Modelação da Transmissão de Ruído de Impacto de Baixa Frequência em Pavimento de Madeira

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1 Modelação da Transmissão de Ruído de Impacto de Baixa Frequência em Pavimento de Madeira MARTINHO MONTEIRO DE BARROS GIRÃO MARQUES Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em ENGENHARIA CIVIL Júri Presidente: Prof. Augusto Gomes Martins Orientador: Prof. Albano Luís Rebelo da Silva das Neves e Sousa Vogais: Prof. Jorge Miguel Silveira Filipe Mascarenhas Proença Janeiro de 2009

2 AGRADECIMENTOS Queria agradecer ao meu Orientador, o Professor Albano Neves e Sousa, a oportunidade que me deu em poder fazer esta tese, em segundo lugar, agradecer-lhe a sua disponibilidade, assim como as preciosas ajudas que me foi dando, que tornaram esta dissertação num trabalho aliciante e motivador. Muito obrigado. Queria também agradecer a disponibilidade da sua secretária Alexandra Baixo. i

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4 RESUMO No actual contexto de sustentabilidade ambiental e energética, tem vindo a impôr-se, na Europa, uma tendência para reforçar a utilização de materiais facilmente recicláveis. A madeira inclui-se nesse conjunto de materiais, pelo que, recuperando técnicas de construção mais tradicionais, começa a ser mais frequente a sua utilização como material estrutural em edifícios de menor dimensão. Nestes casos, como já acontecia nos edifícios construídos até ao final do séc.xix, e como também acontece nos edifícios de estrutura mista aço/betão, o isolamento a ruído de percussão constitui um problema, por vezes, de difícil resolução. De facto, nestes pavimentos leves de madeira, a sua flexibilidade combinada com as características dos compartimentos dos edifícios correntes e com as características dinâmicas das acções de percussão (impacto) correntes em edifícios, cria condições de campo sonoro modal, na gama das baixas frequências, as quais impedem a aplicação dos métodos clássicos de acústica de edifícios para medição e previsão de campos sonoros. Nesta dissertação é testado um método analítico de previsão da transmissão de ruído de percussão em pavimentos vigados de madeira, o qual se baseia em análise modal. O método é comparado com outro método numérico (elementos finitos), previamente validado, com o objectivo de identificar os seus limites de aplicação. Palavras Chave: Baixa frequência; Som; Vibração; Baixa frequência; Pavimentos; Madeira; Mobilidade. iii

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6 ABSTRACT In the scope of environmental and energetic sustainability, a trend to increase the use of material easily recyclable materials has been increasing in Europe. As wood is included in this set of materials, old construction techniques are being recovered, and this material starts to be used more often as a structural material in small buildings. In these cases, as used to occur in buildings older than our century, and also as occurs in buildings with steel/concrete composite structures, impact sound isolation, is, sometimes, a problem which is hard to solve. Indeed, in this type of lightweight floors, its flexibility, combined with the characteristics of current rooms and with the dynamic characteristics of current impact forces, creates conditions for modal sound fields at low frequencies. Thus, the classical methods of room and building acoustics are no longer applicable. In this thesis, an analytical method for the prediction of impact sound transmission through wood joist floors, based in natural mode analysis, is tested. The method is compared with another numerical method (finite elements) previously validated, in order to identify its limits of validity. Keywords: Sound; Vibration; Low frequency; Floors, Wood; Mobility. v

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8 INDICE RESUMO...iii ABSTRACT... v 1. INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO OBJECTIVOS ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS INTRODUÇÃO EQUAÇÃO DA ONDA DE FLEXÃO EM PLACAS PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA Descrição do modelo Implementação do modelo PLACA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA Descrição do modelo Implementação do modelo VALIDAÇÃO DO MODELO INTRODUÇÃO ENSAIOS DE LABORATÓRIO DE MAYR E NIGHTINGALE Descrição geral Pavimento de teste em Plexiglas Pavimento de teste em madeira VALIDAÇÃO NUMÉRICA Descrição do processo de validação Pavimento homogéneo Pavimentos ortotrópicos leves VALIDAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO Pavimento de teste em Plexiglas Pavimento de teste de madeira CONCLUSÕES ANÁLISE PARAMÉTRICA INTRODUÇÃO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE PAVIMENTOS DE MADEIRA ANÁLISE PARAMÉTRICA Análise preliminar vii

9 Identificação de comportamentos tipo DEFINIÇÃO DO CRITÉRIO DE VALIDADE DO MODELO ANALÍTICO CONCLUSÃO CAMPO SONORO INTRODUÇÃO DESCRIÇÃO DO MODELO Solução da equação homogénea da onda sonora Acoplamento entre o campo de vibração e o campo sonoro CASO DE ESTUDO IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO CONCLUSÃO CONCLUSÃO SUMÁRIO E CONCLUSÕES TRABALHOS FUTUROS BIBLIOGRAFIA LIVROS, TESES, OU ARTIGOS SÍTIOS NA INTERNET REGULAMENTAÇÃO ANEXO ANEXO viii

10 GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS B rigidez de flexão de uma viga ; B rigidez de flexão em placas (Nm 2 /m); B rigidez de flexão na forma complexa em placas (Nm 2 /m); B 0 módulo adiabático de volume (Pa); C mn factor de acoplamento estrutura-fluido; D módulo de rigidez do material (N/m 2 ); D módulo de rigidez em forma complexa do material (N/m 2 ); E módulo de elasticidade (N/m 2 ); E eq módulo de elasticidade equivalente para uma placa homogénea (N/m 2 ); F força (N); F(t) força dinâmica vertical induzida pela acção humana G módulo de distorção (N/m 2 ); também utilizado como peso estático de um indivíduo; I momento de inércia (m 4 ); I momento de inércia em placas (m 4 /m); I eq momento de inércia equivalente numa placa homogénea (m 4 ); J J - momento de inércia de torção L p nível de pressão sonora (db); M momento flector ou torçor (Nm); M momento por unidade de área (Nm/m 2 ); N número de modos do sistema de vibração; N F número de forças aplicadas numa placa; P pressão instantânea (Pa); P atm pressão atmosférica Pa do nível do mar; P 0 pressão instantânea estática do ar (Pa); Q esforço transverso por unidade de comprimento (N/m); RH humidade relativa (%); S área de todas as superfícies envolventes do compartimento (m 2 ); S i área da superfície de um elemento do compartimento (m 2 ); T período (s); T p período do passo; T R tempo de reverberação (s); V volume (m 3 ); V a volume aparente (m 3 ); a dimensão segundo o eixo x (m); também utilizado como aceleração (m/s 2 ); b dimensão segundo o eixo y na placa (m); ix

11 c dimensão segundo o eixo z na placa (m), ou velocidade de propagação do som em meio sólido (m/s); c 0 velocidade de propagação sonora no ar (m/s); f frequência (Hz); g aceleração gravitica 9.8 m/s 2 ; h espessura da placa (m); j constante = -1; k número de onda (rad/m); k p factor de impacto dinâmico l s comprimento do passo (m) m massa (kg/m); m massa por unidade de área numa placa (kg/m 2 ); p pressão sonora (Pa); s condensação volúmica do ar; t tempo (s); t p duração de contacto (s); v velocidade (m/s); v s velocidade de marcha (m/s) Δ variação; ΔG Coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas da força dinâmica; Χ termo fonte (m -1 s -1 ); Φ termo fonte de velocidade potencial (m/s); Ψ velocidade potencial (m/s); Σ operador de soma; α coeficiente de absorção sonora média das superfícies do compartimento α i coeficiente de absorção sonora das superfícies do compartimento; também utilizado como coeficiente de amplitude da componente harmónica; χ curvatura por flexão (m -1 ); δ coeficiente de absorção temporal (s -1 ); também utilizado como símbolo de Kronecker; ε deformação (também utilizado como coeficiente de amortecimento); φ i ângulo de desfasamento da componente harmónica γ razão do calor especifico = do ar; η factor de perdas; λ comprimento de onda (m); também utilizado como tensor das tensões principais λ B máximo comprimento de onda por flexão numa placa (m); ϕ lmn funções forma do campo sonoro de compartimentos; ϕ m1 n 1 funções forma do campo de vibração de placas; μ deslocamento paralelo ao eixo x (m); ν Coeficiente de Poisson; π constante = ; θ temperatura (ºC); ρ massa volúmica (kg/m 3 ); ρ a massa volúmica aparente (kg/m 3 ); x

12 ρ 0 densidade estática do ar (kg/m 3 ); σ tensão (N/m 2 ); σ ij tensor das tensões faciais num elemento sólido (N/m 2 ); υ parâmetro de viscosidade do material (s); ω velocidade angular (rad/s); ω lmn frequências próprias do campo sonoro de compartimentos (rad/s); ω lmn frequências próprias na forma complexa do campo sonoro de compartimentos (rad/s); ω m1 frequências próprias do campo de vibração de placas (rad/s); n 1 ω m1 frequências próprias na forma complexa do campo de vibração de placas (rad/s); n 1 ξ deslocamentos laterais paralelos ao eixo y (m); ζ deslocamentos laterais paralelos ao eixo z (m); diferencial infinitesimal; operador divergência; 2 operador Laplaciano tridimensional; Λ m1 norma, conforme indicado na equação (21) n 1 operador de integral. xi

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14 1. INTRODUÇÃO 1.1. MOTIVAÇÃO A transmissão de ruído de baixa frequência (20 a 200 Hz) é um problema que não pode ser resolvido com recurso às teorias clássicas da acústica de espaços fechados. De facto, no domínio das baixas frequências, os campos sonoros apresentam um comportamento modal (e não difuso), ocorrendo, portanto, um forte acoplamento modal com os campos vibratórios instalados nas superfícies da envolvente dos espaços. Assim, as normas actualmente existentes, quer para a medição, quer para a previsão da transmissão sonora, não se aplicam à transmissão de ruído de baixa frequência [N.1 - N.2]. No entanto, no que se refere à medição da transmissão sonora em laboratório, a norma EN 140 [N.1] apresenta um anexo relativo à medição nas bandas de terços de oitava de 50 e 80 Hz. Neste anexo são indicados alguns cuidados a ter de modo a criar ambientes sonoros quase difusos que permitam a aplicabilidade dos métodos de medição preconizados para as bandas de terços de oitava de 100 a 3150 Hz. No que se refere à previsão da transmissão de ruído de baixa frequência, existem alguns métodos disponíveis, os quais foram apresentados em trabalhos de investigação relativamente recentes [1 a 3]. Estes métodos podem ser numéricos (Método dos Elementos Finitos - MEF) ou analíticos (Método de Análise Modal). No que se refere à análise da transmissão de ruído de percussão, Neves e Sousa [3], propõe, com base em trabalhos anteriores [4 a 10], o método analítico de análise modal, o qual foi validado experimentalmente para pavimentos, homogéneos pesados com diferentes tipos de revestimento. Embora o método proposto seja também aplicável a pavimentos heterogéneos (com ortotropia), não foi efectuada qualquer validação experimental. A ausência de validação experimental é particularmente crítica no caso dos pavimentos ortrotópicos leves, como é o caso dos pavimentos de madeira tradicionais ou dos pavimentos mistos com laje de betão colaborante com uma estrutura metálica de suporte utilizados em construções mais recentes. Neste tipo de pavimentos, de elevada mobilidade e com frequências próprias de vibração muito baixas, é mais difícil prever, quer a energia de impacto que é efectivamente transmitida à estrutura, quer a energia sonora radiada para os compartimentos inferiores. 1

15 Neste contexto, existe a necessidade de identificar correctamente os limites de aplicação do método de análise modal na previsão de campos sonoros gerados por forças de impacto aplicadas sobre pavimentos de madeira OBJECTIVOS A presente dissertação tem como objectivo principal validar a aplicação do método analítico de análise modal à previsão de campos sonoros de baixa frequência gerados em compartimentos correntes de habitação pela vibração de pavimentos ortotrópicos leves. Uma vez que estes campos sonoros dependem, em larga medida, do campo de vibração dos pavimentos, o processo de validação em causa é, essencialmente, relativo à previsão do campo de vibração gerado nos pavimentos por forças de impacto. A validação do método será efectuada de forma numérica e experimental. No último caso, serão utilizados resultados de ensaios obtidos por outros investigadores, tais como Mayr e Nightingale [11]. No que respeita à validação numérica, serão comparados os resultados do método analítico proposto com os resultados obtidos por aplicação do MEF. O processo de validação descrito deverá fornecer os limites de aplicação do método analítico e permitirá ainda identificar os parâmetros que condicionam a aplicação do método ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO De modo a cumprir os objectivos da presente dissertação optou-se por organizar o texto da seguinte forma: Capítulo 2: Capítulo 3 Capítulo 4 Descreve o método analítico proposto para a previsão de campos de vibração gerados em pavimentos homogéneos ou ortotrópicos por forças de impacto pontuais. Descreve o processo de validação experimental e numérico, o qual se aplica a dois casos de estudo referidos na bibliografia [11]. Para cada caso de estudo serão apresentados os resultados experimentais disponíveis, os quais se comparam com os resultados obtidos por aplicação do MEF. Uma vez validado o MEF, as simulações numéricas obtidas serão utilizadas para aferir o grau de aproximação da modelação analítica. Apresenta a análise efectuada com o objectivo de identificar os parâmetros que condicionam a validade do método analítico e define limites de validade para o método. 2

16 Capítulo 5 Capítulo 6 Descreve o método analítico proposto para a previsão de campos sonoros gerados por pavimentos em vibração. Apresenta as principais conclusões do estudo e indica possíveis trabalhos futuros sobre o tema. 3

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18 2. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS 2.1. INTRODUÇÃO Neste capítulo é descrito o método analítico proposto por Neves e Sousa [3], com base numa combinação de métodos propostos por outros autores, como Leissa [7], Warburton [8], Cremer [9] e Hearmon [10], para a previsão de campos de vibração gerados em pavimentos homogéneos ou ortotrópicos por forças de impacto pontuais EQUAÇÃO DA ONDA DE FLEXÃO EM PLACAS A equação de movimento que caracteriza o comportamento vibratório de uma placa é apenas influenciada por ondas de flexão, dado que, na análise da transmissão sonora, se observa serem estas as mais importantes. Em seguida, é determinada a equação diferencial de movimento de uma placa fina no plano y- z, com deslocamentos, μ (m), perpendiculares a este e paralelos ao eixo x. Os deslocamentos laterais ξ (m) e ζ (m) ocorrem paralelamente ao eixo y e z, respectivamente. As vibrações, geradas numa dada estrutura por um impacto, dão origem a campos de deformação pequenos, pelo que é possível considerar a hipótese dos pequenos deslocamentos. Em estado plano de tensão, as extensões segundo x são nulas e os deslocamentos laterais ξ e ζ são desprezáveis. Torna-se assim possível analisar o campo de deformações, e ε z = μ / z, e de tensões σ y e σ z (N/m 2 ) segundo o plano médio da placa, na sua configuração indeformada. Por outro lado, a lei de Hooke é válida, isto é, o campo de deformações, ε y e ε z, relaciona-se com o campo de tensões, σ y e σ z, através do módulo de elasticidade, E (Pa), do material constituinte. Em estado plano de tensão, a aplicação da lei de Hooke, tendo em conta o efeito de Poisson, conduz a: Eε z = σ y - νσ z e Eε z = σ z - νσ y, onde ν é o coeficiente de Poisson do material. As expressões anteriores e as relações de compatibilidade, ε y = -x χ y = -x 2 μ / y 2 e ε z = -x χ z = -x 2 μ / z 2, em que χ y e χ z são as curvaturas segundo a direcção y e z, respectivamente, conduzem às seguintes expressões, 5

19 σ y = σ z = E 1 - ν 2 ( ε ) y + νε z = - E 1 - ν 2 ( ε ) z + νε y = - E 1 - ν 2 2 μ y 2 + ν 2 μ z 2 ; (1.a) E 1 - ν 2 2 μ z 2 + ν 2 μ y 2. (1.b) Conforme indicado na Figura 1, os momentos flectores numa placa de espessura h (m) segundo y e z são dados por h/2 M' yz = - σ y x dx = - B' 2 μ y 2 + ν μ2 z 2 ; -h/2 h/2 M' zy = - σ z x dx = - B' 2 μ z 2 + ν μ2 y 2 ; (2) -h/2 onde o sinal negativo corresponde a compressões acima da linha neutra e h/2 E B' = 1-ν 2 x 2 E dx = h3 EI 1-ν 2 12 = 1-ν 2 (3) -h/2 é a rigidez de flexão do elemento de placa. Figura 1 - Esforços e tensões num elemento de placa. Os momentos torçores podem ser determinados por h/2 M' yy = -M' zz = τ yz x dx = -2G 2 h/2 μ y z x 2 dx = -B' ( 1-ν ) 2 μ y z, (4) -h/2 -h/2 6

20 onde G é o módulo de distorção, o qual é dado por G = E 2( 1+ν ) = E( 1-ν) 2( ) 1-ν 2. (5) Para baixas frequências, os comprimentos de onda de flexão são grandes quando comparados com a secção transversal dos elementos estruturais dos edifícios correntes. Portanto, a energia cinética utilizada no movimento de rotação é desprezável face à energia cinética utilizada no movimento de translação transversal. Os esforços transversos podem assim ser determinados a partir do equilíbrio dos momentos do elemento de placa da Figura 1. Estes esforços são dados por Q y = M yz y + M zz z = B' y 2 μ y μ z 2 = B' y 2 μ ; (6.a) Q z = M zy z + M yy z = B' y 2 μ y μ z 2 = B' z 2 μ ; (6.b) onde 2 é o operador Laplaciano. A relação entre os esforços transversos e o movimento transversal é estabelecida pela segunda lei de Newton, expressa por - Q y y - Q z z = m'' 2 μ t 2, (7) onde m (kg/m 2 ) é a massa por unidade de área da placa e t (s) é o tempo ao longo do qual decorre a vibração Introduzindo as equações (6.a) e (6.b) na equação (7), obtém-se -B' 4 μ = m'' 2 μ t 2, (8) que corresponde à equação geral das ondas de flexão em placas. Esta equação será posteriormente utilizada para o desenvolvimento de uma expressão para o cálculo do campo de vibrações induzido numa placa por uma força de impacto pontual. 7

21 2.3 PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA Descrição do modelo O elemento estrutural mais simples para a análise dinâmica do efeito de um impacto consiste numa placa homogénea de espessura constante, simplesmente apoiada em todo o seu contorno. Nestas condições, existe uma solução exacta para a mobilidade pontual da placa, isto é, para a função de transferência entre uma força de impacto e o campo de velocidades gerado na placa. Esta solução poderá ser posteriormente generalizada para outras condições de apoio. Para a determinação da velocidade num dado ponto da placa, considera-se que o campo de deslocamentos, μ(y,z,t), se desenvolve através de uma função harmónica no tempo, dada por μ(y,z,t) = μ(y,z)e jωt, (9) onde j = -1 e ω (rad/s) é a velocidade angular da onda sonora. A equação (8) da onda de flexão na placa pode ser então escrita na forma 4 μ(y,z) - k 4 μ(y,z) = 0, (10) onde k 4 = ω 2 (m''/b ' ) é o número de onda de flexão, que caracteriza a periodicidade da onda no espaço e no tempo. A sua forma inicial é k = ω / c,onde c (m/s) é a velocidade com que uma onda se propaga sem alteração de fase. A solução desta equação diferencial depende apenas da definição dos parâmetros geométricos da placa, como a espessura, as condições de apoio, e as características do material constituinte, nomeadamente a massa volúmica, ρ (kg/m 3 ), o coeficiente de Poisson, e módulo de elasticidade. Pelo método de Rayleigh [6], é possível determinar a função da deformada modal da placa a partir das funções da deformada modal de vigas fictícias, dispostas segundo as direcções y e z da placa, de largura unitária e com condições de apoio idênticas às da placa. As funções de forma da placa são então dadas por μ m1 n 1 (y,z) = μ m1 (y) μ n1 (z), (11) onde μ m1 e μ n1 são as funções de forma das vigas. Numa placa rectangular, de largura b (m) e comprimento c (m), como a representada na Figura 2, os deslocamentos segundo o eixo z terão de ser nulos em todo o seu contorno, assim como os momentos flectores. Para que as deformadas modais das vigas sejam compatíveis, os 8

22 deslocamentos μ m1 (y) e μ n1 (z) terão de ser nulos nas coordenadas y = 0, y = b, z = 0, e z = c. Para as mesmas coordenadas, também as segundas derivadas das funções forma terão de ser nulas. Uma vez que as funções μ m1 (y) e μ n1 (z) têm variáveis independentes, a equação (8) poderá ser resolvida para cada direcção y e z, também de uma forma independente. Assim, para a direcção y, a equação (8) é dada por -B' 4 μ y y 4 = m'' 2 μ y t 2, (12) Figura 2 - Dimensões da placa rectangular homogénea. As deformadas modais μ m1 (y) da viga fictícia têm a forma μ m1 = C 1 sen(ky)+c 2 cos(ky)+c 3 senh(ky)+c 4 cosh(ky), (13) onde K é uma constante. As funções μ m1 (y) são determinada de uma forma análoga. Resolvendo-se a expressão (13) para as condições de fronteira atrás indicadas, obtêm-se as funções dos deslocamentos modais da placa, μ m1 (y,z) = A n 1 m1 sen m 1 πy n 1 b sen n 1 πz c, (14) onde A m1 n 1 são constantes de integração. As frequências fundamentais da placa podem então ser determinadas pela substituição da equação (14) na equação (10), obtendo-se ω m1 n 1 = π B' m'' m 1 b + n 1 c. (15) A determinação das frequências próprias de um elemento estrutural baseia-se no princípio de conservação de energia num sistema a oscilar em regime livre. O regime forçado é imposto 9

23 pela introdução de uma parcela p(y,z,t) no lado esquerdo da equação (7), a qual corresponde à actuação de uma força externa num ponto (y,z) da placa, com direcção perpendicular a esta e intensidade variável em função do tempo. A equação (8) é então reescrita como B' 4 μ(y,z,t) + m'' 2 μ(y,z,t) 2 = p(y,z,t). (16) t Para se obter uma equação que exprima a velocidade de um dado ponto da placa devida a essa força, introduz-se a relação v x (y,z,t) = jωμ(y,z,t). A equação (16) transforma-se assim em B' 4 v x (y,z) - m'' ω 2 v x (y,z) = jω p(y,z). (17) A solução da equação (17) é dada por v x (y,z) = [ A m1 ϕ n 1 m1 (y,z) ], (18) n 1 m 1 n 1 = 1 em que ϕ m1 n 1 (y,z) = sen(m 1 πy / b) sen(n 1 πz / c) são as funções de forma que satisfazem as condições de fronteira de uma placa simplesmente apoiada. Substituindo as equações (15) e (18) em (17) obtém-se, tendo em conta a equação (10), [ A m1 (ω 2 - ω 2 )ϕ n 1 m 1 n 1 m1 (y,z) ] = n 1 m 1 n 1 = 1 ω m'' p(y,z). (19) A constante de integração A m1 n 1 é determinada por multiplicação de ambos os membros da equação (19) por ϕ m1 n 1 e posterior integração na área da placa. Tendo em conta a condição de ortogonalidade dos modos de vibração, obtém-se onde b c p(y,z) ϕ m1 (y,z)dydz n A m1 = j ω 1 n 1 m'' 0 0 ( ω 2 - ω 2, (20) m 1 n 1 ) Λ m1 n 1 b c Λ m1 = n 1 ϕ 2 (y,z)dydz. (21) m 1 n Para uma placa simplesmente apoiada, Λ m1 n 1 = bc / 4. Considerando que a acção externa corresponde a uma força pontual, aplicada no ponto (y 0, z 0 ), de amplitude F = p(y,z)dydz, a função p(y,z) é dada por 10

24 p(y,z) = Fδ(y - y 0 ) δ(z - z 0 ), (22) onde δ(y - y 0 ) é a função de Dirac, tal que δ(y - y 0 ) = 1, se y = y 0, ou δ(y - y 0 ) = 0, se y y 0. A funçãoδ(z - z 0 ) é similar. Introduzindo as equações (20) a (22) em (18) obtém-se a expressão v x (y, z) = j 4 ω F ϕ m1 (y, z) ϕ n 1 m1 (y n 0, z 0 1 ) m'' b ω 2 - ω 2 m 1 n 1, (23) c m1,n1 = 1 a qual fornece a velocidade pontual de uma placa homogénea, simplesmente apoiada, sem perdas por amortecimento. O efeito de amortecimento no sistema pode ser considerado pela adição, às forças elásticas, de forças viscosas, proporcionais à derivada no tempo da deformação. A lei de Hooke toma assim a forma σ(t) = D ε(t) + υ dε(t) dt, (24) onde D e υ são, respectivamente, a rigidez e o parâmetro de viscosidade do material constituinte. Para ε(t) = ε cos(ωt), a equação (24), depois de alguma manipulação matemática, é dada por σ(t) = D ε 1 + ω 2 υ 2 + cos[ ωt + arctg(ωυ) ]. (25) Deste modo, para a variação periódica da deformação, o principal efeito do amortecimento é a produção de uma diferença de fase entre a deformação e a tensão. Isto pode ser expresso, em notação complexa, por uma rigidez complexa D = D 1 + j D 2, obtendo-se σ(t) = Re( Dε e jωt ) = ε [ D 1 cos(ωt) - D 2 sen(ωt) ]. (26) Se o factor de perdas da placa for definido como η = D 2 /D 1, em que η = ωυ para o modelo de viscosidade descrito anteriormente, então D = D 1 (1 + jη). Assim, a rigidez de flexão da placa é dada, em notação complexa, por B' = E h3 1 - ν 2 12 (1+ jη) = B' (1 + jη). (27) 11

25 A introdução da equação (27) na equação (10) obriga a que as frequências próprias, ω m1 n 1 tenham também de ser expressas em notação complexa por ω m1 n 1 = ω m1 n jη. Assim, a equação que descreve a velocidade de um dado ponto da placa é expressa por v x (y, z) = j 4 ω F ϕ m1 (y, z) ϕ n 1 m1 (y n 0, z 0 1 ) m'' b ω 2 (1 + j η) - ω 2 m 1 n 1. (28) c m1,n1 = Implementação do modelo Com o apoio de um programa computacional, a equação (28) pode ser resolvida com relativa facilidade. O programa de execução é composto por uma fase de leitura de dados, input, uma fase de tratamento dos dados, e uma última fase de apresentação dos resultados obtidos, output. A fase de tratamento de dados organiza-se em duas partes. A primeira parte determina os modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados numa matriz com a forma [(m 1, n 1, ω m1 ) N n placa ]. 1 O parâmetro N placa corresponde ao número de modos da placa considerados, o qual depende da frequência máxima que será analisada. Neste estudo são analisadas as frequências compreendidas entre os 18 Hz e os 225 Hz, que correspondem aos limites inferior e superior das bandas de terços de oitava de 20 e 200 Hz, respectivamente. As frequências abaixo dos 20 Hz têm importância reduzida para o presente estudo por se situarem foram do intervalo de frequências audíveis do ser humano. Quanto às frequências acima dos 200 Hz, observa-se que, para as dimensões correntes dos compartimentos dos edifícios de habitação, o campo sonoro instalado já não apresenta características modais. Uma vez que, de acordo com a equação (28), o campo de vibração da placa resulta do somatório de contribuições de cada modo de vibração, é necessário considerar um intervalo de frequências mais largo. Considera-se suficiente admitir uma frequência quatro vezes superior ao limite anteriormente estabelecido, pelo que a frequência máxima adoptada será de 900 Hz (4 225 Hz). A segunda parte corresponde à resolução da equação (28). Esta parte implica a soma de N placa parcelas para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz. O método, descrito pela equação (28), para a definição do campo de vibração de uma placa homogénea induzido por uma força de impacto pontual foi validado numérica e experimentalmente por Neves e Sousa [3] e apresenta a vantagem de ser extremamente rápido, em baixas frequências, por envolver um número relativamente baixo de operações. 12

26 2.4 PLACA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA Descrição do modelo A ortotropia pode resultar das propriedades anisotrópicas dos materiais do pavimento ou de diferentes secções geométricas do pavimento nas duas direcções principais de flexão. Os pavimentos de madeira contêm ambos os tipos de ortotropia. Assumindo que, quer o revestimento, quer as vigas são do mesmo material e tendo em conta que estas componentes do pavimento funcionam de forma separada nas diferentes direcções, a anisotropia do material pode ser desprezada e, portanto, apenas terá de ser considerada a ortotropia geométrica. Em estudos anteriores sobre a vibração de pavimentos vigados de madeira foram identificados três domínios de frequência distintos que requerem a utilização de diferentes métodos de previsão [12-14]. Para frequências altas e comprimentos de onda muito menores do que a distância entre vigas, a ligação do revestimento às vigas é pontual e, por esse motivo, a resposta do pavimento é controlada pelas propriedades do revestimento. Para frequências médias e comprimentos de onda da mesma ordem de grandeza da distância entre vigas, o revestimento do pavimento comporta-se como estando ligado às vigas ao longo de todo o comprimento destas e o número de onda do pavimento corresponde ao de uma viga fina com rigidez idêntica à da placa ortotrópica nessa direcção. Para baixas frequências e comprimentos de onda muito maiores do que a distância entre vigas é provável que o revestimento e as vigas se movam de forma conjunta e, portanto, o sistema pode ser modelado com recurso à teoria da placa equivalente, i.e, modelando a laje reforçada pela vigas como uma placa anisotrópica equivalente [9, 12-16]. Este modelo de placa equivalente deve ser definido de forma que os números de onda para ondas de flexão possam ser estimados com precisão suficiente. Orrenius e Finnveden [14] observaram que existem modos de vibração do pavimento que correspondem ao revestimento e às vigas a vibrarem em conjunto (modos rígidos ) também a frequências mais altas, o que parece indicar que, mesmo para estas frequências mais elevadas, a teoria da placa equivalente fornece estimativas razoáveis dos números de onda correspondentes à propagação de ondas associadas a modos rígidos. Em seguida, é apresentada a equação de movimento para placas ortotrópicas que se desenvolvem no plano yz. As expressões (1.a) e (1.b) são agora dadas por 13

27 σ y = 1 ( E ) 1 - ν y ν y ε y + ν y E z ε z = - z x 1 - ν y ν z E 2 μ y y 2 + ν ye 2 μ z z 2 ; (29.a) σ z = 1 ( E ) 1 - ν y ν z ε z + ν z E y ε y = - z x 1 - ν y ν z E 2 μ z z 2 + ν ze 2 μ y y 2 ; (29.b) onde E y e E z correspondem aos módulos de elasticidade das duas direcções principais. O coeficiente de Poisson na direcções y e z são dados por ν y e ν z, respectivamente. Como consequência da necessidade de simetria das condições tensão-deformação, é normalmente aceite a hipótese de que ν y E z = ν z E y = E yz. De acordo com Nightingale [13], esta condição pode não ser verificada em placas reforçadas com vigas, e portanto, nessas situações, o número de onda na direcção principal já não é controlado apenas pela rigidez de flexão nessa direcção. Os momentos flectores que resultam das equações (29) são dados por h/2 M' yz = - -h/2 h/2 M' zy = -h/2 σ y x dx = B' y μ2 y 2 + B' 0 μ2 z 2 ; σ z x dx = -B' z 2 μ z 2 - B' 0 2 μ y 2 ; (30.a) (30.b) onde B' y = E y h 3 /[ 12 (1 - ν y ν z )] e B' z = E z h 3 /[ 12 (1 - ν y ν z )] são os módulos de rigidez de flexão da placa equivalente com a espessura uniforme h; e B' 0 = E yz h 3 /[ 12 (1 - ν y ν z ). ] Os momentos torçores são calculados de acordo com as expressões h/2 M' yy = -M' zz = -h/2 τ yz x dx = -2 G h μ y z = -2 B yz ' 2 μ y z. (31) Em resultado do equilíbrio estático de momentos e da segunda lei de Newton, obtém-se a equação geral de flexão para placas ortotrópicas, a qual é dada por B' 4 μ(y, z, t) y y H 4 μ(y, z, t) y 2 z 2 + B' 4 μ(y, z, t) z z 4 + m'' 2 μ(y, z, t) t 2 = p( y, z, t ) (32) onde H = B' B' yz representa a relação tensão-deformação no plano da placa ortotrópica e a rigidez de corte transversal. De acordo com autores como Bares [17], Panc [18] e Szilard [19], o módulo de corte no plano yz, pode ser estimado por G = E y E z / [ 2 ( 1 + ν y ν z )]. Como definido por Timoshenko [15], Panc [18] e Thomas [20], os valores de G deverão ser confirmados por ensaios de laboratório, ou seja, deverá ser usado um factor de correcção G 0. No caso de lajes vigadas de madeira, tem-se (ν y ν z ) ν ν y ν z ν. 14

28 h s h j w j w j w j w s w s Figura 3 - Tipo de modelação adoptada. De acordo com Cremer [9] e Timoshenko [15], a teoria acima descrita fornece apenas uma aproximação grosseira da resposta em vibração do pavimento ilustrado na Figura 3, sendo, por isso, necessário melhorar a precisão do modelo. Assumindo que as vigas estão orientadas segundo a direcção y (com comprimento b) e tomando o módulo de elasticidade E z do revestimento como módulo de elasticidade do material da placa equivalente (E), as rigidezes da laje podem ser calculadas através das expressões seguintes: B' y = E I j w s ; (33) 3 E w s hs B' z = ; (34) 12 w s - w j + h s h t 3 w j B' 0 = 0; B' yz = G h 3 s 12 + GJ j 2 w ; (35) s onde I j (m 4 ) corresponde ao momento de inércia de uma viga (secção em T), calculada através da largura efectiva assumida como w s ; e J j (m 4 ) corresponde ao momento de inércia de torção que pode ser obtido em qualquer tabela técnica. Nas equações acima descritas, o módulo de corte G é igual a G 0 E[ 2 (1 + ν) ]. Para placas homogéneas simplesmente apoiadas, de espessura constante, o campo de velocidades v x (y,z) gerado por uma força pontual de amplitude F é dado pela expressão (28), onde as frequências modais do pavimento ω m1 n são agora dadas por 1 ω m1 n 1 = π2 m'' m 4 1 B' y b m2 1 n2 1 H b 2 c 2 + n4 1 B' z c 4. (36) ω lmn ω lmn (1 + jη / 2) (37) O factor de perdas η na expressão (28) é dado por 15

29 η = 0, ᾱ 3 1/4 π 3/2 c c L h s f + N j B j 2b B' w, (38) onde B j é a rigidez de flexão de uma viga e B w é a rigidez de flexão da parede de suporte. O primeiro termo da equação (38) corresponde às perdas internas do material e o segundo e terceiro termos correspondem a aproximações, dadas por Craik [21], para as perdas por acoplamento que ocorrem, a baixas frequências, no perímetro do pavimento, ao longo do contacto linear piso/parede (eixo y) e dos contactos pontuais viga/parede (eixo z) Implementação do modelo Com o apoio de um programa computacional, a equação (28), com as alterações impostas pelas expressões (36) e (38), pode, mais uma vez, ser resolvida com relativa facilidade. Em geral, o modelo pode ser implementado de forma idêntica à descrita na secção Contudo, uma vez que a expressão (28), na sua forma original, foi desenvolvida para secções homogéneas, é necessário, no caso das placas ortotrópicas, proceder a uma homogeneização prévias da secção segundo o eixo y. 16

30 3. VALIDAÇÃO DO MODELO 3.1. INTRODUÇÃO No presente capítulo é descrito o processo de validação do modelo apresentado em 2.4 para previsão do campo de vibração de uma placa ortotrópica sujeita a uma força de impacto pontual. A forma ideal de validar o método consiste na realização de ensaios comparativos em laboratório ou in situ. Uma vez que os ensaios in situ envolvem uma quantidade demasiado grande de incertezas e que os ensaios em laboratório não poderiam ser, actualmente, realizados nas instalações do Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico, optou-se por recorrer a resultados de ensaios disponíveis na bibliografia. Infelizmente, a bibliografia encontrada foi escassa, limitando-se a informação disponível para análise aos resultados dos testes laboratoriais realizados por Mayr e Nightingale [11] em placas ortotrópicas de Plexiglas (placa monolítica de vidro acrílico) [W.1] e de madeira. Assim, a validação do método processar-se-á em duas fases. Primeiro, os resultados experimentais de Mayr e Nightingale [11] serão utilizados para validar directamente o Método dos Elementos Finitos. Para tal será utilizado o programa comercial de análise estrutural, SAP2000 [22]. De seguida, o MEF, entretanto validado, servirá para validar, indirectamente, o método analítico descrito em ENSAIOS DE LABORATÓRIO DE MAYR E NIGHTINGALE Descrição geral Mayr e Nightingale [11] efectuaram medições da mobilidade pontual de pavimentos de teste em Plexiglas e em madeira. O pavimento de teste em Plexiglas (Figura 4) é constituído por uma placa com 2,40 1,20 m 2, com uma espessura de 12 mm, reforçada com vigas espaçadas de 40 cm. As vigas têm uma secção transversal rectangular com 18,7 mm de largura por 235 mm de altura e estão ligadas à placa por 16 parafusos igualmente espaçados. Foram consideradas as seguintes propriedades do material: ρ = 1190 kg/m 3 ; E = 3,3 GPa; e ν = 0,37. Todos os bordos da placa foram considerados livres. 17

31 1,2 y (m) 0,8 0,4 A 1 C 1 E 1 G 1 I 1 B 1 D 1 F 1 H ,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 z (m) Figura 4 - Localização dos pontos de medição para o pavimento de teste em Plexiglas. O pavimento de madeira testado (Figuras 5 e 6) é constituído por placa de revestimento e vigas de diferentes tipos de madeira. O revestimento é constituído por placas de aglomerado de fibras de madeira com 4,55 4,95 m 2, com uma espessura de 21 mm, ligadas a 7 vigas de pinho por parafusos espaçados de 20 cm. As vigas têm uma secção transversal com 96 mm de largura e 192 mm de altura. Figura 5 Solução construtiva do pavimento de teste em madeira. Foram consideradas as seguintes propriedades dos materiais: ρ revestimento = 668 kg/m 3 ; ρ vigas = 400 kg/m 3 ; E revestimento = 2 GPa; E vigas = 11 GPa; ν revestimento = 0,30 e ν vigas = 0,25. Todos os bordos da placa de revestimento foram considerados simplesmente apoiados. A mobilidade pontual dos dois pavimentos de teste acima descritos foi medida por Mayr e Nightingale [11] nos pontos indicados nas Figuras 4 e 6. 18

32 y (m) 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 D 2 E 2 H 2 F 2 G 2 0,5 A 2 B 2 C 2 0,0 z (m) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Figura 6 - Localização dos pontos de medição para o pavimento de teste em madeira. Os valores reais das mobilidades pontuais medidas por Mayr e Nightingale [11] foram comparados com os valores característicos da mobilidade pontual (mobilidade característica) das placas de revestimento e das vigas presentes em cada pavimento de teste. As mobilidades características dos pavimentos correspondem às mobilidades pontuais obtidas em pavimentos com a mesma configuração mas de dimensões infinitas em planta. Pode constatar-se que as mobilidades características são valores (limites) para os quais tendem os espectros de mobilidade pontual dos pavimentos. As mobilidades características afastam-se mais do espectro da mobilidade pontual dos pavimentos nas baixas frequências, onde os pavimentos exibem um comportamento modal, dependente das suas dimensões em planta. Nas altas frequências, onde o comportamento dinâmico dos pavimentos pode ser definido como estatístico e independente das suas dimensões em planta, a mobilidade característica constitui uma boa aproximação do espectro da mobilidade pontual dos pavimentos. As mobilidades características de uma viga e de uma placa são dadas, respectivamente, por Re{Y c,j }= 1 4 c B m' j ; (39) onde c B, dada por Re{Y c,s } = 1 8 B' s m'' s ; (40) c B = λ B f, (41) 19

33 é a velocidade de propagação das ondas de flexão numa viga de massa m j (kg/m). O comprimento de onda de flexão, λ B, em placas é dado por λ B = B' m'' 2π f (m). (42) Pavimento de teste em Plexiglas Na estrutura de Plexiglas foram definidos 4 pares de pontos idênticos (A 1 e I 1 ; B 1 e H 1 ; C 1 e G 1 ; D 1 e F 1 ) e um ponto (E 1 ) que marca o eixo de simetria em relação aos restantes pontos de medição. Desta forma, existem 2 pontos de medição que se encontram em cima de uma viga de reforço (pontos A 1 e I 1 ) e um ponto (E 1 ) que se encontra sobre a placa de piso, precisamente a meia distância entre vigas. Os pontos A 1 a I 1 estão distanciados 0,05 m uns dos outros (Figura 4). Os resultados experimentais de Mayr e Nightingale [11] mostram que é a distância do ponto de medição à viga de reforço mais próxima que determina a mobilidade pontual do pavimento. Assim, nos pontos A 1 e I 1 o comportamento registado nas baixas frequências será próximo do comportamento de uma viga infinita, tendendo nas altas frequências, para o comportamento de placa infinita, o que mostra claramente que, para frequências mais altas, o revestimento funciona de forma completamente independente da viga (Figura 7). De uma forma mais precisa, como demonstrado por Mayr e Nightingale [11], a mobilidade do pavimento é, em virtude do exposto, determinada pela distância do ponto de medição ao ponto de ligação da viga à placa de revestimento (parafuso). Ponto A1 Ponto B1 Ponto C1 Ponto D1 Ponto E1 Ponto F1 Ponto G1 Ponto H1 Ponto I1 Yc,j Yc,s f (Hz) Figura 7 Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em Plexiglas em bandas de terços de oitava [11]. 20

34 No ponto E 1 o pavimento deverá apresentar um comportamento dinâmico próximo do da placa infinita. Nos pontos restantes, o comportamento dinâmico do pavimento deverá situar-se entre estes dois limites: viga e placa infinitas Pavimento de teste em madeira No pavimento de teste em madeira, foram seleccionados pontos de medição de uma forma mais aleatória. No entanto, as conclusões retiradas da análise das mobilidades pontuais medidas são semelhantes às obtidas por análise do pavimento em Plexiglas (Figura 8). Ponto A2 Ponto B2 Ponto D2 Ponto E2 Ponto G2 Yc,j Yc;s f (Hz) Figura 8 - Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em madeira em bandas de terços de oitava [11]. Na Figura 9 são apresentados os valores reais do espectro de mobilidade pontual em banda estreita obtidos nos pontos B 2 e D 2 do pavimento de teste em madeira. Ponto B2 Ponto D f (Hz) Figura 9 - Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em madeira em banda estreita [dados fornecidos por Andreas Mayr [11]. 21

35 3.3. VALIDAÇÃO NUMÉRICA Descrição do processo de validação A validação numérica do modelo de cálculo descrito na secção 2.4 foi efectuada por comparação com modelos de elementos finitos construídos com base num programa comercial [22]. Num primeira fase, com o objectivo de confirmar a correcta utilização do programa de cálculo automático, optou-se por testar um pavimento homogéneo submetido a uma força de impacto pontual. Os resultados fornecidos pelo MEF puderam ser validados por comparação com os resultados obtidos com o modelo analítico descrito na secção 2.3, o qual foi previamente validado experimentalmente por Neves e Sousa [3]. Uma vez validado o MEF para pavimentos homogéneos, foram construídos modelos de elementos finitos relativos aos pavimentos de teste descritos em 3.2, os quais, após validação por comparação com os resultados experimentais obtidos por Mayr e Nightingale [11], permitiram definir um processo adequado de construção de modelos de pavimentos ortotrópicos leves. Em seguida, são descritos os modelos de elementos finitos acima referidos Pavimento homogéneo A avaliação, pelo MEF, do campo de vibração de um pavimento uniforme sujeito à acção de uma força de impacto pontual pode ser efectuada de diferentes formas. No presente trabalho, onde se pretende determinar funções de mobilidade pontual do pavimento, ou seja, funções de transferência entre a força de impacto e a vibração num determinado ponto do pavimento, optou-se por efectuar uma análise no domínio do tempo. Desta forma, a força dinâmica exercida no pavimento foi introduzida no programa de cálculo automático através de um sinal no tempo (impulso apresentado na Figura 10) com um espectro correspondente constante e de valor unitário (Figura 11). A resposta do pavimento foi assim obtida em diferentes pontos na forma de sinais no tempo, os quais foram posteriormente convertidos em espectros de velocidade por aplicação do algoritmo FFT (Fast Fourier Transform). Estes espectros correspondem aos espectros de mobilidade desejados. O MEF pode ser aplicado com base em integração no tempo ou em análise modal. Neste trabalho, tendo em conta o objectivo de validação do método analítico de análise modal, optouse por aplicar o MEF também com base na análise modal. Este procedimento tem a vantagem de permitir identificar de forma mais directa os modos de vibração dos pavimentos e os eventuais desvios registados entre o método numérico e o método analítico. 22

36 1,50E+00 F (N) 1,00E+00 5,00E f (Hz) Figura 10 Espectro de força de impacto aplicada no pavimento. F (N) 2,00E+00 1,50E+00 1,00E+00 5,00E-01 0,00E+00 0,000 0,001 0,002 t (seg) Figura 11 Impulso da força de impacto aplicada no pavimento. A opção por uma análise modal no programa de elementos finitos exige alguns cuidados, nomeadamente, na escolha do número de modos de vibração a calcular. Uma vez que o método numérico de Elementos Finitos, bem como o método analítico proposto, recorre à análise modal, a resposta da placa vibrante resulta da sobreposição dos efeitos de cada modo de vibração. Assim, a precisão da resposta aumenta com o número de modos de vibração considerado. Uma vez que se pretende obter uma resposta fiável no domínio das baixas frequências ( Hz) quer em banda estreita, quer em bandas de 1/3 de oitava, onde o limite superior da banda de 200 Hz se situa a 225 Hz, é necessário efectuar a análise, pelo menos, até 900 Hz, conforme foi explicado em

37 Tendo em conta as observações acima indicadas, optou-se por modelar um pavimento de betão armado, simplesmente apoiado, com 5,00 4,00 m 2 de área e 20 cm de espessura. Consideraram-se as seguintes propriedades do betão armado: Massa volúmica ρ = 2400 kg/m 3, onde é contabilizada a massa do betão (2300 kg/m 3 ) e a massa da armadura ordinária (100 kg/m 3 de betão); Módulo de elasticidade E = 30 GPa; Coeficiente de Poisson ν = 0,2; Factor de perdas dado por η = 0, f, (43) onde a primeira parcela corresponde às perdas internas de energia de vibração sob a forma de calor e a segunda parcela a uma aproximação das perdas ocorridas no perímetro do pavimento por transmissão a outros elementos estruturais [21]. O coeficiente de amortecimento introduzido no modelo numérico, ζ, é um parâmetro de amortecimento que se relaciona com o factor de perdas por ζ = η / 2. O pavimento foi modelado com elementos de casca do tipo Shell Thin [22], sendo este o tipo de secção mais corrente na modelação de elementos estruturais planos. Considerando os limites de aplicabilidade do método numérico, foi definida uma malha de elementos rectangulares de largura não superior a um sexto do menor comprimento de onda analisado. Foram utilizados elementos de 30 cm de largura, pelo que a regra atrás enunciada foi cumprida com uma margem bastante confortável. Na Figura 12 é ilustrado o modelo do pavimento. Figura 12 - Modelo do pavimento de betão armado. Na Figura 13 são apresentados os espectros de mobilidade obtidos para análises efectuadas até aos 450, 900 e 1800 Hz. Observa-se que, de facto, quando se passa de uma frequência máxima de 450 Hz para 900 Hz, a resposta do pavimento é alterada para frequências superiores a 35 Hz. No entanto, quando se utiliza uma frequência máxima de análise de 1800 Hz, não se registam alterações na resposta do pavimento para frequências inferiores a 225 Hz, o que confirma a regra descrita em

38 1,E Hz 900Hz 450Hz f (Hz) Figura 13 Efeito da sobreposição modal. Para efeitos de validação deste modelo, foram calculados os espectros das velocidades em dois pontos do pavimento de betão armado, definidos pelas coordenadas (y, z) = (y 0, z 0 ) = (1,50; 1,25) m e (y, z) = (y 0, z 0 ) = (2,50; 2,00) m. As Figuras 14 e 15 mostram as magnitudes das funções de transferência entre a força de impacto exercida no pavimento e a velocidade obtidas com o MEF e com o método analítico descrito na secção ,E-01 MEF Análise Modal Figura 14 - Amplitude da mobilidade calculada no ponto (y, z) = (1,50; 1,25) m com os métodos numérico e analítico. Para ambos os pontos, observa-se que a magnitude da mobilidade obtida através do método numérico se aproxima bastante dos valores teóricos. Os modos de vibração do pavimento surgem também em frequências semelhantes às obtidas teoricamente. Como exemplo, o modo (m 1,n 1 ) = (1,1), doravante designado apenas por modo (1,1), surge nas frequências 33,4 Hz e 33,5 Hz para o método MEF e analítico, respectivamente. 25

39 Re{Y} (m/ns) 1,E-01 MEF Análise Modal Figura 15 - Amplitude da mobilidade calculada no ponto (y, z) = (2,50; 2,00) m com os métodos numérico e analítico. Essencialmente, estes resultados permitem concluir que os procedimentos adoptados na utilização do SAP2000 [22] para a modelação numérica do pavimento estão correctos, podendo, assim, ser seguidos para a modelação de estruturas mais complexas Pavimentos ortotrópicos leves A modelação de pavimentos ortotrópicos constituídos por placas finas reforçadas por vigas deve ter em conta dois aspectos fundamentais. Um destes aspectos é a posição do centro de gravidade das diferentes componentes do pavimento, a qual é importante para definir correctamente as suas propriedades mecânicas, em particular, a rigidez de flexão. O outro aspecto a ter em conta na modelação é a ligação das vigas de reforço à placa, a qual é importante principalmente nas frequências mais altas. No entanto, com o objectivo de eliminar o maior número possível de eventuais fontes de erro, optou-se, neste trabalho, por modelar a ligação pontual das vigas de reforço à placa. Para tal, foram utilizados, no programa SAP2000 [22], elementos constraint caracterizados por serem indeformáveis à flexão e à compressão, o que garante uma ligação perfeitamente rígida. Estes elementos rígidos foram definidos entre pontos no centro de gravidade da viga e pontos no centro de gravidade da placa, os quais se situam tão próximo quanto o permitido pelas condicionantes da malha adoptada das posições reais dos parafusos no pavimento testado experimentalmente Pavimento de teste em Plexiglas Tendo em conta os aspectos de modelação acima referidos, optou-se por modelar o pavimento de teste de Plexiglas, na zona de interesse, com elementos de placa quadrados de 5 5 cm 2 ligados a vigas modeladas com elementos de barra com 5 cm de comprimento por elementos 26

40 rígidos (parafusos) espaçados, em geral, de 10 cm. Fora da zona de interesse do pavimento optou-se por uma malha de elementos de placa quadrados de cm 2, reduzindo, dessa forma, significativamente a dimensão do modelo e o tempo de cálculo, sem perda de precisão. A ligação entre os elementos de placa de diferentes dimensões foi efectuada tendo em atenção a necessidade de garantir a continuidade e compatibilidade entre o nós da malha, de acordo com a Figura 16 Figura 16 - Compatibilização da malha de elementos finitos de placa na zona de transição. Na Figura 17 é ilustrada a diferença de mobilidades obtida pelo MEF para um pavimento de teste diferente do pavimento de Plexiglas modelado com uma malha apertada em toda a área e com uma malha mais larga nas zonas exteriores à zona de controlo da mobilidade. Malha mais apertada Malha mais larga 1,E-07 Figura 17 - Comparação de espectros de mobilidade obtidos pelo MEF com diferentes malhas de elementos de placa. 27

41 Na Figura 18 é apresentada a modelação de uma viga de reforço, incluindo os parafusos de ligação à placa de piso. Figura 18 Vista de uma viga de reforço ( ), com indicação dos parafusos ( ) de ligação à placa ( ). Apesar de o pavimento em Plexiglas testado experimentalmente apresentar os bordos da placa de piso livre (FF), optou-se por modelar, além desta situação, também a situação de placa de piso simplesmente apoiada no bordo (SS). Tal deve-se ao facto de o método analítico a validar ter sido desenvolvido para placas simplesmente apoiadas e também ao facto de a generalidade dos pavimentos existentes apresentar o bordo apoiado em paredes. Por outro lado, desta forma, é possível avaliar a influência das condições de apoio do bordo da placa de piso no desempenho do pavimento. Na figura 19 é apresentado o modelo tridimensional do pavimento de teste em Plexiglas com o bordo simplesmente apoiado. Figura 19 Modelo tridimensional do pavimento de teste em Plexiglas com o bordo simplesmente apoiado. Na Figura 20 são apresentados os espectros da parte real da mobilidade obtidos com o MEF para os pontos A 1 a I 1, em ambos os modelos (FF e SS). Para efeitos de validação do modelo é apresentado, na Figura 21, uma comparação entre os espectros em bandas de terços de oitava da parte real das mobilidades medidas experimentalmente no pontos A 1, C 1 e E 1 com os espectros correspondentes obtidos com o MEF para os casos de placa de piso com bordos livres e simplesmente apoiados. 28