CARACTERIZAÇÃO PRELIMINAR DO RUÍDO ESTRUTURAL TRANSMITIDO POR REDES PREDIAIS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA

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1 CARACTERIZAÇÃO PRELIMINAR DO RUÍDO ESTRUTURAL TRANSMITIDO POR REDES PREDIAIS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA ALEXANDRA SOFIA GONÇALVES DA SILVA Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em, ENGENHARIA CIVIL JÚRI: Presidente: Prof. Augusto Martins Gomes Orientador: Prof. Albano Luís Rebelo da Silva das Neves e Sousa Vogais: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro MARÇO DE 2010

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5 i Aos meus pais

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7 iii AGRADECIMENTOS Esta tese resultou de um trabalho constante, munido de empenho e motivação. Durante o seu desenvolvimento houve diversas pessoas que contribuíram e às quais gostaria de deixar o meu agradecimento: Ao meu coordenador Professor Albano Neves e Sousa, por todo o apoio e incentivo demonstrado ao longo da tese, por uma partilha constante do conhecimento sobre o tema, bem como por toda a sua disponibilidade na análise de resultados e na revisão do texto. A todos os autores e investigadores que através do seu trabalho contribuíram para o desenvolvimento do tema, bem como a realização deste trabalho. A todos os amigos que fiz ao longo do meu percurso, pelo apoio, disponibilidade e amizade que desde sempre revelaram, entre eles a Vera Alexandra e a Baiia. Agradeço também ao Ricardo Lory e ao Miguel Moitinho, por todo o seu apoio e disponibilidade que ambos revelaram, em todos os momentos deste trabalho. À Inês Amendoeira, por todos os bons momentos de lazer que passámos juntas, por me ouvir sempre com muita atenção e retribuir com os seus conselhos, seu riso e simpatia. Ao Jorge que me apoiou e incentivou a não desistir daquilo em que acredito. A toda minha família, especialmente aos meus pais, que sempre me incentivaram e aconselharam de modo atingir os meus objectivos, bem como por todos os ensinamentos, a atenção, o amor e compreensão que sempre me deram.

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9 v RESUMO Uma das fontes sonoras usualmente identificadas em edifícios de habitação é o impacto do anel de esgoto em desvios ou terminações de tubos de queda de águas residuais ou o impacto de jactos de água em banheiras. O ruído do escoamento em pressão em canalização de abastecimento de água, associado a problemas de cavitação, é referido com menos frequência, existindo também algumas referências a ruído provocado por variações significativas de pressão organizadas pela oclusão de torneiras ou outro tipo de válvulas. Nesta dissertação é efectuada uma primeira abordagem para a caracterização deste tipo de ruído, sendo utilizados métodos analíticos de análise modal e numéricos de elementos finitos para a modelação da resposta dinâmica de tubos à vista e embebidos em paredes numa primeira fase, e para a modelação do ruído provocado em compartimentos adjacentes, numa segunda fase. Finalmente, é considerado um caso de estudo baseado em registos de variação de pressão medida no interior de tubos de abastecimento de água fria e quente a lavatórios e banheiras durante a manobra de abertura e fecho das respectivas torneiras. PALAVRAS-CHAVE Campos de vibração; Campos sonoros; Transmissão sonora por impacto; Redes prediais; Modelos de previsão; Baixas frequências

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11 vii ABSTRACT One of the sound sources usually identified in residential buildings is the impact of sewage in turns or endings of buildings drainage pipes or the impact of water jets into baths. The noise of pressure flow for water supply, associated with cavitation problems, is pointed out less frequently. There are also cases where noise due to significant pressure variation caused by fast valve occlusion is pointed out. In this thesis, a first approach to the characterisation of this type of noise is made, using analytical methods of modal analysis and numerical finite element methods for modelling the dynamic response of external and internal pipes, in the first stage, and the corresponding noise generated in adjacent rooms, in second stage. Finally, a case study is considered based in records of pressure variation measured inside pipes for hot and cold water supply to baths and sinks when the respective taps are closed. KEYWORDS Vibration fields; Sound fields; Impact sound transmission; networks of water supply; Prediction models; Low frequency

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13 ix ÍNDICE GERAL AGRADECIMENTOS...III RESUMO... V PALAVRAS-CHAVE... V ABSTRACT... VII KEYWORDS... VII ÍNDICE GERAL... IX ABREVIATURAS... XIII GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS... XV 1. INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO OBJECTIVOS ESTRUTURA DE DISSERTAÇÃO RUÍDO GERADO POR SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA NOS EDIFICIOS DE HABITAÇÃO INTRODUÇÃO CAUSAS DO RUÍDO SOLUÇÕES DISPONIVEIS PARA A REDUÇÃO DO RUÍDO CONCLUSÕES MODELOS DE VIBRAÇÃO DE LAJES INTRODUÇÃO MÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOS EQUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACAS MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA Construção do modelo Implementação do modelo...16

14 x 3.5. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA Modelação numérica sem consideração do efeito do amortecimento Modelação numérica considerando o efeito do amortecimento CONCLUSÕES MODELOS DE VIBRAÇÃO DE TROÇOS RECTILÍNEOS DE TUBO INTRODUÇÃO MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UM TUBO RECTILÍNEO SIMPLESMENTE APOIADO Introdução Análise Modal e validação do modelo do tubo Validação da acção dinâmica Análise de modos locais de vibração CONCLUSÕES MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA CANALIZAÇÃO / PAREDE INTRODUÇÃO DESENVOLVIMENTO DO MODELO ANÁLISE DOS RESULTADOS CONCLUSÕES MODELO DO CAMPO SONORO INTRODUÇÃO FUNDAMENTOS TEÓRICOS CAMPO SONORO Equação da onda sonora no ar Solução da equação homogénea da onda sonora FUNDAMENTOS TEORICOS ACOPLAMENTO ENTRE CAMPO DE VIBRAÇÃO E CAMPO SONORO IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO CASO DE ESTUDO CONCLUSÕES CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS...59

15 xi 7.1. CONCLUSÕES TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS...61 NORMAS...62 ANEXOS...I A1 MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DE UMA PLACA...III A2 DADOS INPUT NA MODELAÇÃO NUMÉRICA DA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA... VII A3 DIMENSÕES DO TIJOLO DE ACORDO COM O EUROCÓDIGO 6... IX A4 ACOPLAMENTO ENTRE O CAMPO SONORO DE UM COMPARTIMENTO E CAMPO DE VIBRAÇÃO DE UMA PLACA... XI

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17 xiii ABREVIATURAS FFT Fast Fourier Transform MEF Método dos elementos finitos PVC Cloreto de polivinila

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19 xv GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS A área de actuação da mola (m 2 ); B rigidez de flexão em placas (Nm 2 /m); B rigidez de flexão na forma complexa em placas (Nm 2 /m); B 0 módulo adiabático de volume (Pa); C mn factor de acoplamento estrutura - fluido; D módulo de elasticidade do material (N/m 2 ); D módulo de elasticidade em forma complexa do material (N/m 2 ); I momento de inércia em placas (m 4 /m); E módulo de elasticidade (N/m 2 ); E eq módulo de elasticidade equivalente (N/m 2 ); F força (N); G módulo de distorção (N/m 2 ); I momento de inércia (m 4 ); I momento de inércia em placas (m 4 /m); I eq momento de inércia equivalente numa placa homogénea (m 4 ); L espessura da parede (m); L e comprimento dos elementos finitos da malha (m); L p nível de pressão sonora (db); M momento (Nm); M momento por unidade de área (Nm/m 2 ); N número de modos do sistema de vibração; N F número de forças aplicadas numa placa; P pressão instantânea (Pa); sobrepressão; P atm pressão atmosférica Pa do nível do mar; P 0 pressão estática total (Pa); Q esforço transverso por unidade de comprimento (N/m); R e Número de Reynolds;

20 xvi S área de todas as superfícies envolventes do compartimento (m 2 ); S i área da superfície de um elemento do compartimento (m 2 ); T período (s); T p período do passo; T R tempo de reverberação (s); V volume (m 3 ); V a volume aparente (m 3 ); V volume real (m 3 ); a dimensão segundo o eixo x (m); também utilizado como aceleração (m/s 2 ); b dimensão segundo o eixo y (m); c dimensão segundo o eixo z (m); c 0 velocidade de propagação sonora no ar (m/s); d diâmetro da tubagem (m); f frequência (Hz); f x frequência do modo global de vibração cuja deformação se desenvolve ao longo do eixo x (Hz); f y frequência do modo global de vibração cuja deformação se desenvolve ao longo do eixo y (Hz); f z frequência do modo global de vibração cuja deformação se desenvolve ao longo do eixo z (Hz); f local frequência do modo local de vibração (Hz); g aceleração gravítica 9.8 m/s 2 ; h espessura da placa (m); j constante = -1; k número de onda (rad/m); k p factor de impacto dinâmico l comprimento da tubagem (m); m massa placa (kg); m massa por unidade de área numa placa (kg/m2); p pressão sonora (Pa); s condensação volúmica do ar;

21 xvii t tempo (s); tempo da aceleração brusca na tubagem; v velocidade (m/s); variação; f Intervalo mais pequeno de frequência (Hz); G coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas da força dinâmica; t Intervalo mais pequeno de tempo (s); velocidade potencial (m/s); operador de soma; coeficiente de absorção sonora média das superfícies do compartimento; 1 coeficiente de absorção sonora das superfícies do compartimento; também utilizado como coeficiente de amplitude da componente harmónica; curvatura por flexão (m -1 ); coeficiente de absorção temporal (s -1 ); também utilizado como símbolo de Kronecker; deformação; também utilizado como coeficiente de amortecimento; factor de perdas; comprimento de onda (m) também utilizado como tensor das tensões principais; B máximo comprimento de onda por flexão numa placa (m); lmn funções forma do campo sonoro de compartimentos; m1n1 funções forma do campo de vibração de placas; deslocamentos ocorrem paralelamente ao eixo x (m); viscosidade dinâmica (kg/m.s) coeficiente de Poisson; constante = ; massa volúmica (kg/m 3 ); a massa volúmica aparente (kg/m 3 ); 0 densidade estática do ar (kg/m 3 ); σ tensão (N/m 2 ); ij tensor das tensões faciais num elemento sólido (N/m 2 ); parâmetro de viscosidade (s); viscosidade cinética (m 2 /s)

22 xviii velocidade angular (rad/s); lmn frequências próprias do campo sonoro de compartimentos (rad/s); lmn frequências próprias na forma complexa do campo sonoro de compartimentos (rad/s); m1n1 frequências próprias do campo de vibração de placas (rad/s); m1n1 frequências próprias na forma complexa do campo de vibração de placas (rad/s); deslocamentos ocorrem paralelamente ao eixo y (m); deslocamentos ocorrem paralelamente ao eixo z (m); razão dos calores específicos do ar; diferencial infinitesimal; operador Laplaciano; 2 operador Laplaciano tridimensional; operador de integral;

23 Capítulo 1 Introdução 1 1. INTRODUÇÃO 1.1. MOTIVAÇÃO O intervalo de frequências audíveis estende-se, para uma pessoa jovem e saudável, dos 20 aos Hz [1], designando-se por baixas frequências o intervalo Hz e por altas frequências o intervalo Hz. A transmissão de ruído de precursão pode ser prevista, em determinadas condições, através dos métodos normalizados indicados nos pontos 1 e 2 da norma EN [N.1, N.2]. Essas condições correspondem à instalação de campos de vibração nos elementos de construção e de campo sonoro nos compartimentos adjacentes praticamente difuso, o que significa que os volumes dos compartimentos deverão ser grandes, tipicamente acima dos 50 m 3, e que as frequências de análise deverão ser superiores a 200 Hz. No entanto, é muito frequente encontrar, em edifícios de habitação destinados à hotelaria, compartimentos com volumes inferiores a 50 m 3. Por outro lado, observa-se também que as acções de percussão em edifícios apresentam, em geral, conteúdos energéticos importantes abaixo dos 200 Hz [2]. É também neste intervalo de frequências que os elementos de construção e os volumes de compartimentos apresentam, em geral, as suas frequências naturais de vibração [2]. Assim, tornase importante avaliar a transmissão do ruído de percussão originado por diversos tipos de fontes numa gama de frequências que inclua o intervalo Hz. Uma das fontes naturalmente identificadas nos edifícios de habitação é o impacto do anel de esgoto nos desvios ou terminações de tubos de queda de águas residuais ou o impacto de jactos de água em banheiras. É menos frequente encontrar referências ao ruído de escoamento em pressão em canalizações de abastecimento de água, o qual está normalmente associado a problemas de cavitação. No entanto, a oclusão de torneiras ou válvulas pode dar origem a variações significativas de pressão no interior da canalização, as quais conduzem a vibração das paredes e à consequente geração de ruído [3, 4]. Se, por um lado é relativamente fácil encontrar na bibliografia especializada recomendações para a redução do ruído em instalações [3, 4], por outro lado, constata-se que praticamente não existem referências à caracterização desde tipo de ruído OBJECTIVOS Perante os factos expostos em 1.1, atribui-se à presente dissertação o objectivo de caracterizar numericamente o ruído produzido em compartimentos de pequena dimensão por variações bruscas de pressão em canalizações de abastecimento de água. Para tal, será necessário caracterizar as

24 2 Capítulo 1 Introdução variações de pressão que podem ocorrer em redes deste tipo. Neste caso, optou-se por utilizar registos obtidos por via experimental por outros autores [5]. Será também necessário caracterizar o comportamento dinâmico de canalização corrente em redes de abastecimento de água, bem como a sua interacção com as paredes onde, em geral, estão embebidas. Finalmente, é necessário caracterizar a interacção entre o campo de vibração das paredes excitadas com o campo sonoro instalado nos compartimentos adjacentes ESTRUTURA DE DISSERTAÇÃO No Capítulo 2 é apresentada uma breve descrição de ocorrências de ruído com origem em instalações prediais de abastecimento de água. São também apontadas algumas formas correntes para controlo desse tipo de ruído. A presente dissertação tem por objectivo a caracterização numérica do ruído produzido em compartimentos de edifícios de habitação por variações de pressão em tubos embebidos em paredes, o que será efectuado em diferentes passos. No primeiro passo (Capítulo 3) serão verificadas as condições de modelação dinâmica com base em elementos finitos de laje. Para tal será construído um modelo numérico de uma laje de betão armado sujeita à acção de uma força concentrada, o qual será validado por comparação com um modelo analítico validado experimentalmente por Neves e Sousa [2]. Em seguida será analisado o comportamento do tubo à vista simplesmente apoiado com o objectivo de validar a modelação de uma variação dinâmica da pressão no interior do tubo. Esta fase será executada no Capítulo 4. No Capítulo 5 será desenvolvido um modelo de elementos finitos de um tubo embebido em meio elástico com o objectivo de caracterizar a resposta dinâmica das paredes do tubo embebido à variação da pressão no seu interior. Finalmente, no Capítulo 6, será utilizado um modelo analítico baseado na análise modal, previamente validado experimentalmente por Neves e Sousa [2], para estimativa da pressão sonora num compartimento com uma das paredes incluindo um tubo embebido. Será analisado um caso de estudo baseado em medições da variação de pressão no interior de tubos de abastecimento de água quente e fria a lavatórios e banheiras devidas à manobra de abertura e fecho de torneiras [5]..

25 Capítulo 2 Análise do ruído gerado por redes de abastecimento de água 3 2. RUÍDO GERADO POR SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA NOS EDIFICIOS DE HABITAÇÃO 2.1. INTRODUÇÃO No presente capítulo pretende-se analisar as principais causas de perturbação sonora provocadas por instalações prediais de abastecimento de água, bem como indicar algumas das soluções disponíveis no mercado para reduzir ou atenuar os efeitos de tais perturbações CAUSAS DO RUÍDO As instalações prediais de abastecimento de água não deverão produzir ruídos que interfiram com o conforto dos utentes. Em seguida serão apontadas algumas das causas mais comuns para a produção do ruído neste tipo de instalações. O regime de escoamento dum fluido no interior duma tubagem pode processar-se de modo laminar ou turbulento. A mudança de um escoamento laminar, o qual se processa silenciosamente, para um escoamento turbulento ocorre para valores do número de Reynolds da ordem dos 2000, o qual se define por R e = v d, (2.1) em que R e é o número de Reynolds, v (m/s) é a velocidade média de escoamento, d (m) é o diâmetro da tubagem e (m 2 /s) é a viscosidade cinemática, obtida através da relação =, (2.2) em que (kg/m.s) representa a viscosidade dinâmica e (kg/m 3 ) representa a massa especifica do fluido. No Quadro 2.1 são apresentados alguns dos valores da viscosidade cinemática da água em função da temperatura. Quadro 2.1 Viscosidade cinemática da água [6]. T ( C) (10-6 m 2 /s) 1,57 1,31 1,01 0,80 0,56 0,37 0,30 A circulação da água a velocidade excessiva e/ou a elevadas pressões constitui uma fonte de vibrações, as quais se propagam através da água e das tubagens. De modo a evitar este tipo de

26 4 Capítulo 2 Análise do ruído gerado por redes de abastecimento de água perturbações, a velocidade de circulação da água deverá oscilar entre 0,5 m/s e 2 m/s; caso se pretenda obter elevados níveis de conforto, a velocidade de circulação deverá ficar limitada a 1 m/s. Relativamente aos níveis de pressão na rede de abastecimento de água, estes devem preferencialmente variar entre os 150 kpa e 300 kpa [4 e N.3]. Quando a rede alimenta dispositivos de utilização com possibilidade de oclusão (fecho repentino), como os fluxómetros, ou quando ocorre a interrupção de um elemento de bombagem, e principalmente se a tubagem de alimentação for de pequeno diâmetro (o que faz aumentar a velocidade de escoamento da água), poderão ocorrer fenómenos de choque hidráulico (golpe de aríete), os quais dão origem a ruído. Quando, numa tubagem vertical ocorre um corte do fluxo de água, esta pára quase instantaneamente, devido ao efeito da força de gravidade, verificando-se simultaneamente na tubagem horizontal uma interrupção mais gradual do fluxo de água. Esta redução da velocidade da água na tubagem horizontal vai provocar um retrocesso por efeito do vácuo criado na tubagem vertical, o que produz um choque da água em retorno com a água que se encontra na tubagem vertical. As mudanças bruscas de diâmetro e a existência de singularidades nas redes são duas possíveis causas para a existência de fenómenos de cavitação e turbulência em sistemas de abastecimento, com a consequente produção de ruídos. O ar arrastado no interior das tubagens acumula-se nos pontos altos da rede, provocando, devido à sua compressibilidade, perturbações no escoamento, as quais, por sua vez, conduzem à produção de ruídos. Sempre que as tubagens ficam sujeitas a significativos gradientes térmicos, especificamente no caso de tubagens destinadas a transporte de água quente, ocorrem variações das suas dimensões, consequentemente um reajustamento no posicionamento das tubagens, o que pode também dar origem à produção de ruídos. Por fim, convém referir o funcionamento de instalações elevatórias e/ou sobrepressoras como outra das possíveis causas de produção de ruídos. Sempre que aquelas entram em funcionamento, transmitem vibrações quer às canalizações quer ao edifício, gerando ruídos. Uma vez apresentadas as causas de ruídos gerados ao longo das redes de abastecimento de água, pretende-se analisar algumas das soluções para redução dos mesmos, disponíveis no mercado actual SOLUÇÕES DISPONIVEIS PARA A REDUÇÃO DO RUÍDO Visando impedir os efeitos do golpe de aríete e a consequente produção de ruídos, podem ser instalados reservatórios de amortecimento nos extremos altos das instalações ou junto dos aparelhos ou sistemas que lhes possam dar origem, tais como os representados na Figura 2.1.

27 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 5 Figura 2.1 Câmaras de amortecimento de golpe de aríete [4]. A sobrepressão provocada por um golpe de aríete no interior duma tubagem poderá ser determinada através da expressão P = 19,62 v l g t, (2.3) em que P (kpa) é a sobrepressão, l (m) é o comprimento da tubagem, g (m/s 2 ) é a aceleração da gravidade e t (s) é o tempo de aceleração brusca. Na Figura 2.2 são representados dois tipos de amortecedores disponíveis no mercado bem como alguns exemplos de instalação possíveis. Figura 2.2 Exemplos de um amortecedor de golpe aríete e instalações possíveis [7]. Relativamente ao traçado da rede de abastecimento de água, devem ser evitadas sempre que possível as mudanças de diâmetro e as singularidades, adoptando-se percursos simples e mudanças graduais de diâmetros. Quando as tubagens estão sujeitas a fenómenos vibratórios, devem ser tomadas medidas preventivas de modo a evitar a propagação da vibração ao edifício e, consequentemente, a produção

28 6 Capítulo 2 Análise do ruído gerado por redes de abastecimento de água de ruídos. Este problema pode ser atenuado com recurso à interposição, entre as tubagens e os acessórios de fixação, entre os acessórios de fixação e o suporte, ou entre as tubagens e os elementos atravessados por estas, de materiais isolantes com características elásticas de acordo com o esquema apresentado na Figura 2.3. Figura 2.3 Isolamento de canalizações relativamente aos suportes [4]. De forma a contrariar os efeitos provocados nas tubagens, quando as mesmas estão sujeitas a gradientes térmicos significativos, podem ser inseridas na rede juntas de dilatação como as representadas na Figura 2.4, cujo espaçamento deve depender dos materiais constituintes das tubagens. Figura 2.4 Inserção de juntas de dilatação [4]. Para atenuar os efeitos provocados pela acumulação de ar nos pontos altos da rede de distribuição de água, devem ser instaladas redes com pendentes que facilitem a saída de ar através dos dispositivos de utilização. Nas colunas, quando não for possível a saída de ar por este processo, deverão instalar-se válvulas de purga, como se ilustra na Figura 2.5.

29 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 7 Figura 2.5 Instalação de pendentes e purgadores de ar [4]. O ruído provocado pela vibração resultante do funcionamento das instalações elevatórias e/ou sobrepressoras pode ser atenuado por implantação destas unidades o mais longe possível das zonas habitadas, recorrendo à interposição de embasamentos isolados e fixações elásticas na sua ligação aos elementos de suporte e à inserção de juntas elásticas nas conexões entre os elementos de bombagem e as tubagens de acordo com o ilustrado na Figura 2.6. Figura 2.6 Inserção de juntas elástica [4] CONCLUSÕES No presente capítulo foi possível analisar as principais causas das perturbações sonoras provocadas por instalações prediais de abastecimento de água, bem como algumas formas tendentes de atenuar ou suprimir os seus efeitos. Além da legislação disponível, observou-se que existe um número razoável de soluções disponíveis no mercado com vista à redução dos ruídos provocados por as redes de abastecimento de água. Contudo, praticamente não existem referências à caracterização desde tipo de ruídos, pelo que se

30 8 Capítulo 2 Análise do ruído gerado por redes de abastecimento de água justifica a realização de um estudo numérico com este objectivo. Este estudo será apresentado nos capítulos seguintes.

31 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 9 3. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE LAJES 3.1. INTRODUÇÃO No presente trabalho, optou-se por caracterizar o comportamento dinâmico de canalizações de abastecimento de água através do método de elementos finitos. Para tal, foi utilizado o programa SAP 2000 [8]. Com o objectivo de validar o modelo numérico do comportamento dinâmico das canalizações, construiu-se, numa primeira fase, um modelo numérico de uma laje homogénea sujeita à acção de uma força dinâmica concentrada. O campo de vibração obtido com este modelo foi então comparado com o campo de vibração resultante da aplicação de um modelo analítico baseado no método da análise modal, o qual foi validado experimentalmente em trabalhos anteriores [2] MÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOS Os métodos normalizados a utilizar na previsão da transmissão sonora em edifícios são descritos na norma EN ISO [N.1 e N.2]. Estes métodos baseiam-se nas teorias clássicas da acústica de salas e assumem a instalação de campos sonoros difusos, os quais se caracterizam por uma distribuição uniforme da energia sonora no volume do compartimento e se estabelecem, em geral, para volumes superiores a 50 m 3 e para frequências acima dos 200 Hz. Quando não se verificam estas condições, o que se observa, por exemplo na região de baixas frequências, os métodos normalizados não podem ser aplicados, sendo então necessário empregar métodos de previsão alternativos. Neste trabalho foram aplicados dois métodos alternativos para o cálculo da resposta dinâmica da estrutura: Método analítico baseado na análise modal. Este método calcula a resposta para cada modo natural e recorre ao conceito de sobreposição modal para estimar a resposta global, o que, dependendo do número de modos considerados, pode conduzir a um elevado número de operações que aumentam o tempo de cálculo. Este método de análise modal obriga à dedução de um modelo teórico para cada tipo de geometria regular da placa e para cada tipo de condição de apoio clássica (encastramento, apoio simples ou apoio livre). Método numérico baseado no modelo dos elementos finitos. Este método foi aplicado com o auxílio do programa de cálculo automático, SAP2000 [8], o qual é, entre outros programas de cálculo disponíveis, também adequado à modelação de campos de vibração de sistemas estruturais complexos. Ambos os métodos partem da equação da onda de flexão pura em meio sólido, a qual é válida se o comprimento das ondas de flexão no elemento estrutural, B (m), for grande relativamente às

32 10 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes dimensões da secção transversal [2]. Para elementos de construção correntes, tais como as lajes de pavimento ou paredes, as referidas dimensões são limitadas de acordo com a seguinte regra, B = 6h, onde h (m) é a espessura da laje. O comprimento de onda de flexão em lajes é dado por B 2,5 f 4 B' m'', (3.1) onde: B (Nm) corresponde à rigidez de flexão do elemento estrutural; m (kg/m 2 ) é a massa por unidade de área da placa; e f (Hz) é a frequência de análise [9]. Geralmente para baixas frequências (grandes comprimentos de onda) esta limitação não é crítica EQUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACAS A equação de movimento é a responsável pela caracterização do comportamento vibratório de uma laje. Tal equação é apenas influenciada por ondas de flexão, dado que, na análise da transmissão sonora, estas são as mais importantes [9]. Em seguida, é apresentada a dedução da equação diferencial de movimento de uma laje fina no plano y-z, com deslocamentos, (m), perpendiculares a este e paralelos ao eixo x, de acordo com o trabalho anteriormente desenvolvido por Neves e Sousa [2]. Os deslocamento laterais (m) e (m) ocorrem paralelamente aos eixos y e z, respectivamente. As vibrações geradas numa dada estrutura por um impacto dão origem a campos de deformação pequenos, pelo que é possível considerar a hipótese dos pequenos deslocamentos. Em estado plano de tensão, as extensões segundo x são nulas e os deslocamentos laterais e são desprezáveis. O campo de deformações é assim dado por y = /y e z = /z, para um determinado campo de tensões y e z (Nm 2 ) segundo o plano médio da laje na sua configuração indeformada. Por outro lado, com base na lei de Hooke, o campo de deformações, y e z, relaciona-se com o campo de tensões, y e z, através do módulo de elasticidade, E, do material constituinte [9 a 11]. Em estado plano de tensão, a aplicação da lei de Hooke, tendo em conta o efeito de Poisson, conduz a Eε y = y z e Eε z = z y, onde é o coeficiente de Poisson do material. Através das expressões anteriores e das relações de compatibilidade [12], ε y = x y = x 2 /y 2 e ε z = x z = x 2 /z 2, em que y e z, são respectivamente, as curvaturas segundo as direcções y e z, obtêm-se as seguintes expressões: y = E 1 2 ( y + z ) = Ex y z 2 ; (3.2) z = E 1 2 ( z + y ) = Ex z y 2. (3.3) De acordo com a Figura 3.1, os momentos flectores segundo y e z são dados por:

33 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 11 h/2 M' yz = y xdx = B' 2 y z 2 ; (3.4) -h/2 h/2 M' zy = z xdx = B' 2 z y 2 ; (3.5) -h/2 onde o sinal negativo corresponde a compressões acima da linha neutra. A rigidez de flexão do elemento de laje é dada por B' = h/2 E 1 2 -h/2 x 2 dx = E 1 2 h3 12 = EI' 1 2. (3.6) Figura 3.1 Esforços e tensões num elemento de laje [13]. Os momentos torsores podem ser determinados por h/2 M' yy = M' zz = yz xdx = 2G 2 yz -h/2 onde G é o modulo de distorção [9 a 11], o qual pode ser obtido por h/2 -h/2 x 2 dx = B' (1 ) 2 yz, (3.7) G = E (1 ) E =. 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 + ) (3.8) Para baixas frequências, os comprimentos de onda de flexão são grandes quando comparados com a secção transversal dos elementos correntes estruturais dos edifícios [2, 9]. Assim, a energia cinética utilizada no movimento de rotação é desprezável face à energia cinética utilizada no movimento de translação transversal. Os esforços transversos podem então ser determinados a partir do equilíbrio dos momentos do elemento de laje da Figura 3.1.

34 12 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes Estes esforços são dados por: Q y = M' yz y + M' zz z = B' y 2 y z 2 = B' y 2 ; (3.9 a) Q z = M' yz z onde 2 é o operador Laplaciano. M' zz y = B' z 2 y z 2 = B' z 2 ; (2.9 b) A relação entre os esforços transversos e o movimento transversal é estabelecida pela segunda lei de Newton, expressa por Q y y Q z z = m'' 2 t 2, (3.10) onde m = h (kg/m 2 ) é a massa por unidade de área da laje de massa volúmica (kg/m 3 ) e espessura h (m). Introduzindo as equações (3.9) na equação (3.10), obtém-se onde 4 = 2 ( 2 ) B' 4 = m'' 2 t 2, (3.11). A equação (3.11) corresponde à equação geral das ondas de flexão em lajes [9, 13]. Esta equação será utilizada em seguida para o desenvolvimento de uma expressão para o cálculo do campo de vibrações induzido numa laje por uma força de impacto pontual MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA Construção do modelo A laje mais simples para a análise do efeito dinâmico de um impacto elástico é homogénea de espessura constante e simplesmente apoiada em todo o seu contorno. Nestas condições, existe uma solução exacta para a mobilidade pontual da laje, isto é, para a função de transferência entre uma força de impacto e a velocidade gerada na laje no ponto de aplicação da força [13]. Esta solução pode ser generalizada para outras condições de apoio. Para a determinação da velocidade num dado ponto da laje, considera-se que o campo de deslocamentos,, se desenvolve através de uma função harmónica no tempo, expressa por (y, z, t) = (y, z) e jt, (3.12) em que j = 1 e (rads) é a velocidade angular da onda sonora.

35 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 13 A equação (3.11) da onda de flexão na laje pode ser então escrita na forma 4 (y, z) k 4 (y, z) = 0, (3.13) onde k 4 = m'' 2 /B' é o número de onda de flexão que caracteriza a periocidade da onda no espaço e no tempo [9]. A sua forma inicial é k = /c, onde c (m/s) é a velocidade com que um ponto se move de modo a permanecer na mesma fase do movimento ondulatório. A solução desta equação diferencial depende apenas da definição dos parâmetros geométricos da laje, como a espessura, h, as condições de apoio, e as características do material constituinte, nomeadamente a massa volúmica,, o coeficiente de Poisson,, e o módulo de elasticidade, E. Aplicando o método de Rayleigh [13], é possível determinar a função de forma da deformada modal da laje a partir das funções de forma impostas da deformada modal de vigas fictícias, dispostas segundo as direcções y e z da laje, com largura unitária e condições de apoio idênticas às da laje. A função de forma da laje é então dada por m1n1 (y, z) = m1 (y) n1 (z), (3.14) onde m1 (y) e n1 (z) são as funções de forma das vigas fictícias (a tracejado na Figura 3.2). Numa laje rectangular, de largura b e comprimento c, como a ilustra na Figura 3.2, os deslocamentos segundo o eixo x terão de ser nulos em todo o seu contorno, assim como os momentos flectores. Para que as deformadas modais das vigas sejam compatíveis, os deslocamentos m1 (y) e n1 (z) terão de ser nulos nas coordenadas y=0, y=b, z=0, e z=c. Para as mesmas coordenadas, também as segundas derivadas das funções de forma terão de ser nulas [9, 11, 13 e 14]. Figura 3.2 Dimensões da laje rectangular homogénea [2]. Uma vez que, as funções m1 (y) e n1 (z) têm variáveis independentes, a equação (3.11) poderá ser resolvida, para cada direcção y e z, também de uma forma independente. Assim, para a direcção y, a equação (3.10) é dada por B' 4 y y 4 = m'' 2 y t 2. (3.15)

36 14 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes A solução geral da equação (3.15), escrita em termos da deformada modal m1 (y) da viga fictícia, tem a forma m1 (y) = C 1 sin (Ky) + C 2 cos (Ky) + C 3 sinh (Ky) + C 4 cosh (Ky), (3.16) em que K é uma constante. A função n1 (z) é determinada de forma análoga. Ao resolver a equação (3.16) para as condições de fronteira anteriormente referidas, obtêm-se as funções de forma dos deslocamentos modais da laje, m1n1 (y, z) = A m 1 m1n1sin y b sin n 1 z c, (3.17) onde, para cada par (m 1,n 1 ), A m1n1 corresponde a uma constante de integração. As frequências fundamentais da laje podem então ser determinadas por substituição da equação (3.17) na equação (3.13), obtendo-se m1n1 = B' m'' m 1 b n 1 c. (3.18) A determinação das frequências próprias de um elemento estrutural baseia-se no princípio de conservação de energia de um sistema a oscilar em regime livre. O regime forçado é imposto pela introdução de uma parcela p(y, z, t) no lado esquerdo da equação (3.10), a qual corresponde à aplicação de uma força externa num ponto (y, z) da laje, com direcção perpendicular a esta e intensidade em função do tempo. A equação (3.11) é então reescrita como B' 4 (y, z, t) + m'' 2 (y, z, t) 2 = p(y, z, t). (3.19) t De forma a obter a mobilidade pontual da laje, ou seja, a relação entre a velocidade de vibração num ponto da laje e a força de impacto aplicada, é conveniente apresentar a equação (3.19) em termos da velocidade v x (y, z, t). Uma vez que a análise se restringe a funções sinusoidais no tempo, tem-se que (y, z, t) v x = = j (y, z, t). Assim a equação (3.19) transforma-se em t A solução para a equação (3.20) é dada por B' 4 v x (y, z) m'' 2 v x (y, z) = j p(y, z). (3.20) v x (y, z) = [ ] m1,n1=1 A m1n1 m1n1 (y, z). (3.21) em que m1n1 (y, z) = sin m 1 y b sin n 1 z c são as funções de forma que satisfazem as condições de fronteira de uma laje simplesmente apoiada. Substituindo as equações (3.18) e (3.21) em (3.20), obtém-se

37 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 15 [ A m1n1 ( 2 2 ) m1n1 m1n1 (y, z) ] = j m'' p(y, z). (3.22) m1,n1=1 A constante de integração A m1n1 é determinada pela multiplicação de ambos os membros da equação (3.22) por φ m2n2 e posterior integração na área da laje. Tendo em conta a condição de ortogonalidade dos modos de vibração, obtém-se A m1n1 = j m'' b 0 c 0 p(y, z) m1n1 (y, z) dy dz ( 2 m1n1 2 ) m1n1, (3.23) b onde m1n1 = 0 c 2 (y, z) dy dz. Para uma laje simplesmente apoiada, tem-se m1n1 m1n1 = bc 4. 0 Considerando que a acção externa corresponde a uma força pontual aplicada no ponto (y 0, z 0 ) de amplitude F = p(y, z) dy dz, a função p(y, z) é dada por p(y, z) = F (y y 0 ) ( z z 0 ), (3.24) onde (y - y 0 ) é a função de Dirac, tal que (y y 0 ) = 1, se y = y 0 0, se y y. A função (z - z 0 ) é similar. 0 Introduzindo as equações (3.24) e (3.23) em (3.21), obtém-se o campo de velocidades gerado por uma força pontual de intensidade F numa laje homogénea, simplesmente apoiada, sem perdas por amortecimento Para forças de intensidade unitária, o campo de velocidade descrito pela equação (3.25) corresponde à mobilidade pontual da placa [9]. O efeito de amortecimento no sistema pode ser considerado pela adição, às forças elásticas, de forças viscosas proporcionais à derivada no tempo da deformação [9]. Para variações periódicas da deformação, o principal efeito de amortecimento é a produção de uma diferença de fase entre deformação e tensão [9]. Isto pode ser expresso, em notação complexa, pela rigidez complexa D = D 1 + j D 2. Se o factor de perdas da placa for definido como = = D 2 D 1, onde é o parâmetro de viscosidade do material, então D = D 1 (1 + j ). Assim, a rigidez de flexão da placa é dada, em notação complexa, por v x (y, z) = j 4 F m'' bc m1n1 (y, z) m1n1 (y 0, z 0 ) ( 2 m1n1 2 ) m1,n1=1. (3.25)

38 16 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes A introdução da equação (3.26) na equação (3.13) obriga a que as frequências próprias, m1n1, tenham também de ser expressas em notação complexa, obtendo-se m1n1 = m1n1 1 + j. Assim, a expressão que descreve a mobilidade de um dado ponto da laje é expressa por v x (y, z) F B' = = j E h (1 + j ) = B' (1 + j ). (3.26) 4 m''bc m1n1 (y, z) m1n1 (y 0, z 0 ) m1,n1=1 2 m1n1 (1 + j ) 2. (3.27) Implementação do modelo Com o apoio de um programa computacional, os resultados provenientes da expressão (3.27) foram obtidos com relativa facilidade. O programa de cálculo divide-se numa fase de leitura de dados, input, e numa fase de tratamento dos dados, seguindo-se então a fase de apresentação dos resultados obtidos, output. A fase de tratamento de dados divide-se em duas partes. Na primeira parte são determinados os modos de vibração da laje, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados numa matriz com a forma [m, n, lmn x N laje ]. O parâmetro N laje corresponde ao número de modos da laje considerados, o qual depende da frequência máxima a analisar. Neste estudo são analisadas as frequências compreendidas entre os 2 Hz e os 512 Hz. Porém, de acordo com a expressão (3.27), o campo de vibração da laje resulta do somatório das contribuições de cada modo de vibração, sendo portanto necessário considerar intervalos de frequências mais largos para ter em conta a contribuição dos modos de frequência própria elevada. Considera-se suficiente admitir uma frequência limite quatro vezes superior às frequências máximas de análise anteriormente estabelecidas, pelo que a frequência limite adoptada será: 2048 Hz (4 512 Hz). Na segunda parte da fase de tratamento de dados procedeu-se à resolução da expressão (3.27), o que implica a soma de N laje parcelas, para cada frequência própria compreendida no intervalo de frequências considerado. Uma vez que o intervalo de frequências é relativamente pequeno, o método aplicado na definição do campo de vibração descrito envolve um número também relativamente pequeno de operações, acabando por se tornar extremamente rápido. O código computacional do programa de cálculo, o qual foi elaborado por Neves e Sousa [2], é apresentado no Anexo A1.1.

39 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA Através da aplicação do método dos elementos finitos (MEF) com o programa SAP2000 [8], foi elaborado um modelo numérico do campo de vibração de uma laje homogénea, simplesmente apoiada e sujeita a uma força de impacto pontual unitária. De modo a validar este modelo, foi utilizado o método descrito pela equação (3.27), o qual foi previamente validado, numérica e experimentalmente, por Neves e Sousa [2]. Considerou-se uma laje de betão armado simplesmente apoiada de forma rectangular, com uma área de 5,00 4,00 m 2 e uma espessura de 20 cm. Consideraram-se bordos simplesmente apoiados, uma vez que, de acordo com Neves e Sousa [2], esta condição de apoio é adequada para baixas frequências. A laje foi modelada com elementos rectangulares de laje fina com dimensões definidas com base nos critérios expostos em 3.2. A partir da equação (3.1) e atendendo às propriedades do material constituinte, as quais se descrevem em seguida, verificou-se que os elementos que constituem a malha podem ter um comprimento máximo de 23 cm. Tendo em conta este resultado, o rigor dos resultados pretendidos e os limites de aplicabilidade do método numérico, considerou-se uma malha de elementos quadrados com 20 cm de largura, obtendo-se a laje representada na Figura 3.3. Figura 3.3 Modelo da laje de betão armado com 20 cm de espessura, simplesmente apoiada com dimensões 5,00 4,00 m2. Para o betão armado foram adoptadas as seguintes propriedades: massa volúmica = 2390 kg/m 3 ; módulo de elasticidade E = 30 GPa; e coeficiente de Poisson = 0,2 [15, N.4, N.5]. O factor de perdas da placa,, pode ser descrito, de acordo com a Norma EN [N.1], em função da frequência, f (Hz), através de = 0,005 + m'' 485 f, (3.28)

40 18 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes relacionando-se com o coeficiente de amortecimento por = 2. Como já foi referido anteriormente, o programa SAP2000 [8] permite efectuar a modelação de campos de vibração de sistemas estruturais através da aplicação do método dos elementos finitos, possibilitando a extracção das respostas no tempo dos deslocamentos, velocidades e acelerações nodais. No entanto, pretende-se efectuar a análise dos resultados ao longo da frequência, tornandose assim necessário utilizar a Transformada Rápida de Fourier (FFT) [16] exteriormente ao programa. Apesar de o SAP2000 [8] ser, em princípio, capaz de efectuar a FFT e apresentar os resultados no domínio da frequência, não foi possível obter resultados satisfatórios por esta via. Assim, com o objectivo de calcular o espectro da mobilidade pontual da laje, optou-se por calcular a resposta em velocidade obtida para uma força de impacto pontual de intensidade unitária em todo o intervalo de frequências considerado. Tal como se ilustra na Figura 3.4, este espectro (horizontal) da força de excitação foi depois convertido num sinal no tempo (impulso) para introdução no programa SAP2000 [8], associado a uma força vertical aplicada no ponto 0 de coordenadas (y 0, z 0 ) = (2,4; 2,0) m. As respostas no tempo em termos da velocidade nesse ponto e no ponto 1 de coordenadas (y 1, z 1 ) = (1,6; 1,4) m foram calculadas posteriormente. Figura 3.4 Conversão do espectro horizontal da força de excitação no impulso da força introduzida no SAP 2000 [8]. De seguida, repetiu-se o procedimento aplicando-se a força no ponto 1. Por último, foi aplicada a força no ponto 2 de coordenadas (y 2, z 2 ) = (0,8; 0,8) m, sendo calculada a velocidade no mesmo ponto. A partir das respostas no tempo obtidas com o SAP2000 [8], foram calculadas as mobilidades respectivas através da aplicação do algoritmo da FFT. Estas tarefas foram executadas para três frequências de análise máximas: 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz, de acordo com o organograma ilustrado na Figura 3.5.

41 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 19 Casos de estudo Sem consideração do efeito de amortecimento Com efeito de amortecimento Caso 0 f máx = 512 Hz Caso 1 f máx = 1024 Hz Caso 2 f máx = 2048 Hz Caso 0 f máx = 512 Hz Caso 1 f máx = 1024 Hz Caso 2 f máx = 2048 Hz - v0/f0 - v1/f1 - v2/f2 - v0/f1 - v0/f0 - v1/f1 - v2/f2 - v0/f1 - v0/f0 - v1/f1 - v2/f2 - v0/f1 - v0/f0 - v1/f1 - v2/f2 - v0/f1 - v0/f0 - v1/f1 - v2/f2 - v0/f1 - v0/f0 - v1/f1 - v2/f2 - v0/f1 Figura 3.5 Organograma representativo do estudo desenvolvido ao longo do Capítulo Modelação numérica sem consideração do efeito do amortecimento De seguida são representados os resultados obtidos na modelação numérica e analítica da laje previamente apresentada, sem considerar o efeito do amortecimento. Ao longo do trabalho, optou-se por representar os modos de vibração excitados pela acção dinâmica através de um pequeno triangulo a cheio, colocado sobre o eixo da frequência com indicação do respectivo par representativo do modo, do tipo (m, n). Os modos não excitados serão representados com um pequeno triangulo vazio. Na Figura 3.6 são representadas as funções de mobilidade no ponto 0, (x 0, y 0, z 0 ) = (0,0; 2,4; 2,0) m, obtidas analítica e numericamente até à frequência de 512 Hz, quando a força é aplicada no mesmo ponto para as três frequências máximas de análise. 1,E-03 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/f0 (MEF Hz) v0/f0 (MEF Hz) v0/f0 (MEF Hz) v0/f0 (Eq. 2.27) 1,E-05 1,E-07 (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) (4,1) (2,3) 1,E (4,2) (3,3) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) f (Hz) Figura 3.6 Amplitudes da função mobilidade v0/f0 no ponto 0, de coordenadas (y 0, z 0 ) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, sem consideração do efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz. Na Figura 3.6 verifica-se uma concordância muito boa até aos 225 Hz, entre todas as funções de mobilidade calculadas com MEF e a mobilidade calculada analiticamente através expressão (3.27). Daí em diante, apenas a mobilidade calculada com o MEF para 2048 Hz apresenta uma boa

42 20 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes concordância com a mobilidade calculada analiticamente. Verifica-se assim que a concordância entre as funções de mobilidade obtidas por via numérica e analítica é proporcional ao aumento da frequência de análise. Nas Figuras 3.7 e 3.8 são apresentadas as funções mobilidade obtidas nos pontos 1, (y 1, z 1 ) = (1,6; 1,4) m, e 2, (y 2, z 2 ) = (0,8; 0,8) m, com os métodos numérico e analítico, quando a força de impacto é aplicada no mesmo ponto, para as três frequências máximas de análise. Mag {v} [(m/s)/hz] 1,E-04 v1/f1 (MEF Hz) v1/f1 (MEF Hz) v1/f1 (MEF Hz) v1/f1 (MEF - Eq. 2.27) 1,E-06 1,E-08 (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) (4,1) (2,3) 1,E (4,2) (3,3) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) f (Hz) Figura 3.7 Amplitude da função mobilidade v1/f1 no ponto 1, de coordenadas (y 1, z 1 ) = (1,6; 1,4) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto sem consideração do efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz. Mag {v} [(m/s)/hz] v2/f2 (MEF Hz) v2/f2 (MEF Hz) v2/f2 (MEF Hz) v2/f2 (Eq. 2.27) 1,E-04 1,E-06 1,E-08 (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) (4,1) (2,3) 1,E (4,2) (3,3) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) f (Hz) Figura 3.8 Amplitude da função mobilidade v2/f2 no ponto 2, de coordenadas (y 2, z 2 ) = (0,8; 0,8) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto sem consideração do efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz.

43 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 21 Na Figura 3.9 são apresentados os espectros de Fourier da mobilidade obtidos numérica e analiticamente, no ponto 0 para uma excitação aplicada no ponto 1. 1,E-03 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/f1 (MEF Hz) v0/f1 (MEF Hz) v0/f1 (MEF Hz) v0/f1 (Eq. 2.27) 1,E-05 1,E-07 1,E-09 (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) (4,1) (2,3) (4,2) (3,3) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) 1,E f (Hz) Figura 3.9 Amplitude da função mobilidade v0/f1 no ponto 0, de coordenadas (y 0, z 0 ) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no ponto 1 sem consideração do efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz. As conclusões extraídas da análise da Figura 3.6, aplicam-se também às Figuras 3.7 a 3.8. O modelo de elementos finitos da vibração de uma laje excitada dinamicamente por uma força pontual apresenta uma precisão que depende da máxima frequência de análise considerada na análise modal e também na aplicação do algoritmo inverso da FFT ao espectro da acção e do algoritmo directo à resposta da laje. Para análises até aos 225 Hz, será suficiente considerar uma frequência máxima de 1024 Hz, sendo, no entanto, o erro cometido com uma frequência máxima de 512 Hz ainda aceitável. Para análises até frequências elevadas, tipicamente entre 512 a 1024 Hz, será necessário considerar uma frequência máxima de 2048 Hz Modelação numérica considerando o efeito do amortecimento A consideração do efeito do amortecimento implica o cálculo prévio do factor de perdas,, da laje de acordo com a equação (3.28), a qual, por sua vez, se relaciona com o coeficiente de amortecimento, através de = 2. Deste modo, foi considerada a descrição em frequência apresentada no anexo A2.1, a qual foi fornecida ao programa SAP2000 [8]. Na Figura 3.10 são representadas as funções de mobilidade, obtidas analítica e numericamente, no ponto 0, (y 0, z 0 ) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, para as três frequências máximas de análise.

44 22 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes Nas figuras 3.11 a 3.13 são apresentados os espectros de mobilidade para os casos v1/f1, v2/f2 e v0/f1. 1,E-04 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/f0 (MEF Hz), com amortecimento v0/f0 (MEF Hz), com amortecimento v0/f0 (MEF Hz), com amortecimento v0/f0 ( Eq. 2.27), com amortecimento 1,E-06 (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) (2,3) (4,2) (4,2) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) 1,E f (Hz) Figura 3.10 Amplitudes da função mobilidade v0/f0 no ponto 0, de coordenadas (y 0, z 0 ) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, considerando o efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz. 1,E-04 Mag {v} [(m/s)/hz] v1/f1 (MEF Hz ), com amortecimento v1/f1 (MEF Hz), com amortecimento v1/f1 (MEF Hz), com amortecimento v1/f1 (Eq. 2.27), com amortecimento 1,E-06 (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) (4,1) (2,3) (4,2) (3,3) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) 1,E f (Hz) Figura 3.11 Amplitude da função mobilidade v1/f1 no ponto 1, de coordenadas (y 1, z 1 ) = (1,6; 1,4) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, considerando o efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz.

45 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes 23 1,E-05 Mag {v} [(m/s)/hz] 1,E-06 1,E-07 v2/f2 (MEF Hz), com amortecimento v2/f2 (MEF Hz), com amortecimento v2/f2 (MEF Hz), com amortecimento v2/f2 (Eq. 2.27), com amortecimento (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) (4,1) (2,3) (4,2) (3,3) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) 1,E f (Hz) Figura 3.12 Amplitude da função mobilidade v2/f2 no ponto 2, de coordenadas (y 2, z 2 ) = (0,8; 0,8) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, considerando o efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz. 1,E-04 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/f1 (MEF Hz), com amortecimento v0/f1 (MEF Hz), com amortecimento v0/f1 (MEF Hz), com amortecimento v0/f1 (Eq. 2.27), com amortecimento 1,E-06 (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (1,3) (3,2) (4,1) (2,3) (4,2) (3,3) (1,4) (5,1) (2,4) (4,3) (5,2) (3,4) (6,1) (5,3) 1,E f (Hz) Figura 3.13 Amplitude da função mobilidade v0/f1 no ponto 0, de coordenadas (y 0, z 0 ) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no ponto 1, considerando o efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz. Todos os resultados confirmam as conclusões obtidas em 2.5.1, o que, de resto, já era esperado. A presença do amortecimento parece, no entanto, minimizar o erro obtido para frequências máximas de

46 24 Capítulo 3 Modelos de vibração de lajes análise iguais ao dobro da máxima frequência de interesse, como se observa quando se comparam os espectros da resposta obtidos para frequências máximas de análise de 1024 e 2048 Hz CONCLUSÕES No presente capítulo foram estimados numericamente através do programa SAP2000 [8] os campo de vibração de uma laje homogénea rectangular simplesmente apoiada com e sem amortecimento. Os resultados em causa foram posteriormente comparados, para efeitos de validação, com os obtidos através de um modelo analítico previamente validado. Observou-se que a precisão do modelo numérico depende de uma escolha correcta da máxima frequência de análise e das dimensões dos elementos. As conclusões e experiência adquiridas na execução deste modelo de laje, o qual é relativamente simples, podem agora ser aplicadas no desenvolvimento de um modelo, mais complexo, da vibração de uma canalização excitada não por uma força pontual mas por uma pressão no seu interior.

47 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo MODELOS DE VIBRAÇÃO DE TROÇOS RECTILÍNEOS DE TUBO 4.1. INTRODUÇÃO No presente capítulo pretende-se construir e validar um modelo para estimativa da vibração gerada nas paredes de um tubo por uma variação de pressão no seu interior. Para reduzir o número de variáveis a controlar, optou-se por considerar uma tubagem à vista e não embebida nas paredes, em troços rectilíneos com 2,5 m de comprimento, simplesmente apoiados em ambas as extremidades. Foram ainda considerados dois tipos de material correntemente utilizados na construção, nomeadamente o aço galvanizado (AG) e o policloreto de vínilo (PVC), constituindo este último material apenas utilizado em redes de água fria [4], um exemplo de um material termoplástico mais flexível e, ainda assim, suficientemente rígido para ser utilizado em tubagem à vista MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UM TUBO RECTILÍNEO SIMPLESMENTE APOIADO Introdução Uma vez que os diâmetros dos tubos disponíveis no mercado dependem do material utilizado [4], optou-se, neste trabalho, por adoptar um diâmetro exterior de 30 mm e uma espessura da parede do tubo de 2,7 mm para ambos os materiais considerados, o que permite simplificar as comparações entre os modelos. Foi adoptado um tubo simplesmente apoiado no plano vertical. Numa das extremidades, representada no corte da Figura 4.1, foram aplicados dois apoios fixos de modo a restringir os deslocamentos ao longo dos eixos y e x e na outra extremidade foram colocados dois apoios móveis restringindo apenas os deslocamentos segundo y. Assim, a única diferença de base entre os modelos reside nas propriedades dos materiais, tais como o módulo de elasticidade (E), a massa volúmica (), o coeficiente de Poisson () ou o coeficiente de dilatação térmica ( T ). Nesta fase não foi considerado o efeito do amortecimento dos materiais. No Quadro 4.1 são apresentados os valores considerados para cada propriedade para o AG e o PVC. Quadro 4.1 Propriedades dos materiais [15]. Material E (GPa) (kg/m 3 ) T (C -1 ) AG ,30 2, PVC 2, ,35 4,0 10-5

48 26 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo Análise Modal e validação do modelo do tubo Conforme se observou no Capítulo 3, a previsão do modelo numérico depende das dimensões dos elementos finitos adoptados. Em 3.2 foi indicado que a espessura h e dos elementos deve satisfazer a regra h e B 6, (4.1) onde B é o comprimento das ondas de flexão na parede dos tubos. Este comprimento de onda pode ser calculado com base na expressão (3.1), a qual pode ser escrita em função da velocidade c L de propagação das ondas longitudinais no material, B 1,8 c L h f, (4.2) Para um tubo com parede de espessura h (m). Tendo em conta que a velocidade de propagação das ondas longitudinais é dada por h e = E ( 1 2, (4.3) ) obtêm-se as espessuras máximas dos elementos finitos de casca indicados no Quadro 4.2 para uma frequência máxima de análise de 2048 Hz. Quadro 4.2 Valores limite da espessura dos elementos finitos de casca para uma frequência máxima de análise de 2048 Hz. Material h (mm) c L (m/s) B (m) h e (mm) AG 2,7 5291,3 0,112 18,7 PVC 2,7 1426,5 0,058 9,7 Conclui-se assim que a análise pode ser efectuada com segurança até aos 2048 Hz. Generalizando a discussão anterior à definição da largura dos elementos, optou-se por uma malha de elementos de casca com 10 mm de comprimento e 30 / 16 = 5,89 mm de largura, tal como apresentado na Figura 4.1.

49 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 27 Figura 4.1 Alçado e corte da malha de elementos finitos de tubo simplesmente apoiado com 2,5 m de comprimento e 30 mm de diâmetro. Após a análise modal foram identificados três tipos de modos de vibração fundamentais: modos globais com deslocamentos nos planos xy ou xz, designados por modos transversais, modos globais com deslocamentos segundo y, designados por modos longitudinais; e modos locais com deformação da secção transversal do tubo. Na Figura 4.2 são representados a título ilustrativo, um modo global transversal e um modo local de vibração. Figura 4.2 Exemplo de: a) modo local; b) modo global de vibração do tubo. No Quadro 4.3. e 4.4 são identificados os modos de vibração dos dois tubos analisados para frequências inferiores a 512 Hz. Apresentam-se apenas os modos globais transversais e os modos locais pois os modos longitudinais não são relevantes para a geração de ruído [9]. Optou-se por apresentar apenas os modos globais transversais ao plano xz onde o tubo se encontra de facto simplesmente apoiado. No plano xy, a presença de dois apoios em cada extremidade confere algum grau de encastramento.

50 28 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo Quadro 4.3 Modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de AG. Modo Deformada Modal f z (Hz) Global 1 13,3 Global 2 53,1 Global 3 119,1 Global 4 211,1 Global 5 328,4 Global 6 470,4 Local 1 540,2 Quadro 4.4 Modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de PVC. Modo Deformada Modal f z (Hz) Modo Deformada Modal f z (Hz) Global 1 3,5 Global 8 218,4 Global 2 14,1 Global 9 274,3 Global 3 31,5 Local 2 282,9 Global 4 55,9 Global ,8 Global 5 86,9 Global ,5 Global 6 124,5 Local 2 425,6 Local 1 141,1 Global ,3 Global 7 168,4 Global ,8

51 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 29 Para efeito de validação do modelo, considerou-se a excitação do tubo de AG por uma força exterior vertical (orientada segundo o eixo z ver Figura 4.3), com intensidade unitária para todo o intervalo de frequências de interesse, aplicada no ponto 0, de coordenadas (x, y, z) = (1,250; 0,000; 0,015) m, e estimou-se a velocidade segundo z no mesmo ponto. Figura 4.3 Caso de excitação dinâmica a): força pontual exterior. Esta função de mobilidade foi então comparada com a mobilidade de uma viga simplesmente apoiada modelada com elementos de barra de secção tubular. Na Figura 4.4 são apresentados os espectros de Fourier da amplitude da mobilidade obtidos para ambos os casos, observando-se uma boa concordância entre os resultados apesar da maior flexibilidade apresentada pelo modelo construído com elementos de casca. 1,E+02 1,E+00 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fa - elementos de laje v0/fa - elementos de viga 1,E-02 1,E-04 1,E-06 f1 f2 f3 f4 f5 1,E f (Hz) Figura 4.4 Amplitude da mobilidade pontual estimada em (x, y, z) = (1,250; 0,000; 0,015) m com os modelos do tubo de AG construído com elementos de casca e elementos de viga. Em ambos os casos são excitados os modos globais 1, 3 e 5 no intervalo de frequências de interesse, não sendo excitados, como se esperava, os modos 2 e 4, por apresentarem um ponto nodal (de deslocamento nulo) nas coordenadas do ponto 0.

52 30 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo Validação da acção dinâmica Uma vez que o objectivo final deste capítulo era estimar a resposta dinâmica de um tubo simplesmente apoiado gerada por uma variação de pressão no seu interior, o recurso a forças pontuais deixou de ser possível. Assim, foi considerado um caso de carga b) associado a uma força distribuída exterior (Figura 4.5) de intensidade unitária ao longo de todo o intervalo de frequências aplicadas em quatro elementos de casca em torno do ponto 0. Figura 4.5 Caso de excitação dinâmica b): força distribuída exterior. Nas Figuras 4.6 e 4.7 são apresentadas as respostas em frequência obtidas para a velocidade nos pontos 0 e 1, localizado a 1/3 do vão nas coordenadas (x, y, z) = (0,833; 0,000; 0,015) m, para as excitações dinâmicas a) e b) aplicadas a meio vão (ponto 0). 1,E+00 1,E-02 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fa v1/fa v0/fb v1/fb 1,E-04 1,E-06 1,E-08 f1 f2 f3 f4 f5 f6 1,E f (Hz) Figura 4.6 Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 (1,250; 0,000; 0,015) m e 1 (0,833; 0,000; 0,015) m do tubo de AG para as cargas a) e b) aplicadas em v 0.

53 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 31 1,E+01 1,E-01 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fa v1/fa v0/fb v1/fb 1,E-03 1,E-05 1,E-07 f1 f2 f3 f4 f local 1 f5 f6 f7 f8 f9 1,E f (Hz) Figura 4.7 Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 (1,250; 0,000; 0,015) m e 1 (0,833; 0,000; 0,015) m do tubo de PVC para as cargas a) e b) aplicadas em v 0. Observa-se que os casos de carga a) e b) apresentam espectros de resposta do tubo com formas semelhantes mas de diferentes amplitudes. Tal decorre do facto de a área dos quatro elementos carregados ser igual a 4 5,89 10,00 = 235,6 mm 2, pelo que a força resultante tem intensidade igual a 2, N, sendo assim 4245 vezes menor do que a força pontual de intensidade unitária. Optou-se por manter esta diferença de intensidade por facilitar a leitura dos gráficos. Observa-se ainda, em ambos os casos de carga e para ambos os materiais que, tal como esperado, os modos globais de ordem par (2n) não são excitados no ponto 0 e que os modos globais de ordem múltipla de três (2n-1) não são excitados no ponto 1. Constata-se que tanto para o tubo de AG como para o tubo de PVC, nenhum modo local foi excitado. Esta conclusão foi inesperada, principalmente no caso do tubo de PVC, e será objecto de um estudo mais aprofundado. De qualquer forma, pode considerar-se que a modelação da carga dinâmica distribuída foi validada, podendo então ser generalizada à simulação de uma variação de pressão no interior do tubo. Optouse por efectuar esta generalização em duas fases, considerando primeiro um caso c) correspondente a uma força de distribuída ao longo da superfície interior de uma secção do tubo constituída pelos elementos entre as cotas x = 1,24 m e x = 1,25 m, e depois um caso d) correspondente a uma força distribuída ao longo de toda a superfície interior do tubo (Figura 4.8). Note-se que a consideração de uma acção uniforme não tem em conta a diferença de fase com que a onda resultante da oclusão atinge cada ponto do tubo. No entanto, esta é uma aproximação conservativa da variação de pressão decorrente da manobra de fecho rápido de uma torneira. Mais uma vez, consideram-se intensidades de valor unitário para todo o intervalo de frequências.

54 32 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo Figura 4.8 Casos de excitação dinâmica: c) força distribuída numa secção; e d) força distribuída em toda a superfície interior do tubo. Nas Figuras 4.9 e 4.10 são apresentados os espectros da mobilidade estimada nos pontos 0 e 1 para os casos de carga c) e d) aplicados nos tubos de AG e PVC, respectivamente. 1,E-06 1,E-08 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fc v1/fc v0/fd v1/fd 1,E-10 1,E-12 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f longitudinal 1 1,E f (Hz) Figura 4.9 Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 e 1 para os casos de carga c) e d) aplicados no tubo de AG. Os resultados obtidos não foram os esperados. De facto, esperava-se que acções radiais e axisimétricas fossem capazes de excitar os modos locais sem que, necessariamente fossem excitados os modos globais transversais. Observa-se, contudo, que nem os modos locais nem os modos globais transversais são excitados. Surpreendentemente, são os modos longitudinais que são excitados com maior amplitude.

55 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 33 1,E-05 1,E-07 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fc v1/fc v0/fd v1/fd 1,E-09 1,E-11 f1 f2 f3 f4 f longitudinal 1 f local 1 f5 f6 f7 f8 f longitudinal 2 f9 1,E f (Hz) Figura 4.10 Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 e 1 para os casos de carga c) e d) aplicados no tubo de PVC. Com o objectivo de despistar eventuais erros na definição da acção, optou-se por comparar a mobilidade no ponto 0 obtida no tubo de AG para o caso de carga c) com a mobilidade obtida no mesmo ponto para um caso de carga do tipo deformação imposta, e), correspondente a uma variação uniforme de temperatura de 100 C aplicada no anel definido entre as cotas x = 1,24 e x = 1,25 m. Na Figura 4.11 são apresentados os resultados obtidos e confirma-se que apenas os modos longitudinais são excitados, o que, por um lado, fornece consistência aos resultados, mas, por outro lado, não esclarece porque razão não foram excitados os modos locais. Mag {v} [(m/s)/hz] 1,E+00 1,E-02 v0/fc v0/fe 1,E-04 1,E-06 1,E-08 1,E-10 1,E-12 f longitudinal 1 1,E f (Hz) Figura 4.11 Amplitude da mobilidade estimada no ponto 0 para os casos de carga c) e e) aplicados no tubo de AG.

56 34 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo Análise de modos locais de vibração Com o objectivo de facilitar a excitação dos modos locais, associados à deformação na secção do tubo, optou-se por aumentar o diâmetro do tubo para 90 mm no caso do tubo de PVC e para 300 mm no caso do tubo de AG. O aumento do diâmetro dos tubos aumentou a flexibilidade das suas paredes, reduzindo, dessa forma, as frequências naturais associadas aos modos locais e aumentando, consequentemente, a densidade modal no intervalo de frequências analisado. Por outro lado a rigidez global do tubo aumentou, o que aumenta a frequência dos modos globais transversais. Nos quadros 4.5 e 4.6 são ilustrados alguns modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para os tubos de AG e PVC, respectivamente. Para facilitar a compreensão dos modos locais de vibração, apresenta-se uma ilustração da deformada da secção no plano x = 1,25 m, onde as setas a vermelho correspondem a compressão e as setas a azul à dilatação. Quadro 4.5 Alguns modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de AG. Modo Deformada no plano x = 1,25 m Perspectiva da deformada modal f (Hz) Local 1 68 Global 1 90 Local Local Local

57 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 35 Quadro 4.6 Alguns modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de PVC. Modo Deformada no plano x = 1,25 m Perspectiva da deformada modal f (Hz) Global 1 11 Local Local Global Local Na Figura 4.12 são apresentados os espectros de Fourier da amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 e 1 do tubo de AG para os casos a) e b). Na Figura 4.13 são considerados os casos de carga c) e d). Observa-se que as cargas a) e b) conseguem excitar modos locais mas excitam principalmente os modos globais transversais do tubo. As cargas c) e d) praticamente não excitam os modos globais mas excitam a maioria dos modos locais. Os modos locais não excitados são os que apresentam deslocamento nulo permanente no ponto de medição, como por exemplo, o modo local 8, na frequência de 213 Hz, o qual é ilustrado no Quadro 4.5.

58 36 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 1,E+00 1,E-02 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fa v1/fa v0/fb v1/fb 1,E-04 1,E-06 1,E-08 f local 1 f1 f2 f local 2 f local 3 f local 4 f local 5 f local 6 f local 7 1,E f (Hz) f local 10 f local 12 f local 13 f local 14 f local 15 f local 17 f local 18 f local 19 f local 20 f3 f local 21 f4 f5 f6 f local 22 f local 23 f local 24 Figura 4.12 Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de AG com 300 mm de diâmetro obtida para os casos de carga a) e b). 1,E-03 1,E-05 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fc v1/fc v0/fd v1/fd 1,E-07 1,E-09 1,E-11 f local 1 f1 f2 f local 2 f local 3 f local 4 f local 5 f local 6 f local 7 1,E f local 10 f local 12 f local 13 f local 14 f local 15 f local 17 f local 18 f local 19 f local 20 f3 f local 21 f4 f5 f6 f local 22 f local 23 f local 24 f (Hz) Figura 4.13 Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de AG com 300 mm de diâmetro obtida para os casos de carga c) e d). Para o tubo de PVC com diâmetro de 90 mm obtêm-se conclusões semelhantes, tal como ilustrado pelos espectros de Fourier da mobilidade apresentados nas Figuras 4.14 e 4.15 para os casos de carga a,b) e c,d), respectivamente.

59 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 37 1,E+02 1,E+00 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fa v1/fa v0/fb v1/fb 1,E-02 1,E-04 1,E-06 1,E-08 f1 f2 f3 f longitudinal 1 f4 f local 1 f local 2 f local 3 f local 4 f local 5 f5 f local 6 f local 7 f local 8 f6 f local 9 f local 10 f local 11 f7 f local 12 f8 f local 13 f local 14 f local 15 f local 16 1,E f (Hz) Figura 4.14 Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de PVC com 90 mm de diâmetro obtida para os casos de carga a) e b). 1,E-02 1,E-04 Mag {v} [(m/s)/hz] v0/fc v1/fc v0/fd v1/fd 1,E-06 1,E-08 1,E-10 f1 f2 f3 f longitudinal 1 f4 f local 1 f local 2 f local 3 f local 4 f local 5 f5 f local 6 1,E-12 f (Hz) f local 7 f local 8 f6 f local 9 f local 10 f local 11 f7 f local 12 f8 f local 13 f local 14 f local 15 f local 16 Figura 4.15 Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de PVC com 90 mm de diâmetro obtida para os casos de carga c) e d). Estes resultados estão de acordo com os resultados esperados e parecem indicar que a dificuldade em excitar modos locais em tubo de pequeno diâmetro poderá decorrer de um problema numérico associado à dimensão da malha no plano yz. Para confirmar esta hipótese foram construídos novos modelos do tubo de AG e PVC com 30 mm de diâmetro, com elementos de casca de 5,00 3,93 mm 2, para os casos de carga c) e d), continuando a obter-se resultados idênticos aos apresentados nas Figuras 4.9 e Poderia testar-se uma nova redução das dimensões dos elementos, no entanto, a dimensão do problema a resolver pelo programa de cálculo cresceria bastante e traria problemas

60 38 Capítulo 4 Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo adicionais às fases seguintes deste trabalho, nomeadamente à fase de estimativa da produção de ruído CONCLUSÕES No presente capítulo foi construído e validado um modelo de tubos à vista, simplesmente apoiados em ambas as extremidades, sob a acção dinâmica de uma variação de pressão no seu interior. Concluiu-se que só é possível extrair uma resposta da vibração transversal das paredes do tubo a partir de um determinado diâmetro mínimo. No Capítulo 5, será considerado um tubo de PVC, mais flexível, para estimar o comportamento dinâmico do tubo aquando embebido numa parede.

61 Capítulo 5 Modelo do de vibração do sistema canalização / parede MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA CANALIZAÇÃO / PAREDE 5.1. INTRODUÇÃO No Capítulo 4 foi desenvolvido um modelo de elementos finitos, construído através do programa SAP2000 [8], para estimativa do comportamento dinâmico de tubos à vista sujeitos a variações de pressão no seu interior. Poderia, a partir daqui, estimar-se a produção de ruído directa num compartimento utilizando, para tal, um modelo de fonte sonora linear. No entanto, não é corrente encontrar canalizações de abastecimento de água à vista em edifícios de habitação. Assim, torna-se necessário estimar o comportamento dinâmico dos tubos quando embebidos nas parede. No presente capítulo é estimado o campo de vibração por uma variação da pressão interior gerado num tubo de PVC embebido numa parede de alvenaria DESENVOLVIMENTO DO MODELO Observa-se, no Capítulo 4, que os modos locais de vibração de tubagens à vista só são excitados para diâmetros superiores a um determinado valor mínimo. No caso do tubo de PVC, concluiu-se, de forma iterativa, que o diâmetro mínimo em causa é de 75 mm. Este diâmetro é relativamente grande mas pode ser encontrado em colunas de distribuição colectivas de edifícios altos destinados a habitação. Considerou-se então que o tubo de PVC com 75 mm de diâmetro seria embebido numa parede de alvenaria conforme ilustrado na Figura 5.1. Figura 5.1 Perspectiva da parede de alvenaria com o tubo embebido.

62 40 Capítulo 5 Modelos de vibração do sistema canalização / parede Na construção de paredes de alvenaria em Portugal é correntemente aplicado o tijolo cerâmico furado. Assumiu-se, no presente caso, uma parede com espessura total de 20 cm, constituída por alvenaria simples de tijolo furado com 15 cm rebocada em ambas as faces (Figura 5.2). Assumiu-se ainda a utilização de tijolos do tipo [17]. Figura 5.2 Formato da parede de alvenaria simples. Este tipo de tijolo (Figura 5.3), de acordo com o Eurocódigo 6 [N.7], apresenta septos internos e externos com 6 e 8 mm de espessura, respectivamente. De acordo com Pina dos Santos [17], este tijolo apresenta, em Portugal, espessuras médias de 9 e 11 mm para os septos interiores e exteriores, respectivamente, e um afastamento entre septos de 37 mm na direcção horizontal e 34 mm na direcção vertical. Concluiu-se assim que a área da secção vazia varia entre 188,10 cm 2 [17] e 226,92 cm 2 [N.6], pelo que, assumindo-se o módulo de elasticidade de 13 GPa para o material cerâmico, obteve-se um módulo de elasticidade à tracção equivalente variável entre 5,0 [17] e 6,9 GPa [N.6]. Adoptou-se um valor médio de E = 6,0 GPa. Figura 5.3 Formato do tijolo furado do tipo cm. A forma mais simples de estimar o comportamento de um tubo embebido numa parede, ainda que não sendo a mais precisa, é através da consideração da parede como um meio elástico que confere ao tubo condições de apoio de Winkler [11]. Tal pode ser efectuado com base na consideração de molas radiais conforme ilustrado na Figura 5.4. Essas molas terão diferentes coeficientes de rigidez nas diferentes direcções da parede, mas, para simplificar, e tendo em conta a incerteza na localização do tubo, bem como a eventual existência de descontinuidades entre os tijolos, assume-se que a rigidez será idêntica em todas as direcções.

63 Capítulo 5 Modelo do de vibração do sistema canalização / parede 41 Figura 5.4 Perspectiva e corte do modelo simplificado do tubo em meio elástico de Winkler. Admitiu-se que o tubo se encontra embebido por uma espessura L = (200-75) / 2 = 62,5 mm de parede em todas as direcções, pelo que a rigidez, s, de cada mola é dada por s = EA/L, onde A é a área de influência de cada nó. Uma vez que os elementos são todos iguais, A é área de cada elemento de casca (A = 9,82 10,00 = 98,2 mm 2 ), pelo que s = 6,0 98,210-6 /62, = 9, N/m 9, N/m ANÁLISE DOS RESULTADOS A resposta em termos de velocidade das paredes do tubo à acção do tipo d) definida no Capítulo 4 foi estimada para os 250 pontos da parede do tubo à cota z t = 0,0375 m para frequências até 2048 Hz, o que permite ter confiança nos resultados obtidos até aos 1024 Hz, conforme se concluiu no Capítulo 2. Na Figura 5.5 são apresentados os resultados obtidos. Figura 5.5 Espectros de Fourier da amplitude da velocidade obtidos nos 250 pontos do tubo de PVC com 75 mm à cota z t = 37,5 mm para a carga tipo d).

64 42 Capítulo 5 Modelos de vibração do sistema canalização / parede Na Figura 5.6 são apresentadas particularizações da Figura 5.5 para o ponto 0, com coordenadas (x t, y t, z t ) = (1,250; 0,000; 0,0375) m, e para o ponto 1, com coordenadas (x t, y t, z t ) = (0,833; 0,000; 0,0375) m. 1,E-06 1,E-07 Mag {v} [(m/s)/hz] F1-d (v0) F1-d (v1) 1,E-08 1,E-09 1,E-10 1,E-11 1,E-12 f1 f2 f3 f4 1,E-13 f (Hz) Figura 5.6 Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1, do tubo de PVC com 75 mm de diâmetro para a carga tipo d). Constata-se que apenas os modos longitudinais contribuem significativamente para a resposta. Até aos 1024 Hz não foram identificados na análise modal quaisquer modos locais com contribuição relevante para a deformação segundo o eixo z t CONCLUSÕES Neste capítulo foi construído um modelo simplificado para estimativa do comportamento dinâmico de um tubo de PVC de 75 mm de diâmetro embebido numa parede de alvenaria de 20 cm de espessura. Considerou-se um modelo do tubo apoiado em meio elástico de Winkler, o que rigidificou o sistema, tendo por consequência o desaparecimento de modos locais no intervalo de interesse. Concluiu-se que apenas os modos globais longitudinais contribuem para a resposta em termos de velocidade nos eixos x p ou z t (normal à parede que envolve o tubo). No capítulo seguinte, a resposta em vibração do tubo apresentado na Figura 4.5 será utilizada como acção sobre uma parede de alvenaria para estimar o campo sonoro resultante no compartimento adjacente.

65 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro MODELO DO CAMPO SONORO 6.1. INTRODUÇÃO A modelação do campo sonoro gerado num compartimento devido à vibração de um tubo de abastecimento de água embebido numa parede adjacente pode ser divida em duas fases. A primeira fase foi descrita nos capítulos anteriores, nos quais se procedeu à modelação do campo de vibração do sistema tubo/parede. A segunda fase será desenvolvida no presente capítulo, no qual se pretende efectuar a modelação do campo sonoro do interior do compartimento, tendo em consideração o acoplamento com o campo de vibração da parede com o tubo embebido. A resolução ideal deste problema passaria pela utilização de um modelo numérico de aplicação do método dos elementos finitos, porém o programa SAP2000 [8] não permite modelar a propagação de ondas mecânicas em fluidos e, portanto, não permite modelar a propagação do som no ar. Por outro lado, o programa de elementos finitos para aplicação acústica actualmente a ser desenvolvido no Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do IST, não está disponível para utilização, o que obrigaria a recorrer a programas comerciais como o ABAQUS [18] ou o SYSNOISE [19]. Infelizmente, o elevado custo de aquisição destes programas impossibilita a sua aplicação no âmbito desta dissertação. Assim, optou-se por modelar analiticamente, recorrendo à análise modal, o campo sonoro do compartimento tendo em consideração o acoplamento modal com o campo de vibração da parede com o tubo embebido. Este modelo foi previamente validado por comparação com ensaios experimentais [2] FUNDAMENTOS TEÓRICOS CAMPO SONORO Equação da onda sonora no ar O campo sonoro no interior de um compartimento resulta da sobreposição de um grande número de ondas sonoras simples (esféricas ou planas), as quais se propagam através de um fluido compressível e sem perdas. No caso de compartimentos de dimensões correntes, as ondas sonoras são de pequena amplitude, pelo que a variação da massa volúmica do ar devida às as flutuações de pressão sonora é, também, pequena quando comparada com o valor estático da massa volúmica do ar. Se as flutuações de pressão e de massa volúmica ocorrerem sem transferência de calor, o processo acústico é adiabático e P P = 0 0 (6.1)

66 44 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro e p = P P 0 = B = Bs, (6.2) onde: p (Pa) é a pressão sonora; P e P 0 (Pa) são, respectivamente, as pressões instantânea e estática totais; ρ e ρ 0 (kg/m 3 ) são as massas volúmicas do ar instantânea e estática, respectivamente; = c y c v é a razão dos calores específicos do ar, a qual, para as condições de temperatura e pressão normais, toma o valor de 1,4012 [20]; s = V V = é a condensação volúmica do ar, a qual é muito 0 pequena; e B 0 = 0 P 0, em Pa, é o módulo adiabático de compressibilidade volumétrica. Uma vez que as variações de densidade e pressão, as quais são consideradas variáveis independentes, dependem do tempo, é possível relacionar a velocidade de uma partícula de ar, v, com a massa volúmica instantânea do ar. Para tal, considera-se um elemento infinitesimal dv = dx dy dz fixo no espaço. Devido à conservação de massa, a taxa à qual a massa flui para o interior do elemento através de uma superfície é igual à taxa dv, à qual a massa no interior do t volume do elemento aumenta. Assim, obtém-se t onde ( ) é o operador divergência: ( v) = div ( v). + ( v) = 0, (6.3) Escrevendo na forma = 0 (1 + s) e considerando que a variação de 0 no tempo e no espaço é suficientemente pequena, então a equação (6.3) pode ser simplificada após derivação no tempo para 2 2 t + v 0 t 0. (6.4) Assumindo que o elemento dv, cuja massa infinitesimal é ρ dv, se movimenta com o fluido, é possível aplicar o teorema da quantidade de movimento, obtendo-se a expressão de Euler, onde 2 = é o operador Laplaciano tridimensional. v 0 = 2 p, (6.5) t Introduzindo as equações (6.2) e (6.5) na equação (6.4), obtém-se a equação que governa a propagação das ondas sonoras num fluido

67 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro 45 2 p = 1 c p t 2, (6.6) onde c 0 (m/s) é a velocidade do som definida por c 0 = B 0 0 [14, 21]. Assumindo que o ar é essencialmente seco, a velocidade de propagação do som pode ser aproximada por c 0 = 331, ,15, (6.7) em que ( C)é a temperatura do ar [14] Solução da equação homogénea da onda sonora Em seguida é deduzida a solução da equação homogénea da onda sonora em meios fluidos sem perdas (6.6) para um compartimento com a configuração ilustrada na Figura 6.1. Figura 6.1 Dimensões de um compartimento com planta rectangular. Assume-se que todas as paredes são rígidas, ou seja, que a sua impedância é muito superior à do ar através do qual se propagam as ondas sonoras. Consequentemente, a velocidade das partículas do ar na direcção normal às paredes é zero sobre as paredes. Assumindo, tal como no Capítulo 3, que a velocidade é uma função harmónica do tempo, v = v e jt, a equação (6.5) pode ser escrita na forma, p = j 0 v, (6.8) pelo que as condições de fronteira da equação (6.6) são dadas por: p(0,y,z,t) x = p(a,y,z,t) x = 0 ; (6.9.a) p(x,0,z,t) y = p(x,b,z,t) y = 0 ; (5.9.b)

68 46 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro p(x,y,0,t) z = p(x,y,c,t) z = 0. (5.9.c) Assumindo que a pressão sonora instantânea também é uma função harmónica no tempo, p(x,y,z,t) = p(x,y,z) e jt, a equação (6.6) adquire a forma onde k = c 0 representa o numero de onda. 2 p(x,y,z) + k 2 p(x,y,z) = 0, (6.10) A solução da equação (6.10) é obtida, pelo método de separação de variáveis, para as condições de fronteira (6.9). Após alguma manipulação matemática, obtém-se p lmn (x,y,z) = A lmn cos l x a cos m y b cos n z c, (6.11) onde A lmn é uma constante de integração. Embora as condições iniciais de p(x,y,z,t) = p(x,y,z) e jt não tenham sido definidas, estas existem, sendo necessário encontrar uma solução que as satisfaça. Esta solução pode ser obtida aplicando-se o princípio da sobreposição de efeitos, segundo o qual, a soma das soluções p lmn (x,y,z) é também uma solução de p(x,y,z). Assim, p(x,y,z,t) é dado por uma série de Fourier, ou seja, por uma série de funções de forma dos modos acústicos p(x,y,z,t) = A lmn cos l x a l,m,n=0 cos m y b cos n z c e jt. (6.12) As frequências próprias correspondentes são obtidas por introdução da equação (6.12) na equação (6.6), o que conduz a lmn = c 0 2 l a + m b + n c 2 2. (6.13) 6.3. FUNDAMENTOS TEORICOS ACOPLAMENTO ENTRE CAMPO DE VIBRAÇÃO E CAMPO SONORO Em 6.2 foi deduzida a solução teórica para o campo sonoro no interior de um compartimento delimitado por paredes rígidas. Agora é necessário encontrar uma solução para o campo sonoro excitado pelo movimento oscilatório da parede com o tubo embebido. Para simplificar o problema considera-se que a excitação da parede resulta de uma força pontual.

69 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro 47 Tal como já foi referido na secção anterior, a onda de propagação num meio fluido contínuo, compressível e sem perdas, é dada pela equação (6.6). De acordo com Kihlman [22], esta equação pode ser escrita em função do potencial da velocidade, (x,y,z,t), através de 2 (x,y,z,t) 1 c 0 2 (x,y,z,t) t 2 = 0. (6.14) Considerando um compartimento com geometria idêntica ao da Figura 6.1, onde todas as paredes são rígidas, à excepção de uma, em x = a, que exibe um campo de velocidades, f (y, z) e jt, as condições de fronteira a satisfazer pela equação (6.14) são: 2 (0,y,z,t) x 2 = 0 e 2 (a,y,z,t) x 2 = v x(y,z,t) = f(y,z) e jt ; (6.15.a) 2 (x,0,z,t) y 2 = 2 (x,b,z,t) y 2 = 0 ; (5.15.b) 2 (x,y,0,t) z 2 = 2 (x,y,c,t) z 2 = 0. (5.15.c) Introduzindo a solução particular (x,y,z,t), a equação (6.14), escrita em termos de (x,y,z,t), com condições de fronteira não homogéneas, pode ser transformada numa equação em termos de 1 (x,y,z,t) com condições de fronteira homogéneas [22], em que 1 (x,y,z,t) = (x,y,z,t) (x,y,z,t). (6.16) A solução (x,y,z,t) satisfaz as mesmas condições de fronteira de (x,y,z,t): 2 (0,y,z,t) x 2 = 0 e 2 (a,y,z,t) x 2 = f(y,z) ejt ; (6.17.a) 2 (x,0,z,t) y 2 = 2 (x,b,z,t) y 2 = 0 ; (5.17.b) 2 (x,y,0,t) z 2 = 2 (x,y,c,t) z 2 = 0. (5.17.c) Na função (x,y,z,t), t pode ser considerado um parâmetro porque a análise se restringe a funções harmónicas no tempo. Assumindo que, para as condições de fronteira (5.17) (x,y,z) satisfaz a equação de Laplace, 2 (x,y,z,t) = 0, a qual é separável, então a sua solução é dada por Kihlman [22] como

70 48 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro (x,y,z,t) = A mn 2cosh m,n=1 2 m b + n c 2 x cos m y b cos n z c e jt, (6.18) onde A mn é uma constante de integração. Introduzindo a equação (6.18) na equação (6.17.a) para x = a e multiplicando-se ambos os termos da equação resultante pela função ortogonal cos m y b cos n z c, obtém-se, após integração na superfície da parede, A mn = 2C mn bc C 1 sinh( C 1 a ), (6.19) onde C 1 = m y b + n z c 2 2 e C mn é dado por b C mn = 0 c 0 f(y, z) cos m y b cos n z c dy dz. (6.20) Como (x,y,z,t) satisfaz a equação de Laplace, introduzindo a equação (6.16) em (6.14), obtém-se 2 1 (x,y,z,t) (x,y,z,t) 2 c 0 t 2 = 2 1 (x,y,z,t) 2 = (x,y,z,t), (6.21) t onde a solução particular (x,y,z,t) é dada por uma série de funções de forma (x,y,z,t) = m,n=1 A mn 22 c 0 2 cosh 2 m b + n c 2 x cos m y b cos n z c e jt. (6.22) Como definido anteriormente, as condições de fronteira da equação (6.21) são homogéneas e podem ser escritas como 1 (0,y,z,t) x = 1 (a,y,z,t) x =0 (6.23.a) e 1 (x,0,z,t) y = 1 (x,b,z,t) y = 1 (x,y,0,t) z = 1 (x,y,c,t) z = 0. (5.23.b) Portanto, o potencial da velocidade 1 (x,y,z,t) pode também ser escrito como uma expansão de Fourier,

71 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro 49 1 (x,y,z,t) = [ ] l,m,n=1 A 1,lmn lmn (x,y,z) e jt, (6.24) onde lmn (x,y,z) são as funções de forma que satisfazem a equação homogénea da onda sonora, 2 lmn (x,y,z,t) 1 c lmn (x,y,z,t) t 2 = 0. (6.25) Para condições de fronteira análogas à equação (6.23), as funções lmn (x,y,z) têm a forma, já apresentada na secção lmn (x,y,z) = cos l x a cos m y b cos n z c, (6.26) sendo as frequências próprias correspondentes dadas pela equação (6.13). Introduzindo as equações (6.13), (6.24) e (6.26) na equação (6.21) e multiplicando ambos os lados da equação resultante pela função lmn (x,y,z), obtém-se, após integração volúmica e tendo em conta pelas condições de ortogonalidade, a solução estacionária de 1 (x,y,z,t), onde lmn é dado por, 8c 1 (x,y,z,t) = 2 0 lmn lmn (x,y,z) abc( 2 lmn 2 ) l,m,n=1 e jt, (6.27) lmn = A 2 ( 1) l bc sinh( C 1 a) mn 2 c 0 2 C C 1 l a 2. (6.28) O potencial da velocidade, (x,y,z,t), que satisfaz a equação (6.14), também pode ser escrito como uma série de funções de forma que satisfazem condições de fronteira homogéneas [22]. Logo, as funções de forma e as frequências próprias correspondentes podem ser dadas pelas equações (6.26) e (6.13). A equação (6.16) pode ser agora escrita na forma [ ] l,m,n=1 A 2,lmn lmn(x,y,z) e jt 1 (x,y,z,t) = (x,y,z,t). (6.29) Introduzindo as Equações (6.18), (6.19), (6.27) e (6.28) na equação (6.29) e multiplicando ambos os lados da equação resultante pela função ortogonal l*m*n*(x,y,z), obtém-se, após integração volúmica e tendo em conta as condições de ortogonalidade, a constante A 2,lmn = 8c 0 2 ( 1) l C mn abc ( lmn 2 2. (6.30) )

72 50 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro A solução estacionária de (x,y,z,t) é então dada por 1 (x,y,z,t) = l,m,n=1 8c 02 ( 1) l C mn lmn (x,y,z) abc ( lmn 2 2 e jt. (6.31) ) O campo de pressões sonoras pode ser calculado, com base na equação (6.8), fazendo p(x,y,z,t) = j 0 (x,y,z,t). (6.32) Através das equações (6.31) e (6.32) é possível estabelecer, para uma dada frequência,, uma relação entre o campo de vibração de uma parede e o campo sonoro no interior de um compartimento. O campo sonoro total é determinado por sobreposição modal. A solução (6.31) foi desenvolvida para compartimentos sem perdas. No entanto, a solução também pode ser utilizada para salas com pequenas perdas, através da introdução de frequências próprias na forma complexa, as quais são dadas por lmn lmn 1 + j 2, (6.33) em que é o factor de perdas. O factor de perdas pode ser obtido a partir do tempo de reverberação, T R (s), do comprimento através de = ln 106 lmnt 13,8. (6.34) R lmnt R O tempo de reverberação pode ser calculado pela expressão de Sabine, na sua forma mais simples, T R = 0,161 V S, (6.35) onde: V (m 3 ) e S (m 2 ) são, respectivamente, o volume e área total das superfícies envolventes da sala; é o coeficiente de absorção sonora médio da sala. Este coeficiente é calculado através do coeficiente de absorção, i, do material de cada superfície S i, utilizando-se a fórmula 1 = S S i i, (6.36) i Para o intervalo de frequências considerado, a absorção sonora das superfícies das paredes e pavimentos correntes nos edifícios de habitação é pequena em geral [2, 23, 24]. Por outro lado, nesta gama de frequências, a variação dos coeficientes de absorção das superfícies dos compartimentos é pequena. A norma EN [N.7] afirma que, desde que os compartimentos tenham geometria regular e absorção sonora distribuída uniformemente, a equação (6.35) pode ser utilizada podendo ainda assumir-se que a atenuação do som pelo ar é muito baixa e a presença de objectos de dimensão corrente é desprezável (inferior aos comprimentos de onda em análise) [24].

73 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro 51 Introduzindo a equação (6.34) em (6.33), obtém-se lmn lmn 1 + j 6,9 = lmn + j 6,9 lmn T R T = lmn + j, (6.37) R onde = 6,9 T R representa um coeficiente de absorção temporal. O campo sonoro gerado pela vibração de uma laje, com pequenas perdas, no interior de um compartimento é dado então pela expressão p(x,y,z,t) = j 0 l,m,n=1 8c 02 ( 1) l C mn lmn (x,y,z) abc [( ) ] lmn + j 2 2 e jt. (6.38) Neste trabalho é analisado apenas o caso em que a parede se encontra simplesmente apoiada. Neste caso, o parâmetro C mn é determinado pela introdução, na equação (6.20), do campo de velocidades v x (y, z) gerado por uma força pontual aplicada em lajes homogéneas simplesmente apoiadas, o qual se relaciona com o campo de velocidade complexas da laje, dada pela expressão (3.27), através de v x (x,y) = a x (x,y) j. Após integração obtém-se o factor de acoplamento C mn = j 42 F m''bcm1, m1=1 m 1 n 1 (y 0, z 0 ) 2 m 1 n 1 ( 1 + j ) 2 [( 1) m 1 +m 1 ] [( 1) n 1 +n 1] m 1 n m 1 m n n (6.39) O campo de pressões sonoras de um compartimento, gerado pela vibração de uma parede, é obtido pela introdução da equação (6.39) na equação (6.38). O modelo analítico apresentado foi experimentalmente validado num estudo desenvolvido por Neves e Sousa [2]. O método é adequado para o cálculo de campos sonoros em salas rectangulares com uma das superfícies sujeita à acção de uma força de impacto pontual IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO Analogamente ao modelo teórico descrito em 3.4, o modelo descrito pela equação (6.38) também é de fácil implementação num programa computacional. Neste caso, a fase de tratamento de dados divide-se em três partes. A primeira parte determina os modos de vibração da laje, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados numa matriz, tal como foi descrito na secção Na segunda parte são determinados os modos acústicos

74 52 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro do compartimento, os quais são posteriormente contados, ordenados e armazenados numa matriz com a forma [l, m, n, lmn x N sala ], onde N sala é o número de modos acústicos do compartimento considerado. Como já foi referido, neste estudo, são analisadas as frequências compreendidas entre os 0 e os 512 Hz. Porém, de acordo com a equação (6.38), o campo sonoro no compartimento resulta do somatório de contribuições de cada modo acústico do compartimento e de cada modo de vibração da laje, sendo assim necessário considerar um intervalo de frequências mais extenso, com uma frequência máxima preferencial de 2048 Hz 0. A terceira parte corresponde à resolução da equação (6.38). Esta parte implica a soma de N laje N sala parcelas, para cada frequência compreendida entre os 0 e os 2048 Hz. Apesar do número exaustivo de operações, a aplicação do método analítico através de um programa computacional é ainda suficientemente rápida. O código computacional correspondente às três fases de tratamento de trabalhos é apresentado no Anexo CASO DE ESTUDO O modelo descrito pela equação (6.38) foi desenvolvido para estimar o campo sonoro gerado por forças de impacto pontuais actuantes numa das superfícies de um compartimento. No caso em estudo, a fonte de vibração é a variação de pressão no interior de um tubo de abastecimento de água provocada pela oclusão de uma válvula na torneira. No Capítulo 5 foi calculada a vibração das paredes de um tubo de PVC com 75 mm de diâmetro e 2,5 m de comprimento embebido numa parede de alvenaria simples de tijolo cerâmico furado rebocada em ambas as faces com 20 cm de espessura total (Figura 5.5). Os espectros de Fourier de amplitude da velocidade da parede do tubo registados na Figura 5.5 podem ser facilmente convertidos em espectros de aceleração ( a = v j ) e, posteriormente, em espectros de força, considerando F = a m, onde m é a massa associada a cada nó do modelo. Estas forças correspondem à acção que será exercida em cada ponto pelo tubo na parede para uma variação de pressão, no interior do tubo, de amplitude unitária em todo o intervalo de frequências de interesse. A resposta acústica do compartimento pode agora ser estimada a partir da expressão (6.38) aplicada sucessivamente para todos os pontos do tubo. Na Figura 6.2, apresenta-se uma ilustração do método de cálculo proposto. Assumiu-se para a parede de alvenaria uma massa volúmica equivalente de 1000 kg/m 3 [15, 17, N.6] e um módulo de elasticidade (à flexão) de 6,5 GPa [25, 26]. Considerou-se um compartimento com profundidade a = 5,0 m, com uma parede da envolvente com bc =2,50 4,00 m 2 incluindo o tubo embebido à cota z p = 4b / 11 1,46 m. Considerou-se o amortecimento dado pela equação (3.28).

75 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro 53 Modelo numérico do sistema tubagem/parede. Modelo analítico da parede de referência sujeita a uma soma de cargas pontuais equivalente à acção da tubagem. Modelo analítico do campo sonoro de um compartimento gerado pela parede em vibração por acção da força pontual actuante na tubagem. Figura 6.2 Esquema ilustrativo do processo de cálculo do campo sonoro, gerado num compartimento pela oclusão de uma válvula ou torneira num tubo embebido numa parede adjacente. Esta posição foi escolhida de modo a evitar colocar o tubo numa linha nodal da parede, garantindo assim que todos os modos globais da parede são excitados e maximizando-se a resposta acústica do compartimento [2]. A pressão sonora resultante foi avaliada no canto inferior do compartimento mais afastado da parede vibrante, a uma distância de 40 cm das três superfícies que formam o canto. Na Figura 6.3 é ilustrado o compartimento em análise e são indicadas as posições do tubo e do ponto de avaliação da pressão sonora. Esta posição garante uma resposta acústica do compartimento com maior contribuição do maior número possível de modos acústicos [2]. Na Figura 6.4 é apresentado o espectro de Fourier do nível sonoro Mag {p} registado no canto do compartimento para a variação de pressão no interior do tubo de amplitude unitária para o intervalo de frequências considerado. O espectro de nível sonoro é apresentado apenas até aos 225 Hz devido a limitações do programa de cálculo. Note-se que, como foi referido em 6.4, à medida que a máxima frequência de análise aumenta, maior é o número de operações a realizar pelo programa. Note-se ainda que o número N sala de modos acústicos do compartimento cresce muito rapidamente como o aumento das dimensões do compartimento.

76 54 Capítulo 6 Modelo do campo sonoro Figura 6.3 Ilustração do compartimento e localização do tubo e do ponto de avaliação da pressão sonora. Por exemplo, para o compartimento em causa, com um volume de 50 m 3, N sala = 4188 até aos 900 Hz = Hz e N sala = até aos 2048 Hz = Hz. Tendo em conta que a resposta acústica resulta da soma das respostas calculadas para a força aplicada em cada um dos 250 pontos considerados para a discretização do tubo nos 2,50 m de altura da parede, conclui-se facilmente que o tempo de cálculo para uma frequência máxima de 2048 Hz seria extremamente longo. Assim, optou-se por calcular a resposta acústica apenas até aos 225 Hz. Mag {p } (Pa/Hz) 1,0E-05 1,0E-06 1,0E-07 1,0E-08 1,0E-09 1,0E-10 (1, 0, 0) (0, 0, 1) (1, 0, 1) (2, 0, 0) (1, 1, 0) (2, 0, 1) (0, 0, 2) (1, 0, 2) (2, 1, 0) (3, 0, 0) 1,0E (3, 0, 1) (3, 1, 0) (2, 2, 2) (3, 0, 2) (0, 2, 0) (1, 0, 2) (4, 0, 1) (3, 1, 2) (2, 2, 0) (0, 2, 2) (1, 2, 2) (3, 2, 0) (2, 2, 2) (5, 1, 0) (3, 2, 2) (4, 2, 0) (3, 0, 4) (5, 1, 2) (0, 3, 0) (1, 3, 1) (5, 2, 0) f (Hz) Figura 6.4 Nível sonoro no canto do compartimento registado para uma variação de pressão no interior do tubo de amplitude unitária no intervalo de frequências considerado. Tendo em conta a Figura 6.4, conclui-se que nesse intervalo de frequências, a acção dinâmica exercida na parede pelo tubo não é significativa, pelo que é natural que a resposta do compartimento seja pouco significativa e totalmente controlada pelos modos acústicos do compartimento (indicados