Variáveis Complexas em Eletrostática Prof. Ricardo Luiz Viana

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1 Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Física Variáveis Complexas em Eletrostática Prof. Ricardo Luiz Viana Alguns problemas bidimensionais de eletrostática podem ser resolvidos de forma simples e elegante usando variáveis complexas. Vamos começar revisando alguns conceitos básicos sobre funções analíticas e depois abordaremos a sua aplicação em eletrostática. 1 Recordação sobre funções analíticas Seja z = x+iy um número complexo e f(z) uma função também complexa. Dizemos que f(z) é analítica no ponto z 0 se a sua derivada df/dz existe em z = z 0 bem como em todos os pontos de alguma vizinhança de z 0 : ( ) df f f(z) f(z 0 ) (z 0 ) = = lim. (1) dz z z0 z=z 0 z z 0 Por exemplo, a função f(z) = z 2 = z z = x 2 +y 2 não é analítica, pois f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 Na vizinhança de z 0 podemos escrever z = z 0 +re iθ, de forma que = lim z z0 z z z 0z 0 ) z z 0, (2) z z z0 lim z 0) = z0 z z 0 z z +z 0e 2iθ, (3) 0 logo o limite quando z z 0 existe mas depende da direção θ ao longo da qual nos aproximamos do ponto z 0. Para que f(z) fosse analítica em z 0 a sua derivada deveria ser a mesma para qualquer forma de aproximação dentro da vizinhança. Portanto, para mostramos que f(z) é analítica num ponto z 0 devemos provar que o limite quando z z 0 não depende da maneira pela qual nos aproximamos do ponto z 0. Escrevendo a função f(z) = u + iv, onde u = u(x,y) é a parte real e v = v(x,y) a parte imaginária, a derivada da função no ponto z 0 é, pela definição (1), igual a f [u(x,y) u(x 0,y 0 )]+i[v(x,y) v(x 0,y 0 )] (z 0 ) = lim. (4) x x 0,y y 0 (x x 0 )+i(y y 0 ) Vamos efetuar esta derivada de duas maneiras diferentes: (a) fixando y = y 0 e fazendo x x 0 : [u(x,y 0 ) u(x 0,y 0 )]+i[v(x,y 0 ) v(x 0,y 0 )] lim = x x 0 x x 0 1 ( ) u +i x y=y 0 ( ) v, (5) x y=y 0

2 (b) fixando x = x 0 e fazendo y y 0 : [u(x 0,y) u(x 0,y 0 )]+i[v(x 0,y) v(x 0,y 0 )] lim y y 0 i(y y 0 ) ( ) ( ) u v = i, (6) y x=x 0 y x=x 0 Se f(z) é analítica em z 0 as duas expressões anteriores deverão ter o mesmo valor, que é a derivada de f(z) neste ponto. Igualando (5) e (6) obtemos então as chamadas condições de Cauchy-Riemann u x = v y, (7) u y = v x. (8) É possível mostrar também que este resultado vale no sentido oposto: se as condições acima forem válidas, então f(z) é analítica, de modo que (7) e (8) representam condições necessárias e suficientes. Substituindo (8) em (7) temos que 2 u x + 2 u = 0, 2 y2 (9) 2 v x + 2 v = 0, 2 y2 (10) que são as equações de Laplace para as funções reais u e v (dizemos que u e v são funções harmônicas). Portanto, se f(z) é analítica, então 2 f = 0. Funções analíticas também são chamadas holomórficas. Funções inteiras são analíticas em todos os pontos do plano complexo. Funções cujas únicas singularidades são polos são ditas meromórficas. A equação de Laplace (9) sugere que podemos considerar o potencial eletrostático como a parte real de uma função complexa analítica, desde que estejamos em duas dimensões espaciais. Desta maneira mapeamos o plano euclidiano no plano complexo. Esta função, chamada potencial complexo, não precisa ser inteira: há pontos no plano complexo onde ela não é analítica, como singularidades e cortes de ramo: veremos que tais pontos podem ser associados às fontes de campo elétrico. Na sequência vamos desenvolver esta metodologia de trabalho, também empregada na hidrodinâmica (escoamentos bidimensionais irrotacionais) e na teoria da elasticidade. 2 Potencial e campo elétrico complexos Sendo z = x+iy, onde x e y são as coordenadas cartesianas, o potencial complexo é definido como a função w(z) = Φ+iΨ, (11) cuja parte real Φ(x,y) é o potencial eletrostático e Ψ(x,y) é chamada função de fluxo. As curvas Φ = const. são as equipotenciais, ao passo que as curvas Ψ = const. são as linhas de força do campo elétrico. 2

3 Figura 1: Linhas de força e equipotenciais para um campo elétrico uniforme. Supondo que o potencial complexo seja uma função analítica no plano então, das condições de Cauchy-Riemann (7)-(8), Φ x = Ψ y, (12) Φ y = Ψ x, (13) donde Φ Ψ x x Φ Ψ = Φ Ψ = 0, (14) y y ou seja, as equipotenciais e as linhas de força são ortogonais em cada ponto. O campo elétrico complexo no plano é definido como E = E x ie y = dw dz. (15) Na sequência veremos alguns exemplos de potenciais e campos elétricos complexos em configurações simples mas de interesse em eletrostática. 2.1 Campo uniforme Se E = E 0ˆx, então Φ = E 0 x = Rew, donde w(z) = E 0 z. (16) Neste caso a função de fluxo é Ψ = Imw = E 0 y. As equipotenciais são retas verticais, para as quais x = const., enquanto as linhas de força são retas horizontais (y = const.) (Fig. 1). 2.2 Linha de carga O campo elétrico gerado por uma linha infinita de cargas contendo uma carga λ por unidade de comprimento pode ser obtido diretamente a partir da Lei de Gauss: E(ρ) = 1 λ ˆρ, (17) ρ 3

4 Figura 2: Linhas de força e equipotenciais para uma linha infinita de cargas. onde usamos simetria cilíndrica. O potencial eletrostático correspondente é tal que o potencial complexo será Φ(ρ) = λ lnρ, w(z) = λ lnz (18) onde z = ρe iϕ. A função de fluxo correspondente é a parte imaginária correspondente Ψ(ρ) = λ ϕ, As equipotenciais (ρ = const.) são círculos concêntricos, enquanto as linhas de força (ϕ = const.) são semi-retas que partem da origem, com sentido divergente (para λ > 0) ou convergente (para λ < 0). 2.3 Duas linhas infinitas de carga Vamos considerar duas linhas infinitas de carga nas posições z 0 = x 0 +iy 0 e z 0 = x 0 iy 0 com cargas por unidade de comprimento dadas por λ e λ, respectivamente. O potencial do conjunto é a superposição de cada linha, w(z) = λ ln(z z 0 )+ λ ln(z +z 0 ). (19) Por simplicidade vamos considerar que y 0 = 0 e x 0 = s, de modo que as duas linhas de carga estão sobre o eixo x em posições simétricas em relação ao eixo y, de modo que (19) fornece w = λ [ ] (x s)+iy ln = λ [ ] (1 α)+itanϕ ln, (x+s)+iy (1+α)+itanϕ 4

5 Figura 3: Linhas de força do campo elétrico e equipotenciais de duas linhas de carga paralelas. onde α = s/x. Multiplicando o numerador e o denominador pelo seu complexo conjugado obtemos o potencial w = λ [ ] (1 α 2 )+tan 2 ϕ+2iαtanϕ ln (1+α) 2. (20) +tan 2 ϕ Igualando as partes real e imaginária da expressão acima obtemos o potencial e a função de fluxo: onde definimos Φ = λ ln ( a 2 +b 2), (21) 4πε 0 Ψ = λ ( ) b arctan, (22) a a = (1 α2 )+tan 2 ϕ (1+α) 2 +tan 2 ϕ, b = 2αtanϕ (1+α) 2 +tan 2 ϕ, As equipotenciais e as linhas de força correspondentes a (21) e (22), respectivamente, são mostradas na Figura 3, e compõe uma família de círculos excêntricos e mutuamente perpendiculares entre si. 2.4 Linha infinita de dipolos puntiformes No limite quando z 0 tende a zero, o potencial (19) de duas linhas infinitas e paralelas torna-se lim w(z) = λ lim [ln(z z 0 ) ln(z +z 0 )] (23) z z 0 z z0 λ (2z 0 ) dlnz dz 5 (24) = λ z 0 πε 0 z, (25)

6 Figura 4: Linhas de força do campo elétrico e equipotenciais de uma linha de dipolos puntiformes. no que corresponde fisicamente a uma linha de dipolos elétricos puntiformes. Chamando p = 2λz 0 ao momento de dipolo por unidade de comprimento o potencial será w = 1 p z. (26) Escrevendo z = ρe iϕ e igualando partes real e imaginária obtemos o potencial e a função de fluxo, respectivamente, [Fig. 4] 2.5 Linha de dipolos e campo uniforme Φ = p cosϕ ρ, (27) p sinϕ Ψ = ρ. (28) Podemos superpor os potenciais complexos dados por (16) e (26): w(z) = E 0 z + 1 ) p z = E 0 (z a2, (29) z onde fizemos p = E 0 a 2. Escrevendo z = ρe iϕ e igualando as partes real e imaginária de (29) temos: ( ) Φ(ρ,ϕ) = E 0 ρ a2 cosϕ, (30) ρ ( ) Ψ(ρ,ϕ) = E 0 ρ+ a2 sinϕ. (31) ρ As linhas de força do campo elétrico são as curvas onde ψ é constante, ou seja, são dadas pela equação ds ψ = 0. (32) 6

7 Figura 5: Lente eletrostática quadrupolar Em coordenadas polares no plano complexo essa relação implica em dρ ψ ρ +dθ1 ψ ρ ϕ = 0, donde a equação das linhas de força será, usando (30) e (31), dρ dϕ = 1 dψ/dϕ ρ dψ/dρ = /ρ) ρ+(a2 ρ (a 2 /ρ) cotϕ, e que pode ser integrada diretamente, fornecendo ( ρ ρ 2aarctan = ln sinϕ. a) 2.6 Campo quadrupolar Na física de aceleradores de partículas, lentes eletrostáticas são usadas para desviar ou focalizar feixes de partículas carregadas. Um dos tipos mais usados são lentes quadrupolares, representadas esquematicamente na Fig.5: quatro eletrodos mantidos a potenciais ±V têm uma geometria tal que as linhas de força sejam hipérboles. O potencial complexo correspondente a um campo quadrupolar é w = z 2. Separando partes real e imaginária temos Φ = x 2 y 2 (33) Ψ = 2xy. (34) donde a equação das equipotenciais é y 2 = x 2 Φ e das linhas de força do campo elétrico é y 2 = Ψ/2x. Em ambos os casos são equações de hipérboles mutuamente perpendiculares [Fig. 6]. O campo elétrico complexo é E = 2x 2iy, donde o seu módulo é E = E x + E2 y = 2 x 2 +y 2 = 2ρ. 7

8 Figura 6: Equipotenciais e linhas de força de um campo quadrupolar Observe que, como o módulo do campo aumenta linearmente com a distância ρ ao centro, uma partícula de carga e sofrerá uma força restauradora proporcional a ρ que tende a evitar a fuga da partícula. De fato, as lentes quadrupolares são bastante usadas para focalizar feixes de elétrons, como em microscópios eletrônicos e aceleradores de partículas. 2.7 Cantos e beiras O exemplo anterior pode ser generalizado para a interseção de dois planos semi-infinitos condutores carregados e aterrados, que interceptam-se na origem e fazem entre si um ângulo β. Este problema está resolvido no Jackson pelo método tradicional de separação de variáveis. O potencial complexo correspondente é w(z) = iz ν, onde ν é um expoente real, positivo ou negativo. Substituindo z = ρe iϕ e separando as partes real e imaginária obtemos Φ = ρ ν sinνϕ, (35) Ψ = ρ ν cosνϕ. (36) Impondo a condição de contorno que Φ = 0 no plano ϕ = β obtemos ν = π/β, de forma que ( ) πϕ Φ = ρ π/β sin, (37) β ( ) πϕ Ψ = ρ π/β cos. (38) β As componentes do campo elétrico compĺexo serão, assim [( ] E x = π β ρ(π/β) 1 π sin )ϕ 1, (39) β [( ] E y = π β ρ(π/β) 1 π cos )ϕ 1, (40) β Na superfície ϕ = 0 temos E x = 0 e E y = (π/β)x (π/β) 1. Se 0 < β < π/2 então o expoente de ρ é positivo, e o campo E y tende a zero à medida em que nos aproximamos da origem. De 8

9 Figura 7: Fita condutora e carregada. fato, é sabido que o campo elétrico é enfraquecido nas proximidades de cantos. Por outro lado, o campo diverge quando ρ, que não é uma situação fisicamente possível. No entanto, o problema não está exatamente na solução em si mas na premissa: planos semi-infinitos são apenas idealizações de situações reais. Uma informação interessante que podemos obter é a densidade superficial de carga, que sabemos ser proporcional à componente normal do campo em cada ponto da superfície: σ(x,y = 0) = ε 0 E y (x). (41) Se β = π temos apenas um plano condutor, na verdade, tal que ν = 1. De (35)-36) Φ = ρsinϕ = y e Ψ = ρcosϕ = x, de modo que as equipotenciais são retas y = const. e as linhas de campo retas x = const. perpendiculares ao pĺano. Já se π < β < 2π o expoente de ρ é negativo, e portanto o campo diverge quando nos aproximamos da origem. Com efeito, o campo elétrico é mais intenso nas proximidades de beiras e extremidades pontiagudas, em geral. 2.8 Superfície condutora carregada No limite β = 2π da situação anterior temos uma superfície condutora semi-infinita situada no semi-eixo real positivo. O potencial complexo, neste caso, é w = iz 1/2. Separando as partes real e imaginária de w e z obtemos tal que, eliminando Ψ, obtemos a equação das equipotenciais x = Φ 2 +Ψ 2, (42) y = 2ΦΨ, (43) x = Φ Φ 2y2, (44) que descreve uma família de parábolas horizontais parametrizadas pelo valor do potencial Φ [Fig. 7]. 9

10 Eliminando Φ obtemos a equação das curvas onde a função de fluxo Ψ é constante: y = Ψ 2 + x2 4Ψ2, (45) de modo que as linhas de força do campo elétrico também são parábolas, e que perpendiculares às equipotenciais em cada ponto. 10