca slar ao caso dos caos cas e tesões/oetos, te-se que o roblea de chaas, e que o cao elástco é toado coo deforações cas, ua exressão aáloga a (56) ode ser escrta coo: Nˆ t v ν Nˆ ˆ ε ˆ ε a 4Gtv ν ˆ ε a (58) ode ˆε ode ser escrta tal qual (56) Para o roblea de flexão e curvaturas cas, a cooete dos oetos ˆ ode ser exressa tal qual e (56); as deas ode ser escrtas a artr de (548): ˆ D( ν ) ŵ, ŵ a, (584)

209 85 a,, ŵ ŵ ) D( ˆ ν (585) ode as curvaturas, ŵ e, ŵ estão exressas resectvaete (567) e (569) Se as exressões das cooetes de Nˆ e ˆ fore reagruadas, u sstea aálogo a (57) ode ser escrto coo: a c c c c c c Rˆ R G u H T χ (586) Ass, o sstea algébrco ara otos de doío e de cotoro ode ser exresso a artr de (58) e (586): χ χ a d a c d d c c d c d c d c Rˆ R Rˆ R G G u H H T T (587) Ou ada exressa a fora coacta coo: a Rˆ R G u H T χ (588) De fora aáloga, as reresetações algébrcas de chaas e lacas co as arcelas elástcas são toadas coo caos cas e deforações/curvaturas ode ser escrtas coo: ( ) a Rˆ R f y A χ (589) ( ) a Rˆ R f y A T χ (59) Ass, os resectvos ssteas algébrcos coactos das resultates de tesões e oetos ode ser escrtos substtudo-se (589) e (59): a Q T χ (59) ode: ( )( ) Rˆ R Rˆ R A A R Q (59)

210 86 5) Probleas colaares co ultrregões Nas seções aterores fora aresetadas as reresetações tegras e algébrcas ara os robleas de laca e chaa defdos e u doío sles Cotudo, é uto freqüete o aareceto de robleas coostos or váras regões que ossue suas resectvas roredades geoétrcas e/ou físcas Adotado-se ua dsosção de aresetação slar àquela utlzada ara robleas slesete coectados; as seções subseqüetes, são dscutdos os ssteas resultates das equações tegras dos deslocaetos e seus gradetes, das tesões/oetos e otos de doío Nesta seção é dscutdo u caso esecal da estrutura colaar forada or duas regões co roredades físcas e/ou geoétrcas dsttas Na fgura 5, estão dcadas as duas regões co seus resectvos doíos e cotoros Utlzado-se a esa estratéga dscutda o caítulo ateror, de redefr os cotoros de terface coo e a reresetação algébrca da rera regão ode ser escrta coo: H H H U U G G G P P D D T a a H G D T D (59) T a T a Ω Ω Fgura 5- Duas regões elástcas colaares

211 87 A seguda regão te sua reresetação escrta coo: a a T T D D D D P P G G G G U U H H H H (594) Na terface, tato as equações de equlíbro (forças e esforços verdaderos) quato as relações de coatbldade (deslocaetos e rotações totas) forece ua relação adcoal ara as reresetações de abas subregões: w v v w v v z t z t θ θ θ θ θ θ (595) V t t V t t ; χ χ χ χ (596) Ass, artr de (59) a (596), o sstea algébrco evolvedo abas regões ode ser escrto coo:

212 88 P P G G G G P U U U G H H G H H G H H G H H a a a a T T T T D D D D D D D D (597) Ou ada aresetada e fora coacta coo: a T Dˆ D G u H (598) A reresetação algébrca ara as tesões/oetos o doío ode ser feta de aera aáloga ao caso do sstea algébrco ara os deslocaetos e suas dervadas Ass, aós a osção das codções de coatbldade e de equlíbro as terfaces das regões, o sstea algébrco ode ser escrto coo: P P G G P U U U G H H H H T T d, d, d, d, d, d, d, d d a d, a d, a d, a d, d, d, d, d, d, d, d, d, T T T T Dˆ D Dˆ D Dˆ D Dˆ D (599)

213 89 A reresetação algébrca ara caos tesoras o cotoro ode ser exressa elo acolaeto dos ssteas algébrcos escrtos deedeteete ara cada u dos cotoros Icalete, ara as reresetações dos caos tesoras são eregadas as téccas dscutdas a seção 5, sto é: arte das cooetes é obtda ela relações de Cauchy e as deas or terédo da alcação de dferecações aos valores odas dos graus de lberdade, sto é, reresetações algébrcas slares às (558 a 569), ara os otos fgura 5 e de esas coordeadas da terface, vde ^ () ^ () s ^ (), x^ () Ω s ^ () s, x^ () ^ s, x ^, x ^ () σ Ω ^ () σ ^ () σ ^ () σ ^σ σ^ ^σ ^σ Fgura 5- Ssteas locas e ua terface co duas regões E seguda, o acolaeto das regões é feto utlzado-se as relações de equlíbro e de coatbldade esses otos

214 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^ a ^ a ^ a a a a ^ ^ ^ N N N Nˆ Nˆ Nˆ t t t t t t N N N Nˆ Nˆ Nˆ ν ν ν ν χ ν ν ν ν z v v L L Gt θ ν (5) Aalogaete, os oetos o cotoro ode ser escrtos coo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^ a ^ a ^ a a a a ^ ^ ^ ˆ ˆ ˆ q ˆ ˆ ˆ ν ν χ ν ( ) t w L L D θ θ ν (5) Aós escrever as equações (5) e (5) ara todos os ós do cotoro, ua reresetação algébrca ode ser escrta coo:

215 9 P P G G G G P U U U G H H G H H G H H G H H T T T T c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c c c c a c, a c, a c, a c, c, c, c, c, c, c, c, c, T T T T D D D D D D D D (5) Ao reur as reresetações das tesões/oetos do doío e do cotoro, ua fora coacta ara elas ode ser escrta coo: a d a c d d c c d c d c d c T T Dˆ D Dˆ D G G u H H T T (5) Ou ada exressa a fora suer coacta coo: a T Dˆ D G u H T (54) No sstea algébrco (54), devdo ao úero sueror de equações e relação às varáves reas, ara os cotoros slesete coectados, ode ser utlzada ua técca aáloga àquela dscutda a seção 54 ara as terfaces lgadas: a de serção dos graus de lberdade fctícos χ e χ do vetor P P Co sso, aós aulações algébrcas slares às ecoadas a seção ateror, o sstea algébrco dos deslocaetos de cotoro ode ser exresso de aera slar à (577), sto é: a T D g y A T (55)

216 9 A artr da substtução de (598) e (55), te-se a reresetação das tesões/oetos verdaderos e fução dos caos elástcos aalogaete à (578) 5)Forulação Tetraaraétrca Nesta seção são aresetadas alguas adatações a forulação hexaaraétrca ( equações: chaas; equações: lacas) a f de reduz-la ara quatro reresetações tegras or ó 5) Probleas co regões sles Icalete, são dscutdos os ssteas de equações obtdos das equações tegras dos deslocaetos e seus gradetes E seguda, o eso é feto ara as equações tegras de tesões/oetos ara otos de doío; falzado-se a seção, te-se a reresetação desses caos o cotoro Ass, ara reresetar os efetos de chaa da forulação tetraaraétrca, são dscretzadas aeas as equações tegras dos deslocaetos (5), (55) e (558), se o cao elástco for toado e tesões/oetos cas: Nel us ci u q ( ) ( ) ( R uq) ( R uq ) ( R u Q ) ( R u Q ) Nel ( R ) ( ) fq R fq ( R f Q ) ( R f Q ) ϕ d ϕd { U } s N s N s N A { P } d ;,, ψ Ω ε ΩK q N q N q N K (56) w w c I w,q θ ( ) ( ) V { W } Nel Nc ϕ d V,q,q { V } Nel Nc ϕ d w,q θ,q w R w,q c Ω q, R R c c,q, q W q, (57) ψdω χ ode I é a atrz detdade; c é o tero lvre de tegral que recebe o valor utáro ara otos-fote o doío E cotoros suaves, seu valor é c e, e

217 9 forulações regulares, recebe valor ulo s, q são os co-seos dretores das dreções tagecal e oral ao cotoro o oto de colocação As reresetações tegras dscretzadas ara as resultates de tesões e oetos o odelo TP ode ser escrtas coo e (5) e (5), bastado austar os valores dos erels ( µα e, µβ, ) e (56) ara a reresetação de Raylegh-Gree Ass, o roblea de caos cas e tesões/oetos ode a colocação é feta o cotoro, as cotrbuções de u -éso eleeto da reresetação algébrca - deslocaetos e chaas e deslocaetos trasversas e suas dervadas drecoas e lacas- ode ser escrtas resectvaete coo: h h h h ν g v g g g t t D D D D D D N N N a a a (55) h h h h w g θ g g g V D D D D D D a a a (59) ode D, D são as subatrzes e que os ídces, estão assocados resectvaete à lha da reresetação tegral e ao úero do ó da célula; os vetores a N, cotê as cooetes das tesões/oetos elástcas do ó a da célula As cotrbuções de u -éso eleeto das reresetações algébrcas das tesões e oetos reas, e que o cao elástco é toado e tesão/oeto cal e a colocação dos otos-fote o doío, ara a forulação tetraaraétrca ode ser escrtas a artr da dscretzação de (54) e (57): N N N N N N a a a s s s s s s s ν s ν s s s s t t E E E E E E E E E N N N a a a (5)

218 94 a a a s s s s d s w d s θ d d d d E V E E E E E a E a E a (5) E Aós a colocação do oto-fote os otos de doío e aós a cororação das cotrbuções de todos os eleetos e células, te-se ua reresetação aáloga à (557) Para a deteração dos oetos o cotoro ode ser utlzada ua técca slar à dscutda a seção (5) Ass, as cooetes ode ser escrtas tas quas e (56), (564) e (568) Cotudo, ara o cálculo de arte das rotações e curvaturas, há ecessdade de fazer alguas adatações o rocedeto descrto e (566), (567) e (568) Ass, a defção das rotações ode ser escrta coo: ŵ, θ (5) Cové ressaltar que (5) é dêtca a ua das relações descrtas e (566) e co sso, a curvatura ŵ, ode tabé ser escrta tal qual e (569) Cotudo, ara o cálculo da curvatura ŵ, é ecessáro utlzar ua dula dferecação do valor odal dos deslocaetos: ŵ, ŵ, w φ w ;,, L, xˆ xˆ xˆ xˆ (5) Ass, a orde ía da fução teroladora a ser eregada é ua quadrátca, sto é, Ass, é utlzada a aroxação de segudo grau ara os deslocaetos trasversas aeas ara o cálculo or dfereças ftas dos oetos o cotoro a forulação TP Desta fora, as reresetações (5) deve ser austadas ara este caso: ŵ, xˆ φ () s θ t φ () s θ t φ () s θ t Ou exressa e coordeadas adesoas coo: ŵ, θ φ ( ξ ) θ φ ( ξ ) θ φ ( ξ ) L ξ ξ ξ ode as fuções teroladoras quadrátcas ode ser exressas or: (54) (55)

219 95 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ξ ξ ξ φ ξ ξ φ ξ ξ ξ φ (56) Para o efeto de chaas, as tesões o cotoro ode ser obtdas slarete ao descrto a seção (5) Cové ressaltar que ara cooete ˆε, é utlzada ua terolação lear ara os deslocaetos ode ser de rero grau coduzdo a ua reresetação dêtca (57) Já ara os oetos o cotoro, a artr de (55) e (588) a segute relação ode ser escrta: a a a ˆ ˆ ˆ V ˆ ˆ ˆ ν ν ( ) w w w B B B A A A L D θ θ θ ν (57) ode ( ) [ ] ξ φ ξ A e ( ) [ ] ξ φ ξ B Cofore ode ser observado as equações (58) a (5), os úeros de graus de lberdade assocados aos deslocaetos e às forças são dêtcos, dsesado, ortato, a abordage tetraaraétrca, a técca de serção de varáves fctícas eregada a forulação hexaaraétrca 5) Probleas colaares ultcoectados As adatações utlzadas os robleas de doío sles ode ser esteddas ara os casos colaares ultcoectados

220 96 6 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS 6)Itrodução As reresetações tegras ara robleas elástcos, dscutdas o caítulo ateror, são drecoadas ara o estudo de robleas elastolástcos Icalete, são aresetados os cocetos báscos da lastcdade clássca e, e seguda, arte-se ara a obteção da reresetação algébrca E, or f, é dscutda a alcação de u algorto creetal-teratvo ara a resolução do sstea de equações ão-leares reresetatvo do roblea 6)Cocetos báscos da lastcdade Nesta seção, são troduzdas oções de algus rcíos báscos da teora da lastcdade clássca, que serão utlzados a reresetação de algus robleas co coortaeto fscaete ão-lear As décadas de 9 e 95 fora algus dos eríodos as tesvos, e que os cocetos e hóteses báscas da etão chaada teora da lastcdade clássca de etas fora cocebdos A artr de observações exeretas, os esqusadores adtra alguas hóteses ara a deforação lástca, que ode ser descrtas coo: a)a deforação lástca está assocada co a dssação de eerga, de fora que o cao relatvo a essa deforação é rreversível; b)devdo ao caráter dssatvo, o rocesso de deforação lástca é deedete da hstóra do carregaeto; c)a deforação lástca é assuda coo deedete do teo, sto é, os efetos vscosos são desrezados durate a ocorrêca do fluxo lástco No desevolveto das equações costtutvas da lastcdade clássca, tê sdo usadas, rcalete, duas abordages: a rera é a etão chaada teora de deforação, cua característca rcal é a relação total etre as deforações e as tesões f ( ) ε σ Cotudo essa teora é restrta aos casos de carregaeto roorcoal A seguda abordage ara a reologa do roblea é a chaada teora creetal, cuo coceto rcal está fudaetado a relação dos creetos de deforação lástca dε co o estado de tesão σ e co seus creetos

221 97 dσ À teora creetal da lastcdade, há u sstea algébrco costtuído or equações ão-leares assocado Para esse sstea, ua das téccas utlzadas a solução é subdvdr o roblea e város estágos e resolver cada u deles coo se fosse lear Ass, a teora creetal, o algorto de solução do sstea á é otado dretaete a flosofa creetal, e, e geral, evolvedo rocessos teratvos U dos asectos ortates a lastcdade é a descrção da etão cohecda suerfíce de carregaeto, que ode ser etedda coo a suerfíce de escoaeto subseqüete ara u ateral deforado elastolastcaete, que defe o cotoro da correte regão elástca Se o valor da tesão estver detro do cao defdo or essa regão, ehua deforação lástca ocorrerá E cotraartda, se o estado de tesões estver o cotoro da regão elástca e teder a over-se ara fora da correte suerfíce de carregaeto, deforações adcoas ocorrerão acoahadas ela udaça de fora dessa suerfíce Ass, a fução ara a suerfíce de escoaeto ode ser escrta e teros de varáves referetes ao correte estado de tesões e a u arâetro κ da resosta ós-escoaeto, sto é: (, κ ) f σ,,,, ou escrto de ua aera alteratva coo: f ( σ, κ ) F( σ ) κ ( ε ) F σ e ( ε ) ode ( ) (6),,,, (6) κ defe, resectvaete, a fora e o taaho da suerfíce de carregaeto ε é a deoada deforação efetva, que deede da hstóra do carregaeto Ua das tarefas árduas da lastcdade é odelar o coortaeto da resosta ós-escoaeto do ateral, chaada de le de ecruaeto, e que é descrta a evolução das suerfíces de carregaeto Dversas abordages ara esse roblea á fora roostas or vestgadores, cotudo as as dfuddas a lteratura são aqueles odelos cohecdos coo: ecruaeto sótroo, ecruaeto ceátco e ecruaeto sto Este últo cosste a cobação dos dos reros

222 98 Icalete, será dscutdo o odelo do ecruaeto sótroo A característca rcal dessa abordage é que a suerfíce exade gualete e todas dreções, cotudo se sofrer dstorções e traslações Por slcdade, a evolução das suerfíces de robleas udesoas está lustrada a fgura 6 Fgura 6- Modelo sótroo (caso uaxal)- TELLES(98) Para o caso artcular e que a suerfíce de carregaeto sofre ua exasão ufore, dz-se que o ateral é elastolastcaete erfeto(fgura 6), sto é: ode ρ é ua costate ( ε ) ρ κ, (6) Fgura 6- Modelo sótroo uaxal (elastolástco erfeto)-telles(98)

223 99 Ebora o odelo de ecruaeto sótroo sea atraete devdo à sua slcdade, sua resosta é as adequada ara robleas subetdos a carregaetos ootôcos Essa restrção fo exlcada or eo de observações exeretas de ateras sob ações cíclcas, de fora que se verfcou que as deforações lástcas duza ua asotroa drecoal e ateras calete sótroos, sto é, a deforação lástca cal atuate e u deterado setdo reduza a resstêca do ateral e relação à deforação lástca subseqüete de setdo oosto E outras alavras, se a deforação lástca correte for de tração, a suerfíce de carregaeto osteror de coressão terá seu taaho reduzdo Essa erturbação a reologa do ateral é chaada de efeto Bauschger Esse feôeo ão é cotelado elo odelo sótroo, ua vez que ele revê ua exasão das suerfíces de tração e coressão de taahos equaltáros Ass, outros odelos ara a le de ecruaeto fora roostos, detre os quas, costa o ecruaeto ceátco Nessa abordage, é assudo que durate o rocesso de deforação lástca, a suerfíce de carregaeto traslada coo coro rígdo o esaço das tesões, atedo taaho, fora e oretação da suerfíce de escoaeto cal, (vde fgura 6) F ( σ α ) κ ( ) Fgura 6- Modelo Ceátco CHEN & HAN(988) F ( σ ) κ ( )

224 Para o ecruaeto ceátco, a fução da suerfíce de carregaeto ode ser escrta coo: ode (, α ) F( σ α ) χ f σ,,,, (64) α é a coordeada do cetro da suerfíce de carregaeto, que vara e teros da deforação lástca e χ é ua costate Ass, o odelo ceátco, ua etaa ortate é a descrção da traetóra de α U dos odelos desevolvdos ara esse f é a etão cohecda le de ecruaeto de Prager Nessa abordage, fo roosto que os acréscos das coordeadas do cetro da suerfíce de carregaeto dα são roorcoas aos acréscos de deforação lástca, sto é: dα cdε,,,, (65) Cotudo alguas cosstêcas ode ser observadas o odelo de Prager, rcalete, quado usado o esaço das tesões Por exelo, sea o esaço das " tesões coosto or ( σ σ ) Se arte das cooetes das tesões é " arbtraraete toada coo ula σ e (64), a ova suerfíce de carregaeto ode ser escrta coo: " F( α α ) χ σ,,,, (66) Desde que dα cdε ão sea ecessaraete ulo, a suerfíce dcada " e (66) ão está ecessaraete restrta à traslação ura, ortato ão as satsfazedo coletaete as hóteses do ecruaeto ceátco Ass, ZIEGLER(959) roôs alguas odfcações o odelo de Prager, de fora que se assou a adtr que a traslação do cetro da suerfíce de carregaeto ocorrera segudo as dreções de u vetor de tesão reduzda σ σ α Desse odo, a le de ecruaeto odfcada fo escrta a fora: ( σ α ) dµ dα,,,, (67) ode d µ é u coefcete de roorcoaldade, que deede do hstórco de deforação lástca

225 O tercero odelo alaete dfuddo a lteratura é a abordage de ecruaeto sto Nesse odelo, a suerfíce traslada e exade, sto é, há ua cobação do sótroo e do ceátco(fgura 64) ( α ) κ F σ > κ Fgura 64- Modelo sto - CHEN & HAN(988) Ass, a fução da suerfíce de carregaeto ode ser escrta coo: (,) F( σ α ) κ ( ε ) f σ,,,, (68) Outra etaa ortate da teora creetal a lastcdade é a defção da le de fluxo A eerga otecal elástca W e a deforação elástca dε te or defção a segute relação sob ua trasforação sotérca: e dε ( W ) dσ,,,, (69) σ E 98, vo Mses troduzu o coceto da le de fluxo a artr de ua aaloga de (69), de fora que as deforações lástcas ode ser obtdas a artr da eerga otecal lástca g, sto é: F ( σ α ) κ ( ) e dε dλ g,,,, (6) σ ode d λ é o etão cohecdo fator de roorcoaldade Na lteratura, as les de fluxo são aresetadas segudo bascaete dos cocetos: os assocatvos e os ão-assocatvos Os reros são defdos de fora que a fução da suerfíce de carregaeto é toada coo a eerga otecal lástca

226 A odelage do estado de tesões ultaxas ão é ua tarefa fácl Ass, e geral, arte-se ara ua abordage alteratva, e que os robleas defdos e esaços de desões suerores ode ser aalsados a artr de esaos uaxas Ass, defu-se u ar de tesores cohecdos coo deforação lástca efetva ε e tesão efetva σ e O rero cao efetvo ode ser exresso or: d ε C dε dε,,,, (6) ode o arâetro C deede do odelo utlzado ara a suerfíce de carregaeto A tesão efetva é defda, e geral, utlzado-se a fução de fora da suerfíce de carregaeto sto é: ( ) Cσ e F σ,,,, (6) Alé dsso, o trabalho lástco or udade de volue é exresso or: dw σ dε e (6) e, or defção, o creeto de trabalho lástco é dado or: dw σ dε,,,, (64) A relação tesão-deforação efetva é calbrada o esao de tesão uaxal utlzado-se a exressão: ou dσ dε d e Hd σ e ε (65) H,,,, (66) ode H é a clação da curva do dagraa tesão-deforação uaxal do valor correte de σ e 6)Relações tesão-deforação creetal Icalete, serão dscutdas as relações creetas ara ateras odelados segudo a abordage do ecruaeto sótroo e tabé co as deforações lástcas toadas coo cao cal Ass, cofore dscutdo o

227 caítulo ateror, as relações costtutvas ara robleas co deforações cas ode ser escrtas coo: ( dε dε ) dσ Cl l l,,,,l,, (67) Alé dsso, se for substtuída a le de fluxo(6) e (67), ua fora alteratva ara relações costtutvas creetas ode ser escrta coo: l ( dε dλa ) dσ C,,,,l,, l l (68) ode a l g σ l A dferecal total da fução da suerfíce de escoaeto f (, κ ) σ ode ser escrta coo: df f f dσ dκ,,,, (69) σ κ A relação exressa e (69) é cohecda coo codção de cosstêca, que assegura que o rocesso de carregaeto, as tesões e os estados de deforações eraece a suerfíce de escoaeto subseqüete Detre os odelos que relacoa as deforações lástcas co o arâetro de ecruaeto, tê-se as abordages etão chaadas de ecruaeto or deforação e ecruaeto or trabalho A relação da rera é defda or : κ ε dε (6) Já o ecruaeto or trabalho te sua le, or defção, escrta coo: κ w σ dε,,,, (6) Ass, o creeto de ecruaeto ode ser escrto a artr de (6), (6) e de (6), sto é: dκ βdλ a a,,,, (6) co, C, β σ Ec or deforação, Ec or trabalho

228 4 Substtudo-se a le de fluxo(6), a relação costtutva(68) a equação de cosstêca (69), ve: df b C dε hdλ,,,,l,, l l (6) ode e f h bclal β aa,,,,l,, κ b f,,,, σ Ass, o escalar d λ ode ser solado a exressão (6), sto é: dλ bcstdε st,,,s,t,, (64) h Substtudo-se (64) a relação costtutva(68), te-se que: dσ Cl δ lδ s bcstal dε st,,,s,t,, (65) h Para o caso e que as tesões elástcas são toadas coo cao cal, te-se a segute relação costtutva, cofore dscutdo o caítulo ateror: e dσ dσ dσ Cldε l,,,,l,, (66) Se a relação ateror for substtuída e (64), te-se a segute relação: e e dσ dσ balcldσ,,,,l,, (67) h Ou ada, ode-se escrever os creetos de tesão lástca e fução dos creetos de tesões elástcas fctícas, sto é: e e dσ dσ dσ balcldσ,,,,l,,,, (68) h Cofore descrto aterorete, u outro odelo ara o ecruaeto é o ceátco, cua dferecal total ode ser escrta coo: f f df dσ dα,,,, (69) σ α Se o coefcete de roorcoaldade do odelo de Zegler for assudo coo deedete da deforação lástca efetva, sto é, regdo ela relação

229 5 dµ adε, etão os creetos das coordeadas do cetro da suerfíce de carregaeto ode ser escrtos coo: dα ϕdλ,,,, (6) ode ca, Prager ϕ,,,, a( σ α ) C astast, Zegler Substtudo-se a le de fluxo(6) a equação da codção de cosstêca (69), a segute relação ode ser escrta: dλ bcstdε st,,,s,t,, (6) ĥ ode f f ĥ Ca( σ α ) Cst astast,,,s,t,, α σ Substtudo-se (6) a relação costtutva(66), te-se os acréscos de tesões e fução dos acréscos da deforação total, sto é : dσ Cl δ lδ s bcstal dε st,,,,l,,,, (6) ĥ Para a obteção da relação creetal goverate do odelo ceátco, o caso e que as tesões lástcas são toadas coo cao cal, é ossível utlzar u rocedeto aálogo ao caso do ecruaeto sótroo, de fora que ua relação ode ser escrta coo: e e dσ dσ dσ balcldσ,,,,l,,,, (6) ĥ ou reresetada atrcalete coo: ode d C a e T dσ e (64) dσ dσ dσ d b hˆ Todas relações aterorete esta seção são váldas ara coros trdesoas Ass, ara robleas aalsados sob o odelo bdesoal

230 6 alguas adatações as relações aca são ecessáras Itroduzdo-se a codção do EPD e (64) te-se, TELLES(98): a d G a a co ( a a a ) a T a ν ν ν ν ν ν ( a a a ) a ( a a a ) ( a a a ) Iodo as codções do EPT e (64), resulta -TELLES(98): (65) a d G a ν ν a ν ν ( a a ) ( a a ) (66) Co sso, a exressão (64) ara os robleas bdesoas ode ser escrta coo- TELLES(98): dσ dσ dσ dσ dσ, ( EPT ); dσ ν e dσ e dσ e dσ e dσ hˆ e e [ dσ d ], (EPD) e e σ d b T e dσ e dσ e dσ e dσ (67) 6)Crtéros de lastfcação O crtéro de lastfcação defe o lte elástco de u ateral subetdo a u deterado estado de tesões Na lteratura, são freqüeteete descrtos algus odelos clásscos ara as suerfíces de lastfcação, que ode ser agruados e duas classes: A rera é reresetada or odelos que deede da ressão hdrostátca e a seguda classe costtu-se de abordages e que essa ressão é levada e cota Ass, a seqüêca, serão aresetadas as hóteses báscas dos odelos clásscos do rero gruo

231 7 6)Crtéro de Tresca E TRESCA(864), é roosto u odelo, a artr de observações exeretas fetas or ele e or outros esqusadores, e que é adtdo que o escoaeto ocorrerá quado a tesão csalhate atgr u valor crítco Essa roredade levou utos esqusadores a deoar o crtéro de odelo de áxa tesão de csalhaeto Ass, a fução ara o crtéro ode ser escrta coo: Máx σ σ, σ σ, σ σ κ (68) ou, de aera as cocsa, coo: ( σ ax σ ) (69) Se a fução do odelo for escrta e teros dos varates de tesão, ela ode ser aresetada coo: J κ (64) ode S J S S, σ σ δ ;,,, (64) 6)Crtéro de Maxwell-Huber- Mses U outro crtéro que deede das ressões hdrostátcas alaete cohecdo é o odelo de Mses, devdo ao trabalho ublcado e MISES(9) Cotudo, e HUBER(94) á hava sdo aresetadas hóteses seelhates, e ada e BELL(97) é coetado que esse crtéro fo ostrado or Maxwell e ua carta drecoada ao lorde Kelv, o ao de 856 Ass, e algus trabalhos, o odelo assou a ser deoado de Maxwell-Huber-Mses Nesse crtéro é assudo que o escoaeto ocorrerá soete quado o segudo varate das tesões devatórcas J se aroxar de u valor crítco κ, sto é: J κ (64)

232 8 E HENCKY(94), fo ostrado que o íco da lastfcação está relacoado co u valor crítco da eerga de dstorção, de fora que esse crtéro de escoaeto é tabé cohecdo coo odelo da áxa eerga de dstorção Se se adte que a fução do crtéro de Maxwell-Huber-Mses (64) é a eerga otecal lástca g, sto é, f g, a le de fluxo (6) é deoada coo equações Pradtl-Reuss, que ode ser escrtas : ε ( J κ ) dλ S dλ ;,,, (64) σ A relação (64) fo obtda or PRANDTL(94) ara robleas bdesoas a artr das equações de Levy-Mses alcadas a ateras rígdolástcos E REUSS(9), fo esteddo o odelo de Pradtl ara robleas trdesoas Tato o crtéro de Tresca quato o de Maxwell-Huber-Mses ode ser reudos e reresetados grafcaete o esaço das tesões rcas cofore lustrado a fgura 65 Fgura 65- Tresca & Mses e tesões rcas- CHEN&HAN(988) Cofore coetado aterorete, alé dos odelos que ão corora a ressão hdrostátca e suas estruturas, exste outras abordages que cotela esses casos

233 9 6)Crtéro de Mohr-Coulob U dos reros odelos que cororara a fluêca da ressão fo aresetado e 77 or Coulob ara descrever o roblea de rutura or frcção eregado-se a relação: τ α taφ (644) ode α é a coesão ; é a tesão oral ao lao de deslzaeto e φ é o âgulo de atrto tero E 88, Mohr ostrou grafcaete que a le de frcção (644) reresetava a tesão csalhate crítca deededo tato da tesão csalhate áxa quato da tesão oral ao lao de csalhaeto Ass, se se adtr σ > >, ua aera alteratva ara (644) é escrevê-la coo: σ σ ( σ σ ) α cosφ ( σ σ ) seφ (645) Ou seφ α cosφ σ σ (646) seφ seφ ou ada e fução dos varates de tesão: J seφ J α cosφo seφ seφ α cosφ (647) I Cové ressaltar que ara α κ e φ, o odelo de Tresca é recuerado 64)Crtéro de Drucer-Prager O odelo de Mohr-Coulob e aturalete seu caso artcular(tresca) ossue ua suerfíce de escoaeto co agulosdades resetes, que, o caso da lastcdade assocatva, ode causar algus coveetes Ass, DRUCKER & PRAGER(95) rousera ua suerfíce côca obtda ela adção de ua arcela cotedo tesões hdrostátcas ao odelo de Maxwell-Huber- Mses, de fora que a le do crtéro ode ser escrta coo: f J I µ ϕ (648) ode seφ 6α cosφ µ e ϕ seφ ( seφ ) ( )

234 Cové ressaltar que e YU(994) é aresetada ua solução fechada ara os odelos de Mohr-Coulob e Tresca a obteção da atrz de rgdez do étodo dos eleetos ftos No esaço das tesões rcas, os crtéros de Mohr-Coulob e Drucer- Prager ode reresetados grafcaete coo a fgura 66 Fgura 66- Drucer-Prager & Mohr-Coulob - CHEN & HAN(988) 65)Crtéro de Rae U outro odelo que deede da ressão hdrostátca fo roosto or Rae e 876 Esse crtéro é geralete eregado ara ateras fráges e ele é adtdo que a rutura ocorre quado as tesões de tração atge u valor crítco, de fora que esse crtéro tabé é cohecdo coo odelo das áxas tesões oras Ass, as equações do crtéro ode ser escrtas coo: σ σ ; σ σ, σ σ Esse crtéro ode ser reresetado grafcaete coo a fgura 67 (649)

235 Fgura 67-Modelo de Rae- CHEN & HAN(988) No artgo de NAYAK & ZIENKIEWICZ(97), é roosta ua técca e que as dervadas das fuções dos odelos clásscos (Tresca, Maxwell-Huber-Mses, Mohr-Coulob e Drucer-Prager) ode ser reudas e ua exressão geérca, que é estruturada a artr dos varates de tesão, sto é: ode f C C C (65) σ I σ J σ J σ

236 Crtéro C C C Tresca cosφ ( taφ ta φ ) Max-Huber- Mses Mohr-Coulob Drucer-Prager o J seφ se φ cosφ [( taφ ta φ ) o seφ e os vetores e (65) são dados or: a) caso trdesoal ( ta φ φ )] ta J cos φ seφ cosφ seφ α cos φ I σ T (,,,,,) (65a) J σ T J ( S,S,S, σ, σ,σ ) (65b) T J σ σ J (,,,,, ) {( S S σ ), ( S S σ ), ( S S ), ( S S S σ ), ( S S S σ ), ( S S )} σ S (65c) b) caso bdesoal-owen & HINTON(98) T I σ (,,, ) (65a) J σ T J ( S,S,σ,S ) (65b) T σ J J (,,,) {( S S σ ), ( S S σ ), - S σ,( S S σ S )} (65c)

237 6)Algortos Icreetas-teratvos do Sstea de Equações Devdo ao caráter ão-lear do sstea do roblea elastolástco, ua das alteratvas ara a resolução desse sstea é ua estratéga creetal e teratva Dversos esqusadores á aresetara téccas voltadas ara a solução creetal-teratva de robleas elástcos, detre eles: RICCARDELLA(97), BANERJEE et al(979), OWEN & HINTON(98), TELLES(98) e outros Na seqüêca será aresetado u algorto descrto e CHUERI(994), que escla alguas téccas utlzadas rcalete elos dos últos trabalhos ctados aterorete(owe & Hto, Telles) Icalete, serão descrtas as etaas do rocedeto que ode ser alcadas o caso dos caos cas e tesões Ass, a reresetação (575) ode ser reescrta a fora creetal coo: T e ( T ) λ R T Ou exressa as relações uraete creetas, sto é: e (65) T β R T (654) Para u creeto de carga geérco, adtdo-se coortaeto elástco, ode-se deterar o creeto de tesões/oetos e cada oto do roblea, que são acuulados o cao de tesões/oetos atuas Se algu oto atge o escoaeto, o creeto de tesões/oetos verdaderos deve ser calculado e o excesso de tesões/oetos ou creeto de tesões/oetos lástcos deve ser realcado ao sstea coo u cao de tesões/oetos cas Para a elucdação da sose do algorto aresetado aca, suas etaas serão dscutdas as detalhadaete a seqüêca Icalete, é adtdo que todos os otos estea e rege elástco lear devdo a ua ação extera cal, de fora que os caos de tesões/oetos atuas e os elástcos fctícos sea dêtcos E, ada, toadose esse ível de carregaeto coo referêca, sto é, creetos de carga e coo o sstea do roblea esse ataar de carregaeto é lear, ode-se dsesar oerações teratvas, sto é, r, de fora que as tesões obtdas do sstea de equações ode ser escrtas coo:

238 4 T e T, N (655) e r, A artr do valor da tesão/oeto elástca fctíca calzada, sua varação, devdo a u creeto de carga geérco, ode ser escrta coo: T β T (656) e r, e, De fora que, acuulado-se os valores de β, obtê-se as resectvas soas dos acréscos de tesões/oetos E u creeto de carregaeto geérco, a tesão/oeto elástca fctíca ode estar fora da suerfíce de escoaeto, de fora que a tesão excedete, a lástca, deve ser realcada utlzado-se, e geral, oerações teratvas Ass, suctaete, cada asso, e u creeto de carga, ode ser descrto coo: Etaa (a): Calcula-se o creeto de carga e T,r, que ode ser obtdo ara a rera teração r or eo da equação (654) Para as deas terações desse creeto, é calculado a artr do excesso de tesões/oetos e T, T,r deterado a teração ateror, que é alcado coo u cao cal Ass, a artr de (654), adtdo-se que todo creeto de carga teha sdo alcado a rera teração, te-se: (657) e T,r R T,r Se os reges de ebraa e flexão fore exlctados e (657), essa reresetação ode ser escrta coo: R N R f e N, r, r (658) e, r, r E cada oto odal do roblea, calcula-se o estado de tesões/oetos, e suodo-se coortaeto elástco, e, e seguda, soa-se o creeto T,r às tesões verdaderas da teração ateror, sto é: N e,r e,r N,r,r N,r (659),r

239 5 Ates de artr ara o asso subseqüete, sto é, a verfcação do cao das tesões elástcas fctícas o esaço da suerfíce de lastfcação, é ecessáro coor essas tesões advdas dos reges de ebraa e flexão As tesões de flexão ode ser deteradas, ao logo da esessura de ua seção, artr de (9), ou ada, coo: f σ x (66) t Neste trabalho, ao logo da esessura de ua seção, os otos a sere escolhdos das tesões são cocdetes co aqueles dados elas coordeadas das quadraturas de tegração ζ, vde fgura 68 σ( ) ζ Plao Médo σ( ζ ) σ( ) ζ - ζ b ζ - ζ ζ t/ Curva Descohecda t/ Fgura 68- Tesões e otos dscretzados ao logo da seção Coo a dstrbução de tesões verdaderas ao logo da seção trasversal ão é cohecda, quato as otos de tegração fore toados, as be reresetado estará o cao das tesões Desta fora, a tesão verdadera, e u oto ζ, oruda dos reges ebraa e flexão ode ser escrta coo: - e σ e ( ζ ec ) σ ( ζ ) ζ ec Cové ressaltar que ( ζ ) dsosto e ua cota da esessura da seção, e relação u oto localzado t (66) σ ertece a σ e e está assocado ao oto e está assocado ao oeto e

240 6 Etaa (b): Nesse asso, é ecessáro verfcar a exstêca do couto-age da fução da suerfíce de carregaeto f [ σ ( ζ ), κ ] F[ σ ( ζ )] σ [ κ ( ζ )] y, cuo arâetro de ecruaeto fo atualzado o fal da teração ateror, σ [ κ ( ζ )] σ ε,r ( ), ara eleetos ertecetes ao couto- y H ζ doío co valores estados referetes à tesão elástca fctíca da correte [ ] e teração F ( ζ ) σ ( ζ ) σ Ass, as subetaas osterores, ode-se artr ara a vestgação de dos casos ossíves,r e Etaa(c): Se F ( ζ ) [ ] σ κ ( ζ ),r y [ ] σ, etão esse oto, a correte teração, ão ertece ao couto age de f, o que coduz a u excesso de tesão, que deve ser realcado a róxa teração Cotudo, ada há ecessdade de vestgar-se qual arcela da revsão da correte de tesão elástca fctíca deve ser realcada, ua vez que a arcela coleetar ode ada estar o rege elástco Ass, arte-se ara a aálse do cao de tesões verdaderas da teração ateror Etaa(c): Se F ( ζ ) [ σ ] σ κ ( ζ ),r y [ ], etão o oto á hava escoado a teração ateror( r ) e co sso, te-se os valores ostvos a codção de Küh-Tucer > ( σ ( ζ ) λ( ) ζ ), dcado que as tesões essa teração estão sedo acrescdas Para esse caso, deve ser otado que todo o excesso de tesões deve ser reduzdo à suerfíce de escoaeto, de fora que os acréscos de tesões verdaderas ode ser escrtos a artr dos acréscos das tesões elástcas fctícas e das tesões lástcas: σ,r e ( ζ ) σ ( ζ ) dλ( ζ ),r d (66) ode o creeto de tesões lástcas é gual ao últo tero de (66), sto é: ( ζ ) dλ( ζ ) σ,r d (66) Ass, as tesões verdaderas da correte teração ode ser obtdas ela soa de seus resectvos acréscos atuas os valores das tesões verdaderas da teração ateror: σ,r e ( ζ ) σ ( ζ ) σ ( ζ ) dλ( ζ ),r,r d (664) E OWEN & HINTON(98) é dscutda ua estratéga ara elhorar o deseeho do algorto de retoro, sto é, da tesão elástca fctíca ara a tesão

241 7 verdadera, que é descrta ela exressão (664) Nessa técca, a tesão excedete à suerfíce de lastfcação é dvdda or u úero de creetos E seguda, é utlzado u rocesso recursvo a atualzação da tesão verdadera: O valor atualzado da tesão lástca é obtdo elo acúulo dos seus resectvos acréscos o valor de tesões lástcas da teração ateror, sto é:,r ( ζ ) σ ( ζ ) σ ( ξ ) σ,r,r (665) As cotrbuções dos acréscos de tesões lástcas o oto ζ ara os acréscos dos oetos lástcos a seção ode ser calculados utlzado-se: I,r σ,r ( ζ ) (666) ζ E aalogaete às tesões, o valor atualzado dos oetos lástcos ode ser escrto coo:,r ( ζ ) ( ζ ) ( ξ ),r,r (667) Cové ressaltar que tato a tesão quato o oeto lástco serão alcados coo caos cas a róxa teração Alé dsso, ara falzar as etaas da correte teração, é ecessáro calcular o valor das deforações lástcas efetvas, de fora a ossbltar a atualzação da evolução sotróca da suerfíce de escoaeto Cofore ostrado as seções aterores, a exasão da suerfíce de escoaeto co os acréscos de deforações lástcas ode ser descrta classcaete utlzado-se o odelo de ecruaeto or trabalho ou or deforação A artr de (6), (6,4) e (6) ara o rero odelo, os creetos de deforação lástca efetva ode ser exressos: ode tesão efetva T a σ ε,r dλ σ,r,r σ, r é dada or,r F( σ,r ) σ (668) Já a seguda abordage a artr de (6) e (6) coduz a ua exressão dos creetos de deforação lástca efetva, que ode ser escrta coo:,r T a ε dλ a (669)

242 8 Ass, o valor atualzado da deforação lástca efetva ode ser obtdo elo acúulo de seus acréscos, dados or (67) ou (67), os valores calculados a teração ateror, de fora que esse rocedeto ode ser exresso or:,r ( ζ ) ε,r ( ζ ) ε,r ( ζ ) ε (67) Etaa(c): O caso da cotraartda da etaa (c), sto é, F ( ζ ) [ σ ] < σ κ ( ζ ),r y [ ] sgfca que o oto a teração ateror ( r ) estava o rege elástco e escoa o decorrer da correte teração Ass, é ecessáro detera-se a arcela do acrésco elástco fctíco, que coduz o estado de tesões à suerfíce de escoaeto, e a arcela coleetar das tesões fctícas deve ser realcada de fora aáloga à etaa (c), sto é: σ,r e ( ζ ) σ ( ζ ) ( Fat) σ ( ζ ) Fatdλ( ζ ) ode o coefcete Fat é dado or:,r,r (67) Fat F e [ σ,r ( ζ )] F σ,r ( ζ ) e y F σ ( ζ ) σ ζ [ ] [ ] ( ),r,r d (67) Ass, a atualzação das tesões verdaderas, das tesões lástcas, das deforações lástcas efetvas, e or f, à atualzação da evolução da suerfíce de escoaeto ode ser efetuadas, aalogaete ao descrto a etaa (c) Etaa d: Ada o eso creeto de carga e esa teração, ara os deas otos ertecetes à seção e questão, sto é, ζ, ζ, L, ζ, ζ, os rocedetos descrtos aterorete ara o oto de coordeada ζ deve ser reetdos Etaa e: Neste asso, é verfcada a covergêca do roblea a correte teração Cové ressaltar que a covergêca será atgda quado todas as coordeadas (otos dscretos) fore eores ou guas ao valor de tolerâca forecdo elo crtéro de covergêca adotado Ass, caso ão teha ocorrdo, assa-se ara ua ova teração, evolvedo cada u dos ós da seção, a artr da etaa a Se a covergêca for verfcada, arte-se ara u ovo creeto de carga, reetdo-se todos os assos Ass, esse rocesso creetal-teratvo é executado até que o carregaeto total sea alcado

243 9 7 AVALIAÇÃO NUMÉRICA Neste caítulo são aresetados algus exelos uércos a f de vestgar tato o deseeho quato a alcabldade da resete forulação Os robleas fora dvddos e três gruos: rege elástco, teroelástco e elastolástco 7) Aálse Elastolear Nesta seção, são aalsados robleas laares co eleetos-base solados(chaa e laca), colaarete ultcoectados e ão-colaaete acolados sob rege elastolear 7) Placa egastada sob carregaeto uforeete dstrbuído Neste exelo é aalsada a laca quadrada de lado L, egastada ao logo de seu cotoro e subetda a u carregaeto uforeete dstrbuído q, vde fgura 7 O valor do coefcete de Posso utlzado é, e a dscretzação do roblea evolve u total de eleetos setrcaete dstrbuídos Os resultados adesoalzados estão dcados tabela e são coarados co soluções aalítcas TIMOSHENKO (94) A abrevatura TP deota forulação dos três arâetros odas e BP reresetação baraétrca q L/ a b q L/ x x L/ L/ Fgura 7-Placa egastada co carregaeto uforeete dstrbuído

244 Tabela 7-Deslocaetos e oetos adesoalzados BP TP TIMOSHENKO (94) wd /(ql 4 ) b,65,66,6 /(ql ) a -,5 -,547 -,5 x b,9,9,9 A artr dos resultados da tabela 7, ode-se otar deseehos exceletes, tato da forulação baraétrca(bp) quato da traraétrca(tp) e relação à solução aalítca de Tosheo, ara deslocaetos de oetos fletores o cetro da laca Já os oetos fletores o oto A(cotoro) tvera u razoável deseeho, oré as odestos que os aresetos o oto B 7) Placa egastada subetda a u carregaeto hdrostátco Segudo-se a aálse de lacas egastadas, este exelo esse eleeto estrutural é odelado ara o caso de u carregaeto hdrostátco alcado cofore dcado a fgura 7 As costates elástcas, a geoetra e a dscretzação são dêtcas àquela de 7 Já os resultados adesoalzados das aálses estão dcados a tabela 7 q L/ a b c q L/ x x L/ L/ Fgura 7- Carregaeto learete dstrbuído alcado

245 Tabela 7- Deslocaetos e oetos adesoalzados BP T P TIMOSHENKO (94) wd /(ql 4 ) b,6,64,6 a -,8 -,8 -,79 /(ql ) b,5,45,5 x c -,8 -,9 -,4 Neste exelo ode-se otar a tabela 7 u bo deseeho das forulações BP e TP co as soluções aalítcas dadas e TIMOSHENKO(94) 7) Placa aoada sob carregaeto uforeete dstrbuído Outra cofguração de vculação a ser aalsada é aquela que erte que a laca gre lvreete oralete a seus bordos Ua das classes que atete essas característcas é a laca slesete aoada, dcada a fgura 7 Tato as costates elástcas, geoetra e a dscretzação eraece alteradas, sto é, são utlzados trta e dos eleetos leares setrcaete oscoados o cotoro, ν, Os resultados adesoalzados estão ostrados a tabela 7 q L/ a q L/ x x L/ L/ Fgura 7- Placa slesete aoada uforeete carregada

246 Tabela 7-Deslocaetos e oetos adesoalzados a BP T P TIMOSHENKO (94) wd /(ql 4 ),445,49,46 x /(ql ),477,4765,478 Neste exelo tabé ode ser observada a tabela 7 ua razoável cocordâca de resultados etre as soluções uércas e a aalítca dsoível o trabalho de Tosheo ara o oto cetral da laca 74) Placa aoada sob carregaeto hdrostátco Ua laca quadrada slesete aoada é aalsada ara u carregaeto hdrostátco alcado cofore dcada a fgura 74 As costates elástcas e a dscretzação são as esas dos robleas aterores e os resultados adesoalzados dessa aálse, evolvedo aeas a forulação TP e a solução aalítca, estão dcados a tabela 74 q L/ a b c q L/ x x L/4 L/ L/ Fgura 74- Carregaeto hdrostátco e laca slesete aoada

247 Tabela 74- Deslocaetos e oetos adesoalzados TP TIMOSHENKO(94) C,67,6 wd /(ql 4 ) B,9, A,, C,56,59 /(ql ) B,8,9 x C,, Ua excelete cocordâca de resultados ode ser observada etre a forulação Traraétrca (TP) e a solução aalítca de Tosheo ara deslocaetos e oetos fletores 75) Placa aoada sob carregaeto cocetrado Dado cotudade a aálse de lacas slesete aoadas dos robleas aterores, este exelo te-se ua cofguração de carregaeto cosstdo-se de ua força cocetrada P alcada o cetro de gravdade laca cofore dcada a fgura 75 O deslocaeto adesoalzado o oto a, ara dversas razões etre os lados (l,l) da laca, está dcado a tabela 75 P l/ a l/ x x L/ L/ Fgura 75- Placa slesete aoada sob carregaeto cocetrado

248 4 Tabela 75- Deslocaetos adesoalzados ara dversas razões dos lados wd /(PL l/l TP TIMOSHENKO(94) ),,55,6,,6,65,,49,5,4,478,484,8,64,6,,645,65,,684,69 Os resultados obtdos ela forulação Traraétrca (TP) e a solução aalítca de Tosheo tê u bo ível de cocordâca ara deslocaetos o cetro da laca ara dferetes razões etre as desões dos lados 76) Placa aoada os catos e carregaeto uforeete dstrbuído Falzado-se a aálse de lacas retagulares, este exelo é odelado u roblea co ν,, cua vculação que cosste e aoar a laca exclusvaete os catos cofore dcado a fgura 76 Nesta aálse fora utlzadas duas dscretzações sétrcas: a rera co eleetos, e a seguda co 4 Os resultados adesoalzados estão ostrados a tabela 76 q L/ a q L/ x x b L/ L/ aoo rígdo Fgura 76- Placa aoada exclusvaete sobre os aoos rígdos

249 5 wd /(ql 4 ) Tabela 76 Deslocaetos e oetos BP TP TP TIMOSHENKO(94) N4 N N4 b,6,56,6 a,46,8,4,49 x /(ql ) a,,9,,9 Neste exelo tabé se obteve u bo ível de deseeho de abas forulações 77) Chaa slesete tracoada Neste exelo ca-se a aálse uérca de chaas utlzado as equações tegras da elastostátca bdesoal A chaa odelada te cofguração geoétrca quadrada, solctada à tração utára o too e vculações e ua das extredades cofore dcado a fgura 77 As costates elástcas são E,Pa, ν, e os resultados da forulação traraétrca de chaas-trc (dos deslocaetos e ua rotação coo arâetros odas) e da solução aalítca estão dcados a tabela 77 a q L/ c d L/ e x x b L/ L/ Fgura 77- Chaa aoada ao logo da base a dreção x

250 6 Tabela 77- Deslocaetos, forças de suerfíce e tesões w () σ ( Pa) ( N / ) TPC Solução aalítca a -, -, c -,75 -,75 d -,5 -,5 e -,5 -,5 c -, -, d -, -, e -, -, b,, 78) Chaa subetda a báros as extredades Neste exelo é aalsada ua vga solctada or báros as extredades As costates elástcas te valores de, ara o coefcete de Posso e 8 MPa ara o ódulo de elastcdade trasversal As desões e o carregaeto alcado estão dcados a fgura 78 Os resultados uércos - de DOMINGUEZ(989), co aroxações costate e quadrátca, e da forulação traraétrca de chaas TRC co terolação lear- estão dcados a tabela 78 Ma b ax c 4 x x 4 8 Fgura 78- Chaa subetda à báros

251 7 u ( ) u ( ) ( MPa) ( MPa) Tabela 78- Deslocaetos e tesões TRC DOMINGUEZ(989) Lear costate quadrátca a -,9 -,57 -,9999 b,966,9999 a,875,65,9999 c -,47 -,5 σ c -,888E-4,64E- σ c,94e-,6484e- A artr da tabela 78 ode-se otar que os resultados da TRC utlzado-se terolação lear tê resostas as róxas das soluções uércas co terolação quadrátca obtdas e Doguez 79) Chaa subetda ao csalhaeto uro Neste exelo é aalsada ua chaa subetda ao csalhaeto devdo a ua força q,n / A dscretzação é coosta or 6 eleetos setrcaete oscoados elo cotoro A desão dos lado é L, e está dcada a fgura 79; as costates elástcas são G,Pa, ν, Os resultados estão dcados a tabela 79 q c a L/ f q e b q L/ x x L/ L/ Fgura 79- Chaa subetda ao csalhaeto

252 8 Tabela 79- Deslocaetos e tesões u ( ) u ( ) ( N / ) ( N / ) a,5,5e-7,, b,,e-7,, c,,e-7,, d,,5e-5,, u ( ) ( ) u σ ( N ) σ ( N / ) / e,,e-5,6e-6, f,5 -,8e-7,4e-8, As resostas obtdas co a TRC são ratcaete cocdetes co àquelas da solução aalítca 7) Problea de Coo Neste exelo é aalsada ua ebraa de esessura utára egastada e ua das extredades e lvre as deas co u carregaeto tagecal utáro total a borda oosta à vculada, vde fgura 7 As costates elástcas da chaa são E N/c e ν / O carregaeto tagecal dstrbuído a extredade ão-vculada te resultate utára Os resultados da aálse estão dcados a tabela 7 ode as forulações traraétrca cúbca(tpc) e baraétrca lear de chaas(bpc) tê dscretzação (8X8), vde 7a Alé dsso, tabé são ostrados os resultados obtdos or BERGAN & FELIPPA(985) va MEF utlzado ua forulação que corora u grau de lberdade de rotação, cuo vetor assocado é oral lao édo da chaa Berga utlzou dversas dscretzações ara o roblea, a tabela 7 estão dcados aeas os resultados ara a alha do MEF co o adrão de artções or lado, rotulado coo (X); u adrão as obre de dscretzação está dcado a fgura 7b Otou-se lustrar o adrão (8X8) do MEF aeas co o tuto de atgr u elhor ível de clareza o deseho Esse roblea fo roosto orgalete or COOK(974) ara testar casos geras de eleetos ftos quadrlateras

253 9 x 48 c 44 c 6 c B A C N x (a) Fgura 7- Esquea e dscretzação do roblea de Coo (b) Tabela 7- Deslocaetos e tesões rcas o roblea de Coo BERGAN & F(985) BPC TPC Malha (x): MEF (8X8):MEC (8X8):MEC Poto Deslocaeto vertcal C,9,94,97 Tesão rcal ía A -, -74 -,4 Tesão rcal áxa B,59,499,8 A artr da tabela 7, ode-se observar u bo deseeho das forulações BPC e TPC co as resostas obtdas utlzado ua alha rca de eleetos ftos Cové otar que este caso a TPC te u elhor ível de cocordâca co a resosta adtda valor de referêca: MEF ublcada e BERGAN & FELIPPA(985)

254 7) Placa aoada co duas regões sob carregaeto dstrbuído e lha Ua laca quadrada de lado a, slesete aoada está subetda a u carregaeto e lha uforeete dstrbuído cofore dcado a fgura 7 Icalete, adte-se que seu lao édo estea assocado a duas regões co regões de rgdezes dsttas D e D, resectvaete Modelado-se esse roblea ara cada subregão, e alcado-se a técca de subregões, e co tuto de coarar o deseeho da forulação traraétrca co valores aalítcos dsoíves e TIMOSHENKO(94), é atrbuído va ut o eso valor ara abas rgdezes, sto é, D D D Na aálse do roblea são utlzadas dferetes dscretzações, ara o MEC (to a 4), vde fgura 7, alcadas gualete e cada subregão Cové otar que a alha do to 5 é ara dscretzação do MEF que será utlzada e outras aálses a artr do exelo 7 Na fgura 7, estão dcados os valores do coefcete α e fução do to de terolação das varáves e do to de dscretzação O coefcete α está assocado ao deslocaeto trasversal áxo ela relação: w α a D Alé dsso, os resultados da forulação traraétrca de lacas ara as terolações lear e cúbca estão dcados coo TL e TC,5 a,5 a,5 a a Sub Sub,5 a t t Fgura 7- Placa slesete aoada sob carregaeto dstrbuído e lha

255 4 5 Fgura 7-Tos de Malhas Coef α TL TC Aalítco To de Malha Fgura- 7- Coefcete α Versus To de Malha A artr da fgura 7, ode-se otar que a covergêca ara a solução aalítca é sesvelete elhorada quado é utlzada a terolação cúbca ara os deslocaetos a forulação traraétrca de lacas(tc)

256 7) Placa de esessura varável e balaço Ua laca quadrada co varação de esessura e ua dreção é odelada adtdo-se quatro subregões tedo suas resectvas rgdezes, vde fgura 74 A laca está egastada a borda as esessa e lvre as deas; tabé está subetda a u carregaeto utáro, uforeete dstrbuído ao logo de todo doío O lado da laca a c e o ódulo de elastcdade logtudal E 8 N/c O coefcete de Posso ν, Na fgura 75, está dcado os valores do deslocaeto trasversal ao logo da lha A-B, defda elos otos édos das bordas (egastada e de sua oosta), e fução da dscretzação (to ou to, vde fgura 7) e da terolação das varáves(lear ou cúbca) Os resultados do MEC são coarados co aqueles obtdos elo MEF utlzado-se o eleeto Shell 6 do Software ANSYS e cada subregão tedo ua dscretzação do to 5, vde fgura 7,5 a,5 a Sub Sub Sub Sub 4 a, c A B x, c,5 c Fgura 74- Placa egastada co varação de esessura

257 w (c) 4,5 4,,5,,5,,5,,5, Asys (Shell 6) HL() HC() HL(4) HC(4) x (c) Fgura 75- Deslocaeto Trasversal ao Logo de A-B Pode-se otar que ara todas as alhas dscretzadas, os resultados da forulação traraétrca de lacas fcara uto róxos daqueles obtdos va MEF Nos exelos a segur as roredades do ateral costtute tê valores assocados resectvaete ao ódulo de elastcdade e ao coefcete de Posso or E,9 N/ e, resectvos valores de ν O vão lvre e a esessura das lâas recebe os L, e t, As extredades logtudas das estruturas são egastadas Os resultados são dcados e fguras e que os deseehos da forulação hexaaraétrca são abrevados or HC( β ) ou HL( β ), corresodedo resectvaete às terolações cúbca e lear; β deota o to de alha utlzada Já os resultados da forulação tetraaraétrca lear são abrevados or TL( β ) e a dscretzação utlzada as aálses do MEC está assocada aos tos de alhas β,4

258 4 Alé dsso, os robleas tabé são odelados elo MEF va ANSYS utlzado-se o eleeto Shell 6 co a dscretzação do to 5, cua dcação as fguras é deotada or Asys ( shell6 ) É dcado e tabelas, a dfereça relatva de MEC(HC, HL e TL) e o do MEF(Asys: Shell 6) -quado os valores do Asys são toados coo referêca- dada or: Drel( %) 7) Vga π egastada as extredades valorasys valormec valor Neste exelo aalsa-se ua estrutura de seção aberta cotedo duas terfaces co três lâas covergetes a cada ua delas Tal estrutura é ua vga subetda a u carregaeto utáro uforeete dstrbuído ao logo do doío das lâas da flage da vga, vde a fgura 76 Por setra, são descrtos os deslocaetos trasversal, oral e tagecal assocados aos ós dscretzados etre a extredade e o oto édo da terface Os resultados, dcados as fguras 77-9, são exressos e fução do tredro local ( s,,w) da terface AB da subregão, cofore dcado a fgura 76 Já as fguras de 7- estão dcados os deslocaetos e oetos ao logo da lha BC( otos o doío da lâa cetral da flage da vga) Asys g, g w A x sx Sub Sub B Sub C,, Sub4 Sub5,,, Fgura 76- Esquea Reresetatvo da Vga π

259 5 w (), -,5 -, -,5 Seção PI Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() -, -,5 4 5 D() Fgura 77- Deslocaeto Trasversal ao Logo da Iterface AB da Vga π,,5 Seção PI u (), -,5 Asys(shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() -, 4 5 D() Fgura 78- Deslocaeto Noral ao Logo da Iterface AB da Vga π

260 6, Seção PI,,8 u s (),6,4,, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() 4 5 D() Fgura 79- Deslocaeto Tagecal ao Logo da Iterface da Vga π Na tabela 7, estão dcados os valores das dfereças relatvas ara os deslocaetos tagecal, oral e trasversal Pode-se otar que u s e u tê as aores dfereças os resultados HL e TL obtdas co a alha do to Já a terolação HP cúbca é eos afetada ela trasção do to de alha 4 ara Alé dsso, ara os caos e questão, o odelo HC, co ua alha eos rca β, te elhor deseeho que HL e TL dscretzados co β 4 Para w ode ser observado ua varação eor que os caos aterores, e as ua vez, o odelo HC() te deseeho a esa orde de gradeza que HL(4) e TL(4) Tabela 7- Dfereça relatva ara caos a terface AB Drel (% ) Deslocaeto Tagecal( u s ) D() HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),75,96,8,8,47 8,4 8,9 Deslocaeto Noral( u ) 5,,49,4,5,44 8, 8, Deslocaeto Trasversal( w ) 5,,76,9,9,9 4,9 4,9

261 7 -,5 -,6 -,7 Seção PI w () -,8 -,9 -, -, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),,,4,6,8, D() Fgura 7- Deslocaeto trasversal ao Logo da lha BC da Vga π,48 x (N/),46,44,4,4,8,6 Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),4,,,,4,6,8, D() Fgura 7- Moetos fletores x ao Logo da lha BC da Vga π

262 8 Na tabela 7, estão dcadas as dfereças relatvas ara w e x e algus otos da lha BC Tabela 7- Dfereça relatva e deslocaetos e oetos a lha BC Drel (% ) Deslocaeto Trasversal( w ) D() HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),5,88,7,7, 5,74 5,74 Moeto fletor( x ),5,,8,5,8,,7,,9,9,48,48,5,6 Note que x é eos sesível à udaça do erqueceto das alhas ara 4, que os caos de deslocaeto, aresetado valores uto róxos aos do Asys 74) Vga V egastada as extredades Neste exelo te-se ua estrutura e que a terface te quatro lâas coectadas a ela, vde fgura 7 U carregaeto utáro está uforeete alcado as lâas horzotas Os resultados, dcados as fguras 7-6, são exressos e fução do tredro local ( s,,w) da terface AB da subregão, vde fgura 7 Na tabela 7, as dfereças relatvas etre as resostas do MEC e do MEF(Asys) são ostradas ara otos sobre as lha AB e BC, vde fgura 7 g A B, w w x A s Sub g x Sub B C, Sub Sub4,, Fgura 7- Esquea reresetatvo da vga V

263 9 w(),, -, -,4 -,6 -,8 Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() -, Seção V -, -,4 -,6 4 5 D() Fgura 7- Deslocaeto Trasversal ao Logo da Iterface AB da Vga V, Seção V,8 u s (),6,4,, Asys(Shell 6) HC() HL() TC() HC(4) HL(4) TL(4) -, 4 5 D() Fgura 74- Deslocaeto Tagecal ao Logo da Iterface AB da Vga V

264 4 -,5 Seção V w () -, -,5 Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),,,4,6,8, D() Fgura 75- Deslocaeto Trasversal ao Logo da BC da Vga V M x (N/),4, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() Seção V,,,,4,6,8, D() Fgura 76- Moetos fletores x ao Logo da lha BC da Vga V

265 4 Tabela 7- Dfereça relatva ara os caos de deslocaetos e oetos Drel (% ) D() HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() Deslocaeto Tagecal( u s ), Iterface AB,5,76,76,76,4 5,6 5,9 Deslocaeto Trasversal( w ), Iterface AB 5,,67,67,6,6,75,75 Deslocaeto Trasversal( w ), Lha BC,75,85,48,48,48,9,9 Moeto Fletor( x ), Lha BC,5,44,44,6,6,6,6 A artr das fguras 7-6, u bo ível de cocordâca etre as reostas do MEC (tetra e hexaaraétrca) e as do MEF(Asys) ode ser observado Na tabela 7, são exlctadas as coordeadas as terfaces/lhas e que as dfereças relatvas ara os deslocaetos/oetos fora as severas Tabé esses casos, as dfereças ão fora tão sesíves(5,9% etre TL() e Asys e u s ) 75) Vga de seção oocelular egastada as extredades Neste exelo é aalsada ua estrutura de seção fechada tedo lâas acoladas a flage sueror ao logo das terfaces logtudas O carregaeto utáro está alcado a flage sueror e os resultados e deslocaetos, dcados as fguras 78-, são exressos segudo o tredro local ( s,,w) da terface AB da subregão, vde a fgura 77 g A B g, w x x sx A Sub B Sub C Sub,, w x D Sub4 Sub 6 Sub5,,, Fgura 77- Esquea Reresetatvo da Vga Moocelular

266 4 w (), -, -,4 -,6 -,8 Asys(shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() -, Seção Celular -, -,4 4 5 D() Fgura 78- Deslocaeto Trasversal a Iterface AB da Vga Moocelular,,8 Seção Celular,6 u s (),4,, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() 4 5 D() Fgura 79- Deslocaeto Tagecal a Iterface AB da Vga Moocelular

267 4 u (),,8,6,4,, -, -,4 -,6 Seção Celular Asys(shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() -,8 4 5 D() Fgura 7- Deslocaeto Noral a Iterface AB da Vga Moocelular As dfereças relatvas ara os deslocaetos etre o MEC -hexa, tetraaraétrca- e o MEF(Asys) estão dcadas a tabela 74 Tabela 74- Dfereça relatva ara deslocaetos a terface AB Drel (% ) Deslocaeto Tagecal( u s ) D() HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),65,45,4,,56,45,45 Deslocaeto Noral( u ),65,,77,9 5,,85,85 Deslocaeto Trasversal( w ),5,9,6,5 6,7,9,9 Os resultados dcados as fguras 78- ostra, de u odo geral, u bo deseeho etre o MEC e o Asys Nas fguras 7 e, estão ostradas os valores dos oetos ao logo das lhas BC e BD segudo os resectvos exos globas das subregões e 4, vde fgura 77

268 44,4 x (N/),,,8,6,4 Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(), Seção Celular,,,,4,6,8, D() Fgura 7- Moetos fletores x ao logo de BC da Vga Moocelular,,5, M x (KN/) -,5 -, -,5 -, -,5 -, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() Seção Celular,,,4,6,8, D() Fgura 7- Moetos fletores x ao logo de BD da Vga Moocelular Ua boa cocordâca ode ser observada etre as resostas uércas ara os oetos fletores ao logo de BC e BD

269 C D 45 Os exelos aterores faze arte de u couto de estruturas que ode ser classfcado coo tedo u exo logtudal, sto é, ua geratrz, cuo lao que a coté é aralelo aos laos das lâas costtutes da estrutura olédrca Tas exelos ode ser aalsados or alguas forulações stas MEF/MEC GALUTA & CHEUNG(995) ou ara casos esecas de seção tubular fechada va MSPF/MEC e KOMATSU & NAGAI(98) Ale dsso, os exelos aterores ode ser aalsados utlzado-se aeas o MEC de acordo co as forulações descrtas e PALERMO JR (989), OHGA et al(99) e TANAKA & BERCIN(998) A resete forulação alé da ossbldade de alcação os robleas descrtos aterorete, ela tabé vablza aálse va MEC de outros robleas ão-colaares A segur é aalsada ua estrutura e que ua das lâas terceta a geratrz do roblea 76) Reservatóro elevado U reservatóro elevado egastado as extredades das aredes e cotato co os aoos está subetdo a u carregaeto utáro uforeete dstrbuído ao logo do doío das lâas, que fora a estrutura retetora de líqudo cofore dcada a fgura 7 Para aálse desse roblea são utlzados duas dscretzações dsttas (to e 4) Os resultados, dcados as fguras 75-4, são exressos e fução do tredros locas ( s,,w) e globas (,x, ) dcadas a fgura 74 x das subregões x, g g g g g g Corte AB Corte CD,,,, Sub Sub 5 Sub w Sub Sub 4 Sub 6 s A B, Sub 7 Fgura 7- Esquea Reresetatvo do Reservatóro

270 46 B Sub-regão 4 x x x D Sub-regão x w x u s u A 4 F x C w u s C D x x x Sub-regão 6 6 u E Fgura 74- Oretação de Parte das Lâas do Reservatóro w () Reservatóro Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() D() Fgura 75- Deslocaeto Trasversal a Iterface C do Reservatóro

271 47,,5 Reservatóro, u s (),5,,5, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() 4 5 D() Fgura 76- Deslocaeto Tagecal a Iterface C do Reservatóro w () Asys (Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() Reservatóro D() Fgura 77- Deslocaeto Trasversal ao logo de C D do Reservatóro

272 48, x (N/),,8,6,4,, -, -,4 Reservatóro Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() D() Fgura 78 Moeto fletor x ao logo de C D do Reservatóro Tabela 75- Dfereça relatva ara deslocaetos e oetos (% ) Drel D() HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() Deslocaeto Tagecal( u s ), Iterface C,65,6,,79,59 6,5 7,74 Deslocaeto Trasversal( w ),Iterface C 5,,7,9,9 4,4 8,7 7,5 Deslocaeto Trasversal( w ), lha C D,5,67,58,8,6 6,5 6,5 Moeto fletor( x ),lha C D, 7,55 7,5 6,67 7,9 5, 4,5 5,,7,45,7,7 6,7 6,7 A artr das fguras 75-8, ode-se otar, de u odo geral, u bo deseeho etre o MEC e o MEF Cotudo, ua elhor cocordâca fo obtda etre a forulação HC e o Asys Aareteete, as dfereças de w ao logo de C D, fgura 77, são aores que os resultados assocados aos deas graus de lberdade aresetados e outros gráfcos do reservatóro Cotudo tal fato aarete é devdo ao tervalo de lotage, ua vez que ao cosultar a tabela 75 ode-se observar que as dfereças relatvas estão ua esa orde de gradeza

273 49 -,7 -,8 -,9 Reservatóro w() -, -, -, -, -,4 -,5 -,6 Asys(shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() -,,,,4,6,8,,,4,6 D() Fgura 79-Deslocaeto Trasversal a Iterface 4A do Reservatóro,, u s (),8,6,4,,,8,6,4,, -, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL() Reservatóro,,,4,6,8,,,4 D() Fgura 74- Deslocaeto Tagecal a Iterface 4A do Reservatóro

274 5,6,5,4 Reservatóro w (),,,, Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),,5,,5,,5, D() Fgura 74- Deslocaeto Trasversal ao logo EF do Reservatóro,6,4, Reservatóro θ X (rad), -, -,4 -,6 -,8 Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),,5,,5,,5, D() Fgura 74- θ x ao logo EF do Reservatóro

275 5, Reservatóro x (N/),5, -,5 Asys(Shell 6) HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(),,5,,5,,5, D() Fgura 74- Moeto fletor x ao logo EF do Reservatóro Tabela 76- Deslocaetos e oetos Drel (% ) D() HC(4) HL(4) TL(4) HC() HL() TL(), 8 8,57 8 5,4,7,7 Deslocaeto Tagecal( u s ), Iterface 4A, 8 8,57 8 5,4,7,7,75,,99, 5,,66,66 Deslocaeto Trasversal( w ), Iterface 4A,75,6,58,6, 8, 8, Deslocaeto Trasversal( w ), lha AB,5,48,,,8 6,58 6,4,,9,95,95,44 8,6 8,6 Rotação( θ x ), lha EF,875,7,9 5,7,8 6,5,9,,,97,9, 6, 6, Moeto fletor( x ), lha EF,65,4,8,68, 5,8 4,9,,5,,48, 5,99 6,44 Os resultados ara deslocaetos, rotações e oetos aresetados as fguras 79-4 dca, de u odo geral, u elhor deseeho da forulação HC e relação às HL e TL, quado são coaradas co as resostas do Asys

276 5 7) Lâas laas subetdas a caos cas de teeratura Nesta seção, algus robleas de flexão e de ebraa serão aalsados quado subetdos a caos tércos e rege eraete 7) Chaa co acrésco costate de teeratura Ua chaa quadrada- de lado L e esessura t,, vde fgura 744- está subetda a u acrésco costate de teeratura ao logo da esessura de T C, de fora que u cao das resultates de tesões ν N N Gtα T( ) 5, N/ é oblzado o coro A chaa te ν 5 o roredades elástcas e tércas E,5 GPa, v, e α C A dscretzação do doío co células está dcada a fgura 745 e os resultados estão ostrados a tabela 77 B L/ A L/ x x L/ L/ Fgura 744- Chaa subetda ao cao térco eraete

277 5 Fgura 745 Dscretzação do lao édo das células Tabela 77 Deslocaetos e resultates de tesão verdaderas e otos chaa Aalítco Poto A Presete Trabalho u ( ),57E-8 u ( ) -,688E- ( N / ) N -5, -5, ( N / ) N, -,65475E-6 ( N / ) Poto B 5, 5, U excelete deseeho ode ser otado etre as resostas uércas do resete trabalho e da solução aalítca 7) Placa aoada co gradete de teeratura Cosdere ua laca quadrada, de lado a e esessura t,, slesete aoada que está subetda a u gradete de teeratura ao logo da esessura de T 8 C, resultado e u cao de oetos cas de,955 N/ As roredades elástcas da laca são E,5 GPa e v, Este roblea fo aalsado uercaete or RIBEIRO(99) va MEF e or CHUEIRI(994) utlzado-se o MEC Na tabela 78, os deslocaetos e os oetos verdaderos, o oto A, obtdos or essas abordages e ela resete forulação são coarados; a dscretzação do doío está dcada a fgura 745

278 54 Tabela 78- Deslocaeto e oetos verdaderos o oto cetral da laca Nú Células RIBEIRO(99) () CHUEIRI(994) (8 ) (7) Presete Trab () w ( ),5,497,5,545 ( N / ) -, -,459 -,4 -, ( N / ) -, -,459 -,4 -, A artr da tabela 78, u bo ível de cocordâca de resultados ode ser observado etre as resostas da resete forulação e as do MEC e do MEF descrtas, resectvaete, e Chuer e Rbero 7) Placa egastada co gradete de teeratura Se a vculação do roblea ateror for alterada ara egastaeto ao logo de todo cotoro, e TIMOSHENKO(94) está dsoível ua solução ara valores costates de caos eraetes de teeratura: ( ν) α T t D e, ode α é o coefcete de dlatação lear e T é o gradete de teeratura a esessura t da laca RIBEIRO(99) e CHUEIRI(994) aalsara uercaete o roblea e que as roredades elástcas e tércas fora: E 5 GPa, v, e lado da laca fo teeratura a e esessura t, α 5 o C Alé dsso, o ; Toado-se u gradete de T 8,4 C resulta e oetos cas de N/ dstrbuídos o doío Os resultados da aálse ara o deslocaeto e oetos verdaderos estão dcados a tabela 79 Na resete forulação é utlzada a dscretzação do doío co células cofore dcado a fgura 744 Tabela 79 Deslocaeto e oetos verdaderos o oto cetral da laca TIMOSHENKO RIBEIRO CHUEIRI Presete Trab Nú Células Aalítco (8) (8) () w ( ),469E-8,6E-8 7,695E- ( N / ) - -9,987-9,998 -, ( N / ) - -, -9,998 -,

279 55 As forulações do MEC forecera resostas uto róxas da solução aalítca cofore ode ser costatado a tabela 79 7) Aálse Elastolástca Icalete, são aalsados robleas ara algus casos de estruturas soladas e rege elastolástco; e seguda, o doío desses robleas é segetado, a f de crar ua estrutura colaar ultcoectada 7) Chaa e rege elastolástco co ecruaeto lear Ua chaa slesete tracoada o estado lao de tesão(ept) está dcada a fgura 746 e seu ateral te coo roredades ecâcas E Pa, ν, 5 e tesão de escoaeto σ,45 Pa Alé dsso, o ecruaeto do ateral é adtdo lear, co ódulo de elastcdade tagete E t Pa ; co evolução reresetada or wor hardeg e a suerfíce de lastfcação reresetada elo odelo de Vo Mses O carregaeto total é alcado ootôca e creetalete e assos; à ora dos erros, é adtda ua tolerâca de,% Na fgura 745 está dcada a alha utlzada e a fgura 747 está ostrado o coortaeto do deslocaeto versus carregaeto do oto A ; os valores obtdos ela forulação roosta rotulada coo MEC(D) são coarados co os da solução aalítca, que ode ser escrta coo: le ES, se lt ll l (7) le H ES S( lt le ), lt > ll l l ode l é o coreto cal da chaa; H E / ( E / E) ecruaeto; le é a elogação elástca; lte de roorcoaldade é o arâetro de t lt é a elogação total; t ll deslocaeto

280 56 A N/ 4 Fgura 746 Chaa Slesete Tracoada 8 P o /P t 6 4 Aalítco(D) MEC(D) Desl() Fgura 747 Evolução Carga-Deslocaeto do ó A Pode-se otar ua excelete cocordâca etre os resultados da aálse uérca e os da solução aalítca

281 57 7) Tubo ressurzado e rege elastolástco erfeto Cofore dscutdo os caítulos aterores, o roblea de chaas ode ser aalsado o estado lao de tesão(ept, rege de ebraa) ou o de deforação(epd) Ass, esta seção é odelado u caso do EPD a f de ressaltar que esse estado lao tabé fo cororado o códgo coutacoal deste trabalho O exelo aalsado cosste e u tubo ressurzado e que é adtdo u coortaeto elastolástco erfeto ara seu ateral costtute e co as segutes roredades ecâcas: E GPa, ν, e tesão de escoaeto σ 4MPa Na fgura 748, estão dcadas as cofgurações geoétrcas e de carregaeto da quarta arte do tubo, valedo-se das setras ara reduzr o úero total de graus de lberdade Na fgura 749, estão dcados os deseehos da forulação roosta, da forulação trdesoal CISILINO[995] e or f ela solução aalítca do roblea aresetada or PRAGER & HODGE[95] b a Fgura 748 Tubo Pressurzado Cové otar que os robleas de folhas olédrcas são descrtos elo EPT, se fore utlzadas as hóteses da elastcdade bdesoal ara odelar cada lâa-base

282 58,8,6 /σ,4,, Aalítco Cslo(MEC-D) MEC-D -,,,,4,6,8,,,4,6 Gu/(bσ ο ) Fgura 749 Curva Carga-Deslocaeto Pode-se otar que os resultados da aálse uérca bdesoal va MEC tvera u coortaeto róxo das resostas uércas da aálse trdesoal odelada elo MEC e ela solução aalítca do roblea 7) Placa e rege elastolástco erfeto Neste exelo é aalsada ua laca quadrada de lado ( l, ), esessura t, e slesete aoada, cofore dcada a fgura 7 O ateral é adtdo sob as hóteses do rege elastolástco erfeto, cua suerfíce de lastfcação é a de Vo Mses As costates ecâcas são E, 9 MPa, v, e a tesão de escoaeto σ 6 MPa Alé dsso, a tolerâca ara a ora dos erros é tol,% co creetos de carga, N / Para reresetação da tesão lástca ao logo da esessura são utlzadas 8 caadas A dscretzação das células é ostrada a fgura 745; as curvas deslocaeto versus carregaeto estão dcadas a fgura 75 ara a forulação traraétrca de lacas co aroxação cúbca(tc) e ara a forulação baraétrca co terolação lear(bl)

283 59 Alé dsso, o rótulo R deota que o roblea é coosto or ua úca regão 5 ql / M 5 5 BL(R) TC(R) OWEN & HINTON(98) wd/(m L ) Fgura 75- Curva Deslocaeto-Carregaeto ara o Poto Cetral Resultados róxos ode ser observados, a fgura 7, ara aálses obtdas va forulação roosta MEC e a do MEF descrta e OWEN & HINTON[98] Aós a aálse de alguas estruturas soladas, arte-se doravate ara odelage de estruturas obtdas ela segetação do doío de algus robleas aresetados aterorete 74) Chaa co duas regões e rege elastolástco co ecruaeto Neste exelo, o roblea dscutdo e 7 te seu doío dvddo e duas regões equvaletes, cofore dcado a fgura 75 Cové ressaltar que todos os arâetros ecâcos e de carregaeto fora atdos alterados Na fgura 75, a dscretzação da alha é ostrada, e a fgura 75, te-se a evolução da curva deslocaeto-carregaeto ara o oto A, tato ara a solução aalítca dada e (7) quato ela forulação roosta rotulada coo MEC_R(D)

284 6 Sub Sub A N/ Fgura 75- cofguração da chaa slesete tracoada co regões Fgura 75- Dscretzação da chaa slesete tracoada co regões

285 6 8 P o /P t 6 4 Aalítco(D) MEC_R(D),,5,,5,,5 Desl() Fgura 75 Evolução Carga-Deslocaeto do ó A Pode-se otar que o deseeho da forulação ão se alterou quado houve a artção do doío U dos otvos que favoreceu tal coortaeto fo rovavelete devdo às codções esecas de geoetra e carregaeto do roblea 75) Placa co duas regões e rege elastolástco erfeto Neste exelo, o roblea de 7 te seu doío dvddo e duas regões guas, fgura 754 e os esos arâetros ecâcos e de carregaeto são atdos Na fgura 75, está dcada a dscretzação das células utlzada e a fgura 755 é dcada a curva deslocaeto-carregaeto ara o oto b ; Essa curva é obtda a artr das aálses do roblea ara ua úca regão - va forulações b e traraétrca, resectvaete, BL(R) e TC(R) - e ela alcação da forulação traraétrca cúbca TC(R) o roblea bcoectado

286 6 q L/ a Sub b Sub q L/ x x L/ L/ Fgura 754- Cofguração laca co duas regões,, (N/ ),8,6,4 BL(R) TC(R) TC(R),, Desloc() Fgura 755- Curva Deslocaeto-Carregaeto ara o Poto Cetral

287 6 Cové otar que a forulação traraétrca de lacas aresetou u bo deseeho quado o doío do roblea fo bartdo Cotudo, equeas alterações ode ser observadas etre as resostas desse roblea e as do caso slesete coectado U dos fatores ara tal coortaeto é que os caos obtdos co a terolação eregada as terfaces das regões do roblea bcoectado ão corresode as àqueles valores, assocados aos otos de doío, obtdos a aálse do roblea orgal slesete coectado

288 64 8 CONCLUSÕES Neste trabalho, calete fora desevolvdas e leetadas duas forulações ara aálse elástca de estruturas coostas or lâas laas de esessuras costates elo étodo dos eleetos de cotoro(mec) A rera forulação chaada de Hexaaraétrca corora ses graus de lberdade o vetor de deslocaeto- e chaas: deslocaetos oral e tagecal e rotação zetal; e lacas, deslocaeto trasversal e rotações oral e tagecal- e quatro graus de lberdade o vetor dos esforços (e chaas: forças oral e tagecal; e lacas: força equvalete de Krchhoff e oeto fletor) Devdo à dfereça uérca etre os graus de lberdade os vetores dos deslocaetos e dos esforços fora serdas varáves fctícas a f de coatblzar a orde das atrzes de fluêca do Problea A artr da alcação da técca de sub-regões e a adoção de ua herarqua coveete de ssteas de referêca o sstea de equações da estrutura laar laa é otado Aós aulações algébrcas coveetes o sstea de equações do roblea e a osção de valores ulos às varáves esúras, as varáves do roblea ode ser deteradas A seguda forulação chaada de Tetraaraétrca fo obtda a artr da suressão das duas equações tegras assocadas às rotações tagecal (lacas) e zetal (chaa), de fora que os vetores dos deslocaetos e de esforços tê suas desões coatíves, dsesado, ortato, a clusão de qualquer varável adcoal Na otage do sstea de equações é utlzada ua herarqua de ssteas de referêca slar à forulação hexaaraétrca Alé dsso, ara os casos de estruturas ão-colaares, as forças de teração chaa-laca dscretas (reações de cato) fora desrezadas e abas forulações E abas forulações, fora odelados dversos robleas co doío slesete coectado, colaarete coectados e co geoetra ão co-laar Os resultados fora coarados co soluções aalítcas (quado dsoíves) e co aquelas forecdas elo étodo dos eleetos ftos cororado o software ANSYS (versão 55) Pode-se otar u deseeho satsfatóro de abas forulações do MEC, esecalete a da hexaaraétrca

289 65 Na seguda arte do trabalho, as forulações ara o rege elástco são esteddas ara aalsar folhas laas colaares co esessuras costates co caos cas: robleas tércos eraetes e elastolástcos utlzado-se odelos clásscos ara reresetar o fluxo lástco Exelos (chaas e lacas) são aalsados ara caos tércos assocados a tesões/oetos cas e a resolução do roblea é feta dretaete Já ara a aálse elástolástca, a solução roblea ão-lear, fo leetado u algorto creetal-teratvo baseado o étodo de tesões/oetos cas Otou-se or ua estratéga sles, cohecda o MEF or rgdez cal, e que as atrzes de fluêca evolvdas ão são atualzadas, sedo, ortato, otadas ua úca vez Tal rocedeto coduz a u úero sueror de terações ara se atgr a covergêca e relação àqueles que corrge as atrzes de fluêca as terações e/ou creetos de caos Alé dsso, ara reresetação das forças/oetos lástcas, as tesões elástcas são tegradas ao logo da esessura utlzado-se o étodo das caadas O úero de caadas eregado te ael ortate a aálse, rcalete o caso do rege de flexão Algus exelos evolvedo fluxos elastolástcos erfetos e co ecruaeto sótroo fora aalsados; resultados satsfatóros fora obtdos quado coarados co soluções aalítcas (quado dsoíves) e co resostas do MEF U outro asecto ortate as resostas uércas está assocado à oeracoaldade da técca Nesse trabalho, otou-se que à edda que o úero de lâas era acrescdo, o teo de aálse era forteete auetado Tal fato decorre, detre outros fatores, de característcas trísecas do sstea de equações assocado à ão-setra troduzda ela dscretzação e/ou elo étodo da colocação (erels ão-sétrcos) utlzada a forulação clássca dos étodos eleetos de cotoro Alé dsso, co trodução da técca das subregões, o sstea fal ãosétrco da estrutura te sua esarsdade auetada e fução do acrésco do úero de graus de lberdade as terfaces Na fgura 8, está dcado o aeaeto de valores ulos e ão-ulos a atrz das cógtas ara o caso do roblea do reservatóro elevado co ua alha to 4, vde(fgura 7)

290 66 Matrz Hexaaraétrca Matrz Tetraaraétrca Fgura 8 Maeaeto da atrz das cógtas Nesse trabalho, ão fo utlzada ehua técca esecal ara otzar o teo de resolução do sstea, sto é, trado roveto das regões de valores ulos da atrz das cógtas No caso, artu-se ara o erego de ua técca dreta de resolução