An Axisymmetric Version of the Kelvin Transformation for the Analysis of Open- Boundary Electric and Magnetic Fields

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1 An Axisymmetic Vesion of the Kelvin Tansfomation fo the Analysis of Open- Bounday Electic and Magnetic Fields A. F. L. Nogueia, Membo do IEEE, and R. M. Le Boudec Abstact A simple and efficient method fo the solution of open-bounday axisymmetic electic and magnetic field poblems is pesented. Fistly, the classical Kelvin tansfomation appoach is eviewed. The poposed axisymmetic appoach uses the conventional Kelvin tansfomation coupled with a calculation pocedue to alte the value of the paametes that epesent the mateial popeties of the exteio egion. This technique is analyzed computationally with a foce calculation poblem and two numeical models ae employed. In the fist model, the exteio poblem is modeled using the axisymmetic Kelvin tansfomation appoach, and the foces ae calculated using the weighted Maxwell stess tenso method. In the second model, asymptotic bounday conditions ae used to teminate the solution egion, and the foces ae calculated using the Loentz fomula. Numeical esults poduced by the two models show an excellent coelation. Keywods Electomagnetic fields, finite element methods, magnetic foces I. INTRODUÇÃO AAVALIAÇÃO do compotamento das vaiáveis eletomagnéticas na egião que envolve um dado equipamento elético é um poblema de gande impotância paa a ciência e engenhaia. Poblemas que epesentam campos eléticos e magnéticos que se estendem além dos limites geométicos de um dispositivo ou equipamento elético apaecem em muitas aplicações da engenhaia. Tata-se dos poblemas definidos em domínios abetos e conhecidos também como poblemas exteioes. Da fequência zeo até as fequências de ádio, os poblemas exteioes podem se empegados na solução de casos paticulaes das equações de Maxwell [1]. É o caso, po exemplo, do uso da equação de Laplace paa desceve o compotamento de dispositivos estáticos, ou que opeam em baixas fequências. A equação tansitóia de difusão é empegada na análise de coentes induzidas em meios condutivos, um poblema típico de dispositivos que opeam em médias fequências. A equação tansitóia da onda, po sua vez, é empegada paa desceve o compotamento dos dispositivos que opeam na faixa de fequências de ádio. A Este tabalho é pate do Pojeto DAPE 96/008/UDESC. A. F. L. Nogueia, Univesidade do Estado de Santa Cataina (UDESC), Joinville, Santa Cataina, Basil, antonioflavio@ieee.og R. M. Le Boudec, Whilpool Latin Ameica, Joinville, Basil, afael_l_boudec@whilpool.com lista dos poblemas exteioes mais conhecidos inclui o estudo de linhas de fita, cadeias de isoladoes em toes de tansmissão e sistemas não blindados de campos ciados po supecondutoes. Um dos poblemas exteioes mais populaes consiste na deteminação do efeito esultante dos campos ciados po um conjunto de condutoes pecoidos po coentes eléticas em um outo objeto com popiedades condutivas e situado a uma dada distância das fontes de campo. Dente os métodos de análise numéica empegados na solução das equações de campos eléticos e magnéticos, o método dos elementos finitos é, hoje em dia, o mais conhecido. Como o método dos elementos finitos poduz uma solução em um domínio fechado e finito, técnicas especiais devem se usadas no estudo de poblemas que epesentam campos eletomagnéticos que não são confinados em um domínio finito. Paa tal, deve-se estabelece uma fonteia exteio, também fechada, e situada a uma distância finita do dispositivo em estudo. Essa fonteia exteio pemite simula um poblema que, de fato, possui uma distibuição de potenciais e campos em um domínio abeto []. Em muitas aplicações do eletomagnetismo, a egião extena é modelada com o objetivo de aumenta a pecisão numéica do cálculo das vaiáveis eletomagnéticas na pópia egião intena, ocupada pelo dispositivo em estudo. Já paa um outo gupo de aplicações, que incluem os estudos de blindagem e intefeência eletomagnética, a estimativa pecisa das vaiáveis eletomagnéticas em posições distantes do dispositivo é mais impotante que a avaliação pecisa da distibuição dessas vaiáveis na egião ocupada po aquele dispositivo. Tem sido uma pática comum utiliza métodos difeenciais, como o método dos elementos finitos ou difeenças finitas, paa a solução da pimeia classe de poblemas, enquanto a segunda classe de poblemas tem sido analisada atavés de métodos integais. A vantagem dos métodos integais é que o valo do potencial ou campo em um deteminado ponto é influenciado somente pelos valoes dessas vaiáveis em pontos que epesentam as fontes de campo. Isso pemite detemina o valo do potencial ou campo em posições distantes sem que seja necessáio o cálculo de seus valoes em posições intemediáias. A desvantagem dos métodos integais é que as equações maticiais são densas, o que faz aumenta os equisitos de memóia computacional e o tempo de pocessamento da solução numéica. Existem ainda os

2 métodos híbidos, que acoplam o método dos elementos finitos a um método analítico ou a um deteminado método integal, como o método de equações integais de fonteia ou mesmo o método das coentes multifilamentaes [3]. Os métodos híbidos pocuam combina as vantagens dos métodos difeenciais e integais; o método difeencial contibui com a manutenção de ceto gau de espasidade da equação maticial e fonece as infomações elativas à distibuição dos campos nas egiões de inteesse, enquanto que o método integal evita a discetização de egiões de pouco inteesse, à custa de uma edução no gau de espasidade. As pimeias abodagens híbidas paa a solução de poblemas estáticos foam apesentadas po Silveste e Hsieh [4] e combinavam os métodos das equações integais de fonteias com elementos finitos. Difeentemente do que ocoe na análise de poblemas estáticos descitos pela equação de Laplace, o acoplamento ente um método integal e um método difeencial ou analítico é bastante complicado quando se tata de poblemas dinâmicos. As dificuldades do acoplamento ente métodos integais e difeenciais na solução de poblemas dinâmicos foam identificadas e pacialmente contonadas, já na década de 1970, po Bekhoff [5] e Kaaiosifidis [6] no estudo de popagação de ondas aquáticas. Os métodos baseados em tansfomações espaciais pemitem modela o espaço exteio utilizando somente um método difeencial e, ao contáio dos métodos híbidos, não apesentam as dificuldades ineentes ao pocesso de acoplamento ente métodos difeenciais e integais. A tansfomação de Kelvin é uma tansfomação espacial que convete um domínio de dimensões infinitas em um domínio fechado e finito. A tansfomação de Kelvin de um cículo pode se aplicada com facilidade na análise de estutuas bidimensionais com simetia tanslacional. No entanto, a técnica não pode se empegada de foma dieta quando se tata de poblemas axissiméticos e tidimensionais. Essa limitação da técnica começou a se supeada quando Wong e Ciic [7] [8] identificaam os passos necessáios paa o desenvolvimento de uma fomulação mais abangente e aplicável a essas classes de poblemas. Uma das pincipais vantagens das tansfomações espaciais é que sua implementação independe do conhecimento pévio da foma de decaimento do campo na egião exteio. O poblema exteio escolhido paa testa o desempenho da técnica que combina a tansfomação de Kelvin com o método dos elementos finitos é descito no tutoial de Meeke [9]. O poblema consiste no cálculo da foça que atai uma pequena bola de feo em váias posições elativas a uma bobina solenoidal, excitada e com núcleo de a. Um esboço da geometia do poblema é mostado na Fig. 1. Figua 1. O campo da bobina atai a bola de feo; dimensões em cm II. A TRANSFORMAÇÃO DE KELVIN A. Fomulação clássica A técnica que combina a tansfomação de Kelvin com o método dos elementos finitos é mais facilmente descita no caso de estutuas bidimensionais definidas no plano x-y, como a que apaece na Fig.. Paa se aplica a técnica, o plano x-y é dividido em dois domínios de análise. Na ilustação da Fig. (a), o pimeio domínio, Ω int, é um domínio cicula, finito e deve envolve o dispositivo que está sendo analisado; o outo, Ω ext, epesenta todo o espaço exteio do pimeio cículo e se estende até o infinito. Na fomulação clássica do método, assume-se que o a é único meio mateial pesente no domínio exteio. Na epesentação do poblema oiginal, definido em domínio abeto e que apaece na Fig. (a), a fonteia Γ in é comum aos dois domínios. A essência do método consiste em mapea o domínio exteio e infinito, Ω ext, no domínio tansfomado Ω t, cicula e finito, empegando-se a tansfomação espacial F. Na vedade, a tansfomação consiste em uma mudança no sistema de coodenadas. A análise do poblema passa a se feita a pati das duas egiões ciculaes que apaecem na Fig. (b). O domínio de estudo se tona [Ω int Ω t ] e as equações de campo, aplicáveis no domínio Ω ext, pecisam se adaptadas paa o domínio tansfomado Ω t. As malhas de elementos finitos que modelam as duas egiões Ω int e Ω t não pecisam se iguais, mas o númeo de pontos nodais nas fonteias ciculaes Γ in e Γ t tem que se exatamente o mesmo poque os nós situados em posições coespondentes dos dois cículos são conectados empegando-se condições de peiodicidade pa. Como esultado dessa condição ou estição, os valoes calculados paa os potenciais eléticos ou magnéticos dos pontos nodais coespondentes das fonteias ciculaes Γ in e Γ t são iguais. Em outas palavas, as duas egiões ciculaes

3 Ω int e Ω t são conectadas elética ou magneticamente, e o poblema agoa está definido em um domínio fechado e finito. Um outo equisito da fomulação clássica diz espeito ao compimento dos aios dos dois domínios ciculaes que, no caso, devem se iguais. Figua. A técnica mapeia o exteio de um cículo no inteio de outo cículo Na ilustação da Fig. 3 apaecem dois cículos de aio a alinhados veticalmente e que delimitam as egiões ciculaes Ω int e Ω t. ' a =, a. (1) A tansfomação de Kelvin, atavés dessa elação, tansfoma a egião exteio do domínio Ω int no domínio tansfomado Ω t, que é fechado e finito. De acodo com (1), quando a distância adial tende ao infinito, a distância adial tende a zeo. Ou seja, o cento do domínio tansfomado Ω t epesenta o infinito do poblema oiginal, definido em domínio abeto. O cento do domínio tansfomado deve, pois, se usado paa se defini o valo de efeência paa os potenciais eléticos ou magnéticos. Paa tal, é necessáio especifica no cento do domínio tansfomado a condição V=0 paa o potencial elético ou A=0 paa o veto potencial magnético. A especificação de um ponto de efeência é uma exigência nomalmente encontada nos simuladoes de campos, pois elimina os poblemas elativos à unicidade da solução numéica. III. A VERSÃO AXISSIMÉTRICA A. O empego de semicículos no plano -z Poblemas axissiméticos são, de fato, tidimensionais. São usualmente tatados como sistemas bidimensionais poque somente apesentam vaiações dos potenciais nas dieções adial e axial. Potanto, a técnica bidimensional descita na seção anteio pode se facilmente modificada e aplicada na análise de estutuas axissiméticas. No que diz espeito à definição do poblema em domínio abeto, a modificação consiste em envolve o dispositivo em estudo po uma egião esféica, como ilustado na Fig. 4(a). Figua 3. Localização do ponto-imagem P no domínio tansfomado Na disposição mostada na Fig. 3, a distância ente os centos dos dois cículos é igual a,5 vezes o aio a de um dos cículos. A tansfomação espacial pode se descita em temos das vaiáveis e que apaecem na ilustação. No caso, a vaiável epesenta a distância adial ente o cento da egião cicula Ω int e um ponto genéico P situado em sua poção exteio, onde >a. A outa vaiável,, epesenta a distância ente o cento da egião tansfomada Ω t e o ponto P, situado no inteio dessa egião e conhecido como pontoimagem. A elação geomética ente as vaiáveis e é Figua 4. A técnica mapeia o exteio de uma esfea no inteio da esfea tansfomada Na ilustação da Fig. 4(a), o dispositivo e o campo elético ou magnético no seu entono são envolvidos pelo domínio esféico Ω int. Como sugee a ilustação da Fig. 4(b), na passagem paa o poblema axissimético coespondente, utiliza-se um semicículo paa envolve o dispositivo em estudo. A tansfomação espacial F a, po sua vez, mapeia o domínio exteio da egião esféica do poblema oiginal no domínio tansfomado Ω t que também é modelado po um semicículo no plano -z. Como o esultado tidimensional da

4 otação de uma egião delimitada po um semicículo em tono do eixo de otação é uma egião esféica, é comum efei-se aos domínios Ω int e Ω t como esfea intena e esfea tansfomada, espectivamente. A conexão ente os domínios Ω int e Ω t no plano -z é feita empegando-se condições de peiodicidade que gaantem o mesmo valo dos potenciais nos pontos nodais situados em posições coespondentes das fonteias Γ in e Γ t. B. A tansfomação das popiedades mateiais Em sua fomulação clássica, a tansfomação de Kelvin ealiza uma tansfomação espacial e, a igo, não é aplicável a poblemas tidimensionais e axissiméticos. Quando se tata de poblemas axissiméticos, é necessáio que o mapeamento do domínio exteio, abeto, seja acompanhado de uma alteação nos valoes da pemeabilidade magnética e/ou pemissividade elética em função da posição. Essa efomulação é essencial paa que se possa usa equações difeenciais com o mesmo fomato tanto na egião inteio quanto na egião tansfomada. No caso, a equação difeencial aplicada na egião inteio é função da vaiável, enquanto a equação difeencial aplicada na egião tansfomada é função da vaiável. Essa efomulação foi poposta em [8] e é baseada no equacionamento apesentado a segui. Sejam x 1, x e x 3 as coodenadas catesianas oiginais do espaço exteio, ilimitado, e uma esfea de aio a com seu cento situado em (b 1,b,b 3 ). As coodenadas catesianas tansfomadas x 1, x e x 3 são definidas pelas seguintes equações: ' a ' xi = ( x b ) + b, i = 1,, 3 i i i () onde 1/ 3 = ( ). x i b i (3) i= 1 A tansfomada invesa, po sua vez, é definida po ' ' ( x b ) + b, = 1,, 3 a xi = ' i i i i (4) onde 1/ ' ' ( ). 3 ' = x i b i (5) i= 1 A elação geomética ente as vaiáveis e e é a ' =. (6) As tansfomações dos paâmetos que epesentam as popiedades mateiais paa poblemas magnetostáticos e eletostáticos são ' μ = μ (7) ' e ' ε = ε. (8) ' Na elação expessa po (7), μ denota a pemeabilidade magnética a uma distância da oigem do domínio oiginal, μ é a pemeabilidade a uma distância da oigem do domínio tansfomado e a elação ente as distâncias e é expessa po (6). Na elação expessa po (8), ε denota a pemissividade elética a uma distância da oigem do domínio oiginal e ε é a pemissividade a uma distância da oigem do domínio tansfomado. As tansfomações expessas em (7) e (8) conduzem a uma vaiação contínua dos paâmetos na egião tansfomada. Os paâmetos μ e ε são denominados pemeabilidade fictícia e pemissividade fictícia, espectivamente. IV. PROBLEMA DE TESTE O poblema de teste é descito em [9] e consiste no cálculo da foça magnética que atai uma pequena bola de feo situada em difeentes posições, medidas em elação ao cento de uma bobina solenoidal, excitada e com núcleo de a, como mostado anteiomente na ilustação da Fig. 1. Consideando que os centos da bobina e da bola de feo são colineaes, a simetia do poblema em elação a um eixo de otação pemite tata o poblema como axissimético e, dessa foma, obte-se uma solução vedadeiamente tidimensional. As pates pincipais da estutua axissimética são mostadas na Fig. 5. Nessa ilustação, o domínio de estudo é delimitado pela fonteia Γ que, no caso, coincide com um semicículo de aio 10,16 cm, com cento na oigem do plano -z. A bobina é alimentada po uma coente cuja densidade é 10 A/mm na dieção azimutal. O mateial que constitui a bola de feo é consideado magneticamente linea, com pemeabilidade magnética elativa μ =.500. As dimensões geométicas, utilizando-se o centímeto como unidade de compimento, estão esumidas na Tabela I. Na ilustação da Fig. 5 pode-se obseva a configuação onde os centos da bola de feo e da bobina solenoidal coincidem com a oigem do plano -z. Nessa posição, o fluxo magnético que atavessa o quadante supeio do pequeno semicículo é igual em magnitude e oposto em dieção ao fluxo que cuza o quadante infeio. Como esultado, as pessões magnéticas na inteface feo-a dos dois quadantes se cancelam e a foça líquida que atua na bola de feo é nula. Essa posição é o ponto de equilíbio estável paa a bola de feo. À popoção que a bola se afasta da oigem, suge uma foça estauadoa que se opõe ao movimento. Paa o movimento na dieção axial descendente, po exemplo, a foça atinge a intensidade máxima quando a bola de feo está póxima à base da bobina. Além dessa posição, ocoe um aumento do fluxo dispeso que evita o meio magnético, e a foça de atação começa a decesce. Quando a distância ente os centos da bola de feo e da bobina atinge 3,81 cm, o valo da foça tona-se despezível.

5 Figua 5. Estutua axissimética Bobina Bola de feo TABELA I DADOS GEOMÉTRICOS DO PROBLEMA Cento no plano -z (0;0) Raio inteno (cm) 0,635 Raio exteno (cm) 3,175 Altua (cm) 3,810 Cento no plano -z; posição inicial (0;0) Raio (cm) 0,397 Paa simula o movimento da bola de feo na dieção descendente, foi utilizado o ecuso do pogama FEMM [10] que ealiza otações e/ou tanslações em uma deteminada egião do modelo numéico. Assim, o scipt do pépocessamento inclui uma séie de comandos paa: i) seleciona a pequena egião semicicula que modela a bola de feo; ii) efetua sua tanslação na dieção vetical, de acodo com o deslocamento posicional Δz especificado. de feo e camada de a que se estende até a fonteia inteio. O método empegado paa contola o nível de discetização da malha em cada uma das egiões consiste na especificação de um paâmeto, δ, conhecido como tamanho da malha (do inglês, mesh size). Esse paâmeto define o compimento máximo pemitido paa as aestas dos elementos tiangulaes da egião selecionada. No caso, o geado de malha Tiangle [1] pocua peenche a egião selecionada com tiângulos apoximadamente equilateais e cujos lados têm compimentos iguais ou bem póximos do valo especificado paa o paâmeto δ. O levantamento das duas caacteísticas que epesentam a vaiação da foça em função da posição da bola de feo é feito a pati de duas sequências de soluções de campo que epesentam o deslocamento da bola de feo na dieção vetical descendente. O intevalo de simulação do movimento é 3,81 z 0 cm. A. Pimeio modelo O pimeio modelo utiliza a vesão axissimética da tansfomação de Kelvin paa modela o espaço exteio. As egiões que compõem o modelo numéico apaecem na ilustação da Fig. 6. Nesse modelo, as estimativas da foça são obtidas de foma dieta, pela integação do tenso pondeado de Maxwell no entono da bola de feo [13]. As pates que compõem o pimeio modelo são descitas no tutoial de Meeke [9] que, além de desceve a geometia do poblema, explica como pepaa os dados de entada da otina de cálculo denominada egião exteio paa modela poblemas exteioes axissiméticos no pogama FEMM. O domínio inteio Ω int é delimitado pela fonteia Γ in, definida po um semicículo de aio 7,60 cm e cujo cento coincide com a oigem do plano -z. O volume de a que se estende além da fonteia Γ in é modelado pelo pequeno semicículo de aio 0,635 cm e cento em (=0; z=8,55). V. MODELOS NUMÉRICOS Paa se obte as soluções numéicas, utiliza-se o módulo axissimético paa análise magnetostática do pogama de elementos finitos FEMM [10]. As soluções são obtidas paa o veto potencial magnético A que, na análise axissimética, é inteiamente diigido na dieção azimutal θ; isso pemite tabalha com a distibuição escala A=A θ desse campo vetoial de uma única componente [11]. Dois modelos numéicos difeentes são empegados na análise do poblema. A compaação dos esultados dos difeentes modelos tem po base o cálculo de um paâmeto global: a foça magnética. Os modelos difeem nas condições de contono utilizadas, bem como no método de cálculo da foça magnética. Paa evita que o atefato das difeentes malhas de elementos finitos influencie nos esultados numéicos, a mesma tiangulação é empegada nas egiões que são comuns aos dois modelos, ou seja, seções tansvesais da bobina, bola Figua 6. Pimeio modelo; dimensões em centímeto Na ilustação da Fig. 6, apaece a configuação do poblema onde o cento da bola de feo está localizado 3,81 cm abaixo do cento da bobina; nessa disposição do poblema

6 a foça estauadoa já é despezível. B. Segundo modelo Paa delimita o domínio de análise do segundo modelo numéico, são utilizadas condições de contono assintóticas. As estimativas da foça são obtidas de foma indieta, pela fómula de Loentz. Ou seja, a estimativa da foça é obtida pela integação numéica da distibuição da densidade de foça J B na egião da bobina. A condição de contono assintótica é consideada uma técnica de modelamento eficiente e o nível de tuncamento da solução numéica é pequeno quando compaado ao de outas técnicas de modelamento de fonteias. Váios aspectos da técnica são analisados no atigo de evisão de Chen e Konad [14]. A utilização dessa condição de contono em estutuas axissiméticas eque a definição de um semicículo de aio que envolve completamente o dispositivo. Os elementos de maio inteesse devem esta póximos ao cento desse semicículo, que faz o papel de uma fonteia emota [15]. Nesse modelo, o domínio de análise é delimitado po uma fonteia assintótica Γ definida po um semicículo de aio 10,16 cm e cujo cento coincide com a oigem do plano -z. VI. RESULTADOS NUMÉRICOS As séies numéicas que epesentam as estimativas da foça, obtidas a pati dos dois modelos numéicos, são apesentadas na Fig. 7. o entendimento da física-matemática do poblema e mostam que: i) quando os centos da bola de feo e da bobina solenoidal coincidem (d=0), a foça é nula e isso é devido à simetia na distibuição das pessões magnéticas na egião da bola de feo; ii) quando a bola de feo está póxima à base da bobina (d 1,7 cm), a foça atinge a intensidade máxima; iii) quando os centos da bola e bobina se distanciam 3,81 cm apoximadamente, a foça tende a zeo poque o fluxo magnético geado na bobina paticamente deixa de atavessa a egião ocupada pela bola de feo. Ambas as caacteísticas epoduzem os valoes peviamente publicados em [9]. Um dos paâmetos de maio inteesse na análise é o valo máximo da foça que atua sobe a bola de feo. Esse valo é 0,877 N paa a distância d=1,683 cm, de acodo com a estimativa da pimeia séie. Já a estimativa da segunda séie leva a uma foça máxima de 0,867 N em uma posição bem póxima, onde se tem d=1,651 cm. A obsevação atenta do gáfico da Fig. 7 mosta que as duas caacteísticas seguem tajetóias bem póximas. Tais tajetóias são, na vedade, tão póximas que se tona difícil distingui uma da outa. Uma investigação adicional da caacteística que epesenta a vaiação dessa foça foi feita empegando-se um modelo que combina condições de fonteia assintóticas e o método dos potenciais médios e de desvio paa o cálculo da foça [16]. Os esultados apesentam uma excelente coelação com aqueles aqui expostos. A alta coelação obsevada ente séies numéicas obtidas empegando-se técnicas difeentes, tanto paa o modelamento do poblema exteio como paa o cálculo da foça, pode se tomada como gaantia de esultados numéicos consistentes e pecisos. AGRADECIMENTOS Os autoes expessam seus agadecimentos a David Meeke (dmeeke@ieee.og) que, em suas mensagens eletônicas, esclaeceu questões impotantes sobe técnicas de mapeamento de campos eletomagnéticos. Agadecem à CAPES, pelo uso do potal de peiódicos. Agadecem também ao pofesso Benedito Antonio Luciano (Univesidade Fedeal de Campina Gande) po suas obsevações constutivas. REFERÊNCIAS Figua 7. Vaiação da foça em função da distância No gáfico da Fig. 7, o eixo das abcissas epesenta a distância d, em centímeto, ente o cento da bola de feo e a oigem do plano -z. A pimeia séie numéica é epesentada po tiângulos e contém as estimativas da foça obtidas pelo modelo que combina a tansfomação de Kelvin e a integação do tenso pondeado de Maxwell. Uma cuva suave se ajusta aos váios pontos dessa séie. A segunda séie é epesentada po cículos e contém as estimativas da foça obtidas com o modelo que combina a condição de contono assintótica e a fómula de Loentz. As caacteísticas mostadas na Fig. 7 estão de acodo com [1] A.F. L. Nogueia, Análise do cicuito elético atmosféico pelo método dos elementos finitos, Revista IEEE Améica Latina, vol. 7, n., pp. 3-9, junho de 009. Disponível: 09/7TLA_14LicaiaoNogueia.pdf [] A.F.L. Nogueia, Análise de cabos coaxiais cilíndicos usando a técnica dos elementos finitos, Revista Basileia de Ensino de Física, vol. 9, n. 4, pp , 007. Disponível: [3] A.N. Gómez, Espalhamento eletomagnético: análise via método de elementos finitos acoplado ao método de coentes multifilamentaes, Dissetação de mestado, Univesidade Fedeal de Minas Geais, 000. [4] P.P. Silveste and M.S. Hsieh, Finite element solution of two dimensional exteio field poblems, Poc. IEE, vol. 118, pp , [5] J.C. Bekhoff, Computation of combined efaction-diffaction, Poc. 13 th Intenational Conf. on Costal Engineeing, Vancouve, 197.

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