ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ

Transcrição

1 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ

2 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Primeira aula 30/11/2012

3 APRESENTAÇÃO Eduardo Ferraz Martins; Graduação em Engenharia de Produção (UFF); Mestrado em Engenharia de Produção (UFF); Doutorado em Engenharia de Produção (UFF); Especialização em Gerenciamento de Projetos (Fundação Dom Cabral/Vale); Empresas privadas Empresas públicas

4 EMENTA E OBJETIVOS

5 PROGRAMA

6 Matemática Financeira

7 Juros Simples Problema econômico decorre da escassez; As necessidades das pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta é limitada. Processo de troca de um bem por outro; Mais tarde surgiu a moeda; Meio para acumular valor ou constituir riqueza;

8 Juros Simples A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefereconsumirseubensnopresenteenãonofuturo. Havendo uma preferência temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este prêmio para que nãohajaconsumoéojuro. O jurotambémpodeserentendidocomo sendoocustodo crédito ou a remuneração do capital aplicado.

9 Juros Simples Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. J=Juros C = Capital inicial i =Taxadejuros n=prazodeaplicação J=Cin C= J in i= J Cn n=j Ci

10 Juros Simples

11 Juros Simples Composto Simples

12 Juros Simples Exemplo. Quanto rende um principal de $ 100,00 aplicado à taxa de5%aosemestreeporumprazode2anos.

13 Juros Simples Exemplo. Quanto rende um principal de $ 100,00 aplicado à taxa de5%aosemestreeporumprazode2anos. C=100,00 i =5%a.s n=2anos=4semestre J=100*0,05*4=$20

14 Juros Simples Montante Capital inicial Juro N=C*(1+in) Exemplo.Qualéomontantedeumcapitalde$1.000,00aplicadoà taxade10%a.apeloprazode2anos?

15 Juros Simples Montante Capital inicial Juro N=C*(1+in) Exemplo.Qualéomontantedeumcapitalde$1.000,00aplicadoà taxade10%a.apeloprazode2anos? C=1000,00 i =10%a.a n=2anos N=1000*(1+0,10*2)=$1.200,00

17 Taxas Proporcionais e Equivalentes Considerando duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2, referidos à unidade comum de tempo das taxas. Estas taxas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja,se. Taxas Exemplo.Verificarseas taxas de5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. i1 =n1 i2 i2 n2 i1 n1 n2 Períodos

18 Taxas Proporcionais e Equivalentes Considerando duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2, referidos à unidade comum de tempo das taxas. Estas taxas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja,se. Taxas Exemplo.Verificarseas taxas de5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. i1 =n1 i2 i2 n2 i1 i1 i2 = = 5%a.t 20% a.a 0,05 = 3 0,20 12 n1 = 3meses n1 n2 Períodos n2 = 12 meses

19 Taxas Proporcionais e Equivalentes Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes. Exemplo. Seja um capital de $ , que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.

20 Juro exato e juro comercial Juroexato adotadaaconvençãodoanocivil(365dias) JuroComercial Quandoseadotacomobaseoanocomercial (360 dias)

21 Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é mais conhecido na prática como fluxo de caixa e pode ser representado do seguinte modo Entradas ou recebimentos Reta horizontal é uma Escala de tempo Saídas ou aplicações 2.000

22 Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Odiagramadecapitalnotempodependedopontodevista. Exemplo. Uma pessoa empresta $ 1.200,00 à taxa de juro simples de 10% a.a pelo prazo de 1 ano. Para a pessoa que empresta o diagrama é o seguinte: Odiagramaparaapessoaquetomaodinheiroemprestado:

23 Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Valor Nominal É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento; ValorAtual Éovalorqueumcompromissotememumadataque antecede ao seu vencimento; Valor Futuro Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento;

24 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício1 Uma loja vende umgravador por $ 1.500,00 a vista. A prazo, vende por $ 1.800,00 sendo $ 200 de entrada e o restante após 1ano.Qualéataxacobrada? Exercício 2 Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for 25% a.a? Exercício 3 Uma pessoa aplicou $ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de $ Que taxa equivalente semestral recebeu?

25 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício1 Uma loja vende umgravador por $ 1.500,00 a vista. A prazo, vende por $ 1.800,00 sendo $ 200 de entrada e o restante após 1ano.Qualéataxacobrada? N=C(1+in) = 1300(1+i(1)) i= 23,07% ano ano

26 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício 2 Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for 25% a.a? N=C+J J = Cin 5C=C*0,25*i i=20anos

27 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício 3 Uma pessoa aplicou $ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de $ Que taxa equivalente semestral recebeu? C=$1.500,00 n=10 N=$3.000,00 i=? 3.000,00 = 1.500,00*(1+i*10) i=10.%a.s

28 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício4 Qualéovalornominaldeumanotapromissóriade $ 7.575,76 assinada hoje com vencimento daqui a 10 meses, se a taxadeaplicaçãoforde38,4%a.a.? Exercício 5 O valor nominal de uma Nota Promissória é de $ Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a? Exercício 6 Certa pessoa aplicou $ ,00 à taxa de 29% a.a pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado forde32%a.anaocasiãodatransferência?

29 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício4 Qualéovalornominaldeumanotapromissóriade $ 7.575,76 assinada hoje com vencimento daqui a 10 meses, se a taxadeaplicaçãoforde38,4%a.a.? C=$7.575,76 n=10 i=38,4%a.a N=? N= 7.575,76*(1+(38,4%*10/12)) =

30 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício 5 O valor nominal de uma Nota Promissória é de $ Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a? = C * (1+ (24%/12 * 3)) C = 4.500

31 N=C*(1+in) Valor Nominal e Atual (Diagrama de capital no tempo) Exercício 6 Certa pessoa aplicou $ ,00 à taxa de 29% a.a pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado forde32%a.anaocasiãodatransferência? N= ,00 *(1+29%/12 *9) = , ,00 = C (1+32%/12 *2) C = ,58

32 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Segunda aula 07/12/2012

34 Juros Composto No regime de juros compostos, que tem grande importância financeira por retratar melhor a realidade, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte. A diferença entre um regime e outro pode ser mais facilmente verificada através de um exemplo: seja um principal de $1.000,00 aplicado à taxa de 20% a.a por um período de 4 anos a juros simples e compostos.

35 Juros Composto Juro simples Juros compostos n Juro por período Montante Juro por período Montante * 0,2 = * 0,2 = * 0,2 = * 0,2 = * 0,2 = * 0,2 = *0,2 = * 0,2 = C1=C0*(1+i) C2=C1*(1+i) Logo Cn=C0*(1+i) n

36 Juros Composto Valor Atual e Nominal Cn=C0*(1+i) n VouVP=valoratualnadatazero(C0) NouVF=valornominalnadatan(Cn) Tem-se: VF=VP*(1+i) n Logo: VP=VF (1+i) n

37 Juros Composto Valor Atual e Nominal VF=VP*(1+i) n VP=VF (1+i) n Exercício7 Porquantodevocomprarumtítulo,vencíveldaquia5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m?

38 Juros Composto Valor Atual e Nominal VF=VP*(1+i) n VP=VF (1+i) n Exercício7 Porquantodevocomprarumtítulo,vencíveldaquia5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m? N= 1.131,40 NouVF=1.131,40 i= 2,5%a.a n=5meses 0 V? 5 V=1.131,40 =$1.000,00 (1,025) 5

39 Juros Composto Valor Atual e Nominal VF=VP*(1+i) n VP=VF (1+i) n Usando a HP 12C Exercício7 Porquantodevocomprarumtítulo,vencíveldaquia5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m? N= 1.131,40 FV= 1.131,40 i= 2,5%a.a n=5meses PV=? 0 V? 5 PV =$ 1.000,00

40 Juros Composto Taxas equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicaremumaououtra. Exercício 8 Se um capital de $1.000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, determinar a melhor aplicação?

41 Juros Composto Taxas equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicaremumaououtra. Exercício 8 Se um capital de $1.000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, determinar a melhor aplicação? 3 C3=1000*(1+0,10) =$1.331,00 C3 C1 1 C1=1000*(1+0,331) =$1.331,00 Indiferente. Taxas equivalentes! Ou PV= i= 10%a.a n=3 Fv=? PV= i= 33,1% a.triênio n=1 Fv=?

42 Juros Composto Taxas equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicaremumaououtra. C1=Cq C0(1+i)=C0(1+iq) q 1/q iq=(1+i)-1 Dadaataxadejurosde9,2727%aotrimestre,determinarataxade juros compostos equivalente mensal.

43 Juros Composto Taxas equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicaremumaououtra. C1=Cq C0(1+i)=C0(1+iq) q 1/q iq=(1+i)-1 Dadaataxadejurosde9,2727%aotrimestre,determinarataxade juros compostos equivalente mensal. (1+i)=(1+iq) q (1+9,2727)=(1+iq) 3 Iq=3%a.m

44 Juros Composto Taxa efetiva e taxa nominal Quando o Período de capitalização não coincide com o período da taxa temos que fazer alguns ajustes. Veja o exemplo: Exemplo. Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação.

45 Juros Composto Taxa efetiva e taxa nominal Quando o Período de capitalização não coincide com o período da taxa temos que fazer alguns ajustes. Veja o exemplo: Exemplo. Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação. Taxa de juros nominal 10% a.a.(diferente do período de capitalização); TaxaProporcionalaoperíododecapitalização10%a.a/2=5%a.s; Taxaefetiva- (1+i)=(1+0,05) 2 3 Montante=1.000*(1+0,1025) = $1.340,10 i=10,25%a.a

46 Juros Composto Exercícios Exercício 9 Uma pessoa aplicou $ ,00 e após um ano recebeu $ ,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal pela financeira onde o dinheiro foi aplicado? Exercício 10 Um investidor aplicou $ ,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período de tempo ele recebeu $ ,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado? Exercício 11 Um apartamento é vendido, a vista, por $ ,00. Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige $ ,59 como juros, pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima?

47 Juros Composto Exercícios Exercício 12 A taxa de juros cobrada pelo Banco A é de 30% a.a., sendo sua capitalização anual. O Banco B, numa campanha promocional, informa que sua taxa é de 27%a.a., tendo como algo a diferencia-la apenas o fato de sua capitalização ser mensal. Qual éamelhortaxaparaocliente? Exercício 13 Quanto deve uma pessoa depositar em um banco Exercício 13 Quanto deve uma pessoa depositar em um banco que paga 24% a.a com capitalizações bimestrais, para que ao fim de5anospossua$ ,00?

48 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Terceira aula 21/12/2012

50 Desconto Racional e Comercial Caso o aplicador precise do dinheiro antes de vencer o prazo de aplicação deve voltar à instituição captadora, transferir a posse do títuloelevantaroprincipaleosjurosjáganho. A operação citada é um exemplo de desconto e o ato de efetuá-las é chamado de descontar um título.

51 Desconto Racional Simples O desconto racional simples possui o mesmo comportamento do dinheiro no tempo, que o regime de juros simples. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente éde40%a.a,qualodescontoequantovaiobter.

52 Desconto Racional Simples O desconto racional simples possui o mesmo comportamento do dinheiro no tempo, que o regime de juros simples. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente éde40%a.a,qualodescontoequantovaiobter. VP? n=3meses Dr NouVF=5.500,00 VF=VP(1+in) VF=VP =5.000,00 (1+in) Logo,Dr= =500

53 Desconto Racional Composto O desconto racional composto obedece às relações vistas quando do estudo da capitalização em juros compostos. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente éde40%a.a,qualodescontoequantovaiobter.

54 Desconto Racional Composto O desconto racional composto obedece às relações vistas quando do estudo da capitalização em juros compostos. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente éde40%a.a,qualodescontoequantovaiobter. n VF=VP(1+i) VP? n=3meses Dr NouVF=5.500,00 VP=VF (1+i) =5056,87 n Logo, Dr = ,27 = 443,70

55 Desconto Comercial No desconto Comercial a taxa incide diretamente sobre o valor nominal dos títulos, levando a resultados superiores aos descontos racionais. É amplamente adotado nas operações bancárias de curto prazo. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente éde40%a.a,qualodescontoequantovaiobter.

56 Desconto Comercial No desconto Comercial a taxa incide diretamente sobre o valor nominal dos títulos, levando a resultados superiores aos descontos racionais. É amplamente adotado nas operações bancárias de curto prazo. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente éde40%a.a,qualodescontoequantovaiobter. V=VF-Dc VP? n=3meses Dc NouVF=5.500,00 VP=VF VFin= V=4.950 Logo,Dc= =550

58 Anuidades Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização. Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso,semquehajaamortização,queéocasodosaluguéis.

59 Anuidades Rendas certas ou determinísticas: São aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições externa. Tipos Rendas aleatórias ou probabilísticas: Os valorese/ouasdatasdepagamentosoude recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que ocorre, por exemplo com os seguros de vida: os valores de pagamentos (mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data do recebimento.

60 Anuidades Vamos estudar mais o que está em azul Temporárias Constantes Imediatas Certas Periódicas Perpétuas Variáveis Diferidas Anuidades Não - períodicas Aleatórias

61 Anuidades Vamos estudar mais o que está em azul Temporárias Constantes Imediatas Certas Periódicas Perpétuas Variáveis Diferidas Anuidades Não - períodicas Aleatórias Se os períodos são iguais ou não são iguais entre si.

62 Anuidades Vamos estudar mais o que está em azul Temporárias Constantes Imediatas Certas Periódicas Perpétuas Variáveis Diferidas Anuidades Não - períodicas Aleatórias Quando a duração for limitada ou não.

63 Anuidades Vamos estudar mais o que está em azul Temporárias Constantes Imediatas Certas Periódicas Perpétuas Variáveis Diferidas Anuidades Não - períodicas Aleatórias Se todos os termos são iguais ou não são iguais entre si.

64 Anuidades Vamos estudar mais o que está em azul Quando os termos São exigíveis a partir do primeiro período Imediatas Constantes Temporárias Certas Periódicas Perpétuas Variáveis Diferidas Anuidades Não - períodicas Aleatórias Se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período.

65 Modelo Básico de anuidade Por modelo básico de anuidade entendemos as anuidades que são simultaneamente: Temporárias; Constantes; Imediatas e postecipadas; E periódicas. Exemplo. João compra um carro que irá pagar em 4 prestações mensais de $2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preçodocarroavista.

66 Modelo Básico de anuidade Exemplo. João compra um carro que irá pagar em 4 prestações mensais de $2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preçodocarroavista. R1 R2 R3 R4 VP= R1 + R2 + R3 + R4 1 (1,02) (1,02) 2 (1,02) 3 (1,02) 4 Como R1=R2=R3=R VP = PMT $2.626, (1,02) (1,02) 2 (1,02) 3 (1,02) 4 = $10.000

67 Modelo Básico de anuidade Exemplo. João compra um carro que irá pagar em 4 prestações mensais de $2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preçodocarroavista. R1 R2 R3 R4 VP= R1 + R2 + R3 + R4 1 (1,02) (1,02) 2 (1,02) 3 (1,02) 4 Como R1=R2=R3=R VP = PMT $2.626, (1,02) (1,02) 2 (1,02) 3 (1,02) 4 = $ VP = PMT (1+i) n - 1 n i(1+i)

68 Modelo Básico de anuidade Exercício 14. Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de3%a.m.calcularaprestaçãoaserpagapelocomprador. VP = PMT (1+i) n - 1 n i(1+i)

69 Modelo Básico de anuidade Exercício 14. Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de3%a.m.calcularaprestaçãoaserpagapelocomprador. VP = PMT (1+i) n - 1 n i(1+i) VP=$5.000,00 i=3%a.m n=10 Resposta PMT=$ 586,15

70 Modelo Básico de anuidade Montante (VF) VF = PMT (1+i) n - 1 i Exemplo. Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendosequeelaestáganhando2%a.m.,quantopossuiráem2anos.

71 Modelo Básico de anuidade Montante (VF) VF = PMT (1+i) n - 1 i Exemplo. Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendosequeelaestáganhando2%a.m.,quantopossuiráem2anos. PMT=$1.000,00 i=2%a.m n=24 Resposta S= $ ,86

72 Anuidades diferidas As unidades diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo período de carência. Exemplo. Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais iguais a $ 400,00 com um diferimento de 15 meses. Sendo a taxa de juros de 2 % a.m, pergunta-se: Qual o valor atual das prestações na data zeroequalomontantenadatafocal40?

73 Anuidades diferidas As unidades diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo período de carência. Exemplo. Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais iguais a $ 400,00 com um diferimento de 15 meses. Sendo a taxa de juros de 2 % a.m, pergunta-se: Qual o valor atual das prestações na data zeroequalomontantenadatafocal40? P0 P (meses)

74 Anuidades diferidas P0 P (meses) Primeira Pergunta.: Descobrir Po? Obs1.: Observe que temos uma anuidade com 16 parcelas com 15 meses de carência; Obs2.: Usamos então a fórmula do valor presente da anuidade; Onden=16parcelas,i=2%a.mePMT=400 Achamos um VP então de $ 5.431,084 mas observe que este valor é o P15, pois na fórmula da anuidade trazemos o valor presente um mês anterior ao inicio dos pagamentos das parcelas; Logo ainda preciso levar estevalorparaadatazero EntãotemosVF=P15=$5.431,084,n=15meses,i=2%oquevaidarum Valorpresente VP0=$4.035,375

75 Anuidades diferidas P0 P (meses) Segunda Pergunta.: Descobrir valor futuro no mês 40? Obs1.:Temosumvalorpresente P0=$4.035,375bastaeudescobrirquantovaleestevalornomês40. Obs2.:Utilizandoafórmuladejurocompostocomi=2%,n=40eVP=$4.035,375 Temosumvalorfuturode$8.910,269 VF = VP (1+i) n Na prática podemos dizer que se eu recebesse $ a vista ou em 16 parcelas de $ 400 com uma carência de 15 meses seria equivalente dada as condições de mercado. E que se eu aplicasse qualquer um destesmontanteseuterianomês40umvalorde$8.910,269pararesgatar.

76 Anuidades diferidas P0 P (meses) Curiosidade Na Segunda Pergunta.: Descobrir valor futuro no mês 40 eu poderia fazer pela fórmula da anuidade de valor futuro. Observe que o PMT = 400, com n =16 parcelas e i = 2% ; Com isso acharíamos um Valor Futuro no mês 31 de $ 7.455,714. Cuidado pois na fórmula de anuidade o VF se refere ao mês final das parcelas. Teríamos entãoainda 9mesesatéomês 40logo; VF = VP (1+i) n onde VP =$7.455,714, i = 2% e n=9.teríamos entãoumvalorfuturo nomês40de$8.910,269;

77 Anuidades Perpétuas São aquelas de duração ilimitada. O principal é obtido dividindo-se ovalordotermopelataxadejuros P = R i Pode ser utilizada para se fazer uma avaliação rápida de imóveis. O valor do imóvel pode ser entendido como sendo o valor atual da soma dos aluguéis descontados, desconto esse à taxa de juros (i) que representa o ganho que o possuidor do imóvel teria se aplicasse seu dinheiro no mercado financeiro ou em outra alternativa.

78 Anuidades Perpétuas São aquelas de duração ilimitada. O principal é obtido dividindo-se ovalordotermopelataxadejuros P = R i Exemplo. Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de1%a.m,qualseriaumaprimeiraestimativadovalordoimóvel?

79 Anuidades Perpétuas São aquelas de duração ilimitada. O principal é obtido dividindo-se ovalordotermopelataxadejuros P = R i Exemplo. Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de1%a.m,qualseriaumaprimeiraestimativadovalordoimóvel? P = R i P = 1.500=$ ,01 Ou seja, numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado em $

80 Anuidades Exercício 14 Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de3%a.m.calcularaprestaçãoaserpagapelocomprador? Exercício 15 Uma aparelhagem de som está anunciada nas seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de soméde2,5%a.m,calcularopreçoavista? Exercício 16 Um tapete persa é vendido por $ ,00 a vista. Pode ser adquirido também em prestações mensais de $ 885,71 a juros de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao da compra, pede-se calcular o número de prestações?

81 Anuidades Exercício 17 Uma pessoa possui $ ,00 que pode aplicar do seguinte modo: a) No banco A, que paga um juro de 3% a.m ao fim de cada mês, devolvendoocapitalnofimdo12 mês. b) NobancoB,quedevolve$42.000,00nofimdo12 mês. Pede-se determinar a melhor aplicação Exercício 18 Um carro está à venda por $ ,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2.236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $ 1.613,16, sendo neste caso exigida uma entrada de $12.000,00. Qual a melhor alternativa, se a taxademercadoforde3%a.m?

82 Anexo 1 Curiosidade... Provando... Anuidade... VP PMT PMT PMT PMT Onde soma de P.G.com a1 = razão (q) = 1 (1+i) Vou levar a valor presente na data (0) as quatro parcelas que são iguais VP= PMT Logo temos Posso resolver apenas desta forma. Porém quando são muitas parcelas isto se torna muito trabalhoso. Então observe que temos uma soma de P.G. Substituindo a1 e q podemos agora trabalhar anuidade de forma simplificada com um grande número de parcelas VP = PMT (1+i) n - 1 n i(1+i)

83 Anexo 2 Curiosidade... Provando... Anuidade... VF Como temos VP para anuidade VP = PMT (1+i) n - 1 n i(1+i) n e VF = VP (1+i) então para anuidade temos: VF = PMT (1+i) n - 1 i

84 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Quarta aula Revisão 11/01/2012

85 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Quinta aula Prova 18/01/2012

86 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Sexta Aula 25/01/2012

88 Sistemas de Amortização - Empréstimos A dívida surge quando uma dada importância é emprestada por um certo prazo. Quem assume obriga-se a restituir o principal mais os juros devidos, no prazo estipulado. No sistemas de amortização a serem estudados, os juros serão calculados sempre sobre o saldo devedor. Obs.: Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal,ou seja, do capital emprestado.

89 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema de amortização constante(sac) Prestação juro Amortização Obs.: Prestações são decrescentes Períodos

90 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema de amortização constante(sac) Uma empresa pede emprestado $ que o banco entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e o que principal será amortizado em 4 parcelas anuais, construir a planilha. Obs.: 1) Calcula-se a amortização(constante); 2) Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior; 3) Prestação é obtida somando-se amortização com juros.

91 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema de amortização constante(sac) Ano (k) Saque Saldo Devedor (Sdk) Amortização (Ak ) Juros (Jk) (Jk= i Sdk-1) Prestação (Ak + Jk) Total

92 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema de amortização constante(sac) Ano (k) Saque Saldo Devedor (Sdk) Amortização (Ak ) Juros (Jk) (Jk= i Sdk-1) Prestação (Ak + Jk) Total Obs.: Juros podem ser pagos no primeiro mês de amortização

93 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema Francês ou Price Prestação Amortização juro Períodos Obs.: Prestações são iguais. Uma parte paga os juroseaoutraoprincipal.

94 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema Francês ou Price Um banco empresta $ , entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha.

95 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema Francês ou Price VP = $ i=10%a.a. n=5anos PMT =?($26.379,75) Obs.: Cinco parcelas 1) Calcula-se a prestação pela formula da anuidade (prestação constante); 2) Calculam-se para cada período(k) os juros; 3) Diferença entre prestação e juros = amortização(ak); 4) Saldodevedor(Sdk)=Sdk-1-Ak.

96 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Ano (k) Sistema Francês ou Price Saldo Devedor (Sdk) Amortização (Ak ) Juros (Jk) (Jk= i Sdk-1) Prestação (Ak + Jk) , , , , , , , , , , , , , , , , , ,75 Total , ,74

97 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Ano (k) Sistema Francês ou Price Saldo Devedor (Sdk) Amortização (Ak ) Juros (Jk) (Jk= i Sdk-1) Prestação (Ak + Jk) , , , , , , , , , , , , , , , , , ,75 Total , ,74 Obs.: Considerar mesmas condições e 3 anos de carência.

98 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema Americano Prestação Principal juro Períodos Obs.:Apósumcertoprazoodevedorpaga,emuma única parcela, o capital emprestado.

99 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Sistema Americano Um banco empresta $ , a uma empresa, a uma taxa de jurosde6%a.s. comprazodeutilização unitário, para ser devolvido após uma carência de 2 anos. Sabendo-se que os juros serão cobrados semestralmente,calcular a planilha pelo sistema americano.

100 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Semestres (k) Sistema Americano Saldo Devedor (Sdk) Amortização (Ak ) Juros (Jk) (Jk= i Sdk-1) Prestação (Ak + Jk) Total

101 Sistemas de Amortização - Empréstimos Os principais sistemas de amortização são os seguintes:. Semestres (k) Sistema Americano Saldo Devedor (Sdk) Amortização (Ak ) Juros (Jk) (Jk= i Sdk-1) Prestação (Ak + Jk) , , ,70 Total , ,70 Obs.: Capitalização dos juros durante a carência.

102 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Sétima aula 01/02/2012

103 Análise de Investimentos

104 Análise de Investimentos Existem Várias técnicas, métodos, convenções e critérios que são comumente utilizados na análise e no processo decisório. As alternativas de investimento só podem ser comparadas somente se as consequências monetárias foremmedidasemumpontocomumnotempo. Serão apresentados alguns métodos geralmente usados para medir a rentabilidade e analisar a viabilidade econômica das alternativas de investimento: Valor Presente líquido(vpl); Taxa interna de retorno(tir); Pay-back descontado e outros.

105 Análise de Investimentos (VPL) VPL Mede o valor presente dos fluxos de caixa gerados peloprojetoaolongodesuavidaútil. Esse critério leva à escolha ótima, pois maximiza o valor daempresa.empreendaoprojetoseovplforpositivo. VPL= + j

106 Análise de Investimentos (VPL) Uma empresa tem custo de capital de 8% e possui as seguintes alternativas de investimento candidatas a integrar a sua carteira de projetos. Quais projetos serão selecionados se não há restrição de capital? Alternativa Investimento Ano1 Ano2 Ano3 Ano4 A $ $2.000 $2.000 $3.000 $3.000 B $ $1.000 $4.500 C $ $6.000 $6.000 D $ $5.000 $5.000 $5.000 E $ $4.000 $4.000 $4.000 $4.000 F $ $3.000 $4.000 $6.000 G $ $580 $1.600 $2.000 $3.000

107 Análise de Investimentos (VPL) Uma empresa tem custo de capital de 8% e possui as seguintes alternativas de investimento candidatas a integrar a sua carteira de projetos. Quais projetos serão selecionados se não há restrição de capital? Alternativa Investimento VPL A $ $2.153 B $ $-216 C $ $2.700 D $ $885 E $ $3.249 F $ $970 G $ $702 Obs.: Sem restrições o Projeto B deve ser rejeitado (VPL<0). Com restrição deve-se analisar os projetos conforme índice de rentabilidade e dentro do capital disponível.

108 Análise de Investimentos (VPL) USANDO HP12C Digite o investimento 5 - Digite o valor do fluxo de caixa 3 6 Obs.: Após lançar os valores do fluxo =VPL =TIR

109 Análise de Investimentos (VPL) Uma empresa analisa a viabilidade econômica de um projeto de automação de sua linha de produção. O equipamento inicial custa $ e impactará em uma redução de custo de $ por ano (antes do IR). Vida útil do equipamento é de cinco anos com depreciação integral semvalor residual. A alíquota de IRéde34%eo custo de capital, de 10% a.a. Analisar a viabilidade econômica do projeto

110 Análise de Investimentos (VPL) Item Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 Ano4 Ano5 Investimento (-) Redução de Custo (+) Depreciação (-) Lair IR (-) Depreciação (+) Fluxo de caixa

111 Análise de Investimentos (VPL) Item Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 Ano4 Ano5 Investimento (-) Redução de Custo (+) Depreciação (-) Lair IR (-) Depreciação (+) Fluxo de caixa Obs.: VPL(-$9.340) < 0 e TIR(5,32%)<10%. Por ambos os critérios VPL e TIR, o projeto economicamente é inviável. ATIRnestecasoémenorqueocustodecapital.

112 Análise de Investimentos (TIR) TIRéataxaderetornodoprojetodeinvestimento. TIR é uma taxa que anula o VPL, ou seja, é aquele valor de i* que satisfaz a seguinte equação: VPL= + j =0 Projeto economicamente viável a TIR é maior que o custo de capital.

113 Análise de Investimentos (TIR) Calcular a TIR de um projeto que requer um investimento inicial $ e produz um fluxo de caixa de $ /ano durante 15 anos.

114 Análise de Investimentos (TIR) USANDO HP12C Digite o investimento $ Digite o valor do fluxo de caixa $ Digite o número de anos 15 (fluxo constante) =TIR=8,44

115 Análise de Investimentos (Pay-back) Muitas vezes é necessário saber qual será o tempo de recuperação do investimento. Análise de Investimentos (pay-back Simples) Projeto A Projeto B Investimento ($) Ano Fluxo de Caixa ($) Projeto (A) Projeto (B) Projeto A Projeto B Payback 2anos 3 anos

116 Análise de Investimentos (Pay-back) Muitas vezes é necessário saber qual será o tempo de recuperação do investimento. Análise de Investimentos (pay-back Descontado) Projeto A (Exemplo anterior) = 8.444,78 (1,10)^1 (1,10)^2 (1,10)^3 Obs.: Recuperação do investimento em no mínimo, três anos

117 Análise de Investimentos Exercícios Uma empresa industrial estuda a viabilidade econômica de um projeto de investimento orçado em $ Considerando que o projeto tem duração prevista de 20 anoseoestudodeviabilidadeprojetoufluxosdecaixade $ por ano, calcular a TIR do projeto. Resposta 8% a.a Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular a TIR e o VPL. Se o custo do capital for de 10% a.a., determinar a melhor alternativa Ano A B C D 0 -$ $ $ $ AlternativaC:VPL$796,42...TIR22,8%

118 ENGENHARIA ECONÔMICA EDUARDO FERRAZ Sétima aula 22/02/2012

119 Análise de Investimentos(Método da anuidade equivalente) Embora o VPL seja uma ferramenta útil para avaliar alternativas de investimento, ele não responde a todas as perguntas sobre a vantagem econômica de uma alternativa em relação a outra que tenha duração prevista diferente. A e B são tipos de equipamentos. A tem vida útil de um anoebdetrêsanos. Alternativa Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 TIR? VPL (10%)? A -$10 $13?? B $-10 $5 $5 $5??

120 Análise de Investimentos(Método da anuidade equivalente) Embora o VPL seja uma ferramenta útil para avaliar alternativas de investimento, ele não responde a todas as perguntas sobre a vantagem econômica de uma alternativa em relação a outra que tenha duração prevista diferente. A e B são tipos de equipamentos. A tem vida útil de um anoebdetrêsanos. Alternativa Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 TIR? VPL? A -$10 $13 30% $1,82 B $-10 $5 $5 $5 23,38% $2,43

121 Análise de Investimentos(Método da anuidade equivalente) Seleçãopela TIR e pelovplneste casoécontraditória. Se consideramos o VPL a alternativa B será selecionada Contudo argumenta-se que a solução válida requer que as alternativas sejam levadas para um horizonte econômico comum. Para isso vamos substituir o equipamento(a) duas vezes. Alternativa Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 VPL? A -$10 $13 1 Substituição A -$10 $13 2 Substituição A -$10 $13 Fluxo de Caixa Líquido $-10 $3 $3 $13 $4,97 Obs.:DestaformaemumamesmohorizonteApassaaserpreferível. VPLA>VPLB($4,97>$2,43)

122 Análise de Investimentos(Método da anuidade equivalente) Seria muito cansativo este raciocínio para durações longas. Um método alternativo é o da anuidade equivalente. Esse indicador mostra de que forma seria distribuída a renda econômica se a referida distribuição fosse equitativa. AE = VPL n (1+i) - 1 n i(1+i) No exemplo AEA=$2,00/ano e AEB=$0,98/ano AEA>AEB. Alternativa A é preferível.

123 Análise de Investimentos(Método do custo anual equivalente) Em determinados projetos ou serviços, os benefícios ou as receitas dificilmente podem ser quantificados em termos monetários. Entretanto os custos podem. Nestes casos bastaria conhecer os custos das alternativas e selecionar aquelas com os menores custos anualizados.

124 Análise de Investimentos(Método do custo anual equivalente) Uma empresa pretende adquirir um equipamento que esteja disponível em duas marcas diferentes no mercado. Equipamento A custa $ e tem vida útil de 12 anos, enquanto o equipamento B Custa $ e possui vida útilde12anos.custodecapitaléde4%a.a.

125 Análise de Investimentos(Método do custo anual equivalente) Uma empresa pretende adquirir um equipamento que esteja disponível em duas marcas diferentes no mercado. Equipamento A custa $ e tem vida útil de 12 anos, enquanto o equipamento B Custa $ e possui vida útilde8anos.custodecapitaléde4%a.a. CAEA CAEB OCAEdaalternativaAémenor,sendoestapreferívelàB.

126 Taxa incremental de Fisher Alternativa Investimento Retorno A -$15 $25 B $-25 $40 VPL $15 $10 B A Taxa incremental de Fisher 50% 60% 67% CustodoCapital(i)

127 Exercícios A compra de um equipamento com vida útil de três anos e sem valor residual exige um investimento inicial de $ O equipamento permitirá diminuir os custos operacionais em $ /ano e aumentar a receita operacional em $ /ano. Se a alíquota de IR for de 30%eocustodecapitalforde10%,calcularoVPLeaTIR do projeto. Ele se justifica do ponto de vista econômico?

128 Exercícios Uma indústria pretende investir $4 milhões na compra de umequipamento.avidaútildoequipamentoédequatro anos, e ele será instalado em um terreno, cujo valor de mercado é de $ 1 milhão. Ao término da vida útil estará contabilmente depreciado, mas naquela data poderá ser liquidado por $1,2 milhão no mercado de equipamentos usados. A receita operacional projetada obtida da operação do equipamento é de $ 2 milhões/ano, com custos operacionais de $0,4 milhão/ano e gastos indiretos de $0,2 milhão/ano. As necessidades de capital de giro serão de 15% sobre os incrementos das vendas. A alíquota de IR é de 30%. Montar o fluxo de caixa econômico do projeto? Na avaliação econômica considerar um custo de capital de 10%.