A PRIMEIRA COMPONENTE PRINCIPAL COMO INDICADOR DE TENDÊNCIA DA INFLAÇÃO*

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1 A PRIMEIRA COMPOETE PRICIPAL COMO IDICADOR DE TEDÊCIA DA IFLAÇÃO Carlos Robalo Marques Pedro Duarte eves Afonso Gonçalves da Slva ITRODUÇÃO As opnões expressas no artgo são da ntera responsabldade dos autores e não concdem necessaramente com a posção do Banco de Portugal Departamento de Estudos Económcos Enquanto estagáro no Departamento de Estudos Económcos Combra e eves (997) propuseram a utlzação de um ndcador de tendênca da nflação baseado no método das componentes prncpas O Banco de Portugal tem utlzado este ndcador que corresponde mas rgorosamente ao cálculo da prmera componente prncpal na análse da evolução dos preços, a par de outras meddas de tendênca da nflação O ndcador baseado no método das componentes prncpas mostrou possur boas propredades quando analsado à luz dos créros propostos em Marques et al (999, 2000) O presente estudo tem dos objectvos Em prmero lugar, pretende abordar o problema da nãoestaconardade no cálculo das componentes prncpas Com efeo, esta técnca fo ncalmente desenvolvda sob a hpótese de que as varáves analsadas são estaconáras, pressuposto não verfcado pela maora das séres das taxas de varação homóloga dos preços das dversas componentes do IPC Em segundo lugar, pretende testar de uma forma mas rgorosa do que em Marques et al (999, 2000) a verfcação pela prmera componente prncpal das propredades desejáves de um ndcador de tendênca da nflação Com efeo, nos referdos estudos não se utlzou aquele ndcador como dsponível em tempo real, mas como calculado com acesso a toda a nformação amostral Ora, só fazendo o seu cálculo com base na nformação dsponível em tempo real se pode replcar a sua utlzação como ndcador de tendênca da nflação Adconalmente este estudo apresenta anda um modelo teórco que perme nterpretar a tendênca da nflação como uma tendênca estocástca comum às taxas de varação dos preços das rubrcas elementares que constuem o Índce de Preços no Consumdor A prmera componente prncpal calculada tendo em consderação os dos aspectos referdos, sto é, levando em conta o problema da não estaconardade das varáves e fazendo o seu cálculo com base na nformação dsponível em tempo real verfca todas as propredades desejáves para um ndcador de tendênca da nflação Além dsso é anda lgeramente menos volátl do que a versão do mesmo ndcador que tem vndo a ser calculada pelo Banco de Portugal Este novo ndcador constu pos, mas um elemento útl para a análse do comportamento dos preços em Portugal Este artgo está organzado da segunte forma a secção 2, dscute-se o método das componentes prncpas e apresentam-se as prncpas alterações metodológcas ntroduzdas; na secção 3, dscute-se e nterpreta-se o modelo teórco para a tendênca da nflação à luz do método das componentes prncpas; na secção 4, analsam-se as propredades do ndcador e na secção 5, apresentam-se as prncpas conclusões Banco de Portugal / Boletm económco / Março

2 2 O MÉTODO DAS COMPOETES PRICIPAIS O método das componentes prncpas é uma técnca que perme obter, a partr de um dado conjunto de varáves, um certo número de combnações lneares destas varáves, que são desgnadas por componentes prncpas, e que explcam de forma condensada uma determnada proporção da varação mplíca no conjunto das varáves Por exemplo, no nosso caso, pode ser vsta como representando a taxa de varação homóloga da -ésma rubrca elementar do IPC É sabdo que o método das componentes prncpas é sensível à escala das varáves Por esta razão é hábo proceder prevamente à estandardzação das varáves orgnas com vsta a garantr que estas têm uma dmensão comparável e aplcar o método das componentes prncpas drectamente sobre as varáves transformadas Representando por x a varável estandardzada para o período t temos: x () s onde representa a méda amostral de e s o correspondente desvo-padrão Sendo X a matrz das T observações destas varáves estandardzadas, podemos escrever: x x X x x Como veremos esta estandardzação é apenas uma das transformações possíves a prátca a transformação a aplcar às varáves orgnas depende do objectvo da análse Admamos por agora que a nossa matrz X éa matrz das varáves estandardzadas O método das componentes prncpas tem por objectvo obter varáves que são combnações lneares das colunas da matrz X, ortogonas entre s, e tal que a prmera deve ter a máxma varânca possível, a segunda a máxma varânca possível de entre as não correlaconadas com a prmera e assm sucessvamente Se representarmos por z t a prmera destas varáves, podemos escrever: T (2) z x x x t, 2,, T (3) 2 2 t t t t ou em termos matrcas ZX A soma de quadrados de Z vem dada por ZZ XX eoobjectvo do método consste em escolher o vector por forma a maxmzar ZZ, sujeo à restrção de que ou seja resolver o problema: Max: Z Z sa R onde R X X A restrção, desgnada por restrção de dentfcação, é necessára para obrgar a uma solução fna para o valor óptmo de ZZ Caso contráro sera possível aumentar arbraramente a varânca da prmera componente prncpal bastando aumentar a escala do vector A matrz R X X é habualmente desgnada por matrz nput e sob a hpótese de que X é matrz das varáves estandardzadas R representará a matrz dos coefcentes de correlação amostras entre as varáves É possível demonstrar que a solução óptma do problema (4) consste em tomar gual ao vector própro normalzado assocado ao maor valor própro da matrz R X X Identcamente, a solução óptma para a segunda componente prncpal consste em tomar o vector de parâmetros gual ao vector própro assocado ao segundo maor valor própro, e assm sucessvamente Desgnando por o valor óptmo de e por Z a prmera componente prncpal estmada com base no valor óptmo de, podemos escrever: Z (4) X (5) O método das componentes prncpas fo orgnalmente desenvolvdo sob o pressuposto de que as varáves em análse são estaconáras o caso em que as varáves são estaconáras a sua estandardzação tem uma nterpretação estatístca medata Todava, no caso português, é possível demonstrar que grande parte das taxas de varação homóloga das rubrcas elementares do IPC se comporta como varáves não estaconáras Em partcular, para a maora destas varáves, a hpótese da presença de uma raz unára não é rejeada este ponto duas questões surgem naturalmente Por um lado, a questão de saber se o método das componentes prncpas contnua váldo na 40 Banco de Portugal / Boletm económco / Março 200

3 presença de varáves ntegradas de ordem e, por outro, se a estandardzação habual atrás apresentada contnua aconselhável dado o objectvo de construr um ndcador de tendênca da nflação A resposta à prmera das perguntas é afrmatva o essencal, o método das componentes prncpas mantém-se váldo na presença de varáves ntegradas O chamado estmador das componentes prncpas no contexto de varáves ntegradas fo pela prmera vez utlzado por Stock e Watson (988) Recentemente, Harrs (997) demonstrou que este estmador pode ser usado para estmar vectores contegrantes este contexto, o estmador para, enquanto vector contegrante que torna z t estaconáro em (3), é dado pelo vector própro assocado ao menor valor própro da matrz XX, pos trata-se agora de mnmzar a varânca de z t Harrs (997) demonstra que o estmador de é super-consstente não só enquanto estmador de vectores contegrantes, mas também enquanto estmador de componentes prncpas Antes de darmos a resposta à segunda questão relatva à estandardzação, convém frsar que a normalzação mplíca no uso de R X X como nput usada atrás para efeos de exposção do método, não é únca, e que a escolha pode ser adaptada ao tpo de problema em estudo () Os elementos estmados do vector em (3) podem ser vstos como representando a contrbução (peso) de cada rubrca elementar para a defnção da prmera componente prncpal Uma vez que em (3) o objectvo é maxmzar a varânca de z t, o estmador atrburá maor peso às componentes com maor varânca ndvdual A estandardzação habual, que consste em subtrar a méda da sére e dvdr pelo respectvo desvo-padrão, é adequada quando as varáves são estaconáras o entanto, na presença de varáves ntegradas de ordem ava- rânca empírca tende a ser tanto maor quanto () Por vezes, a matrz X é defnda com varáves apenas na forma de desvos em relação à méda, sto é, com elementos do tpo: x e neste caso, a matrz nput R X X será a matrz de varâncas covarâncas das varáves orgnas em vez da matrz dos coefcentes de correlação O uso da matrz de varâncas-covarâncas como matrz nput poderá ser aceável se as varáves não tverem varâncas muo dferentes, pos caso contráro as prmeras componentes prncpas tendem a ser domnadas pelas varáves com maor varânca Sendo a varânca uma varável que depende da escala das varáves, a solução, nesta suação, consste em prevamente estandardzar as varáves Veja-se, por exemplo, Dllon e Goldsten (984) maor a alteração do nível médo da sére no período amostral, aparecendo assm como mas volátes séres bastante alsadas que exbem uma tendênca crescente ou decrescente muo acentuada no período amostral Por outras palavras, no caso de varáves ntegradas a varânca empírca não mede o grau de volatldade da sére Se o objectvo for o de obter um ndcador de tendênca da nflação uma preocupação natural resde no grau de alsamento da sére da prmera componente prncpal que se pretende obter Assm, parece adequado olhar para combnações lneares das taxas de varação homólogas das rubrcas elementares do IPC que retenham snal (varânca) sem produzrem excessva volatldade Se caracterzarmos o alsamento de uma varável ntegrada de ordem pela varânca das prmeras dferenças, podemos obter um ndcador mas alsado se aplcarmos o método das componentes prncpas drectamente às varáves x estandardzadas da segunte forma: (6) x onde representa a taxa de varação homóloga da -ésma rubrca elementar do IPC, a respectva méda amostral e o desvo-padrão de (2) Fnalmente, nteressa abordar duas questões adconas que têm consequêncas sobre a forma de cálculo do ndcador e que se referem à necessdade de cálculo do ndcador em tempo real e ao seu re-escalonamento Uma das condções geralmente exgdas para um ndcador de tendênca da nflação éadeque seja calculável de forma defnva em tempo real (3) A forma de resolver esta questão para o ndcador em análse consste em construr uma sére de prmeras estmatvas de z t Por outras palavras, o ndcador baseado no estmador das componentes prncpas fo construído tomando, para cada período t, o valor da componente prncpal que se obtém de (3), consderando na matrz X apenas as observações dsponíves até ao período t aturalmente este processo só pode ser aplcado a partr do momento em que exste um número (2) Para mas pormenores sobre esta especfcação alternatva do método das componentes prncpas veja-se Machado et al (200) (3) Veja-se, por exemplo, Marques et al (2000) Banco de Portugal / Boletm económco / Março 200 4

4 mínmo de observações consderado ndspensável ao cálculo da prmera estmatva o nosso caso, dada a pequena dmensão do período amostral decdu-se, para efeos de análse das propredades do ndcador nos termos da secção 4, manter os valores ncas, embora em rgor não se tratem de prmeras estmatvas Assm o ndcador no período de 993/7 a 997/2 é constuído pelas estmatvas obtdas usando a amostra até 997/2 sendo, a partr daí, constuído por prmeras estmatvas calculadas nos termos acabados de descrever Refra-se que, desta forma, é adoptado um processo mas rgoroso para a análse das propredades deste ndcador do que o usado em Marques et al (999, 2000) Vejamos agora o problema do re-escalonamento do ndcador A componente prncpal em (3), sendo obtda com base em varáves prevamente estandardzadas, tem um nível médo que não é comparável com o nível médo da nflação no período amostral Para poder ser usada como ndcador, é necessáro proceder ao seu reescalonamento, de forma a que as duas séres passem a exbr o mesmo valor médo Embora exstam procedmentos alternatvos, o mas smples de entre todos consste em estmar uma regressão entre a taxa de nflação e a componente prncpal ncal, e tomar como ndcador os valores ajustados desta regressão (4) o nosso caso, tendo mas uma vez como objectvo assegurar a obtenção de um ndcador calculável em tempo real, decdu-se estmar sucessvas regressões nclundo em cada uma delas uma observação adconal A análse deste ndcador de prmeras estmatvas, que representaremos por CP, é fea na secção 4 Para comparação fo gualmente calculado, também em tempo real e a partr de 998/, um ndcador no qual a estandardzação fo realzada da forma tradconal (5), desgnado na secção segunte por CP2 3 UM MODELO TEÓRICO PARA A TEDÊCIA DA IFLAÇÃO esta secção mostra-se como o método das componentes prncpas pode ser usado para obter uma estmatva consstente para a tendênca da nflação Adma-se que a varação de preços do bem se pode decompor na soma de duas componentes dstntas Uma, que desgnaremos por componente permanente, cuja evolução é determnada pelo andamento da tendênca da nflação, e outra, habualmente desgnada por componente temporára, que corresponde ao efeo de choques específcos, ntrínsecos ao mercado do bem Em termos genércos, podemos escrever: a b t ;,, ; t,, T; (7) onde representa, mas uma vez, a taxa de varação homóloga do preço do bem, t a tendênca da nflação e a componente temporára Uma vez que, por hpótese, as varáves são ntegradas de ordem, t é também necessaramente uma varável ntegrada de ordem Por sua vez, por construção, cada é uma varável estaconára, de méda nula Assm, a equação (7) postula a exstênca de uma relação de contegração entre a taxa de crescmento dos preços do bem e a tendênca da nflação (6) Adme-se, a este nível de desagregação, que exstem componentes do IPC cujas taxas de varação, embora determnadas no longo prazo pela tendênca da nflação, não apresentam relatvamente a esta uma evolução necessaramente paralela (pelo que se pode ter a 0 e/ou b ) Convém notar que a especfcação de (7) em termos genércos (onde potencalmente se tem a 0 e b ) não é ncompatível com a hpótese habualmente fea a nível agregado, que decompõe a taxa de nflação para o total da economa na soma smples da tendênca e de uma componente transóra, ou seja, u (8) t t t (4) Este fo o procedmento usado, por exemplo, em Combra e eves (997) (5) Isto é, usando o desvo-padrão de e não de (6) ote-se, no entanto, que o método é gualmente aplcável se alguns dos forem estaconáros, e, se alguns dos b forem nulos [veja-se Hall et al (999)] 42 Banco de Portugal / Boletm económco / Março 200

5 Para ver que assm é, comecemos por notar que a taxa de nflação homóloga se pode escrever na P, 2 forma t w, com w, onde P representa o peso (fxo) da componente no IPC, P t2 o índce de preços dessa componente, e P t o própro IPC ote-se que se tem w, apesar de os w serem varáves no tempo Agora multplcando as equações (7) pelos pesos de cada rubrca na nflação (w ) e somando, temos: ou seja, w w a w b w (9) t 0t t t t Agora, se em (0) tvermos E 0t E wa 0 E t E wb (0) () então estará verfcada a hpótese formulada em (8) É possível demonstrar que o método das componentes prncpas pode ser usado para obter uma estmatva consstente para t no contexto do modelo (7) este sentdo a prmera componente prncpal pode ser vsta como representando uma tendênca estocástca comum às taxas de varação dos preços de cada uma das rubrcas elementares do IPC Os detalhes da demonstração podem ser vstos em Machado et al (200) 4 AÁLISE DAS PROPRIEDADES DO IDICADOR esta secção, analsam-se as propredades dos ndcadores CP e CP2 calculados nos termos descros na secção 2 A avalação dos ndcadores de tendênca da nflação é fea recorrendo aos créros propostos em Marques et al (999, 2000) Recorde-se que estes créros são os seguntes: ) a dferença entre a nflação observada e o ndcador de tendênca deverá ser uma varável estaconára de méda nula; ) o ndcador de tendênca da nflação deverá funconar como um attractor da taxa de nflação, no sentdo em que constu um ndcador avançado da nflação; ) a nflação observada não deverá ser um attractor do ndcador de tendênca da nflação Os testes destas condções podem ser levados a cabo de dversas formas A verfcação da condção ) pode ser fea testando a exstênca de contegração na regressão t t ut, com e 0, onde t representa a taxa homóloga de nflação e t o ndcador de tendênca Este teste pode ser conduzdo em duas etapas Prmero utlzar testes de raízes unáras na sére d t t t, com o objectvo de estabelecer que d t é uma varável estaconára Segundo, testar a hpótese 0, condconada no facto de d t ser uma varável estaconára Para testar a segunda e tercera condções, torna-se necessáro especfcar modelos dnâmcos para t e t O leor nteressado nos detalhes técncos poderá consultar Marques et al (2000) Ambos os ndcadores verfcam as propredades propostas Deve notar-se que, por construção, é de esperar à partda que ambos os ndcadores satsfaçam a propredade de não envesamento sstemátco, ou seja, a segunda etapa da condção ) Como se pode verfcar no gráfco, ambos os ndcadores apresentam um perfl temporal próxmo do deal num ndcador de tendênca omeadamente, tratam-se de séres mas alsadas do que a taxa de nflação, que tendem a estar acma desta em períodos em que esta está partcularmente baxa e abaxo sempre que esta assume valores partcularmente elevados, verfcando-se adconalmente que, nestes casos, é a nflação observada a convergr para o ndcador de tendênca e não o nverso O gráfco ndca também que CP2 é mas volátl do que CP (7) Assm, justfcam-se na prátca as vantagens teórcas apresentadas na secção anteror Um outro ponto que nteressa analsar prende-se com a relação exstente entre os ponderado- (7) O desvo-padrão das prmeras dferenças de CP é 0093 pp, enquanto que o de CP2 é 020 pp Ambos são substancalmente nferores ao da nflação, que é 0297 pp Banco de Portugal / Boletm económco / Março

6 Gráfco TAXA DE IFLAÇÃO E PRIMEIRA COMPOETE PRICIPAL Gráfco 3 RELAÇÃO ETRE OS PESOS DE CADA RUBRICA O IPC E A COMPOETE PRICIPAL Inflação CP CP2 0 Em percentagem Pesos no IPC Jan94 Jan95 Jan96 Jan97 Jan98 Jan99 Jan Pesos em CP Gráfco 2 RELAÇÃO ETRE VOLATILIDADE E PESOS DAS DIFERETES RUBRICAS A COMPOETE PRICIPAL Gráfco 4 RELAÇÃO ETRE OS PESOS DE ALGUS GRUPOS DE RUBRICAS O IPC E A COMPOETE PRICIPAL 30% 25% Volatldade (σ ι) 20% 5% 0% Energétcos Vestuáro e calçado Saúde Ensno, Cultura e Dstracção 5% Pesos em CP 0% Almentares não transformados Almentares transformados Conforto da Habação (exc Energétcos) Peso em CP Transportes e Comuncações (exc Energétcos) Peso no IPC Tabaco, Outros Bens e Servços res na componente prncpal de cada rubrca elementar e o respectvo peso no IPC O gráfco 2 lustra a relação entre os ponderadores de cada rubrca no ndcador CP e a respectva volatldade (medda por, o desvo-padrão das prmeras dferenças), ambos obtdos para a totaldade do período amostral Verfca-se que todas as séres com um peso sgnfcatvo têm uma volatldade relatvamente baxa, ao passo que as séres de volatldade mas elevada apresentam pesos bastante próxmos de zero Exste pos uma relação negatva entre os valores dos ponderadores e a volatldade de cada rubrca Pelo contráro, como se pode ver no gráfco 3, não exste qualquer relação sgnfcatva entre o peso de cada rubrca no IPC e o seu ponderador na componente prncpal o gráfco 4, estão representados os pesos no IPC de 9 agrupamentos de rubrcas elementares e os respectvos ponderadores na componente prncpal, para todo o período amostral (8) Os dos prmeros agrupamentos correspondem às rubrcas excluídas na tradconal nflação subjacente As restantes rubrcas foram agrupadas segundo a classe do IPC a que pertencem Verfca-se que os bens Almentares não transformados e Energé- 44 Banco de Portugal / Boletm económco / Março 200

7 tcos têm um peso menor na componente prncpal do que no IPC, o mesmo sucedendo, embora em menor grau, com os Almentares transformados e Transportes e Comuncações (exclundo Energétcos) Todas as outras categoras sofrem um aumento de mportânca no índce Em resumo, conclu-se que as séres consderadas mas volátes vêem o seu peso na componente prncpal reduzdo face ao peso no IPC, sendo o nverso verdadero no caso das séres menos volátes Este facto explca o maor alsamento do ndcador CP face à taxa de nflação observada A termnar, nteressa notar que o ndcador CP, embora em crcunstâncas normas desempenhe de uma forma satsfatóra o papel de ndcador de tendênca da nflação, pode todava apresentar problemas de establdade em especal quando há uma modfcação no número, constução ou método de recolha de dados nas categoras do IPC esta suação a análse da prmera componente prncpal deve ser complementada com ndcadores mas robustos, como é o caso dos estmadores de nfluênca lmada, correntemente utlzados pelo Banco de Portugal 5 COCLUSÕES Este artgo re-estma e re-examna a prmera componente prncpal, enquanto ndcador de tendênca da nflação, com o objectvo não só de enquadrar o processo de estmação no contexto de varáves não estaconáras, mas também de estudar as suas propredades quando calculado em tempo real O ndcador assm calculado verfca todas as propredades consderadas ndspensáves a um ndcador de tendênca da nflação Por um lado, verfca-se que o método das componentes prncpas, na construção do ndcador de tendênca, apenas atrbu pesos sgnfcatvos a rubrcas pouco volátes, tendo as rubrcas mas volátes pesos quase nulos Em partcular, verfca-se que os bens (8) Os ponderadores estmados de algumas rubrcas elementares vêm com snal negatvo Todava, na sua maor parte, parecem não ser estatstcamente sgnfcatvos, e o seu valor acumulado é muo pequeno (cerca de -86%) Por esta razão, optou-se por mantê-los no gráfco A título de lustração, refra-se que a categora mas afectada por este problema, Almentares não transformados, passara de 378% para 532% no caso de aqueles ponderadores serem removdos Almentares não transformados e Energétcos têm um peso menor na componente prncpal do que no IPC Por esta razão, o ndcador é menos volátl que a nflação, tendendo a ser menor que esta em períodos em que a nflação está partcularmente elevada, e acontecendo o nverso quando a nflação está partcularmente baxa Por outro lado, verfca-se também que a nflação tende a convergr para o nível dado pelo ndcador, sempre que a dferença entre eles é sgnfcatva Por estas razões, este novo ndcador de tendênca poderá constur mas um auxlar útl de análse do comportamento da nflação REFERÊCIAS Combra, C, eves, P D, 997, Indcadores de tendênca da nflação, Banco de Portugal, Boletm Económco, Março; Dllon, WR, Goldsten, M, 984, Multvarate analyss, methods and applcatons, John Wley & Sons; Hall, S, Lazarova, S, Urga, G, 999, A prncpal components analyss of common stochastc trends n heterogeneous panel data: some Monte Carlo evdence, Oxford Bulletn of Economcs and Statstcs 6, ; Harrs, D, 997, Prncpal components analyss of contegrated tme seres, Econometrc Theory, 3, ; Machado, J F, Marques, C R, eves, P D, Slva, A G, 200, A prmera componente prncpal como ndcador de tendênca da nflação, Banco de Portugal, mmeo; Marques, C R, eves, PD, Sarmento, LM, 999, Avalação de ndcadores de tendênca da nflação, Banco de Portugal, Boletm Económco, Dezembro; Marques, C R, eves, P D, Sarmento, L M, 2000, Evaluatng core nflaton ndcators, Banco de Portugal, WP nº 3; Stock, J H, Watson, M W, 988, Testng for common trends, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 83, Banco de Portugal / Boletm económco / Março