Disciplina: Análise Multivariada I Prof. Dr. Admir Antonio Betarelli Junior AULA 5

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1 Dscna: Anáse Mutvaraa I Prof. Dr. Amr Antono Betare Junor AULA 5 ANÁLISE DE AGRUPAMENTO (AA) Procementos exoratóros são bem útes no entenmento a natureza comexa e reação mutvaraa. Encontrar nos aos uma estrutura e agruamento natura é uma mortante técnca exoratóra. Isso orque agruamentos oem fornecer um sgnfcao nforma ara avaar a mensonaae, entfcar outers e sugerr hóteses acerca a estrutura e reações os aos. Em nhas geras, a anáse e Agruamentos (custers) consste em uma técnca e rocementos exoratóros que busca escobrr agruamentos naturas e nvíuos (ou varáves) a artr os aos observaos, agruano nvíuos com base na smarae ou stâncas (ssmaraes). Nessa técnca, a ea é maxmzar a homogeneae e nvíuos entro e gruos, ao mesmo temo em se maxmza a heterogeneae entre os gruos. A escoha o métoo e custer a ser utzao é bazaa or uas questões: ) Como mer as smaraes entre nvíuos? ) Como agruar nvíuos semehantes?. Obetvos rncas Tem or obetvo e artconar um conunto e eementos em os ou mas gruos (custers) com base na smarae os eementos a artr e um conunto e característcas esecfcaas (varáves aeatóras). Esse métoo ossu três acações mas comuns: a) cassfcação e eementos (taxonoma): entfcação e gruos naturas entro os aos;

2 b) smfcação e aos: a caacae e anasar gruos e observações semehantes em vez e toas as observações nvuas; c) entfcação as reações entre os eementos: a estrutura smfcaa e anáse e custer retrata reações não reveaas.. Quano usar a técnca Deve-se usar essa técnca quano a reocuação rnca é vr os eementos a amostra (ou ouação) em gruos, e forma que os eementos e um mesmo gruo seam homogêneos com reação às varáves estuaas e os eementos em gruos ferentes seam heterogêneos em reação a estas mesmas varáves. MEDIDAS DE DISSIMILARIEDADES E SIMILARIDADES A semehança entre os nvíuos oe ser mea e acoro com suas smaraes ou, em sento oosto, or suas ssmaraes, chamaas e stâncas no esaço as varáves. Quano os nvíuos são agruaos, a roxmae é usuamente ncaa or agum to e stânca. Vae ressatar que sto fere o agruamento e varáves, que usuamente é feto com base e meas e assocação.. Meas e ssmaraes (stâncas) ara varáves quanttatvas Consere o vetor aeatóro, X X, X,..., X ], comosto or varáves ara caa [ eemento as n observações a amostra. Assm, utza-se uma as meas e ssmaraes ou stânca, que quanto menor o seu vaor, mas smares são os eementos comaraos: a) Dstânca eucana: k k k k ¹ ( X, X ) [( X - X )( ' X - X )] ( X - X ) Q ( ) é êå ë.e., os eementos são comaraos em caa varáve. ú û ù b) Dstânca generazaa ou oneraa:

3 em que se A I Þ () () é uma eucana. ( X, X ) [( X - X )' A( X - X )] - A S Þ é uma M ahaanobs. A ag(/ ) Þ () é uma eucana méa. A k k k Q( ¹ ) é a matrz e oneração. A sua escoha refete o to e nformação a ser utzaa na oneração as ferenças as coorenaas os vetores comaraos. Se ana A - ag ( S ), eva em conseração somente a ferença e varabae entre as varáves ( S é varânca amostra a -ésma varáve). Já quano ossíves ferenças e varâncas e covarâncas entre as varáves. - A S, onera as c) Dstânca e Mnkowsky em que w ' s se ( X, X ) k Þ Þ é êåw X ë - X k () () é uma eucana. Q( ¹ ) é uma cty - bock ou M anhattan. ú û ù são os esos e oneração ara as varáves. A métrca e Mnkowsky é menos afetaa ea resença e outers o que a stânca eucana. As stâncas entre os eementos são armazenaas em uma matrz e stâncas: D é0 ê ê ê ê ë ( nxn) 0 4ù ú 4ú 34ú ú 0 û em que k reresenta a stânca o eemento ao eemento k. ) Métrca e Canberra X - X k k Q( ¹ ( X, X ) å ( X + X ) k ) 3

4 e) Coefcente e Czekanowsk å mn( X ( X, X ) - Q ( ) ( X + X - X k k ¹ å Para o cácuo a A métrca e Canberra e o coefcente e Czekanowsk, as varáves evem ser não negatvas somente. k ) ). Meas e smaraes ara varáves quatatvas Em mutas stuações, a esqusa envove a anáse e varáves quatatvas. Para tanto, há uas aternatvas:. transforma-as em quanttatvas e, em segua, usa-se as meas e stâncas;. trabaha-se com coefcentes e smaraes e, osterormente, comaram-se os eementos e acoro com a resença ou ausênca e certas característcas. Para entener o robema e quano se têm varáves quatatvas, consere 5 varáves bnáras: Varáves Item 0 0 Item k 0 0 Exstem os ares (,), um ar (0,0) e os ares ncomatíves (0,;,0). Logo o quarao a stânca fornece o mesmo número e tens ssmares: 5 å ( X - ) (- ) + (0-0) + (0-) + (- 0) X k Em gera, eve-se comarar os eementos e acoro com a resença ou ausênca e certas característcas. Eementos arecos evem ter em comum mas tens smares que ssmares. No exemo acma, os ares (,) e (0,0) são gnoraos no comuto a stânca na sua versão orgna. 4

5 Consere o esquema abaxo, que organza a frequênca e smaraes e ssmaraes ara os eementos e k. Eemento k 0 Tota Eemento a b a+b 0 c c+ Tota a+c b+ a+b+c+ Neste esquema, a reresenta a frequênca o ar (,), b a o ar (,0), e assm or ante. A artr sso, conforme o quaro abaxo e Johnson e Wchern (00,.674), oe-se esenvover os coefcentes e smaraes ara o agruamento os tens. Poe-se estacar e exemfcar aguns ees, como segue: a) concorânca smes: consera os ares concorantes, (,) e (0,0), em reação ao tota e ares. a+ s(, 3 Þ exemo anteror : s( ) Þ smara e 5

6 b) concorânca ostva: consera somente o ar (,), os (0,0) não necessaramente reresenta concorânca (ea o caso contráro). s(, a Þ exemo anteror : s( ) Þ smara e c) concorânca e Jaccar: consera a roorção o ar (,) em reação ao tota e ares ferentes e (0,0). a s(, Þ exemo anteror : 0.5 a+ b+ c 4 s( ) Þ smara e ) stânca eucana méa, um ínce e ssmarae. æ c+ bö (, ç è ø Þ exemo anteror : ( ) Þ ssmarae ou smara e em que s(, - ( ) Þ smara e smes.3 Meas e smaraes ara varáves quanttatvas Quaquer mea e stânca usaa ara varáves quanttatvas oe ser transformaa em um coefcente e smarae. s(, - * (, * (, - mn( D) (, max( D) - mn( D) em que : mn( D) é o menor e max( D) é o maor vaor os eementos fora a agona e D..4 Aternatvas com varáves quanttatvas e quatatvas 6

7 Uma stuação comum é quano varáves quanttatvas e q varáves quatatvas são observaas nas n observações. Assm, oe-se escoher: a) transformar as varáves quatatvas em quanttatvas ao atrbur vaores numércos às categoras (a hoc). Em segua, utza-se uma as meas e stânca ara comarar as +q varáves; b) transformar as varáves quanttatvas em quatatvas categorzano os seus vaores or agum crtéro. Deos sso, utza-se uma as meas e smarae ara comarar as +q varáves. c) construr meas e semehança mstas e utzá-as ara a comaração os eementos amostras. Eabora-se uma combnação near entre os os tos e varáves ( e q). c(, w c (, + w c q q (, em que w + q e w q q + q ; e c ( ) e c q ( ) são coefentes e smara e. A efnção os esos e oneração, w, ermte que os coefcentes esteam no mesmo ntervao e varação. Para manter os coefcentes, c ( ) e c ( ), na q * mesma reção e o mesmo arão, usa-se s(, - (, no caso as varáves quanttatvas. ) Coefcente e Gower (97): ara caa varáve, consera-se um coefcente e semehança, s, em um ntervao [0,]. Comarano os eementos e k, a smarae entre os mesmos é aa or: + q æ (, s (, ö ç å (, ç + q ç å (, è ø em que (, é uma varáve gua a se e k oemser comaraos seguno a varáve X. Por exemo, se exstr 6 varáves, orém ara somente há os vaores e 4 varáves, então a comaração e e k será feta ustamente entre as 4 varáves. Para 7

8 usar esse coefcente, é recso transformar as meas e stânca as varáves quanttatvas em meas e smaraes..5 Meas e smaraes ara ares e varáves Ao nvés os eementos, as varáves serão agruaas. Para tanto, geramente usa-se os coefcentes e correação amostra. Entretanto, em agumas acações, correações negatvas são substtuías or vaores absoutos. Quano as varáves são bnáras, os aos oem ser agruaos na forma e tabea e contngênca. As varáves, ao contráro os tens, eneam as categoras. Varáve k 0 Tota a b a+b Varáve 0 c c+ Tota a+c b+ na+b+c+ A correação acaa ara as varáves bnáras é: a- bc r(, [( a+ b)( c+ )( a+ c)( b+ )] Esse número oe ser tomao como uma mea e smarae entre uas varáves. Essa correação é reaconaa a uma estatístca qu-quaraa ( r c / n ) ara testar a neenênca e uas varáves categórcas. Para n fxao, a grane smarae é consstente com a ausênca e neenênca. 3 TÉCNICAS HIERARQUICAS DE AGRUPAMENTO Essas técncas se vem entre Herárqucas (agometarvas e vsvas) e não herárqucas. As técncas não herárqucas, número g e gruos á eve ser réesecfcao. Já as herárqucas rocuram entfcar agruamentos e o rováve número g e gruos, or rossegur or uma sére e fusões sucessvas (agomeratvas) ou uma sére e sucessvas vsões (vsas). 8

9 Nos métoos herárqucos agomeratvos, os eementos são ncamente agruaos or suas smaraes, cuos gruos, em etaas osterores, são combnaos e acoro com as suas semehanças. Eventuamente, como a semehança mnu, toos os subgruos são funos em um únco custer. Por sua vez, os métoos herárqucos vsívos trabaham na reção oosta. Um únco gruo e eementos é vo em os subgruos ssmares. Esses subgruos são, em segua, subvos em mas subgruos ssmares. O rocesso contnua até que caa subgruo sea o róro eemento amostra. Os resutaos e ambos os métoos, agomeratvos e vsvos, oem ser observaos em um agrama e uas mensões: enograma. O enograma ustra as fusões ou vsões que têm so fetas em níves sucessvos. 3. Técncas herárqucas agomeratvas (ouares) A segur serão aresentaas a técncas mas ouares, como snge nkage (stânca mínma), comete nkage (stânca máxma), e avarege nkage (stânca méa). 9

10 M. Snge nkage: a smarae entre os gruos é efna eos eementos mas róxmos,.e., entre aquees cua stânca é mínma. Incamente o agortmo agrua os eementos em um custer (UV) conforme stânca mínma, Mn D { }]. As [ k stâncas entre esse custer (UV) e outro quaquer (W) são comutaas eo crtéro mn{, }. Em segua, o asso se reete até que toos os eementos ( UV ) W UW VW esteam contos em um únco custer. O exemo.4 Johnson e Wchern (00,.68-68) aresenta bem os assos essa técnca, cua matrz e stânca é: é 0 ù (35) 0 ê 9 0 ú é ù (35) 0 ê ú ê( 3) 0 ú é ù (35) é 0 ù D 3ê úþ ê úþ ê 7 0 ú Þ (4) ê( 6) ú ê ú ê ú ê ú ( 5) 0 44 ë û ê ú ê ú ê ú ë 444 3û Passo4 5ê 0 ( ) 8 0ú 4ë û Passo3 4 ë û Passo ( nxn) 0 Passo Os eementos 3 e 5 são funos em um únco gruo, os mn( ) 35. Esse novo gruo (35) assa a ter as seguntes stâncas mínmas: ( 35) mn( 3, 5) mn(3,) 3; (35) mn( 3, 5) 7; (35)4 mn( 34, 54) 8, e acoro com a matrz o asso. Em segua entfca-se a menor stânca na matrz o asso, mn( k ) ( 35) 3, gerano um novo gruo (35) e reservano as stâncas mínmas entre os eementos (35) e (). No asso 4, observa-se a formação e os custers: (35) e (4) e ta moo que os mesmos serão agruaos ea mn( k ) ( 35)(4 ) 4. O enograma abaxo ustra a sucessão e construção os custers no refero exemo. k 0

11 M. Comete nkage: rocee o mesmo moo que a técnca anteror, com uma mortante exceção. As stâncas os novos custers são comutaas eo crtéro e maor stânca entre os eementos combnaos,.e., max{, }. Isto ( UV ) W UW VW assegura que toos os eementos em um custer estão entro e uma máxma stânca (ou mínma smarae) e caa outro. Resumamente, o agruamento em caa estágo é feto entre os eementos que aresenta o menor vaor a stânca máxma. Usano a mesma matrz o exemo anteror: é 0 ù (35) 0 ê 9 0 ú é ù (35) 0 ê ú ê 0 ú é ù (35) é 0 ù D 3ê úþ ê úþ ê 0 0 ú Þ (4) ê( ) ú ê ú ê ú ê ú (4) ( 9) 0 44 ë û ê ú ê ú ê ú ( 5) 0 4ë û Passo4 5ê 0 ( ) 8 0ú 4ë û Passo3 4 ë û Passo ( nxn) 0 Passo Os eementos 3 e 5 são funos em um únco gruo, os mn( ) 35. Esse novo gruo (35) assa a ter as seguntes stâncas máxmas: max( 3, 5) max( 3,) ; (35) max( 3, 5) 0; (35) 4 ( 35) k 9, conforme a matrz o asso. Posterormente, observa-se a menor stânca na matrz o asso, mn( ) 4 5, gerano um novo gruo (4) com stâncas máxmas entre os k eementos () e (4). No asso 4, nota-se a formação e os custers: (35) e (4) e ta moo que os mesmos serão agruaos conforme mn( k ) ( 35)(4) 0. Essas sucessvas formações e agruamentos estão ustraas no enograma abaxo.

12 M3. Average nkage: segue os mesmos assos, orém ara comutar as stâncas e caa custer formao, utza-se a stânca méa entre os seus membros e os emas eementos amostras: ( UV ) W æ ç è N åå k ( UV ) N k W ø ö em que N ( UV ) k e N W é a stânca entre o eemento no custer (UV) e o eemento k no custer W; e são os números e eementos contos no custer (UV) e W, resectvamente. M4. Centro metho: a stânca entre os custers é efna como seno a stânca entre os vetores e méas (centroe) os gruos comaraos. ( X -X ) ( X - X ( UV ) W UV W UV W ) que é a stânca ao quarao entre os vetores e méas caa assose á eo menor vaor a stânca. X UV e X W. O agruamento em Contuo, ara fazer o agruamento é necessáro votar aos aos orgnas e a caa asso ara o cácuo a matrz e stâncas. 3. Métoo e agruamento herárquco e War (963) A artção eseaa é aquea que rouz os gruos mas heterogêneos ossíves entre s e o mas ossíve homogêneo nternamente. Quano se assa e (n- ara (n-k-) custers, a quaae e artção ecresce, os o níve e fusão aumenta e o níve e smarae ecresce. Ou sea, a varação (ferenças) entre gruos mnuem e as ssmaraes (varação) entre os gruos aumentam. C ÈC ì ¹ entre os gruos ( C, C) CÞí î ¹ entro o gruo ( C)

13 War rocurou mnmzar as eras e nformação ante a unção e os gruos. Ou mehor, o autor roôs um tratamento ara essa muança e varação nos os casos (nter e ntragruo). Para um custer, ESS é a soma os esvos e caa eemento no gruo em reação à méa o gruo (centroe): seno n SS n å( X - X. )( X - X. ) o número e eementos no custer. No asso k, a soma e quaraos tota entro os gruos é SSR entre os custers é efna como: é n n ù ê n n ú - ë + û que é a soma os quaraos entre os custer C e C. ( C, C ) ( X - X )( X X ) g k å SS. Já a stânca Em caa asso o agortmo e agruamento, os os custers que mnmzam esta stânca são combnaos. Esta mea e stânca é a ferença entre o vaor e SSR eos e antes e combnar os os custers num únco congomerao. Assm, em caa asso o métoo combna os custers que resutam no menor vaor e SSR. Aemas, ferentemente o métoo e centroe, o e War consera a ferença os tamanhos os gruos em comaração: ( n )( n n ) + - n. Imortante: ara o uso o métoo e War, basta que as -varáves seam quanttatvas e assíves, ortanto, o cácuo e méas. 3.3 Coefcente e Lance e Wams (967) Os autores esenvoveram uma fórmua e recorrênca que efne, como casos esecas, a maora os métoos herárqucos bem conhecos, ncuno toos os métoos herárqucos encontraos no Stata. A fórmua e recorrênca e Lance-Wams é: 3

14 em que a + a + b + g - k ( ) k é a stânca (ou ssmarae) entre o custer e o custer ; k é a stânca entre o custer k e o novo custer formao ea combnação o custer e custer ; ea, a, b, eg são arâmetros que são conuntos baseaos em um métoo herarquc o artcuar. k k k ( ) A fórmua e recorrênca ermte, a caa novo níve o agruamento herárquco, a ssmarae entre o gruo recém-formao e o resto os gruos a ser cacuao a artr as ferenças o agruamento atua. Esta aboragem oe resutar em granes economas comutaconas nos cácuos e caa asso e herarqua os eementos amostras. Esta característca a formua e recorrênca ermte utzar uma matrz e smarae ou ssmarae. A tabea abaxo exõe os vaores e arâmetros ara caa métoo herárquco. A fórmua Lance-Wams, usaa ara o cácuo e agruamento herárquco no Stata, é converta em meas e ssmarae. Antes e reazar agruamento herárquco, o software transforma as meas e smarae, tanto contínuas e bnáras, ara ssmaraes: (, - s(, que é usaa transformar a artr a smarae ara uma mea e ssmarae, e e vota. Há os ntervaos ossíves ara essa fórmua. Meas e smarae varam e 0 à, resutano em ssmaraes e à 0. Também, oem as smaraes oem varar e - à, resutano em ssmaraes e à 0. Para varáves contínuas, o 4

15 software fornece meas e ssmaraes L e L. A rmera, L, é usaa ara os métoos e gação traconas (smes, cometo e méa). Já ara outros métoos, como o e War, utza-se L. Lance e Wams (967), Anerberg (973), Jan e Dubes (988), Kaufman e Rousseeuw (990) e Goron (999) avertem sobre o uso e mutos tos e meas e smarae e ssmarae, aontano que o mehor é usar o arão, que é stânca quaraa eucana (ou stânca eucana), em vez e ter resutaos com nterretações fíces. Na ausênca e uma famarae maor com os métoos herárqucos, use a mea e ssmarae arão. 3.4 Comentáros geras Toos os métoos e agruamento herárquco seguem um agortmo básco, orém com os seus róros crtéros (métrca). Como em mutos métoos e agruamentos, as fontes e erro e e varações não são formamente conseraas em nenhum ees, o que torna tas métoos mas sensíves aos outers (ou ontos e ruíos ). Inexste rovsão ara a reaocação os eementos que oem ter so agruaos ncorretamente em um estágo anteror. Consequentemente, a confguração fna e custers eve semre ser cuaosamente examnaa, verfcano se a mesma é sensíve. Uma boa ea é exermentar város métoos. Se os resutaos geraos são aroxmaamente consstentes e um métoo com o outro, então, tavez, um caso e agruamento natura oe ter acançao. A estabae e uma soução herárquca oe, agumas vezes, ser verfcaa, acano equenas erturbações nas unaes e aos e comarano os resutaos entre o antes e o eos o métoo e agruamento. Se os gruos forem razoavemente bem stnguos, os agruamentos entre o antes e o eos as erturbações evem se aroxmar ou concorar. 5

16 Vaores comuns na smarae ou na matrz e stânca oem rouzr mútas souções ara um robema e agruamento herárquco. Ou sea, os enogramas corresonentes aos ferentes tratamentos oem gerar smaraes ferentes, artcuarmente em níves menores. Isto não é um robema nerente e quaquer métoo, em vez sso, mútas souções ocorrem ara certos tos e aos. Mútas souções não necessaramente são runs, mas o usuáro necessta conhecer as suas exstêncas e manera que os enogramas, com os ferentes gruos formaos, ossam ser corretamente nterretaos. Tas métoos também oem rovocar nversões, que ocorrem quano um eemento se unta a um custer exstente em uma stânca menor que na consoação anteror. Vea as fguras abaxo. No ane (), o métoo e agruamento unta A e B em uma stânca 0. No róxmo asso, C é aconao ao custer (AB) a uma stânca 3. Devo à natureza o agortmo e agruamento, D é aconao ao gruo (ABC), a uma stânca e 30, nferor à stânca a qua se untou C (AB). Em () a nversão é ncao or um enrograma com cruzamento. Em (), a nversão é ncao or um enrograma sem escaa orenaa e stânca (não monotônca). Inversões oem ocorrer quano não exste uma estrutura e custer cara Comarações os métoos Aós a aresentação os métoos herárqucos mas traconas, torna-se oortuno comará-os e forma smes e reta. 6

17 a) snge nkage: oe gerar estruturas geométrcas ferentes, mas é ncaaz e enear gruos ouco searaos. b) comete nkage: tene a gerar custers e mesmo âmetro e soar os outers nos rmeros assos. c) avarege nkage: tene a gerar custers e mesma varânca nterna, rouzno mehores artções. ) Métoo e War: tene a gerar custers com o mesmo número e eementos, baseao nos rncíos e anáses e varâncas. Os três métoos, (a), (b) e (c), são acáves às varáves quanttatvas e quatatvas, enquanto que o métoo e War aca-se somente ara varáves quanttatvas. Imortante: a consstênca entre as souções obtas eos métoos oe não ocorrer se há um grane número e aos e varáves. 4 O NÚMERO DE CLUSTER DA PARTIÇÃO FINAL Exstem bascamente 7 rocementos ara acançar o número e custer numa artção fna, a saber: a) Anáse o comortamento o níve e fusão (stânca); b) Anáse o comortamento o níve e smarae; c) Anáse a soma e quaraos entre gruos: coefcente R ; ) Estatístca Pseuo F; e) Correação semarca (War); f) Estatístca Pseuo T ; g) Estatístca CCC (Cubc Custerng Crteron); 4. Níve e fusão Quano se avança os estágos e agruamentos, a smarae entre os custers exstentes mnu (aumenta a stânca). Poe-se usar o enograma ou construr um gráfco entre o número e custer e a stânca (fusão) o agruamento em caa estágo. Se exstr ontos e sato reatvamente granes, os mesmos ncam que á se acançou o número fna e custers. 7

18 4. Níve e smarae Comuta-se a mea abaxo ara etectar ontos em que há ecréscmo acentuao na smarae os gruos: em que max æ ö S ç -.00 Q, k,,..., n ç max{ } è k ø { } é a maor stânca entre os n eementos e D no rmero estágo. k Em gera, faxa e smarae acma e 90% resuta num número muto grane e gruos. 4.3 Coefcente R Em caa estágo, oe-se cacuar a soma e quaraos ntergruos e ntragruos a artção corresonente. Sea: X X. X ( X X... X ) ( X. X.... X. ) ( X X... X )..., o vetor aeatóro ara o - ésmo eemento o - ésmo gruo;,o vetor e méas o - ésmo gruo;,o vetor e méa goba. Então, tem - se : a) a soma e quaraos tota: SSTc SSR SSB g* n åå( X - X)( ' X - X) b) A soma e quaraos g* g* n å SS åå( X - X. )( ' X - X. ) c) A soma e quaraos totantergruos : g* å n ( X - X)( ' X - X). totantragruo (resua) :. Logo : R SSB SSTc Assm, quanto maor R, maor a soma e quarao entre gruos e menor a soma e quaraos resua. Procure se há agum onto e sato, que eve ser o momento e araa. Observe a quea e R quano o número e g gruos ecresce. 8

19 4.4 Estatístca Pseuo F Cnsk e Harabasz (974) sugerem o cácuo a estatístca F, efna em caa estágo o agruamento: F SSB - ( g *-) æ n- g * öæ R ö ç ç ( n- g *) è g *- ø - R - SSTc Se F aresentar um vaor e máxmo, ogo è ø g * é a artção ea os aos. Na rátca, busque o maor vaor e F, que reacona com a menor sgnfcânca, reetano a guaae os vetores e méas,.e., eva à artção com maor heterogeneae entre os gruos. A estatístca tem strbução F com (g*-) e (n-g*) graus e berae, quano os n eementos são uma amostra aeatóra e uma strbução norma -varaa e quano os eementos são aocaos aeatoramente em gruos. 4.5 Correação semarca (War) Se, em um asso o agruamento, o congomerao C correação semarca (não escrescente) é: SPR B B SST nn n + n c ( X - X )( X - X ). k. '.. C ÈC, então o coefcente e em que B é a stânca ntergruos (War). Para caa asso o agruamento é cacuao o refero coefcente, traçano um gráfco entre o asso e o vaor e coefcente. Neste gráfco, busca-se o onto a curva em que ocorre um sato maor que os restantes, que eve ncar o número e custers e artção ea. 4.6 Estatístca Pseuo T Proosta or Dua e Hart (973) e sob um asso o agruamento, estatístca efna como: C k C ÈC, essa 9

20 P. T ê ë é å ÎC X - X. + å ÎC B X - X. ú û ù ( n + n - ) - em que X k - X k. [( X - X )( ' X - X )] k k. k k. Essa estatístca tera strbução F com e (n+n-) graus e berae. Contuo, na rátca, aocação aeatóra não ocorre, aa artção os eementos or meo os métoos e agruamento com crtéros e smarae. Em caa asso o agortmo, o vaor a estatístca é cacuao e um gráfco que reacona o asso versus o vaor Pseuo T. Esse vaor máxmo reacona-se com a menor robabae e sgnfcânca o teste, reetano a guaae os vetores e méas com maor sgnfcânca. 4.7 Estatístca CCC (Cubc Custerng Crteron) Essa estatístca comara o R cacuao e o seu eserao, E[R ], suono que os gruos são geraos com uma strbução unforme -mensona. Quano os vaores a estatístca são ostvos, os mesmos ncam que R > E[R ],.e., a estrutura e custer é ferente a artção unforme. O número e gruos a artção fna reaconao com vaores e CCC maores que Resumo O quaro abaxo exõe um resumo os 7 rocementos em reação aos números e assos e agruamentos reazaos. Vea a anáse feta no Exemo 6.8 a Mngot (005,.84 87). Incaor Observação Níve e fusão (stânca) Sato o D: arar no asso anteror Níve e smarae Sato a S: arar no asso anteror ( 90%) Coefcente R Sato a R : arar no asso anteror ( 90%) Estatístca Pseuo F Sato a F: arar no asso anteror Correação Semarca (SPR ) Sato o SPR : arar no asso anteror Pseuo T (P.T ) Sato o P.T : arar no anteror ou vgente. Estatístca CCC Sato o CCC: arar no asso anteror 0

21 5 TÉCNICAS NÃO HIERARQUICAS DE AGRUPAMENTO Tem or obetvo encontrar retamente uma artção e n eementos em k custers, ateneno a os requstos: ) semehança nterna e ) soamento os custers formaos. Para encontrar a mehor artção e orem k, é usao agum crtéro e quaae a artção, ou sea, são necessáros rocessos e nvestgação as artções ossíves. As rncas ferenças em reação às técncas herárqucas são: a) efnção réva o número e custers; b) em caa estágo, novos custers oem ser formaos or vsão ou unção e custers ncamente efnos. Assm, não é mas ossíve a construção e enogramas; c) os agortmos são teratvos e têm uma maor caacae e anáse o conunto e aos. Exstem, or exemo, técncas como: k-méas, Fuzzy c-méas, rees neuras artfcas. 5. Técnca e k-méas MacQueen (967) sugere essa técnca em que caa eemento amostra é aocao ara um custer que tem um centroe mas róxmo (méa). Ta técnca é comosta eos seguntes assos: a) escoher k centroes (sementes) ara ncar o rocesso e artção; b) comarar caa eemento com o centroe nca or um to e stânca (e.g., eucana). Os eementos são aocaos aos custers eo crtéro e menor stânca; c) aós a aocação os n eementos, recacuar os centroes ara caa novo custer formao, reetno o asso (b) a artr estes novos centroes. ) reetr os assos (b) e (c) até que toos os eementos esteam bem aocaos em seus gruos (.e., até que nenhuma reaocação e eementos sea necessára).

22 Vea o exemo. em Johnson e Wchern (00,.695). Nesse rocemento, a escoha as sementes ncas nfuenca no agruamento fna. Assm, seguem agumas sugestões ara essa escoha: Sugestão : Use aguma técnca herárquca ara obter os k custers ncas. Deos sso, cacue o vetor e méas e caa gruo, que serão as sementes ncas. Isto fo feto no exemo. em Johnson e Wchern (00,.695). Sugestão : Escoha aetoramente os k centroes ncas (e.g. amostragem aeatóra smes sem reosção). Em segua, seecone m amostras aeatóras com k centroes e reetr a amostragem m vezes e, no fna, cacuam-se os m centroes ara caa gruo. Sugestão 3: Escoha a varáve e maor varânca entre as comonentes o vetor X. Posterormente, va o omíno a varáve em k ntervaos. A semente nca será o centroe e caa ntervao. Sugestão 4: Escoha os k outers entfcaos, que serão as sementes ncas. Sugestão 5: Escoha refxaa (a hoc) não muto recomenáve. Sugestão 6: Seecone os k rmeros vaores o banco e aos. Grane arte os softwares usa como arão esta sugestão ara atrbur as sementes ncas. Em gera, fornece bons resutaos quano os eementos são bem screantes entre s. Assm, esta sugestão não é recomenáve quano os eementos são bem semehantes. Caberá o usuáro verfcar o que está ocorreno com o seu banco e aos e rearraná-o e moo a obter os mehores resutaos.

23 Imortante: no exemo 7. a Mngot (005,.94), a autora aonta que a soução a k méas, utzano como sementes ncas a técnca e War, gera mehores resutaos que a soução e k-méas, usano os quatro rmeros vaores. 5. Técnca Fuzzy c-méas Também uma técnca teratva e exge a efnção nca e k custers. Seno n eementos e varáves aeatóras, busca-se a artção que mnmza: J c n m åå( u) ( X, V) em que V o eemento X é o centroe onerao o custer ; m> é o arâmetro e Fuzzy; u e ertencer ao gruo e centróe V ; ( X, V) é a stânca escoha. é a robabae A função é mnmzaa quano as robabaes, u, são escohas como abaxo: u n å( u) - é c ( m-) æ ù ê ( X ö, V ) åç ú em que V ê n k ( X ú, Vk ) ë è ø û å( u) m X m Para encontrar soução fna, eve-se ter os centroes e robabaes ncas, u, geraas e uma strbução unforme [0,]. Os centroes se mofcam a caa teração e o rocesso cessa quano a stânca entre os centroes e uma teração em reação à anteror é menor ou gua a um vaor e erro ε ré-estabeeco: V, t V t < e. ( ) + Na técnca Fuzzy, ara caa eemento é estmaa a robabae e ertencer a um os c custers. A artção fna aocará os eementos nos gruos e acoro com a sua maor robabae, o que torna ossíve entfcar os eementos que se assemeham a mas e um os c gruos. Em oosção, a técnca e k-méas gera uma artção na qua caa eemento ertence a um únco custer. Vea o exemo 7.. em Mngot (005,.97). 5.3 Comentáros fnas Assm como as técncas herárqucas, essas técncas são sensíves às sersões as varáves e ferentes escaas e or outers. As varáves e maor sersão omnam a 3

24 efnção a stânca eucana (e.g.). Para evtar sso, oe-se aronzar as varáves ou usar métoos e agruamentos com stâncas oneraas. Aconseha-se que se faça uma anáse exoratóra réva ara verfcar a exstênca e outers. Aém sso, exstem forte argumentos ara não fxar o número e custers, como nas técncas não herárqucas: a) se os ou mas sementes ocasonamente encontram-se entro e um custer, os custers resutantes serão obremente ferencaos; b) a exstênca e outers oe rouzr eo menos um custer com tens muto sersos; c) mesmo que os eementos seam conhecos ara comor os k custers, oe-se exar e obter nformações atentes ou aos e gruos raros que não aareceram na amostra. Assm, os k gruos ncas oera conuzr agomeraos sem sento. Imortante: se mesmo em aguns casos, o usuáro recse esecfcar revamente k custers, semre é uma boa ea executá-o or váras escohas. Aém sso, quano comaraos às técncas não herárqucas, oe-se afrmar que: quano os gruos a artção natura estão bem searaos no esaço em reação às varáves, quaquer métoo eva a resutaos satsfatóros; quano a artção natura ermte uma grane nterseção entre os gruos, o métoo Fuzzy é mas aequao or estmar a robabae e que ee ertença a caa um os gruos; ara etermnar o número fna e gruos, oe ser utzao o bootstra ara efnr um ntervao e confança. 4