o anglo resolve as provas da Ibmec novembro de 2006

Transcrição

1 o anglo resolve as provas da Ibmec novembro de 006 É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do nglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. Seleciona 00 alunos para o curso de dministração de Empresas e 50 alunos para o curso de Economia, ambos diurnos e com duração de anos. São duas provas em um único dia: primeira, iniciada às h, consta de questões objetivas de nálise Quantitativa Objetiva (0), nálise Verbal (5), Língua Inglesa (0) e Conhecimentos Gerais História e Geografia (5). Cada questão vale ponto. segunda, iniciada às h, consta de 0 questões de nálise Quantitativa Discursiva, valendo,5 pontos cada, e de uma Redação, que vale 5 pontos. Pode ser utilizada um décimo da nota objetiva do ENEM. Serão desclassificados os candidatos que não obtiverem pontuação em qualquer das disciplinas ou cujo total de pontos seja menor que 0. Código: 59005

2 E NÁLI L SE ÓG IC QUNTI DIS CU TT VI RS VI Questão 9 x Considere a função f(x) =, se x p, em que p é uma constante real. x, se x p a) Desenhe, no plano cartesiano dado abaixo, o gráfico de f(x) para o caso em que p =. 9 y x b) Determine p de modo que o máximo valor atingido pela função f(x) seja igual a 5. Ibmec-Tarde/007

3 9 y a) O gráfico de f(x) = 9 x, se x x, se x é: x b) Dos esboços das curvas y = 9 x, com x p, e y = x, com x p, podemos concluir que o valor máximo de f(x) é igual a 5 se, e somente se, p =. y x Resposta: 9 Ibmec-Tarde/007

4 Questão Considere um paralelepípedo reto retângulo cujo volume é dado, em termos de um parâmetro real x, por p(x) = x 9x + 0x 0. Suponha que as medidas dos lados da base e da altura do paralelepípedo sejam dadas por três fatores do primeiro grau de p(x), da forma f (x) = x b, f (x) = x b e f (x) = x b, em que b, b e b são constantes positivas. a) Sabendo que p(x) admite três raízes inteiras positivas, determine os fatores f (x), f (x) e f (x). b) Determine o domínio de p(x). c) Calcule o valor de x para o qual o volume do paralelepípedo é igual a 6, sabendo que, neste caso, f (x), f (x) e f (x) serão inteiros. a) Se a equação p(x) = 0 admite uma raiz inteira, então esta é um divisor de 0. Por tentativa, podemos concluir que é uma raiz: Portanto p(x) = (x ) (x 7x + 70). Como as raízes de x 7x + 70 = 0 são os números 7 e 0, temos p(x) = (x ) (x 7) (x 0) Resposta: x, x 7 e x 0 b) De x 0 e x 7 0 e x 0 0, temos x e x 7 e x 0. Logo, o domínio de p(x) é {x IR: x 0}. Resposta: {x IR: x 0} c) Temos que (x ) (x 7) (x 0) = 6, em que x é um inteiro maior que 0. Nessas condições, x e x é um divisor de 6. x x 7 Observação não é divisor de 6. não é divisor de 6. 6 não é divisor de 6. Portanto devemos ter x = 9, x 7 = e x 0 =. Logo, x = Resposta: Questão No plano cartesiano, a reta r passa pelos pontos = (0, ) e B =, sendo um número real positivo., 0 reta s passa pelo ponto e é perpendicular à reta r. a) Escreva, em função de, as equações das retas r e s. b) Seja C o ponto onde a reta s intercepta o eixo das abscissas. Determine o valor de para que a área do triângulo BC seja igual a 5. Ibmec-Tarde/007 5

5 a) Sejam: m r coeficiente angular da reta r; m s coeficiente angular da reta s. Como a reta r passa pelos pontos = (0, ) e B = 0 sendo real e positivo, temos:,, m r = 0 = ( I) 0 Como s r, temos: m s m r = (II) De (I) e (II), resulta que m s ( ) =, ou seja, m s =. Portanto, uma equação da reta r é y = (x 0), ou seja, x + y = 0, e uma equação da reta s é y = (x 0), ou seja, x y + = 0. Resposta: uma equação da reta r é x + y = 0, e uma equação da reta s é x y + = 0. b) Do item anterior, uma equação da reta s é x y + = 0. Fazendo y = 0, temos: x 0 + = 0 x = C(, 0) Logo, temos a figura: y C B + x Do enunciado, devemos ter: + = 5 = 9 = 9 = ou = 9 = (não convém) Resposta: Ibmec-Tarde/007 6

6 Questão s equações abaixo devem ser resolvidas em ; i representa a unidade imaginária, isto é, i =. a) Resolva a equação z 9iz = 0. b) Resolva a equação w 6 9iw = 0. a) De z 9iz = 0, temos z 9i + i = 0. soma das raízes é 9i, e o produto delas é i. Logo, as raízes são i e i. Resposta: {i, i} b) De w 6 9iw = 0 e w = z, resulta a equação z 9iz = 0, resolvida no item anterior. De w = i, temos: w i = 0 w + i = 0 (w + i) (w iw + i ) = 0 De w + i = 0, temos w = i. () O discriminante de w iw + i é = ( i) i = i =. Logo, w = i ±. () De w = i, temos: w i = 0 w + (i) = 0 (w + i)(w iw + i ) = 0 De w + i = 0, temos w = i. () O discriminante de w iw + i é = ( i) (i ) = i =. i ± Logo, w = = i ±. () De (), (), () e (), temos as 6 raízes da equação w 6 9iw = 0. Resposta: i i, i +, +, i, + i, + i Questão 5 Uma caçamba para recolher entulho, sem tampa, tem a forma de um prisma reto, conforme mostra a figura, em que o quadrilátero BCD é um trapézio isósceles. D H C G E B s dimensões da caçamba, dadas em metros, são B =, CD =,, BC = e CG =,5. a) Calcule a capacidade dessa caçamba, em metros cúbicos. b) s chapas de aço que compõem a caçamba devem ser protegidas com tinta anti-corrosiva, tanto na parte interna quanto na parte externa. Calcule a área a ser pintada, em metros quadrados. F Ibmec-Tarde/007 7

7 Do enunciado temos a figura, cotada em m: a) plicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ID, temos: (I) + (0,6) = I = BJ = 0, Logo, a área S T do trapézio BCD, em m, é tal que: ( CD + B) I (, + ) 0, ST = ST = ST = 0, Portanto, a capacidade pedida C p é tal que: C P = S T BF C P =,0,5 C P =, Resposta:, b) área pedida S P é tal que: S P = (,5 +,5 +,0) S P = 0, Resposta: 0, Questão 6 D Dado x [ ; ], sejam g(x) = + cos(x) e h(x) = sen(x). a) Resolva a equação produto (g(x) )(h(x) ) = 0. g(x) b) Determine os valores de x para os quais a função f(x) = assume seu valor máximo. h(x) H 0,6 I E J 0,6 B C F,5 G a) Substituindo-se (cosx ) ( senx) = 0 senx = x = + h, h ou cosx = x = h, h x = h, h No intervalo [, ] temos: x = ou x = ou x = 0 ou x = ou x = Resposta: S = {,, 0,, } b) Como g(x) e h(x) são positivos, para f(x) ser máximo, devemos encontrar x que torne g(x) máximo e h(x) mínimo. g(x) é máximo quando cosx =, isto é, x {,, 0,, } h(x) é mínimo quando senx =, isto é, x =. ssim, temos x =. Resposta: Ibmec-Tarde/007

8 Questão 7 fase final de um processo de seleção de gerentes e supervisores para uma empresa é constituída de uma entrevista individual, com duração de uma hora para os candidatos a gerente e 0 minutos para os candidatos a supervisor. Nessa etapa, restam 0 candidatos, sendo 5 para cada um dos cargos. Todas as entrevistas serão realizadas no mesmo dia, sendo chamado um candidato por vez, e não havendo intervalo entre duas entrevistas consecutivas. ordem de chamada dos candidatos será definida por sorteio, e a primeira entrevista ocorrerá às 0h. Márcia, uma das candidatas ao cargo de gerente, está preocupada, pois tem um compromisso nesse dia, precisando sair antes do término da última entrevista. a) Calcule a probabilidade de que a entrevista de Márcia termine até às h 0min. b) Calcule a probabilidade de que a entrevista de Márcia termine até às h. a) Para que Márcia saia até h 0min, temos: ª- entrevista ou ª- entrevista e ª- entrevista (Márcia) (ser supervisor) (Márcia) = 7 5 Resposta: 7 5 b) Para sair até às h, além dos casos do item a, temos: ª- entrevista e ª- entrevista ou ª- entrevista e ª- entrevista e ª- entrevista (ser gerente (Márcia) (ser supervisor) (ser supervisor) (Márcia) não Márcia) ssim, somando com os casos do item a, temos: 7 5 Resposta: Questão = = Se os eixos de uma elipse medem a e b, conforme a figura abaixo, então a área da elipse vale ab =. b a a) Na figura abaixo, a elipse tangencia as duas circunferências. maior circunferência tem raio e a menor tem raio. Calcule a área da região sombreada. Ibmec-Tarde/007 9

9 b) Na figura abaixo, a figura do item anterior foi repetida dentro dela mesma indefinidamente, de modo que a circunferência maior tem novamente raio, a segunda maior raio, a terceira raio, etc. s elipses sempre tangenciam duas circunferências consecutivas. Calcule o limite da soma das áreas das regiões sombreadas. a) Do enunciado, temos a figura: área S da região sombreada é dada pela diferença entre a área do círculo de raio e a área da elipse inscrita a esse círculo, mais a área do círculo de raio. Logo, S = + S = Resposta: b) O limite da soma das áreas das regiões sombreadas é a soma dos termos da P.G. infinita, na qual seus termos a, a, são dados pela diferença entre as áreas de um círculo e de sua respectiva elipse inscrita. Temos: a = = a = = a = =... soma pedida S é tal que: S = S = Resposta: Ibmec-Tarde/007 0

10 Questão 9 Na figura abaixo, as semi-circunferências têm como suporte as circunferências de equações (x + ) + y = 5 e (x ) + y = 5, e os segmentos C e BC estão sobre retas que tangenciam estas circunferências. y 6 D x B 6 0 C 6 a) Determine as equações das retas que suportam os segmentos C e BC. b) Calcule a área da região sombreada. a) Na figura, é o ponto de abscissa pertencente à circunferência de equação (x + ) + y = 5. Temos: ( + ) + y = y = 5 y = (não convém) y = 9 (, ) y = D é o ponto onde a circunferência de equação (x + ) + y = 5 intercepta o eixo y. Logo, fazendo x = 0, temos: (0 + ) + y = y = 5 y = y = 9 D(0, ) y = (não convém) Ibmec-Tarde/007

11 s retas D e C são perpendiculares. O coeficiente angular de D é, ou seja, Logo, o coeficiente 0. angular de C é. ssim, uma equação de C é dada por: y ( ) = (x ( )) x + y + = 0 nalogamente, B é o ponto (, ) s retas BD e BC são perpendiculares. O coeficiente angular de BD é, ou seja, Logo, o 0. coeficiente angular de BC é. ssim, uma equação de BC é dada por: y ( ) = (x ) x y = 0. Resposta: C: x + y + = 0 BC: x y = 0 b) Do enunciado e do item anterior, temos a figura: y 6 D x E B 6 0 C 6 Ibmec-Tarde/007

12 C é o ponto de intersecção da reta BC com o eixo y. Fazendo x = 0, temos: 0 y = 0 y = C 0, S : Área do triângulo BCD + CD BE S = S = S = 00 S : Área de um semicírculo de raio S = S = Da figura, a área S pedida é tal que: S = ( S + S ) S = S = Resposta: Questão 0 Um artesão resolveu criar um calendário decorativo utilizando sólidos geométricos. Para representar os dias, serão utilizados dois cubos, sendo que cada face de cada cubo deverá ser marcada com um algarismo de 0 a 9. Os dois cubos serão posicionados lado a lado e o par de números que ficar virado para frente indicará o dia do mês. Dessa forma, o artesão pretende marcar as faces dos cubos de modo que se possam formar todas as possibilidades abaixo Observação: a fonte utilizada pelo artesão permite que o algarismo 6 seja identico ao algarismo 9 invertido. a) Quais algarismos devem ser marcados igualmente nos dois cubos? Justifique sua resposta. b) Como devem ser marcadas as faces de cada um dos cubos de modo a formar todos os dias entre 0 e? Utilize a tabela abaixo para indicar sua solução. Lados do cubo Lados do cubo a) Os algarismos que devem ser marcados igualmente nos dois dados são 0, e. lgarismo : para formarmos o dia. lgarismo : para formarmos o dia. lgarismo 0: para formarmos os dias de 0 a 09. Se marcássemos o 0 em um único cubo, os algarismos,, 5, 6, 7 e não caberiam todos no outro cubo, pois este tem 6 faces sendo que duas já estão ocupadas pelo e pelo. Resposta: 0, e. b) Colocando 0, e nos dois cubos, restam 6 faces, três em cada cubo, em que os algarismos,, 5, 6, 7 e podem ser marcados. Uma solução possível é: Lados do cubo 0 5 Lados do cubo Ibmec-Tarde/007

13 R E DÇ Ã O Considere o trecho abaixo. Pertencer não vem apenas de ser fraca e precisar unir-se a algo ou a alguém mais forte. Muitas vezes a vontade intensa de pertencer vem em mim de minha própria força eu quero pertencer para que minha força não seja inútil e fortifique uma pessoa e uma coisa. (Clarice Lispector. descoberta do mundo. Rio de Janeiro: Rocco, 999; páginas 0 e ) Desenvolva uma dissertação em prosa sobre o tema: Pertencer: sinal de força ou de fraqueza?. Conforme indicado nas folhas de rascunho e de redação, utilize Pertencer como título de sua dissertação. nálise da proposta Com base num fragmento do conto descoberta do mundo, de Clarice Lispector, foi proposta a elaboração de um texto dissertativo sobre o tema Pertencer: sinal de força ou de fraqueza? Considerando-se a abrangência semântica do termo pertencer, seriam possíveis múltiplas abordagens, tratando, por exemplo, de relacionamentos amorosos, trabalho em equipe, posicionamento político, inclinação religiosa, entre outras. É necessário também levar em conta que a Banca direcionou explicitamente duas linhas argumentativas: pertencer pode significar uma atitude de coragem ou de submissão. O próprio fragmento, no entanto, propõe uma relativização das duas posturas, por meio de marcadores de pressuposição, como apenas e muitas vezes : o mesmo ato de pertencer pode conter em si traços de força e de fraqueza. Encaminhamentos possíveis Caso o candidato optasse pela idéia de que pertencer é se adequar a determinado padrão de conduta e/ou de pensamento proposto por um grupo ou pela sociedade, ficaria explícita a fraqueza como orientação argumentativa do seu texto. Para essa abordagem, as tribos urbanas e a influência da mídia sobre o comportamento (como o padrão de beleza imposto) seriam exemplos válidos dessa anulação da individualidade. Se o enunciador preferisse a associação entre o pertencer e a idéia de força, poderia lembrar que a necessidade de participar e pertencer é inerente ao ser humano. É ilusório pensar que podemos viver sem estar em relação com o outro. Logicamente, o pertencer pode ser destrutivo (caso signifique uma imposição dos valores de quem tem mais poder), mas, como via de mão dupla, na qual haja efetivamente uma relação de troca em benefício de uma coletividade, só pode ser compreendido como positivo. Um exemplo disso é o Terceiro Setor. Observação: É sempre bom lembrar a importância dos contradiscursos implicados no tema, já que as ressalvas são necessárias para conferir maior peso argumentativo à discussão. Ibmec-Tarde/007

14 CO MENT ÁRI O Matemática Prova de bom nível, porém pouco abrangente. lgumas questões foram trabalhosas e certamente tomaram muito tempo do candidato, o que pode ter comprometido a resolução das demais questões. Ibmec-Tarde/007 5