MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 45 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER

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1 MTEMÁTIC - 3 o NO MÓDULO 45 RELÇÕES MÉTRICS EM UM TRIÂNGULO QULQUER

2 D O 2R a C

3 C b h a m c -m

4 Como pode cair no enem Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha? a) 30min b) 1h c) 1h 30min d) 2h e) 2h 15min

5 Fixação 1) (UFRJ) O objetivo desta questão é que você demons-tre a Lei dos Cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura abaixo, mostre que a 2 = b 2 + c 2-2bc cosθ. C b a θ

6 Fixação 2) (UNIRIO) C 60º Deseja-se mediar a distância entre duas cidades, e C, sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que = 80 km e C = 120 km, onde é uma cidade conhecida, como mostra a figura acima. Logo, a distância entre e C, em km, é: a) maior que 90; b) maior que 90 e menor que 100; c) maior que 100 e menor que 110; d) maior que 110 e menor que 120; e) maior que 120.

7 Fixação 3) (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.

8 Fixação 4) (UERJ) O triângulo C está inscrito em um círculo de raio R. Se cos  = 3/5, o comprimento do lado C é: a) 2R 5 b) 3R 5 c) 4R 5 d) 6R 5 e) 8R 5

9 Fixação 5) Num triângulo C temos = 3m, = 4m e α = ÂC. a) Se = 3m, calcule cos α. ^ b) Se b = C, oposto ao lado, for 60, calcule sen α. C 3m 4m α β

10 1) Considerando a figura abaixo, calcule o valor do cos α. R R α 3R 2

11 e) 2) (UFRS) figura a seguir representa a trajetória C de um helicóptero que percorreu 12 km em, 14 km em, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de. O cosseno da inclinação α é: a) C b) c) d) α solo

12 3) (UFF) Ptolomeu (gravura do século XVI) Trigonometria desenvolveu-se como resultado de uma interação contínua e fecunda entre o modo de pensar matemático e a arte de observar o céu. O famoso texto lmagesto, do astrônomo Ptolomeu, é, com efeito, um marco dessa relação. Nele, há uma tabela da função corda que pode ser definida como segue: Dado um círculo de raio unitário de um ângulo central θ (0º θ 360º), definimos a crd(θ) (lê-se a corda de θ) pela medida do segmento de reta que une as extremidades do arco subtendido pelo ângulo θ, conforme figura a seguir. crd(θ) = θ a) Determine crd(60 ) e crd(90 ). b) Determine uma expressão para o comprimento do segmento de reta em função do ângulo central θ, 0 < θ < 180.

13 4) (UFRJ) Na figura, = 3 e = 2. cosseno de α é: a) b) c) d) 2 e) 3 α 30º C

14 5) (UERJ) Num triângulo C, D e CE são alturas, D = CE e o ângulo = 40. O ângulo CD vale: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

15 6) O paralelogramo CD está dividido em triângulos equiláteros congruentes, de lados unitários, conforme sugere a figura a seguir. D C N M distância é igual a: a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6

16 7) Dado o triângulo abaixo, calcule º C

17 8) Os lados de um triângulo medem 2 3, 6 e Determine o ângulo oposto ao lado que mede 6.

18 9) água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d água a 50 m de distância. casa está a 80 m de distância da caixa-d água e o ângulo formado pelas direções caixa-d água bomba e caixa-d água casa é de 60. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários?

19 10) (UERJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. Um de seus ângulos é igual a: a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) 120

20 11) (UERJ) Observe o paralelogramo CD. D C M b a a) Calcule em função de = a e = b. b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos M e MC.

21 12) (UFG) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (O) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (O) mede 1 m, qual será a distância, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos? O

22 13) (CESGRNRIO) No triângulo C, os lados C e C medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo vale 30. O seno do ângulo vale: a) 1/2 d) 4/5 b) 2/3 e) 5/6 c) 3/4

23 14) (FUVEST) Um triângulo T tem lados iguais a 4,5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é: a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8

24 15) (PUC) Na figura, CD é um quadrado cuja área mede 4 m 2, e C é o ponto médio do segmento E. O comprimento de E, em metros, é: a) 5 b) 2 5 c) 5 2 d) 3 5 e) 4 2 D C E

25 16) (FUVEST) No cubo de aresta 1, considere as arestas C e C, e o ponto médio M de C. D C M a) Determine o cosseno do ângulo D ^. b) Determine o cosseno do ângulo MD ^. c) Qual dos ângulos, D ^ ou MD ^, é o maior? Justifique.

26 17) (UFRJ) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo α mede 120. α a) Determine o raio da circunferência circunscrita. b) Determine a área do polígono.

27 18) (UEL) Entre os povos indígenas do rasil contemporâneo encontram-se os yanomami. Estimados em cerca de indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Roraima e mazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado por cada aldeia yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir percorra mais 8 km em linha reta na direção que forma 120 com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até este local é: a) 8 3 km d) 8 2 km b) 3/3 km e) 2 8 km c) 3 8 km