UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA

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1 UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Crso d Físa OSCILADORES ACOPLADOS: SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE Aor: Danl d Carvalho Olvra Ornador: Prof. Dr. Palo Edardo d Bro BRASÍLIA 8

2 DANIEL DE CARVALHO OLIVEIRA OSCILADORES ACOPLADOS: SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE Traalho d Conlsão d Crso sdo à Unvrsdad Caóla d Brasíla para onção do Gra d Lnado Físa. Ornadors: Dr. Palo Edardo d Bro Brasíla Jnho d 8

3 Agradnos E agradço a Ds, nha faíla, a odos aqls q dra o ndran vra parpação nssa nor onqsa q fo onlr a gradação Lnara Físa pla Unvrsdad Caóla d Brasíla UCB. E spal sss agradnos s dsna à nha ã q, dran qaro anos v a paêna d nndr q odas as horas q v q ddar às nhas avdads aadêas nha oo ojvo a ralzação dss sonho. É laro q não posso dar d nonar as azads, fros dsss anos d nvrsdad q ano onríra para nha foração, o orpo don d ra opêna o o qal v a honra d onvvr aprndr o, o ornador, Dr. Palo Edardo d Bro, a pssoa spal, s dúvda, a odos aqls q vra a oporndad d sr s alno. M o orgado!

4 RESUMO A ovação para o sdo d osladors aoplados vo do dsafo d sar oprndr lhor aparao físo aáo q gral não é sdado, o o aprofndano, nos rsos d lnara físa: osladors aoplados, ssas d qaçõs dfrnas ordnáras, álgra lnar, analss opaonas Sérs d Forr âna lássa. Os os q raa do a, na aora das vzs dão grands salos no dsnvolvno das solçõs dss po d ovno, ão poran dvrsos raos da êna. Alé d sar dalhar os állos opaados das lografas, fo fa a análs prnal o po d oslador aoplado oparados os rslados gráfos odos o a prvsão óra. A prnação osra aé as dfldads d s onrolar ros parâros nvolvdos, oo por plo, a rssêna do ar, q para fo d splfação fo dsprzada apsar d sa nída anfsação. Palavras Chavs: osladors aoplados, álgra lnar, ssas d qaçõs dfrnas, prnação. 4

5 . INTRODUÇÃO E gral, o a oslaçõs r à déa d ovno pndlar spls o a ssa assa-ola lásso, aos o dsros pla âna nwonana. Poré, ss po d ovno é o as frqün na aora das vzs as oplo do q s pnsa, podndo sr nonrado na narza ano nos asos q aaara d sr ados oo aé sala aôa saôa. Isso pr q s possa dzr o oa aproação q oda a aéra, salas varadas, vraçõs naras dfrns gras. Co a spls psqsa, qalqr pssoa pod sr apaz d ronhr as dvrsas aplaçõs do sdo d ssas oslans, q vão dsd sa análs na físa às aplaçõs ngnhara, qía, ologa ollar, físa éda,. Mas vzs, parndo-s do sdo d osladors harônos é possívl odlar ssas físos asraos d sr analsados por éodos onvnonas, oo é o aso d algns assnos da âna qâna. U ssa assa-ola pod sr sado oo odlo para a paríla onfnada na rgão d ponal. Enrano a paríla srá rprsnada por a fnção, ϕ, drnada o a solção da qação d Shorodngr para al ponal. U léron n áoo d hdrogêno, por plo, pod r sa dsrção d nrga dos nívs odlada pla nrga ponal d al ssa assa-ola. Tndo-s vsa ssa grand vardad d ssas oslans, s raalho s rsrng ao sdo spífo dos osladors aoplados o dos gras d lrdad nvolvndo assas olas. Dvrsos ssas físos na narza ass s opora, ond város lnos são assoados d al odo q a aáa nssára para dsrvê-los nvolv não apnas qaçõs dfrnas s ssas d qaçõs dfrnas ordnáras jas solçõs lza-s álgra lnar para aprsnação. Na sqüêna do raalho é aprsnada rsdan a as físa aáa nssára para o nndno do assno solçõs d ssas oslans as spls, o a rsolção dalhada das qaçõs dfrnas nvolvdas sgda é aprsnada a análs d ssa d osladors aoplados, spr dalhando os dsnvolvnos aáos nas solçõs das dvrsas apas q, graln, são odas nos os. Essa análs oorr aé q s hg às ondçõs nas do prola. A parr dss pono, o nfoq do raalho da para a aordag prnal. 5

6 . REFERENCIAL TEÓRICO Para a dvda oprnsão dos osladors aoplados assa-ola é prsndívl q oros ssas as spls sja asslados. U o plo oo pono d parda é o oslador spls o oslador aordo, aos onsídos por a assa prsa a a ola sposa dal, no prro aso dsprzando-s a rssêna do ar no oro não. Oslador Spls Não Aordo Fgra : ssa assa-ola spls. Pod-s onsdrar para ss plo ssa assa-ola dsposo horzonaln, ond a ola é prsa a d sas rdads a a pard a ora n orpo d assa. O sado rlaado da ola n alongada n oprda é dsro o a loalzação da rdad lgada à assa na posção, oo lsrado aa. Coo as forças d rssêna são dsprzadas nss aso, -s q: r F RES ˆ dv d dv d 6

7 7 A ora ása d qaçõs dfrnas ordnáras prvê oo solção para a qação aa a fnção do po: Ssndo ssas fnçõs na qação do ovno: ± Logo as solçõs são 4 Fazndo a onação lnar das fnçõs, -s q: Usando a Rlação d Elr: os sn r r : os sn

8 Asnδ Aosδ A snδ os Asn δ Aosδ sn A solção da qação fa não: Asn δ, ond δ, a onsan d fas sa rlaonada às ondçõs nas do ovno. Coo d v d d a não: d v A a A os sn δ δ Consdrando o príodo a frqüêna do ovno: Asn δ Asn T δ T T π π E q T são o príodo a frqüêna anglar, rspvan. Oslador Aordo não Forçado O aorno aq rlaado é dvdo a qalqr força d narza nãoonsrvava, oo o arraso do ar, por plo. O odo oo ssas forças s anfsa na narza é dasadan oplo dpndndo d dvrsos parâros q não são 8

9 ão fás d sr onrolados. Para q sja possívl onsdrá-los nos prolas físos é nssáro aplo prosso prnal para lvanano d dados q possl a sa odlação. No aso da força d arraso do ar, odlo sasfaóro para os ssas físos dos qas raa ss raalho é o q dsrv a força d arraso oo sndo proporonal à vlodad do orpo. Enão a qação possívl para odlar a força é dada por: r F Arraso r v 5 E q é a onsan d proporonaldad q dpndrá d város faors oo as dnsõs do orpo ovno das ararísas do ar, por plo. Fgra : oslador assa-ola aordo. No sado d qlíro g. Dsloando o ssa a parr dssa posção lzando-s a sgnda l d Nwon: a g v 6 9

10 A fora gral das solçõs da qação aa é do so po q : Ssndo as solçõs na qação, oé-s: O ro nr parênss é a haada qação ararísa, para rsolvr a qação dfrnal alla-s os valors d q anla al ro ± Dpndndo dos valors do dsrnan é possívl analsar rês asos dsnos: S > : 7 S : 8

11 Donsração do ro nr parênss da qação 8: haando. Coo, 4 : Fazndo a ssção d, 6: 4 4 Coo 4, fa. Logo: S < : 4 4 ± ± 4 α 9

12 α α ± α α α α os sn os sn α [ osα sn] A B α Aos Bsn. OSCILADOR ACOPLADO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE. Esdo Analío: Fgra : rprsnação d dos osladors assa-ola aoplados. O ssa oslan solhdo para o sdo é onsído d das assas,, aopladas por rês olas d onsans d força,, dsposas oo na fgra aa. A oslação é ndnsonal, horzonal o dos gras d lrdad para vração. Para o dsnvolvno do sdo aao srá sposo q F > F >.

13 Dagraa d forças para o orpo d assa : Fgra 4: dagraa d forças para o orpo. F d d F d d F d d Dgraa d força para o orpo d assa : Fgra 5: dagraa d forças para o orpo. F d d F d d F d d As qaçõs dfrnas são aopladas forando ssa lnar d qaçõs dfrnas dado por: F F

14 4 Co o no d s raalhar o ssa lnar hoogêno, ad-s F F. 4 A fora gral das solçõs proradas é w Fazndo a ssção d, sas rspvas drvadas no ssa d qaçõs, -s q: ] [ ] [ 5 A ora d ssas d qaçõs dfrnas garan q para ssa hoogêno a solção não rval é nonrada qando o drnan da arz forada plos ofns d al ssa é nlo. Ass: 6 N prro ono, para splfação, pod-s adoar. 7

15 Fazndo ξ ξ 4ξ ξ 6 4 ± 4 ± a 6 ξ ξ 8 9 As frqüênas rprsna os odos noras d vração para o ovno dss ssa oslan. Qalqr oro ovno pod sr dsro oo a onação lnar dsss odos. As assas pod vrar ovno harôno spls - MHS son o ssas frqüênas nnha ora. Bov, 98. Co ssas frqüênas onhdas é possívl drnar as onsans. Ssndo : Ssndo : [ ] [ ] 5

16 D odo spls,, orrspond à sação q as das assas dsloa-s no so sndo,, ao aso q o ovno s dá sndos oposos.. A Análs d Forr As foras das ondas pod sr dsdoradas nos harônos q as ons por éodo onhdo oo análs harôna, aé haada análs d Forr, pos é rslado dos raalhos do aáo franês J. Forr sor a análs das fnçõs pródas. TIPLER, Ua sér d Forr, aáa, é odo d rprsnar a fnção próda no po oo soa d oras fnçõs pródas do po n. E a fórla d Elr prvê q ssas sérs pod sr prssas oo fnçõs do po sno o-sno: n os n sn n Ua fnção próda no po, f, gral pod sr sra na fora d a sér rgonoéra do po: a f [ an os n nsn n] n,,,4... Os ofns a n n são o ros d Forr, q pod sr drnados por: a n n π π π π π π f os n d f sn n d 4 No prsn raalho, o ojvo não é dsrvr foraln a análs d Forr o odo s rgor aáo a vz q sa lzação s d apnas opaonaln o a lzação dos Sofwars Mapl Gnplo para onfção dos gráfos. O poran aq é rssalar o porqê d r sdo aplada a sa déa prnpal: osrar q odo ovno pródo pod sr dsro pla sprposção d harônas as spls Análs Harôna. 6

17 4. EXPERIMENTAÇÃO 4. Maras Méodos Para o nrqno do raalho fo fa aé a análs prnal do ssa oslan aa sdado. A onag do prno aon ngraln no laoraóro d âna da Unvrsdad Caóla d Brasíla, UCB. Os sgns aras fora lzados nsa apa do projo: Undad Gradora d Flo d Ar: Mawll - Malrga Eqpanos Cnífos; Trlho olhão d Ar Lnar Hnshl; Sn PASCO Worshop 75 Inrfa; Snsor d Movno: Moon Snsor II PASCO Sníf; Sofwars Daasúdo, Gnplo MAPLE, lnados odos os opadors dos laoraóros da UCB; Três olas d Hoo, K PASCO; Balança d Prsão ACCULAB U-/ Capay: g; U o assas álas d 5g ada; A prra apa a sr ralzada fo drnar as onsans d força,, das olas. Isso fo fo plo éodo spls d pndrar orpos d assas,, onhdas ddas pla alança d prsão dsponívl sgda anoar as dforaçõs sofrdas por las o a sala lrada prssa no spor ond sava prsas. Conhdas as assas a dforação, galo-s a força pso o a força lása para a drnação d, qando o ssa nrava qlíro sáo. Cada ola v ss assas dsnas sspnsas, a d ada vz, sas rdads para q pdss sr allada a onsan o as prsão. Hava no olas para so, sndo q rês dvra sr solhdas para sr nsrdas no prno. Ao nvés d r rado a éda dos valors allados para as onsans das olas, os dados fora nsrdos no Sofwar Daasúdo grando o gráfo do ódlo da força lása F fnção da dforação. Co a fnção ajs lnar ds prograa drno-s a onsan, q é o ofn anglar da fnção F. Para o állo da força pso fo lzado oo valor da alração da gravdad para a loaldad d Brasíla g 9,77. s 7

18 g g E q a assa sá qlograas g a dforação ros. N Co sso, já sá ndads do Ssa Inrnaonal SI:. Das rês olas nssáras para o prno, das nha onsans d força aproadan gas a ora valor o próo, o dfrnça prnal por vola d,% a nos. Logo as olas d so, haadas Mola I Mola III fora nsrdas nas rdads do oslador a ola d onsan poo dfrn, Mola II, fo aplada oo nral, sso para garanr lhor sra do ovno. Ass os valors d fara ass dfndos: 7,9N / 7,8N / 7,9N / Coo a dfrnça nr a onsan da ola nral as olas das rdads é o pqna, o prola srá splfado oo sndo oposo d olas d so, o valor d 7,9N/. Fgra 6: olas sadas nos osladors. Aao sg os gráfos o os dados q orgnara os valors das onsans das olas aa. 8

19 Gráfo : força lása vrss dforação para as olas I III. Gráfo : força lása vrss dforação para ola II. 9

20 As das assas aopladas no ssa são onsídas plos arrnhos q faz par do rlho d ar adonas d assas álas alars a plaa d sopor, sada d anparo para o snsor d ovno. As assas dsss onjnos fora não ddas na alança ajsadas d odo a sr aproadan gas. A assa oal d ada arrnho oo osrado na foo aao é 8,7g. Val onar q a fnção do rlho d ar é nzar os fos do aro nr as sprfís, a vz q o arraso do ar não pod sr lnado. Fgra 7: assas arrnhos oslans do ssa. Fgra 8: onag do prno o dos osladors aoplados.

21 5. ANÁLISE E DISCUSSÕES A próa apa fo analsar no sofwar Daasúdo a rprodção gráfa das oslaçõs do ssa. Inaln, as assas fora posas a oslar so sndo olados os dados o o snsor d ovno lgado à nrfa. Gráfo : posção vrss po para assa. Gráfo 4: posção vrss po para assa.

22 A sa análs fo fa, sgda, as o os orpos dsloando-s sndos oposos. Aao sg os gráfos da sação para as assas, rspvan. Gráfo 5: posção vrss po para a assa. Gráfo 6: posção vrss po para a assa. O ojvo das donsraçõs prnas aa é osrar os dos odos d vraçõs orrspondns às frqüênas.

23 .4.9 Hz.. Innsdad Hz Frqna Hz Gráfo 7: análs d Forr para as assas s dsloando no so sndo..6.5 Hz.5.4 Innsdad...9 Hz Frqna Hz Gráfo 8: análs d Forr para as assas s dsloando sndos oposos. Os gráfos 8 9 osra a análs d Forr, fa no sofwar Mapl, para os asos q aaara d sr dsros. No prro, é osrada a prdonâna da frqüêna orrspondn ao prro harôno,9hz no gráfo sgn a aor nnsdad para o sgndo harôno,5hz, jos valors são allados as adan. E sgda o oslador fo poso ovno dfrnn das ondçõs fas aé agora. El fo poso a vrar odos q são onaçõs dos dos anrors, grando gráfos d foras varadas.

24 Para osrar q sss ovnos são raln onaçõs das frqüênas fndanas, sg aao dos pars d gráfos q rprsna os ovnos das assas os gráfos das rspvas análss d Forr. Gráfo 9: Conação d Frqüênas I spror: orpo nfror: orpo Gráfo : Análs d Forr onação I 4

25 Gráfo : Conação d Frqüênas II spror: orpo nfror: orpo Gráfo : Análs d Forr onação II 5

26 Gráfo : Conação d Frqüênas III spror: orpo nfror: orpo Gráfo 4: Análs d Forr onação III 6

27 E odas as rês onaçõs sas rspvas análss harônas é nído q o prro harôno prdona sor o sgndo dran o ovno. Os pos dos gráfos das análss d Forr rprsna aan as frqüênas, haadas aq d f f, vsas nos gráfos, 5 da sqrda para dra, rspvan. Os valors óros sprados o as nas assas ddas para os orpos oslans os valors das onsans das olas lrando q las fora aproadas oo sndo gas prvê os sgns rslados: D 6 7, -s q: Usando-s a rlação πf pod-s srvr a frqüêna oo: f f π π Ssndo para a assa o valor 7,9N /, -s q: 8,7 g para a onsan d ola, f,9hz f,6 Hz Os valors odos prnaln são: f,9hz f,5 Hz U rro prnal d aproadan,% d 6,% para as frqüênas f f, rspvan. 7

28 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS Os ojvos nas q norara a laoração ds sdo fora alançados. Fo proposo, naln, sdar dalhs po d ssa d osladors aoplados sar sa rprodção prnal d odo a vsalzar a dnâa óra prvsa. A qsão é q o sdo dalhs d qalqr ssa físo par não r f qando a ora é sda à prnação. A físa poss ndo ágo haado laoraóro ond é naral srgr prgnas do po oo l s opora?, o q aon s al parâro for odfado?, oo lnar ssa falha prnal?, nr oras ndagaçõs as vzs dfís d sr rsponddas. Isso nrq qalqr sdo, não dando q s r, às vzs, l para s própro. Nas prras déas sor o dsnvolvno ds raalho ra prvso fazr a sér d análss aé so o oros rrsos prnas oras frranas aáas: oo por plo, aplar as qaçõs d Lagrang sdar oro po d oslador aoplado. S o projo foss apnas óro sso aé podra r sdo fo, as os ros dara dran a apa prnal por a sér d qsõs q fora srgndo para sr rsponddas novas déas flíra, oo fo a d fazr a análs d Forr para os ovnos. Qano aos aspos prnas, são vdns os parâros q afara os rslados fnas. As plaas d sopor sadas oo anparo para o snsor d ovno fora fons ponas para a anfsação da força d arraso do ar: o q jsfa a qda d apld para as oslaçõs osradas nos gráfos. Na análs dos rslados vrfo-s aé q a frqüêna dda é nor q a frqüêna sprada. Analsando a qação, q dsrv a frqüêna d oslação fnção do parâro α, q por sa vz dpnd d onsan assoada ao arraso do ar fa plío o ovo: o a nsrção da plaa d sopor, nssára para as dçõs do snsor, é lvada onsqünn a frqüêna dn. Val lrar q as olas sadas no prno não nha onsans gas: é dfrn das olas ras q são gas. Coo as frqüênas anglars dpnd dss parâro é vdn q, por as q foss poa a dfrnça, sso pod r afado o rslado fnal. Mas, afado oo? No prno, as onsans das olas od à sgn rlação: para a ola nral, a onsan é. Enão, ssndo ssas ondçõs na qação 6 rsolvndo para or o drnan nlo -s q: 8

29 5 O sja, o prro harôno não sofr alração aso a ola nral sja dfrn das das. Poré, o sgndo harôno s, oo dsrv a qação. Oro aspo poran para sr ado é q os gráfos podra r sdo onfonados o poo as d prsão s o snsor svss ajsado para olar aor núro d ponos dran as oslaçõs. Para a gração dos gráfos prsns ns raalho fora olados 5 ponos ada sgndos d oslação Hz. Não s raa d raalho na ára d nsno d físa, poré fa a sgsão d lzação dss po d avdad o as frqüêna nos rsos d gradação físa plo alo ponal proporonar aprndzado as sgnfavo ofrr a dnâa d odo o aparao físo aáo prgado. 9

30 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUTKOV, Egn. Físa-Maáa, ª d., LTC-Lvros Ténos Cnífos, Ro d Janro, 988. ISBN BARCELOS NETO, João. Mâna Nwonana, Lagrangana Halonana, ª d., São Palo: Edora Lvrara da Físa, 4. FRENCH, A.P., Vraçõs Ondas. Brasíla: ª d., Edora UNB,. ISBN BOYCE, Wlla E. DIPRINA, RICHARD C. Eqaçõs Dfrnas Elnars Prolas d Valors d Conorno, 7ª d., LTC, 999. ISBN TIPLER, P. A. Mâna, Oslaçõs Ondas Trodnâa. Ro d Janro: 4ª d. LTC- Lvros Ténos Cnífos SA,. HALIIDAY, Davd; RESNICK, Ror; WALKER, Jarl. Fndanos d Físa, Gravação, Ondas Trodnâa. Ro d Janro: 7ª d. LTC-Lvros Ténos Cnífos, 6. ISBN NUSSENZVEIG, H. M. Crso d Físa Bása, Fldos, Oslaçõs Ondas Calor. São Palo: Edgard Blül LTDA,. M.Rozo; M.Ayala. Transson d Enrga Mon n Ssas Dsros. Dsponívl : hp://ala.nvall.d.o/rvsa/vol8_4/arlos/8447.pdf Asso : 5 ao. 8. Eprênas Inravas no Ms d Cênas da Faldad d Cênas da Unvrsdad do Poro Porgal FCUP. Dsponívl : hp://ss.f.p.p/na/copld_osllaors.h Asso : 6 ao. 8. Sér d Forr. Wpéda, A Enlopéda Lvr. Dsponívl : hp://p.wpda.org/w/s%c%a9r_d_forr Asso 4 ao. 8.

31 Sg ano os prodnos opaonas dsnvolvdos no Sofwar Mapl-7 para ralzar a análs d Forr para as onaçõs d ovno. Mas, os gráfos das análss d Forr prssos no raalho fora grados no Gnplo. Taé são dsponívs os lns para rês vídos: dos d donsraçõs dos dos odos d vração d onaçõs d ovnos. > rsar; L [] é a lsa q on os dados das onaçõs d ovno olados o o snsor d ovno do Daasúdo. L[] [] é L[] [] é y > L:raddaa"Arqvo o os dados rrados do Daasúdo.,[floa,floa]; Lsa o os ponos do ovno. > plol; Grando o gráfo a parr dsss ponos. > wrdaa"c:/l.da",l,[floa,floa]; Salvando ssa lsa no dróro C, por plo. > N:nopsL; Idnfando o núro N d ros da lsa L > T:L[N][]-L[][]; T é o nrvalo d po oal. > M:N/; M é o núro d ros q srá allado das sérs d Forr. > for n fro o M do Callando os ros d Forr I > a[n]:/t * s L[][] * sn*p*n*l[][]/t L[][] * sn*p*n*l[][]/t/ * L[][]-L[][],..N-; > [n]:/t * s L[][] * os*p*n*l[][]/t L[][] * os*p*n*l[][]/t/ * L[][]-L[][],..N-; > [n]:sqra[n]^[n]^; > nd do; > Espro:[sq[j/T,[j]],j..M]; Lsa o os dados para grar o gráfo Innsdad Frqüêna Espro d Frqüênas > ploespro; Gráfo do spro d frqüênas > wrdaa"c:/espro.da",espro,[floa,floa]; Salvando ssa lsa no dróro C, por plo. Os. Os oandos aa fora aplados ao prro onjno d dados para or a análs d Forr da onação I para os das é aan o so prosso. Vído para as assas s dsloando no so sndo oo rprodzdo nos gráfos 4 TCC 6 Vído para as assas s dsloando sndos oposos oo rprodzdo nos gráfos 5 6 TCC Vído d onaçõs d ovnos das assas oo rprodzdo nos gráfos 9, TCC 6